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PLC控制技术习题库（含答案）一、单选题（共50题，每题1分，共50分）1、与主控接点下端相连的常闭触点应使用指令()。
A、LDIB、ANIC、ORID、AND正确答案：A2、FX系列PLC中SET,表示什么指令（）A、下降沿B、上升沿C、输入有效D、置位正确答案：D3、在利用状态继电器编制顺序控制程序时，每个状态继电器都有各自的置位和（）信号，并有各自要做的操作。
A、保持B、复位C、报警D、清零正确答案：B4、工业中控制电压一般是多少伏（）。
A、110VB、220VC、36VD、24V正确答案：D5、（）指令和（）指令均可用于步的活动状态的转换，将原来的活动步对应的状态寄存器复位，此外还有自保持功能。
A、SET RSTB、OUT SETC、STL RET正确答案：B6、一般而言,PLC的I/O点数要冗余多少? （）。
A、1B、05C、15D、2正确答案：A7、触摸屏是用于实现替代哪些设备的功能（）A、传统继电控制系统B、PLC控制系统C、工控机系统D、传统开关按钮型操作面板正确答案：C8、工业级模拟量,哪一种更容易受干扰（）A、uA级B、mA级C、A级D、10A级正确答案：A9、在顺序控制系统中，STL触点右边不能使用（）指令A、MRDB、MPPC、MPS正确答案：C10、下列不属于PLC硬件系统组成的是（）。
A、中央处理单元B、输入输出接口C、用户程序D、I/O扩展接口正确答案：C11、热继电器在电路中做电动机的什么保护？（）A、短路B、过压C、过载D、过流正确答案：C12、FX2型PLC使操作元件中数带进位一起右移n位的指令是()。
A、RORB、ROLC、RCRD、RCL正确答案：C13、FX系列PLC,主控指令应采用（）A、CJB、MCC、GO TOD、SUB正确答案：B14、步进电机的加减速是通过改变哪个参数实现的？（）A、脉冲频率B、电压C、脉冲数量D、脉冲占空比正确答案：A15、一般而言,FX系列PLC的AC输入电源电压范围是多少? （）A、DC24VB、86-264VACC、220－380VACD、24VAC－220VAC正确答案：B16、M0—M15中,M0,M2数值都为1,其它都为0,那么,K4M0数值等于多少？（）A、5B、11C、10D、9正确答案：A17、下列不属于大型PLC应用的场合是（）。
《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题1.函数y=112+x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数2.设f(sin 2x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 23．下列数列为单调递增数列的有（ ）A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999B ．23，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=⎪⎩⎪⎨⎧-+为偶数，为奇数n nn n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（ ）A ．充分条件 B. 必要条件C.充要条件 D 既非充分也非必要5．下列命题正确的是（ ）A ．发散数列必无界B ．两无界数列之和必无界C ．两发散数列之和必发散D ．两收敛数列之和必收敛6．=--→1)1sin(lim 21x x x （ ） A.1 B.0 C.2 D.1/27．设=+∞→x x xk )1(lim e 6 则k=( ) A.1 B.2 C.6 D.1/68.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ）A.x 2-1B. x 3-1C.(x-1)2D.sin(x-1)9.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1时，y= （ ）A 、是连续的B 、无界函数C 、有最大值与最小值D 、无最小值11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（）A、B、e C、-e D、-e-112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（）A、 xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x不连续，则下列结论成立是（）A、f(x)+g(x)在点x必不连续B、f(x)×g(x)在点x必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x必不连续D、在点x0必不连续在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足14、设f(x)=（）A、a＞0,b＞0B、a＞0,b＜0C、a＜0,b＞0D、a＜0,b＜015、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x也连续的有（）A、 B、C、tan[f(x)]D、f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）A、[0,л]B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logax相切，则（）A、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x)=（）A、aB、-aC、|a|D、025、设y=㏑，则y’|x=0=（）A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（）A、-1B、0C、1D、不存在27、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（）A、0B、1/ ㏑2C、1D、㏑228、已知y=sinx，则y(10)=（）A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知y=x㏑x，则y(10)=（）A、-1/x9B、1/ x9C、8.1/x9D、 -8.1/x930、若函数f(x)=xsin|x|，则（）A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)= л31、设函数y=yf(x)在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（）A 、-1B 、0C 、л/2D 、 232、圆x2cos θ,y=2sin θ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（ ）A 、-1B 、0C 、1D 、 233、函数f(x)在点x 0连续是函数f(x)在x 0可微的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（ ）A 、0B 、-dxC 、dxD 、 不存在36、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是（ ）A 、0/0型B 、∞/∞型C 、∞ -∞D 、∞型37、极限 012)sin lim(→x x x x 的未定式类型是（ ） A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞型 D 、∞0型 38、极限 x x x x sin 1sinlim 20→=（ ）A 、0B 、1C 、2D 、不存在39、x