[八年级数学]南京市江宁区八年级上学期期中考试数学试题

2011—2012学年度第一学期八年级数学期中试卷一、选择题(每小题2分，共16分) 1、下列实数中，无理数的是（ ▲ ） A ．0 B ．22C ．3.14D ．2272、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ▲ ）3、下列各组数中，互为相反数的是（ ▲ ） A ．212与- B ．与2--4 C ．()222--与 D ．3322--与4、下列长度的各组线段中，能够组成直角．．三角形的是（ ▲ ） A ．8,15,17 B ．7,20,25 C ．5,11,12 D ．5,6,7 5、下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ▲ ） A ．AB =CD ，CD =DA ； B ．AB ∥CD ，AB =CD ； C ．∠A =∠B ，∠C =∠D D ．AB ∥CD ，AD =BC ；6、我国以2011年11月1日零时为标准时点进行了第六次全国人口普查，普查得到全国总人口为1370536875人，该数保留 3 个有效数字并用科学记数法表示为（ ▲ ）.A . 1010137.0⨯ B. 91.3710⨯ C . 91.410⨯ D . 813.710⨯7、如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，把剪下来的阴影部分再剪成若干块拼成一个新正方形，那么新正方形的边长是（ ▲ ）A. 3B. 2C. 5D. 68、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝AD ＝1，∠B ＝60°，直线MN 是梯形的对称轴，点P 为直线MN 上的一动点，则PC ＋PD 的最小值为（ ▲ ）第7题图第8题图A ．2B ． 3C ． 2D ．1 二、填空题（每小题2分，共20分） 9、49的平方根是___▲____，﹣64的立方根是__▲___．10、□ABCD 中，∠B ＋∠D ＝100º，则∠B ＝___▲_____°，∠C ＝___▲_____°． 11、3 的绝对值是 ▲ ．12、比较大小：5 __▲___37．（用“＞”或“＜”填空）13、如图，在□ABCD 中，E 是AD 的中点．若∠ABE =∠EBC ，AB =2，则□ABCD 的周长是 ▲ ．第13题图 第14题图14、如图，用四个全等的等腰梯形拼成四边形ABCD ，则∠A ＝ __▲____°． 15、如图，AB ⊥AC ，点D 在BC 的延长线上，且AB =AC =CD ，则∠ADB = ▲ °．16、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，AB ＝6，BC ＝8．若DE ∥AB ，则△DEC 的周长是 ▲ ．17、把一个数x 立方后得3x ，如下表：x1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.93x1.331 1.7282.197 2.7443.3754.096 4.9135.8326.859x1.811 1.812 1.813 1.814 1.815 1.816 1.817 1.818 1.819ABCD第15题图第16题图DCBA BA第18题图3x5.939 6 5.9494 5.9593 5.9691 5.9790 5.9889 5.99886.00876.0186请观察上面表格中的数据并求值：则36≈___▲_____．（保留三位有效数字）18、如图所示33⨯的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A 、B 是两个格点，如果点C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是 ▲ ． 三、解答题19、求下列各式中的x (每小题5分，共10分)（1）4x 2＝9； （2）1－(x +1)3＝1001；20、（本题满分5分）计算：103248(2)-+-+21、（本题满分6分）学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB 的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1m （如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD 为1m ，到旗杆的距离CE 为8m ，（如图2）．请你求出旗杆的高度AB ．22、（本题满分6分）用四块如图①所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形．（1）请你在图②中画一种拼法，使拼成的图案是轴对称图形但不是中心对称图形．（2）请你在图③中画一种拼法，使拼成的图案是中心对称图形但不是轴对称图形．（3）请你在图④中画一种拼法，使拼成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形．23、（本题满分6分）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．24、（本题满分6分）如图，等腰梯形ABCD中，AB//CD，AC、BD是对角线，将△ABD沿AB边向下翻折到△ABE的位置.四边形AEBC是平行四边形吗？说明你的理由.25、（本题满分7分）已知△ABC 中∠BAC =135°，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于E 、F ，BE =4,CF =3.求（1）∠EAF 的度数； （2）△EAF 的周长．26、（本题满分9分）如图，在四边形ABCD 中，AD ＜BC ，对角线AC 、BD 相交于O 点，AC =BD ，∠ACB =∠DBC ．（1）试说明四边形ABCD 为等腰梯形；（2）若E 为AB 上一点，延长DC 至F ，使CF =BE ，连接EF 交BC 于G ，请判断G 点是否为EF 中点，并说明理由．BCFEAD BCE27、（本题满分9分）如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB =110°,∠BOC =α．将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ．（1）试画出△ADC ；（保留画图痕迹，不写画法） （2）当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？请直接写出符合条件的α的值．ABCO1102011—2012学年度第一学期八年级数学期中试卷参考答案与评分标准一、选择题(每小题2分，共16分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDCABBCB二、填空题（每小题2分，共20分） 9、32，-4 10、50 130 11、3 12、＞ 13、12 14、60 15、22.5 16、17 17、1.82 18、8 三、解答题19、（1）x ＝±32； （2）x ＝－11；（每小题满分5分，酌情给分）20、原式=12+2-2+1 …………………………………………………4分（每对一个给1分）= 32 …………………………………………………5分21、 设旗杆的高度为x 米，则绳子长为（x +1）米，………………………………………1分 在Rt △ACE 中，AC =（x+1）米，AE =（x -1）米，CE=8米，由勾股定理可得，（x -1）2+82=（x +1）2，……………………………………………………3分 解得：x =16． ………………………………………………………………………………5分 答：旗杆的高度为16米．……………………………………………………………………6分22、本题答案不唯一，每画正确一个给2分23、在△BAD 与△BCE 中， ∵∠B =∠B ，∠BAD =∠BCE ，BD =BE ，∴△BAD ≌△BCE ，……………………………………………………………………………3分 ∴BA =BC ，∠BAC =∠BCA ，∴∠BAC -∠BAD =∠BCA -∠BCE ，即∠FAC =∠FCA ．∴△AFC 是等腰三角形． ……………………………………………………………………6分24、∵四边形ABCD是等腰梯形∴AD=BC,AC=BD……………………………………………………………………………2分∵△ABE是由△ABD翻折得到的∴AD=AE,BD=BE…………………………………………………………………………4分∴AE=BC,AC=BE∴四边形AEBC是平行四边形………………………………………………………………6分25、（1）∠EAF=90°………………………………………………………………………4分（2）△EAF的周长为12 ………………………………………………………………7分26、（1）∵∠ACB=∠DBC，∴OB=OC∵AC=BD，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA∵∠DOC=∠OAD+∠ODA=∠OBC+∠OCB∴2∠OAD=2∠OCB，∴∠OAD=∠OCB∴AD∥BC∵AD＜BC∴四边形ABCD为梯形．