2017年01月19日zsj的高中数学组卷

2017 年江苏省高考数学试卷一 .填空题1（．5 分）已知集合 A={ 1，2} ，B={ a，a2+3} ．若 A∩B={ 1} ，则实数 a 的值为．2．（5 分）已知复数 z=（ 1+i）（1+2i），其中 i 是虚数单位，则 z 的模是．3．（5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（ 5 分）如图是一个算法流程图：若输入 x 的值为，则输出 y 的值是．5．（5 分）若 tan（α﹣）=．则tanα=．6．（ 5 分）如图，在圆柱 O1 O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1 2 的体积为1，球O 的体积为2，则的值是．O V V7．（ 5 分）记函数 f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则 x∈ D 的概率是．8．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P， Q，其焦点是 F1，F2，则四边形 F1PF2Q 的面积是．9．（ 5 分）等比数列 { a n} 的各项均为实数，其前n 项和为 S n，已知S3=，S6=，则 a8=．10．（5 分）某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元 / 次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．11．（5分）已知函数 f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中 e 是自然对数的底数．若 f（a﹣ 1） +f（2a2）≤ 0．则实数 a 的取值范围是．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且 tan α=7，与的夹角为 45°．若 =m +n（ m，n∈ R），则 m+n=．13．（ 5 分）在平面直角坐标系xOy 中， A（﹣ 12，0）， B（ 0， 6），点 P 在圆 O：x2+y2=50 上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．14．（ 5 分）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [ 0，1）上， f（x）=，其中集合 D={ x| x=， n∈ N* } ，则方程 f（x）﹣ lgx=0 的解的个数是．二 .解答题15．（ 14 分）如图，在三棱锥 A﹣ BCD中， AB⊥AD， BC⊥ BD，平面 ABD⊥求证：（1）EF∥平面 ABC；（2） AD⊥AC．16．（ 14 分）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣），x∈[ 0，π]．（ 1）若，求x的值；（ 2）记 f （x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值．17．（ 14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 E：=1（ a＞ b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点 P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点 F1作直线 PF1的垂线 l1，过点 F2作直线 PF2的垂线l2．（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若直线 l1，l2的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标．18．（ 16 分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm，容器Ⅰ的底面对角线 AC的长为 10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG， E1G1的长分别为 14cm 和 62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm．现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将 l 放在容器Ⅰ中， l 的一端置于点 A ，另一端置于棱 CC1上，求 l 没入水中部分的度；（2）将 l 放在容器Ⅱ中， l 的一端置于点 E ，另一端置于棱 GG1上，求 l 没入水中部分的度．19．（16 分）于定的正整数k，若数列 { a n} 足：a n﹣k+a n﹣k+1+⋯+a n﹣1+a n+1+⋯+a n+k+a n+k=2ka n 任意正整数n（n＞k）成立，称数列{ a n}是“P（k）数列”．（ 1）明：等﹣1差数列 { a n } 是“P（3）数列”；（ 2）若数列 { a n} 既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，明：{ a n} 是等差数列．20．（ 16 分）已知函数f（ x） =x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极，且函数 f ′（ x）的极点是 f（x）的零点．（Ⅰ）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定域；（Ⅱ）明： b2＞ 3a；（Ⅲ）若 f（ x），f ′（x）两个函数的所有极之和不小于，求数a的取范．二 .非，附加（ 21-24 做）【修 4-1：几何明】（本小分0分）21．如， AB 半 O 的直径，直 PC切半 O 于点 C，AP⊥PC，P 垂足．求：（1）∠PAC=∠CAB；（2） AC2 =AP?AB．[ 修 4-2：矩与 ]22．已知矩 A=，B=．（1）求 AB；（ 2）若曲 C1：=1在矩AB的作用下得到另一曲2，求CC2的方程．[ 修 4-4：坐系与参数方程 ]23．在平面直角坐系xOy 中，已知直 l 的参数方程（t参数），曲 C 的参数方程（s参数）．P曲C上的点，求点P 到直 l 的距离的最小．［修 4-5：不等式］24．已知 a，b，c， d 数，且 a2+b2=4，c2+d2=16，明 ac+bd≤ 8．【必做】25．如，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中， AA1⊥平面 ABCD，且 AB=AD=2，AA1=，∠ BAD=120°．（1）求异面直 A1B 与 AC1所成角的余弦；（2）求二面角 B A1D A 的正弦．26．已知一个口袋有 m 个白球， n 个黑球（ m，n∈N*，n≥2），些球除色外全部相同．将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如所示的号1，2，3，⋯，m+n 的抽内，其中第 k 次取出的球放入号k 的抽（ k=1，2，3，⋯，m+n）．123⋯m+n（ 1）求号 2 的抽内放的是黑球的概率p；（ 2）随机量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽号的倒数，E（ X）是 X 的数学期望，明E（ X）＜．2017 年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一 .填空题2+3} ．若 A∩B={ 1} ，则实数 a 的值为 1 ．．（分）已知集合1 5A={ 1，2} ，B={ a，a【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合 A={ 1，2} ，B={ a，a2+3} ．A∩B={ 1} ，∴a=1 或 a2+3=1，当a=1 时， A={ 1，1} ， B={ 1， 4} ，成立；a2+3=1 无解．综上， a=1．故答案为： 1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．（5 分）已知复数 z=（ 1+i）（1+2i），其中 i 是虚数单位，则 z 的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数 z=（ 1+i）（1+2i） =1﹣2+3i=﹣ 1+3i，∴ | z| ==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000 件，而抽取60 件进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18 件，故答案为： 18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（ 5 分）如图是一个算法流程图：若输入 x 的值为，则输出y的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值 x=，不满足x≥1，所以 y=2+log2=2﹣=﹣ 2，故答案为：﹣ 2．【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5 分）若 tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵ tan（α﹣）===∴6tan α﹣6=tan α+1，解得 tan α=，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．（ 5 分）如图，在圆柱 O1 O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1 2 的体积为1，球O 的体积为2，则的值是．O V V【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，23．圆柱的体积为：πR?2R=2πR则 == ．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（ 5 分）记函数 f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则 x∈ D 的概率是．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由 6+x﹣x2≥0 得 x2﹣x﹣6≤0，得﹣ 2≤ x≤ 3，则 D=[ ﹣2，3] ，则在区间 [ ﹣ 4， 5] 上随机取一个数 x，则 x∈ D 的概率 P==，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线﹣ y2=1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P， Q，其焦点是 F1，2，则四边形 1 2．F F PF Q 的面积是【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到 P，Q 坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣ y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：±x，y=所以 P（，），Q（，﹣），F1（﹣，）． 2（，）．20 F 2 0则四边形 F1PF2Q 的面积是：=2．故答案为： 2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（ 5 分）等比数列 { a n} 的各项均为实数，其前n 项和为 S n，已知S3=，S6=，则a8= 32 ．【分析】设等比数列 { a n的公比为≠， 3， 6，可得=，}q 1 S =S = =，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列 { a n} 的公比为 q≠ 1，∵ S3， 6，∴，，解得 a1=，q=2．则 a8==32．故答案为： 32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5 分）某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元 / 次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4× 2×=240（万元）．当且仅当 x=30 时取等号．故答案为： 30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．．（分）已知函数3﹣2x+e x﹣，其中 e 是自然对数的底数．若 f（a 11 5f（x）=x﹣ 1） +f（2a2）≤ 0．则实数 a 的取值范围是[ ﹣ 1， ] ．【分析】求出 f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在 R 上递增；再由奇偶性的定义，可得 f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤ 1﹣ a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数 f （x） =x3﹣ 2x+e x﹣的导数为：f ′（x）=3x2﹣2+e x+ ≥﹣ 2+2=0，可得 f （x）在 R 上递增；3+2x+e ﹣x x 3x又 f（﹣ x） +f （x）=（﹣ x）﹣e +x﹣2x+e ﹣ =0，可得 f （x）为奇函数，则f（ a﹣ 1） +f （2a2）≤ 0，即有 f （2a2）≤﹣ f（a﹣1）由 f（﹣（ a﹣1））=﹣ f（ a﹣1），f（2a2）≤ f（1﹣a），即有 2a2≤1﹣a，解得﹣ 1≤a≤，故答案为： [ ﹣1，] ．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．（5 分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且 tan α=7，与的夹角为45°．若=m +n（m，n∈ R），则 m+n= 3．【分析】如图所示，建立直角坐标系． A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得 cosα=， sin α= ． C．可得°°cos（α+45 ） =． sin（α+45 ）=．B．