2016-2017年北京市西城区高三上学期期末数学试卷(文科)及答案解析

北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2018.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B = （A ）{|13}x x -<< （B ）{|10}x x -<< （C ）{|02}x x << （D ）{|23}x x <<2．在复平面内，复数2i1i-对应的点的坐标为 （A ）(1,1)（B ）(1,1)-（C ）(1,1)--（D ）(1,1)-3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是 （A ）1y x =-+（B ）2(1)y x =-（C ）sin y x =（D ）1y x =4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）2 （B ）6 （C ）30 （D ）2705．若122log log 2a b +=，则有（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）4a b = （D ）4b a =6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的 三视图如图所示，则截去．．的几何体是（A ）三棱锥（B ）三棱柱（C ）四棱锥（D ）四棱柱7．函数()sin()f x x ϕ=+的图象记为曲线C ．则“(0)(π)f f =”是“曲线C 关于直线π2x =对称”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是 （A ）(,1)-∞- （B ）(,2)-∞-（C ）(,3)-∞-（D ）(,4)-∞-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若函数()()f x x x b =+是偶函数，则实数b =____．10．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点是(2,0)F，其渐近线方程为y =，该双曲线的方程是____．11．向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么⋅=a b ____．12．在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC，则b =____；c =____．13．已知点(,)M x y 的坐标满足条件10,10,10.x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥设O 为原点，则OM 的最小值是____．14．已知函数2,2,()1,3.x x x c f x c x x ⎧+-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域是1[,2]4-，则实数c 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当π[0,]2x ∈时，1()2f x -≥．16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是公比为13的等比数列，且26a +是1a 和3a 的等差中项．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，求n T 的最大值．17．（本小题满分13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A ，B 两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为1A 的学生中有40%是男生，等级为2A 的学生中有一半是女生．等级为1A 和2A 的学生统称为A 类学生，等级为1B 和2B 的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图．表1 图2（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A 类学生的人数； （Ⅱ）某5人得分分别为45,50,55,75,85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B 类学生”的概率；（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B 类女生占女生总数的比例为1k ， B 类男生占男生总数的比例为2k ．判断1k 与2k 的大小．（只需写出结论）18．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，1AA AC =.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F .（Ⅰ）求证：1AC ⊥平面1ABC ； （Ⅱ）求证：1//A A EF ；（Ⅲ）记四棱锥11B AA EF -的体积为1V ，三棱柱111ABC A B C -的体积为V .若116V V =，求BFBC的值.19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q 在椭圆C 上．试问直线40x y +-=上是否存在点P ，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）已知函数2()ln 2f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为(2)(1)f f -；（Ⅲ）比较(1.01)f 与 2.01-的大小，并加以证明．北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2018.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．B 3．D 4．C 5．C 6．B 7．C 8．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．0 10．2213y x -= 11．412．1 13 14．1[,)4-+∞；1[,1]2注：第12，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ππ1cos2(cos2cos sin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分]32cos 212x x =-+[ 5分]π)13x -+， [ 7分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ==． [ 8分] （Ⅱ）因为 π2x ≤≤0，所以 ππ2π2333x --≤≤． [10分]所以 ππsin(2)sin()33x --=≥ [12分]所以 1()2f x -≥． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 26a +是1a 和3a 的等差中项，所以 2132(6)a a a +=+． [ 2分]因为数列{}n a 是公比为13的等比数列，所以 1112(6)39a aa +=+， [ 4分]解得 127a =． [ 6分]所以 1411()3n n n a a q --=⋅=． [ 8分]（Ⅱ）令1n a ≥，即41()13n -≥，得4n ≤， [10分]故正项数列{}n a 的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1． [11分] 所以 当3n =，或4n =时，n T 取得最大值， [12分]n T 的最大值为 34123729T T a a a ==⋅⋅=． [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意得，样本中B 类学生所占比例为(0.020.04)1060%+⨯=， [ 2分]所以A 类学生所占比例为40%． [ 3分] 因为全市高中学生共20万人，所以在该项测评中被评为A 类学生的人数约为8万人． [ 4分] （Ⅱ）由表1得，在5人（记为,,,,a b c d e ）中，B 类学生有2人（不妨设为,b d ）． 将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种． [ 6分]依次为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),ab cde ac bde ad bce ae bcd bc ade bd ace be acd cd abe(,),(,)ce abd de abc ． [ 8分]所以“甲、乙两组各有一名B 类学生”的概率为63105=． [10分] （Ⅲ）12k k <． [13分] 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ） 因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． [ 2分]在三棱柱111ABC A B C -中，因为 1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形，所以 11A C AC ⊥． [ 3分]所以 1AC ⊥平面1ABC ． [ 5分] （Ⅱ）在 三棱柱111ABC A B C -中，因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ， [ 6分] 所以 1//A A 平面11BB C C ． [ 8分] 因为 平面1AA EF 平面11BB C C EF =，所以 1//A A EF ． [10分] （Ⅲ）记三棱锥1B ABF -的体积为2V ，三棱柱11ABF A B E -的体积为3V .因为三棱锥1B ABF -与三棱柱11ABF A B E -同底等高， 所以 2313V V =， [11分] 所以 1233213V V V V =-=. 因为116V V =， 所以 3131624V V =⨯=. [12分] 因为 三棱柱11ABF A B E -与三棱柱111ABC A B C -等高， 所以 △ABF 与△ABC 的面积之比为14， [13分] 所以14BF BC =． [14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =． [ 2分]所以椭圆C 的方程为2214x y +=． [ 3分]设椭圆C 的半焦距为c ，则 c = [ 4分]所以椭圆C 的离心率c e a ==． [ 5分]（Ⅱ）由已知，设(,4)P t t -，00(,)Q x y ． [ 6分]若PAQB 是平行四边形，则 PA PB PQ +=， [ 8分]所以 00(2,4)(,3)(,4)t t t t x t y t --+--=--+，整理得 002, 3x t y t =-=-． [10分]将上式代入 220044x y +=，得 22(2)4(3)4t t -+-=， [11分] 整理得 2528360t t -+=，解得 185t =，或2t =． [13分] 此时 182(,)55P ，或(2,2)P ．经检验，符合四边形PAQB 是平行四边形，所以存在 182(,)55P ，或(2,2)P 满足题意． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数2()ln 2f x x x x =-的定义域是(0,)+∞，导函数为()2ln 2f x x x x '=+-． [ 1分] 所以(1)1f '=-， 又(1)2f =-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =--． [ 3分] （Ⅱ）由已知(2)(1)4ln 22f f -=-． [ 4分]所以只需证明方程 2ln 24ln 22x x x +-=-在区间(1,2)有唯一解．即方程 2ln 4ln 20x x x +-=在区间(1,2)有唯一解． [ 5分] 设函数 ()2ln 4ln 2g x x x x =+-， [ 6分]则 ()2ln 3g x x '=+．当 (1,2)x ∈时，()0g x '>，故()g x 在区间(1,2)单调递增． [ 7分] 又 (1)14ln 20g =-<，(2)20g =>，所以 存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0g x =． [ 8分] 综上，存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为(2)(1)f f -． [ 9分]（Ⅲ）(1.01) 2.01f >-．证明如下： [10分]首先证明：当1x >时，()1f x x >--．设 2()()(1)ln 1h x f x x x x x =---=-+， [11分] 则 ()2ln 1h x x x x '=+-．当 1x >时，10x ->，2ln 0x x >，所以 ()0h x '>，故()h x 在(1,)+∞单调递增， [12分]第 11 页 共 11 页 所以 1x >时，有()(1)0h x h >=，即当 1x >时，有()1f x x >--．所以 (1.01) 1.011 2.01f >--=-． [13分]。

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2017.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =-≤，那么AB =（A ）{|01}x x <≤ （B ）{|12}x x -<≤ （C ）{|10}x x -<≤（D ）{|12}x x <≤2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（A ）21y x =+（B ）tan y x = （C ）2xy =（D ）sin y x x =+3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x ±= （B 0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=4．在极坐标系中，过点(2,)6P π且平行于极轴的直线的方程是（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 （A ）3（B ）（C ）6（D ）6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7．实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a的取值范围是 （A ）[1,0]- （B ）[0,1]（C ）[1,1]-（D ）(,1][1,)-∞-+∞8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则||OP 的取值范围是 （A）1] （B ）[1,3] （C）1,2] （D）1]第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数1i1i+=-____．10．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，则n a =____；6S =____．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．12．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____．13．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤ 其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ， 90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ； （Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a ，b 是正整数，且a b <．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数； （Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．18．（本小题满分13分）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分13分）数字1,2,3,,(2)n n ≥的任意一个排列记作12(,,,)n a a a ，设n S 为所有这样的排列构成的集合．集合12{(,,,)|n n n A a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j --≤；集合12{(,,,)|n n n B a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j ++≤．（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ； （Ⅱ）求集合nn A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．12n -；63 11． 3-12 13[4,9) 14．16 注：第10，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [4分]12cos 22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ω==, 解得 1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为 7π12x ≤≤0，所以 ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为2-． [13分]解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥， [ 1分]又因为 AB PA ⊥，所以 AB ⊥平面PAD ． [ 3分] 所以 平面PAD ⊥平面ABCD ． [ 4分] （Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ． [ 5分] 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为 //BC AD ，12BC AD =，所以 //BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ． [7分]又 BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ． [ 8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 9分] 设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ． 所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=． 设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ． [11分] 因为DC 与平面PAB 所成角为30，所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉===|n n n ， 解得 1a =． [13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分]解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时． [ 3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3． [ 4分]4711(0)35C P X ===； 133447C C 12(1)35C P X ===； 223447C C 18(2)35C P X ===； 3447C 4(3)35C P X ===． [ 8分] 所以，X 的分布列为：[10分]（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =． [13分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞， [ 1分]导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-． [ 2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，所以 (1)1f '=-， 即 11a -=-， [ 3分] 所以 2a =． [ 4分] （Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以 对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥． [ 6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，所以 11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥． [ 8分] 令 ()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-． [10分] 因为 (0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以 (0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g <=． [12分] 所以 1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±， 所以||AB = [ 2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3， [ 4分]所以 △MAB面积的最大值是2． [ 5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而 2224t n +=． [ 6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±． [ 7分]直线MA 的方程为 00()y ny n x t x t--=--， [ 8分] 令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而 000ty nx OE y n-=-． [ 9分]直线MB 的方程为00()y ny n x t x t++=--， [10分] 令0y =，得000ty nx x y n +=+，从而 000ty nx OF y n+=+． [11分]所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()222202204242=n y n y y n ---- [13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =． [ 3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a ．由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤， 所以 ()()i j a i i a j j -+<-+， 所以 i j a a <．由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a 是1,2,3,,n 的单调递增排列，所以{(1,2,3,,)}n A n =． [ 5分]又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤， 都有 i j a i a j ++≤． 所以 (1,2,3,,)n n B ∈， 所以 n n A B ⊆． [ 7分]所以集合nn A B 的元素个数为1． [ 8分]（Ⅲ）由（Ⅱ）知，0n b ≠．因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =．当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a ．（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤， 所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥， 又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-． 依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =． 所以 11a =．此时 满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ③ 若2k n <<，只要1231(,,,)k a a a a -是1,2,3,,1k -的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n 的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1k b -个． [10分]（2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a -是1,2,3,,1n -的满足条件的排列，此时 满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1n b -个． 综上 23111n n b b b b -=+++++，3n ≥． 因为 3221142b b b =++==，且当4n ≥时，23211(11)2n n n n b b b b b b ---=++++++=， [12分] 所以 对任意*n ∈N ，3n ≥，都有12n n b b -=． 所以 {}n b 成等比数列． [13分]。

