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=0,2. 4 & 2.5 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统的极坐标方程［自主学习］曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 (1) 互化的前提条件： ① 极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合.②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的 x 轴的正半轴重合.③ 两种坐标系中取相同的长度单位.X = p cos 0 ,⑵互化公式：1|y = p sin 0 ,(3)圆锥曲线统一的极坐标方程为：epp1 — e cos 0 .［合作探究］p = 1和p =—1是同一个圆的极坐标方程，那么，该圆对应的直角坐标方程也有两个吗？提示：唯一的一个， x 2+ y 2= 1.将直角坐标方程化成极坐标方程把下列直角坐标方程化为极坐标方程.⑴ x + y = 0;2 2(2) x + y + 2ax = 0( a * 0);2 2(3) ( x — 5) + y = 25.［思路点拨］本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想，解答此2 2 2题，需要将x = p cos 0 , y = p sin 0 ,及x + y = p 代入直角坐标方程，再化简即可. ［精解详析］ ⑴将 x = p cos 0 , y = p sin 0 代入 x + y = 0 得 p cos 0 + p sinr 22 |2p = x + y , ytan 0 = x xH(][例1] ［对应学生用书 P12］［对应学生用书P13］••• p (cos 0 + sin 0 ) = 0. =0,••• cos 0 + sin 0 = 0. /• sin 0= —cos 0 .ta n 0 = — 1.3 n 十7 n•- 0 = ~^( P》0) 和0 = _^( P》0) •综上所述，直线x+ y= 0的极坐标方程为3 n 7 n0 =〒(P》0)和0=才(P》0)•2 2(2) 将x= p cos 0 , y = p sin 0 代入x + y + 2ax= 0 得2 2 2・2八P cos 0 + p sin 0 + 2a P cos 0 = 0, 即p ( p + 2a cos 0 ) = 0.•• P = —2a cos 0 .2 2•••圆x + y + 2ax= 0(a z 0)的极坐标方程为p = —2a cos 0 .2 2 2 2(3) ( x—5) + y = 25,即：x + y —10x = 0.把x2+『=p 2, x= p cos 0 代入上式得：2P —10 p cos 0 = 0.即p = 0 或p = 10cos 0 .•.•极点p = 0在圆p = 10cos 0上，•••所求圆的极坐标方程为p = 10cos 0 .［片法■规律■小结］、将直角坐标方程化为极坐标方程，只需将x= p cos 0 , y = p sin 0 , x2+ y2= p 2代入化简即可，但化简时要注意变形的等价性.1. 把圆的直角坐标方程(x —a)2+ (y—b) 2= r2化为极坐标方程.2 2 2 2 解：把x = p cos 0 , y= p sin 0 代入方程(x—a) + (y —b) = r，得(p cos 0 —a)+ ( P sin 0 —b) 2= r2.如果设圆心(a, b)的极坐标为(P 0, 0 o)，贝Ua= p 0cos 0 0, b= p 0sin 0 0，再代入上方程可得：(p cos 0 — p 0COS 0 0)2+ ( p sin 0 — p °sin 0 0)2= r2.2 2 2 2 2 2--P (cos 0 + sin 0 ) — 2 p 0 p (cos 0 cos 0 0+ sin 0 sin 0 0) + p 0(cos 0 0 + sin 0 0)2=r .•- p — 2 p 0 p cos( 0 — 0 0) + p 0—r = 0.这就是所求的圆的极坐标方程将下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明是何曲线. ⑴ p sin 0 = 1;(2) p (cos 0 + sin 0 ) — 4= 0; (3) p=— 2cos 0 ; (4) p = cos 0 — 2sin 0 .［思路点拨］ 本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想的应用， 解答此题需要利用 p cos 0 = x, p sin 0 = y 求解.有时需要在等式两边同乘 p ，构造出p cos 0和p sin 0 .［精解详析］(1) p sin 0 = 1 ? y = 1，表示的是一条直线. (2) p (cos 0 + sin 0 ) — 4= 0? p cos 0 + p sin 0 — 4= 0,x + y — 4= 0，表示的是一条直线.(3) p =— 2cos 0 两边同乘以 p 得 p =— 2 p cos 0 , ••• x 2 + y 2 + 2x = 0，即(x + 1)2 + y 2= 1. 