利用=m +n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴ cosα=，sinα=．∴ C．°（ cosα﹣sin α）=．cos（α+45） =sin（α+45°（sin α+cosα）=．）=∴ B．∵=m +n （m， n∈ R），∴ =m﹣ n， =0+ n，解得 n=，m=．则m+n=3．故答案为： 3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（ 5 分）在平面直角坐标系xOy 中， A（﹣ 12，0）， B（ 0， 6），点 P 在圆 O：x2+y2=50 上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[ ﹣5，1]．【分析】根据题意，设 P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线 2x+y+5≤ 0 以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设 P（x0， y0），则有 x02+y02=50，=（﹣ 12﹣ x0，﹣ y0）?（﹣ x0，6﹣y0）=（ 12+x0）x0﹣ y（0 6﹣ y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为： 12x0﹣6y0+30≤0，即 2x0﹣y0+5≤ 0，表示直线 2x﹣ y+5=0 以及直线上方的区域，联立，解可得 x0﹣或0 ，= 5x =1结合图形分析可得：点P 的横坐标 x0的取值范围是 [ ﹣5，1] ，故答案为： [ ﹣5 ，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于 x0、y0的关系式．14．（ 5 分）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [ 0，1）上， f（x）=，其中集合 D={ x| x=，n∈ N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中 f（ x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [ 0，1）上， f （ x）=，其中集合D={ x| x=，n∈ N*}，分析f（x）的图象与y=lgx 图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间 [ 0，1）上， f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又 f（ x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，∴在区间 [ 1，2）上， f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；同理：区间 [ 2， 3）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 3， 4）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 4， 5）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 5， 6）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 6， 7）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 7， 8）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 8， 9）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；在区间 [ 9，+∞）上， f（x）的图象与 y=lgx 无交点；故f（ x）的图象与 y=lgx 有 8 个交点；即方程 f（x）﹣ lgx=0 的解的个数是 8，故答案为： 8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．二 .解答题15．（ 14 分）如图，在三棱锥 A﹣ BCD中， AB⊥AD， BC⊥ BD，平面 ABD⊥平面BCD，点 E、F（E 与 A、D 不重合）分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥ AD．求证：（1）EF∥平面 ABC；（2） AD⊥AC．【分析】（1）利用 AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段 CD上点 G，连结 FG、EG使得 FG∥ BC，则 EG∥ AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为 AB⊥ AD， EF⊥AD，且 A、B、E、F 四点共面，所以 AB∥EF，又因为 EF?平面 ABC，AB? 平面 ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面 ABC；（2）在线段 CD上取点 G，连结 FG、 EG使得 FG∥BC，则 EG∥AC，因为 BC⊥BD， FG∥ BC，所以 FG⊥BD，又因为平面 ABD⊥平面 BCD，所以 FG⊥平面 ABD，所以 FG⊥AD，又因为 AD⊥EF，且 EF∩FG=F，所以 AD⊥平面 EFG，所以 AD⊥EG，故 AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（ 14 分）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣），x∈[ 0，π]．（ 1）若，求x的值；（ 2）记 f （x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，（ 2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵ =（cosx， sinx）， =（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴ tanx=﹣，∵ x ∈[ 0，π] ，∴ x=，（ 2） f （x ）==3cosx ﹣ sinx=2（cosx ﹣ sinx ）=2 cos （x+），∵ x ∈[ 0，π] ，∴ x+ ∈[， ] ，∴﹣ 1≤cos （x+ ）≤，当 x=0 时， f （x ）有最大值，最大值 3，当 x=时， f （x ）有最小值，最小值﹣ 2 ．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题17．（ 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E ：=1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点分别为 F 1， 2 ，离心率为 ，两准线之间的距离为 8 ．点 P 在椭圆FE 上，且位于第一象限，过点F 作直线 PF 的垂线 l ，过点 F 作直线 PF 的垂线1 112 2 l 2．（ 1）求椭圆 E 的标准方程；（ 2）若直线 l 1，l 2 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得 a=2c ，由椭圆的准线方程 x=±，则 2×=8，即可求得 a 和 c 的值，则 b 2=a 2﹣ c 2 =3，即可求得椭圆方程；（ 2）设 P 点坐标，分别求得直线 PF 2 的斜率及直线 P F 1 的斜率，则即可求得 l 2及l1的斜率及方程，联立求得 Q 点坐标，由 Q 在椭圆方程，求得 y02=x02﹣1，联立即可求得 P 点坐标；方法二：设 P（m， n），当 m≠1时，=，=，求得直线l1及l1的方程，联立求得 Q 点坐标，根据对称性可得=± n2，联立椭圆方程，即可求得 P 点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e== ，则 a=2c，①椭圆的准线方程 x=±，由 2×=8，②由①②解得： a=2，c=1，则 b2 2﹣c2，=a=3∴椭圆的标准方程：；（ 2）方法一：设 P（x0，0），则直线 2 的斜率=，y PF则直线 l2的斜率 2 ﹣，直线l 2的方程﹣（﹣），k =y=x 1直线 PF1的斜率=，则直线 l2的斜率1﹣，直线l 1 的方程﹣（），k =y=x+1联立，解得：，则Q（﹣x0，），由 P，Q 在椭圆上， P， Q 的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02﹣ 1，则，解得：，则，又 P 在第一象限，所以P 的坐标为：P（，）．方法二：设 P（m， n），由 P 在第一象限，则 m＞ 0， n＞ 0，当 m=1 时，不存在，解得： Q 与 F1重合，不满足题意，当 m≠1 时，=，=，由 l1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线 l1的方程 y=﹣（ x+1），①直线 l2的方程 y=﹣（x﹣1），②联立解得： x=﹣m，则 Q（﹣ m，），由 Q 在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣ n2=1，或 m2+n2=1，由 P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又 P 在第一象限，所以P 的坐标为：P（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．（ 16 分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm，容器Ⅰ的底面对角线 AC的长为 10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG， E1G1的长分别为 14cm 和 62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm．现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（ 1）将 l 放在容器Ⅰ中， l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC1上，求 l 没入水中部分的长度；（ 2）将 l 放在容器Ⅱ中， l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG1上，求 l 没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在 CC1上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N，过 N 作NP∥MC，交 AC于点 P，推导出 CC1⊥平面 ABCD，CC1⊥ AC，NP⊥ AC，求出MC=30cm，推导出△ ANP∽△ AMC，由此能出玻璃棒 l 没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在 GG1上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N，过点 N 作 NP⊥ EG，交 EG于点 P，过点 E 作 EQ⊥E1G1，交 E1G1于点 Q，推导出 EE1G1G 为等腰梯形，求出 E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出 sin∠GEM= ，由此能求出玻璃棒 l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在 CC1上的点为 M ，玻璃棒与水面的交点为 N，在平面 ACM 中，过 N 作 NP∥MC，交 AC于点 P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴ CC1⊥平面 ABCD，又∵ AC? 平面 ABCD，∴ CC1⊥AC，∴ NP⊥AC，∴NP=12cm，且 AM2=AC2+MC2，解得 MC=30cm，∵ NP∥MC，∴△ ANP∽△ AMC，∴= ，，得AN=16cm．∴玻璃棒 l 没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在 GG1上的点为 M ，玻璃棒与水面的交点为 N，在平面 E1EGG1中，过点 N 作 NP⊥EG，交 EG于点 P，过点 E 作 EQ⊥ E1G1，交 E1G1于点 Q，∵ EFGH﹣ E1F1G1H1为正四棱台，∴ EE1=GG1， EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G 为等腰梯形，画出平面 E1EGG1的平面图，∵ E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm， NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得： E1E=40cm，∴sin∠EE1G1= ，sin∠EGM=sin∠EE1G1= ，cos∠EGM=﹣，根据正弦定理得：=，∴ sin∠EMG=，cos∠EMG=，∴sin∠GEM=sin（∠ EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠ EMG= ，∴ EN===20cm．∴玻璃棒 l 没入水中部分的长度为20cm．【点】本考玻璃棒 l 没入水中部分的度的求法，考空中、面、面面的位置关系等基知，考推理能力、运算求解能力、空想象能力，考数形合思想、化与化思想，是中档．19．（16 分）于定的正整数k，若数列 { a n} 足：a n﹣k+a n﹣k+1+⋯+a n﹣1+a n+1+⋯+a n+k+a n+k=2ka n 任意正整数n（n＞k）成立，称数列{ a n}是“P（k）数列”．（ 1）明：等﹣1差数列 { a n } 是“P（3）数列”；（ 2）若数列 { a n} 既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，明：{ a n} 是等差数列．