下载文档原格式
概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）.解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξP =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]查二项分布表1－=.因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛04××=.P (X =1)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14××=, P (X =2)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛24××=.P (X =3)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34××=, P (X =4)= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛44××=. 从而E (X )=np =4×=习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+j j X P jjj ,说明X的数学期望不存在.解： 由于1111133322(1)((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数112j j ∞=∑发散，故级数11133(1)((1))j jj j j P X j j∞++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X-2 0 2 k p求)53(),(),(22+X E X E X E .解 E (X )=(-2)+0+2=由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E (X 2)=(-2)2+02+22=E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[322+5]=如利用数学期望的性质，则有E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=4.135)(3)53(,8.23.04.0)(,2.03.023.004.02)(222222)2(=+=+=⨯+⨯=-=⨯+⨯+⨯-=-X E X E X E X E习题4-4 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,0,0,)(x x e x f x 求XeY X Y 2)2(;2)1(-==的数学期望.解22)(2)0(2)(2)2()()(00=-=+-=+⋅===∞-∞+-∞-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xx e dx e xe dx xe dx x dx x xf X E Y E I3131)()()(0303022=-==⋅==∞-∞+-∞+---⎰⎰xx x x X edx e dx e e e E Y E II 习题4-5 设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=其它,0,10,12),(2x y y y x f求)(),(),(),(22Y X E XY E Y E X E +.解 各数学期望均可按照⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y x g Y X g E ),(),()],([计算。
·34·《概率论与数理统计》习题及答案第四章1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y 的分布列.解(,)X Y的分布列为12311106121112666113126其中(1,1)(1)(1|1)P X Y P X P Y X (1,2)(1)(2|P XYP X P Y X 121436余者类推。
2．将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。
解一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故1~(3,).2X B 331()(),0,1,2,32kP Xk C k，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为XY·35·012333610088811230088813318888jip p 其中(0,1)(0)(1|0)P X Y P X P Y X ，13313(1,1)(1)(1|1)()128P XYP XP YXC ，余者类推。
3．设(,)X Y 的概率密度为1(6),02,24,(,)8,.x y x y f x y 其它又（1）{(,)|1,3}D x y x y；（2）{(,)|3}Dx y xy。