2016-2017学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0） D．（0，2）2．（5分）已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．2 B．C．D．3．（5分）给出下列判断，其中正确的是（）A．三点唯一确定一个平面B．一条直线和一个点唯一确定一个平面C．两条平行线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内D．空间两两相交的三条直线在同一平面内4．（5分）“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m＜0 6．（5分）下列直线中，与直线2x+y+1=0平行且与圆x2+y2=5相切的是（）A．2x+y+5=0 B．x﹣2y+5=0 C．D．7．（5分）F是抛物线y2=4x的焦点，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则点P的纵坐标为（）A．±3 B． C．±2 D．±18．（5分）如图，E为正四棱锥P﹣ABCD侧棱PD上异于P，D的一点，给出下列结论：①侧面PBC可以是正三角形；②侧面PBC可以是直角三角形；③侧面PAB上存在直线与CE平行；④侧面PAB上存在直线与CE垂直．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①③④C．②④D．①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是．10．（5分）如果直线ax+2y﹣3=0与2x﹣y=0垂直，那么a等于．11．（5分）双曲线x2﹣=1的离心率是，渐近线方程是．12．（5分）一个直三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD=DC=CB=1，，对角线．将△ACD沿AC所在直线翻折，当AD⊥BC时，线段BD的长度为．14．（5分）学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E 是PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）证明：BD⊥CE．16．（13分）已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．17．（13分）如图，在平面ABCD中，AB⊥平面ADE，CD⊥平面ADE，△ADE是等边三角形，AD=DC=2AB=2，F，G分别为AD，DE的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积；（Ⅲ）判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明．18．（13分）过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于两点C，D，与直线x=2交于点E．（Ⅰ）若直线l的斜率为2，求|CD|；（Ⅱ）设O为坐标原点，若S△ODE ：S△OCE=1：3，求直线l的方程．19．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，．M，N分别为BC和AA 1的中点，P为侧棱BB1上的动点．（Ⅰ）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）若P为线段BB1的中点，求证：CN∥平面AMP；（Ⅲ）试判断直线BC1与PA能否垂直．若能垂直，求出PB的值；若不能垂直，请说明理由．20．（14分）已知抛物线y2=2x，两点M（1，0），N（3，0）．（Ⅰ）求点M到抛物线准线的距离；（Ⅱ）过点M的直线l交抛物线于两点A，B，若抛物线上存在一点R，使得A，B，N，R四点构成平行四边形，求直线l的斜率．2016-2017学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0） D．（0，2）【解答】解：由双曲线得a2=3，b2=1，则c2=a2+b2=4，则c=2，故双曲线的一个焦点坐标为（2，0），故选：C2．（5分）已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：由题意可知：椭圆的长轴长是焦距的2倍，即2a=2×2c，即a=2c，由椭圆的离心率e==，∴椭圆的离心率e=，故选D．3．（5分）给出下列判断，其中正确的是（）A．三点唯一确定一个平面B．一条直线和一个点唯一确定一个平面C．两条平行线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内D．空间两两相交的三条直线在同一平面内【解答】解：在A中，不共线的三点唯一确定一个平面，故A错误；在B中，一条直线和直线外一个点唯一确定一个平面，故B错误；在C中，两条平行线与同一条直线相交，由由公理三及推论得三条直线在同一平面内，故C正确；在D中，空间两两相交的三条直线在同一平面内或在三个不同的平面内，故D 错误．故选：C．4．（5分）“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：若“mn＜0”，则m、n均不为0，方程mx2+ny2=1，可化为+=1，若“mn＜0”，、异号，方程+=1中，两个分母异号，则其表示双曲线，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；反之，若mx2+ny2=1表示双曲线，则其方程可化为+=1，此时有、异号，则必有mn＜0，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得：“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件；故选C．5．（5分）设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m＜0【解答】解：命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是命题“若方程x2=m 没有实根，则m＜0”，故选：D6．（5分）下列直线中，与直线2x+y+1=0平行且与圆x2+y2=5相切的是（）A．2x+y+5=0 B．x﹣2y+5=0 C．D．【解答】解：设直线方程为2x+y+c=0，圆心到直线的距离d==，∴c=±5，故选A．7．（5分）F是抛物线y2=4x的焦点，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则点P的纵坐标为（）A．±3 B． C．±2 D．±1【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l为x=﹣1，设抛物线的点P（m，n），则由抛物线的定义，可得|PF|=d（d为P到准线的距离），即有m+1=3，解得，m=2，∴n2=8，解得n=±2故选：B8．（5分）如图，E为正四棱锥P﹣ABCD侧棱PD上异于P，D的一点，给出下列结论：①侧面PBC可以是正三角形；②侧面PBC可以是直角三角形；③侧面PAB上存在直线与CE平行；④侧面PAB上存在直线与CE垂直．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①③④C．②④D．①④【解答】解：由E为正四棱锥P﹣ABCD侧棱PD上异于P，D的一点，知：在①中，当侧棱PB与底面边长相等时，侧面PBC是正三角形，故①正确；在②中，∵正四棱锥P﹣ABCD中PB=PC=PA=PD，∴当侧面PBC是直角三角形时，∠BPC=∠CPD=∠DPA=∠APB=90°，∵∠BPC=∠CPD=∠DPA=∠APB=90°不成立，故侧面PBC不可以是直角三角形，故②错误；在③中，若侧面PAB上存在直线与CE平行，则E与D点一定重合，与已知为正四棱锥P﹣ABCD侧棱PD上异于P，D的一点矛盾，故侧面PAB上不存在直线与CE平行，故③错误；在④中，侧面PAB上一定存在直线与CE垂直，故④正确．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．【解答】解：因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．10．（5分）如果直线ax+2y﹣3=0与2x﹣y=0垂直，那么a等于1．【解答】解：∵直线ax+2y﹣3=0与2x﹣y=0垂直，∴2a+2×（﹣1）=0，解得a=1．故答案为：1．11．（5分）双曲线x2﹣=1的离心率是2，渐近线方程是y=．【解答】解：双曲线x2﹣=1中，a=1，b=，c=2，∴e==2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2，y=．12．（5分）一个直三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为4．【解答】解：由三视图可得：该几何体的两个侧面都为边长为2的正方形，底面是等腰直角三角形，直三棱柱的高为2．∴该三棱柱的体积==4．故答案为：4．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD=DC=CB=1，，对角线．将△ACD沿AC所在直线翻折，当AD⊥BC时，线段BD的长度为．【解答】解：∵AD⊥BC，又∵在△ABC中，AC=，BC=1，AB=，∴AC2+BC2=AB2，可得：AC⊥BC，AD∩AC=A，∴BC⊥平面ADC，又∵BD⊂平面BCD，∴BC⊥CD，∵CD=BC=1，∴BD===．故答案为：．14．（5分）学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为y2=x．【解答】解：碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；设方程为y2=2px（p＞0），则将点（a，m），（a+h，n）代入抛物线方程可得m2=2pa，n2=2p（a+h），可得2p=，∴抛物线方程为y2=x．故答案为碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；y2=x．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E 是PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）证明：BD⊥CE．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点．又因为E是PA的中点，所以PC∥OE，…（3分）因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）（Ⅱ）因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．…（8分）因为PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．…（10分）又因为AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC，…（12分）又CE⊂平面PAC，所以BD⊥CE．…（13分）16．（13分）已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），依题意，有，即a2﹣6a+9=a2+2a+1，解得a=1，（2分）所以r2=（1﹣1）2+（3﹣1）2=4，（4分）所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（5分）（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，所以直线x=2符合题意．（6分）设直线l方程为y+2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣2=0，则，解得，所以直线l的方程为，即4x+3y﹣2=0．（9分）综上，直线l的方程为x﹣2=0或4x+3y﹣2=0．（10分）17．（13分）如图，在平面ABCD中，AB⊥平面ADE，CD⊥平面ADE，△ADE是等边三角形，AD=DC=2AB=2，F，G分别为AD，DE的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积；（Ⅲ）判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为F为等边△ADE的边AD的中点，所以EF⊥AD．…（2分）因为AB⊥平面ADE，AB⊂平面ABCD，所以平面ADE⊥平面ABCD．…（4分）所以EF⊥平面ABCD．…（5分）解：（Ⅱ）因为AB⊥平面ADE，CD⊥平面ADE，所以AB∥CD，∠ADC=90°，四边形ABCD是直角梯形，…（7分）又AD=DC=2AB=2，所以，…（8分）又．所以．…（9分）（Ⅲ）结论：直线AG∥平面BCE．证明：取CE的中点H，连结GH，BH，因为G是DE的中点，所以GH∥DC，且GH=．…（11分）所以GH∥AB，且GH=AB=1，所以四边形ABHG为平行四边形，AG∥BH，…（12分）又AG⊄平面BCE，BH⊂平面BCE．所以AG∥平面BCE．…（13分）18．（13分）过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于两点C，D，与直线x=2交于点E．（Ⅰ）若直线l的斜率为2，求|CD|；（Ⅱ）设O为坐标原点，若S△ODE ：S△OCE=1：3，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知，c=1，F（1，0），直线l的方程为y=2x﹣2．…（1分）设C（x1，y1），D（x2，y2），联立，消y得9x2﹣16x+6=0，…（3分）由韦达定理可知：，，…（4分）∴…（5分）=．∴|CD|=；…（6分）（Ⅱ）依题意，设直线l的斜率为k（k≠0），则直线l的方程为y=k（x﹣1），联立，消y得（1+2k2）x2﹣4k2x+（2k2﹣2）=0，…（7分）由韦达定理可知：…①，…②…（8分）∵S△ODE ：S△OCE=1：3，∴|DE|：|CE|=1：3，，∴2﹣x1=3（2﹣x2），整理得3x2﹣x1=4…③…（10分）由①③得，，…（11分）代入②，解得k=±1，…（12分）∴直线l的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．…（13分）19．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，．M，N分别为BC和AA 1的中点，P为侧棱BB1上的动点．（Ⅰ）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）若P为线段BB1的中点，求证：CN∥平面AMP；（Ⅲ）试判断直线BC1与PA能否垂直．若能垂直，求出PB的值；若不能垂直，请说明理由．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由已知，M为BC中点，且AB=AC，所以AM⊥BC．…（1分）又因为BB1∥AA1，且AA1⊥底面ABC，所以BB1⊥底面ABC．所以BB1⊥AM，…（3分）所以AM⊥平面BB1C1C．所以平面AMP⊥平面BB1C1C．…（5分）（Ⅱ）连结BN，交AP于Q，连结MQ，NP．因为N，P分别为AA1，BB1中点，所以AN∥BP，且AN=BP．所以四边形ANPB为平行四边形，…（7分）Q为BN中点，所以MQ为△CBN的中位线，所以CN∥MQ．…（8分）又CN⊄平面AMP，MQ⊂平面AMP，所以CN∥平面AMP．…（9分）解：（Ⅲ）假设直线BC1与直线PA能够垂直，又因为AM⊥BC1，所以BC1⊥平面APM，所以BC1⊥PM．…（10分）设PB=x，．当BC1⊥PM时，∠BPM=∠B1C1B，所以Rt△PBM∽Rt△B1C1B，所以．…（12分）因为，所以，解得．…（13分）因此直线BC 1与直线PA不可能垂直．…（14分）20．（14分）已知抛物线y2=2x，两点M（1，0），N（3，0）．（Ⅰ）求点M到抛物线准线的距离；（Ⅱ）过点M的直线l交抛物线于两点A，B，若抛物线上存在一点R，使得A，B，N，R四点构成平行四边形，求直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）由已知，抛物线y2=2x的准线方程为．所以，点M到抛物线准线的距离为．（Ⅱ）设直线l：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），由得k2x2﹣（2k2+2）x+k2=0，所以，x1x2=1．①N，R在直线AB异侧，A，B，N，R四点构成平行四边形，则AB，NR互相平分．所以，x1+x2=x R+x N，y1+y2=y R+y N，所以，，.．将（x R，y R）代入抛物线方程，得，即，解得k=0，不符合题意．②若N，R在直线AB同侧，A，B，N，R四点构成平行四边形，则AR，BN互相平分．所以，x1+x R=x2+x N，y1+y R=y2+y N，所以，x R=x2﹣x1+3，y R=y2﹣y1．代入抛物线方程，得，又，，所以，注意到，解得，y1=±1．当y1=1时，，k=﹣2；当y1=﹣1时，，k=2．所以k=±2．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|}A x x a =>，集合{1,1,2}B =-，若A B B =，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(1,)+∞ （B ）(,1)-∞（C ）(1,)-+∞（D ）(,1)-∞-【答案】D 【解析】 试题分析：由AB B =，知B A ⊆，所以1a <-，故选D ．考点：集合的运算，集合的关系．2. 下列函数中，值域为[0,)+∞的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）lg y x = （C ）||y x = （D ）cos y x x = 【答案】C 【解析】试题分析：B ，D 不是偶函数，A 是偶函数，但值域为[1,)+∞，C 是偶函数，值域也是[0,)+∞．故选C ． 考点：函数的奇偶性与值域．3．设M 是ABC ∆所在平面内一点，且BM MC =，则AM =（ ）（A ）AB AC - （B ）AB AC + （C ）1()2AB AC - （D ）1()2AB AC +【答案】D 【解析】试题分析：AM AB BM =+，又AM AC CM AC MC =+=-，所以2AM AB AC =+，即1()2AM AB AC =+．故选D ． 考点：向量的线性运算．4．设命题p ：“若e 1x >，则0x >”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为真命题（C ）“p ⌝”为真命题 （D ）以上都不对 【答案】B 【解析】试题分析：命题p ：“若1x e >，则0x >”是真命题， 命题q ：“若a ＞b ，则11a b<”，如：a=1，b=﹣1，故命题q 是假命题， 故p∨q 是真命题， 故选：B ．考点：复合命题的真假． 考点：5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ）（A）16+ （B）16+ （C）20+ （D）20+【答案】B 【解析】试题分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱， 其底面面积为：×（1+2）×2=3， 底面周长为：高为：2，故四棱柱的表面积S=2×3+（16+， 故选：B侧(左)视图正(主)视图俯视图考点：由三视图求面积、体积．6. “0mn <”是“曲线221x y m n+=是焦点在x 轴上的双曲线”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：“曲线221x y m n+=是焦点在x 轴上的双曲线”，则0,0m n ><，0mn <，但当0mn <时，可能有0,0m n <>，此时双曲线的焦点在y 轴上，因此“0mn <”是“曲线221x ym n+=是焦点在x 轴上的双曲线”的必要而不充分条件．故选B ． 考点：充分必要条件7. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ）（A ）32 （B ）32- （C ）14 （D ）14- 【答案】C 【解析】试题分析：由约束条件13y x x y y m -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩作出可行域如图，联立13y x x y -=⎧⎨+=⎩，解得A （1，2），联立1y my x =⎧⎨-=⎩，解得B （m ﹣1，m ），化z=x+3y ，得33x zy =-+． 由图可知，当直线33x zy =-+过A 时，z 有最大值为7，当直线33x zy =-+过B 时，z 有最大值为4m ﹣1， 由题意，7﹣（4m ﹣1）=7，解得：m=14．故选：C ．考点：简单线性规划．8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（ ）（A ）12[]42y x =-+ （B ）12[]52y x =-+ （C ）12[]42y x =++ （D ）12[]52y x =++ 【答案】D 【解析】试题分析：由已知中，超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）； 当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元． 可得：当x ＞4时，所收费用y=12+[x ﹣4+12]×2+1=12[]52x ++， 故选：D考点：程序框图；分段函数的应用；函数模型的选择与应用．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____. 【答案】13i -- 【解析】试题分析：由z （1+i ）=2﹣4i ，得24(24)(1)26131(1)(1)2i i i iz i i i i -----====--++-． 故答案为：﹣1﹣3i ．考点：复数代数形式的乘除运算．10．若抛物线22C y px =：的焦点在直线30x y +-=上，则实数p =____；抛物线C 的准线方程为____. 【答案】6 ， 3x =- 【解析】试题分析：抛物线2:2C y px =的焦点是(,0)2p ，由题意的0302p+-=，6p =，准线方程为3x =-． 考点：抛物线的几何性质．11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5,3.5)内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：[0.5,1.5)，[1.5, 2.5)，[2.5,3.5)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有_____人.【答案】9 【解析】试题分析：由直方图知抽取的10人中完成作业的时间多于2.5个小时的有100.11⨯=人，因此完成作业的时间小于2.5个小时的有10－1＝9人． 考点：频率分布直方图12．已知函数()f x 的部分图象如图所示，若不等式2()4f x t -<+<的解集为(1,2)-，则实数t 的值为____.【答案】1 【解析】试题分析：由题意03x t <+<，3t x t -<<-，所以132t t -=-⎧⎨-=⎩，1t =．考点：函数的单调性．13. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若πsin cos()2A B =-，3a =，2c =，则cos C =____；∆ABC 的面积为____.【答案】79，【解析】试题分析：由已知sin cos()sin 2A B B π=-=，又,A B 是三角形的内角，所以A B =，所以3b a ==，则2222223327cos 22339a b c C ab +-+-===⨯⨯，sin C ===，11sin 3322ABC S ab C ∆==⨯⨯=． 考点：余弦定理，三角形的面积．14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （恒温，单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时.○1 该食品在8C 的保鲜时间是_____小时；○2 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.（填“是”或“否”） 【答案】①4 ， ②是 【解析】试题分析：①∵食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系664,02,0kx x t x +≤⎧=⎨>⎩且该食品在4℃的保鲜时间是16小时． ∴24k+6=16，即4k+6=4，解得：k=﹣12， ∴16264,02,0x x t x -+≤⎧⎪=⎨⎪>⎩，当x=8时，t=4，故①该食品在6℃的保鲜时间是4小时；②到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故填是．考点：命题的真假判断与应用．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等比数列，并且123,1,a a a +是公差为3-的等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b a =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，证明：163n S <. 【答案】（Ⅰ）42n n a -=；（Ⅱ）证明见解析．（Ⅱ）证明：因为122214n n n n b a b a ++==， 所以数列{}n b 是以124b a ==为首项，14为公比的等比数列. ……………… 8分所以14[1()]4114n n S -=- ……………… 11分 16116[1()]343n =-<. ……………… 13分 考点：等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和． 16．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin )f x x x x =+，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若(0,π)x ∈，求函数()f x 的单调增区间. 【答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ）增区间为π(0]12,，7π[,π)12.（Ⅱ）由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ， ……………… 9分得5ππππ+1212x k k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ……………… 11分 所以当(0,π)x ∈时，()f x 的增区间为π(0]12,，7π[,π)12. ……………… 13分（注：或者写成增区间为π(0)12,，7π(,π)12. ）考点：三角函数的周期，单调性． 17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,6AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ； （Ⅲ）当12PM MD =时，求四棱锥M ECDF -的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）24． 【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥AC．EF⊥AC．推出PA⊥底面ABCD ，即可说明PA⊥EF，然后证明EF⊥平面PAC ． （Ⅱ）证明MF∥PA，然后证明MF∥平面PAB ，EF∥平面PAB ．即可证明平面MEF∥平面PAB ，从而证明ME∥平面PAB ．（Ⅲ）四棱锥M ECDF -的底面面积是四边形ABCD 面积的一半，高为点M 到平面ABCD 的距离，实际上有已知12PM MD =得23DM DP =，因此点M 到平面ABCD 的距离与点P 到平面ABCD 的距离的距离之比为23，而P 到平面ABCD 的距离的距离就是PA 的长，由此体积易得． 试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分 又因为PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………5分FADPM（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB . ………………7分同理，得//EF 平面PAB .又因为=MF EF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………9分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………10分（Ⅲ）在PAD ∆中，过M 作//MN PA 交AD 于点N （图略），由12PM MD =，得23MN PA =， 又因为6PA =，所以4MN =， ……………… 12分因为PA ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ，所以四棱锥M ECDF -的体积1166424332M ECDF ECDF V S MN -⨯=⨯⨯=⨯⨯=. …… 14分 考点：线面垂直的判断，线面平行的判断，几何体的体积．18．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：F CAD PMB E（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求x y +的值；（Ⅱ）如果6x =，10y =，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a ，b ，求b a ≥的概率；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）15；（Ⅱ）12；（Ⅲ）x 的可能取值为6，7，8. 【解析】试题分析：（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，说明,x y 中至少有一个小于6，从而可得15x y +≤，又在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，可得14x y +>，从而得15x y +=．本小题只要按常规想法分析题意即可；（Ⅱ）把,a b 组成有序数对(,)a b ，这样总的事件可通过列举法列举出来，总数为16，满足a b ≥的有8种，概率可得；（Ⅲ）由平均得分相同得14x y +=， 又由乙的发挥更稳定，知乙的成绩与均值偏差较小（这样方差较小），因此,x y 的值不小于6，不大于9，这样可得x 的可能值是6，7，8．试题解析：（Ⅰ）由题意，得79669944x y ++++++>，即14x y +>. ……………… 2分 因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于6分的概率不为零，所以,x y 中至少有一个小于6， ……………… 4分又因为10,10x y ≤≤，且,x y ∈N ，所以15x y +≤，所以15x y +=. ……………… 5分（Ⅱ）设 “从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足b a ≥”为事件M ，……………… 6分记甲的4局比赛为1A ，2A ，3A ，4A ，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛为1B ，2B ，3B ，4B ，各局的得分分别是7，9，6，10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种， 它们是：11(,)A B ， 12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，34(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ，44(,)A B . ……………… 7分而事件M 的结果有8种，它们是：13(,)A B ，23(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ， ……………… 8分因此事件M 的概率81()162P M ==. ……………… 10分 （Ⅲ）x 的可能取值为6，7，8. ……………… 13分考点：古典概型，统计的应用．19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x A 在椭圆C 上，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且l 与圆225x y +=的相交于不在坐标轴上的两点1P ，2P ，记直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值. 【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值14-． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a ，b 然后求出椭圆的方程． （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，验证直线OP 1，OP 2的斜率之积．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m 与椭圆联立，利用直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，推出m 2=4k 2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k 1•k 2为定值即可．试题解析：（Ⅰ）由题意，得c a =a 2=b 2+c 2，…又因为点A 在椭圆C 上，所以221314a b+=， 解得a=2，b=1，c =所以椭圆C 的方程为2214x y +=．… （Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x 2+y 2=5．…证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x 2+y 2=r 2（r ＞0）．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m ．… 由方程组2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得（4k 2+1）x 2+8kmx+4m 2﹣4=0，… 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即m 2=4k 2+1．… 由方程组222y kx mx y r =+⎧⎨+=⎩得（k 2+1）x 2+2kmx+m 2﹣r 2=0，… 则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->．设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -=+，… 设直线OP 1，OP 2的斜率分别为k 1，k 2， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x M k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+，… 将m 2=4k 2+1代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+=+-． 要使得k 1k 2为定值，则224141r r-=-，即r 2=5，验证符合题意．所以当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足k 1k 2为定值14-．… 当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为x=±2，此时，圆x 2+y 2=5与l 的交点P 1，P 2也满足1214k k =-． 综上，当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值14-． 考点：圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．20．（本小题满分13分） 已知函数21()2f x x x =+，直线1l y kx =-：. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线；（Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由.【答案】（Ⅰ）极小值(1)3f =，无极大值；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）当2k =时，曲线()y f x =与直线l 没有交点，而当2k ≠时，曲线()y f x =与直线l 有且仅有一个交点.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出导函数'()f x ，解方程'()0f x =，列出相应表格，确定函数的单调性，以确定极点是极大值还是极小值；（Ⅱ）用反证法，假设有一条直线是切线，同时设切点是00(,)x y ，由此写出此切点处的切线方程，与直线1y kx =-比较，看能否解出0x ，如不能解出（无实解），说明切线不存在，如能解出0x ，说明切线存在；（Ⅲ）关键是问题转化，由题意即研究方程()1f x kx =-的解，分离参数后有3112k x x=++，设1t x=，由考察方程32k t t =++(0)t ≠的解的个数，这又要考虑直线y k =与函数3()2h t t t =++(0)t ≠的图象交点个数即可．解题时用了换元法，要注意新元的取值范围．试题解析：（Ⅰ）函数()f x 定义域为{|0}x x ≠， ……………… 1分 求导，得32()2f x x '=-， ……………… 2分 令()0f x '=，解得1x =．当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以函数()y f x =的单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，……………… 3分 所以函数()y f x =有极小值(1)3f =，无极大值． ……………… 4分 （Ⅱ）证明：假设存在某个k ∈R ，使得直线l 与曲线()y f x =相切， ……………… 5分 设切点为00201(,2)A x x x +，又因为32()2f x x'=-， 所以切线满足斜率3022k x =-，且过点A ， 所以002300122(2)1x x x x +=--， ……………… 7分 即2031x =-，此方程显然无解， 所以假设不成立．所以对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线. ……………… 8分 （Ⅲ）“曲线()y f x =与直线l 的交点个数”等价于“方程2121x kx x +=-的根的个数”. 由方程2121x kx x +=-，得3112k x x =++. ……………… 9分 令1t x=，则32k t t =++，其中t ∈R ，且0t ≠. 考察函数3()2h t t t =++，其中t ∈R ，因为2()310h t t '=+>时，所以函数()h t 在R 单调递增，且()h t ∈R . ……………… 11分 而方程32k t t =++中， t ∈R ，且0t ≠.所以当(0)2k h ==时，方程32k t t =++无根；当2k ≠时，方程32k t t =++有且仅有一 根，故当2k =时，曲线()y f x =与直线l 没有交点，而当2k ≠时，曲线()y f x =与直线l 有 且仅有一个交点. ……………… 13分 考点：导数与极值，导数的几何意义（导数与切线），数形结合思想，函数的零点与方程的根．：。

