2017-2018学年广东省汕头市高二下学期期末质量监测理科数学试题(Word版)

汕头市2017-2018学年度普通高中毕业班教学质量监测试题理科数学注意事项：1、答卷前，考生务心用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、座位号、考生号填写在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答. 漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1、已知集合{}{}2|2,|12A x x x B x x =>=-<≤，则（ ） A .AB =∅ B .A B R =C .B A ⊆D .A B ⊆2、已知z 是复数z 的共轭复数，若1z i =+，则复数2z z对应的点位于（ ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3、若两个非零向量,a b 满足22b a ==，23a b +=，则,a b 的夹角是（ ）A .6π B .3π C .2πD .π 4、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，555215,18S a S S =-=，则343a a -的值为（ ）A .21B .24C .27D .305、执行右图的程序框图，如果输入的1,2a b ==，则输出的n =（ ）A .10B .11C .12D .136、已知命题:p 关于x 的方程210x ax ++=没有实根；命题:0,20x q x a ∀>->.若“p ⌝”和“p q ∧”都是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A .(,2)-∞-B .(2,1]-C .(1,2)D .(1,)+∞7、某电商设计了一种红包，打开每个红包都会获得三种福卡（“和谐”、“爱国”、“敬业”）中的一种，若集齐三种卡片可获得奖励，小明现在有4个此类红包，则他获奖的概率为（ ）A .38B .58C .49D .798、将偶函数()3)cos(2)(0)f x x x θθθπ=+++<<的图像向右平移θ个单位得到函数()g x 的图像，则()g x 在46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值是（ ） A .2- B .1- C .3 D .12-9、某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各个三角形面中，最大面积为（ ）A .85B .16C .45D .4210、已知圆锥的母线长为32，它的底面圆周和顶点都在一个表面积为π的球面上，则该圆锥的体积为（ ）A .3128π B .364π C 3332π D .332π 11、已知函数,0(),0x x xe x f x x x e⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则不等式(2)f x e -<的解集为（ ）A .(,1)-∞B .(1,1)-C .(1,3)D .(1,)+∞ 12、已知函数ln ()xf x mx x=-有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A .1(0,)2e B .1(0,)e C .1(,)2e -∞ D .1(,)e -∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

目录2017-2018学年重庆一中高二（下）期末数学试卷（理科）以及答案解析2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二（下）期末数学试卷（理科）以及答案解析2017-2018学年广东省中山市高二（下）期末数学试卷（理科）以及答案解析2017-2018学年广西玉林市陆川中学高二（下）期末数学试卷（理科）以及答案解析2017-2018学年福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校联考高二（下）期末数学试卷（理科）以及答案解析2017-2018学年河北省唐山市滦南县高二（下）期末数学试卷（理科）以及答案解析2017-2018学年吉林省长春外国语学校高二（下）期末数学试卷（理科）以及答案解析2017-2018学年四川省雅安市高二（下）期末数学试卷（理科）以及答案解析2017-2018学年贵州省黔东南州凯里一中高二（下）期末数学试卷（理科）以及答案解析2017-2018学年安徽省宣城市高二（下）期末数学试卷（理科）以及答案解析2017-2018学年重庆一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知i是虚数单位，复数，则复数z=（）A．1 B．﹣1 C．﹣i D．i2．（5分）若集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，﹣1}3．（5分）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），则函数的定义域是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．[﹣1，1）D．（﹣1，1]4．（5分）“若x=a或x=b，则x2﹣（a+b）x+ab=0”的否命题是（）A．若x≠a且x≠b，则x2﹣（a+b）x+ab=0．B．若x≠a且x≠b，则x2﹣（a+b）x+ab≠0．C．若x=a且x=b，则x2﹣（a+b）x+ab≠0．D．若x=a或x=b，则x2﹣（a+b）x+ab≠0．5．（5分）条件p：a≤2，条件q：a（a﹣2）≤0，则￢p是￢q的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）=x2﹣m定义在区间[﹣3﹣m，m2﹣m]上的奇函数，则下面成立的是（）A．f（m）＜f（0） B．f（m）=f（0）C．f（m）＞f（0） D．f（m）与f（0）大小不确定8．（5分）从6人中选出4人分别参加2018年北京大学的数学、物理、化学、生物暑期夏令营，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数共有（）A．94 B．180 C．240 D．2869．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的实数x都有f（1﹣x）=f（x+1），且f （﹣1）=2，f（0）=﹣1．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）+f（2018）+f（2019）的值为（）A．2018 B．1011 C．1010 D．201910．（5分）函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f'（x），且满足xf'（x）+2f（x）＞0，则不等式（x+2018）2f（x+2018）＜16f（4）的解集为（）A．{x|x＞﹣2017}B．{x|x＜﹣2017}C．{x|﹣2018＜x＜﹣2014} D．{x|﹣2018＜x＜0}11．（5分）甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行训练．每局两人单打比赛，另一人当裁判．每一局的输方去当下一局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时，发现甲共打12局，乙共打21局，而丙共当裁判8局．那么整个比赛的第10局的输方（）A．必是甲B．必是乙C．必是丙D．不能确定12．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2﹣ax+5﹣a，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，]C．（，]D．（，]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知随机变量ξ～N（1，ς2），若P（ξ＞3）=0.2，则P（ξ≥﹣1）=．14．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．15．（5分）定义在R上的单调函数f（x），满足对∀x∈R，都有f（f（x）﹣2x）=6，则f（3）=．16．（5分）设函数f（x）=，若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x ∈R，满足f（f（x））=2a2y2+ay，则正实数a的最小值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）第21届世界杯足球赛在俄罗斯进行，某校足球协会为了解该校学生对此次足球盛会的关注情况，随机调查了该校200名学生，并将这200名学生分为对世界杯足球赛“非常关注”与“一般关注”两类，已知这200名学生中男生比女生多20人，对世界杯足球赛“非常关注”的学生中男生人数与女生人数之比为4：3，对世界杯足球赛“一般关注”的学生中男生比女生少5人．（1）根据题意建立2×2列联表，判断是否有90%的把握认为男生与女生对世界杯足球赛的关注有差异？（2）该校足球协会从对世界杯足球赛“非常关注”的学生中根据性别进行分层抽样，从中抽取7人，再从这7人中随机选出2人参与世界杯足球赛宣传活动，求这2人中至少有一个男生的概率．附：，n=a+b+c+d．18．（12分）今年五一小长假，以洪崖洞、李子坝轻轨、长江索道、一棵树观景台为代表的网红景点，把重庆推上全国旅游人气搒的新高．外地客人小胖准备游览上面这4个景点，他游览每一个景台的概率都是，且他是否游览哪个景点互不影响．设ξ表示小胖离开重庆时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．（1）记“函数f（x）=cosx﹣ξx+1是实数集R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率．（2）求ξ的分布列及数学期望．19．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A2C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小．20．（12分）已知椭圆，如图所示，直线l过点A（﹣m，0）和点B（m，tm），（t＞0），直线l交此椭圆于M，直线MO交椭圆于N．（1）若此椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，求实数m的值；（2）当m＞1，t∈[1，2]，m为定值时，求△AMN面积S的最大值．21．（12分）（1）求证：当实数x≥1时，（x+1）lnx≥2（x﹣1）；（2）已知，g（x）=ax，如果f（x），g（x）的图象有两个不同的交点A（x1，y1），B（x2，y2）．求证：．（参考数据：，ln2≈0.69，e≈2.72，e为自然对数的底数）选做题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答至选做题答题区域，标清题号.如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（m，0），直线l与曲线C相交于A，B两点，|PA||PB|=1，求实数m的值．选考题23．关于x的不等式|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为3（m为整数）．（1）求整数m的值；（2）已知a，b，c∈R，若，求a2+b2+c2的最大值．2017-2018学年重庆一中高二（下）期末数学试卷（理科）答案与解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．【分析】把A中元素代入B中解析式求出y的值，确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：把A中x=﹣1，0，1代入B中得：y=0，1，即B={0，1}，则A∩B={0，1}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．【分析】根据函数成立的条件建立不等式的关系进行求解即可．【解答】解：∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴要使函数有意义，则，即，得，即﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1），故选：A．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据复合函数定义域之间的关系以及函数成立的条件，建立不等式关系是解决本题的关键．4．【分析】利用否命题的定义，写出结果即可．【解答】解：“若x=a或x=b，则x2﹣（a+b）x+ab=0”的否命题是：若x≠a且x≠b，则x2﹣（a+b）x+ab≠0．故选：B．【点评】本题考查四种命题的逆否关系，注意“或”“且”的变换，是基本知识的考查．5．【分析】由已知中条件p：a≤2，条件q：a（a﹣2）≤0，我们可以求出对应的集合P，Q，然后分析两个集合间的包含关系，进而根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，确定q是p 的什么条件，进而根据互为逆否的两个命题真假性一致得到答案．【解答】解：∵条件p：a≤2，∴P=（﹣∞，2]∵条件q：a（a﹣2）≤0，∴Q=[0，2]∵Q⊊P∴q是p的充分不必要条件根据互为逆否的两个命题真假性一致可得￢p是￢q的充分不必要条件故选：A．【点评】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，其中求出对应的集合P，Q，然后分析两个集合间的包含关系，进而根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，确定q与p之间的关系是解答本题的关键．6．【分析】用列举法求出事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求p（A），同理求出P（AB），根据条件概率公式P（B|A）=即可求得结果．【解答】解：事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），∴p（A）=，事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），∴P（AB）=∴P（B|A）=．故选：B．【点评】此题是个基础题．考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．7．【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称的性质求出m，然后根据幂函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣m定义在区间[﹣3﹣m，m2﹣m]上的奇函数，∴定义域关于原点对称，即﹣3﹣m+m2﹣m=0，且m2﹣m﹣（﹣3﹣m）＞0，∴m2﹣2m﹣3=0且m2+3＞0，即m=﹣1或m=3．当m=﹣1时，区间[﹣2，2]，f（x）=x2﹣m=x3为奇函数，满足条件，且此时函数单调递增，满足f（m）＜f（0）当m=3时，区间为[﹣6，6]，f（x）=x2﹣m=x﹣1为奇函数，满足条件，但此时f（0）无意义，故m=3不成立，综上m=3，则f（m）＜f（0）综上：选A．故选：A．【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，以及幂函数的性质，要求熟练掌握幂函数的性质．