………………………………………………………2分在△ABC和△DCB中：AC=BD，∠ACB=∠DBC，CB=BC．∴△ABC≌△DCB ∴AB=CD…………………………………………………………4分∴四边形ABCD为等腰梯形．……………………………………………………………5分（2）点G是EF中点理由：过E作EH∥CD交BC于H．∴∠EHB=∠DCB，∠EHG=∠GCF∵梯形ABCD为等腰梯形∠EBH=∠DCB∴∠EBH=∠EHB，∴EB=EH……………………………………………………………7分∵EB=CF，∴EH=CF在△EHG和△FGC中：∠EHG=∠FCG，∠EGH=∠FGC，EH=CF∴△EHG≌△FGC∴EG=FG即G为EF中点．………………………………………………………………9分27、（1）正确画出图形（不写结论不扣分）．………………………………………………2分（2）解：当α=150°，即150BOC△是直角三角形．······· 3分∠=°时，AOD∴°．∠=∠=∵△≌△，150ADC BOCBOC ADC由题意易得△COD是等边三角形，······················ 4分60ODC ∠=∴°．90ADO ∠=∴°．即AOD △是直角三角形． ·························· 5分 （3）解：①要使AO AD =，需AOD ADO ∠=∠．190AOD α∠=-∵°，60ADO α∠=-°， 19060αα-=-∴°°． 125α=∴°．②要使OA OD =，需OAD ADO ∠=∠． 180()50OAD AOD ADO ∠=-∠+∠=∵°°，6050α-=∴°°． 110α=∴°．③要使OD AD =，需OAD AOD ∠=∠．19050α-=∴°°． 140α=∴°．综上所述：当α的度数为125°，或110°，或140°时，ABC △是等腰三角形． ··· 9分 说明：第（3）小题答对1种得2分，答对2种得3分．ABCDO110α。

江苏省南京市江宁区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下面四个企业的标志是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，ABC CDA ≌△△，则AD 的对应边是（）A ．BCB ．ABC ．CDD ．AC 3．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()A ．3，4，5B ．2，3，4C ．4，6，7D ．5，11，124．如图，在ABC 中，AB AC =，AC 的垂直平分线l 交BC 于点D ．若34DAC ∠=︒，则B ∠的度数是（）A ．34︒B ．30︒C ．28︒D ．26︒5．如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x 的值是（）A ．30︒B ．36︒C ．65︒D ．79︒6．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，10AB =，20ABD S = ，则CD 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．57．如图，点P 在AOB ∠的平分线OM 上（不与点O 重合），PC OA ⊥于点C ，3PC =，若D 是OB 边上任意一点，连接PD ，则下列关于线段PD 的说法一定．．正确的是（）A ．3PD =B ．3PD <C ．3PD >D ．3PD ≥8．如图所示，60AOB ∠=︒，点P 是AOB ∠内一定点，并且4OP =，点M 、N 分别是射线OA OB ，上异于点O 的动点，当PMN 的周长取最小值时，点O 到线段MN 的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题12．在等腰ABC 中，有一个内角为13．如图，在ABC ∆中，BC 14．如图，ABC 为等边三角形，º．15．把长方形纸片ABCD 按如图方式折叠，使顶点AB=3cm ，BC=5cm ，则线段16．如图，D 为ABC 内一点，13BD BC ==，，则AC =17．如图，90MON ∠=︒，在上运动，ABC 的形状始终保持不变，三、解答题18．如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，BF EC =，AB DE =，B E ∠=∠．求证：A D ∠=∠．19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 中点，DE ⊥AC ，垂足为E ．若∠BAC ＝50°，求∠ADE 的度数．20．如图，ABC 的顶点A ，B ，C 都在小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形．(1)作出ABC 关于直线l 对称的三角形；22．如图，△CD，AE与CD（1）判断线段（2）连接BM有.（请写序号，少选、错选均不得分）23．如图①，要在一条笔直的路边铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．(1)如图②，作出点A关于l的对称点在点C处建燃气站，所得路线ACB直线l上另外任取一点C'，连接明；(2)如图③，已知四边形APB CPD ∠=∠（不写作法，保留作图痕迹）24．[问题背景]如图①，将ABC 沿折痕65C =︒∠，求ADB ∠的度数；[变式运用]如图②，在ABC 中，25．（1）如图①，在ABC 中，5AB =，3AC =，AD 为BC 边上的中线，则值范围是（提示：延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ）；（2）如图②，在ABC 中，90A ∠=︒，D 是BC 边上的中点，90EDF ∠=于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证222BE CF EF +=；（3）如图③，在ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，连接DE 12DE BC =．（简述解题思路即可）。

2023-2024学年江苏省南京市八年级（上）期中数学模拟试卷一、选择题：本题共7小题，每小题2分，共14分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列体育运动项目图标中，是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()A.1，2，3B.2，3，4C.3，4，5D.5，6，73.如图，，，添加下列哪一个条件可以推证≌()A.B.C.D.4.一个等腰三角形的顶角等于，则这个等腰三角形的底角度数是()A. B. C. D.5.如图，，，则下列判断正确的是()A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB与CD互相垂直平分D.CD平分6.如图，中，BF、CF分别平分和，过点F作交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①；②为等腰三角形；③的周长等于的周长；④其中正确的是()A.①②B.①③C.①②④D.①②③④7.如图，AD是的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且，连接BF，CE，下列说法：①和的面积相等；②；③；④其中，正确的说法有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题：本题共9小题，每小题2分，共18分。

8.如图，是的一个外角，若，，则______.9.已知≌，的周长为24cm，若，，______10.如图，，，请你添加一个条件______只填一个即可，使≌11.如图，在中，CD是斜边AB上的中线，若，则______.12.已知等腰三角形的一个外角是，则它的底角度数为______度.13.如图，在中，，线段AB的垂直平分线交AC于点N，的周长是12cm，则BC的长为______14.如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若，，则的面积为______.15.已知如图等腰，，，于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形.其中正确的是______填序号16.如图，透明的圆柱形容器容器厚度忽略不计的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是______三、解答题：本题共10小题，共68分。