【分析】（1）由意可知根据等差数列的性， a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（ a n+a n+3）+（a n﹣ 2+a n+2）+（a n﹣ 1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定，可得﹣3数列 { a n} 是“P（3）数列”；（ 2）由已知条件合（ 1）中的，可得到 { a n} 从第 3 起等差数列，再通判断 a2与 a3的关系和 a1与 a2的关系，可知 { a n} 等差数列．【解答】解：（ 1）明：等差数列 { a n} 首 a1，公差 d， a n =a1+（n 1）d，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n +2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列 { a n} 是“P（3）数列”；（ 2 ）明：当n ≥ 4 ，因数列{ a n} 是 P（ 3 ）数列，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n +1+a n+2+a n +3=6a n，①因数列 { a n} 是“P（ 2）数列”，所以 a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，②则a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，③，②+③﹣①，得 2a n=4a n﹣1+4a n+1﹣6a n，即 2a n=a n﹣1+a n+1，（ n≥ 4），因此 n≥4 从第 3 项起为等差数列，设公差为d，注意到 a2+a3+a5+a6=4a4，所以 a2=4a4﹣a3﹣a5﹣ a6=4（a3+d）﹣ a3﹣（ a3+2d）﹣（ a3+3d） =a3﹣ d，因为 a1+a2+a4+a5=4a3，所以 a1 =4a3﹣a2﹣ a4﹣a5=4（a2+d）﹣ a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，也即前 3 项满足等差数列的通项公式，所以 { a n} 为等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．20．（ 16 分）已知函数 f（ x） =x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f ′（x）的极值点是 f（x）的零点．（Ⅰ）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明： b2＞ 3a；（Ⅲ）若 f（ x），f ′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ ）通过对 f（x） =x3+ax2+bx+1 求导可知 g（ x） =f （′x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知 g′（x）=6x+2a，通过令 g′（ x） =0 进而可知 f ′（x）的极小值点为 x=﹣，从而 f（﹣）=0，整理可知 b=+ （ a＞0），结合 f（x）=x3+ax2+bx+1（ a＞ 0，b∈ R）有极值可知 f ′（x）=0 有两个不等的实根，进而可知 a＞3．（Ⅱ）通过（ 1）构造函数 h（a）=b2﹣3a=﹣+ =（4a3﹣27）（ a3﹣ 27），结合 a＞ 3 可知 h（ a）＞ 0，从而可得结论；（Ⅲ）通过（ 1）可知 f ′（x）的极小值为 f （′﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知 y=f（ x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式 b﹣ +﹣+2= ﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（Ⅰ ）解：因为 f （x）=x3+ax2 +bx+1，所以 g（x）=f ′（ x） =3x2 +2ax+b，g′（x）=6x+2a，令 g′（x）=0，解得 x=﹣．由于当 x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f（′x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f （′x）单调递减；所以 f ′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数 f ′（x）的极值点是原函数f（ x）的零点，所以 f （﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以 b=+（a＞0）．因为 f （x） =x3+ax2 +bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以 f ′（x）=3x2+2ax+b=0 的实根，所以 4a2﹣12b≥ 0，即 a2﹣+≥0，解得a≥3，所以 b=+（a＞3）．（Ⅱ）证明：由（ 1）可知 h（a）=b2﹣3a=﹣+ =（4a3﹣27）（ a3﹣ 27），由于 a＞3，所以 h（a）＞ 0，即 b2＞3a；（Ⅲ）解：由（ 1）可知 f ′（x）的极小值为 f ′（﹣）=b﹣，设 x1， 2 是y=f （）的两个极值点，则 1 2， 1 2，x x x +x =x x =所以 f （x1）+f （ 2）= +（+）+b（ 1 2）+2 x+a x +x=（x1+x2）[ （x1+x2）2﹣3x1x2]+ a[ （ x1 +x2）2﹣2x1 x2]+ b（x1+x2）+2 =﹣+2，又因为 f（x）， f ′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以 b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为 a＞3，所以 2a3﹣63a﹣54≤0，所以 2a（a2﹣36）+9（ a﹣6）≤ 0，所以（ a﹣6）（ 2a2+12a+9）≤ 0，由于 a＞3 时 2a2+12a+9＞0，所以 a﹣6≤0，解得 a≤6，所以 a 的取值范围是（ 3，6] ．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．二 .非选择题，附加题（ 21-24 选做题）【选修 4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图， AB 为半圆 O 的直径，直线 PC切半圆 O 于点 C，AP⊥PC，P 为垂足．求证：（1）∠ PAC=∠CAB；（2） AC2 =AP?AB．【分析】（ 1 ）利用弦切角定理可得：∠ ACP=∠ ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（ 2）由（ 1）可得：△ APC∽△ ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线 PC切半圆 O 于点 C，∴∠ ACP=∠ABC．∵AB为半圆 O 的直径，∴∠ ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠ APC=90°．∴∠ PAC=90°﹣∠ ACP，∠ CAB=90°﹣∠ ABC，∴∠ PAC=∠CAB．（2）由（ 1）可得：△ APC∽△ ACB，∴ = ．∴2AC =AP?AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[ 选修 4-2：矩阵与变换 ]22．已知矩阵 A=，B=．（1）求 AB；（ 2）若曲线 C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线2，求CC2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（ 2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==，（2）设点 P（ x，y）为曲线 C1的任意一点，点P 在矩阵 AB 的变换下得到点 P′（ x0，y0），则=，即x0， 0 ，=2y y =x∴x=y0，y= ，∴，即 x02+y02=8，∴曲线 C2的方程为 x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]23．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为（t 为参数），曲线 C 的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P 到直线 l 的距离的最小值．【分析】求出直线 l 的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离 d 关于参数 s的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线 l 的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴ P 到直线 l 的距离 d==，∴当 s=时，d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．［选修 4-5：不等式选讲］24．已知 a，b，c， d 为实数，且 a2+b2=4，c2+d2=16，证明 ac+bd≤ 8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令 a=2cos α，b=2sin α，c=4cos β，d=4sin β代入． ac+bd 化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ ac+bd ）2≤（ a2+b2）（ c2+d2），即可得出．【解答】证明：∵ a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα， b=2sin α，c=4cosβ，d=4sin β．∴ ac+bd=8（ cosαcos+sinβ αsin）β=8cos（α﹣β）≤ 8．当且仅当cos（α﹣β） =1时取等号．因此 ac+bd≤ 8．另解：由柯西不等式可得：（ ac+bd）2≤（ a2+b2）（c2+d2）=4× 16=64，当且仅当时取等号．∴﹣ 8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】第27页（共 31页）AA1=，∠ BAD=120°．（1）求异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值；（2）求二面角 B﹣A1D﹣ A 的正弦值．【分析】在平面 ABCD内，过 A 作 Ax⊥ AD，由 AA1⊥平面 ABCD，可得 AA1⊥ Ax，AA1⊥ AD，以 A 为坐标原点，分别以Ax、AD、 AA1所在直线为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A， B， C， D，A1，1的坐标，进一步求出，C，，的坐标．（ 1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B 与1所成角的余弦AC值；（2）求出平面 BA1D 与平面 A1AD 的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角 B﹣A1D﹣ A 的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面 ABCD内，过 A 作 Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax? 平面ABCD，∴ AA1⊥Ax， AA1⊥ AD，以 A 为坐标原点，分别以 Ax、AD、AA1所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1= ，∠ BAD=120°，∴ A（ 0， 0， 0），B（）， C（， 1， 0），D（0，2，0），A （ 0， 0，），C （）．11= （），= （），，．（ 1）∵ cos＜＞==．∴异面直 A1B 与 1 所成角的余弦；AC（ 2）平面 BA1D 的一个法向量，由，得，取 x=，得；取平面 A1 AD 的一个法向量．∴ cos＜＞==．∴二面角 B A1A 的余弦，二面角B1A的正弦D A D．【点】本考异面直所成的角与二面角，了利用空向量求空角，是中档．26．已知一个口袋有 m 个白球， n 个黑球（ m，n∈N*，n≥2），些球除色外全部相同．将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如所示的号1，2，3，⋯，m+n 的抽内，其中第 k 次取出的球放入号k 的抽（ k=1，2，3，⋯，m+n）．123⋯m+n（ 1）求号 2 的抽内放的是黑球的概率 p；（ 2）随机量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽号的倒数，E（ X）是 X 的数学期望，明 E（ X）＜．【分析】（1）法一：事件 A i表示号i 的抽里放的是黑球，（ 2）p=p A=P（A 2| A1）P（A1）+P（A2 |）P（），由此能求出号 2 的抽内放的是黑球的概率．法二：按照同种模型的方法，黑球共有m+n 个位置，故排法有种，除去第二个位置放的黑球，剩下n+m 1 个位置，由此能求出号 2 的抽内放的是黑球的概率．（ 2）X 的所有可能取，⋯，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，⋯，n+m，从而（E X）=（）=，由此能明（EX）＜．【解答】解：（1）解法一：事件A i表示号 i 的抽里放的是黑球，p=p（A2）=P（A2| A1）P（ A1）+P（A2|）P（）===．解法二：按照同种模型的方法，黑球共有m+n 个位置，故排法有种，除去第二个位置放的黑球，剩下n+m 1 个位置，∴ 号 2 的抽内放的是黑球的概率p==．明：（2）∵ X 的所有可能取，⋯，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，⋯，n+m，∴ E（ X） =（）==＜==?（）第30页（共 31页）==，∴ E（ X）＜．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．第31页（共 31页）。