8．【分析】先看化学比赛，甲、乙两人都不能参加化学比赛有4种选法，然后看其余三个，可以在剩余的五人中任意选，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，先看化学比赛，甲、乙两人都不能参加化学比赛有4种选法，然后看其余三个，可以在剩余的五人中任意选．共有4×5×4×3=240，故选：C．【点评】本题考查分步计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几步，每一步包含几种方法，看清思路，把几个步骤中数字相乘得到结果．9．【分析】根据函数的奇偶性和对称性求出函数的周期是2，结合函数周期性的性质进行转化求解即可．【解答】解：∵偶函数f（x）满足：对任意的实数x都有f（1﹣x）=f（x+1），∴f（1﹣x）=f（x+1）=f（x﹣1），即f（x+2）=f（x），则函数f（x）是周期为2的周期函数．∵f（﹣1）=2，f（0）=﹣1∴f（1）=f（﹣1）=2，f（2）=f（0）=﹣1，则f（1）+f（2）=2﹣1=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）+f（2018）+f（2019）=1009[f（1）+f（2）]+f（1）=1009+2=1011，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的性质求出函数的周期性是解决本题的关键．10．【分析】由题意构造函数函数g（x）=x2f（x），求导可知函数是区间（0，+∞）上的增函数，把原不等式转化为x+2018＜4，结合x+2018＞0求得x的范围．【解答】解：∵[x2f（x）]'=2xf（x）+x2f'（x）=x[2f（x）+xf'（x）]，又xf'（x）+2f（x）＞0，x＞0，∴[x2f（x）]'＞0，则函数g（x）=x2f（x）是区间（0，+∞）上的增函数．由不等式（x+2018）2f（x+2018）＜42f（4），得x+2018＜4，解得x＜﹣2014，又由x+2018＞0，得x＞﹣2018，即x∈（﹣2018，﹣2014）．故选：C．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了函数构造法，是中档题．11．【分析】推导出甲当裁判13局，乙当裁判4局，丙当裁判8局，甲当裁判的局次只能是1，3，5，…，23，25，由此能求出结果．【解答】解：∵两共当裁判8局，∴甲乙打了8局，∴甲一共打了12局，∴丙甲打了4局，∵乙共打了21局，∴乙丙打了13局，∴一共打了25局，∴甲当裁判13局，乙当裁判4局，丙当裁判8局，∴实行擂台赛，∴每局必换裁判，即某人不能连续当裁判，∴甲当裁判的局次只能是1，3，5，…，23，25，∵第11局只能是甲做裁判，∴整个比赛的第10局的输方是甲．故选：A．【点评】本题考查简单的推理，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．【分析】设g（x）=x3﹣3x2+5，h（x）=a（x+1），在同一个坐标系中画出它们的图象，结合图象找出满足条件的不等式组解之即可．【解答】解：设g（x）=x3﹣3x2+5，h（x）=a（x+1），两个函数图象如图：要使存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，只要，即，解得＜a；故选：B．【点评】本题考查了函数图象以及不等式整数解问题；关键是将问题转化为两个函数图象交点问题；属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=1，且P（ξ＞3）=0.2，依据正态分布对称性，即可求得答案．【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（1，ς2），∴曲线关于x=1对称，∵P（ξ＞3）=0.2，∴P（ξ≤﹣1）=P（ξ＞3），∴P（ξ≥﹣1）=1﹣P（ξ＞3）=1﹣0.2=0.8．故答案为：0.8【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．14．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．=•x10﹣r•a r，【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r+1令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．15．【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得f（x）﹣2x为常数，设f（x）﹣2x=t，分析可得f（x）=2x+t，进而可得f（t）=2t+t=6，解可得t=2，即可得函数f（x）的解析式，将x=3代入解析式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，定义在R上的单调函数f（x），满足对∀x∈R，都有f（f（x）﹣2x）=6，则f（x）﹣2x为常数，设f（x）﹣2x=t，则f（x）=2x+t，同时有f（t）=2t+t=6，解可得t=2，则f（x）=2x+2，则f（3）=23+2=10，故答案为：10．【点评】本题考查函数的求值，关键是求出函数f（x）的解析式．16．【分析】此题的突破口在于如何才会存在唯一的x满足条件，结合f（x）的值域范围或者图象，易知只有在f（x）的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当f（x）＞1时，才会存在一一对应．【解答】解：根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：R又∵f（x）=2x，（x≤0）时，值域为（0，1]；f（x）=log2x，（x＞0）时，其值域为R∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，要想f（f（x））=2a2y2+ay，在y∈（2，+∞）上只有唯一的x∈R满足，必有f（f（x））＞1 （因为2a2y2+ay＞0）所以：f（x）＞2解得：x＞4，当x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系∴2a2y2+ay＞1，y∈（2，+∞），且a＞0所以有：（2ay﹣1）（ay+1）＞0解得：y＞或者y＜﹣（舍去）∴≤2∴a≥故答案为：【点评】本题可以把2a2y2+ay当作是一个数，然后在确定数的大小后再把它作为一个关于y 的函数．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由分层抽样原理抽得男生、女生人数，计算所求的概率值．【解答】解：（1）根据题意可得2×2列联表为：计算，所以没有90%的把握认为男生与女生对世界杯足球赛的关注有差异；（2）由题意得男生抽4人，女生3人，所求的概率为．【点评】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了古典概型的概率问题，是基础题．18．【分析】（1）利用函数是偶函数，求出ξ，然后求解概率．（2）求出ξ的可能值，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（1）因为f（x）=cosx﹣ξx+5在R上的偶函数，所以ξ=0；从而．（2）显然ξ的可能取值为0，2，4，；；；所以ξ的分布列为：．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．19．【分析】（1）由已知得DE⊥平面A1CD，A1C⊥DE，由此能证明A1C⊥平面BCDE．（2）以C为原点，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CM与平面A1BE所成角．【解答】（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE，∵A1C⊥CD，∴A1C⊥平面BCDE．（2）解：以C为原点，CB为y轴，CA为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（﹣2，2，0），=（0，3，﹣2），=（﹣2，﹣1，0），设平面A1BE的法向量=（x，y，z），则，取x=﹣1，得=（﹣1，2，），M（﹣1，0，），，cosθ===，∴CM与平面A1BE所成角为45°．【点评】本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20．【分析】（1）双曲线的离心率是2，所以的离心率是，然后列出方程即可得到m的值．（2）求出l的方程为，由，得（m2t2+4）y2﹣4mty=0，求出M的坐标，得到三角形的面积，通过函数的导数转化求解函数的最值即可．【解答】解：（1）双曲线的离心率是2，所以的离心率是，所以有或，所以或．（2）易得l的方程为，由，得（m2t2+4）y2﹣4mty=0，解得y=0或，即点M的纵坐标，，所以，令，，由，当时，V'＞0；当时，V'＜0，若1＜m≤2，则，故当时，S max=m；若m＞2，则．∵在[1，2]上递增，进而S（t）为减函数．∴当t=1时，，综上可得．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．21．【分析】（1）令，（x≥1），则，利用导数性质能证明当实数x≥1时，（x+1）lnx≥2（x﹣1）．（2）由题意，推导出，从而=，设0＜x1＜x2，则，＞2，从而，设，则，由此能证明．【解答】证明：（1）∵（x+1）lnx≥2（x﹣1），∴令，（x≥1），则，∴h（x）在[1，+∞）单调递增，∴h（x）≥h（1）=0，∴当实数x≥1时，（x+1）lnx≥2（x﹣1）．（2）由题意，相加有，①相减有，从而，代入①有，即=，不妨设0＜x1＜x2，则，由（1）有=．又，∴，即，设，则，，在（0，+∞）单调递增，又，∴，∴，∴．【点评】本题考查不等式的证明，考查导数性质、构造法、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．选做题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答至选做题答题区域，标清题号.如果多做，则按所做的第一题记分.22．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程是（α为参数），转换为直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=2．故曲线C的普通方程为：（x﹣1）2+y2=2．……（2分）直线l的极坐标方程为：，转换直线l的直角坐标方程为．……（4分）（Ⅱ）直线l的参数方程可以写为（t为参数）．……（5分）设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+y2=2，可以得到，整理得：+（m﹣1）2﹣2=0，由于：|PA||PB|=1，所以|（m﹣1）2﹣2|=1 ……（9分）解得：m=或m=0或m=2．……（10分）【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．选考题23．【分析】（1）利用绝对值不等式，求出x的范围，然后转化列出不等式组求解即可．（2）利用已知条件，通过柯西不等式转化求解函数的最值即可．【解答】解：（1）由关于x的不等式|2x﹣m|≤1，可得，∵整数解有且仅有一个值为3，则，即5＜m＜7，又m为整数，则m=6．（2）由，由柯西不等式有（a2+b2+c2）2≤（12+12+12），当且仅当，等号成立，所以a2+b2+c2的最大值为．【点评】本题考查不等式的解法，柯西不等式在最值中的应用，考查转化思想以及计算能力．2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．（5分）设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={1}，则P∪Q=（）A．{3，1}B．{3，2，1}C．{3，2}D．{3，0，1，2}2．（5分）定义运算=ad﹣bc，若复数z满足=﹣2，则=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．64．（5分）如图是计算的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是（）①①A．n=n+2，i＞16？B．n=n+2，i≥16？C．n=n+1，i＞16？D．n=n+1，i≥16？5．（5分）已知函数f（x）与g（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，则“f（x）是增函数”的一个充分不必要条件是（）A．0＜a＜B．0＜a＜1 C．2＜a＜3 D．a＞16．（5分）等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，则（）A．A+B=C B．B2=AC C．（A+B）﹣C=B2D．A2+B2=A（B+C）7．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z=|x|﹣y的取值范围是（）A．[]B．[﹣1，3]C．[]D．[﹣1，0]8．（5分）将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）A．24种B．28种C．32种D．36种9．（5分）设A={（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}，s为（e+1）n的展开式的第一项（e为自然对数的底数），m=，若任取（a，b）∈A，则满足ab＞1的概率是（）A．B．C． D．10．（5分）一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（）A．B．+C．+D．+211．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点（A在x轴上方），延长BO交抛物线的准线于点C，若|AF|=3|BF|，|AC|=3，则抛物线的方程为（）A．y2=x B．y2=2x C．y2=3x D．y2=4x12．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=acos2ωx﹣4cosωx+3a，若对任意给定的a∈[﹣1，1]，总存在x1，x2∈[0，]（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）=0，则ω的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．6二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．（5分）已知函数f（x）=（x﹣1）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则f（3﹣x）＜0的解集为；14．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AB⊥AC，PA⊥底面ABC，PA=AB=1，则这个三棱锥内切球的半径为．15．（5分）已知△ABC中角A，B，C满足sin2B=sinAsinC且sin2+cos cos=1，则sinA=；16．（5分）已知||=||=1，向量满足|﹣（）|=||，则||的最大值为．三．解答题（必做每题12分，选做10分）17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2，数列{b n}的前n项和为S n，且S n=2﹣b n．