18.4.2反比例函数的图象和性质教案(1)

反比例函数的图像和性质【教学目标】1．了解反比例函数图像的形状特征。

2．会画反比例函数的图像。

3．经历探究反比例函数性质的过程，掌握反比例函数的性质。

4．学会利用反比例函数的性质解决简单的实际问题。

【教学重难点】1．会画反比例函数的图像。

2．学会利用反比例函数的性质解决简单的实际问题。

【教学过程】1．复习导入（1）反比例函数是怎样定义的？（2）确定反比例函数的解析式需要什么条件？2．课前热身请同学们展示各自在上节课实践活动中所画出的问题2的函数图像，比一比谁画得最好？（学生互评在上节课的实践活动中所画出的问题2的函数图像，形成对反比例函数图像的初步感形认识。

）3．合作探究（1）整体感知我们知道一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是直线，其性质随着k的正负发生变化，那么反比例函数y=kx(k≠0)的图像又具有什么特征？其性质是否随着k的正负发生变化呢？本课我们着重探讨这两个问题。

（2）四边互动互动1师：利用多媒体演示幻灯片。

例1：画出函数y=6x的图像。

师：在未知函数图像的形状特征时，我们画函数的图像通常用什么方法？这个函数自变量的取值范围是什么？由此猜想这个函数的图像是连在一起的吗？ 用描点法画该函数的图像，在列表应注意哪些？ 生：逐个举手回答问题，达成共识。

师：利用多媒体展现画图过程。

（1）列表：这个函数中自变量x 的取值范围是不等于零的一切实数，列出x 与y 的对应值表：──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬── x │…│-6│-3│-2│-1│…│1 │2 │3 │6 │… ──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼── y │…│-1│-2│-3│-6│…│6 │3 │2 │1 │… ──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──（2）描点：由这些有序实数对，可以在直角坐标系中描出相应的点(-6，-1)，(-3，-2)，(-2，-3)等。

（3）连线：用光滑曲线将各点依次连起来，就得到反比例函数的图像，如图所示：师：请同学们用透明纸放在课本的该函数图像上复制这个图像，并用大头钉固定上下坐标系原点，再把上面的图像绕着原点旋转180°，结果你发现什么现象？生：动手操作，并提出发现的问题。

反比例函数的图像和性质教案一、引言反比例函数是数学中的一种常见函数类型，其图像及性质对于学生理解函数的变化规律和数学建模非常重要。

本教案将以图像和性质为切入点，逐步引导学生理解反比例函数的特点和相关概念。

二、教学目标1. 了解反比例函数的定义和表示形式；2. 掌握绘制反比例函数的图像的方法；3. 理解反比例函数的性质和特点。

三、教学内容1. 反比例函数的定义和表示形式反比例函数被定义为当自变量x发生变化时，与y的乘积保持不变的函数。

其一般表示形式为：y = k/x，其中k为常数。

2. 绘制反比例函数的图像为了绘制反比例函数的图像，我们可以选择一些特定的点进行画线。

首先，我们可以选择k的不同值，然后找几个x和y的值来计算并绘制。

例如，当k为1时，选择x为1、2、3，分别计算y，得到的结果为1、1/2、1/3。

可以将这些点连接起来，得到反比例函数y = 1/x的图像。

3. 反比例函数的性质和特点（1）x越大，y越小；x越小，y越大。

这是因为反比例函数中，当自变量x增大时，与y相乘的分母x变大，整体的值减小，所以y也随之减小。

当自变量x减小时，与y相乘的分母x变小，整体的值增大，所以y也随之增大。

（2）反比例函数的图像关于一、三象限对称。

例如，当绘制y = 2/x时，点(1, 2)在图像上，对称到第三象限点(-1, -2)上。

（3）反比例函数的图像经过第一、第三象限的原点（0，0）。

这是因为当x为0时，y无定义，也就是说y不存在。

四、教学步骤1. 引入概念，解释反比例函数的定义和表示形式；2. 通过实例演示，教学绘制反比例函数的图像的方法；3. 讲解反比例函数的性质和特点，并与学生一起讨论其背后的数学原理；4. 通过练习，巩固学生对反比例函数的理解。