第1页，总13页2017年高考理数真题试卷（新课标Ⅰ卷）参考版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题B ={x | 3x<1 },则（） A.A ∩B ={x|x <0} B.A ∪B =R C.A ∪B ={x|x >1} D.A ∩B =∅2.设有下面四个命题（）p 1: 若复数 z 满足 1z ∈R ，则 z ∈R ； p 2: 若复数 z 满足 z 2∈R ，则 z ∈R ； p 3: 若复数 z 1,z 2 满足 z 1z 2∈R ，则 z 1=z 2¯； p 4: 若复数 z ∈R ，则 z ¯∈R .其中的真命题为 A.p 1,p 3 B.p 1,p 4 C.p 2,p 3 D.p 2,p 43.记 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和．若 a 4+a 5=24 ， S 4=8 ，则 {a n } 的公差为（） A.1 B.2 C.4 D.8答案第2页，总13页……外…………○…………装…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※……内…………○…………装…………○…………4.函数 f(x) 在 (−∞,+∞) 单调递减，且为奇函数．若 f(1)=−1 ，则满足 −1≤f(x −2)≤1 的 x 的取值范围是（）A.[−2,2]B.[−1,1]C.[0,4]D.[1,3] 5. (1+1x 2)(1+x)6 展开式中 x 2 的系数为（）A.15B.20C.30D.356.右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ， 那么在 和两个空白框中，可以分别填入（）A.A >1000和n =n +1B.A >1000和n =n +2C.A ≤ 1000和n =n +1D.A ≤ 1000和n =n +27.已知曲线C 1：y =cos x ， C 2：y =sin (2x + 2π3 )，则下面结正确的是（）A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π6 个单第3页，总13页…………○…………装……学校:___________姓名：__…………○…………装……位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π12 个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π6 个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π12 个单位长度，得到曲线C 28.设xyz 为正数，且 2x=3y=5z，则（） A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2x D.3y <2x <5z第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）9.已知向量a ， b 的夹角为60°，|a |=2， | b |=1，则| a +2 b |= .10.设x ， y 满足约束条件 {x +2y ≤12x +y ≥−1x −y ≤0，则 z =3x −2y 的最小值为 .11.已知双曲线C ： x 2a 2−y 2b 2=1 （a >0，b >0）的右顶点为A ， 以A 为圆心，b 为半径做圆A ， 圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。