x 0时，n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x x 0 的（ ）A 、（n+1）阶无穷小B 、n 阶无穷小C 、同阶无穷小D 、高阶无穷小40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有（ ）A 、唯一的零点B 、至少存在有一个零点C 、没有零点D 、不能确定有无零点41、曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为（）A、2B、1/2C、1D、042、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为（）A、0B、1/2C、1D、243、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（）A、2e x/2B、4 e x/2C、e x/2 +CD、e x/245、∫xe-x dx =（ D ）A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe-x +e-x +CD、-xe-x -e-x +C46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-n dx（）A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数0|3x+1|dx=（）47、∫-1A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（）A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/1550、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）A、 B、2 C、31/2 D、 21/251、设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（）A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=252、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（）A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、方程=0所表示的图形为（）A 、原点（0，0，0）B 、三坐标轴C 、三坐标轴D 、曲面，但不可能为平面54、方程3x 2+3y 2-z 2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（ ）A 、X 轴B 、Y 轴C 、Z 轴D 、任一条直线55、方程3x 2-y 2-2z 2=1所确定的曲面是（ ）A 、双叶双曲面B 、单叶双曲面C 、椭圆抛物面D 、圆锥曲面 56下列命题正确的是（ ）A 、发散数列必无界B 、两无界数列之和必无界C 、两发散数列之和必发散D 、两收敛数列之和必收敛57.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ）A 、.必要条件B 、充分条件C 、充分必要条件D 、无关条件58函数f(x)=tanx 能取最小最大值的区间是下列区间中的（ ）A 、[0,л]B 、（0,л）C 、[-л/4,л/4]D 、（-л/4,л/4）59下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（ ）A 、f(x)=x+1B 、f(x)=x-1C 、f(x)=x 2-1D 、f(x)=5x 4-4x+160设y=(cos)sinx ，则y’|x=0=（ ）A 、-1B 、0C 、1D 、 不存在二、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（ ） 2、求极限 0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=（ ） 3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=（ ） 4、求极限∞→x lim [x/(x+1)]x=（ ） 5、求极限0lim →x (1-x)1/x= （ ） 6、已知y=sinx-cosx ，求y`|x=л/6=（ ）7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2，求d ρ/d ψ| ψ=л/6=（ ）8、已知f(x)=3/5x+x 2/5，求f`(0)=（ ）9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切，则a=（ ）10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=（ ）11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是（ ）12、函数y=x 2-2x-1的最小值为（ ）13、函数y=2x-5x 2的最大值为（ ）14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为（ ）15、点（0，1）是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点，则有b=（） c=（ ） 16、∫xx 1/2dx= （ ）17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)= （ ）18、若∫f(x)dx =x 2e 2x +c ，则f(x)= ( )19、d/dx ∫a barctantdt =（ ）20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x x t dt e x 在点x=0连续，则a=（ ）21、∫02(x 2+1/x 4)dx =（ ）22、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=（ ）24、∫01 dx/(4-x 2)1/2=（ ）25、∫л/3лsin (л/3+x)dx=（ ）26、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=( )27、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）28、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）29、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）30、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）31、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）32、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）33、满足不等式|x-2|＜1的X所在区间为( )34、设f(x) = [x] +1，则f（л+10）=（）35、函数Y=|sinx|的周期是（）36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）37、y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是（）38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为（）39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为（）40、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是（）41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是( )43、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是（）44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（）46求极限lim [x/(x+1)]x=（）x→∞47函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=（）9 x1/2(1+x1/2)dx=（）48∫449y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）50求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）三、解答题1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。
习题61. 什么是中断系统？中断系统的功能是什么？答：中断系统是指实现中断过程的硬件逻辑和实现中断功能的指令的统称。
为了满足单片机系统中各种中断的要求，中断系统一般具备如下基本功能：(1). 能实现中断及返回(2). 能实现优先权排队(3). 能实现中断嵌套2. 什么是中断嵌套？答：当CPU响应某一外设的中断请求，正在进行中断处理时，若有优先权级别更高的中断源提出中断请求，则CPU能中断正在进行的中断服务程序，响应高级中断，在高级中断处理完后，再继续执行被中断的中断服务程序。
这一过程称为中断嵌套，如图6-1所示。
若发出新的中断申请的中断源的优先级与正在处理的中断源同级或更低时，则CPU不响应这个中断申请，直至正在处理的中断服务程序执行完后才去处理新的中断申请。
图6-1 中断嵌套3. 8051单片机的中断源有几个？各个中断的标志位是什么？答：80C51单片机的中断系统有5个中断源，它们是：(1) 外部中断0：由INT0(P3.2)引脚输入，由外部中断0触发方式选择位IT0选择其为低电平有效还是下降沿有效，当CPU检测到INT0引脚上出现有效的中断请求信号时，中断请求标志位IE0置1，向CPU申请中断。
(2) 外部中断1：由INT1(P3.3)引脚输入，由外部中断1触发方式选择位IT1选择其为低电平有效还是下降沿有效，当CPU检测到INT1引脚上出现有效的中断请求信号时，中断请求标志位IE1置1，向CPU申请中断。
(3) 定时器/计数器T0溢出中断请求，当T0定时时间到或计数满后，中断请求标志位TF0由硬件置1，向CPU申请中断。
(4) 定时器/计数器T1溢出中断请求，当T1定时时间到或计数满后，中断请求标志位TF1被硬件置1，向CPU申请中断(5) 串行口中断请求，当串行口接收完一帧数据时，中断请求标志RI被硬件置1，或当串口发送完一帧数据时，中断请求标志TI被硬件置1。
4. 各个中断源的中断请求是如何撤销的？答：定时器/计数器中断请求的撤销定时器/计数器的中断请求被响应后。
第六章第2课时两个计数原理的应用A级必备知识基础练1.如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通,现发现A,B间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有( )A.9种B.11种C.13种D.15种2.从0,1,2,…,9这10个数字中,任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a,b)的坐标,能够确定不在x轴上的点的个数是( )A.100B.90C.81D.723.把10个苹果分成三堆,要求每堆至少1个,至多5个,则不同的分法共有( )A.4种B.5种C.6种D.7种4.某城市的电话号码由七位升为八位(首位数字均不为零),则该城市可增加的电话部数是( )A.9×8×7×6×5×4×3×2B.8×97C.9×107D.8.1×1075.某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班,甲、乙、丙、丁四人报名参加,每人只报名参加一项,且甲、乙不参加同一项,则不同的报名方法种数为.6.已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对∀的“子集对”共有个.7.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1个,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案有种.8.现有某类病毒记作,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则不同的选取种数为,m,n都取到奇数的概率为.B级关键能力提升练9.一植物园的参观路径如图所示,若要全部参观并且路线不重复,则不同的参观路线共有( )A.6种B.8种C.36种D.48种10.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中,位于第一、二象限不同点的个数为( )A.18B.16C.14D.1011.现有五种不同的颜色,要对图形中的四个部分进行着色,要求有公共边的两块不能用同一种颜色,不同的涂色方法有种.12.称子集A⊆M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}是“好的”,如果它有下述性质——“若2k∈A,则2k-1∈A且2k+1∈A(k∈N)”(空集和M都是“好的”),则M中有多少个包含2个偶数的“好的”子集?13.(1)从5种颜色中选出3种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,每一个顶点涂一种颜色,并使同一条棱上的两个顶点异色,求不同的涂色方法数;(2)从5种颜色中选出4种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,每个顶点上涂一种颜色,并使同一条棱上的两个顶点异色,求不同的涂色方法数.14.将三个分别标有A,B,C的球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.求:(1)1号盒中无球的不同方法种数;(2)1号盒中有球的不同放法种数.参考答案第2课时两个计数原理的应用1.C 按照可能脱落的焊接点的个数分类讨论:若脱落1个,则是焊接点1,4脱落,共2种情况;若脱落2个,则是焊接点(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)脱落,共6种情况;若脱落3个,则是焊接点(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4)脱落,共4种情况;若脱落4个,则是焊接点(1,2,3,4)脱落,共1种情况.由分类加法计数原理,共有2+6+4+1=13种情况.故选C.2.C 分两步完成:第1步,先选b.因为b≠0,所以有9种不同的选法;第2步,选a,因为a≠b,所以有9种不同的选法.由分步乘法计数原理知,能够确定不在x轴上的点的个数为9×9=81.3.A 三堆中“最多”的一堆为5个,其他两堆总和为5,每堆至少1个,只有2种分法,即1和4,2和3两种方法.三堆中“最多”的一堆为4个,其他两堆总和为6,每堆至少1个,只有2种分法,即2和4,3和3两种方法.