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．18．（12分）某园林基地培育了一种新观赏植物，经过了一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度（单位：厘米）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组做出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图（图中仅列出了高度在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y（2）在选取的样本中，从高度在80厘米以上（含80厘米）的植株中随机抽取3株，设随机变量X表示所抽取的3株高度在[80，90）内的株数，求随机变量X的分布列及数学期望．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（Ⅰ）证明：PE⊥BC（Ⅱ）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．20．（12分）已知过点（1，﹣3），（1，1）且圆心在直线y=x﹣1上的圆C与x轴相交于A，B 两点，曲线Γ上的任意一点P与A，B两点连线的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）过原点O作射线OM，ON，分别平行于PA，PB，交曲线Γ于M，N两点，求|OM|•|ON|的取值范围．21．（12分）已知函数．（1）当时，讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）=x2﹣2bx+4．当时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．选做题[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数a＞0，设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|．（1）证明：f（x）≥2；（2）若f（3）≤5，求a的取值范围．2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二（下）期末数学试卷（理科）答案与解析一、选择题（每小题5分，共60分．每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．【分析】根据P∩Q={1}求得a的值，再求出b，计算P∪Q的值．【解答】解：集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={1}，则log2a=1，∴a=2，b=1；∴P={1，3}，Q={1，2}，∴P∪Q={1，2，3}．故选：B．【点评】本题考查了交集与并集的运算问题，是基础题．2．【分析】由已知可得zi+z=﹣2，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由已知可得，=﹣2⇔zi+z=﹣2，即z（1+i）=﹣2，∴z=，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．【分析】直接利用等差中项求解即可．【解答】解：在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）==2，解得a6=0．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．4．【分析】首先分析，要计算的值需要用到直到型循环结构，按照程序执行运算．【解答】解：①的意图为表示各项的分母，而分母来看相差2，∴n=n+2②的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件，而分母从1到31共16项，∴i＞16故选：A．【点评】本题考查程序框图应用，重在解决实际问题，通过把实际问题分析，经判断写出需要填入的内容，属于基础题．5．【分析】根据对称性求出函数f（x）的解析式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若f（x）与g（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=log a x，若f（x）为增函数，则a＞1，则a＞1的一个充分不必要条件是2＜a＜3，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据关于y=x的对称性求出函数f（x）的解析式是解决本题的关键．6．【分析】利用等比数列的性质可得，所以，进行整理可得答案．【解答】解：由题意可得：S n=A，S2n=B，S3n=C．由等比数列的性质可得：，，所以，所以整理可得：A2+B2=A（B+C）．故选：D．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质，并且进行正确的运算，一般以选择题的形式出现．7．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=|x|﹣y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，即可得出z的取值范围．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣2），B（0，），O（0，0）．设z=F（x，y）=|x|﹣y，将直线l：z=|x|﹣y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，当x≥0时，直线为图形中的红色线，可得当l经过B与O点时，取得最值z∈[0，]，当x＜0时，直线是图形中的蓝色直线，经过A或B时取得最值，z∈[﹣，3]综上所述，z∈[﹣，3]．故选：A．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基本知识的考查．8．【分析】分三类，有一个人分到一本小说和一本诗集，有一个人分到两本诗集，有一个人分到两本小说，根据分类计数原理可得．【解答】解：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这中情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2本小说，1本诗集分给剩余3个同学，有3种分法，那共有3×4=12种第二类，有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先将两本诗集分到一个人手上，有4种情况，将剩余的3本小说分给剩余3个人，只有一种分法．那共有：4×1=4种，第三类，有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有4种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的3个人，有3种分法．那共有：4×3=12种，综上所述：总共有：12+4+12=28种分法，故选：B．【点评】本题考查了分类和分步计数原理，关键是分类，属于中档题．9．【分析】由已知求得m，画出A表示的平面区域和满足ab＞1表示的平面区域，求出对应的面积比即可得答案．【解答】解：由题意，s=，。

广东省汕头市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设纯虚数z满足 =1+ai，则实数a=（）A . 1B . ﹣1C . 2D . ﹣22. （2分）(2017·石家庄模拟) 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式，人们还用过一些类似的近似公式，根据π=3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A .B .C .D .3. （2分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A . 假设三内角都不大于60度B . 假设三内角都大于60度C . 假设三内角至多有一个大于60度D假设三内角至多有两个大于60度4. （2分）已知函数f(x)=ax+4,若，则实数a的值为（）A . 2B . -2C . 3D . -35. （2分）(2012·湖北) 已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（）A .B .C .D .6. （2分）已知函数f（x）=sinx+ex+x2013 ，令f1（x）=f′（x），f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn+1=fn′（x），则f2014（x）=（）A . sinx+exB . cosx+exC . ﹣sinx+exD . ﹣cosx+ex7. （2分） (2016高三上·石家庄期中) 已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则不等式f（x2）＜ + 的解集为（）A . （﹣，）B . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C . （﹣1，1）D . （﹣∞，﹣）∪（，+∞）8. （2分）(2017·渝中模拟) 若，则二项式展开式中的常数项是（）A . 20B . ﹣20C . ﹣540D . 5409. （2分）下列推理过程是演绎推理的是（）A . 由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B . 某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人数都超过50人C . 两条直线平行，同位角相等；若∠A与∠B是两条平行直线的同位角，则∠A=∠BD . 在数列{an}中，a1=2，an=2an﹣1+1（n≥2），由此归纳出{an}的通项公式10. （2分）函数的图象大致是（）A .B .C .D .11. （2分）在送医下乡活动中，某医院安排3名男医生和2名女医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且女医生不安排在同一乡医院工作，则不同的分配方法总数为（）A . 78B . 114C . 108D . 12012. （2分） (2016高三上·闽侯期中) 定义域为R的函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（4﹣x），且其导函数f′（x）满足（x﹣2）f′（x）＞0，则当2＜a＜4时，有（）A . f（2a）＜f（2）＜f（log2a）B . f（2）＜f（2a）＜f（log2a）C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设 a>0 ，若曲线与直线x=a,y=0,所围成封闭图形的面积为 a2 ，则 a= ________.14. （1分） (2015高二下·淮安期中) （1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）15的展开式中含x3项的系数是________．（用数字作答）15. （1分）(2013·上海理) 方程 + =3x﹣1的实数解为________．16. （1分）在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为________①函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称；②对∀x，y∈R，若x+y≠0，则x≠1，或y≠﹣1；③若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为；④若△ABC为钝角三角形，则sinA＜cosB．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分）已知非零向量，且，求证： .18. （15分） (2017高一上·南通开学考) 已知a∈R，函数f（x）=log2（ +a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[ ，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．19. （5分）已知f（x）=2x2﹣tx，且|f（x）|=2有且仅有两个不同的实根α和β（α＜β）．（1）求实数t的取值范围（2）若x1、x2∈[α，β]且x1≠x2 ，求证：4x1x2﹣t（x1+x2）﹣4＜0；20. （10分） (2016高二下·衡阳期中) 设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=n2+n+1，n∈N* ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{ }的前n项和Tn．21. （10分） (2017高二下·桂林期末) 计算：（1）已知A =6C ，求n的值；（2）求二项式（1﹣2x）4的展开式中第4项的系数．22. （15分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=a1nx．（1）若，求实数b的值（2）若存在x∈[1，e]，使得g（x）≤﹣x2+（a+2）x成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设F（x）= ，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。