可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。

5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。

2017届高三数学下第一次月段考试题（重庆市理科含答案)2017年重庆一中高2017级高三下期第一次月考数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题分，共60分在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1若复数满足，其中为虚数单位，则A B D2已知，则A BD3下列说法正确的是A 是的必要不充分条B “ ”为真命题是“ 为真命题”的必要不充分条命题,使得的否定是,D命题，则是真命题4已知函数的最小正周期为，且其图象向左平移个单位后得到函数的图象，则函数的图象A 关于直线对称B 关于直线对称关于点对称D 关于点对称如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为A 2 B 3 4 D6 在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的取值范围是A B D7《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高，计算其体积V的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为4，那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为A B D8等比数列中，，函数，若的导函数为，则A B D9甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的情况下，甲丙也相邻的概率为A B D10已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆交于点,满足，则离心率是A B D11点为棱长是的正方体的内切球球面上的动点，点N为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为A B D12已知函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实根，则的取值范围是A B D二、填空题：本大题共4小题，每小题分，共20分13 的展开式中项的系数为20，则实数14 已知，则函数的最大值为1 一般吧数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行，数字2,3出现在第2行；数字6,,4（从左到右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，以此类推，第21行从左到右的第4个数字应是16 如图，正三棱柱的各棱长均相等，为的中点，分别是线段和线段上的动点（含端点），且满足，当运动时，下列结论中正确的序号为①可能是直角三角形；②三棱锥的体积为定值；③平面平面；④平面与平面所成的锐二面角范围为三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的字说明或推理、验算过程17（本题满分12分）在中，分别是的对边，且，且（1）求角B;（2）求边长的最小值18（本题满分12分）某校高三（）班的一次数学小测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求全班人数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；（2）若要从分数在之间的试卷中任选三份分析学生失分情况，其中表示分数在之间被选上的人数，表示分数在之间被选上的人数，记变量，求的分布列和期望19（本题满分12分）如图，正方形的边长为2，分别为的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于两点（1）求证：；（2）若平面，且，求平面与平面所成角（锐角）的余弦值，并求线段的长20（本题满分12分）已知椭圆的左焦点，过点作与轴垂直的直线与椭圆交于,N两点，且（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于A,B两点，线段AB的中为G,AB的中垂线与轴和轴分别交于两点，记的面积为，的面积为，若，求的取值范围21（本题满分12分）已知函数（1）讨论函数的单调区间；（2）若，设函数的图象与轴交于两点，且，又是的导函数，若正常数满足，证明：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分22（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），且与有两个不同的交点（1）写出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）求实数的取值范围23（本题满分10分）选修4-：不等式选讲已知函数（1）解不等式；（2）若对任意都有，使得成立，求实数的取值范围。