由分类加法计数原理,不同的分法共有2+2=4种.4.D 电话号码是七位数字时,由分步乘法计数原理,该城市可安装电话9×106部,同理升为八位时,由分步乘法计数原理,该城市可安装电话9×107部,所以可增加的电话部数是9×107-9×106=8.1×107.5.54 甲有三个培训班可选,甲、乙不参加同一项,所以乙有两个培训班可选,丙、丁各有三个培训班可选,根据分步乘法计数原理,不同的报名方法种数为3×2×3×3=54.6.17 当A={1}时,B有23-1=7种情况;当A={2}时,B有22-1=3种情况;当A={3}时,B有1种情况;当A={1,2}时,B有22-1=3种情况;当A={1,3},{2,3},{1,2,3}时,B均有1种情况,所以集合M的“子集对”共有7+3+1+3+3=17个.7.96 完成承建任务可分五步.第1步,安排1号子项目,有4种不同的承建方案;第2步,安排2号子项目,有4种不同的承建方案;第3步,安排3号子项目,有3种不同的承建方案;第4步,安排4号子项目,有2种不同的承建方案;第5步,安排5号子项目,有1种承建方案.由分步乘法计数原理得,共有4×4×3×2×1=96种不同的承建方案.8.63 20因为正整数m,n满足m≤7,n≤9,由分步乘法计数原理,(m,n) 63所有可能的取值的种数为7×9=63,其中m,n都取到奇数的情况有4×5=20.种,故所求概率为20639.D 选择参观路线分步完成:第一步,选择三个“环形”路线中的一个,有3种方法,再按逆时针或顺时针方向参观有2种方法;第二步,选择余下两个“环形”路线中的一个,有2种方法,也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法;最后一个“环形”路线,也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法.由分步乘法计数原理知,共有3×2×2×2×2=48种方法,故选D.10.C 分两类:第1类,以集合M中的元素为横坐标,以集合N中的元素为纵坐标,位于第一、第二象限不同点的个数为3×2=6;第2类,以集合N中的元素为横坐标,以集合M中的元素为纵坐标,位于第一、第二象限不同点的个数为4×2=8.由分类加法计数原理,位于第一、第二象限不同点的个数为6+8=14. 11.180 依次给区域Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ涂色,分别有5,4,3,3种不同的涂色方法,根据分步乘法计数原理,不同的涂色方法的种数为5×4×3×3=180.12.解含有2个偶数的“好的”子集A,有两种不同的情形:①两偶数是相邻的,有4种可能:2,4;4,6;6,8;8,10.每种情况必有3个奇数相随(如2,4∈A,则1,3,5∈A).余下的3个奇数可能在集合A中,也可能不在集合A中,故这样的“好的”子集共有4×23=32个.②两偶数不相邻,有6种可能:2,6;2,8;2,10;4,8;4,10;6,10.每种情况必有4个奇数相随(如2,6∈A,则1,3,5,7∈A).余下的2个奇数可能在集合A中,也可能不在集合A中,故这样的“好的”子集共有6×22=24个.综上所述,集合M中有32+24=56个包含2个偶数的“好的”子集.13.解(1)如图,由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,则A,C必须颜色相同,B,D必须颜色相同,所以共有5×4×3×1×1=60种不同的涂色方法.(2)(方法一)由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,则A,C可以颜色相同,B,D可以颜色相同,并且两组中必有一组颜色相同.所以,先从两组中选出一组涂同一颜色,有2种选法;假设B,D颜色相同,则从5种颜色中,选出四种颜色涂在S,A,B,C四个顶点上,有5×4×3×2=120种不同的涂色方法.根据分步乘法计数原理,共有2×120=240种不同的涂色方法.(方法二)分两类.第1类,C与A颜色相同.由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,它们有5×4×3=60种不同的涂色方法.共有5×4×3×1×2=120种不同的涂色方法.第2类,C与A颜色不同.由题意知,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所涂色互不相同,它们有5×4×3=60种不同的涂色方法.共有5×4×3×2×1=120种不同的涂色方法.由分类加法计数原理,共有120+120=240种不同的涂色方法.14.解(1)1号盒中无球即A,B,C三个球只能放入2,3,4号盒子中,由分步乘法计数原理,有33=27种放法;(2)1号盒中有球可分三类:第一类是1号盒中有一个球,共有3×32=27种放法,第二类是1号盒中有两个球,共有3×3=9种放法,第三类是1号盒中有三个球,有1种放法.由分类加法计数原理,共有27+9+1=37种放法.。
习题7-1 试用截面法求下列各杆指定截面的轴力，并作出轴力图。
7-1 参考答案： 解：（a ） （b ）（c ） （d ）7-2 图示直杆截面为正方形，边长a=200mm ，L=4m ，F=10kN ，体积质量ρ=2.04×103kg/m 3, 在考虑杆自重时，求1-1、2-2截面上的轴力。
7-2 参考答案： 解：12N N F F F F ==-12302N N N F F F F F ===123224N N N F KN F KN F KN =-==-12351010N N N F KN F KN F KN =-==-F＋－F＋2FF ＋2KN ＋－2KN4KN－10KN ＋－5KN10KN－()22331200101 2.04109.88004N l F a g Nρ-=-⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯=-()22331310000200103 2.04109.8412400N lF F a g Nρ-=--⨯⨯=--⨯⨯⨯⨯⨯=-7-3 题7-3a 图所示为用铆钉联接的板件，板件的受力情况如图b 所示。
已知F=7kN ，t=1.5mm ，b 1=4mm ，b 2=5mm ，b 3=6mmm 。
试绘制板件的轴力图，并计算板内的最大拉应力。
7-3 参考答案： 解：7-4 长度L=320mm ，直径d=32mm 的圆截面钢杆，在实验机上受到拉力F=135kN 的作用。
由测量知道：杆的直径小了0.0062mm ，在50mm 杆长内的伸长为0.04mm 。
试求此钢杆的弹性模量E 和泊松比ν。
7-4 参考答案： 解：7-5 求图示阶梯杆横截面1-1、2-2、3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积A 1=200mm 2、A 2=300mm 2、A 3=400mm 2，试求各截面上的应力。