第一学期期中质量调研检测试卷八年级数学一、选择题（每小题2分，计12分．将正确答案的序号填写在下面的表格中） 1．下列图案中，不是．．轴对称图形的是（ ▲ ）2．若等腰三角形的两边长分别为3cm 和6cm ，则该等腰三角形的周长是（ ▲ ） A ．9cmB ．12cmC ．12cm 或15cmD ．15cm3．如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一直线上，且BE ＝CF ，∠ABC ＝∠DEF ，那么添加一个条件后．仍无法判定△ABC ≌△DEF 的是（ ▲ ） A ．AC ＝DF B ． AB ＝DE C ．AC ∥DFD ． ∠A ＝∠D4．如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ▲）质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是（ ▲ ） （第3题）A ．SSSB ．ASAC ．AASD ．SAS6．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，构成钝角三角形的是( ▲ ) A ．3、4、5 B ．3、3、5 C ．4、4、5 D ．3、4、4二、填空题（每小题2分，共20分）∠C ＝ ▲ °. 12如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为边的正方形面积为12，中线CD 的长度为2，则BC 的长度为 ▲ ．13. 如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝BD ，∠BAD ＝70°，∠DAC ＝ ▲ °．（第12题）（第11题）（第13题）14. 如图，△ABC中，AB = AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．若AB = 10cm，△ABC的周长为27cm，则△BCE的周长为▲．17. (7分) 已知：如图，AB∥ED，AB=DE，点F，点C在AD上，AF=DC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）求证：BC∥EF．（第17题）（第18题）19.（7分）如图，AC＝AB，DC＝DB，AD与BC相交于O.（1）求证：△ACD≌△ABD；（2）求证：AD 垂直平分BC .20. （7分）如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为AB 中点， DE ⊥DF . （1）写出图中所有全等三角形，分别为 ▲ .（用“≌”符号表示） （2）求证：ED ＝DF .，（第19题）ODCBAAF BCDE(第20题)21. （8分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，AD 为△ABC 角平分线. （1）用圆规在AB 上作一点P ，满足DP ⊥AB ； （2）求：CD 的长度．（1）若∠ABD ＋∠C ＝120°，求∠A 的度数；（2）若CD ＝3，BC ＝5，求△ABC 的面积 .23. (8分)如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 上一点，连接AE . 请添加一条线段，使得图形是一个轴对称图形。

八年级数学参考答案及评分细则说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．题号12345678答案C D D A B A A B二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)9．610．AD ⊥BC 11．①②12．8013．114．21515．6（答案不唯一）16．2017．3或251218．2说明：※第15题答案不唯一，1<x<7或5<x<7即可；※第17题每个答案1分．※填空题按横向填写的，无论从哪里开始，都按正确答案给分．三、解答题（本大题共8小题，共64分)19.（7分）解：∵AB ＝BD ，∠A ＝50°，∴∠BDA ＝∠A ＝50°．………………………………2分∵BD ＝DC ，∴∠BDC ＝∠C ．……………………………………4分∵∠BDA 是△BCD 的外角，∴∠ADB ＝∠BDC ＋∠C ＝2∠C ．…………………6分∴∠C ＝25°．………………………………………7分20.（7分）解：（1）画出A ，B ，C 的对称点A ，B ′，C ′，……………………………2分连接AB ，AC ，BC 得到△AB ′C ′．………………………………….…………5分（2）A ．…………………………………………………………………………7分说明：第（1）题，点及字母2分，连线3分．21.（8分）（1）证明：∵AB ＝CD ，∴AB ＋BC ＝CD ＋BC ，即AC ＝B D ．…………………………………………2分∵在△ACE 和△DBF 中，AC ＝BD ，AE ＝DF ，CE ＝BF ．∴△ACE ≌△DBF （SSS ）．…………………………5分∴∠A ＝∠D ．…………………………………………6分（2）①②．……………………………………………8分说明：第（2）题，每个1分；三个都选得0分．AB C D （第19题）AB C C′B′ABC DE（第21题）22.（8分）（1）BE ⊥AC ，CD ⊥A B ；……………………………1分BE ＝CD ．………………………………………………2分说明：（1）中不写垂足不扣分；（2）∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ．……………………………………4分∵BE ⊥AC ，∴∠BDC ＝90°．同理，∠CEB ＝90°．∴∠BDC ＝∠CEB ．……………………………………5分∵在△BCD 和△CBE 中，∠ABC ＝∠ACB ，∠BDC ＝∠CEB ，BC ＝CB ．∴△BCD ≌△CBE （SSS ）．……………………………7分∴BE ＝CD ．………………………………………………8分证法二：∵BE ⊥AC ，∴∠BDC ＝90°．同理，∠CEB ＝90°．∴∠BDC ＝∠CEB ．……………………………………4分∵AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，∴△ABE ≌△ACD （AAS ）……………………………7分∴BE ＝CD ．……………………………………………8分23.（8分）（1）15；20．……………………………………………2分（2）证明：∵CD 是△ABC 的高，∴∠CDA ＝∠CDB ＝90°．∴在Rt △ACD 中，AD 2＋CD 2＝AC 2，即a 2＋b 2＝AC 2．……………………………………3分同理，a 2＋c 2＝BC 2．………………………………4分∴AC 2＋BC 2＝a 2＋b 2＋a 2＋c 2＝b 2＋c 2＋2ab ……………………6分＝(b ＋c )2＝AB 2，……………………………7分∴△ABC 是直角三角形．……………………………8分24.（8分）（1）证明：∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠CAD ＝∠CAE ＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE ．………………………………2分∵在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ．ABCD E（第22题）CA BD （第23题）ABC FDE（第24题）∴△ABC ≌△ADE （SAS ）．………………………4分（2）∵△ABC ≌△ADE ，∴∠B ＝∠D ，∠ACB ＝∠E ．………………………5分∵AF ＝AC ，∴∠AFC ＝∠ACB ．同理，∠ACE ＝∠E ．∴∠AFC ＝∠ACE ．………………………………6分∴180°－∠AFC ＝180°－∠ACE ，即∠AFB ＝∠ACD ．………………………………7分∵在△ABF 和△ADC 中，∠AFB ＝∠ACD ，∠B ＝∠D ，AB ＝AD ．∴△ABF ≌△ADC （AAS ）．……………………8分（8分）解：（1）连接CM ，DM ．由题可知，OC ＝OD ，CM ＝DM ．………………1分∵在△OCM 和△ODM 中，CM ＝DM ，OM ＝OM ，OC ＝OD ．∴△OCM ≌△ODM （SSS ）．………………………3分∴∠AOM ＝∠BOM ，即OM 平分∠AOB ．…………………………………4分（2）解法一：①以点O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于点C ，交OB 于点D ．②以点O 为圆心，不同于OC 长为半径画弧，交OA 于点E ，交OB 于点F ．③连接ED ，FC ，相交于点G ．④作射线OG ，射线OG 即为所求．解法二：①在射线OA 上任取一点C ．