【高考试题】2017年江苏省高考数学试题 (文科) ★☆答案2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}, 则实数a 的值为________．2. 已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200件、400件、300件、100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．4. 如图是一个算法流程图，若输入的x 的值为116，则输出的y 的值是________．(第4题)5. 若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________．6. 如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．6.(第6题)7. 记函数f(x)＝6＋x －x 2的定义域为D ，在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．9. 设等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________．10. 某公司一年购买某种货物600 t ，每次购买x t ，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．11. 已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f(a －1)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．12. 如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°，若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________．(第12题)13. 在平面直角坐标系xOy 中，A(－12，0)，B(0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．14. 设f(x)是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x D ，其中集合D ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f(x)－lgx ＝0的解的个数是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F(E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD.(1) 求证：EF ∥平面ABC ； (2) 求证：AD ⊥AC.(第15题)16. (本小题满分14分)已知向量a ＝(cosx ，sinx)，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1) 若a ∥b ，求x 的值； (2) 记f(x)＝a ·b ，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x 的值．17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8，点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．(第17题)18. (本小题满分16分)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107 cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，E 1G 1的长分别为14 cm 和62 cm ，分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12 cm, 现有一根玻璃棒l ，其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1) 将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC 1上，求l 没入水中部分的长度；(2) 将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中部分的长度．(第18题)19. (本小题满分16分)对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n 对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{a n }是“P(k)数列”．(1) 求证：等差数列{a n }是“P(3)数列”；(2) 若数列{a n }既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，求证：{a n }是等差数列．20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a>0，b ∈R )有极值，且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1) 求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；(2) 求证：b 2>3a ；(3) 若f(x)，f ′(x)这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范围．2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)1. 12. 10 【解析】化简，复数z ＝1＋2i ＋i ＋2i 2＝－1＋3i ，故z 的模为10.3. 18 【解析】因为丙的产量占总产量的310，由分层抽样的性质知应从丙中抽取60×310＝18(件)．4. －2 【解析】因为输入的x 的值小于1，所以将x ＝116代入y ＝2＋log 2x ，解得y ＝－2.5. 75 【解析】因为tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝16，所以tan α＝75. 6. 32 【解析】设球的半径为R ，则V 1＝2R ×πR 2＝2πR 3，V 2＝43πR 3，所以V 1V 2＝32. 7. 59 【解析】由题意得6＋x －x 2≥0，即(x ＋2)(x －3)≤0，解得－2≤x ≤3，由几何概型的性质知所求概率P ＝3－（－2）5－（－4）＝59.8. 23 【解析】根据双曲线方程易知a ＝3，b ＝1，c ＝2，渐近线方程为y ＝±33x ，右准线方程为x ＝a 2c ＝32.当x ＝32时，代入渐近线方程y ＝±33x 中，得y ＝±32，所以PQ ＝2×32＝ 3.因为F 1F 2＝2c ＝4, 所以S 四边形F 1PF 2Q ＝12F 1F 2·PQ ＝2 3. 9. 32 【解析】因为数列{a n }是等比数列，设公比为q ，则S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q＝634，由S 6S 3＝1＋q 3＝9，得q ＝2.把q ＝2代入S 3＝a 1（1－q 3）1－q 中，易得74＝a 1（1－23）1－2，所以a 1＝14，所以a n ＝14·2n －1＝2n －3，所以a 8＝25＝32.10. 30 【解析】设y 为一年的总运费与总储存费用之和，则y ＝600x ·6＋4x ＝3 600x＋4x ≥23 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时y 取得最小值． 11. ⎣⎡⎦⎤－1，12 【解析】因为f′(x)＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥0，所以f(x)在定义域内为单调增函数．又f(－x)＝－x 3＋2x ＋1ex －e x ＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．因为f(a －1)＋f(2a 2)≤0，所以f(a －1)≤－f(2a 2)，即f(a －1)≤f(－2a 2)． 又因为f(x)为单调增函数，所以a －1≤－2a 2，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 12. 3 【解析】由tan α＝7，得tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－43，以点O 为坐标原点，OA →方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系， 则点A 的坐标为A(1，0)，由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－43，OB →的模为1，可得B ⎝⎛⎭⎫－35，45. 由tan α＝7，OC 的模为2，可得C ⎝⎛⎭⎫15，75.由OC →＝mOA →＋nOB →，得所以m ＋n ＝3.13. [－52，1] 【解析】设点P 的坐标为(x ，y)，则PA →＝(－12－x ，－y)，PB →＝(－x ，6－y)，PA →·PB →＝x 2＋y 2＋12x －6y ≤20.因为x 2＋y 2＝50，所以PA →·PB →＝x 2＋y 2＋12x －6y ＝50＋12x －6y ≤20，即2x －y ＋5≤0，所以点P 的轨迹在直线2x －y ＋5＝0的上方．又因为点P 在圆x 2＋y 2＝50上，所以点P 是图中粗实线部分， 由图易知点P 横坐标的取值范围是[x M ，x N ]，因为x M ＝－52，消去y ，易得x 2＋4x －5＝0，解得x 1＝－5，x 2＝1，即x N ＝1，所以点P 横坐标的取值范围是[－52，1]．。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（全卷满分160分，考试时间120分钟）参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．（2017年江苏省5分）已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ．【答案】{}1,2,4,6。

【考点】集合的概念和运算。

【分析】由集合的并集意义得{}1,2,4,6AB =。

2．（2017年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 【答案】15。

【考点】分层抽样。

【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。

将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。

因此，由350=15334⨯++知应从高二年级抽取15名学生。

3．（2017年江苏省5分）设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 【答案】8。

【考点】复数的运算和复数的概念。

【分析】由117ii 12ia b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++，所以=5=3a b ，，=8a b + 。

4．（2017年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．【答案】5。

【考点】程序框图。

【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环k 2k 5k 4-+循环前 0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4 第六圈否输出5∴最终输出结果k=5。