2017-2018 学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．（5 分）若会合A={ x| 0＜x＜3} ， B={ x| ﹣ 1＜x＜2} ，则 A∪B=（）A．{ x| ﹣ 1＜ x＜3} B． { x| ﹣1＜x＜ 0} C．{ x| 0＜x＜2} D． { x| 2＜x＜3} 2．（5 分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣ 1，﹣ 1）D．（1，﹣ 1）3．（5 分）以下函数中，在区间（ 0， +∞）上单一递加的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（ x﹣ 1）2 C．y=sinx D．4．（5 分）履行以下图的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．30D．2705．（5 分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a6．（5 分）一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后，节余几何体的三视图以下图，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱7．（5 分）函数 f（ x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0） =f（π）”是“曲线 C 对于直线对称”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件8．（ 5 分）已知 A，B 是函数 y=2x的图象上的相异两点．若点A，B 到直线的距离相等，则点A， B 的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣ 1）B．（﹣∞，﹣ 2）C．（﹣∞，﹣ 3）D．（﹣∞，﹣ 4）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．（5 分）若函数 f（ x）=x（x+b）是偶函数，则实数 b=．10．（5 分）已知双曲线的一个焦点是（F2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是．11．（ 5 分）向量，在正方形网格中的地点以下图．假如小正方形网格的边长为 1，那么=．12．（5 分）在△ ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则b=；c=．13．（5 分）已知点 M（x，y）的坐标知足条件，设O为原点，则| OM|的最小值是．14．（ 5 分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是；若 f （x）的值域是，则实数c的取值范围是．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（ 13 分）已知函数．（Ⅰ）求 f（ x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．16．（ 13 分）已知数列 { a n} 是公比为的等比数列，且a2+6 是 a1和 a3的等差中项．（Ⅰ）求 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）设数列 { a n} 的前 n 项之积为 T n，求 T n的最大值．17．（ 13 分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A， B 两类（评定标准见表）．依据男女学生比率，使用分层抽样的方法随机抽取了10000 名学生的得分数据，此中等级为 A1的学生中有 40%是男生，等级为 A2的学生中有一半是女生．等级为 A1和 A2的学生统称为 A 类学生，等级为 B1和 B2的学生统称为 B 类学生．整理这 10000 名学生的得分数据，获得以下图的频次散布直方图．类型得分（ x）B B180≤x≤90B270≤x＜80A A150≤x＜70A220≤x＜50（Ⅰ）已知该市高中学生共20 万人，试预计在该项测评中被评为 A 类学生的人数；（Ⅱ）某 5 人得分分别为 45，50，55，75， 85．从这 5 人中随机选用 2 人构成甲组，此外 3 人组成乙组，求“甲、乙两组各有1 名 B 类学生”的概率；（Ⅲ）在这 10000 名学生中，男生占总数的比率为 51%，B 类女生占女生总数的比率为k1，B 类男生占男生总数的比率为k2．判断k1与k2的大小．（只要写出结论）18．（ 14 分）如图，在三棱柱 ABC﹣A1 B1C1中， AB⊥平面 AA1 C1C，AA1=AC．过 AA1的平面交 B1C1于点 E，交 BC于点 F．（Ⅰ）求证： A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证： A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥 B1﹣ AA1EF的体积为 V1，三棱柱 ABC﹣A1B1C1的体积为 V．若，求的值．19．（ 14 分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点 Q 在椭圆 C 上．试问直线 x+y﹣4=0 上能否存在点 P，使得四边形 PAQB 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明原因．20．（ 13 分）已知函数 f （x）=x2lnx﹣ 2x．（Ⅰ）求曲线 y=f（x）在点（ 1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在独一的x0∈（ 1， 2），使得曲线 y=f（ x）在点（ x0， f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣ f（1）（Ⅲ）比较 f（）与﹣ 2.01 的大小，并加以证明．2017-2018 学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．（5 分）若会合 A={ x| 0＜x＜3} ， B={ x| ﹣ 1＜x＜2} ，则 A∪B=（）A．{ x| ﹣ 1＜ x＜3} B． { x| ﹣1＜x＜ 0}C．{ x| 0＜x＜2} D． { x| 2＜x＜3} 【剖析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵会合 A={ x| 0＜ x＜ 3} ，B={ x| ﹣ 1＜ x＜ 2} ，∴A∪ B={ x| ﹣1＜x＜3} ．应选： A．【评论】此题考察并集的求法，考察并集定义等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，属于基础题．2．（5 分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣ 1）D．（1，﹣ 1）【剖析】依据复数的几何意义，将复数进行化简即可．【解答】解：===﹣ 1+i，对应点的坐标为（﹣ 1，1），应选： B【评论】此题主要考察复数的几何意义，利用复数的运算法例进行化简是解决此题的重点．3．（5 分）以下函数中，在区间（ 0， +∞）上单一递加的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（ x﹣ 1）2 C．y=sinx D．【剖析】依据常有函数的单一性分别判断即可．【解答】解：对于 A，函数在 R 递减，对于 B，函数在（ 0，1）递减，对于 C，函数在（ 0，+∞）无单一性，对于 D，函数在（ 0， +∞）递加，应选： D．【评论】此题考察了常有函数的单一性问题，是一道基础题．4．（5 分）履行以下图的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．30D．270【剖析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运转过程，剖析循环中各变量值的变化状况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运转，可得S=1， k=2知足条件 k≤ 5，履行循环体， S=2，k=3知足条件 k≤ 5，履行循环体， S=6，k=5知足条件 k≤ 5，履行循环体， S=30， k=9不知足条件 k≤5，退出循环，输出S 的值为 30．应选： C．【评论】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运转过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．（5 分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a【剖析】直接由对数的运算性质计算得答案．【解答】解：，得，即 a=4b．应选： C．【评论】此题考察了对数的运算性质，是基础题．6．（5 分）一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后，节余几何体的三视图以下图，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【剖析】由三视图复原原几何体，可知原几何体为直四棱柱，进而可知，截去的部分为三棱柱．【解答】解：由三视图复原原几何体如图：该几何体为直四棱柱ABEA1﹣DCFD1，截去的部分为三棱柱BB1E﹣CC1F．【评论】此题考察由三视图求面积、体积，重点是由三视图复原原几何体，是中档题．7．（5 分）函数 f（ x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0） =f（π）”是“曲线 C 对于直线对称”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件【剖析】依据充足条件和必需条件的定义，联合三角函数对称性的性质进行判断即可．【解答】解：若 f（ 0） =f（π），则 sin φ=sin（π+φ） =﹣sin φ，则 sin φ=0，则φ=kπ，此时 f（ x）=sin（x+φ）=sin（ x+kπ） =± sinx，曲线 C 对于直线对称，反之若曲线 C 对于直线对称，则f（0）=f（π），即“f（0）=f（π）”是“曲线 C 对于直线对称”的充要条件，应选： C【评论】此题主要考察充足条件和必需条件的判断，联合三角函数的性质是解决此题的重点．．（分）已知x 的图象上的相异两点．若点A，B 到直线的8 5 A，B 是函数 y=2距离相等，则点 A， B 的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣ 1）B．（﹣∞，﹣ 2）C．（﹣∞，﹣ 3）D．（﹣∞，﹣ 4）【剖析】依题意可得? ，利用均值不等式即可求解，【解答】解：不如设 A（ x1， y1），B（ x2，y2），（x1＞x2），可得? ，利用均值不等式 1 ? 2∴x1+x2＜﹣ 2，【评论】此题考察了指数运算，均值不等式，属于中档题．二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．（5 分）若函数 f（ x）=x（x+b）是偶函数，则实数 b= 0．【剖析】依据函数是偶函数，成立方程进行求解即可．【解答】解：∵ f（x）是偶函数，∴ f（﹣ x） =f（x），即﹣ x（﹣ x+b）=x（x+b），得 x﹣b=x+b，则﹣ b=b，得 b=0，故答案为： 0．【评论】此题主要考察函数奇偶性的应用，依据偶函数的定义成立方程是解决此题的重点．10．（5 分）已知双曲线的一个焦点是（F2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是x2﹣=1．【剖析】依据双曲线的一个焦点为（2，0），且双曲线的渐近线方程为，可得 c=2，可得 a，b 是方程，求出 a，b 的值，即可得出双曲线的标准方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点为（2，0），且双曲线的渐近线方程为，∴ c=2，，∵ c=，∴a=1，b2=3，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故答案为： x2﹣=1．【评论】此题考察双曲线的标准方程，考察双曲线的几何性质，考察学生的计算能力，正确运用双曲线的几何性质是重点．11．（ 5 分）向量，在正方形网格中的地点以下图．假如小正方形网格的边长为1，那么= 4．【剖析】求出向量，向量的坐标，而后求解数目积即可．【解答】解：向量，在正方形网格中的地点以下图．假如小正方形网格的边长为 1，=（2，0）． =（2，﹣ 1）．那么=2×2+0×（﹣ 1）=4．故答案为： 4．【评论】此题考察向量的数目积的应用，考察计算能力．12．（ 5 分）在△ ABC中， a=3，，△ ABC的面积为，则 b= 1 ；c= ．【剖析】依据三角形的面积公式和余弦定理，即可求出 b 和 c 的值．【解答】解：△ ABC中， a=3，，∴△ ABC的面积为absinC= ×3×sin = ，解得 b=1；2 2 2 2 2∴ c =a +b ﹣2abcosC=3+1 ﹣ 2× 3× 1× cos=13，c=．故答案为： 1；．【评论】此题考察了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题．13．（5 分）已知点 M（x，y）的坐标知足条件，设O为原点，则| OM| 的最小值是．