表示的是以(一1,0)为圆心，以1为半径的圆. (4) p = cos 0 — 2sin 0两边同乘以 p 得2 p = p cos 0 — 2 p sin 0 , • x + y = x — 2y ，即 x + y — x + 2y = 0, 即 x ―12+ (y + 1)2= -2 2.极坐标方程化为直角坐标方程时，往往需要将原极坐标方程两边同乘以 p ，尽可能使得p cos 0换成x , p sin 0换成y , p 2换成x 2 + y 2.但注意p = 0是原方程的解时，所得 到的直角坐标方程与原极坐标方程等价. 若p =0不是原方程的解时，求得的直角坐标方程，还需加x , y 不同时为0的限制.b^1[例2]把极坐标方程化为直角坐标方程［方法-规律•小结］2. 把下列极坐标方程化为直角坐标方程.2⑴ p cos 2 0 = 8; ⑵ p = 2cos 0 --4 .解：⑴因为p 2cos 2 0 = 8,2 2 2.2所以 p cos 0-p sin 0 = 8.所以化为直角坐标方程为 x 2— y 2= 8.n(2)因为 p = 2cos 0 cos —+ 2sin=2cos 0 + 2sin 0 ,所以 p 2 = ,2p cos 0+•. 2 p sin 0 .所以化为直角坐标方程为 x 2+ y 2— 2x — 2y = 0.［例3］ 求两个圆= 4cos , = 4sin 的圆心之间的距离，并判定两圆的位置关系.［思路点拨］本题考查在极坐标系下的距离及位置关系的确定问题， 解答此题可以在极坐标系下求解，也可以转化为直角坐标系下的距离及位置关系问题求解.［精解详析］ 法一：p = 4cos 0的圆心为(2,0)，半径为2, p = 4sin 0的圆心为(2 , ^)，半径为2.两圆圆心的距离为d = 22 + 22 — 2 X 2 X 2cos : = 2 2.而两圆半径之和为 4,两圆半径之差为 0. •••两圆相交.法二：p = 4cos 0两边同乘以 p 得p 2= 4 p cos 0 ,22• p = 4cos 0 可化为 x + y — 4x = 0,22即(x — 2) + y = 4,•表示的是以(2,0)为圆心，半径为2的圆.p = 4sin 0两边同乘以p 得p = 4 p sin 0 ,n 0 sin42 2•p = 4sin 0 可化为x + y —4y= 0, 即x2+ (y—2) 2= 4,•••表示的是以（0,2）为圆心，半径为2的圆. 两圆的圆心距为d =- U 2+ 〔〕一？ 2= 2”；；2,两圆半径之和为4,之差为0, •两圆相交.［片法•规律•小结］、对于研究与极坐标方程相关的距离及位置关系等问题，可在极坐标系下研究，也可将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究.解：把点A 2, 7^化为直角坐标为（，2,-把直线p sin j 0 + — = -^化为直角坐标方程为 p sin n . n \f 20 • cos 4 + p cos 0 • sin 4 - ？,•••点A 2, - 2）到直线x + y - 1 = 0的距离为」2- .. 2- 1| .2 d = =—dJ + 12，故点A 2,晋到直线p sin i B +亍=¥的距离为J| ［本节热点命题关汪］「本课时经常考查直线和圆的极坐标方程的应用以及极坐标方程与直角坐标方程的互化.［考题印证］（辽宁高考改编）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C ,直线C 2的极坐标方程分别为 p = 4sin 0 , p cos （ 0 -"^-） = 2边.求C 与C 2的交点的极坐标.3.已知直线的极坐标方程为|J 这条直线的距离.p sin，求点•- x + y = 1.［命题立意］本题主要考查极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化.［自主尝试］由p = “/x2+ y2, p cos 0 = x, p sin 0 = y 得，圆C i的直角坐标方程为x2+ (y—2)2= 4,直线C2的直角坐标方程为x+ y — 4 = 0,2得p = —2( p cos 0 —p sin 0 )，即所以圆C ,直线C 的交点直角坐标为(0,4) , (2,2),再由p =x 2+ y 2, p cos 0 = x , p sin 0 = y ,将交点的直角坐标化为极坐标、选择题i .将方程0 =-4( p > 0)化为直角坐标方程为()B . y = x ( x >0)D y=#x (x >0)n yy解析：选 B ' ■/ tan= (x 丰 0) ,「. - = 1( x 丰 0). 4 x xy = x .而 0 = —( p >0)表示射线,•••所求的直角坐标方程为 y = x (x >0).2.圆心在点(一1,1)处，且过原点的圆的极坐标方程是( )A. p = 2(sin 0 — cos 0 )B . p = 2(cos 0 — sin 0 )C. p = 2sin 0D. 解析：选A 如图所示，圆的半径为 •圆的直角坐标方程为 (x + 1)2+ (y — 1)2= 2,2 2即x + y = — 2( x — y )，化为极坐标方程,X 2 + y — 2 2=4, 由 X + y — 4= 0.Xi= 0,解得；iy i = 4,X 2= 2, y 2= 2.