2017-2018学年广东省汕头市高二（下）期末数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-4x+3＞0}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B=（）A. B. 或C. D. 或2.若复数（1-i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a是实数，则|1-a+i|=（）A. 0B. 1C. 2D.3.甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为（）A. B. C. D.4.若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A. B. C. D.5.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+2+a n-2a n+1=0（n∈N*），若a16+a18+a20=24，则S35=（）A. 140B. 280C. 70D. 4206.抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为（）A. B. C. D. 17.执行如图所示的程序框图，若输出的S=120，则判断框内应填入的条件是（）A.B.C.D.8.展开式中x3的系数为（）A. 70B. 80C. 90D. 609.已知函数，则（）A. 函数的最大值为，其图象关于对称B. 函数的最大值为2，其图象关于对称C. 函数的最大值为，其图象关于直线对称D. 函数的最大值为2，其图象关于直线对称10.已知函数f（x）=x2+2|x|-2018，则使得f（）＞f（x+2）成立的x的取值范围是（）A. B.C. D.11.已知双曲线：＞，＞的一条渐近线恰好是圆：的切线，且双曲线C1的一个焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C1的方程为（）A. B. C. D.12.已知函数，，＞，若函数g（x）=f（x）-mx-m的图象与x轴的交点个数不少于2个，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，，，若，则=______．14.曲线f（x）=x+e-x+1在x=1处的切线方程为______．15.已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n+a n=3，则数列{a n}的通项公式是a n=______．16.已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，E为棱AD中点，现有一只蚂蚁从点B1出发，在正方体ABCD-A1B1C1D1表面上行走一周后再回到点B1，这只蚂蚁在行走过程中与平面A1BE的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足．（1）求角B的大小；（2）若b=4，△ABC的面积为，求a+c的值..18.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，EB⊥平面ABCD且EB FD．（1）求证：平面AEC⊥平面BEFD；（2）若AB=2，∠BAD=60°，EB=FD，设EA与平面ABCD所成夹角为α，且，求二面角A-EC-F的余弦值．19.某工厂为检验车间一生产线工作是否正常，现从生产线中随机抽取一批零件样本，测量它们的尺寸（单位：mm）并绘成频率分布直方图，如图所示．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件尺寸Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为零件样本平均数，σ2近似为零件样本方差s2．（1）求这批零件样本的和s2的值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）假设生产状态正常，求P（54＜Z＜85.5）；（3）若从生产线中任取一零件，测量其尺寸为30mm，根据3σ原则判断该生产线是否正常？附：；若Z～N（μ，σ2），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974．20.已知定圆M：（x-1）2+y2=16，动圆N过点F（-1，0）且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E．（1）求曲线E的方程；（2）已知直线l：y=x-1交圆M于A，B两点．C，D是曲线E上两点，若四边形ACBD的对角线AB⊥CD，求四边形ACBD面积的最大值．21.已知函数f（x）=x2+（2-a）x-a ln x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥1时，f（x）＞0，求a的最大整数值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若点A的极坐标为，，M是曲线C上的一动点，求△MAO面积的最大值．23.已知函数f（x）=|x-1|+|x+3|．（1）解不等式：f（x）≤8；（2）对任意x∈R，f（x）≥a2-3a恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|x2-4x+3＞0}={x|x＜1或x＞3}，B={x|-1＜x＜2}，∴A∩B={x|-1＜x＜1}．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵复数（1-i）（a+i）=a+1+（1-a）i 的实部与虚部相等，其中a是实数，∴a+1=1-a，求得a=0，则|1-a+i|=|1+i|==，故选：D．根据复数（1-i）（a+i）的实部与虚部相等，求得a，可得|1-a+i|．本题主要考查复数的基本概念和复数的乘法，求复数的模，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：甲、乙、丙三位同学站成一排照相，基本事件总数n=A=6，甲、丙相邻包含的基本事件个数m==4，∴甲、丙相邻的概率为p=．故选：C．基本事件总数n=A=6，甲、丙相邻包含的基本事件个数m==4，由此能求出甲、丙相邻的概率．本题考查概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】B【解析】解：作出变量x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得B（1，2），代入目标函数z=2x+y得z=2×1+2=4．即目标函数z=2x+y的最大值为4．当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最小，此时z最小．由，解得A（0，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×0+1=1．即目标函数z=2x+y的最小值为1．目标函数z=2x+y的取值范围是[1，4]，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．5.【答案】B【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，且a n+2+a n-2a n+1=0（n∈N*），可得a n+2-a n+1=a n+1-a n=…=a2-a1，即有数列{a n}为等差数列，即有2a18=a16+a20，a16+a18+a20=24，可得3a18=24，即a18=8，则S35=（a1+a35）•35=35a18=35×8=280．故选：B．由题意可得数列{a n}为等差数列，运用等差数列的性质和求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列的定义和性质，以及求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：设抛物线上的任意一点M（m，m2）M到直线x-y-2=0的距离d==，由二次函数的性质可知，当m=时，最小距离d=．故选：B．设抛物线上的任意一点M（m，m2），由点到直线的距离公式，可求M到直线x-y-2=0的距离，由二次函数的性质可求M到直线x-y-2=0的最小距离．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，解题时要注意公式的灵活运用，抛物线的基本性质和点到线的距离公式的应用，考查综合运用能力．7.【答案】B【解析】解：第一次执行循环后，k=1，S=1，不满足输出的S=120，第二次执行循环后，k=2，S=4，不满足输出的S=120，第三次执行循环后，k=3，S=11，不满足输出的S=120，第四次执行循环后，k=4，S=26，不满足输出的S=120，第五次执行循环后，k=5，S=57，不满足输出的S=120，第六次执行循环后，k=6，S=120，满足输出的S=120，故退出循环的条件，应为：k＞5，故选：B．根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】A【解析】解：根据题意，（2+x）5的展开式通项为T r+1=C5r（2）5-r x r，当r=2时，有T3=C52（2）3x2=80x2，当r=4时，有T5=C54（2）x4=10x4，则展开式中x3的系数为80×1+（-1）×10=70；故选：A．根据题意，写出（2+x）5的展开式通项，分析可得x2和x4项的系数，由多项式乘法的性质分析可得答案．本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式．9.【答案】D【解析】解：由题意，cos（）=cos（）=sin（x+），可得f（x）=2sin（x+），∴函数f（x）的最大值为2，令x+=，k∈Z．可得x=+kπ，当k=0时，可知函象关于直线对称．故选：D．根据诱导公式，可知cos（）=cos（）=sin（x+），可得f（x）=2sin（x+）即可判断各选项．本题考查了三角函数的化简和图象以及性质的应用．属于基础题．10.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f（x）=x2+2|x|-2018，有f（-x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，当x≥0时，有f（x）=x2+2x-2018，分析可得函数f（x）为增函数，若f（）＞f（x+2），则有|x|＞|x+2|，变形可得：x2-2x-2＞0，解可得：x＜1-或x＞1+，即x的取值范围：（-∞，1-）（1+，+∞）；故选：D．根据题意，由函数奇偶性的定义分析可得函数f（x）为偶函数，当x≥0时，有f （x）=x2+2x-2018，分析可得函数f（x）为增函数，据此可以将原不等式转化为|x|＞|x+2|，变形可得：x2-2x-2＞0，解饿看的x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数f（x）的奇偶性与单调性．11.【答案】D【解析】解：圆的圆心（1，），半径为．双曲线的一条渐近线恰好是圆的切线，切点在原点处的切线，可得这条渐近线的斜率为：-，可得=，一条渐近线方程为：y=x，且双曲线C1的一个焦点到渐近线的距离为2，可得b=2，解得a=2，b=2，则曲线C1的方程为：．．故选：D．求出圆的圆心，然后求解双曲线的渐近线方程，利用双曲线C1的一个焦点到渐近线的距离为2，求出a，b即可得到双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，圆锥曲线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．12.【答案】C【解析】解：函数g（x）=f（x）-mx-m的图象与x轴的交点个数不少于2个，即为函数y=f（x）的图象与直线y=m（x+1）的交点个数至少为2个，分别作出y=f（x）的图象和直线y=m（x+1），当直线与曲线在x＜0相切时，设切点为（s，t），由y=（）x的导数为y′=-（）x ln2，可得m=-（）s ln2，t=（）s=m（s+1），解得m=-2eln2，由x＞1时，联立直线y=m（x+1）和y=-x2+4x-，可得-x2+（4-m）x-m-=0，由相切条件可得△=（4-m）2-4（m+）=0，解得m=6-（6+舍去），由直线经过点（1，），可得m=，则由图象可得m的范围是[，6-]（-∞，-2eln2]．故选：C．由题意可得函数y=f（x）的图象与直线y=m（x+1）的交点个数至少为2个，分别作出y=f（x）的图象和直线y=m（x+1），分别求得直线与x＜0的曲线相切，以及x＞1的曲线相切的m的值，和经过点（1，）时m的值，结合图象可得m的范围．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查分类讨论思想方法和方程思想、以及数形结合思想方法，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：∵向量，，若，∴=，求得m=，则4+2=（1，-2）+（2，-4）=（3，-6），则==3，故答案为：3．利用两个向量共线的性质求得m的值，从而求得4+2的坐标，从而求出|4+2|的值．本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量共线的性质，求向量的模的方法，属于基础题．14.【答案】y=2【解析】解：∵f（x）=x+e-x+1，∴f′（x）=-ee-x+1，∴f′（1）=0，∵f（1）=1+1=2，∴曲线在点x=1处的切线方程为：y-2=0×（x-1），即y=2；故答案为：y=2．欲求在x=1处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程的应用等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．15.【答案】（）n-1，n∈N*【解析】解：2S n+a n=3，①可得n=1时，a1=S1，即3a1=3，可得a1=1；当n≥2时，a n=S n-S n-1，可得2S n-1+a n-1=3，②①-②可得2a n+a n-a n-1=0，即a n=a n-1，则{a n}为首项为1，公比为的等比数列，可得a n=（）n-1，n∈N*．故答案为：（）n-1，n∈N*．运用数列的递推式：n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n-S n-1，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等比数列的定义和通项公式，属于中档题．16.【答案】2【解析】解：根据题意，在正方体ABCD-A1B1C1D1，上过B1，作与平面A1BE平行的面，（如图）取A1D1和BC的中点分别为F，G，∵DG BE，且DG=BE，FD AE，且FD=AE．FD∩DG=D，FD=B1G，可得平面DFB1G是菱形．∴平面DFB1G与平面A1BE平行．故得蚂蚁在行走过程中与平面A1BE的距离保持的平面为DFB1G．由正方体的棱长为2，可得：菱形DFB1G的边长为，cos∠A1EB=．∴sin∠A1EB=∵∠A1EB=∠FDG．那么：=2×sin∠FDG=2．故答案为：2由题意，在正方体ABCD-A1B1C1D1，上过B1，作与平面A1BE平行的面，证明，求解即可！本题考查平面与平面平行的判断以及性质，关键是分析蚂蚁行走的轨迹的图形．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）由及正弦定理得：sin B sin A-sin A cos B=sin A，………………………………………（2分）∵A∈（0，π），∴sin A＞0，∴sin B-cos B=1，…………………………（3分）∴sin（B-）=，………………………………………………………（4分）∵B∈（0，π），B-∈（-，），…………………………………………（5分）∴B-=．即B=．……………………………………………………（6分）（2）∵S△ABC=ac sin B=ac=，………………………………（7分）∴ac=4，……………………………………………………………………（8分）由余弦定理得：b2=a2+c2-2ac cos，……………………………………（9分）∴16=a2+c2-2×，即a2+c2=20，……………………………………（10分）∴（a+c）2=a2+c2+2ac=20+2×4=28，…………………………………（11分）∴a+c==2．………………………………………………………（12分）【解析】（1）由正弦定理化简已知，结合sinA＞0，可得sin（B-）=，由于B∈（0，π），利用特殊角的三角函数值及正弦函数的性质可求B的值．（2）利用三角形面积公式可求ac=4，由余弦定理解得a2+c2=20，进而解得a+c 的值．本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，正弦函数的性质，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．18.【答案】（1）证明：连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EB⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥EB，∵EB∩BD=B，EB，BD⊂平面BEFD，∴AC⊥平面BEFD，∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面BEFD；（2）解：设BD∩AC=O，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△ABD、△BCD为等边三角形，则BD=AB=2，∵O是BD的中点，∴AO=CO=，∵EB⊥平面ABCD，∴∠EAB=α，∴在Rt△EAB中有，EA=，则EB=1，以O为原点，作Oz EB，以，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建空间直角坐标系O-xyz如图所示，则A（，0，0），C（-，0，0），E（0，1，1），F（0，-1，1），∴，，，，，，，，．