2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1,2},B={a,a2+3}．若A∩B={1},则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i）,其中i是虚数单位,则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲,乙,丙,丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为,则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上,下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=,S6=,则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣,其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°．若=m+n（m,n∈R）,则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中,A（﹣12,0）,B（0,6）,点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20,则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1）上,f（x）=,其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F（E与A,D不重合）分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC.（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx,sinx）,=（3,﹣）,x∈[0,π]．（1）若∥,求x的值.（2）记f（x）=,求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E：=1（a＞b＞0）的左,右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程.（2）若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标．18．（16分）如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅰ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅰ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅰ中注入水,水深均为12cm．现有一根玻璃棒l,其长度为40cm．（容器厚度,玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度.（2）将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k,若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立,则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”.（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”,又是“P（3）数列”,证明：{a n}是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0,b∈R）有极值,且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式,并写出定义域.（2）证明：b2＞3a.（3）若f（x）,f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围．二.非选择题,附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB.（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=,B=．（1）求AB.（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为（t为参数）,曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值.（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球,n个黑球（m,n∈N*,n≥2）,这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1,2,3,…,m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p.（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E（X）是X的数学期望,证明E（X）＜．2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试卷解析一.填空题1．（5分）（2017•江苏）已知集合A={1,2},B={a,a2+3}．若A∩B={1},则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1,2},B={a,a2+3}．A∩B={1}.∴a=1或a2+3=1.解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）（2017•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i）,其中i是虚数单位,则z的模是．【分析】利用复数的运算法则,模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i.∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则,模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．3．（5分）（2017•江苏）某工厂生产甲,乙,丙,丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为,再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件,而抽取60辆进行检验,抽样比例为=.则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件.故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,按照一定的比例,即样本容量和总体容量的比值,在各层中进行抽取．4．（5分）（2017•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为,则输出y的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=,不满足x≥1.所以y=2+log2=2﹣=﹣2.故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图,模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积累,属于基础题．5．（5分）（2017•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1.解得tanα=.故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式,属于基础题6．（5分）（2017•江苏）如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上,下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是．【分析】设出球的半径,求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R,则球的体积为：R3.圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2017•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D 的概率是．【分析】求出函数的定义域,结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0,得﹣2≤x≤3.则D=[﹣2,3].则在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率P==.故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算,结合函数的定义域求出D,以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程,得到P,Q坐标,求出焦点坐标,然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=,双曲线渐近线方程为：y=x.所以P（,）,Q（,﹣）,F1（﹣2,0）．F2（2,0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力．9．（5分）（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=,S6=,则a8=32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1,S3=,S6=,可得=,=,联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1.∵S3=,S6=,∴=,=.解得a1=,q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．10．（5分）（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x,利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．11．（5分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣,其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1,] ．【分析】求出f（x）的导数,由基本不等式和二次函数的性质,可得f（x）在R上递增,再由奇偶性的定义,可得f（x）为奇函数,原不等式即为2a2≤1﹣a,运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0.可得f（x）在R上递增.又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0.可得f（x）为奇函数.则f（a﹣1）+f（2a2）≤0.即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a）.即有2a2≤1﹣a.解得﹣1≤a≤.故答案为：[﹣1,]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用,注意运用导数和定义法,考查转化思想的运用和二次不等式的解法,考查运算能力,属于中档题．12．（5分）（2017•江苏）如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°．若=m+n（m,n∈R）,则m+n=3．【分析】如图所示,建立直角坐标系．A（1,0）．由与的夹角为α,且tanα=7．可得cosα=,sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n （m,n∈R）,即可得出．【解答】解：如图所示,建立直角坐标系．A（1,0）．由与的夹角为α,且tanα=7．∴cosα=,sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m,n∈R）.∴=m﹣n,=0+n.解得n=,m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质,和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．13．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中,A（﹣12,0）,B（0,6）,点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20,则点P的横坐标的取值范围是[﹣5,1] ．【分析】根据题意,设P（x0,y0）,由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0,分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,联立直线与圆的方程可得交点的横坐标,结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意,设P（x0,y0）,则有x02+y02=50.=（﹣12﹣x0,﹣y0）•（﹣x0,6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20.化为：12x0﹣6y0+30≤0.即2x0﹣y0+5≤0,表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域.联立,解可得x0=﹣5或x0=1.结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5,1].故答案为：[﹣5,1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系,关键是利用数量积化简变形得到关于x0,y0的关系式．14．（5分）（2017•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1）上,f（x）=,其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1）上,f（x）=,其中集合D={x|x=,n∈N*},分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数,进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0,1）上,f（x）=.第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数.又f（x）是定义在R上且周期为1的函数.∴在区间[1,2）上,f（x）=,此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点.同理：区间[2,3）上,f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点.区间[3,4）上,f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点.区间[4,5）上,f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点.区间[5,6）上,f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点.区间[6,7）上,f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点.区间[7,8）上,f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点.区间[8,9）上,f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点.在区间[9,+∞）上,f（x）的图象与y=lgx无交点.故f（x）的图象与y=lgx有8个交点.即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8.故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,函数的图象和性质,转化思想,难度中档．二.解答题15．（14分）（2017•江苏）如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F（E与A,D不重合）分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC.（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论.（2）通过取线段CD上点G,连结FG,EG使得FG∥BC,则EG∥AC,利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD,结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG,从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD,EF⊥AD,且A,B,E,F四点共面.所以AB∥EF.又因为EF⊊平面ABC,AB⊆平面ABC.所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC.（2）在线段CD上取点G,连结FG,EG使得FG∥BC,则EG∥AC.因为BC⊥BD,所以FG∥BC.又因为平面ABD⊥平面BCD.所以FG⊥平面ABD,所以FG⊥AD.又因为AD⊥EF,且EF∩FG=F.所以AD⊥平面EFG,所以AD⊥EG.故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定,考查空间想象能力,考查转化思想,涉及线面平行判定定理,线面垂直的性质及判定定理,注意解题方法的积累,属于中档题．16．（14分）（2017•江苏）已知向量=（cosx,sinx）,=（3,﹣）,x∈[0,π]．（1）若∥,求x的值.（2）记f（x）=,求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣,问题得以解决.（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx,sinx）,=（3,﹣）,∥.∴﹣cosx=3sinx.∴tanx=﹣.∵x∈[0,π].∴x=.（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+）.∵x∈[0,π].∴x+∈[,].∴﹣1≤cos（x+）≤.当x=0时,f（x）有最大值,最大值3.当x=时,f（x）有最小值,最大值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质,属于基础题17．（14分）（2017•江苏）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E：=1（a＞b＞0）的左,右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程.（2）若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c,由椭圆的准线方程x=±,则2×=8,即可求得a和c 的值,则b2=a2﹣c2=3,即可求得椭圆方程.（2）设P点坐标,分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率,则即可求得l2及l1的斜率及方程,联立求得Q点坐标,由Q在椭圆方程,求得y02=x02﹣1,联立即可求得P点坐标.方法二：设P（m,n）,当m≠1时,=,=,求得直线l1及l1的方程,联立求得Q点坐标,根据对称性可得=±n2,联立椭圆方程,即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==,则a=2c,①椭圆的准线方程x=±,由2×=8,②由①②解得：a=2,c=1.则b2=a2﹣c2=3.∴椭圆的标准方程：.（2）方法一：设P（x0,y0）,则直线PF2的斜率=.则直线l2的斜率k2=﹣,直线l2的方程y=﹣（x﹣1）.直线PF1的斜率=.则直线l2的斜率k2=﹣,直线l2的方程y=﹣（x+1）.联立,解得：,则Q（﹣x0,）.由P,Q在椭圆上,P,Q的横坐标互为相反数,纵坐标应相等,则y0=.∴y02=x02﹣1.则,解得：,则.又P在第一象限,所以P的坐标为：P（,）．方法二：设P（m,n）,由P在第一象限,则m＞0,n＞0.当m=1时,不存在,解得：Q与F1重合,不满足题意.当m≠1时,=,=.由l1⊥PF1,l2⊥PF2,则=﹣,=﹣.直线l1的方程y=﹣（x+1）,①直线l2的方程y=﹣（x﹣1）,②联立解得：x=﹣m,则Q（﹣m,）.由Q在椭圆方程,由对称性可得：=±n2.即m2﹣n2=1,或m2+n2=1.由P（m,n）,在椭圆方程,,解得：,或,无解.又P在第一象限,所以P的坐标为：P（,）．【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查直线的斜率公式,考查数形结合思想,考查计算能力,属于中档题．18．（16分）（2017•江苏）如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅰ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅰ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅰ中注入水,水深均为12cm．现有一根玻璃棒l,其长度为40cm．（容器厚度,玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度.（2）将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过N作NP∥MC,交AC于点P,推导出CC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC,NP⊥AC,求出MC=30cm,推导出△ANP∽△AMC,由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过点N作NP⊥EG,交EG于点P,过点E作EQ ⊥E1G1,交E1G1于点Q,推导出EE1G1G为等腰梯形,求出E1Q=24cm,E1E=40cm,由正弦定理求出sin∠GEM=,由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N.在平面ACM中,过N作NP∥MC,交AC于点P.∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱,∴CC1⊥平面ABCD.又∵AC⊂平面ABCD,∴CC1⊥AC,∴NP⊥AC.∴NP=12cm,且AM2=AC2+MC2,解得MC=30cm.∵NP∥MC,∴△ANP∽△AMC.∴=,,得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N.在平面E1EGG1中,过点N作NP⊥EG,交EG于点P.过点E作EQ⊥E1G1,交E1G1于点Q.∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台,∴EE1=GG1,EG∥E1G1.EG≠E1G1.∴EE1G1G为等腰梯形,画出平面E1EGG1的平面图.∵E1G1=62cm,EG=14cm,EQ=32cm,NP=12cm.∴E1Q=24cm.由勾股定理得：E1E=40cm.∴sin∠EE1G1=,sin∠EGM=sin∠EE1G1=,cos.根据正弦定理得：=,∴sin,cos.∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=.∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法,考查空间中线线,线面,面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力,运算求解能力,空间想象能力,考查数形结合思想,化归与转化思想,是中档题．19．（16分）（2017•江苏）对于给定的正整数k,若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n 对任意正整数n（n＞k）总成立,则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”.（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”,又是“P（3）数列”,证明：{a n}是等差数列．+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质,a n﹣3+a n+1）═2×3a n,根据“P（k）数列”的定义,可得数列{a n}是“P（3）数列”.（a n﹣1+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n,a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,变形整理即可求（2）由“P（k）数列”的定义,则a n﹣2得2a n=a n﹣1+a n+1,即可证明数列{a n}是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n}首项为a1,公差为d,则a n=a1+（n﹣1）d.则a n+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3.﹣3=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）.=2a n+2a n+2a n.=2×3a n.∴等差数列{a n}是“P（3）数列”.（2）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n,①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,②+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1,③由①可知：a n﹣3a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1,④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1.整理得：2a n=a n﹣1+a n+1.∴数列{a n}是等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质,考查数列的新定义的性质,考查数列的运算,考查转化思想,属于中档题．20．（16分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0,b∈R）有极值,且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式,并写出定义域.（2）证明：b2＞3a.（3）若f（x）,f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b,进而再求导可知g′（x）=6x+2a,通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣,从而f（﹣）=0,整理可知b=+（a＞0）,结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0,b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根,进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）,结合a＞3可知h （a）＞0,从而可得结论.（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣,利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2,进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1.所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b,g′（x）=6x+2a.令g′（x）=0,解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0,g（x）=f′（x）单调递增,当x＜﹣时g′（x）＜0,g（x）=f′（x）单调递减.所以f′（x）的极小值点为x=﹣.由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点.所以f（﹣）=0,即﹣+﹣+1=0.所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0,b∈R）有极值.所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根.所以4a2﹣12b＞0,即a2﹣+＞0,解得a＞3.所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）.由于a＞3,所以h（a）＞0,即b2＞3a.（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣.设x1,x2是y=f（x）的两个极值点,则x1+x2=,x1x2=.所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2.又因为f（x）,f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣.所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣.因为a＞3,所以2a3﹣63a﹣54≤0.所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0.所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0.由于a＞3时2a2+12a+9＞0.所以a﹣6≤0,解得a≤6.所以a的取值范围是（3,6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,极值,考查运算求解能力,考查转化思想,注意解题方法的积累,属于难题．二.非选择题,附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（2017•江苏）如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB.（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB,即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C,∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径,∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC,∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP,∠CAB=90°﹣∠ABC.∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB.∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理,圆的性质,三角形内角和定理,三角形相似的判定与性质定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017•江苏）已知矩阵A=,B=．（1）求AB.（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算.（2）求出变换前后的坐标变换规律,代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==.（2）设点P（x,y）为曲线C1的任意一点.点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0,y0）.则=,即x0=2y,y0=x.∴x=y0,y=.∴,即x02+y02=8.∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换,属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为（t为参数）,曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程,代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数,从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0.∴P到直线l的距离d==.∴当s=时,d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用,属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．（2017•江苏）已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd≤8．【分析】a2+b2=4,c2+d2=16,令a=2cosα,b=2sinα,c=4cosβ,d=4sinβ．代入ac+bd化简,利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）,即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4,c2+d2=16.令a=2cosα,b=2sinα,c=4cosβ,d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64,当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式,三角函数的单调性,不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．【必做题】25．（2017•江苏）如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值.（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内,过A作Ax⊥AD,由AA1⊥平面ABCD,可得AA1⊥Ax,AA1⊥AD,以A为坐标原点,分别以Ax,AD,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A,B,C,D,A1,C1的坐标,进一步求出,,,的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值.（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量,再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值,进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内,过A作Ax⊥AD.∵AA1⊥平面ABCD,AD,Ax⊂平面ABCD.∴AA1⊥Ax,AA1⊥AD.以A为坐标原点,分别以Ax,AD,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.∴A（0,0,0）,B（）,C（,1,0）.D（0,2,0）.A1（0,0,）,C1（）．=（）,=（）,,．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.（2）设平面BA1D的一个法向量为.由,得,取x=,得.取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为,则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角,训练了利用空间向量求空间角,是中档题．26．（2017•江苏）已知一个口袋有m个白球,n个黑球（m,n∈N*,n≥2）,这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1,2,3,…,m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p.（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E（X）是X的数学期望,证明E（X）＜．【分析】（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）,由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为,…,,P（x=）=,k=n,n+1,n+2,…,n+m,从而E（X）=（）=,由此能证明E（X）＜．【解答】解：（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球.则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．证明：（2）∵X的所有可能取值为,…,.P（x=）=,k=n,n+1,n+2,…,n+m.∴E（X）=（）==＜==•（）==.∴E（X）＜．【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列,数学期望等基础知识,考查推理论证能力,运算求解能力,空间想象能力,考查数形结合思想,化归与转化思想,是中档题．。