[对应学生用书P14]A. y = xC. y = x (x w 0) 所以C 与G 的交点的极坐标VING/QNCip = 2cos2一2 —1 + 1p =2(sinA. I 1 // I 2 C. I 1和l 2重合B . I l 丄 l 2D. I 1和I 2斜交解析：选B 对于I l 可化为x sinsin aa+ycos a=a ，ki =—矿a、填空题5. _______________________________________________________ 直线2 p cos 0 = 1与圆p = 2cos 0相交的弦长为 __________________________________________ .解析：直线的方程为 2x = 1，圆的方程为x 2+y 2— 2x = 0，圆心为（1,0），半径r = 1,圆 心到直线的距离为 d =答案：•. 3n一6.在极坐标系中，定点 A （1 ,―），点B 在直线I : p cos 0 + p sin 0= 0上运动,当线段AB 最短时，点B 的极坐标是 _________ .解析：将 p cos 0 + p sin 0 = 0化为直角坐标方程为 x + y = 0,点A 1,寺化为直角坐标得 A （0,1）,如图，过A 作AE 丄直线I 于B ,因为△ AOB3n为等腰直角三角形，又因为 |OA = 1,则|OB 七,0 =〒，故B 点的极 坐标是B 今,3n .答案：子，34n7. _____________________________________________________________________ 过极点O 作圆C: p = 8cos 0的弦ON 则ON 的中点M 的轨迹方程是 _________________________3.直线 11 ： p sin( 0 + a ) = a 和丨2： 7te^2a 的位置关系是（k 1 • k 2 =—1.- •• I 1丄 1 ,故选B.4.极坐标方程 p = sin 0 + 2cos 0表示的曲线为（）A .直线B .圆C . 椭圆D.双曲线解 析：选B 由p = sin 0 + 2cos 0 ,得 p = p sin 0 + 2 p cos 0对于12可化为x cos a — y sin二 x 2 + y 2 = y + 2x ，即 x 2+ y 2— 2x — y = 0，表示圆.cos aa = 0, k 2=——sin a 42+ 0 = 2,设所求的弦长为丨，则= 2 + 2 2, 解得I = 3.解析：法一：如图，圆C的圆心为C(4,0)，半径为|OC = 4，连接CM 「••• M为弦ON的中点，•••CMLON故M在以0C为直径的圆上. “•••点M的轨迹方程是p = 4cos 0 .法二：设M点的坐标是(p , 0 ) , p i, 0 i).T N点在圆p = 8cos 0 上，•• p i = 8cos 0 i,①p 1= 2 p ,••• M是ON的中点，•弋0 i= 0 .将它代入①式得 2 p = 8cos 0，故点M的轨迹方程是p = 4cos 0 .答案：p = 4cos 08. (天津高考)已知圆的极坐标方程为p = 4cos 0 ,圆心为C,点P的极坐标为4, n^ ］则CP= ________ .解析：如图，由圆的极坐标方程为p = 4cos 0知0C= 2，又因为点P的极坐标为4, n3，所以0P= 4，/ P0=专，在△ POC中，由余弦定理得CP= OP1+ OC- 2OP- OC cos 3= 16+ 4-2X 4X 2X = 12,所以CP= 2 3.答案：2 3三、解答题9.0 O和0 O 的极坐标方程分别为p = 2cos 0 , p 2- 2 p (cos 0 + sin 0 ) = 0.(1) 把O O和O Q的极坐标方程化为直角坐标方程;(2) 求经过O 0,0 Q交点的直线的直角坐标方程.解：(1) T x= p cos 0 , y = p sin 0 ,由p = 2cos 0 得p = 2 p cos 0 , 所以x2+ y2= 2x.即x2+ y2- 2x= 0为O O的直角坐标方程.. . 2 2同理x + y - 2X- 2y= 0为O Q的直角坐标方程.2+ y2- 2x —2y = 0,2 2⑵法一：由+ y - 2x = 0,即O 0,0 O 2交于点(0,0)和(2,0).过交点的直线的直角坐标方程为 y = 0.法二：①—②得y = 0,即y = 0为过O 0,0 Q 交点的直线的直角坐标方程.10 .在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为p cos i 守=1, M N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点.(1) 写出C 的直角坐标方程，并求 M N 的极坐标； (2) 设MN 的中点为P,求直线OP 的极坐标方程. 解：(1)由 p cos 0 —-3 = 1 得，p i 1cos 0 + ^sin 0 = 1.2 2从而C 的直角坐标方程为1x +~2^y = 1，即 x + 3y = 2.当 0 = 0 时，p = 2,所以 M 2,0)； 当0 =寺时，P =攀，所以N 号,-2 .