【剖析】先依据拘束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=| MO| 表示（ 0，0）到可行域的距离，只要求出（0，0）到可行域的距离的最小值即可．【解答】解：画出知足条件的可行域，以下图：故 | OM| 的最小值为原点到直线x+y﹣1=0 的距离：=．故答案为：．【评论】此题主要考察了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14．（ 5 分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是[ ﹣，+∞）；若（fx）的值域是，则实数c的取值范围是[，1]．【剖析】若 c=0，分别求得 f（x）在 [ ﹣2，0] 的最值，以及在（ 0，3] 的范围，求并集即可获得所求值域；议论 f（ x）在[ ﹣ 2，1] 的值域，以及在（c，3] 的值域，注意 c＞0，运用单一性，即可获得所求 c 的范围．【解答】解： c=0 时， f（ x） =x2+x=（x+）2﹣，f（x）在 [ ﹣2，﹣）递减，在（﹣，0]递加，可得 f （﹣ 2）获得最大值，且为2，最小值为﹣；当 0＜x≤ 3 时， f（x）= 递减，可得 f（3）= ，则 f（ x）∈ [ ，+∞），综上可得 f（ x）的值域为 [ ﹣，+∞）；∵函数 y=x2+x 在区间 [ ﹣2，﹣）上是减函数，在区间（﹣，1] 上是增函数，∴当 x∈[ ﹣2，0）时，函数 f（x）最小值为 f（﹣）=﹣，最大值是 f（﹣ 2）=2；由题意可得 c＞0，∵当 c＜x≤3 时， f（x）=是减函数且值域为[，），当 f（ x）的值域是 [ ﹣，2]，可得≤c≤1．故答案为：；．【评论】此题给出特别分段函数，求函数的值域，并在已知值域的状况下求参数的取值范围，侧重考察了函数的值域和二次函数的单一性和最值等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（ 13 分）已知函数．（Ⅰ）求 f（ x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．【剖析】（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简函数的分析式，而后求解函数 f （x）的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的最值，证明不等式即可．【解答】（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由于= [ （4 分）]= [ （5 分）]= ，[ （7 分）]因此 f （x）的最小正周期．[ （8 分）]（Ⅱ）由于，因此．[ （10 分） ]因此，[ （12 分） ]因此．[ （13 分）]【评论】此题考察两角和与差的三角函数，三角函数的最值的求法，考察计算能力．16．（ 13 分）已知数列 { a n} 是公比为的等比数列，且a2+6 是 a1和 a3的等差中项．（Ⅰ）求 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）设数列 { a n} 的前 n 项之积为 T n，求 T n的最大值．【剖析】（Ⅰ）利用等差数列以及等比数列的通项公式求出数列的首项，而后求解数列的通项公式．（Ⅱ）求出 a n≥ 1， n≤ 4 判断数列的特点，而后求解T n获得最大值时， n=3，求解即可．【解答】（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由于 a2+6 是 a1和 a3的等差中项，因此 2（a2+6）=a1+a3．[ （ 2 分） ]由于数列 { a n} 是公比为的等比数列，因此，[ （4 分）]解得 a1=27． [ （ 6 分） ]因此 a n=a1?q n﹣1=（）n﹣4．[[（8分）]（Ⅱ）令 a n≥1，即（）n﹣4≥1，得n≤ 4，[（10分）]故正项数列 { a n} 的前 3 项大于 1，第 4 项等于 1，此后各项均小于 1．[ （11 分）]因此当 n=3，或 n=4 时， T n获得最大值， [ （ 12 分） ] T n的最大值为T3=T4=a1?a2?a3=729．[ （13 分） ]【评论】此题考察等差数列以及等比数列的通项公式的求法，数列与函数的综合应用，考察转变首项以及计算能力．17．（ 13 分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A， B 两类（评定标准见表）．依据男女学生比率，使用分层抽样的方法随机抽取了10000 名学生的得分数据，此中等级为 A1的学生中有 40%是男生，等级为 A2的学生中有一半是女生．等级为 A1和 A2的学生统称为 A 类学生，等级为 B1和 B2的学生统称为 B 类学生．整理这 10000 名学生的得分数据，获得以下图的频次散布直方图．类型得分（ x）B B180≤x≤90B2 70≤x＜80A A150≤x＜70A220≤x＜50（Ⅰ）已知该市高中学生共20 万人，试预计在该项测评中被评为 A 类学生的人数；（Ⅱ）某 5 人得分分别为 45，50，55，75， 85．从这 5 人中随机选用 2 人构成甲组，此外 3 人组成乙组，求“甲、乙两组各有1 名 B 类学生”的概率；（Ⅲ）在这 10000 名学生中，男生占总数的比率为 51%，B 类女生占女生总数的比率为k1，B 类男生占男生总数的比率为k2．判断k1与k2的大小．（只要写出结论）【剖析】（Ⅰ）样本中 B 类学生所占比率为 60%，进而 A 类学生所占比率为40%．由此能求出在该项测评中被评为 A 类学生的人数．（Ⅱ）在 5 人（记为 a，b，c，d，e）中，B 类学生有 2 人（不如设为 b，d）．将他们按要求分红两组，利用列举法能求出“甲、乙两组各有一名B 类学生”的概率．（Ⅲ）由题意获得 k1＜k2．【解答】（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）依题意得，样本中 B 类学生所占比率为（）× 10=60%，（ 2 分）因此 A 类学生所占比率为40%．（3 分）由于全市高中学生共20 万人，因此在该项测评中被评为 A 类学生的人数约为8 万人．（ 4 分）（Ⅱ）由表 1 得，在 5 人（记为 a，b，c，d，e）中， B 类学生有 2 人（不如设为b，d）．将他们按要求分红两组，分组的方法数为10 种．（6 分）挨次为：（ab，cde），（ac，bde），（ad，bce），（ ae，bcd），（ bc，ade），（bd，ace），（ be，acd），（cd，abe），（ce， abd），（de，abc）．（8 分）因此“甲、乙两组各有一名 B 类学生”的概率为．（10 分）（Ⅲ） k1＜ k2．（ 13 分）【评论】此题考察频次散布直方图的应用，考察概率的求法，考察频次散布直方图、古典概型等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是基础题．第 16 页（共 20 页）18．（ 14 分）如图，在三棱柱 ABC﹣A1 B1C1中， AB⊥平面 AA1 C1C，AA1=AC．过 AA1的平面交 B1C1于点 E，交 BC于点 F．（Ⅰ）求证： A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证： A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥 B1﹣ AA1EF的体积为 V1，三棱柱 ABC﹣A1B1C1的体积为 V．若，求的值．【剖析】（Ⅰ）证明 A1C⊥AB，说明四边形 AA1C1C 为菱形，推出 A1C⊥AC1．即可证明 A1C⊥平面 ABC1．（Ⅱ）证明 A1A∥平面 BB1C1C，而后证明 A1A∥EF．（Ⅲ）记三棱锥B1﹣ABF的体积为 V2，三棱柱 ABF﹣A1B1E 的体积为 V3．三棱锥1﹣ABF与三棱柱ABF﹣A1 1 同底等高，，转变求解．B B E【解答】（本小题满分 14 分）（Ⅰ）证明：由于AB⊥平面 AA1C1C，因此 A1C⊥AB．[ （2 分） ]在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，由于 AA1=AC，因此四边形 AA1C1C 为菱形，因此 A1C⊥AC1．[ （3 分） ]因此 A1C⊥平面 ABC1．[ （5 分） ]（Ⅱ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由于 A1A∥ B1B， A1A?平面 BB1C1C，[ （6 分） ]因此 A1A∥平面 BB1C1C． [ （8 分） ]由于平面 AA1EF∩平面 BB1C1C=EF，因此 A1A∥EF．[ （10 分）]（Ⅲ）解：记三棱锥B1﹣ABF的体积为 V2，三棱柱 ABF﹣A1B1E 的体积为 V3．由于三棱锥 B1﹣ ABF与三棱柱 ABF﹣A1B1E 同底等高，因此，[ （11 分） ]因此．由于，因此．[ （12 分）]由于三棱柱 ABF﹣ A 与三棱柱﹣等高，1B1E ABC A1B1C1因此△ ABF与△ ABC的面积之比为，[ （13 分）]因此．[ （14 分） ]【评论】此题考察直线与平面垂直的判断定理以及直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考察空间想象能力以及计算能力．19．（ 14 分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点 Q 在椭圆 C 上．试问直线 x+y﹣4=0 上能否存在点 P，使得四边形 PAQB 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明原因．【剖析】（Ⅰ）求出椭圆 C 的方程为，而后求解椭圆的离心率即可．（Ⅱ）设 P（t， 4﹣t ），Q（x0， y0），推出，解得x0=2﹣t，y0=t﹣3，代入，转变求解 t ，判断能否存在点P．【解答】（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）由题意得， a=2，b=1．[ （2 分） ]因此椭圆 C的方程为．[（3分）]设椭圆 C 的半焦距为 c，则，[（4分）]因此椭圆 C的离心率．[（5分）]（Ⅱ）由已知，设P（t ，4﹣t），Q（x0， y0）． [ （ 6 分） ]若 PAQB 是平行四边形，则，[ （8 分）]因此（ 2﹣t ，t ﹣ 4） +（﹣ t ， t ﹣3）=（x 0﹣ t ，y 0﹣ 4+t ），整理得 x 0=2﹣t ，y 0=t ﹣3．[ （10 分） ]将上式代入，得（ 2﹣t ） 2+4（ t ﹣3）2， （ 11 分） ]=4 [整理得 5t 2﹣28t+36=0，解得 ，或 t=2．[ （13 分） ]此时 ，或 P （2，2）．经查验，切合四边形 PAQB 是平行四边形，因此存在，或 P （2，2）知足题意． [ （ 14 分） ]【评论】此题考察椭圆方程的求法， 直线与椭圆的地点关系的综合应用， 存在性问题的办理方法，考察转变思想以及计算能力．20．（ 13 分）已知函数 f （x ）=x 2lnx ﹣ 2x ．（Ⅰ）求曲线 y=f （x ）在点（ 1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在独一的 x 0∈（ 1， 2），使得曲线 y=f （ x ）在点（ x 0， f （x 0））处的切线的斜率为 f （2）﹣ f （1）（Ⅲ）比较 f （）与﹣ 2.01 的大小，并加以证明．【剖析】（Ⅰ）求得 f （ x ）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，即可获得所求切线的方程；（Ⅱ）求得 f （2）﹣ f （1），只要证明方程 2xlnx+x ﹣2=4ln2﹣2 在区间（ 1， 2）有独一解．设函数 g （x ）=2xlnx+x ﹣4ln2，求得导数，判断单一性，联合函数零点存在定理，即可得证；（Ⅲ） f （）＞﹣，设 h （x ） =f （x ）﹣（﹣ x ﹣1）=x 2lnx ﹣x+1，求得导数，单一区间，运用单一性可得 f （ x ）＞﹣ x ﹣1（x ＞1）．【解答】 解：（Ⅰ）函数 f （x ）=x 2lnx ﹣2x 的定义域是（ 0，+∞），导函数为 f' （x ） =2xlnx+x ﹣ 2，因此 f' （1）=﹣1，又 f （ 1）=﹣2，因此曲线 y=f （x ）在点（ 1， f （1））处的切线方程为 y=﹣x ﹣1；（Ⅱ）证明：由已知 f （2）﹣ f（1）=4ln2﹣2，因此只要证明方程2xlnx+x﹣2=4ln2﹣2 在区间（ 1， 2）有独一解．即方程 2xlnx+x﹣4ln2=0 在区间（ 1，2）有独一解．设函数 g（x）=2xlnx+x﹣4ln2，则 g'（x）=2lnx+3．当 x∈（ 1，2）时， g'（x）＞ 0，故 g（ x）在区间（ 1， 2）单一递加．又 g（1）=1﹣4ln2＜0，g（2）=2＞ 0，因此存在独一的 x0∈（ 1，2），使得 g（x0）=0．综上，存在独一的 x0∈（ 1， 2），使得曲线 y=f（x）在点（ x0，f（ x0））处的切线的斜率为 f （2）﹣ f（ 1）；（Ⅲ） f（）＞﹣．证明以下：第一证明：当 x＞1 时， f（ x）＞﹣ x﹣1．设 h（x） =f（x）﹣（﹣ x﹣1）=x2lnx﹣x+1，则 h'（x）=x+2xlnx﹣1．当 x＞1 时， x﹣1＞0，2xlnx＞0，因此 h'（ x）＞ 0，故 h（x）在（ 1， +∞）单一递加，因此 x＞1 时，有 h（ x）＞ h（ 1） =0，即当 x＞1 时，有 f （x）＞﹣ x﹣1．因此 f （）＞﹣﹣1=﹣．【评论】此题考察导数的运用：求切线的方程和单一性，考察转变思想和函数零点存在定理的运用，考察结构函数法和化简整理的运算能力，属于中档题．。