设平面AEC的法向量为，，，由，取y=1，得，，．设平面ECF的法向量为，，，由，取a=，得，，．设二面角A-EC-F的平面角为θ，则|cosθ|=．结合图可知，二面角A-EC-F的余弦值为．【解析】（1）连结BD，由四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，再由EB⊥平面ABCD，得AC⊥EB，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BEFD，进一步得到平面AEC⊥平面BEFD；（2）设BD∩AC=O，求解三角形可得AO=CO=，EA=，EB=1，以O为原点，作Oz EB，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，建空间直角坐标系O-xyz，分别求出平面AEC与平面ECF的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-EC-F的余弦值．本题考查平面与平面垂直的判定考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．19.【答案】解：（1）=55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.05=75．S2=（55-75）2×0.1+（65-75）2×0.2+（75-75）2×0.35+（85-75）2×0.3+（95-75）2×0.05=110；（2）由（1）知，Z：N（75，10.52）．从而P（54＜Z＜75）=×P（75-2×10.5＜Z＜75+2×10.5）=×0.9544=0.4772P（75＜Z＜85.5）=×P（75-10.5＜Z＜75+10.5）=×0.6826=0.3413∴P（54＜Z＜85.5）=P（54＜Z＜75）+P（75＜Z＜85.5）=0.4772+0.3413=0.8185；（3）∵μ-3σ=43.5，μ+3σ=106.5∴P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974．∵30∉（43.5，106.5）∴小概率事件发生了，∴该生产线工作不正常．【解析】（1）根据频率分布直方图，求出数据的平均数与方差；（2）根据正态分布的概率特征，计算出P（54＜Z＜85.5）的值；（3）根据3σ原则判断30是否属于P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ），回答即可；本题考查了利用频率分布直方图求数据的平均数与方差的应用问题，也考查了正态分布的应用问题，是基础题目．20.【答案】解：（1）依题意得：M（1，0），圆M的半径r=4，∵点F（-1，0）在圆M内，∴圆N内切于圆M，∴|NM|+|NF|=4＞|FM|，∴点N的轨迹E为椭圆，设其方程为（a＞b＞0）．则2a=4，c=1，∴b=，∴轨迹E的方程为：；（2）∵点M（1，0）在直线l：y=x-1上，即直线l经过圆M的圆心，∴|AB|=8，∵AB⊥CD，故设直线CD方程为y=-x+m，设C（x1，y1），D（x2，y2），联立，消y得7x2-8mx+4m2-12=0，△=21-3m2＞0，且，，|CD|===，∴四边形ABCD的面积A==（当且仅当m=0时取等号），即四边形ABCD面积的最大值为．【解析】（1）由已知可得，点N的轨迹E为椭圆，求出a与c的值，则椭圆方程可求；（2）点M（1，0）在直线l：y=x-1上，即直线l经过圆M的圆心，则|AB|=8，由AB⊥CD，故设直线CD方程为y=-x+m，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得C，D的横纵坐标的和与积，再由弦长公式求得CD，代入四边形ACBD面积公式求解．本题考查直线与圆、椭圆位置关系的应用，考查椭圆的简单性质，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=2x+2-a-==，当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，令f′（x）＞0，得x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在，上单调递减，在，上单调递增．（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）=3-a＞0，所以当x≥1时，f（x）≥f（1）＞0，满足题意．由（1）知，当a＞0时，f（x）在，上单调递减，在，上单调递增．若＜≤1，即0＜a≤2，f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以当x≥1时，f（x）≥f（1）=3-a＞0，满足题意．若＞1，即a＞2，f（x）在，上单调递减，在，上单调递增．∴f（x）min=f=+（2-a）-a ln=a--a ln，∵f（x）＞0，∴f（x）min＞0，即a--a ln＞0，∴1--ln＞0，令g（a）=1--ln=--ln a+1+ln2（a＞0），∴g′（a）=--＜0，∴g（a）在（2，+∞）上单调递减，又g（2）=＞0，g（3）=-ln＜0，∴g（a）在（2，3）上存在唯一零点x0，∴2＜a＜x0，（2＜x0＜3）．综上所述，a的取值范围为（-∞，x0），故a的最大整数值为2．【解析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，对a分类讨论即可得出单调性．（2）利用（1）的单调性，对a分类讨论，进而得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴消去参数α得：（x-2）2+y2=4，即：x2+y2-4x=0．转换为极坐标方程为ρ2=4ρcosθ，化简为：ρ=4cosθ．（2）解：∵点O、A在圆C上，如图所示，∴过圆心C作OA的垂线交圆C于P、Q两点，交OA于点T，则．△ △ ==．【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用点在圆上的位置，进一步利用三角形的面积公式求出最大值．本题考查的知识要点：主要考察参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用及相关的运算问题的应用，属于基础题型．23.【答案】解：（1）解法一：函数f（x）=|x-1|+|x+3|=，＜，，＞，…………………………（2分）当x＜-3时，不等式f（x）≤8化为-2x-2≤8，解得：-5≤x＜-3；…（3分）当-3≤x≤1时，不等式f（x）≤8化为4≤8，解得：-3≤x≤1；当x＞1时，不等式f（x）≤8化为2x+2≤8，解得：1＜x≤3；……（4分）所以不等式f（x）≤8的解集为{x|-5≤x≤3}；…（5分）解法二：函数f（x）=|x-1|+|x+3|=，＜，，＞，……………………………（2分）令g（x）=8，画出两个函数的图象如图所示：………………（3分）由图象可知，两函数图象的交点为（-5，8）和（3，8），………………（4分）所以不等式f（x）≤g（x），即f（x）≤8的解集为{x|-5≤x≤3}；………（5分）（注：如果作出函数y=f（x）-8的图象，写出y≤0的解集，可参照解法2的标准给分）解法三：如图，设数轴上与-3，1对应的点分别是A、B，那么A、B两点的距离是4，因此区间[-3，1]上的数都是原不等式的解．………（1分）先在数轴上找出与点A、B的距离之和为8的点，将点A向左移动2个单位到点A1，这时有|A1A|+|A1B|=8，………（2分）同理，将点B向右移动2个单位到点B1，这时也有|B1A|+|B1B|=8，………（3分）从数轴上可以看到，点A1与B1之间的任何点到点A、B的距离之和都小于8，点A1的左边或点B1的右边的任何点到点A、B的距离之和都大于8，所以，原不等式的解集是{x|-5≤x≤3}；………（5分）（2）解法一：∵函数f（x）=|x-1|+|x+3|≥|x-1-x-3|=4，当-3≤x≤1时“=”成立，………（7分）又∵任意x∈R，f（x）≥a2-3a恒成立，∴a2-3a≤4，即a2-3a-4≤0，……（9分）解得：-1≤a≤4，∴a的取值范围为[-1，4]．…………………（10分）解法二：函数f（x）=|x-1|+|x+3|=，＜，，＞，作函数f（x）的图象如图：由图象可知，函数f（x）的最小值为4，……………………………（7分）（注：如果第（1）问用解法2，可直接由（1）得最小值为4，不必重复说明）又∵任意x∈R，f（x）≥a2-3a恒成立，∴a2-3a≤4，即a2-3a-4≤0，……（9分）解得：-1≤a≤4，∴a的取值范围为[-1，4]．…………（10分）【解析】（1）解法一：分类讨论去掉绝对值，求不等式f（x）≤8的解集即可；解法二：画出函数f（x）和g（x）=8的图象，利用图象求出不等式f（x）≤8的解集；解法三：利用绝对值的几何意义，在数轴上表示出对应的点，从而求出不等式的解集；（2）解法一：根据绝对值不等式求出函数f（x）的最小值，把不等式f（x）≥a2-3a 化为a2-3a≤4，从而求出a的取值范围．解法二：画出函数f（x）的图象，由图象求出函数f（x）的最小值，把不等式f（x）≥a2-3a化为a2-3a≤4，解不等式求出a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式与不等式恒成立问题，是中档题．。

广东省汕头市2017-2018学年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合A={1，2z2，zi}，B={2，4}，i为虚数单位，若A∩B={2}，则纯虚数z为（）A．i B．﹣i C．2i D．﹣2i2．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（5，4），且P（X＞k）=P（X＜k﹣4），则k 的值为（）A．6B．7C．8D．93．（5分）抛物线y=x2的焦点到准线的距离为（）A．2B．1C．D．4．（5分）以下说法错误的是（）A．“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b充分不必要条件B．∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβC．∃m∈R，使f（x）=m是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增D．“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”5．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或﹣1 D．2或16．（5分）某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）（）A．100（3+）cm2B．200（3+）cm2C．300（3+）cm2D．300cm27．（5分）某教育机构随机某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）A．B．C．D．8．（5分）定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f（x）的同值变换的是（）A．f（x）=（x﹣1）2，T将函数f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）=2x﹣1﹣1，T将函数f（x）的图象关于x轴对称C．f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称D．，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称二、填空题（共5小题）9．（5分）不等式|x﹣1|＞x﹣1的解集为．10．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4+a2012+a2014=8，且S n是该数列的前n和，则S2015=．11．（5分）如图，设甲地到乙地有4条路可走，乙地到丙地有5条路可走，那么，由甲地经乙地到丙地，再由丙地经乙地返回甲地，共有种不同走法12．（5分）如图，在△ABC中，∠B=，点D在BC上，cos∠ADC=，则cos∠BAD=．13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S的取值范围是三、坐标系与参数方程选做题（满分5分）14．（5分）（坐标系与参数方程选讲选做题）在极坐标系中，定点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标为．四、几何证明选做题（满分0分）15．如图，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知∠BPA=30°，PA=2，PC=1，则圆O的半径等于．五、解答题（共6小题）16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（﹣2015）=3（1）求A的值．（2）指出函数f（x）在x∈[0，8]上的单调区间（不要求过程）．（3）若f（﹣1）+f（+1）=，a∈[0，π]，求cos2a．17．（12分）随着三星S6手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是大部分学生可望而不可及，因此我市沃尔玛“三星手机专卖店”推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近100名采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数35 25 a 10 b已知分3期付款的频率为0.15，并且店销售一部三星S6，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率．以此样本估计总体，试解决以下问题（Ⅰ）求事件A：“购买的3位顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（Ⅱ）用X表示销售一部三星S6手机的利润，求X的分布列及数学期望．18．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP，M 为PB的中点，N在BC上，且BN=BC（1）求证：MN⊥AB（2）求二面角P﹣AN﹣M的余弦值．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=1，且对于任意n∈N+都有2S n﹣na n+1=0，数列{b n}满足b n=，T（n）是数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式（2）用数学归纳法证明：当n≥2时，n+T（1）+T（2）+T（3）+…+T（n﹣1）=nT（n）（3）设A n=++…+，试证：＜A n＜．20．（14分）已知a＞0，且a≠1函数f（x）=log a（1﹣a x）（1）求函数f（x）的定义域，判断并证明f（x）的单调性（2）当a=e（e为自然对数的底数）时，设h（x）=（1﹣e f（x））（x2﹣m+1），若函数h（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h（x）的极值．