五、教学资料1. 反比例函数的定义和表示形式的板书；2. 绘制反比例函数图像的步骤和方法的PPT；3. 反比例函数性质和特点的总结表格。

六、教学评估1. 在绘制反比例函数图像的练习中，观察学生对于选择点的准确性和图像的正确性；2. 在性质和特点讨论环节中，关注学生的参与度和思考能力。

《反比例函数的图象和性质》教学设计教学目标1．知识与技能会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质．能用反比例函数的定义和性质解决实际问题．2．过程与方法通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征．3．情感、态度与价值观由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣．教学重点难点重点：反比例函数图象的画法及探究，反比例函数的性质的运用．难点：反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析．(一)创设情境，导入新课问题：1．若y=x n n )1)(12(+-是反比例函数，则n 必须满足条件 n ≠21或n ≠-1 ． 2．用描点法画图象的步骤简单地说是 列表 、 描点 、 连线 ．3．试用描点法画出下列函数的图象：（1）y=2x ； （2）y=1-2x ．(二)合作交流，解读探究问题：我们已知道，一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象是一条直线，•那么反比例函数xk y =(k 为常数且k ≠0)的图象是什么样呢？尝试 用描点法来画出反比例函数的图象．画出反比例函数y=x 6和y=-x 6的图象． 解：列表描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点．连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来．探究 反比例函数y=x 6和y= −x6的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？ 做一做 把y=x 6和y= −x6的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称． 归纳 反比例函数y=x 6和y= −x6的图象的共同特征： （1）它们都由两条曲线组成．（2）随着x 的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x 轴、y 轴）．（3）反比例函数的图象属于双曲线（hyperbola ）．此外，y=x 6的图象和y= −x6的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称． 做一做 在平面直角坐标系中画出反比例函数y=x 3和y= −x 3的图象． 交流 两个函数图象都用描点法画出？【分析】 由y=x 6和y= −x 6的图象及y=x 3和y= −x3的图象知道， （1）它们有什么共同特征和不同点？（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？（3）在每一个象限内，y 随x 的变化而如何变化？猜想 反比例函数xk y =（k ≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？在每一个象限内，y 随x 的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？【归纳】 （1）反比例函数xk y =（k 为常数，k ≠0）的图象是双曲线． （2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y•值随x 值的增大而减小．（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y•值随x 值的增大而增大．(三)应用迁移，巩固提高例题 指出当k>0时，下列图象中哪些可能是y=kx 与xk y =(k ≠0)在同一坐标系中的图象( )【答案】 B（四）总结反思，拓展升华1．画反比例函数的图象．2．反比例函数的性质．3．反比例函数的图象在哪个象限由k 决定，且y 值随x 值变化只能在“每一个象限内”研究．4．在xk y =（k ≠0）中，由于x ≠0，同时y ≠0，因此双曲线两个分支不可能到达坐标轴． 反比例函数的性质及运用（1）k 的符号决定图象所在象限．（2）在每一象限内，y 随x 的变化情况，在不同象限，不能运用此性质．（3）从反比例函数x k y =的图象上任一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形面积S △=21│k │． （4）性质与图象在涉及点的坐标，确定解析式方面的运用．。