2016-2017学年湖北省荆州中学高三1月质量检测数学（理）一、选择题：共12题1．复数 (为虚数单位)的共轭复数等于A.－2－3iB.－2＋3iC.2－3iD.2＋3i【答案】C【解析】本题主要考查复数的概念与运算.,.故选C.2．下列命题正确的个数是①“”的否定是“”；②函数的最小正周期为是“”的必要不充分条件；③在上恒成立在上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”.A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】本题主要考查命题的真假及充分条件、必要条件.对于①“”的否定是“”，故①错误；对于②，的最小正周期为，则，对于③不一定同时取到，；对于④，与的夹角可能是平角，故④错误.故选A.3．已知两条不同的直线和两个不同的平面，以下四个命题中正确命题的个数是①若，且，则②若，且，则③若，且，则④若，且，则A.4B.3C.2D.1【答案】C【解析】本题主要考查空间中线面的位置关系.对于①，若，且，则可能平行、相交或异面，故①错误；对于②，若，则，又，则，对于③，若，且，则；对于④，由面面垂直和线面垂直的性质可得，故④正确.故选C.4．已知数列为等差数列，满足，其中在一条直线上，为直线外一点，记数列的前项和为，则的值为A. B. C.2016 D.【答案】A【解析】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、等差数列的性质.由共线向量定理得.故选A.5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度(的单位：s，的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查定积分的简单应用.令则汽车继续行驶的距离即为速度在这秒上的积分值，.故选C.6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查由三视图求表面积.由三视图可知该几何体为四棱锥，是长方体的一部分，长方体的长宽高分别为，则四棱锥的外接球即为长方体的外接球，由长方体的性质可得外接球的直径,,.故选D.7．已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查三角函数的概念、二倍角公式、两角和的正弦公式.由题知，由倍角公式可得，则sin.故选C.8．过点的直线，将圆形区域分两部分，使得这两部分的面积之差的绝对值最大，则该直线的方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.由圆的几何性质可知，当与点的直线垂直时满足条件.，，.故选A.9．《九章算术》是我国古代著名数学经典,其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺,问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺,问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(注：1丈=10尺=100寸，，)A.600立方寸B.610立方寸C.620立方寸D.633立方寸【答案】D【解析】本题主要考查圆的性质及空间几何体的体积.设圆的半径为，连结，则寸，在得,由得,则图中阴影部分面积为，.故选D.10．已知是单位圆上的两点(为圆心)，，点是线段上不与重合的动点．是圆的一条直径，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、向量数量积的运算.由题知，,,,, 则的取值范围是.故选A.11．若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查线性规划、两平行直线间的距离等知识,意在考查数形结合思想和考生的运算能力.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中A(1,2)、B(2,1),当两条平行直线间的距离最小时,两平行直线分别过点A与B,又两平行直线的斜率为1,直线AB的斜率为-1,所以线段AB的长度就是过A,B两点的平行直线间的距离,易得|AB|=,即两条平行直线间的距离的最小值是,故选B.【备注】线性规划的题目,一般有两种“变异”形式:一种是不等式组表示的平面区域的变化,一般变为含参数而具有动态性的多边形区域,或非线性区域(圆、椭圆、抛物线等);另一种是目标函数的变化,一般变为含参数的形式或非线性目标函数(二元二次式、一次分式、绝对值等).虽然形式千变万化,但利用数形结合思想解决不会变,这是解决线性规划问题的通性通法.12．已知常数，定义在上的函数满足：，，其中表示的导函数．若对任意正数，都有,则实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】本题主要考查导数的综合应用.由得，令,则，, 令,则,故在上单调递减，原不等式等价于，解得或.则实数的取值范围是.故选A.二、填空题：共4题13．如图，已知，，，，则．【答案】3【解析】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形.在中，由正弦定理得,在中，由余弦定理得,.故答案为.14．已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】本题主要考查逆否命题、充分条件、必要条件与集合的关系.，,若是的充分条件，则其逆否命题为：．，解得.故答案为.15．过点且被圆截得弦长为的直线的方程为 .【答案】【解析】本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系.显然，直线符合题意；当直线过点且斜率存在时，设所求直线方程为：即,由垂径定理得圆心到直线的距离为, 由点到直线的距离公式得,解得,.综上，所求直线方程为：16．对于数列，定义为的“优值”.现在已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】本题主要考查数列的综合.由得,,,,又对任意的正整数恒成立，,解得..三、解答题：共7题17．已知.(1)求的最小正周期及单调递增区间；(2)在锐角中，角的对边分别为，若,，求面积的最大值.【答案】(1) ,故周期 .令则，所以单调增区间为.(2)由可得，所以. 由余弦定理，可得，即，且当时等号成立，因此.所以面积的最大值为.【解析】本题主要考查余弦定理、倍角公式、两角和的正弦公式、正弦函数的性质、基本不等式.(1)利用倍角公式、两角和的正弦公式化简函数解析式，由正弦函数的周期公式及单调性可得结论；(2)由求出，由余弦定理及基本不等式可得.18．已知数列的前项和，是等差数列，且.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.【答案】(1)因为数列的前项和，所以，当时，，又对也成立，所以．又因为是等差数列，设公差为，则．当时，；当时，，解得，所以数列的通项公式为．(2)由，于是，两边同乘以２，得，两式相减，得,.【解析】本题主要考查的通项公式，等比数列的前项和公式及错位相减求和.(1)由前项和易得的通项公式及性质可得；(2)利用错位相减法可得.19．如图，在四棱锥中，侧面底面, ,为的中点，底面是直角梯形，,，,．(1)求证：平面；(2)设为棱上一点，,试确定的值使得二面角为．【答案】(1)设中点为，连接，点分别是的中点，,.四边形为平行四边形.,又平面, 平面,.(2)以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系(如图)，则，，，，，，，设平面的法向量为，则且，即且，取，得，,平面的一个法向量为.又，所以为平面的一个法向量，由，又，所以.【解析】本题主要考查线面平行的判定、利用空间向量求二面角.(1)设中点为，连接，证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定例可得结论；(2)以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出平面平面的一个法向量，利用向量的夹角公式可得结论.20．如图，是两条海岸线，为大海中一个小岛，为海岸线上的一个码头．已知，，到海岸线的距离分别为3 km， km．现要在海岸线上再建一个码头，使得水上旅游线路(直线)经过小岛．(1)求水上旅游线路的长；(2)若小岛正北方向距离小岛6 km处的海中有一个圆形强水波，水波生成 h时的半径为(其中)．强水波开始生成时，一游轮以km/h的速度自码头开往码头，问强水波是否会波及游轮的航行，并说明理由．【答案】(1)以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示．则由题设得：，直线的方程为．由，解得，所以．故直线的方程为，由得即，故，答：水上旅游线的长为km．(2)设试验产生的强水波圆，由题意可得，生成小时时，游轮在线段上的点处，则，所以．若强水波不会波及游轮的航行即对恒成立.即，当时恒成立；当时，即时，.令，，当且仅当时等号成立，所以当时恒成立，由于，所以强水波不会波及游轮的航行．【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，函数的实际应用及不等式恒成立.(1)以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系，由点到直线的距离公式求出点坐标，二直线相交求出点坐标，利用两点间的距离公式可得的长；(2)将问题转化为恒成立问题，再利用变量分离法转化为最值问题.21．函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若是极大值点.(ⅰ)当时，求的取值范围；(ⅱ)当为定值时，设是的3个极值点.问：是否存在实数，可找到实数使得的某种排列成等差数列？若存在，求出所有的的值及相应的；若不存在，说明理由.【答案】(1)当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)(ⅰ)当时，，，令，, 故有两根，不妨设，当与有一个为零时，不是的极值点，故与均不为0；当或时，是函数的极小极点，不合题意；当时，是函数的极大值.∴，即，∴.的取值范围为.(ⅱ)，令，，因此，有两根，不妨设，又因为为极大值点，所以的三个极值点分别为，且，则是的一个排列，其中，①若或成等差数列即，即也即时有：或，所以，或；②若不成等差数列，则需：或，当时，，于是，即，故时，，，此时，，同理当时，，.综上所述：当时，；当时，；当时，.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查等差数列的性质.(1)化简解析式，求导，由导数的正负得到函数的单调区间；(2)求导，根据是函数的极大值点，得到限制条件，求出的取值范围；求导，得到三个极值点，分类讨论，将所有可能的排列情况列出来，利用等差数列的性质得到等量关系，从而问题得解.22．已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l的方程为ρsin(θ+)=2.(1)求曲线C在极坐标系中的方程;(2)求直线l被曲线C截得的弦长.【答案】(1)由已知得,曲线C的普通方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,化为极坐标方程是ρ=4cos θ.(2)由题意知,直线l的直角坐标方程为x+y-4=0,由得直线l与曲线C的交点坐标为(2,2),(4,0),所以所求弦长为2.【解析】本题主要考查圆的参数方程、极坐标方程,直线与圆的位置关系,考查化归与转化思想.23．已知函数.(Ⅰ)解不等式；(Ⅱ)若存在实数，使得，求实数的取值范围．【答案】(Ⅰ)①当时，，所以;②当时，，所以为;③当时，，所以.综合①②③不等式的解集为.(Ⅱ)即，由绝对值的几何意义，只需.【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解(1)利用绝对值的意义，分段讨论，化简函数解析式，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；(2)原不等式可化为，根据绝对值的几何意义求出左边的最大值，易得结论.。