⑵M 点的直角坐标为(2,0),N 点的直角坐标为［,233 ［ 所以P 点的直角坐标为］，¥ .3p = 1 — 2cos 0，过极点作直线与它交于 A, B 两点,且|AB = 6,求直线 AB 的极坐标方程.解：设直线 AB 的极坐标方程为 0 = 0 1, A p 1,0 1) , B ( p 2, 0 1 + n )，贝U p 1 =X 2= 2, y 2= 0.解得则P 点的极坐标为所以直线OP的极坐标方程为np € ( —m,+m ).0 =百,11.已知双曲线的极坐标方程为31 — 2cos 0 i________ 3 _______ 3 P 2— 1 — ?1阴 0 i + n — 1 + 2cos 0 i33|AB = 1 p1+p 2|= 1 — 2cos 0 i + 1 + 2cos 0 i61— 4cos 0 i故直线AB 的极坐标方程为 n n 3 n0 =㊁或0 =~4或0 =〒•11 — 4cos2 0 -=± 1. cos 10 i = 0 或 cos 0 i =±_2亍。
课题：极坐标与直角坐标的互化学科：数学年级：高二班级【学习目标】知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化【学习重难点】重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解难点：互化关系式的掌握【预习指导】情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题2：平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？【合作探究】直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点P的指教坐标与极坐标分别为),(y x和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：{θρθρsin cos ==y x { x y y x =+=θρtan 222说明1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2.3、互化公式的三个前提条件1. 极点与直角坐标系的原点重合;2. 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合;3. 两种坐标系的单位长度相同.4、数学应用例4：（1）把点M 的极坐标)32,8(π化成直角坐标 （2）把点P 的直角坐标)2,6(-化成极坐标例5：若以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立直角坐标系.(1) 已知A 的极坐标),35,4(π求它的直角坐标, (2) 已知点B 和点C 的直角坐标为)15,0()2,2(--和求它们的极坐标.ρ(＞0,0≤θ＜2π)例6：在极坐标系中,已知两点)32,6(),6,6(ππB A . 求A,B 中点的极坐标.【巩固练习】【课堂小结】本节课学习了以下内容：【当堂检测】1、在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离 2、把下列各点的直角坐标化为极坐标(限定ρ＞0,0≤θ＜π2))4,3(),4,3(),2,0(),1,1(----D C B A3、在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(ππP N M -. 判断P N M ,,三点是否在一条直线上.【教学反思】。
二 第二课时 极坐标和直角坐标的互化[课时作业] [A 组 基础巩固]1．将极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(2,0)D ．(－2,0)解析：由题意可知，x ＝2cos 3π2＝0，y ＝2sin 3π2＝－2.答案：B2．把点的直角坐标(3，－4)化为极坐标(ρ，θ)(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)，则( ) A ．ρ＝3，θ＝4 B ．ρ＝5，θ＝4 C ．ρ＝5，tan θ＝43D ．ρ＝5，tan θ＝－43解析：由公式得ρ＝ x 2＋y 2＝ 32＋－2＝5，tan θ＝y x ＝－43，θ∈[0,2π)．答案：D3．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6之间的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：方法一 点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6的直角坐标分别为(3，1)与(3，－1)， 于是|AB |＝3－32＋＋12＝2.方法二 由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6知， |OA |＝|OB |＝2，∠AOB ＝π3，于是△AOB 为等边三角形，所以|AB |＝2. 答案：B4．若A ，B 两点的极坐标为A (4,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，则线段AB 的中点的极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4C.