②过点C 作CD ∥OB ．③以点C 为圆心，OC 为半径画弧，交射线CD 于点E ．④画射线OE ，射线OE 即为所求．解法三：①以点O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于点C ，交射线OB 于点D ．②连接CD ，作CD 的垂直平分线OE ．③OE 即为所求．A B CD O M（第25题）ABCD E F GO ABCDEO EABCD O说明：※第（2）题每种方法2分，没有过程分，不写结论不扣分；※若作图痕迹清楚明了，未写文字说明，不扣分；※若作图痕迹不清楚，但文字说明可以判断出作法正确，也不扣分.26．（10分）（1）PF ＝PN ；…………………………………1分PF ＝PM ；………………………………2分PN ＝PM ．………………………………3分（2）（I ）过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，OG ⊥DC ，OH ⊥AD ，垂足分别为E ，F ，G ，H ．∵AO 平分∠BAD ，∴OE ＝OH ．………………………………………4分同理OE ＝OF ，OH ＝OG ．∴OF ＝OG ．∴点O 在∠C 的平分线上．……………………5分（II ）∵OE ⊥AB ，OH ⊥AD ，∴∠OEA ＝∠OHA ＝90°．∵AO 平分∠BAD ，∴∠OAE ＝∠OAH ．在△OAE 和△OAH 中，∠OAE ＝∠OAH ，∠OEA ＝∠OHA ，AO ＝AO ，∴△OAE ≌△OAH ．∴AE ＝AH ．……………………………………………………………………………6分同理BE ＝BF ，CF ＝CG ，DH ＝DG ．………………………………………………7分∴AD ＋BC ＝AH ＋HD ＋BF ＋FC ＝AE ＋DG ＋BE ＋GC ＝AB ＋GC ．……………8分（3）交于一点．解法一：如图④，作出∠A ，∠D 的角平分线，两条角平分线交于点O ．过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥AD ，OG ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，G ．同理（1）问的证明，可得OE ＝OF ＝OG ，AE ＝AF ，DF ＝DG ，又因为AB ＋CD ＝AD ＋BC ，可得BE ＋CG ＝BC ．……………9分所以（3）的问题可转化成：“如图⑤，∠OEB ＝∠OGC ＝90°，OE ＝OG ，BE ＋CG ＝BC ，求证：BO 平分∠ABC ，CO 平分∠BCD ．”A BC D OEF GH （第26题）A BDCOEF G④BC OEG⑤BCOEG⑥C ′证明：延长BE 至点C ′，使EC ′＝GC ，连接OB ，OC ′，OC ．∵EC ′＝GC ，∠OEC ′＝∠OGC ＝90°，OE ＝OG ，∴△OEC ′≌△OGC ．∴OC ′＝OC ，BC ′＝BE ＋EC ′＝BE ＋GC ＝BC ，∠OC ′E ＝∠OCG 又OB ＝OB∴△OBC ′≌△OBC ．∴∠OBC ′＝∠OBC ，∠OCB ＝∠OC ′E ＝∠OCG ．∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠BCD ．…………………………………………10分解法二：在AB 上取点E ，使AE ＝AD ，在BC 上取点F ，使CF ＝CD ，连接EF ,ED ,FD ．∵AD ＋BC ＝AB ＋DC ，∴AD ＋BF ＋FC ＝AE ＋BE ＋D C ．又∵AD ＝AE ，CD ＝CF ，∴AD ＋BF ＋CD ＝AD ＋BE ＋D C ．即BF ＝BE ．∴△BEF ，△AED ，△CFD 均是等腰三角形．分别作EF ，ED ，FD 的垂直平分线l 1，l 2，l 3，三条直线相交于点O ．∵l 1是EF 的垂直平分线，△BEF 是等腰三角形，∴l 1是∠ABC 的角平分线．同理l 2是∠BAD 的角平分线，l 3是∠BCD 的角平分线．∴点O 在∠ADC 的角平分线上．即四边形ABCD 的四条角平分线交于一点．…………………………………………10分A B C D EF Ol 1l 2l 3（第26题）。

2023-2024学年江苏省南京市八年级上册数学期中模拟测试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是正确的.1.）A.10B.4C.6D.22.当1x =时，代数式222x x ++的值是（）A.19B.20C.21D.223.若关于x 的方程230x kx -+=有一个根为1-，则k 的值为（）A.4- B.2- C.2D.44.下列各式是最简二次根式的是（）5.用配方法解方程2210x x +-=时，原方程应变形为（）A.2(1)2x -= B.2(1)0x -= C.2(1)0x += D.2(1)2x +=6.下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A.2210x x ++= B.()30x x -= C.232x x -= D.()224x +=7.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，12AB =，=AC BC 的长为（）A.6B.C. D.128.如图，将长方形分成四个区域，其中A ，B 两正方形区域的面积分别是2和18，则剩余区域的面积是（）A.10B.8C.6D.49.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC 为0.7m ，梯子顶端到地面的距离AC 为2.4m .如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A D '为1.5m ，则小巷的宽为（）A.2.4mB.2mC.2.5mD.2.7m10.如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的长方形，则a b=（）A.512B.234+ C.5+1231二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.6x -x 的取值范围是___________.12.α，β是方程2310x x ++=的两个实数根，则αβ+=________.13.某商品经过两次涨价，每件售价由200元涨到338元.设平均每次涨价的百分率为x ，则x 的值为____________.14.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，AD 是∠CAB 的平分线，若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点.（1）AC ＝_______.（2）PC +PQ 的最小值是_______.三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15.1128125-⎛⎫-- ⎪⎝⎭.16.解方程：210220x x -+=.四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17.如图所示，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，AC ＝4，BC ＝3，165AD =，求CD ，BD 的长.18.如图，在四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，2CD =，3AD =，且AB BC ⊥.求ACD ∠的度数.五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19.已知长方形的长为a =b =(1)求长方形的周长.(2)当S S =长方形正方形时，求正方形的边长.（注：S 表示面积）20.（1.（不写作法，保留作图痕迹）（2）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，在图中以AB 为一边，画一个边长均为无理数的直角三角形.（说明：直角三角形的顶点均为小正方形的顶点）六、(本题满分12分)21.已知关于x 的一元二次方程()22310a x x +-+=有实数根.(1)求a 的范围.(2)设12x x 、为方程的两个根，且2212124x x x x +=，求a 的值.七、(本题满分12分)22.如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度51米的橱栏（图中实线部分）围成两个大小相同的长方形围栏，设BC 长为x 米.(1)DC =___________米（用含x 的代数式表示）.(2)若长方形围栏ABCD 的面积为210平方米，求BC 的长.(3)长方形围栏ABCD 的面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x 的值；若不可能，则说明理由.