反比例函数的图象及性质一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生了解反比例函数的概念；2．使学生能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式；3．使学生理解反比例函数的性质，会画出它们的图像，以及根据图像指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况；4．会用待定系数法确定反比例函数的解析式.（二）能力训练点1．培养学生的作图、观察、分析、总结的能力；2．向学生渗透数形结合的教学思想方法.（三）德育渗透点1．向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点；2．使学生体会事物是有规律地变化着的观点.（四）美育渗透点通过反比例函数图像的研究，渗透反映其性质的图像的直观形象美，激发学生的兴趣，也培养学生积极探求知识的能力.二、学法引导教师采用类比法、观察法、练习法学生学习反比例函数要与学习其他函数一样，要善于数形结合，由解析式联想到图像的位置及其性质，由图像和性质联想比例系数k的符号.三、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式.因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题.2．教学难点：画反比例函数的图像.因为反比例函数的图像有两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难.3．教学疑点：（1）反比例函数为何与x轴，y轴无交点；（2）反比例函数的图像只能说在第一、三象限或第二、四象限，而不能说经过第几象限，增减性也要说明在第几象限（或说在它的每一个象限内）.4．解决办法：（1）中隐含条件是或；（2）双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.四、教学步骤（一）教学过程提问：小学是否学过反比例关系？是如何叙述的？由学生先考虑及讨论一下.答：小学学过：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系.看下面的实例：（出示幻灯）1．当路程s一定时，时间t与速度v成反比例；2．当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例；它们分别可以写成（s是常数），（S是常数）写在黑板上，用以得出反比例函数的概念：（板书）一般地，函数（k是常数，）叫做反比例函数.即在上面的例子中，当路程s是常数时，时间t就是速度v的反比例函数，能否说：速度v是时间t的反比例函数呢？通过这个问题，使学生进一步理解反比例函数的概念，只要满足（k是常数，）就可以．因此可以说速度v是时间t的反比例函数，因为（s是常量）．对第2个实例也一样．练习一：教材P129中1? 口答．P130? 1根据前面学习特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研究的是什么？答：图像和性质．通过这个问题，使学生对课本上给出的知识的发生、发展过程有一个明确的认识，以后学生要研究其他函数，也可以按照这种方式来研究．下面，我们就来看一个例题：（出示幻灯）例1? 画出反比例函数与的图像．提问：1．画函数图像的关键问题是什么？答：合理、正确地选值列表．2．在选值时，你认为要注意什么问题？答：（1）由于函数图像的特点还不清楚，多选几个点较好；（2）不能选，因为时函数无意义；（3）选整数较好计算和描点．这个问题中最核心的一点是关于的问题，提醒学生注意．3．你能不能自己完成这道题呢？学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让学生先连完线之后，找一名同学上黑板连线，然后就这名同学的连线加以评价、总结：注意：（1）一般地，反比例函数的图像由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）这两条曲线不相交；（3）这两条曲线无限延伸，无限靠近x轴和y轴，但永不会与x轴和y轴相交．关于注意（3）可问学生：为什么图像与x和y轴不相交？通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆，又可培养学生思维的灵活性和深刻性．再让学生观察黑板上的图，提问：1．当时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？2．当时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？这两个问题由学生讨论总结之后回答，教师板书：对于双曲线（1）当：（1）当时，双曲线的两分支位于一、三象限，y随x的增大而减少；（2）当时，双曲线的两分支位于二、四象限，y随x的增大而增大．3．反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用．练习二：教材P129中2 由学生在练习本上完成，教师巡回指导.P130中2、3填在书上面，我们讨论了反比例函数的概念、图像和性质，下面我们再来看一个不同类型的例题：（出示幻灯）例2 已知y与成反比例，并且当时，，求时，y的值.用提问的方式对此题加以分析：（1）y与成反比例是什么含义？由学生讨论这一问题，最后归结为根据反比例函数的概念，这句话说明了： .（2）根据这个式子，能否求出当时，y的值？（3）要想求出y的值，必须先知道哪个量呢？（4）怎样才能确定k的值？用什么条件？答：用待定系数法，把时代入，求出k的值.（5）你能否自己完成这道例题：由一名同学板演，其他同学在练习本上完成.例3?? 已知：，与x成正比例，与x成反比例，当时，时，，求y与x的解析式.分析：一定要先写出y与x的函数表达式，要用x分别把，表示出来得，要注意不能写成k，∴解：设，.由题意得∴ .（二）总结、扩展教师提问，学生思考回答：1．什么是反比例函数？2．反比例函数的图像是什么样的？3．反比例函数的性质是什么？4．命题方向及题型设置，反比例函数也是中考命题的主要考点，其图像和性质，以及其函数解析式的确定，常以填空题、选择题出现，在低档题中，近两年各省、市的中考试卷中出现不少将反比例函数与一次函数、几何知识、三角知识等综合编拟的解答题，丰富了压轴题的形式和内容.五、布置作业1．教材P130中4，5，62．选做：P130中B1，2六、板书设计。

反比例函数的图象和性质（第1课时）教案[教学目标]知识技能：1、进一步熟悉用描点法作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象；观察、分析、归纳反比例函数的性质并能初步运用2、通过作图，培养学生的作图能力；逐步提高从函数图象中获取知识的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质；过程与方法：1、开展作图经验交流，掌握作图技巧2、通过观察反比例函数图象，分析和探究反比例函数的性质，培养学生的探究，归纳及概括能力。

在探究过程中渗透分类讨论思想和数形结合的思想。

情感态度：1、积极参与探索活动，注意多和同伴交流看法；2、在动手做图的过程中，体会做中学的乐趣，养成勤于动手，乐于探究的好习惯；[教学重点和难点]1、重点：会画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质；2、难点：理解反比例函数的性质，并能灵活应用[课型和课时]1、课型：本课为新授课2、课时：本节“反比例函数的图象和性质”共2课时，本课为第1课时。

[授课方法]合作探究式[教学手段]多媒体[教学流程][教学过程]一、预习检测回顾交流创设情境由一名学生主发言以（温故与知新）教师小结：刚才由同学带领大家对函数进行了复习，我们知道对于函数的学习是从定义、图象、性质等方面去研究的，我们已经学习了反比例函数的定义了，下面该学习什么内容了？学生回答：反比例函数的图象与性质。

引出课题二、揭示目标三、问题引导下的再学习合作交流探索新知（实践与探究）（一）画图象1．反比例函数的图象是什么样子呢？我们就来画一画下面6yx=、6yx=-、1yx=、1yx=-几个反比例函数的图象。