⎝⎛⎭⎪⎫4，π4D.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4解析：由题易知点A ，B 的直角坐标分别为(4,0)，(0,4)，则线段AB 的中点的直角坐标为(2,2)．由ρ2＝x 2＋y 2，得ρ＝2 2.因为tan θ＝22＝1，且点(2,2)在第一象限，所以θ＝π4.故线段AB 的中点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.答案：A5．在极坐标系中，点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2π3，则线段AB 中点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5π12B.⎝⎛⎭⎪⎫1，5π12C.⎝⎛⎭⎪⎫22，5π12 D.⎝⎛⎭⎪⎫22，π3 解析：由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2π3知，∠AOB ＝π2，于是△AOB 为等腰直角三角形，所以|AB |＝22×2＝1， 设线段AB 的中点为C ，则|OC |＝12，极径OC 与极轴所成的角为5π12，所以线段AB 中点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5π12.答案：A6．极坐标系中，直角坐标为(1，－3)的点的极角为________． 解析：直角坐标为(1，－3)的点在第四象限， tan θ＝－3，所以θ＝2k π－π3(k ∈Z)．答案：2k π－π3(k ∈Z)7．极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫6，7π3的直角坐标为________．解析：∵x ＝ρcos θ＝6cos 7π3＝3，y ＝ρsin θ＝6sin7π3＝33， ∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫6，7π3化为直角坐标为(3,33)．答案：(3,33)8．平面直角坐标系中，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ⎝⎛⎭⎪⎫6，7π6，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6|sin 7π6|＝3.答案：39．已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π2，求它们的直角坐标．解析：根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A ⎝⎛⎭⎪⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，D (0，－4)．10．分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． (1)(－1,1)；(2)(4，－43)； (3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2；(4)(－6，－2)．解析：(1)∵ρ＝－2＋12＝2，tan θ＝－1，θ∈[0,2π)，由于点(－1,1)在第二象限，所以θ＝3π4，∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4. (2)∵ρ＝42＋－432＝8，tan θ＝－434＝－3，θ∈[0,2π)，由于点(4，－43)在第四象限． 所以θ＝5π3，∴直角坐标(4，－43)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8，5π3.(3)∵ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2， tan θ＝3π23π2＝1，θ∈[0,2π)，由于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，所以θ＝π4，∴直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4.(4)∵ρ＝－62＋－22＝22，tan θ＝－2－6＝33，θ∈[0,2π)，由于点(－6，－2)在第三象限， 所以θ＝7π6，∴直角坐标(－6，－2)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，7π6. [B 组 能力提升]1．在极坐标系中，若A ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，7π6，求△ABO 的面积(O 为极点)为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：由题意可知，在△ABO 中，OA ＝3，OB ＝4，∠AOB ＝7π6－π3＝5π6，所以△ABO 的面积为S ＝12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝12×3×4×sin 5π6＝12×3×4×12＝3.答案：B2．