21．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点F（，0）其短轴上的一个端点到F的距离为（1）求椭圆C的；离心率及其标准方程（2）点P（x0，y0）是圆G：x2+y2=4上的动点，过点P作椭圆C的切线l1，l2交圆G于点M，N，求证：线段MN的长为定值．广东省汕头市2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合A={1，2z2，zi}，B={2，4}，i为虚数单位，若A∩B={2}，则纯虚数z为（）A．i B．﹣i C．2i D．﹣2i考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据A，B，以及A与B的交集，得到元素2属于A，列出关于z的方程，求出方程的解即可确定出z．解答：解：∵A={1，2z2，zi}，B={2，4}，且A∩B={2}，∴2z2=2或zi=2，解得：z=±1（不合题意，舍去）或z=﹣2i，则纯虚数z为﹣2i．故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（5，4），且P（X＞k）=P（X＜k﹣4），则k 的值为（）A．6B．7C．8D．9考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据正态曲线关于x=5对称，得到两个概率相等的区间关于x=5对称，得到关于k 的方程，解方程即可．解答：解：∵随机变量X服从正态分布N（5，4），且P（X＞k）=P（X＜k﹣4），∴，∴k=7，故选B．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=5对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题．3．（5分）抛物线y=x2的焦点到准线的距离为（）A．2B．1C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．解答：解：抛物线y=x2可知焦点F（0，1），准线方程y=﹣1，∴焦点到准线的距离是1+1=2．故选：A．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用，属基础题．4．（5分）以下说法错误的是（）A．“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b充分不必要条件B．∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβC．∃m∈R，使f（x）=m是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增D．“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．“log3a＞log3b”⇔a＞b＞0⇒“（）a＜（）b，即可判断出；B．∃α，β=0∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ；C．∃m=1∈R，使f（x）=x3在（0，+∞）上单调递增；D．“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，即可判断出．解答：解：A．“log3a＞log3b”⇔a＞b＞0⇒“（）a＜（）b，因此“log3a＞log3b”是“（）a ＜（）b充分不必要条件，正确；B．∃α，β=0∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ，正确C．∃m=1∈R，使f（x）=m是幂函数，且f（x）=x3在（0，+∞）上单调递增，正确；D．“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，因此不正确．故选：D．点评：本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于基础题．5．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或﹣1 D．2或1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．6．（5分）某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）（）A．100（3+）cm2B．200（3+）cm2C．300（3+）cm2D．300cm2考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图．由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形[的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积解答：解：由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积，其底面边长为10，故底面面积为10×10=100，与底面垂直的两个侧面是全等的直角，两直角连年长度分别为10，20，故它们的面积皆为100，另两个侧面也是全等的直角三角形，两直角边中一边是底面正方形的边长10，另一边可在与底面垂直的直角三角形中求得，其长为=10，故此两侧面的面积皆为50，故此四棱锥的表面积为S=100（3+）cm2．故选：A点评：考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是表面积．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等，本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图．三视图是新课标的新增内容，在以后的2015届高考中有加强的力度．7．（5分）某教育机构随机某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）A．B．C．D．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图，分别计算每一组的频数即可得到结论．解答：解：由频率分布直方图可知：第一组的频数为20×0.01×5=1个，[0，5）的频数为20×0.01×5=1个，[5，10）的频数为20×0.01×5=1个，[10，15）频数为20×0.04×5=4个，[15，20）频数为20×0.02×5=2个，[20，25）频数为20×0.04×5=4个，[25，30）频数为20×0.03×5=3个，[30，35）频数为20×0.03×5=3个，[35，40]频数为20×0.02×5=2个，则对应的茎叶图为A，故选：A．点评：本题主要考查茎叶图的识别和判断，利用频分布直方图计算相应的频数是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f（x）的同值变换的是（）A．f（x）=（x﹣1）2，T将函数f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）=2x﹣1﹣1，T将函数f（x）的图象关于x轴对称C．f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称D．，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称考点：函数的图象．专题：计算题；新定义．分析：对于A：T是将函数f（x）的图象关于y轴对称，此变换不改变函数的值域；对于B：f（x）=2x﹣1﹣1，其值域为（﹣1，+∞），将函数f（x）的图象关于x轴对称，得到的函数解析式是y=﹣2x﹣1+1，再求出其值域即可进行判断；对于C：f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称，得到的函数解析式是2﹣y=2（﹣2﹣x）+3，即y=2x+3，它们是同一个函数；对于D：，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，得到的函数解析式是y=，它们的值域都为[﹣1，1]，从而得出答案．解答：解：对于A：T是将函数f（x）的图象关于y轴对称，此变换不改变函数的值域，故T属于f（x）的同值变换；对于B：f（x）=2x﹣1﹣1，其值域为（﹣1，+∞），将函数f（x）的图象关于x轴对称，得到的函数解析式是y=﹣2x﹣1+1，值域为（1，+∞），T不属于f（x）的同值变换；对于C：f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称，得到的函数解析式是2﹣y=2（﹣2﹣x）+3，即y=2x+3，它们是同一个函数，故T属于f（x）的同值变换；对于D：，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，得到的函数解析式是y=，它们的值域都为[﹣1，1]，故T属于f（x）的同值变换；故选B．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数的图象、函数的图象变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．二、填空题（共5小题）9．（5分）不等式|x﹣1|＞x﹣1的解集为（﹣∞，1）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：通过|x﹣1|＞x﹣1可知x﹣1为负数，计算即可．解答：解：∵|x﹣1|＞x﹣1，∴x﹣1＜0，∴x＜1，故答案为：（﹣∞，1）．点评：本题考查求解绝对值不等式，去掉绝对值符号是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．10．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4+a2012+a2014=8，且S n是该数列的前n和，则S2015=4030．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：等差数列{a n}满足a2+a4+a2012+a2014=8，可得2（a1+a2015）=8，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．解答：解：∵等差数列{a n}满足a2+a4+a2012+a2014=8，∴2（a1+a2015）=8，解得a1+a2015=4．∴S2015==4030．故答案为：4030．点评：本题考查了等差数列的性质与等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）如图，设甲地到乙地有4条路可走，乙地到丙地有5条路可走，那么，由甲地经乙地到丙地，再由丙地经乙地返回甲地，共有400种不同走法考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：分两步，从甲到丙由4×5=20种，从丙到甲由4×5=20种，根据分步计数原理可得答案．解答：解：分两步，从甲到丙由4×5=20种，从丙到甲由4×5=20种，根据分步计数原理得，由甲地经乙地到丙地，再由丙地经乙地返回甲地，共有20×20=400种，故答案为：400．点评：本题考查了分步计数原理，属于基础题．12．（5分）如图，在△ABC中，∠B=，点D在BC上，cos∠ADC=，则cos∠BAD=．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：根据三角形边角之间的关系，结合两角差的余弦函数公式可得到结论．解答：解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC==，则cos∠BAD=cos（∠ADC﹣∠B）=cos∠ADC•cosB+sin∠ADC•sinB==．故答案为：．点评：本题主要考查解三角形的应用，利用两角差的余弦函数公式是解决本题本题的关键，难度不大，属于基础题．13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S的取值范围是[﹣3，6]考点：循环结构．专题：函数的性质及应用；算法和程序框图．分析：根据程序框图，分析程序的功能，结合输出自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论．解答：解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，0]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故答案为：[﹣3，6]．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，属于基础题．三、坐标系与参数方程选做题（满分5分）14．（5分）（坐标系与参数方程选讲选做题）在极坐标系中，定点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：将直线ρcosθ+ρsinθ=0化为一般方程，再利用线段AB最短可知直线AB与已知直线垂直，设出直线AB的方程，联立方程求出B的坐标，从而求解．解答：解：∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入直线ρcosθ+ρsinθ=0，可得x+y=0…①，∵在极坐标系中，定点A（2，），∴在直角坐标系中，定点A（0，﹣2），∵动点B在直线x+y=0上运动，∴当线段AB最短时，直线AB垂直于直线x+y=0，∴k AB=，设直线AB为：y+2=x，即y=x﹣2…②，联立方程①②求得交点B（，﹣），∴ρ==1，tanθ==﹣，∴θ=．故答案为．点评：此题主要考查极坐标与一般方程之间的转化，是一道基础题，注意极坐标与一般方程的关系：ρ=，tanθ=，x=ρcosθ，y=ρsinθ．四、几何证明选做题（满分0分）15．如图，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知∠BPA=30°，PA=2，PC=1，则圆O的半径等于7．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；压轴题．分析：连AO并延长，根据切线的性质定理得到Rt△PAD，根据切割线定理得到PA2=PC•PB，根据相交弦定理得到CD•DB=AD•DE，最后即可解得圆O的半径．解答：解：如图，连AO并延长，交圆O与另一点E，交割线PCB于点D，则Rt△PAD中，由∠DPA=30°，，得AD=2，PD=4，而PC=1，故CD=3，由切割线定理，得PA2=PC•PB，即，则PB=12，故DB=8．设圆O的半径为R，由相交弦定理，CD•DB=AD•DE，即3×8=2（2R﹣2），得R=7；故答案为7．点评：本小题主要考查圆的切割线定理和相交弦定理．属于基础题．五、解答题（共6小题）16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（﹣2015）=3（1）求A的值．（2）指出函数f（x）在x∈[0，8]上的单调区间（不要求过程）．（3）若f（﹣1）+f（+1）=，a∈[0，π]，求cos2a．考点：二倍角的余弦；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由题意及诱导公式可得sin（）=Asin（）=Asin=A，即可解得A；（2）由正弦函数的性质即可求得函数f（x）的单调递增区间，单调递减区间；（3）由诱导公式化简已知等式可得sin，α∈[0，π]，从而可求sin2α，结合范围α∈[0，π]，sin＞0，可求2α范围，利用同角三角函数关系式即可得解．