八、(本题满分14分)23.如图，在ABC 中，45ABC ∠=︒，CD AB ⊥，BE AC ⊥，垂足分别为D ，E ，F 为BC 中点，BE 与DF ，DC 分别交于点G ，H ，ABE CBE ∠=∠.(1)求证：BD CD =.(2)求证：DBH DCA ≌.(3)试探索BG ，GE ，EA 之间的数量关系，并说明理由.参考答案1.C2.B3.A4.A5.D6.A7.A8.D9.D 10.A 11.6x ≥12.3-13.30%14.（1）5（2）601315.1115-⎛⎫--- ⎪⎝⎭)15=--415=+-=16.解：210220x x -+=，移项，得21022x x -=-配方，得()253x -=，∴5x -=5x =±即15x =25x =17.解：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∴△ADC 和△BDC 是直角三角形.在Rt △ACD 中，222AC AD CD =+，∴125CD =.在Rt △BCD 中，222BC CD BD =+，∴3BC ===.答：CD 的长为125，BC 的长为3.18.解：在Rt ABC 中，根据勾股定理，得22222125AC AB BC =+=+=.在ACD 中，22549AC CD +=+=，29AD =，∴222AC CD AD +=，∴ACD 为直角三角形，∴=90ACD ∠ .19.解：（1）a == ，b =，∴长方形的周长是()(2220a b +==（2）设正方形的边长为x ，则有2x ab =，∴x ====，∴正方形的边长是20.解：（1）如图，点A .（2）如图，ABC 即为所求作（答案不唯一）.21.解：（1）()()23420a ∆=--+≥且20a +≠，解得14a ≤且2a ≠-.故a 的取值范围是14a ≤且2a ≠-.（2）∵12x x 、为方程()22310a x x +-+=的两个根，∴1232x x a +=+，1212x x a =+，∴()221212121213224x x x x x x x x a a ++⋅=++==，整理得()2324a +=，解得2a =-2-.由（1）得14a ≤且2a ≠-，故a 的值是2-+2--22.解:（1）由题意知，351BC DC +=.∵BC x =，∴513DC x =-.（2）由题意知25DC ≤，即51325x -≤，解得263x ≥.∵351x <，解得17x <，∴26173x ≤<.由题意知，210BC DC ⨯=，即()513210x x -=，整理得217700x x -+=，解得17x =（不合题意，舍去），210x =,∴BC 的长为10米.（3）不可能，理由如下：令()513240x x -=，整理得217800x x -+=，∵224174180310b ac ∆=-=-⨯⨯=-<，∴该方程没有实数根，∴长方形围栏ABCD 的面积不可能达到240平方米.23.解：（1）证明：CD AB ⊥ 于点D ，90BDC ∴∠=︒.45ABC ∠=︒ ，45DCB DBC ∴∠=∠=︒，BD CD ∴=.（2）证明： CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，90BDH CDA AEB CEB ∴∠=∠=∠=∠=︒，90HBD A ACD ∴∠=︒-∠=∠.在DBH △和DCA △中，BDH CDABD CD HBD ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()DBH DCA ASA ∴ ≌.（3）222GE EA BG +=，理由如下：如图，连接CG.在AEB △和CEB 中，AEB CEB BE BE ABE CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()AEB CEB ASA ∴ ≌，EA EC ∴=.BD CD = ，F 为BC 中点，DF BC ∴⊥.DF ∴垂直平分BC ，BG CG ∴=.222GE EC CG += ，222GE EA BG ∴+=.。

2020-2021学年江苏省南京市江宁区八年级（上）期初数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1.下列运算中，计算正确的是()A. a3+a3=a6B. (2a2)3=6a6C. a2⋅a3=a6D. (2a3)2=4a62.下列代数式中能用平方差公式计算的是()A. (x+y)(x+y)B. (2x−y)(y+2x)C. (x+12y)(y−12x) D. (−x+y)(y−x)3.四边形的内角和等于x°，五边形的外角和等于y°，则下列关系成立的是()A. x=yB. x=2yC. x=y+180D. y=x+1804.下列命题是真命题的是()A. 如果a2=b2，那么a=bB. 在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行C. 两直线相交，其中相等的两个角是对顶角D. 如果两个角是同位角，那么这两个角相等5.如图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且点O是AC和BD的中点，若AB的长为10，则AC和BD的长可以是()A. 5和10B. 8和12C. 10和20D. 20和406.某种服装的进价为240元，出售时标价为330元，由于换季，商店准备打折销售，但要保持利润不低于10%，那么至多打()A. 6折B. 7折C. 8折D. 9折7.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C=110°，则∠1+∠2的度数为()A. 80°B. 90°C. 100°D. 110°8.如图，∠EOF内有一定点P，过点P的一条直线分别交射线OE于A，射线OF于B.当满足下列哪个条件时，△AOB的面积一定最小()A. OA=OBB. OP为△AOB的角平分线C. OP为△AOB的高D. OP为△AOB的中线9.请你估计一下(22−1)(32−1)(42−1)…(20192−1)(20202−1)12×22×32×42×…×20192×20202的值应该最接近于()A. 1B. 12C. 12020D. 1201910.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：2=13−(−1)3，26=33−13，2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为()A. 6858B. 6860C. 9260D. 9262二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）11.一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，将数据0.0000065用科学记数法表示为______．12.已知(−0.5a m)3=−64，2a2n=18，则a m+2n=______．13.计算202020202−20202018×20202021=______．14.若一个多边形的内角和为900°，则其对角线的总条数为______条．15.如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是______．16.已知关于x的不等式组{5x−a>3(x−1)2x−1≤7的所有整数解的和为7，则a的取值范围是______．17.已知a+b=5，ab=2，则代数式a5+b5的值是______．18.不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，那么这条高的长度等于______．19.如图，已知直线MM//PQ，把∠C=30°的直角三角板ABC的直角顶点A放在直线MN上，将直角三角板ABC在平面内绕点A任意转动，若转动的过程中，直线BC 与直线PQ的夹角为60°，则∠NAC的度数为____．20.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法中正确的序号是_________．①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．三、解答题（本大题共9小题，共60.0分）21.计算：(1)−(−1)−1+(−2)2×20200−(−1)−2；4(2)2a5−a2⋅a3+(2a4)2÷a3．22.因式分解：(1)81a4−72a2b2+16b4；(2)x15+x14+x13+⋯+x2+x+1．23. 解方程组和不等式组：(1){2x +3y −z =5z −x −2y =−1y −3x +2z =4−z；(2){x −3(x −1)≤71−2−5x 3<x ．24. 已知实数x 、y 满足2x +3y =1．(1)用含有x 的代数式表示y ；(2)若实数y 满足y >1，求x 的取值范围；(3)若实数x 、y 满足x >−1，y ≥−12，且2x −3y =k ，求k 的取值范围．