北京市西城区2016—2017学年度第一学期期末试卷高三英语2017. 1 本试卷共11页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分：听力理解（共三节，30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，共7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话你将听一遍。

例：What is the man going to read?A. A newspaper.B. A magazine.C. A book.答案是A。

1. Where are the two speakers?A. At the cinema.B. At the airport.C. At the gym.2. What does the man do?A. A secretary.B. A manager.C. A driver.3. What‟s the woman‟s problem?A. The man fails to help her.B. Her partner is absent today.C. The experiment is hard for her.4. Why doesn‟t the man want to go to the English corner?A. He is not free on Sunday.B. H e doesn‟t want to meet the people there.C. He is afraid of speaking English in public.5. What made the woman upset?A. She was laughed at by her neighbor.B. She was worried about her neighbor.C. She was misunderstood by her neighbor.第二节（共10小题；每小题1.5分，共15分）听下面4段对话或独白。

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学（文科）2017.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么A B =（A ）{|01}x x << （B ）{|12}x x << （C ）{|10}x x -<<（D ）{|12}x x -<<2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是 （A ）21y x =+（B ）tan y x =（C ）2xy =（D ）sin y x x =+3．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）1 （B ）0 （C ）3- （D ）10-4．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A）0x ±= （B0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=5．实数x ，y 满足10,10,20,x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥则4y x -的取值范围是（A ）(,4]-∞（B ）(,7]-∞（C ）1[,4]2-（D ）1[,7]2-7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 （A）20+（B）14+（C ）26 （D）12+6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8．8名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等．则第二名选手的得分是 （A ）14 （B ）13（C ）12（D ）11第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数1i1i+=-____． 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,1)A ，(3,1)B -，则△AOB 的面积是____． 11．已知圆22(1)4x y -+=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p =____． 12．函数y =____；最小值是____． 13．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____．14．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，23a =，3611a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12nn n a b a =+，其中*n ∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知 A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）判断A ，B 两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）； （Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A ，B 型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率． （注：n 个数据12,,,n x x x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数）18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：AB PD ⊥；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ； （Ⅲ）设平面PAB平面PCD PM =，点M 在平面ABCD 上．当PA PD ⊥时，求PM 的长．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点是1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且12||||4PF PF +=．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 关于x 轴的对称点为Q ，M 是椭圆C 上一点，直线MP 和MQ 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分13分）对于函数()f x ，若存在实数0x 满足00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的一个不动点． 已知函数32()3f x x ax bx =+++，其中,a b ∈R ． （Ⅰ）当0a =时，（ⅰ）求()f x 的极值点；（ⅱ）若存在0x 既是()f x 的极值点，又是()f x 的不动点，求b 的值； （Ⅱ）若()f x 有两个相异的极值点1x ，2x ，试问：是否存在a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点？证明你的结论．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．C 4．B 5．A6．C 7．A 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．i 10．211．212．(0,)+∞；413[4,9) 注：第12，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则有113,2711.a d a d +=⎧⎨+=⎩[4分] 解得12a =，1d =．[6分]所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a a n d n =+-=+．[7分]（Ⅱ）111122n n n a n b a n +=+=++．[8分] 因为数列11{}2n +是首项为14，公比为12的等比数列，[9分]所以11[1()](3)421212n n n n S -+=+-[11分] 2131122n n n +++=-．[13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [ 4分]12cos 222x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==, 解得1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+． 因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为 [13分]17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）A 05244120123(h)5x ++++=+=，[2分]B 2370(120)1205a x -++++-=+，[3分] 由A B x x =，解得127a =．[4分]（Ⅱ）设A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为2A s ，2B s ，则22A Bs s <．[7分] （Ⅲ）设A 型号手机为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ；B 型号手机为1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C ．[8分]从被测试的手机中随机抽取A ，B 型号手机各1台，不同的抽取方法有25种．[10分]抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：11(A ,B )，14(A ,B )，31(A ,B )，34(A ,B )，共4种． [11分]因此4(C)25P =，所以21(C)1(C)25P P =-=． 所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是2125．[13分]18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥，[1分] 又因为AB PA ⊥，[2分]所以AB ⊥平面PAD ，[3分]所以AB PD ⊥．[4分]（Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ．[5分]因为E 为棱PD 中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ．[8分]又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 所以//CE 平面PAB ．[9分]（Ⅲ）在平面ABCD 上，延长AB ，CD 交于点M ．因为M AB ∈，所以M ∈平面PAB ；又M CD ∈，所以M ∈平面PCD ，所以平面PAB平面PCD PM =．[11分]在△ADM 中，因为//BC AD ，12BC AD =， 所以 22AM AB ==．[12分]因为PA PD ⊥，所以△APD 是等腰直角三角形，所以PA =．[13分]由（Ⅰ）得AM ⊥平面PAD ，所以AM PA ⊥．在直角△PAM中，PM ．[14分] 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得12||||24PF PF a +==，2a =．[2分]将点P 的坐标代入22214x y b +=，得22114b+=，解得b =[4分]所以，椭圆C 的方程是22142x y +=．[5分]（Ⅱ）依题意，得1)Q -．设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x ≠01y ≠±．[6分]直线MP的方程为1y x -=，[7分]令0y =，得0001x x y -=-，[8分]所以OE =．直线MQ的方程为1y x +=，[9分]令0y =，得0001x x y +=+，[10分]所以OF =．所以22002021y x OE OF y -⋅- 2200202(42)=1y y y ---[12分] =4．所以OE OF ⋅为定值．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且2()32f x x ax b '=++．[1分]当0a =时，2()3f x x b '=+．（ⅰ）① 当0b ≥时，显然()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值点．[2分]② 当0b <时，令()0f x '=，解得x =．[3分] ()f x 和()f x '的变化情况如下表：（ⅱ）若0x x =是()f x 的极值点，则有2030x b +=；若0x x =是()f x 的不动点，则有30003x bx x ++=．从上述两式中消去b ，整理得300230x x +-=．[6分]设3()23g x x x =+-．所以2()610g x x '=+>，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增． 又(1)0g =，所以函数()g x 有且仅有一个零点1x =，即方程300230x x +-=的根为01x =， 所以 2033b x =-=-．[8分]（Ⅱ）因为()f x 有两个相异的极值点1x ，2x ，所以方程2320x ax b ++=有两个不等实根1x ，2x ，所以24120a b ∆=->，即230a b ->．[9分]全优试卷假设存在实数a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点，则1x ，2x 是方程 32(1)30x ax b x ++-+=的两个实根，显然1x ，20x ≠．对于实根1x ，有32111(1)30x ax b x ++-+=．①又因为211320x ax b ++=．②①3⨯-②1x ⨯，得 211(23)90ax b x +-+=．同理可得222(23)90ax b x +-+=．所以，方程2(23)90ax b x +-+=也有两个不等实根1x ，2x ．[11分] 所以1223b x x a-+=-． 对于方程2320x ax b ++=，有 1223a x x +=-， 所以2233a b a--=-， 即2932a b -=-， 这与230a b ->相矛盾！所以，不存在a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点．[13分]。