求{(,)}P X Y D 解（1）1321{(,)}(6)8P x y D xy d xd x y1194368228；（2）1321{(,)}(6)8xP X Y D x y d x d y112113(1)[(3)4]82x x d xx d x524.4．设(,)X Y 的概率密度为22222(),,(,),.C Rxy xyR f x y 其他求（1）系数C ；（2）(,)X Y 落在圆222()xyr rR 内的概率.解（1）22222232001()RxyRCRxy d xd y C R Cr d rdYX xx+y=3422y·36·333233R R C RC，33CR.（2）设222{(,)|}Dx y x yr ，所求概率为2222233{(,)}()xyrP X Y D R xy d x d yR322323232133r r r R rRRR.5．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为4,1,01(,)0,.x y xyf x y 其它求X 和Y 的联合分布函数.解1设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则(,)(,)xyF x y f u v d u d v01001000,00,4,1,01,4,01,1,4,1,01,1,1, 1.xyxyxy uv du d v xyu yd u d y x y xvd xd v x y xy 或22220,00,,01,01,,01,1,,1,01,1,1,1.x yx y x y x xy yx y xy或解2由联合密度可见，,X Y 独立，边缘密度分别为2,1,()0,;X x xf x 其他2,01,()0,.Y y yf y 其它边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ，则·37·20,0,()(),01,1, 1.xX X x F x f u d u x x x 20,0,()(),01,1,1.yY Xy F y fv d v y y y设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则22220,00,,01,01(,)()(),01,1,,1,01,1,1,1.X Y x y x y x y F x y F x F y x xy y x y x y或6．设二维随机变量(,)X Y 在区域:01D x，||y x 内服从均匀分布，求边缘概率密度。
《概率论与数理统计》第4－7章复习第四章 随机变量的数字特征常用分布的期望与方差第五章 大数定律及中心极限定理第六章 数理统计的基本概念第七章参数估计常用概率分布的参数估计表自测题第四章﹑数字特征1. 设随机变量X 的密度函数f(x)= ⎩⎨⎧5x 4 0≤x ≤1 0 其他, 求数学期望EX 。
2.设随机变量X ～N (-1，3)，Y ～N (0，5)，Cov(X ,Y )=0.4，求D (X +Y )的值。
3. 设随机变量X 和Y 的密度函数分别为f X (x)= ⎩⎨⎧0.5， 1≤x ≤30， 其它 ，f Y (y)= ⎩⎨⎧3e -3y ， y>00， y ≤0， 若X ，Y 相互独立，求： E(XY)4. 设 X 服从参数为 λ 的普阿松分布(λ>0)，则下列6个等式中那几个是错误的。
DX=1λ, E(X)D(X) =1 , E(X 2)=E(X)[E(X)+1] , E(X) = λ , E (X - λ)2 = 0, EX=λ2+λ5．设随机变量的联合分布律为⎣⎢⎡⎦⎥⎤X ╲Y 1 2 0 1/4 1/12 2 1/6 1/2 求：(1) E(X), E(Y)；(2)D(X), D(Y)；(3) ρxy 。
6．设二维随机变量(X ，Y)的联合分布律为⎣⎢⎡⎦⎥⎤X ╲Y 0 1 3 0 0.1 0.2 0.1 1 0.2 0.4 0，求(1)E(XY); (2)Cov(X,Y)。
试问：X 与Y 是否相互独立？为什么？7. 设随机变量X 的分布律为 ⎣⎡⎦⎤X -2 0 1 2P 0.2 0.3 0.4 0.1.记Y =X 2， 求：(1)D (X )，D (Y )；(2)Cov(X,Y ), ρxy .8. 已知投资某短期项目的收益率R 是一随机变量，其分布为：⎣⎡⎦⎤R -2% 0% 3% 10%P 0.1 0.1 0.3 0.5 。
(1) 求R 的数学期望值E(R)与方差D(R)；(2) 若一位投资者在该项目上投资100万元，求他预期获得多少收益(纯利润)(万元)？9. 假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X 盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。
第四章复习题答案一、单项选择1.设随机变量X 具有分布P{X=k}=51,k=1，2，3，4，5，则E （X ）=（ B ） A.2 B.3 C.4D.52．设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B (6，21)，则E(X-Y)=（ A ）A ．-1B ．21C ．2D ．5 3．设二维随机变量(X ，Y )的协方差Cov(X ，Y )=61，且D (X )=4，D (Y )=9，则X 与Y 的相关系数XY ρ为（ B ）()(),XY Cov X Y D X D Y ρ=A ．2161 B ．361 C ．61 D ．1 4. 设随机变量X 和Y 独立同分布，X ~N (μ,σ2)，则（ B ） A.2X ~N (2μ,2σ2) B.2X -Y ~N (μ,5σ2) C.X +2Y ~N (3μ,3σ2)D.X -2Y ~N (3μ,5σ2)5.设EX 2=8，DX =4,则E (2X )=（ D ） A.1 B.2 C.3 D.46.对任意两个随机变量X 和Y ，由D （X ＋Y ）＝D (X )＋D (Y )可以推断（ A ） A.X 和Y 不相关B.X 和Y 相互独立C.X 和Y 的相关系数等于-1D.D （XY ）＝D (X )D (Y )7．已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（ D ） A ．-2 B ．0 C ．21D ．2 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～B (16，0.5)，Y 服从参数为9的泊松分布，则D (X -2Y +3)=( C )A.-14B.-11C.40D.439．已知随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的期望为（ D ）A ．