25. 如图，四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，BE 平分∠ABC 交CD 于E ，DF 平分∠ADC 交AB 于F ，证明：DF//BE ．26.如图，AD//BC，∠D=∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H.点F是边AB上一点．使得∠FBE=∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH=100°，求∠BEG的度数．27.已知a、b、c为△ABC的三边，有2b−ca =2c−ab=2a−bc=k，且满足4b2−c2=2bc+c2．(1)求k的值；(2)试判断△ABC的形状．28.进入汛期，七年级1班的同学们到水库去调查了解汛情，水库一共10个泻洪闸，现在水库水位超过安全线，上游的河水仍以一个不变的速度流入水库，同学们经过一天的观察和测量，做如下的记录：上午打开1个泻洪闸，在2小时内，水位继续上涨0.52m，下午再打开2个泻洪闸后，4小时水位下降了0.08m，目前水位仍超过安全线1.8m．(1)如果打开了5个泻洪闸，还需几小时水位可以降到安全线？(2)如果防汛指挥部要求在2.5小时内水位降到安全线，应该打开几个泻洪闸？29.我们把从一个角的顶点引出把这个角分成两个完全相同的角的射线叫做这个角的平分线．如图①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，则BD或BE叫做∠ABC 的“三等分线”．【基础运用】(1)已知△ABC，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，若∠BAC=α，则BM、CN所在直线的夹角的度数为______.(用含α的代数式表示)【概念提升】(2)在△ABC中，∠A=70°，∠B=45°，若∠B的三等分线与∠C的外角的三等分线交于点D，则∠BDC的度数为______．【问题解决】∠EAB是四边形ABCD的外角，设∠B=α、∠C=β．(3)如图②，∠ADC和∠EAB的三等分线DN、AN相交于点N(∠CDN=1 3∠ADC,∠BAN=13∠EAB)，求证：∠N=23(α+β)−120°；(4)如图③，∠ADC和∠EAB的n等分线分别相交于点P1、P2、P3、…、P n−1，则∠P1+∠P2+∠P3+⋯+∠P n−1=______(用含α、β、n的代数式表示)．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A.a3+a3=2a3，故本选项不合题意；B.(2a2)3=8a6，故本选项不合题意；C.a2⋅a3=a5，故本选项不合题意；D.(2a3)2=4a6，故本选项符合题意．故选：D．分别根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则逐一判断即可．本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．2.【答案】B【解析】解：A、两个括号内的数字完全相同，不符合平方差公式，故不符合题意；B、两个括号内的相同数字是2x，相反数字是(−y)与y，故可用平方差公式计算，该选项符合题意；C、没有完全相同的数字，也没有完全相反的数字，故不符合题意；D、两个括号内只有相同项，没有相反项，故不符合题意．故选：B．平方差公式为：(a+b)(a−b)=a2−b2，即一个数与另一个数的和乘以这个数与另一个数的差，等于相同数字的平方减去相反数字的平方．据此分析即可．本题考查了对平方差公式的识别，掌握平方差公式的实质是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：∵四边形的内角和等于x°，∴x°=(4−2)⋅180°=360°．∵五边形的外角和等于y°，∴y°=360°，∴x=y．故选：A．根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．4.【答案】B【解析】解：A、如果a2=b2，那么a=±b，本选项说法是假命题；B、在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，本选项说法是真命题；C、两直线相交，其中相等的两个角不一定是对顶角，本选项说法是假命题；D、如果两直线平行，两个角是同位角，那么这两个角相等，本选项说法是假命题；故选：B．根据有理数的乘方、平行线的判定、对顶角的概念判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5.【答案】C【解析】解：∵点O是AC和BD的中点，∴AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO，在△ABO中，BO−AO<AB<BO+AO∴BD−AC<2×10<AC+BD故选：C．由中点的定义可得AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO，由三角形的三边关系可求解．本题考查了三角形三边关系，中点的性质，熟练运用三角形的三边关系是本题的关键．6.【答案】C【解析】解：设打了x折，由题意得330×0.1x−240≥240×10%，解得：x≥8．答：至多打8折．故选：C．设打了x折，用售价×折扣−进价得出利润，根据利润率不低于10%，列不等式求解．本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于10%，列不等式求解．7.【答案】A【解析】解：连接AA′．∵A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，∠BA′C=110°，∴∠A′BC+∠A′CB=70°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∴∠BAC=180°−140°=40°，∵∠1=∠DAA′+∠DA′A，∠2=∠EAA′+∠EA′A，∵∠DAA′=∠DA′A，∠EAA′=∠EA′A，∴∠1+∠2=2(∠DAA′+∠EAA′)=2∠BAC=80°，故选：A．连接AA′.首先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型．8.【答案】D【解析】解：当点P是AB的中点时S△AOB最小；如图，过点P的另一条直线CD交OE、OF于点C、D，设PD<PC，过点A作AG//OF交CD于G，在△APG和△BPD中，{∠GAP=∠PBD AP=BP∠APG=∠BPD，∴△APG≌△BPD(ASA)，S 四边形AODG =S △AOB ．∵S 四边形AODG <S △COD ，∴S △AOB <S △COD ，∴当点P 是AB 的中点时S △AOB 最小；故选：D ．当点P 是AB 的中点时S △AOB 最小；过点P 的另一条直线CD 交OE 、OF 于点C 、D ，设PD <PC ，过点A 作AG//OF 交CD 于G ，由全等三角形的性质可以得出S 四边形AODG =S △AOB ，S 四边形AODG <S △COD ，从而求得S △AOB <S △COD ，即可得出结论；本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，四边形的面积和三角形的面积的关系，解答时建立数学模型解答是关键．9.【答案】B【解析】解：∵n 2−1n 2=(n+1)(n−1)n 2， ∴原式=3×122×2×432×3×542×…×2019×202120202=12×20212020 ∴(22−1)(32−1)(42−1)…(20192−1)(20202−1)12×22×32×42×…×20192×20202的值应该最接近于12．故选：B ．利用平方差公式n 2−1n 2=(n+1)(n−1)n 2，对所求式子进行化简，从而进行求解．此题主要考查平方差公式的性质及其应用，解题的关键是利用平方差公式进行展开．10.【答案】B【解析】解：(2k +1)3−(2k −1)3=[(2k +1)−(2k −1)][(2k +1)2+(2k +1)(2k −1)+(2k −1)2]=2(12k 2+1)(其中k 为非负整数)，由2(12k 2+1)≤2016得，k ≤√100712∴k =0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为[13−(−1)3]+(33−13)+(53−33)+⋯+(173−153)+(193−173)=193+1=6860．故选：B．根据“和谐数”的概念找出公式：(2k+1)3−(2k−1)3=2(12k2+1)(其中k为非负整数)，然后再分析计算即可．本题是一道概念型推理题目，有一定难度，重点是理解题意，找出其中规律是解题的关键所在．11.【答案】6.5×10−6【解析】解：0.0000065=6.5×10−6．故答案为：6.5×10−6．根据科学记数法和负整数指数的意义求解．本题考查了科学记数法−表示较小的数，关键是用a×10n(1≤a<10,n为负整数)表示较小的数．