7-5 参考答案： 解：＋F 2F/3F/3311611/3710194.4264 1.510N F F MPa A b t σ-⨯====⨯⨯⨯3226222/32710311.1265 1.510N F F MPa A b t σ-⨯⨯====⨯⨯⨯333633710388.9226 1.510N F F MPa A b t σ-⨯====⨯⨯⨯max 3388.9MPaσσ==()322313510168/43210/4N F F MPa A d σππ-⨯====⨯⨯40.0481050l l ε-===⨯40.00621.941032d d ε-'==-=-⨯6416810210810E GPa σε-⨯===⨯441.94100.24810ενε--'⨯===⨯123201010N N N F KN F KNF KN=-=-=31161201010020010N F MPa A σ--⨯===-⨯32262101033.330010N F MPa A σ--⨯===-⨯3336310102540010N F MPa A σ-⨯===⨯10KN 10KN＋20KN－7-6 回转悬臂吊车的结构如图所示，小车对水平梁的集中载荷为F=15kN,斜杆AB 的直径d=20mm ，其它尺寸如图所示，试求：(1)当小车在AC 中点时，AB 杆中的正应力；（2）小车移动到何处时，AB 杆中的应力最大，其数值为多少？ 7-6 参考答案：解：研究横梁AC ，假设小车距C 点x 距离，受力分析 列平衡方程（1）当小车在AC 中点时，（2）小车移动到A 处时，x 最大， AB 杆中的应力最大7-7 一边长1.5m 的直角三角形钢板（厚度均匀）用等长的钢丝AB 和CD 悬挂，欲使钢丝伸长后钢板只有移动而无转动，试问钢丝AB 的直径应为钢丝CD 的直径的几倍？ 7-7 参考答案：解：研究三角形钢板，受力分析 列平衡方程钢板只有移动而无转动，要求钢丝AB 和CD 等伸长。
第六章 微分中值定理及其应用2•若 lim1 acosx -bsin ^1，则 a = X T 0 x 23.曲线y = e x在x = 0点处的曲率半径 R = _______ 4•设y =4x J —2，则曲线在拐点处的切线方程为 ___________________x6•设f(x) =x(x 2 —1)(x —4)，则f (x) = 0有 ______________ 个根，它们分别位于 __________区间；7.函数f (x) =xln x 在1,2 ］上满足拉格朗日定理条件的© = _________________8•函数f(x)=x 3与g(x)=1+x 2在区间b,2】上满足柯西定理条件的 E = ____________9.函数y =sinx 在0,2】上满足拉格朗日中值定理条件的©= ______ ;xe 10. _________________________________________ 函数f(x) 2的单调减区间是 ;x311. ________________________________ 函数y = x -3x 的极大值点是 ，极大值是 。
12. _________________________________________ 设f(x)=xe x ，则函数f (n)(x)在X 二 处取得极小值 ________________________________________ 。
3 213. 已知f(x)二x ax bx ，在x =1处取得极小值- 2，则a = _________________ , b = _____2 2一、填空题1若a 0,b0均为常数，贝U5. lim(1 x )x -ex —.Qx2XaH XX14. 曲线y =k(x -3)在拐点处的法线通过原点，则k= _______ 。
15 •设 f (x)二 n (1 - x)n(n =1,2 ) , M n 是 f (x)在〔0,1 上的最大值，则lim M n = ________ 。
第六章 微分中值定理与其应用一、填空题1．若0,0>>b a 均为常数,则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x b a 302lim ________. 2．若21sin cos 1lim 0=-+→x x b x a x ,则=a ______,=b ______. 3．曲线x e y=在0=x 点处的曲率半径=R _________. 4．设2442-+=xx y ,则曲线在拐点处的切线方程为___________. 5．=-+→x ex xx 10)1(lim ___________. 6．设)4)(1()(2--=x x x x f ,则0)(='x f 有_________个根,它们分别位于________区间；7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的__________=ξ；8．函数3)(x x f =与21)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定理条件的_____=ξ； 9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ；10．函数2)(xe xf x=的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33-=的极大值点是______,极大值是_______.12．设x xe x f =)(,则函数)()(x f n 在=x _______处取得极小值_________.13．已知bx ax x x f ++=23)(,在1=x 处取得极小值2-,则=a _______,=b _____.14．曲线22)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点,则=k ________.15．设)2,1()1()( =-⨯=n x n x f n ,n M 是)(x f 在[]1,0上的最大值,则=∞→n n M lim ___________.16．设)(x f 在0x 可导,则0)(0='x f 是)(x f 在点0x 处取得极值的______条件；17．函数x bx x a x f ++=2ln )(在1=x 与2=x 取得极值,则______,==b a ；18. 函数3223)(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数xx x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为______,最小值为_____； 21. 设点)2,1(是曲线b a x y +-=3)(的拐点,则___________,==b a ;22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为________;23. 曲线323x x y -=的上凹区间为________;24. 曲线)1ln(2x y +=的拐点为__________;25．曲线x y ln =在点______处曲率半径最小.26．曲线)1ln(x e x y +=的渐近线为__________.二.选择填空1．曲线2)5(35+-=x y 的特点是< >.A.有极值点5=x ,但无拐点B.有拐点)2,5(,但无极值点C.5=x 是极值点,)2,5(是拐点D.既无极值点,又无拐点2．奇函数)(x f 在闭区间[]1,1-上可导,且M x f ≤)(',则< >. A.M x f ≥)( B.M x f >)( C.M x f ≤)( D.M x f <)(3．已知方程)0(122>=+y y y x 确定y 为x 的函数,则< >.A.)(x y 有极小值,但无极大值B.)(x y 有极大值,但无极小值C.)(x y 即有极大值又有极小值D.无极值4．若)(x f 在区间),[+∞a 上二阶可导,且0)(>=A x f ,,0)('<a f 0)(<''x f )(a x >,则方程0)(=x f 在()+∞,a 内< >A.没有实根B.有两个实根C.有无穷多个实根D.有且仅有一个实根 5．已知)(x f 在0=x 处某邻域内连续,2cos 1)(lim0=-→xx f x ,则在0=x 处)(x f < >.A.不可导B.可导且2)0('=fC.取得极大值D.取得极小值6．设函数)(x f 在区间[)+∞,1内二阶可导,且满足条件0)1()1(='=f f ,1>x 时0)(<''x f ,则xx f x g )()(=在[)+∞,1内< > A ．必存在一点ε,使0)(=εfB ．必存在一点ε,使0)(='εfC ．单调减少 D. 