解答：解：（1）∵由题意，f（﹣2015）=Asin（+）=Asin（）=Asin （）=Asin=A，∴解得：A=3…（4分）（2）函数f（x）的单调递增区间为[0，1]，[5，8]，单调递减区间为[1，5]…（6分）（3）∵f（﹣1）+f（+1）=3sin[×（﹣1）+]+3sin[×（+1）+]=3sinα+3sin （）=3sinα+3cosα=，∴sin，α∈[0，π]，由（sinα+cosα）2=可得：2sinαcosα=﹣，即sin2α=﹣，又∵α∈[0，π]，sin＞0，∴，∴2，∴cos2α＜0，∴由sin22α+cos22α=1可解得：cos2α=﹣=﹣=﹣…（12分）点评：本题主要考查了复合三角函数的单调性，二倍角的余弦公式，诱导公式，同角三角函数关系式以及三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．17．（12分）随着三星S6手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是大部分学生可望而不可及，因此我市沃尔玛“三星手机专卖店”推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近100名采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数35 25 a 10 b已知分3期付款的频率为0.15，并且店销售一部三星S6，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率．以此样本估计总体，试解决以下问题（Ⅰ）求事件A：“购买的3位顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（Ⅱ）用X表示销售一部三星S6手机的利润，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型．专题：概率与统计．分析：（1）随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1求得P（A）（2）由分期付款的期数得出利润的概率求得分布列．解答：解：（1）由题意得：随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1所以P（A）=（2）由因为35+25+a+10+b=100，所以b=15（2）记分期付款的期数为ξ，依题意得P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25．P（ξ=3）=0.15，P （ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15因为X可能取得值为1000元，1500元，2000元并且易知P（X=1000）=P（ξ=1）=0.35P（X=1500）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.4P（X=2000）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.15=0.25所以X得分布列X 1000 1500 2000P 0.35 0.4 0.25所以X得数学期望E（X）=1000×0.35+1500×0.4+2000×0.25=1450点评：主要考察随机变量的期望和方差，属于基础题型，在2015届高考中属于常见题型．18．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP，M 为PB的中点，N在BC上，且BN=BC（1）求证：MN⊥AB（2）求二面角P﹣AN﹣M的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．专题：空间向量及应用．分析：（1）以A为原点，AN为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得和的坐标，证数量积为0即可；（2）平面PAN的法向量可取为=（0，1，0），待定系数可得平面AMN的法向量，计算向量的夹角余弦值即可得到二面角P﹣AN﹣M的余弦值．解答：解：（1）由题意可得∠BAN=30°，∴∠NAC=120°﹣30°=90°，以A为原点，AN为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（，﹣，0），M（，﹣，），N（，0，0），∴=（，﹣，0），=（，，），∴•=0，∴MN⊥AB（2）由（1）知P（0，0，1），C（0，1，0），=（，﹣，），=（，0，0），平面PAN的法向量可取为=（0，1，0），设平面AMN的法向量=（x，y，z），则，故可取量=（0，2，1），∴cos＜，＞==∴二面角P﹣AN﹣M的余弦值为点评：本题考查空间向量法解决立体几何问题，涉及二面角的求解，属中档题．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=1，且对于任意n∈N+都有2S n﹣na n+1=0，数列{b n}满足b n=，T（n）是数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式（2）用数学归纳法证明：当n≥2时，n+T（1）+T（2）+T（3）+…+T（n﹣1）=nT（n）（3）设A n=++…+，试证：＜A n＜．考点：数列与不等式的综合．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）根据数列中a n与前n项和为S n的关系，化简2S n﹣na n+1=0得到，利用累积法求出数列{a n}的通项公式；（2）由（1）求出b n，再利用数学归纳法证明结论即可；（3）由（1）可得，利用放缩法可得，即可证明左边不等式成立，再利用基本不等式得：，即可证明右边不等式成立．解答：解：（1）由题意得，①当n=1时，2S1﹣na2=0，则a2=2S1=2a1=2…1分，②由2S n﹣na n+1=0得，2S n+1﹣na n+2=0，…2分两式相减得：2a n+1﹣（n+1）a n+2+na n+1=0，即，又，所以对于任意n∈N+都有…3分所以a n==，即对于任意n∈N+都有a n=n…5分；证明：（2）由（1）知，b n==，用数学归纳法证明如下：①当n=2时，左边=2+T（1）=2+b1=2+1=3，右边=2T（2）（1+）=3=左边，所以n=2时结论成立…6分，②假设n=k（k≥3）时结论成立，则k+T（1）+T（2）+T（3）+…+T（k﹣1）=kT（k）…7分那么当n=k+1时，k+1+T（1）+T（2）+T（3）+…+T（k﹣1）+T（k）=kT（k）+T（k）+1=（k+1）T（k）+1==（k+1）T（k+1）…9分综上，当n≥2时，n+T（1）+T（2）+T（3）+…+T（n﹣1）=nT（n）成立…10分（3）由（1）知，，先证左边的式子：由于，所以1+2+3+…+n=…12分，再证右边的式子：由于，所以1+2+3+…+n+==＜…14分综上，对于任意n∈N+都有＜A n＜．点评：本题考查数列中a n与前n项和为S n的关系，累积法求数列的通项公式，以及数学归纳法、放缩法、基本不等式的在数列中应用，综合强，属于难题．20．（14分）已知a＞0，且a≠1函数f（x）=log a（1﹣a x）（1）求函数f（x）的定义域，判断并证明f（x）的单调性（2）当a=e（e为自然对数的底数）时，设h（x）=（1﹣e f（x））（x2﹣m+1），若函数h（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h（x）的极值．考点：利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）据对数函数的真数大于0，列出不等式求出定义域；求出导函数，利用导函数大于0函数得到递增；导函数小于0函数单调递减．（2）求出导函数，令导函数为0，导函数是否有根进行分类讨论；导函数的根是否在定义域内再一次引起分类讨论，利用极值的定义求出极值．解答：解：（1）由题意知，1﹣a x＞0所以当0＜a＜1时，f（x）的定义域是（0，+∞），a＞1时，f（x）的定义域是（﹣∞，0），f′（x）==当0＜a＜1时，x∈（0，+∞），因为a x﹣1＜0，a x＞0，故f'（x）＜0，所以f（x）是减函数．当a＞1时，x∈（﹣∞，0），因为a x﹣1＜0，a x＞0，故f'（x）＜0，所以f（x）是减函数；（2）h（x）=e x（x2﹣m+1）（x＜0），所以h'（x）=e x（x2+2x﹣m+1），令h'（x）=0，即x2+2x﹣m+1=0，由题意应有△≥0，即m≥0．①当m=0时，h'（x）=0有实根x=﹣1，在x=﹣1点左右两侧均有h'（x）＞0，故h（x）无极值．②当0＜m＜1时，h'（x）=0有两个实根x1=﹣1﹣，x2=﹣1+．当x变化时，h'（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，0）h′（x）+ 0 ﹣0 +h（x）递增极大值递减极小值递增∴h（x）的极大值为（1+），h（x）的极小值为2（1﹣）．③当m≥1时，h'（x）=0在定义域内有一个实根x=﹣1﹣．同上可得h（x）的极大值为（1+）．综上所述，m∈（0，+∞）时，函数h（x）有极值．当0＜m＜1时，h（x）的极大值为（1+），h（x）的极小值为2（1﹣）．当m≥1时，h（x）的极大值为（1+）．点评：本题考查利用导数的符号讨论函数的单调性；利用导数研究函数的极值；在含参数的函数中需要分类讨论．21．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点F（，0）其短轴上的一个端点到F的距离为（1）求椭圆C的；离心率及其标准方程（2）点P（x0，y0）是圆G：x2+y2=4上的动点，过点P作椭圆C的切线l1，l2交圆G于点M，N，求证：线段MN的长为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点F（，0）其短轴上的一个端点到F的距离为，求出c，a，可得b，即可求椭圆C的离心率及其标准方程；（Ⅱ）分类讨论：l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，无论两条直线中的斜率是否存在，都有l1，l2垂直．即可得出线段MN为准圆x2+y2=4的直径．解答：解：（1）由题意，a=，c=，∴b=1，∴e==，椭圆的方程为；（2）证明：①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x=±，当l1：x=时，l1与准圆交于点（，1），（，﹣1），此时l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：x=﹣时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4．设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x0）+y0，代入椭圆方程得（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3=0．由△=0化简整理得（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02=0，∵x02+y02=4，∴有（3﹣x02）t2+2x0y0t+x02﹣3=0．设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+x02﹣3=0．，∴t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，∴线段MN的长为定值．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、新定义、直线与椭圆相切⇔△=0、直线垂直与斜率的关系、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。

绝密★启用前 试卷类型：A汕头市2017~2018学年度普通高中教学质量监测高二理科数学第 Ⅰ 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．已知集合2={|430}A x x x -+>，={|12}B x x -<<，则AB =A ．{}|13x x -<<B ．{}|23x x x <>或C ．{}|11x x -<<D ．{}|13x x x <->或 2．若复数(1i)(i)a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则|1i |-+=a A ．0 B ．1 C ．23．甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为A ．16B ．15C ．23D ．134．若变量x y ，满足约束条件111+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩x y y x x ，则2z x y =+的取值范围是A ．[1,2]B ．[1,4]C ．[2,4]D ．[1,3]5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*2120()n n n a a a n N +++-=∈，若16182024a a a ++=，则35S = A ．140B ．280C ．70D ．4206．抛物线2y x =上的点到直线20x y --=的最短距离为ABC．D ．1 7．执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内应填入的条件是 A ．4k >B ．5k >C ．6k >D ．7k >8．51()(2)x x x-+展开式中3x 的系数为 A ．70B ．80C ．90D ．609．已知函数()cos()sin(+)63f x x x ππ=-+，则A ．函数()f x(,0)6π对称B ．函数()f x 的最大值为2，其图象关于(,0)6π对称C ．函数()f x6x π=对称D ．函数()f x 的最大值为2，其图象关于直线6x π=对称10．已知函数()2||22018x f x x =+-，则使得)()2f f x >+成立的x 的取值范围是A．(1 B．((),13,-∞+∞C ．(1+D ．((),113,-∞++∞11．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线恰好是圆222:(1)(3C x y -+=的切线，且双曲线1C 的一个焦点到渐近线的距离为2，则双曲线1C 的方程为A ．221128x y -= B ．221124x y -= C.221168x y -= D ．22184x y -= 12．已知函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-≤⎪⎭⎫⎝⎛=1,2541,212x x x x x f x，若函数()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的 交点个数不少于2个，则实数m 的取值范围是A ．(]1,2ln 2,64⎡-∞--⎢⎣B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-306,41 C ．(]1,2ln 2,64e ⎡-∞--⎢⎣D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+306,41第 Ⅱ 卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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θ2017—2018学年度高二第二学期期末考试文科数学试卷—、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}1,0,1,2,3A =-,{}230B x x x =-≥，则A B =（ ）A ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}1,3-D ．{}1,0,3-2．若复数z 满足()1i 12i z -=+，则z =（ ）A ．52B ．32C 10D ．623．已知α为锐角，5cos α=，则tan 4απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A ．13B ．3C ．13-D ．3-4．设命题p ：1x ∀< ，21x <，命题q :00x ∃> ，012x x >，则下列命题中是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∧ C ．()p q ∧⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝5．已知变量x ，y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．6D ．06．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,直角三角形中较小的锐角6θπ=．若在该大正方形区域内随机地取 一点，则该点落在中间小正方形内的概率是（ ）A 23-3．14D ．127.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1,A 2,…,A 16,右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（ )A ．6B ．10C ．91D ．928. 已知等比数列｛a n }，且a 4+a 8=—2,则a 6（a 2+2a 6+a 10）的值为（ ）A. 4B 。