北京市西城区2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是（）A．若a＞0，则a＞1 B．若a≤0，则a＞1 C．若a＞0，则a≤1D．若a≤0，则a≤12．复数z=1+2i的虚部是（）A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．23．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④4．抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．45．两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是（）A．B．C．A1A2+B1B2=0 D．A1A2﹣B1B2=06．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，AB=BC，则下列结论中正确的是（）A．BD1∥B1C B．A1D1∥平面AB1CC．BD1⊥AC D．BD1⊥平面AB1C7．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c（c＞0）．若点P在椭圆上，且∠F1PF2=90°，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．D．8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=6，BC=4，AA1=2，P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点，则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（）A．3 B．4 C． D．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是．10．已知球O的大圆面积为S1，表面积为S2，则S1：S2= ．11．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则= ．12．已知双曲线的一个焦点是（2，0），则b= ；双曲线渐近线的方程为．13．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是．14．已知曲线C的方程是x4+y2=1．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③曲线C所围成的区域的面积大于π．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2．（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．16．如图，已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线3x﹣4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，求m的值．17．如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点．（Ⅰ）求证：QB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC；（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．19．如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．20．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．北京市西城区2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是（）A．若a＞0，则a＞1 B．若a≤0，则a＞1 C．若a＞0，则a≤1D．若a≤0，则a≤1【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】把原命题“若a＞1，则a＞0”的题设和结论互换，就得到原命题的逆命题．【解答】解：互换原命题“若a＞1，则a＞0”的题设和结论，得到它的逆命题是“若a＞0，则a＞1”，故选：A．【点评】本题考查四种命题，解题的关键是熟练掌握四种命题的相互转换和它们之间的相互关系．属基础题．2．复数z=1+2i的虚部是（）A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2【考点】复数的基本概念．【专题】阅读型；对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】直接由复数的概念得答案．【解答】解：由复数概念知，复数z=1+2i的虚部是2．故选：D．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础的会考题型．3．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；运动思想；综合法；简易逻辑．【分析】由空间中点、线、面的位置关系逐一核对四个命题得答案．【解答】解：①平行于同一个平面的两条直线有三种可能的位置关系：相平行、相交、异面，故①错误；②垂直于同一个平面的两个平面有两种可能的位置关系：平行、相交，故②错误；③由平行公理可知：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故③正确；④垂直于同一条直线的两条直线有三种可能的位置关系：相平行、相交、异面，故④错误．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间中点、线、面的位置关系，是基础题．4．抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的简单性质求解即可．【解答】解：抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是：p=1．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．5．两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是（）A．B．C．A1A2+B1B2=0 D．A1A2﹣B1B2=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．【分析】结合直线垂直的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直⇔A1A2+B1B2=0，故两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是A1A2+B1B2=0，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线垂直的条件是解决本题的关键．6．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，AB=BC，则下列结论中正确的是（）A．BD1∥B1C B．A1D1∥平面AB1CC．BD1⊥AC D．BD1⊥平面AB1C【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】连接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可证AC⊥平面BDD1，利用线面垂直的性质即可证明AC⊥BD1．【解答】解：∵如图，连接BD，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC，∴AC⊥BD，AC⊥DD1，∵BD∩DD1=D，∴AC⊥平面BDD1，∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1．故选：C．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．7．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c（c＞0）．若点P在椭圆上，且∠F1PF2=90°，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；作图题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】作椭圆，从而可得|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，从而可得|PF1|•|PF2|=2b2，再由三角形的面积公式求得．【解答】解：由题意作图如右，∵|PF1|+|PF2|=2a，又∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴|PF1|•|PF2|===2b2，设点P到x轴的距离为d，则|PF1|•|PF2|=|F1F2|•d，故2b2=2cd，故d=，故选：B．【点评】本题考查了椭圆的定义的应用及数形结合的思想应用，同时考查了等面积的应用．8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=6，BC=4，AA1=2，P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点，则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（）A．3 B．4 C． D．5【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【专题】计算题；运动思想；分割补形法；立体几何．【分析】由题意画出图形，把问题转化为从小长方体PMNG﹣A1HQD1的一个顶点P到另一顶点的表面最短距离问题．分类剪展求出最小值，求最小值中的最小者得答案．【解答】解：如图，∵P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点，∴问题可转化为从小长方体PMNG﹣A1HQD1的一个顶点P到另一顶点的表面最短距离问题．共有三种剪展方法：沿QH剪开再展开，此时最短距离为l=；沿QN剪开再展开，此时最短距离为l=；沿QD1剪开再展开，此时最短距离为l=．∴从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为．故选：B．【点评】本题考查多面体表面上的最短距离问题，考查分类讨论和数形结合的解题思想方法，想到剪展的所有情况是解题的关键，是中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是∃x∈R，x2﹣1≤0．【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；对应思想；转化法；简易逻辑．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是：∃x∈R，x2﹣1≤0．故答案为：∃x∈R，x2﹣1≤0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．10．已知球O的大圆面积为S1，表面积为S2，则S1：S2= 1：4 ．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】利用球的面积公式，直接求解即可．【解答】解：设球的半径为r，所以大圆面积S1=πr2，表面积S2=4πr2，所以S1：S2=1：4故答案为：1：4．【点评】本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题．11．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则= ﹣1+2i ．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题；图表型；方程思想；数系的扩充和复数．【分析】由图形得到复数z1=﹣2﹣i，z2=i，代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由图可知，z1=﹣2﹣i，z2=i，∴=．故答案为：﹣1+2i．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．12．已知双曲线的一个焦点是（2，0），则b= ；双曲线渐近线的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的一个焦点是（2，0），求出b，即可求出双曲线渐近线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点是（2，0），∴1+b2=4，∵b＞0，∴b=，又a=1，∴双曲线渐近线的方程为故答案为：，【点评】本题考查双曲线渐近线的方程，考查学生的计算能力，正确求出b是关键．13．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是4．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】应用题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，故左视图是长方形，长为2，宽为2，由此能求出左视图的面积．【解答】解：∵正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，∴左视图是长方形，长为=2，宽为2，∴左视图的面积是2×2=4，故答案为：【点评】本题考查空间图形的三视图，是一个基础题，考查的内容比较简单，解题时要认真审题，仔细解答14．已知曲线C的方程是x4+y2=1．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③曲线C所围成的区域的面积大于π．其中，所有正确结论的序号是①③．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；对应思想；简易逻辑；推理和证明．【分析】分析关于原点对称的两个点（x，y）点（﹣x，﹣y），是否都在曲线上，可判断①；分析关于直线y=x对称的两个点（x，y）点（y，x），是否都在曲线上，可判断②；求出曲线C所围成的区域面积，可判断③．【解答】解：将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①正确；将方程中的x换成y，y换成x，方程变为y4+x2=1与原方程不同，故②错误；在曲线C上任取一点M（x0，y0），x04+y02=1，∵|x0|≤1，∴x04≤x02，∴x02+y02≥x04+y02=1，即点M在圆x2+y2=1外，故③正确；故正确的结论的序号是：①③，故答案为：①③【点评】本题考查的知识点是曲线Cx4+y2=1的图象和性质，对称性的判断，面积的求解，难度中档．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2．（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】规律型；数形结合；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连结BD．证明PD⊥BD，在直角三角形PDB中，求解PB即可．（Ⅱ）说明△PDA，△PDC为全等的直角三角形，利用四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2S△PDA+2S△PAB+S正方形ABCD求解即可．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：连结BD．因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BD．因为底面ABCD是正方形，AB=2，所以．在直角三角形PDB中，．（Ⅱ）解：因为PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，从而△PDA，△PDC为全等的直角三角形，所以．由（Ⅰ）知，所以 AB2+PA2=PB2=BC2+PC2，从而△PAB，△PCB为全等的直角三角形．所以，四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2S△PDA+2S△PAB+S正方形ABCD==．【点评】本题考查几何体的表面积，点、线、面距离的求法，考查计算能力．16．如图，已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线3x﹣4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，求m的值．【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）由两点间距离公式求出圆C的半径，由此能求出圆C的方程．（Ⅱ）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，从在则，由勾股定理求出CD，由点到直线的距离公式求出CD，由此能求出m．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：∵圆心为C（4，3）的圆经过原点O，∴圆C的半径，∴圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=25．（Ⅱ）解：∵直线3x﹣4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，∴．在直角三角形ADC中，．由点到直线的距离公式，得，∴，解得m=±15．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．17．如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点．（Ⅰ）求证：QB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC；（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】规律型；数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O，连接EO．证明EO∥QB，即可证明QB∥平面AEC．（Ⅱ）证明CD⊥AE，AE⊥QD．推出AE⊥平面QDC，然后证明平面QDC⊥平面AEC．（Ⅲ）通过多面体ABCEQ为四棱锥Q﹣ABCD截去三棱锥E﹣ACD所得，计算求解即可．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，连接EO．因为 E，O分别为QD和BD的中点，则EO∥QB．又 EO⊂平面AEC，QB⊄平面AEC，所以QB∥平面AEC．（Ⅱ）证明：因为矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，所以CD⊥平面ADPQ．又AE⊂平面ADPQ，所以CD⊥AE．．因为AD=AQ，E是QD的中点，所以AE⊥QD．所以AE⊥平面QDC．所以平面QDC⊥平面AEC．（Ⅲ）解：多面体ABCEQ为四棱锥Q﹣ABCD截去三棱锥E﹣ACD所得，所以．【点评】本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，几何体的体积的求法，考查计算能力．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为，所以，解得p=1，所以抛物线的方程为y2=2x．（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2）．将y=k（x﹣2）代入y2=2x，消去y整理得 k2x2﹣2（2k2+1）x+4k2=0．所以 x1x2=4．由，，两式相乘，得，注意到y1，y2异号，所以 y1y2=﹣4．所以直线OM与直线ON的斜率之积为，即OM⊥ON．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，韦达定理的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．19．如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取FC中点N，推导出DN∥EF，MN∥A1F，由此能证明DM∥平面A1EF．（Ⅱ）推导出EF⊥平面A1BD，从而A1B⊥EF，假设A1B⊥CD，则A1B⊥平面BCD，A1E⊥平面BCD，与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，从而直线A1B与直线CD不能垂直．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）取FC中点N．在图1中，由D，N分别为AC，FC中点，所以DN∥EF．在图2中，由M，N分别为A1C，FC中点，所以MN∥A1F，所以平面DMN∥平面A1EF，所以DM∥平面A1EF．解：（Ⅱ）直线A1B与直线CD不可能垂直．因为平面A1BD⊥平面BCD，EF⊂平面BCD，EF⊥BD，所以EF⊥平面A1BD，所以A1B⊥EF．假设有A1B⊥CD，注意到CD与EF是平面BCD内的两条相交直线，则有A1B⊥平面BCD．（1）又因为平面A1BD⊥平面BCD，A1E⊂平面A1BD，A1E⊥BD，所以A1E⊥平面BCD．（2）而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，所以直线A1B与直线CD不可能垂直．【点评】本题考查线面平行的证明，考查两直线是否垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c．求出b利用离心率求出a，即可求解椭圆C的方程．（Ⅱ）证法一：直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．将直线PQ的方程代入x2+4y2=4，消去y，设 P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理，通过BP⊥BQ，化简求出5m2﹣2m﹣3=0，求出m，即可得到直线PQ恒过的定点．证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1，将直线BP的方程代入x2+4y2=4，消去y，解得x，设 P（x1，y1），转化求出P的坐标，求出Q坐标，求出直线PQ的方程利用直线系方程求出定点坐标．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距为c．依题意，得b=1，且，解得 a2=4．所以，椭圆C的方程是．（Ⅱ）证法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．将直线PQ的方程代入x2+4y2=4，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．①因为BP⊥BQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，所以，整理得 x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1=0．②因为 y1=kx1+m，y2=kx2+m，所以 y1+y2=k（x1+x2）+2m，．③将③代入②，整理得．④将①代入④，整理得 5m2﹣2m﹣3=0．解得，或m=1（舍去）．所以，直线PQ恒过定点．证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1．将直线BP的方程代入x2+4y2=4，消去y，得（1+4k2）x2+8kx=0．解得 x=0，或．设 P（x1，y1），所以，，所以．以替换点P坐标中的k，可得．从而，直线PQ的方程是．依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上．在上述方程中，令x=0，解得．所以，直线PQ恒过定点．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，难度比较大，是压轴题．。