单调增加7．设)(x f 有二阶连续导数,且0)0(='f ,1)(lim 0=''→xx f x ,则< > A ．)0(f 是)(x f 的极大值 B.)0(f 是)(x f 的极小值C ．())0(,0f 是曲线)(x f y=的拐点 D ．)0(f 不是)(x f 的极值,())0(,0f 也不是曲线)(x f y =的拐点8．若)(x f 和)(x g 在0x x =处都取得极小值,则函数)()()(x g x f x F +=在0x x =处< >A ．必取得极小值 B.必取得极大值C.不可能取得极值D.是否取得极值不确定9．设)(x y y =由方程03223=+-by y ax x 确定,且1)1(=y ,1=x 是驻点,则< >A.3==b aB.25,23==b aC.21,23==b a D.3,2-=-=b a 10．曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为< >A.0B.1C.2D.311．)(),(x g x f 是大于0的可导函数,且0)(')()()('<-x g x f x g x f ,则当b x a <<时有< >A ．)()()()(x g b f b g x f > B.)()()()(x g a f a g x f >C.)()()()(b g b f x g x f >D.)()()()(a g a f x g x f >12．曲线()()211arctan 212+-++=x x x x e y x 的渐近线有< > A ．1条 B.2条 C.3条 D.4条13．q x x x f ++=2)(3的O 点的个数为< >A ．1 B.2 C.3 D.个数与q 有关14．曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==111t b t x 则曲线< > A ．只有垂直渐近线 B.只有水平渐近线C ．无渐近线 D.有一条水平渐近线和一条垂直渐近线15．设)(x f y =为0sin =-'+''x ey y 的解,且0)(0='x f ,则)(x f 有< > A ．0x 的某个邻域内单调增加B ．0x 的某个邻域内单调减少C ．0x 处取得极小值D ．0x 处取得极大值16. 罗尔定理中的三个条件;)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且)()(b f a f =是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ,使得0)(='ξf 成立的< >.)(A 必要条件 )(B 充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要17. 下列函数在],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是< >.)(A );ln(ln x )(B x ln ; )(C xln 1; )(D )2ln(x -; 18. 若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且21,x x 是),(b a 内任意两点,则至少存在一点ξ使得下式成立< >.)(A )()()()(2112ξf x x x f x f '-=-),(b a ∈ξ;19. 设)(x f y =是),(b a 内的可导函数,x x x ∆+,是),(b a 内的任意两点,则< > .)(B 在x x x ∆+,之间恰有一个ξ,使得x f y ∆'=∆)(ξ)(C 在x x x ∆+,之间至少存在一点ξ,使得x f y ∆'=∆)(ξ)(D 对于x 与x x ∆+之间的任一点ξ,均有x f y ∆'=∆)(ξ20.若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且对),(b a 内任意两点21,x x 恒有21212)()()(x x x f x f -≤-,则必有< >.)(C x x f =)()(D c x f =)( <常数>21. 已知函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,则方程)(x f '0=有< >.)(A 分别位于区间)4,3(),3,2(),2,1(内的三个根;)(B 四个根,它们分别为4,3,2,14321====x x x x ;)(C 四个根,分别位于);4,3(),3,2(),2,1(),1,0()(D 分别位于区间)4,1(),3,1(),2,1(内的三个根;22. 若)(x f 为可导函数,ξ为开区间),(b a 内一定点,而且有0)()(,0)(≥'->x f x f ξξ,则在闭区间],[b a 上必总有< >.23. 若032<-b a ,则方程0)(23=+++=c bx ax x x f < >. )(A 无实根 )(B 有唯一实根 )(C 有三个实根 )(D 有重实根24. 若)(x f 在区间],[+∞a 上二次可微,且,0)(,0)(<'>=a f A a f 0)(≤''a f <a x >>,则方程0)(=x f 在],[+∞a 上< >.)(A 没有实根 )(B 有重实根 )(C 有无穷多实根 )(D 有且仅有一个实根25. 设)()(lim 0x g x f x x →为未定型,则)()(lim 0x g x f x x ''→存在是)()(lim 0x g x f x x →也存在的< >. )(A 必要条件 )(B 充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件26. 指出曲线23x x y -=的渐近线< >. )(A 没有水平渐近线,也没有斜渐近线;)(B 3=x 为垂直渐近线,无水平渐近线;)(C 既有垂直渐近线,又有水平渐近线;)(D 只有水平渐近线.27 曲线)2)(1(1arctan 212+-++=x x x x e y x 的渐近线有< >. )(A 1条 ; )(B 2条 ; )(C 3条 ; )(D 4条 ;28． 函数x x a x f 2cos 21cos )(-=在3π=x 取得极值,则=a 〔 〕. )(A 0 ； )(B 21 ； )(C 1 ； )(D2 . 29． 下列曲线集邮水平渐近线,又有垂直渐近线的是〔 〕.)(A xx x x f +=32sin )( ； )(B 13)(2-+=x x x f ； )(C )3ln()(xe xf -= ； )(D 2)(x xe x f -=. 30． x x x -→111lim =〔 〕.)(A 1 ； )(B 1-e ； )(C e ； )(D ∞ .三、计算题1. 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点ξ使得f ′<ξ>=0：〔1〕f<x>=⎪⎩⎪⎨⎧=≤<0;x 0,,π1x ,0x 1xsin〔2〕f<x>=|x|, —|≤x ≤|.2. 求下列不定式极根: <1>x sin 1e lim x 0-→x ; <2> x cos 2sinx -1lim 6x x →; <3> 1-cosx x -x)1n(1lim 0+→x ; <4> sinx-x x -tgx lim 0→x ; <5> 5sec 6-tgx lim 2+→x x x ; <6> )11x 1(lim 0--→x x e ; <7> sinx 0)tgx (lim +→x ; <8> x -111lim x x →; <9> x 12)1(lim x x ++∞→; <10> x x x ln sin lim 0+→; <11> )sin 1x 1(lim 220xx -→; <12> 210)x tgx (lim x x →.3.