广东省汕头市数学高二下学期理数期末教学检测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共16题；共28分)1. （2分） (2018高三上·杭州月考) 复数 (为虚数单位)的共轭复数是（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·濮阳模拟) 根据如表数据，得到的回归方程为，则x45678y54321A . 2B . 1C . 0D .3. （2分）若F′(x)＝x2 ，则F(x)的解析式不正确的是（）A . F(x)＝x3B . F(x)＝x2+2C . F(x)＝x3＋1D . F(x)＝x3＋c(c为常数)4. （2分）用反证法证明命题：“已知a、b∈N* ，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A . a、b都能被5整除B . a、b都不能被5整除C . a、b不都能被5整除D . a不能被5整除5. （2分） (2017高二下·咸阳期末) 完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，一共有多少种选法？（）A . 5B . 4C . 9D . 206. （2分） (2016高二下·佛山期末) 设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则c的值是（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分） (2018高一下·商丘期末) 袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A . 至少有一个白球；都是白球B . 至少有一个白球；红、黑球各一个C . 恰有一个白球；一个白球一个黑球D . 至少有一个白球；至少有一个红球8. （2分）空间五点中，无三点共线．且无四点共面，则这五点可以确定平面的个数是（）A . 5B . 10C . 15D . 209. （2分）(2018·临川模拟) 已知定义在上的函数的导函数为，且，，则的解集为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二下·咸阳期末) （1﹣2x）4展开式中含x项的系数（）A . 32B . 4C . ﹣8D . ﹣3211. （2分） (2018高一下·南阳期中) 一位母亲记录了自己儿子3～9岁的身高数据（略），由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）A . 身高一定是145.83cmB . 身高在145.83cm以上C . 身高在145.83cm左右D . 身高在145.83cm以下12. （2分）早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5min）、刷水壶（2min）、烧水（8min）、泡面（3min）、吃饭（10min）、听广播（8min）几个步骤．从下列选项中选出最好的一种流程（）A . 1．洗脸刷牙、2．刷水壶、3．烧水、4．泡面、5．吃饭、6．听广播B . 1．刷水壶、2．烧水同时洗脸刷牙、3．泡面、4．吃饭、5．听广播C . 1．刷水壶、2．烧水同时洗脸刷牙、3．泡面、4．吃饭同时听广播D . 1．吃饭同时听广播、2．泡面、3．烧水同时洗脸刷牙、4．刷水壶13. （1分） (2018高三上·汕头月考) 复数z满足，则复数z的共轭复数 ________．14. （1分） (2016高二下·宜春期中) 如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）=________．15. （1分） (2018高二上·扬州期中) 已知f（x）=2x+3xf′（0），则f′（1）=________．16. （1分） (2016高一上·临川期中) 设定义在[﹣3，3]上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）单调递减，若f（1﹣2m）＜f（2m）成立，则m的取值范围是________．二、解答题 (共6题；共30分)17. （5分） (2016高二下·桂林开学考) 已知f（x）=ex﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若对∀x≥0，恒有f（x）≥ax2+1，求a的取值范围．18. （5分）江苏某教学研究机构为了调查高中生的数学学习成绩是否与物理成绩有关系，在某校高二年级随机抽查了50名学生，调查结果表明：在数学成绩好的25人中有18人物理成绩好，另外7人物理成绩一般；在数学成绩一般的25人中有6人物理成绩好，另外19人物理成绩一般．（1）试根据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验的思想，指出是否有99.9%的把握认为高中生的数学成绩与物理成绩有关系；数学成绩好数学成绩一般总计物理成绩好物理成绩一般总计（2）现将4名数学成绩好且物理成绩也好的学生分别标号为1，2，3，4，将这4名数学成绩好但物理成绩一般的学生也分别标号为1，2，3，4，从这两组学生中任选1人进行学习交流，求被选取的2名学生标号好不大于5的概率．附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828 K2= ，（n=a+b+c+d）19. （5分）(2018高二下·如东月考) 已知函数，对任意正整数，有，求方程的所有解．20. （5分） (2017高二下·南昌期末) 共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．（Ⅰ）求图中x的值；（Ⅱ）已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取4人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．21. （5分）(2017·成都模拟) 某医疗科研项目对5只实验小白鼠体内的A、B两项指标数据进行收集和分析，得到的数据如下表：指标1号小白鼠2号小白鼠3号小白鼠4号小白鼠5号小白鼠A57698B22344（1）若通过数据分析，得知A项指标数据与B项指标数据具有线性相关关系，试根据上表，求B项指标数据y关于A项指标数据x的线性回归方程 = x+ ；（2）现要从这5只小白鼠中随机抽取3只，求其中至少有一只B项指标数据高于3的概率．参考公式： = = ， = ﹣．22. （5分）(2020·晋城模拟) 已知函数（其中）.（1）讨论函数的极值；（2）对任意，恒成立，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共16题；共28分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、二、解答题 (共6题；共30分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

绝密★启用前 试卷类型：A汕头市2015~2016学年度普通高中教学质量监测高二理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、座位号、考生号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第 Ⅰ 卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1. 集合{}{}2|ln 0,|16A x x B x x =≥=<，则=A B ( )A ．()41，B ．[)1,4C ．[)1,+∞D ．[),4e2. 复数231i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭=( )A ．－3－4iB ．－3+4iC ．3－4iD ．3+4i3. 函数22()sincos 33f x x x =+的图象中相邻的两条对称轴间距离为( ) A ． 3π B ．43πC ．32πD ．76π 4. 下列命题中，是真命题的是( ) A ．0x R ∃∈，00x e≤ B ．已知a ，b 为实数，则a +b =0的充要条件是a b=－1C ． x R ∀∈，22x x > D ．已知a ，b 为实数，则a >1，b >1是ab >1的充分条件5. 现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是( ) A ．12B ．24C ．36D ．486. 已知向量(1,),(1,1),a x b x ==-若(2)a b a -⊥，则|2|a b -=( )ABC ．2D7. 已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a >0，b >0)，则C 的渐近线方程为( )A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =± D ．y x =±8. 在ABC ∆中，A =6π，ABAC =3，D 在边BC 上，且2CD D B =，则AD =( )ABC ．5 D．9. 某程序框图如图所示，现将输出(,)x y 值依次记为：11(,)x y ， 22(,)x y ，…，(,)n n x y ，…若程序运行中输出的一个数组是(10)-x ，，则数组中的x =( ) A ．32 B ．24 C ．18D ．1610. 如图1，已知正方体1111CD C D AB -A B 的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1D A ，1C B ，11C D 上．当三棱锥Q-BMN 的俯视图如图2正视图面积等于( )A ．212a B ．214aC 2D 211. 已知函数)0)(cos 3(sin cos )(>+=ωωωωx x x x f ，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有00()()(2016)f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为( ) A ．14032πB ．14032C ．12016π D ．1201612. 已知函数-+-≤≤⎧=⎨≤<⎩2|1|,70()ln ,x x f x x e x e，2()2g x x x =-，设a 为实数，若存在实数m ，使()2()0f m g a -=则实数a 的取值范围为( )A ．[1,)-+∞B ．[1,3]-C ．,1][3,)-∞-+∞（UD ．,3]-∞（第 Ⅱ 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

汕头市高二下学期期末质量监测数学理试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。

）1·集合A ＝｛x ｜ln 0x ≥｝，B ＝｛x ｜x 2＜16｝，则AB ＝（）A ．（1，4）B ．［l ，4）C ．［l ，＋∞）D ．［e ，4）2．复数231i i -⎛⎫⎪+⎝⎭A ．一3一4iB ．一3＋4iC ．3一4iD ．3＋4i 3·函数22()sincos 33f x x x =+的图象中相邻的两条称轴间距离为（） A 、3π B 、43π C 、32π D 、76π 4．下列命题中，是真命题的是（） A ．00,0x x R e∃∈≤ B ．已知a ，b 为实数，则a 十b ＝0的充要条件是ab＝一1 C ．2,2xx R x ∀∈> D ．已知a ，b 为实数，则a ＞1，b ＞1是a b ＞1的充分条件 5．现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅 有两人相邻，则不同的站法种数是（）A.12 B ．24 C ．36 D ．486.已知向量a ＝(1, x)，b ＝(1, x 一1)，若(2)a b a -⊥，则｜2a b -｜＝（）C. 27.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，则C 的渐近线方程为（）A. y ＝14x ±B. y ＝13x ±C. y ＝12x ± D. y ＝x ±8.在△ABC 中，,6A AB π==，AC ＝3，D 在边BC 上，且CD ＝2DB ，则AD ＝（ ）C. 59.某程序框图如图所示，现将输出(,)x y 值依次记为：11(,)x y ，22(,)x y ，…，33(,)x y ），…若程序运行中输出的一个数组是 (x ，一10)，则数组中的x ＝（） A. 32 B. 24 C. 18 D. 1610.如图1，已知正方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段AD 1，B 1C ，C 1D 1上，当三棱锥Q-BMN 的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN 的正视图面积等于（）11.已知函数f(x)＝cos (sin )(0)x x x ωωωω+>，如果存在实数x 0，使得对任意的实数x ， 都有f(x 0）0()(2016)f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为（ ） A 、14032π B 、14032 C 、12016π D 、1201612.已知函数，设a 为实数，若存在实数m ，使f(m)一2g(a )＝0则实数a 的取值范围为（）A.［－1，＋∞)B.［－1, 3］C.（一∞，－1］U ［3，＋∞)D.（一∞，3]第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。