以共同体小组为单位，在学案上每组画一个。

教师在学生活动中应重点关注：列表、描点、连线时学生出现的问题。

4．根据指出的问题修改图象。

（二 ）、 获取信息 探索性质1．请同学们观察6y x =和6y x =-以及1y x =和1y x=-的图象，回答问题： （1）你能发现它们的共同特征吗？（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？由谁决定？ （3）在每个象限内,y 随x 的变化如何变化？小组共同思考这三个问题，请小组长做好记录，代表全组发言。

一、教案基本信息反比例函数的图象与性质教案教学设计课时安排：2课时教学对象：高中数学一年级学生教学目标：1. 让学生理解反比例函数的定义和表达式；2. 让学生掌握反比例函数的图象特征；3. 让学生了解反比例函数的性质；4. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教学重点：1. 反比例函数的定义和表达式；2. 反比例函数的图象特征；3. 反比例函数的性质。

教学难点：1. 反比例函数图象的理解；2. 反比例函数性质的推导。

二、教学准备教学工具：黑板、粉笔、多媒体教学设备教学素材：反比例函数图象和性质的PPT课件、例题、练习题三、教学过程第一课时1. 导入新课教师通过展示实际问题，引导学生回顾正比例函数的图象和性质，为新课的学习做好铺垫。

2. 反比例函数的定义与表达式（1）教师引导学生观察实际问题，引出反比例函数的概念；（2）教师给出反比例函数的表达式；（3）学生跟随教师一起总结反比例函数的定义和表达式。

3. 反比例函数的图象特征（1）教师利用PPT课件展示反比例函数的图象；（2）教师引导学生观察反比例函数的图象特征，总结规律；（3）学生跟随教师一起归纳反比例函数的图象特征。

4. 反比例函数的性质（1）教师引导学生从图象特征出发，推导反比例函数的性质；（2）教师给出反比例函数的性质表述；（3）学生跟随教师一起总结反比例函数的性质。

第二课时5. 应用拓展（1）教师出示应用题，引导学生运用反比例函数的知识解决问题；（2）学生独立解答问题，教师进行指导；（3）教师总结解题方法，强调反比例函数在实际问题中的应用。

6. 课堂小结教师带领学生回顾本节课所学内容，总结反比例函数的定义、表达式、图象特征和性质。

7. 布置作业教师出示课后练习题，要求学生巩固反比例函数的知识。

四、教学反思教师在课后对教学效果进行反思，针对学生的掌握情况调整教学策略，为后续课程的教学做好准备。

五、教学评价通过课堂表现、作业完成情况和课后练习的成绩，对学生在本次课程中的学习效果进行评价。

反比例函数的图象与性质教案教学设计一、教学目标：1. 知识与技能：让学生掌握反比例函数的定义，理解反比例函数的图象和性质，能够运用反比例函数解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生探索反比例函数的图象与性质，培养学生的抽象思维能力和数形结合思想。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探究、积极进取的精神，使学生认识到数学在生活中的重要性。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质。

2. 教学难点：反比例函数图象的理解，反比例函数性质的推导。

三、教学方法与手段：1. 教学方法：采用引导发现法、问题驱动法、合作交流法等。

2. 教学手段：利用多媒体课件、反比例函数图象软件、黑板等。

四、教学过程：1. 导入新课：通过展示实际问题，引导学生思考反比例函数的定义，引出本节课的内容。

2. 自主探究：让学生利用软件绘制反比例函数的图象，观察图象特征，引导学生发现反比例函数的性质。

3. 小组讨论：4. 教师讲解：对学生的探究结果进行点评，讲解反比例函数的图象与性质，引导学生深入理解。

5. 巩固练习：布置练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固反比例函数的图象与性质。

6. 课堂小结：五、课后作业：1. 完成练习册上的相关题目。

2. 调查生活中反比例函数的应用实例，下节课分享。

教学反思：课后对教学效果进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。

六、教学策略与实施1. 案例分析：通过分析生活中的实际案例，如化学实验中的浓度配比、经济学中的成本与产量关系等，让学生直观地感受到反比例函数的应用。

2. 数学软件辅助：利用数学软件或在线图形计算器，让学生实时观察不同反比例函数的图象，从而加深对函数性质的理解。

3. 分层教学：针对不同学生的学习水平，设计不同难度的教学内容和练习题，确保每个学生都能在课堂上得到有效的学习。

4. 互动式教学：鼓励学生在课堂上提问和分享自己的见解，通过问答和讨论，提高学生的参与度和思维能力。