已知A ，B 的极坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13π12，则A 和B 之间的距离等于( )A.18＋62 B.18－62 C.36＋322D.36－322解析：A ，B 两点在极坐标系中的位置，如图．则由图可知∠AOB ＝13π12－π4＝5π6.在△AOB 中，|AO |＝|BO |＝3， 所以由余弦定理得|AB |2＝|OB |2＋|OA |2－2|OB |·|OA |·cos 5π6＝9＋9－2×9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝18＋93＝92(1＋3)2.所以|AB |＝36＋322.答案：C3．已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ＞0,0≤θ＜2π时，则点P 的极坐标为________．解析：设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧6＝2x ，－3＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.∵点P 的直角坐标为(3，－3)， ∴ρ＝ 32＋－32＝23，tan θ＝－33.∵0≤θ＜2π，点P 在第四象限， ∴θ＝11π6，∴点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π64．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O为极点)的面积为________．解析：如图所示，|OA |＝3，|OB |＝4，∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝12×3×4×12＝3.答案：35．在极坐标系中，已知三点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6.判断M ，N ，P 三点是否共线？说明理由．解析：将极坐标M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫23，π6分别化为直角坐标，得M (1，－3)，N (2,0)，P (3，3)．方法一 因为k MN ＝k PN ＝3，所以M ，N ，P 三点共线．方法二 因为MN →＝NP →＝(1，3)．所以MN →∥NP →，所以M ，N ，P 三点共线．6．已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π6，极点O ′在直角坐标系xOy 中的直角坐标为(2,3)，极轴平行于x 轴，极轴的方向与x 轴的正方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点M 的直角坐标．解析：以极点O ′为坐标原点，极轴方向为x ′轴正方向，建立新直角坐标系x ′O ′y ′，设点M 的新直角坐标为(x ′，y ′)，于是x ′＝4cos π6＝23，y ′＝4sin π6＝2，由O ′(x ′，y ′)＝O ′(0,0)，O ′(x ，y )＝O ′(2,3)，易得O ′(x ′，y ′)与O ′(x ，y )的关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2，y ＝y ′＋3，于是点M (x ，y )为⎩⎨⎧x ＝23＋2，y ＝2＋3＝5，所以点M 的直角坐标为(23＋2,5)．。
二第二课时极坐标和直角坐标的互化[课时作业][A组基础巩固]3π1．将极坐标(2，2 )化为直角坐标为()A．(0,2)B．(0，－2)C．(2,0) D．(－2,0)3π3π解析：由题意可知，x＝2cos ＝0，y＝2sin ＝－2.2 2答案：B2．把点的直角坐标(3，－4)化为极坐标(ρ，θ)(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)，则()A．ρ＝3，θ＝4 B．ρ＝5，θ＝44 4C．ρ＝5，tan θ＝D．ρ＝5，tan θ＝－3 3解析：由公式得ρ＝x2＋y2＝32＋－42＝5，y 4tan θ＝＝－，θ∈[0,2π)．x 3答案：Dππ(2，6)与B(2，－6)之间的距离为()3．在极坐标系中，点AA．1 B．2C．3 D．4ππ(2，6)与B(2，－6)的直角坐标分别为( 3，1)与( 3，－1)，解析：方法一点A于是|AB|＝3－32＋1＋12＝2.ππ 方法二(2，6)与B(2，－6)知，由点Aπ|OA|＝|OB|＝2，∠AOB＝，3于是△AOB为等边三角形，所以|AB|＝2.答案：Bπ(4，2)，则线段AB的中点的极坐标为()4．若A，B两点的极坐标为A(4,0)，BππA.(2 2，4)B.(2，4)ππC.(4，4)D.(2，4)解析：由题易知点A，B的直角坐标分别为(4,0)，(0,4)，则线段AB的中点的直角坐标为1(2,2)．由 ρ2＝x 2＋y 2，得 ρ＝2 2.2 π因为 tan θ＝ ＝1，且点(2,2)在第一象限，所以 θ＝ .故线段 AB 的中点的极坐标为 2 4 π(2 2， 4).答案：A2 π2 2π5．在极坐标系中，点 A(6)，B (3 )，则线段 AB 中点的极坐标为()， ， 221 5π 5π A.(12) B.