12.【答案】72【解析】解：∵(−0.5a m)3=−64，2a2n=18，3=−4，a2n=9，∴−0.5a m=√−64即a m=8，a2n=9，∴a m+2n=a m⋅a2n=8×9=72．故答案为：72．3=−4，a m=8，根据等式的性质可得a2n=9，根据立方根的定义可得−0.5a m=√−64再根据同底数幂的乘法法则计算即可．本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．13.【答案】20202022【解析】解：原式=202020202−(20202020−2)×(20202020+1)=202020202−(202020202+20202020−40404040−2)=202020202−202020202−20202020+40404040+2=20202022，故答案为：20202022．先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出即可．此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键，注意：(a+b)(a−b)= a2−b2．14.【答案】14【解析】解：设这个多边形的边数为n，则(n−2)×180°=900°，解得，n=7，×7×4=14，∴七边形的对角线的总条数为：12故答案为：14．根据题意和多边形内角和公式求出多边形的边数，根据多边形的对角线的条数的计算公式计算即可．本题考查的是多边形的内角和外角、多边形的对角线，掌握n边形的内角和等于(n−2)×180°、从n边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数是n−3是解题的关键．15.【答案】15°【解析】解：如图，过A点作AB//a，∴∠1=∠2，∵a//b，∴AB//b，∴∠3=∠4=30°，而∠2+∠3=45°，∴∠2=15°，∴∠1=15°．故答案为15°．过A点作AB//a，利用平行线的性质得AB//b，所以∠1=∠2，∠3=∠4=30°，加上∠2+∠3=45°，易得∠1=15°．本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．16.【答案】7≤a<9或−3≤a<−1【解析】解：{5x−a>3(x−1) ①2x−1≤7 ②，∵解不等式①得：x>a−32，解不等式②得：x≤4，∴不等式组的解集为a−32<x≤4，∵关于x的不等式组{5x−a>3(x−1)2x−1≤7的所有整数解的和为7，∴当a−32>0时，这两个整数解一定是3和4，∴2≤a−32<3，∴7≤a<9，当a−32<0时，−3≤a−32<−2，∴−3≤a<−1，∴a的取值范围是7≤a<9或−3≤a<−1．故答案为：7≤a<9或−3≤a<−1．先求出求出不等式组的解集，再根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．17.【答案】1975【解析】解：a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)−(a2b3+a3b2)=[(a+b)2−2ab][(a+b)(a2−ab+b2)]−a2b2(a+b)=(52−2×2)[5×(52−2×2−2)]−22×5=21×5×19−20=1975．故答案为：1975．先将多项式因式分解后，整体代换后求值．本题考查因式分解的应用，因式分解降次是求解本题的关键．18.【答案】5【解析】解：因为不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12，根据面积相等可设三角形ABC的两边长为3x，x；因为3x×4=12×x(2倍的面积)，面积S=6x，因为知道两条边的假设长度，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：2x<第三边长度<4x，因为要求高的最大长度，所以当第三边最短时，在第三边上的高就越长，S=12×第三边的长×高，6x>12×2x×高，∴6>高，∵是不等边三角形，∴高取整数5．故答案为：5．根据三角形三边关系及三角形面积相等即可求出要求高的整数值．本题考查了三角形三边关系及三角形的面积，难度较大，关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边差小于第三边．19.【答案】30°或90°或150°【解析】解：有三种情形：①如图1中，当∠2=60°时，∵MN//PQ，∴∠1=∠2=60°，∵∠ACN=30°，∠1=∠NAC+∠ACN∴∠NAC=30°②如图2中，当∠2=60°时，∵MN//PQ，∴∠1=∠2=60°，∵∠ACB=30°∴∠NAC=90°③如图3中，当∠2=60°时，∵MN//PQ，∴∠1=∠2=60°，∵∠ACB=30°，∠1=∠ACB+∠MAC，∴∠MAC=30°∴∠NAC=180°−30°=150°，综上所述，满足条件的∠NAC的值为30°或90°或150°．分三种情形：①如图1中，当∠2=60°时，②如图2中，当∠2=60°时，③如图3中，当∠2=60°时，分别求解即可．本题考查旋转变换，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．20.【答案】①②③【解析】【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．根据等底同高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形的外角性质即可推出②；根据角平分线定义等即可判断③；根据已有条件不能判断④．【解答】解：∵BE是中线，∴AE=CE，∴△ABE的面积=△BCE的面积(等底同高的三角形的面积相等)，故①正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF=∠BCF，∵AD为高，∴∠ADC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ACB+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠CAD，∵∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF，∴∠AFG=∠AGF，故②正确；∵AD为高，∴∠ADB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠ACB=∠BAD，∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACB=2∠ACF，∴∠BAD=2∠ACF，即∠FAG=2∠ACF，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出BH=CH，故④错误；故答案为：①②③．21.【答案】解：(1)原式=4+4×1−1=4+4−1=7；(2)原式=2a5−a5+4a8÷a3=a5+4a5=5a5．【解析】(1)先根据负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂进行计算，再求出即可；(2)先根据幂的乘方进行计算，再算乘法和除法，最后够狠同类项即可．本题考查了负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂，同底数幂的乘法，单项式除以单项式，整式的混合运算，实数的混合运算等知识点，能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键．22.【答案】解：(1)81a4−72a2b2+16b4=(9a2)2−2⋅9a2⋅4b2+(4b2)2=(9a2−4b2)2=[(3a+2b)(3a−2b)]2=(3a+2b)2(3a−2b)2；(2)设S=x15+x14+x13+⋯+x2+x+1①，则xS=x16+x15+x14+x13+⋯+x2+x②，②−①得，(x−1)S=x16−1，=(x8+1)(x4+1)(x2+1)(x+1)，∴S=(x8+1)(x4+1)(x2+1)(x+1)(x−1)x−1即x15+x14+x13+⋯+x2+x+1=(x8+1)(x4+1)(x2+1)(x+1)．【解析】(1)先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解即可；(2)将x 15+x 14+x 13+⋯+x 2+x +1转化为x 16−1x−1，再连续利用平方差公式得出答案．本题考查利用公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式是正确应用的前提．23.