求下列不定式极限: <1>2sin 1)1cos(ln lim 1x x x π--→; <2>x 2arctgx)ln (πlim x -+∞→; <3> x x x sin 0lim +→ <4> x tg x x tgx 24)(lim → <5> xx x x x 1)1ln(lim 2)1(0-++→ <6> )1(lim 0xctgx x -→; <7> x e x xx -+→10)1(lim ; <8> x x ln 1)arctgx 2(lim -+∞→π.4. 求下列函数在提定点处带拉格朗日型余项的泰勒公式:<1> f<x>=x 3+4x 2+5,在x=1处; <2> f<x>=,11x+在x=0处; <3> f<x>=cosx 的马克林公式.5. 求下列函数带皮亚诺型余项的马克劳林公式：〔1〕f<x>=arctgx 到含x 5的项；〔2〕f<x>=tgx 到含x 5的项.6.求下列极限: <1>⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-∞→→)11ln(lim )2(;)1(sin lim 230x x x x x x x e x x x ; <3>ctgx)x1(x 1lim 0x -→. 7. 估计下列近似公式的绝对误差: <1>21||,6sin 3≤-≈x x x x 当; <2>,82112x x x -+≈+当x ∈[0,1]. 8. 计算: <1>数e 准确到10-9;<2>lg11准确到10-5.1. 确定下列函数的单调区间:<1> f<x>=3x-x 3; <2> f<x>=2x 2-lnx; <3> f<x>=22x x -; <4> f<x>=x x 12-. 9. 求下列函数的极值.<1> f<x>=2x 3-x 4; <2> f<x>=212x x +; <3>f<x>=x nx)(|2; <4> f<x>=arctgx-21ln<1+x 2>. 10. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:<1> y=x 5-5x 4+5x 3+1,[-1,2];<2> y=2tgx-tg 2x, [0,2π]; <3> y=x lnx, <0,+∞>.11. 把长为1的线段截为两段, 问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大?12. 一个无盖的圆柱形容器, 当给定体积为V 时, 要使容器的表面积为最小, 问底的半径与容器的高的比例应该怎样?13. 设用某仪器进行测量时,读得n 次实验数据为a 1,a 2,…, a n .问以怎样的数值x 表达所要测量的真值,才能使它与这n 个数之差的平方和为最小？14. 求下列函数的极值:<1> f<x>=|x<x 2-1>|; <2> f<x>=1)1(242+-+x x x x ;<3> f<x>=<x-1>2<x+1>3. 15. 设f<x>=alnx+bx 2+x 在x 1=1,x 2=2处都取得极值;试定出a 与b 的值;并问这时f 在x 1与x 2是取得极大值还是极小值?16. 求正数a,使它与其倒数之和为最小.17. 要把货物从运河边上A 城运往与运河相距为BC=a 千米的B 城<见图7-1>.轮船运费的单价是α元/千米.火车运费的单价是β元/千米<β>α>,试求运河边上的一点M,修建铁路MB,使总运费最省.18. 确定下列函数的凸性区间与拐点:<1> y=2x 3-3x 2-36x+25; <2> y=x+x 1; <3> y=x 2+x1; <4> y=ln<x 2+1>; 19. 问a 和b 为何值时,点<1,3>为曲线y=ax 3+bx 3的拐点?四、证明题1. 证明：〔1〕方程x 3—3x+c=0〔这里C 为常数〕在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根；〔2〕方程x n +px+q=0<n 为自然数,p,q 为实数>当n 为偶数时至多有两个实根；当n 为奇数时至多有三个实根.2. 证明：〔1〕若函数f 在[a,b]上可导,且f '<x>≥m,则f<b>≥f<a>+m<b-a>;<2>若函数f 在[a,b]上可导,且|f '<x>|≤M,则|f<b>-f<a>|≤M<b-a>；〔3〕对任意实数x 1,x 2,都有|sinx 1-sinx 2|≤|x 1-x 2|.3. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：〔1〕aa b a b n b a b -<<-1,其中0<a<b; 〔2〕21h h +<arctgh<h,其中h>0. 4. 设函数f 在[a,b]上可导.证明：存在ξ∈〔a,b 〕,使得2ξ[f<b>-f<a>]=<b 2-a 2>f '<ξ>.5. 设函数在点a 具有连续的二阶导数.证明：)('')(2)()(20lim a f ha f h a f h a f h --++→. 6. 试讨论函数f<x>=x 2,g<x>=x 3在闭区间[-1,1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论,为什么？7. 设0<α<β<2π,试证明存在θ∈<a,b>,使得 ctg aa =--cos cos sin sin ββθ. 8. 设h>0,函数f 在[a-h,a+h]上可导.证明：〔1〕)(f')(f'hh)f(a h)f(a h a h a θθ--+=--+,θ∈〔0,1〕； 〔2〕)('f )('f h h)f(a f(a)h)f(a h a h a θθ--+=-+-+,θ∈〔0,1〕. 9. 以S<x>记由〔a,f<a>〕,<b,f<b>>,<x,f<x>>三点组成的三角形面积,试对S<x>应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.10. 若函数f, g 和h 在[a,b]上连续,在〔a,b 〕内可导,证明存在实数ξ∈<a,b>,使得)(h' )(g' )(f'h(b) g(b) f(b)h(a)g(a) f(a)ξξ ξ=0.再从这个结果导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理.11. 设f 为[a,b]上二阶可导函数,且f<a>=f<b>=0,并存在一点c ∈〔a,b 〕使得f<c>>0.证明至少存在一点ξ∈<a,b>,使得f ''<ξ><0.12. 证明达布定理：若f 在[a,b]上可导,且f '<a>≠f '<b>,k 为介于f '<a>与f '<b>之间的任一实数,则至少存在一点ξ∈<a,b>,使得f '<ξ>=k.13. 设函数f 在〔a,b 〕内可导,且f ＇单调.证明f ＇在〔a,b 〕内连续.14. 证明：设f 为n 阶可导函数,若方程f 〔x 〕=0有n+1个相异实根,则方程f <n><x>=0至少有一个实根.15. 设p<x>为多项式,α为p<x>=0的r 重实根.证明：α必定是p ＇<x>=0的r-1重实根.16. 证明：〔1〕设f 在〔a,+∞〕上可导,若f(x)lim +∞→x 和(x)f'lim +∞→x 都存在,则(x)f'lim +∞→x =0;<2>设f 在<a,+∞>上n 阶可导.若f(x)lim +∞→x 和(x)f lim k+∞→x 都存在,则 (x)f lim k +∞→x =0,<k=1,2,…,n>.17. 设函数f 在点a 的某个邻域内具有连续的二阶导数,试应用罗比塔法则证明:18. 对函数f 在区间[0,x]上应用拉格朗日中值定理有f<x>-f<0>=f ＇<θx>x,θ∈<0,1>. 试证对下列函数都有21lim 0=→θx ; <1> f<x>=ln<1+x>; <2> f<x>=e x .19. 设f<0>=0,f ＇在原点的某邻域内连续,且f ＇<0>=0.证明:1lim f(x)0=+→x x .20. 