-21B ．0C ．21D ．2 二、填空1.设随机变量X 服从正态分布N （2，4），Y 服从均匀分布U （3，5），则E （2X-3Y ）= ___-8___. 2．设随机变量X 与Y 相互独立，其分布律分别为则E (XY )=__2______.3．设X ，Y 为随机变量，已知协方差Cov(X ，Y )=3，则Cov(2X ，3Y )=____18___. 4．设X~N （0，1），Y~B （16，21），且两随机变量相互独立，则D(2X+Y)= __8______ 5．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=,,0;10,2)(其他x x x f 则E （X ）=__23______.6．已知E （X ）=2，E （Y ）=2，E （XY ）=4，则X ，Y 的协方差Cov （X,Y ）=____0_____. 7.设随机变量X ～N (0，4)，则E (X 2)=_____4____.8．设X ～N (0，1)，Y =2X -3，则D (Y )=____4__． 三、计算1.某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾额数X 服从泊松分布，则X~P （λ），若已知P （X=1）=P （X=2），且该柜台销售情况Y （千元），满足Y=21X 2+2.试求：（1）参数λ的值；21!2!e e λλλλ--=,=2λ.（2）一小时内至少有一个顾客光临的概率；{}{}21101-P X P X e -≥=-== （3）该柜台每小时的平均销售情况E （Y ）. ()==2E Y λ2. 2021年东京奥运会即将召开，某射击队有甲、乙两个射手，他们的射击技术可用下表给出。
概率论第四章习题答案概率论是数学中的一个重要分支，它研究了随机现象的规律性和不确定性。
在概率论的学习过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对概率论知识的理解和运用。
本文将针对概率论第四章的习题进行解答，以帮助读者更好地掌握这一章节的内容。
第一题：某班级有30名学生，其中有10名男生和20名女生。
从中随机选取2名学生，求选出的两名学生都是男生的概率。
解答：首先，计算总的样本空间。
从30名学生中选取2名学生，共有C(30, 2)= 435种可能的选法。
然后，计算选出的两名学生都是男生的样本空间。
从10名男生中选取2名学生，共有C(10, 2) = 45种可能的选法。
所以，选出的两名学生都是男生的概率为P = 45/435 = 1/9。
第二题：某班级有30名学生，其中有10名男生和20名女生。
从中随机选取4名学生，求选出的学生中至少有1名男生的概率。
解答：首先，计算总的样本空间。
从30名学生中选取4名学生，共有C(30, 4)= 27,405种可能的选法。
然后，计算选出的学生中全是女生的样本空间。
从20名女生中选取4名学生，共有C(20, 4) = 4,845种可能的选法。
所以，选出的学生中至少有1名男生的概率为P = 1 - 4,845/27,405 =22,560/27,405 ≈ 0.822。
第三题：某班级有30名学生，其中有10名男生和20名女生。
从中随机选取6名学生，求选出的学生中至少有3名男生的概率。
解答：首先，计算总的样本空间。
从30名学生中选取6名学生，共有C(30, 6) = 593,775种可能的选法。
然后，计算选出的学生中全是女生或者只有1名男生或者只有2名男生的样本空间。
从20名女生中选取6名学生，共有C(20, 6) = 38,760种可能的选法。
从10名男生中选取1名学生，共有C(10, 1) = 10种可能的选法。
从10名男生中选取2名学生，共有C(10, 2) = 45种可能的选法。
第四章 自测题参考答案与提示
时间：120分钟
一、单项选择题 (每题2分，共10分)
1．随机变量X, Y 和X+Y 的方差满足D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X 与Y (A) 不相关的充分条件，但不是必要条件； (B) 不相关的必要条件，但不是充分条件； (C) 独立的必要条件，但不是充分条件；
(D) 独立的充分必要条件。
( C ) 2．若方差D(X), D(Y)为非零数，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有
(A) X 与Y 一定相互独立； (B) X 与Y 一定不相关；
(C) D(XY)=D(X)D(Y)； (D) D(X-Y)=D(X)-D(Y)。
( B ) 3．设随机变量X 与Y 独立同分布，记U=X+Y ，V=X-Y ，则随机变量U 和V 必然
(A) 不独立；(B) 相互独立；(C) 不相关；(D) 无法判断。
( C ) 4．若随机变量X 与Y 不相关，则与之等价的条件是 (A) D(XY)=D(X)D(Y)；(B) D(X+Y)=D(X-Y)；(C) D(XY)≠D(X)D(Y)；(D) D(X+Y)≠D(X-Y)。
( B )
5．现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3张，则此人所得奖金的数学期望为
(A) 6元； (B) 12元； (C) 7.8元； (D) 9元。
( C )
二、填空题 (每题3分，共18分)
1．设D(X)=4，D(Y)=9，ρXY =0.6，则D(3X-2Y)= 28.8 。
2．已知随机变量X~N(0, σ2)(σ>0)，Y
在区间]上服从均匀分布，如果D(X-Y)=σ2， 则X 与Y 的相关系数ρXY = 1/4 。
3．二维随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X 与Y 的相关系数ρXY =-1/2，则当a = 2 时，a X+Y 与Y 相互独立。