【答案】解：(1)方程组整理得：{2x +3y −z =5①z −x −2y =−1②y −3x +3z =4③，①+②得：x +y =4④，①×3+③得：3x +10y =19⑤，④×10−⑤得：7x =21，解得：x =3，把x =3代入④得：y =1，把x =3，y =1代入①得：z =4，则方程组的解为{x =3y =1z =4；(2){x −3(x −1)≤7①1−2−5x 3<x②， 由①得：x ≥−2，由②得：x <−0.5，则不等式组的解集为−2≤x <−0.5．【解析】(1)方程组利用加减消元法求出解即可；(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．此题考查了解三元一次方程组，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．24.【答案】解：(1)2x +3y =1，3y =1−2x ，y =1−2x 3；(2)y =1−2x 3>1，解得：x <−1，即若实数y 满足y >1，x 的取值范围是x <−1；(3)联立2x +3y =1和2x −3y =k 得：{2x −3y =12x +3y =k， 解方程组得：{x =1+k 4y =1−k 6， 由题意得：{1+k 4>−11−k 6≥−12，解得：−5<k ≤4．【解析】(1)移项得出3y =1−2x ，方程两边都除以3即可；(2)根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可；(3)解方程组求出x 、y ，得出不等式组，求出不等式组的解集即可．本题考查了解二元一次方程和解二元一次方程组、解一元一次不等式组等知识点，能正确解方程组或不等式组是解此题的关键．25.【答案】证明：∵四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∴∠ADC +∠ABC =180°，∵BE 平分∠ABC 交CD 于E ，DF 平分∠ADC 交AB 于F ，∴∠ADF =∠FDC ，∠ABE =∠CBE ，∴∠ABE +∠FDC =90°，∵∠AFD +∠ADF =90°，∠ADF =∠FDC ，∴∠AFD =∠ABE ，∴BE//DF ．【解析】由四边形的内角和为360度求出∠ADC +∠ABC 度数，由DF 、BE 分别为角平分线，利用角平分线定义及等量代换得到∠ABE +∠FDC 为90度，再由直角三角形ADF 两锐角互余及∠ADF =∠FDC ，利用等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证．此题考查了平行线的判定，以及多边形的内角和，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．26.【答案】解：∵∠FBE=∠FEB，∠AFE=∠FBE+∠FEB，∴∠AFE=2∠FEB，∵∠FEH的角平分线为EG，∴∠GEH=∠FEG，∵AD//BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，而∠D=∠ABC，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB//CD，∵∠DEH=100°，∴∠CEH=∠FAE=80°，∵∠AEF=180°−∠FEG−∠GEH=180°−2∠GEH，∴80°+2∠FEB+180°−2∠GEH=180°，∴∠GEH−∠FEB=40°，∴∠BEG=∠FEG−∠FEB=∠GEH−∠FEB=40°．【解析】AD//BC，∠D=∠ABC，则AB//CD，则∠AEF=180°−∠AED−∠BEG=180°−2∠GEH，在△AEF中，80°+2∠FEB+180°−2∠GEH=180°，故∠GEH−∠FEB=40°，即可等量代换求解．本题考查的是平行线的性质，涉及到角平分线、外角定理，本题关键是掌握有关定理、定义，题目难度较大．27.【答案】解：(1)根据题意有：2b−c=ka，2c−a=kb，2a−b=kc∴a+b+c=k(a+b+c)，∵a、b、c为△ABC的三边，∴a+b+c≠0，∴k=1．(2)∵4b2−c2=2bc+c2，∴(4b2−c2)−(2bc+c2)=0，(2b+c)(2b−c)−c(2b+c)=0，2(2b+c)(b−c)=0，∵2b+c≠0，∴b −c =0即b =c ， ∵k =2b−c a=2c−c a=c a=1，∴a =c ，即a =b =c ， ∴△ABC 为等边三角形．【解析】(1)对原等式进行整理，再根据三角形三边关系不难求得k 的值； (2)对4b 2−c 2=2bc +c 2整理可得b =c ，再代入2b−c a=2c−a b=2a−b c=k 即可得到a =c ，从而得到该三角形是个等边三角形．此题主要考查学生对三角形三边关系及等边三角形的判定的综合运用．28.【答案】解：设河水流入使水位上升x 米/小时，每个闸门泄洪可使水位下降y 米/小时，依题意有{2x −2y =0.524x −3×4y =−0.08 解得：{x =0.4y =0.14；(1)设打开5个泄洪闸，需t 小时水位降到安全线， 则有：0.4t −5×0.14t =−1.8， 即0.3t =1.8， 解得：t =6．答：还需6个小时水位降到安全线；(2)设打开n 个泄洪闸，在2.5小时内使水位降到安全线，于是 则有：2.5×0.4−2.5×0.14n =−1.8， 解得：n =8，答：应该打开8个泄洪闸．【解析】(1)首先设河水流入使水位上升x 米/小时，每个闸门泄洪可使水位下降y 米/小时，根据已知列方程组求出每小时上升或下降的米数即可， (2)根据(1)已知条件列方程求解．本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是得出水位下降用负数表示，上升用正数表示．29.【答案】180°−3α4185°3或140°3或70°3或25°3 (n−1)(α+β−180°)2【解析】解：(1)如下图所示，设∠ABC =β，∠ACB =γ，直线BM 与直线CN 相交于点F ，由题意可得，β+γ=180°−α，∵BP 、CP 分别是△ABC 的外角∠CBD 、∠BCE 的角平分线， ∴∠BCP =180°−γ2，∠CBP =180°−β2，∵BM 、CN 分别是∠PBD 、∠PCE 的角平分线， ∴∠PBF =180°−γ4，∠PCF =180°−β4，∴∠CBF =3(180°−γ)4，∠BCF =3(180°−β)4，∴∠F =180°−∠CBF −∠BCF =180°−3(360°−β−γ)4=180°−3(180°+α)4=180°−3α4，故答案为：180°−3α4；(2)如下图所示，∠ABC 的三等分线与∠ACB 的外角的三等分线的交点为D 1、D 2、D 3和D 4，∵∠A =70°，∠ABC =45°， ∴∠ACB =180°−70°−45°=65°， ∴∠ACE =180°−∠ACB =115°， ∴∠BD 1C =180°−15°−65°−115°3=185°3，∴∠BD2C=∠BD1C−15°=140°3，∠BD3C=∠BD1C−115°370°3，∴∠BD4C=∠BD3C−15°=25°3，故答案为：185°3或140°3或70°3或25°3；(3)证明：如下图所示，∵∠1=∠2+∠N，∴∠N=∠1−∠2，∵∠1=23∠BAE=23(180°−∠BAD)，∠2=23∠ADC，∴∠N=23(180°−∠BAD)−23∠ADC=120°−23(∠BAD+∠ADC)，∵∠BAD+∠ADC+α+β=360°，∴∠BAD+∠ADC=360°−(α+β)，∴∠N=120°−23(∠BAD+∠ADC)=120°−23[360°−(α+β)]=23(α+β)−120°；(4)∵∠P1AE=∠P1+∠P1DA，∴∠P1=∠P1AE−∠P1DA=n−1n ∠BAE−n−1n∠ADC=n−1n (180°−BAD)−n−1n∠ADC=n−1n ×180°−n−1n(∠BAD+∠ADC)=n−1n ×180°−n−1n(360°−α−β)=n−1n (α+β)−n−1n×180°=n−1n(α+β−180°)，同理可得，∠P2=n−2n (α+β−180°)，∠P3=n−3n(α+β−180°)，……∠P n−1=1n(α+β−180°)，∴∠P1+∠P2+∠P3+⋯+∠P n−1=(1n +2n+⋯…+n−2n+n−1n)(α+β−180°)=(1+n−1)(n−1)2n(α+β−180°)=(n−1)(α+β−180°)2，故答案为：(n−1)(α+β−180°)2．(1)设∠ABC=β，∠ACB=γ，直线BM与直线CN相交于点F，根据角平分线的性质和三角形的外角性质用含α的代数式即可表示出BM、CN所在直线的夹角的度数；(2)画出图形，∠ABC的三等分线与∠ACB的外角的三等分线的交点有四个，分别为D1、D2、D3和D4，根据角平分线的性质和三角形的外角性质即可求出∠BD1C、∠BD2C、∠BD3C 和∠BD4C的度数；(3)根据角平分线的性质和三角形的外角性质即可证明；(4)根据角平分线的性质和三角形的外角性质用含α、β、n的代数式表示出∠P1、∠P2、∠P3、…、∠P n−1，再将它们加在一起即可计算出∠P1+∠P2+∠P3+⋯+∠P n−1．本题考查了角平分线的性质和三角形的外角性质，利用角平分线的性质进行角的计算是解答本题的关键．。