单自由度系统振动(第06讲,10月12日)

则有： 则有：
x = β1 Dei (ωt −θ1 ) + Deiωt
θ1 ( s ) = tg −1
s=
2ζs 1− s2
= ( β1 + e ) De
iθ1
i (ωt −θ1 )
ω ω0
单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动
x = ( β1 + e ) De
β1 + e
jθ1
jθ1
如何分析s>1， ， 如何分析 ，s<1，s=1?
单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动
若以绝对位移 x 为坐标
x m
x1
k
m xf
x = x1 + x f
其中： 其中：
0
x1
k
c
c
xf x
x1 = β1 Dei (ωt −θ1 )
x f (t ) = De iωt
β1 ( s) =
s2 (1 − s 2 ) 2 + (2ζs ) 2
j ωt −(θ1 −θ 2 )
= β 2 De
j (ωt −θ )
θ = θ1 − θ 2
我们也可以按照绝对位移重新推导
回顾： 回顾：
m ( &&1 + &&f ) + cx1 + kx1 = 0, x f (t ) = De jωt & x x & & & x x m ( &&1 + &&f ) + c ( x1 + x f ) + k ( x1 + x f ) = cx f + kx f & mx + cx + kx = cx f + kx f = ( jω c + k ) De jωt && &
β1 ( s)
ξ=
0
幅频曲线
180
θ1(s)
相频曲线
0.25
0.5 1 0.75 1.0 2.0
90
s
0 1 0 1
s
单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动 β1(s) s2 β1 ( s) = ξ=0 x1 (1 − s 2 ) 2 + (2ζs ) 2
0.25
= β1 De j (ωt −θ1 )
ccr = 2 km c = 2ξω 0 m
单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动 x
满载时阻尼比 ξ1 = 0.5 空载时阻尼比 ξ 2 = 1.0 满载时频率比 s1 = 1.87 空载时频率比 s2 = 0.93
xf
k/2
m
c k/2
0
l =5 m
xf a l z
记：满载时振幅 B1，空载时振幅 B2
F ( jωc +k) D B= 0 = = (1+ j2ζ s) D k k = 1+( 2ζ s) ⋅ e , θ2 = tg
2 jθ2 −1
& & m&+cx +kx = Fe x 0
jωt
x = βBe
β=
2 2
j(ωt−θ1)
1
( 2ζ s)
2ζ s θ1 = tg 1−s2
−1
(1−s ) +( 2ζ s)
− 1
单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动
&& & mx1 + cx1 + kx1 = mDω 2 e jωt
β1 ( s) =
s2 (1 − s 2 ) 2 + (2ζs ) 2
x1 = β1 De j (ωt −θ1 )
θ1 ( s ) = tg −1
2ζs 1− s2
s=
ω ω0
B1 1 + (2ζ 1s1 ) 2 = = 0.68 有： 2 2 2 a (1 − s1 ) + ( 2ζ 1s1 ) B2 1 + (2ζ 2 s2 ) 2 = = 1.13 2 2 2 a (1 − s2 ) + (2ζ 2 s2 )
因此满载和空载时的振幅比： 因此满载和空载时的振幅比：
B1 = 0.60 B2
单自由度系统振动 单自由度系统振动
6讲 振动的隔离与测量 第6讲：振动的隔离与测量
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离
• 振动的隔离
将作为振源的机器设备与地基隔离， 将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影响称为 主动隔振 隔振后传到地基的力幅值 主动隔振系数 η 隔振前传到地基的力幅值
=
(1 − s 2 ) 2 + (2ζ s) 2
=
1 + j 2ζ s (1 − s 2 ) 2 + (2ζ s ) 2
=
1 (1 − s 2 ) 2 + (2ζ s ) 2
1 + (2ζ s) 2 e jθ2
1 + (2ζs ) 2 (1 − s 2 ) 2 + (2ζs) 2
1 + (2ζ s) 2 = ⋅e jθ2 = β2e jθ2 (1 − s 2 ) 2 + (2ζ s ) 2
2
x = βBe
θ j(ωt− 1)
1+(2ζ s)2 j(ωt−(θ1−θ2 ) ) =D ⋅e 2 2 2 (1−s ) +(2ζ s)
单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动
x = β 2 De
β2 =
β 2 (s)
j ωt − (θ1 −θ 2 )
= β 2 De
2
单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动
• 支承运动小结
基座位移规律 ：
m 0
x
x1
k
m xf
x f ( t ) = De
jωt
x1
k
c
c
xf x
相对位移
绝对位移
&&1 + cx1 + kx1 = mDω 2 e jωt & mx
x1 = β1 De
β1 =
j (ωt −θ1 )
&& & mx + cx + kx = ( jω c + k ) De jωt
2 0
令： 有：
mDω = F0
2
x1 = β Be j (ωt −θ1 )
= s2
k ω k s= ω = ω0 m F0 j (ωt −θ1 ) mDω 2 j (ωt −θ1 ) =β e =β e k k
x1
c
xf
(1 − s 2 ) 2 + (2ζ s) 2
s2 (1−s2)2 +(2ζs)2
xf a l z
阻尼比在满载时为 ξ1 = 0.5
2πz l
路面呈正弦波形， 路面呈正弦波形，可表示为 x f = a sin
拖车在满载和空载时的振幅比 求： 拖车在满载和空载时的振幅比。
单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动
解：
2πz x f = a sin l
z = vt 2πv x f = a sin t l
m e
ωt
x
简化图形 meω 2 sin ωt
x M
x + e sin ωt
由达朗伯原理， 由达朗伯原理，系统在垂直方 向的动力学方程： 向的动力学方程：
2
k 2
c
k 2
k
c m
d & ( M − m) && + m 2 ( x + e sin ωt ) + cx + kx = 0 x dt
背景：地基振动， 背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动 特点： 特点：激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例
x f (t ) = De jωt 基座位移规律 ：
D：基座位移振幅 ： 坐标： 坐标： x1 相对基座位移 受力分析 动力学方程： 动力学方程：
m 0
x
x1
k
m xf
x1
k
c
c
xf x
& m( &&1 + &&f ) + cx1 + kx1 = 0 x x
x = x1 + x f = β 2 De
2
j (ωt −θ )
s2
2ζ s θ1 = tg 1 − s2
−1
(1 − s ) + ( 2ζ s )
2 2
β2 =
(1 − s ) + ( 2ζ s )
2 2
1 + ( 2ζ s )
2 2
θ = θ1 − θ 2
θ 2 = tg −1 ( 2ζ s )
k/2
m
c k/2
x 满载 满载: 0 m1=1000 kg
ξ1 = 0.5
汽车行驶的路程可表示为： 汽车行驶的路程可表示为：
xf
空载: 空载 m2=250 kg xf 车速 : v =100 km/h k =350 kN/m a z
路面的激励频率： 路面的激励频率：
ω=
2πv = 34.9 rad / s l
j (ωt −θ1 )
β1 ( s) =
s2 (1 − s 2 ) 2 + (2ζs ) 2
2ζs θ1 ( s) = tg 1− s2
−1
=