证明定理6.5中0g(x)lim 0,f(x)lim x x ==+∞→+∞→情形时的罗比塔法则:若<i> 0)(lim ,0fx lim ==+∞→+∞→x x x <ii> 存在M 0>0,使得f 与g 在<M0,+∞>内可导,且g ＇<x>≠0; <iii> A (x )g'(x )f'lim (x )g'(x )f'lim x x ==+∞→+∞→<A 为实数,也可为±∞或∞>,则 21. 证明:2x 3e x f(x)-=为有界函数.22. 应用函数的单调性证明下列不等式. <1> tgx>x-)3π(0,x ,3x 3∈; <2> )2π(0,x x,sinx π2x ∈<<; <3> 0x ,x )2(1x x x )n(1|2πx 22>+-<+<- 23. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0x 0,0, x ,x 1sin x f(x )24. <1> 证明:x=0是函数f 的极小值点;<2>说明在f 的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.24. 证明:设f<x>在<a,b>内可导,f<x>在x=b 连续,则当f '<x>≥0<a<x<b>时,对一切x ∈<a,b>有f<x>≤f<b>,当f '<x>≤0<a<x<b>时,对一切x ∈<a,b>有f<x>≥f<b>.25. 证明:若函数f 在点x 0处有f '+<x 0><0<>0>,f '_<x 0>>0<<0>,则x 0为f 的极大<小>值点.26. 证明：若函数f,g 在区间[a,b]上可导,且f '<x>>g '<x>, f<a>=g<a>,则在(]b a ,内有f<x>>g<x>.27. 证明:,sinx x x tgx >⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π0,x . 28. 证明:<1> 若f 为凸函数,λ为非负实数,则λf 为凸函数;<2> 若f 、g 均为凸函数,则f+g 为凸函数；<3>若f 为区间I 上凸函数,g 为J ⊃f<I>上凸的递增函数,则gof 为I 上凸函数.29. 设f 为区间I 上严格凸函数.证明:若X 0∈I 为f 的极小值点,同x 0为f 在I 上唯一的极小值点.30. 应用凸函数概念证明如下不等式:<1>对任意实数a,b,有)e (e 21e b a 2ba +≤+; <2>对任何非负实数a,b, 有 2arctg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a ≥arctga+arctgb. 31. 证明:若f.g 均为区间I 上凸函数,则F<x>=max{f<x>,g<x>}也是I 上凸函数.32. 证明:<1>f 为区间I 上凸函数的充要条件是对I 上任意三点x 1<x 2<x 3,恒有)f(xx 1)f(xx 1)f(xx 1Δ332211=≥0. <2>f 为严格凸函数的充要条件是对任意x 1<x 2<x 3,△>0.33. 应用詹禁不等式证明:<1> 设a i >0<i=1,2,…n>,有n a a a a a a a 1a 1a 1nn 21n n 21n21+++≤≤+++ . <2>设a i ,b i >0<I=1,2,…,n>,有81)b (p 1)a (b a m 1i q i n1i p n 1i i i ∑∑∑===≤, 其中P>0,q>0,q1p 1+=1. 五、考研复习题1. 证明:若f<x>在有限开区间<a,b>内可导,且f(x)lim a x +→f(x)lim b x -→=,则至少存在一点ξ∈a,b>,使f '<ξ>=0.2. 证明:若x>0,则<1>)(211x x x x θ+=-+,其中21)(41≤≤x θ; <2>21)(lim ,41)(lim 0==+∞→→x x x x θθ. 3. 设函数f 在[a,b]上连续,在<a,b>内可导,且ab>0.证明存在ξ∈<a,b>,使得)(f )(f f(b)f(a)b a b a 1ξξξ'-=-. 4. 设f 在[a,b]上三阶可导,证明存在ξ∈<a,b>,使得)(f a)(b 121(b)]f (a)f a)[(b 21f(a)f(b)3ξ'''--'+'-+=. 5. 对f<x>=ln<1+x>应用拉格朗日中值定理,证明:对x>0有11)1ln(10<-+<xx . 6. 证明:若函数f 在区间[a,b]上恒有f ''<x>>0,则对<a,b>内任意两点x 1,x 2,都有⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+2x x f 2)f(x )f(x 2121, 其中等号仅在x 1=x 2时才成立.7. 证明:第6题中对<a,b>内任意n 个点x 1,x 2…,x n 也成立⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡≥∑∑--n x f )f(x n 1n 1k k n1k k , 其中等号也仅在x 1=x 2=…=x n 时才成立.8. 应用第7题的结果证明：对任意n 个正数x 1,x 2,…,x n 恒成立n n 21x x x nxn x2x1⋯≥+⋯++, 即算术平均值不小于几何平均值.9. 设a 1,a 2,…,a n 为n 个正实数,且证明：〔i 〕n n 21x a a a (x)limf =∞→〔ii 〕{}x n 21x a a ,a max f(x)lim =∞→ 10. 求下列极限：〔1〕x)ln(1121x )x (1lim -→--；〔2〕2x 0x x x )ln(1x e lim +-→；〔3〕sinx 1sinx lim 20x x →.11. 证明:若函数f 在点a 二阶可导,且f ''<a>≠0,则对拉格朗日公式f<a+h>-f<a>=f '<a+θh>h,0<θ<1 中的θ有21θlim 0h =→ 12. 设h>0,函数f 在U<a,h>内具有n+2阶连续导数,且f <n+2><a>≠0,f 在U<a,h>内的泰勒公式为f<a+h>=f<a>+f '<a>h+…++n (n)h n!(a)f 1)1()!1()(++++n n h n h a f θ,0<θ<1. 证明:2n 1θlim 0h +=→. 13. 设函数f 在[a,b]上二阶可导,0(b)f (a)f ='='.证明存在一点ξ∈<a,b>,使得14. 设a,b>0,证明方程x 3+ax+b=0不存在正根.15.设k>0,试问k 为何值时,方程arctgx-kx=0存在正根.16. 证明:对任一多项式p<x>来说,一定存在点x 1与x 2,使p<x>在<x 1,+∞>与<-∞,x 2>上分别为严格单调.17. 证明:当x ∈[0,1]时有不等式121-p ≤X p +<1+x>p ≤1<其中实数p>1>.18. 讨论函数 f<x>=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+0,x 0,0,x ,x 1sin x 2x 2 <1>在x=0点是否可导?<2>在x=0的任何邻域内函数是否单调?19. 设函数f 在[0,a]上具有二阶导数,且|f ''<x>|≤M,f 在<0,a>内取得最大值.证明:|f '<0>|+|f '<a>|≤Ma.20. 设f 在[)+∞,0上可微,且0≤f '<x>≤f<x>,f<0>=0.证明:在[)+∞,0上f<x>≡0.21. 设f<x>满足f ''<x>+f '<x>g<x>-f<x>=0,其中g<x>为任一函数.证明:若f<x 0>=f<x 1>=0<x 0<x 1>,则f 在[x 0,x 1]上恒等于0.22. 证明:f 为I 上凸函数的充要条件是对任何x 1,x 2∈I,函数ϕ<λ>=f<λx 1+<1-λ>x 2>为[0,1]上的凸函数.。