北京市西城区2016—2017学年度第一学期期末试卷高三语文参考答案及评分参考2017．1一、（24分）1．（2分）B 2．（2分）A3．（2分）二、古典家具的科学价值(或科学性) 三、古典家具的历史价值4．（3分）D 5．（3分）C 6．（3分）A7．（6分）①体现在设计理念方面，能充分反映中国传统的文化思想和审美情趣。

②体现在装饰图案的设计方面，是语言、绘画、书法等多种艺术的相互融合、相辅相成。

③体现在整体形式与风格方面，明清家具具有质朴纯正、简洁明快的艺术禀性和优美形式。

8．（3分）C二、（24分）9．（3分）C 10．（3分）D 11．（3分）C12．（6分）①空出袋子，慢慢地将狼装入其中，再三装它都没成功。

②又何必吝惜一副身躯给我吃掉，从而让我保全小命呢？【评分标准】①句4分，②句2分。

两句的关键词为“空”“实”“纳”“克”“啖”“全”，每个关键词1分，句子翻译意思对即可。

13．（3分）【答案示例】中山狼：忘恩负义、恩将仇报、过河拆桥、易反易复小人心东郭先生：妇人之仁、善恶不分、心慈手软、自作自受（咎由自取）、好了疮疤忘了痛丈人：足智多谋、除恶务尽、路见不平拔刀相助【评分标准】答对一处得1分，意思对即可。

14．（6分）【答案示例】东郭先生明知狼“性贪而狠”还去救它，此谓善恶不分；在丈人将狼骗入囊中并示意他杀狼时，东郭先生还心怀“仁慈”，此谓“好了疮疤忘了痛”。

因此“实愚”。

东郭先生的行为不是因为“仁”或“兼爱”，而是因为没有原则的“滥善”，因为他不能明辨是非的愚蠢。

因此“非仁”。

左伯桃“绝食”“解衣”是为了成全朋友而主动选择牺牲自己，他对处境及自身行为的后果有清醒的判断。

因此“非愚”。

面对困境，他没有自私自利，而是舍己为人；这种行为源自友情，也源自“仁爱”这种高尚的道德。

因此“实仁”。

【评分标准】东郭“非仁实愚”2分；善恶不分、好了疮疤忘了痛、无原则的滥善，答出这三点中的任两点即可得此2分。

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．C 4．B 5．A6．C 7．A 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．i 10．211．212．(0,)+∞；413[4,9) 注：第12，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则有113,2711.a d a d +=⎧⎨+=⎩[4分] 解得12a =，1d =．[6分]所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a a n d n =+-=+．[7分]（Ⅱ）111122n n n a n b a n +=+=++．[8分] 因为数列11{}2n +是首项为14，公比为12的等比数列，[9分]所以11[1()](3)421212n n n n S -+=+-[11分] 2131122n n n +++=-．[13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [ 4分]12cos 22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==, 解得1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为- [13分]17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）A 05244120123(h)5x ++++=+=，[2分]B 2370(120)1205a x -++++-=+，[3分] 由A B x x =，解得127a =．[4分]（Ⅱ）设A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为2A s ，2B s ，则22A Bs s <．[7分] （Ⅲ）设A 型号手机为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ；B 型号手机为1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C ．[8分]从被测试的手机中随机抽取A ，B 型号手机各1台，不同的抽取方法有25种．[10分]抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：11(A ,B )，14(A ,B )，31(A ,B )，34(A ,B )，共4种． [11分]因此4(C)25P =，所以21(C)1(C)25P P =-=． 所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是2125．[13分]18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥，[1分] 又因为AB PA ⊥，[2分]所以AB ⊥平面PAD ，[3分]所以AB PD ⊥．[4分]（Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ．[5分]因为E 为棱PD 中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ．[8分]又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 所以//CE 平面PAB ．[9分]（Ⅲ）在平面ABCD 上，延长AB ，CD 交于点M ．因为M AB ∈，所以M ∈平面PAB ；又M CD ∈，所以M ∈平面PCD ，所以平面PAB平面PCD PM =．[11分]在△ADM 中，因为//BC AD ，12BC AD =， 所以 22AM AB ==．[12分]因为PA PD ⊥，所以△APD 是等腰直角三角形，所以PA =．[13分]由（Ⅰ）得AM ⊥平面PAD ，所以AM PA ⊥．在直角△PAM 中，PM ==[14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得12||||24PF PF a +==，2a =．[2分]将点P 的坐标代入22214x y b +=，得22114b+=，解得b =[4分]所以，椭圆C 的方程是22142x y +=．[5分]（Ⅱ）依题意，得1)Q -．设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x ≠01y ≠±．[6分]直线MP的方程为1y x -=，[7分]令0y =，得0001x x y -=-，[8分]所以OE =．直线MQ的方程为1y x +=-，[9分]令0y =，得0001x x y +=+，[10分]所以OF =．所以2200202=1y x OE OF y -⋅- 2200202(42)=1y y y ---[12分] =4．所以OE OF ⋅为定值．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且2()32f x x ax b '=++．[1分]当0a =时，2()3f x x b '=+．（ⅰ）① 当0b ≥时，显然()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值点．[2分]② 当0b <时，令()0f x '=，解得x =．[3分] ()f x 和()f x '的变化情况如下表：（ⅱ）若0x x =是()f x 的极值点，则有2030x b +=；若0x x =是()f x 的不动点，则有30003x bx x ++=．从上述两式中消去b ，整理得300230x x +-=．[6分]设3()23g x x x =+-．所以2()610g x x '=+>，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增．又(1)0g =，所以函数()g x 有且仅有一个零点1x =，即方程300230x x +-=的根为01x =， 所以 2033b x =-=-．[8分]（Ⅱ）因为()f x 有两个相异的极值点1x ，2x ，所以方程2320x ax b ++=有两个不等实根1x ，2x ， 所以24120a b ∆=->，即230a b ->．[9分]假设存在实数a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点，则1x ，2x 是方程32(1)30x ax b x ++-+=的两个实根，显然1x ，20x ≠．对于实根1x ，有32111(1)30x ax b x ++-+=．①又因为211320x ax b ++=．②①3⨯-②1x ⨯，得 211(23)90ax b x +-+=． 同理可得222(23)90ax b x +-+=．所以，方程2(23)90ax b x +-+=也有两个不等实根1x ，2x ．[11分] 所以1223b x x a-+=-． 对于方程2320x ax b ++=，有 1223a x x +=-， 所以2233ab a--=-， 即2932a b -=-， 这与230a b ->相矛盾！所以，不存在a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点．[13分]。