4．设X~N(0, 4)，Y 服从指数分布，其概率密度为
12
10()2
00
x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
如果Cov(X, Y)=-1，Z=X-a Y ，Cov(X, Z)=Cov(Y , Z)，则a = -1 ，X 与Z 的相关系数 ρXZ
4。
5．设随机变量X 在区间[-1, 2]上服从均匀分布，随机变量
-1X >0Y =0
X =01X <0
⎧⎪
⎨⎪⎩
则D(Y)= 8/9 。
6．设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计P{∣X-2∣≥4}≤ 1/8 。
三、基本计算题 (共54分)
1．(10分) 设ξ, η是相互独立且服从同一分布的随机变量，已知ξ的分布律为 P{ξ=i}=1/3，i =1, 2, 3 又设X=max(ξ, η)，Y=min(ξ, η)，
求 (1) 随机变量X 的数学期望E(X)，(2) X 与Y 的相关系数ρXY 。
答：E(X)=22/9，ρXY =8/19。
提示：X 与Y 的联合分布律为：
2．(8分) 设随机变量X, Y 的相关系数ρXY =0.6，且X 与Y 的分布律分别为：
试求X 与Y 的联合分布律。
答：
提示：由边缘分布及相关系数确定联合分布，设X 与Y 的联合分布律为
3．(8分) 设(X, Y)的概率密度为 201, 01
(,)0
x y
x y f x y --≤≤≤≤⎧=⎨
⎩
其他
(1) 判别X 与Y 是否相互独立？是否相关？(2) 求 D(X+Y)。
答：(1) 不独立，相关。
(2) D(X+Y)=5/36。
解 1
X 0301()(,)(2)2
x
x f x f x y dy x y dy +∞
-∞
⎧-<<⎪=
=--=⎨⎪⎩
⎰
⎰其他
，同理
Y 301()(,)2
0y
y f y f x y dx +∞
-∞
⎧-<<⎪=
=⎨⎪⎩
⎰
其他
在0<x <1, 0<y <1内，f (x , y )≠f X (x )⋅f Y (y )，所以X 与Y 不相互独立。
1
35E (X )(,)(
)2
12
xf x y dxdy x x dx +∞+∞
-∞-∞
=
=
-=
⎰⎰
⎰
，由x 与y 的对称性知 E(Y)=
512
111
21E (X Y )(,)(2)(
)3
3
6
x xyf x y dxdy xdx y x y dy x dx +∞+∞-∞-∞=
=
--=
-
=
⎰⎰
⎰
⎰⎰
1
2
2
2
2
X 0
31E (X )()(
)E (Y )2
4
x f x dx x x dx +∞
-∞
=
=
-=
=⎰
⎰
D(X)=E(X 2)-(E(X))2=11/144=D(Y)，Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-1/144，
X Y 1ρ11
=
=-
，ρXY ≠0，故X 与Y 相关。
因此 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X, Y)=5/36, 。
4．(10分)设(X, Y)的联合概率密度为 1, 0<<1
(,)0
y x x f x y ⎧<=⎨
⎩其他
求 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，ρXY 。
答：E(X)=2/3，E(Y)=0(由奇偶性及对称性)，D(X)=1/18，D(Y)=1/6，ρXY =0。
提示：利用公式D(X)=E(X 2)-(E(X))2
及X Y ρ=
5．(8分) 设随机变量X 1, X 2, …, X n 相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布， 求Z=min{ X 1, X 2, …, X n }的数学期望与方差。
答：E(Z)=1/n ，D(Z)=1/n 2。
提示：F Z (z)=1-(1-F X (z))n 。
6．(10分) 某系某班共有n 名新生，班长从系里领来他们所有的学生证，随机地发给每一同学，
求恰好拿到自己的学生证的人数X 的数学期望与方差。
答：E(X)=1，D(X)=1。
提示：采用随机变量的分解方法求数学期望。
设
1X 1, 2, , 0
i i i i n ⎧==⎨
⎩ 若第名学生拿到自己的学生证若第名学生没拿到自己的学生证
，
则 X=X 1+X 2+…+X n ， 注意：X 1，X 2，…，X n 不相互独立， 因此在计算方差时，应利用公式
1
1
1D (X )D (X )D (X
)2
(X ,X )n
n
i i
i j i i i j n
C ov ==≤<≤==
+∑∑∑
四、综合题 (共18分)
1．(8分) 设某种商品每周需求量X 是服从区间[10, 30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10, 30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每单位商品仅获利300元，
求最优进货量。
答： 23单位商品（近似值）。
提示：求进货量a =何值时E(X)最大。
2．(10分) 设X 1, X 2, …, X n (n>2)为独立同分布的随机变量，且均服从N(0, 1)，记
n
1
1
X =
X n
i
i =∑， Y i =X i -X ，i =1, 2, …, n
求 (1) Y i 的方差D(Y i )，i =1, 2, …, n ；
(2) Y 1与Y n 的协方差Cov(Y 1, Y n )；
(3) P{Y 1+Y n ≤0}。
答：D(Y i )=(n-1)/n ，Cov(Y 1, Y n )=-1/n ，P{Y 1+Y n ≤0}=1/2。
提示：Cov(Y 1, Y n )=E(Y 1Y n )-E(Y 1)⋅E(Y n )=E （(X 1-X )(X n -X )）。