(1， 12)， 22 5π C.(12)D.( ， 22 π 3)， 22 π2 2ππ解析：由点 A(6)，B (3 )知，∠AOB ＝ ，于是△AOB 为等腰直角三角形， ， ， 22 22所以|AB |＝ × 2＝1，2 设线段 AB 的中点为 C ，1 5π则|OC |＝ ，极径 OC 与极轴所成的角为 ， 2 121 5π所以线段 AB 中点 C 的极坐标为(. ， 12)2答案：A6．极坐标系中，直角坐标为(1，－ 3)的点的极角为________． 解析：直角坐标为(1，－ 3)的点在第四象限， πtan θ＝－ 3，所以 θ＝2k π－ (k ∈Z)．3 π 答案：2k π－ (k ∈Z)37π7．极坐标系中，点(6， 3 )的直角坐标为________． 7π 解析：∵x ＝ρcos θ＝6cos ＝3，37πy＝ρsin θ＝6sin ＝3 3，37π∴点的极坐标(6，3 )化为直角坐标为(3,3 3)．答案：(3,3 3)7π(3，2 )经过伸缩变换Error!后的点为Q，则极坐标系中，8．平面直角坐标系中，若点P2极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．7π7π解析：因为点P(3，2 )经过伸缩变换Error!后的点为Q(6，6 )，则极坐标系中，极坐标7π 与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6|sin |＝3.6答案：3π2π 3 π9．已知点的极坐标分别为A(3，－4)，B(2，－3 )，C(，－π)，D(4，－2)，求它们2的直角坐标．3 2 3 2 3解析：根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得A ( 2 )，B(－1，－3)，C(－，0)，，－2 2D(0，－4)．10．分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．(1)(－1,1)；(2)(4，－4 3)；3π3π(3)( 2 )；(4)(－6，－2)．，2解析：(1)∵ρ＝－12＋12＝2，tan θ＝－1，θ∈[0,2π)，3π 由于点(－1,1)在第二象限，所以θ＝，43π∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为(2，4 ).(2)∵ρ＝42＋－4 32＝8，－4 3tan θ＝＝－3，θ∈[0,2π)，4由于点(4，－4 3)在第四象限．5π所以θ＝，35π∴直角坐标(4，－4 3)化为极坐标为(8，3 ).3π3π 3 2π(3)∵ρ＝(2 )2＋(＝，2 )223π2tan θ＝＝1，θ∈[0,2π)，3π2 3π 3π由于点(， 2 )在第一象限，23π所以θ＝，43π3π 3 2ππ∴直角坐标( 2 )化为极坐标为(4).，，2 2(4)∵ρ＝－62＋－22＝2 2，－ 2 3tan θ＝＝，θ∈[0,2π)，－6 3由于点(－6，－2)在第三象限，7π所以θ＝，67π∴直角坐标(－6，－2)化为极坐标为(2 2，6 ).[B组能力提升]π7π1．在极坐标系中，若A(3，3)，B(4，6 )，求△ABO的面积(O为极点)为()A．2 B．3C．4 D．67ππ5π解析：由题意可知，在△ABO中，OA＝3，OB＝4，∠AOB＝－＝，6 3 61 1 5π 1 1 所以△ABO的面积为S＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝×3×4×sin＝×3×4×＝3.2 2 6 2 2 答案：Bπ13π2．已知A，B的极坐标分别是(3，4)和(3，12 )，则A和B之间的距离等于()18＋6A. B.2 18－6 23 6＋3 2 3 6－3 2C. D.2 2解析：A，B两点在极坐标系中的位置，如图．13ππ5π则由图可知∠AOB＝－＝.12 4 6在△AOB中，|AO|＝|BO|＝3，所以由余弦定理得45π|AB |2＝|OB |2＋|OA |2－2|OB |·|OA |·cos＝9＋9－2×9× 6(－32)9＝18＋9 3＝ (1＋ 3)2.2 3 6＋3 2所以|AB |＝ .2 答案：C3．已知点 P 的直角坐标按伸缩变换Error!变换为点 P ′(6，－3)，限定 ρ＞0,0≤θ＜2π 时，则点 P 的极坐标为________．解析：设点 P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得Error! 解得Error!∵点 P 的直角坐标为(3，－ 3)， － 3 ∴ρ＝32＋－ 32＝2 3，tan θ＝. 3∵0≤θ＜2π，点 P 在第四象限， 11π ∴θ＝ ， 611π∴点 P 的极坐标为(2 3， 6 ).11π答案：(2 3， 6 )ππ4．在极坐标系中，已知两点 A ，B 的极坐标分别为(3， 3)，(4， 6)，则△AOB (其中 O 为极点)的面积为________．π π π 1 解析：如图所示，|OA |＝3，|OB |＝4，∠AOB ＝ － ＝ ，所以 S △AOB ＝ |OA |·|OB |·sin3 6 6 2 1 1∠AOB ＝ ×3×4× ＝3. 2 2答案：3ππ5．在极坐标系中，已知三点 M (2，－ 3)，N (2,0)，P (2 3， 6).判断 M ，N ，P 三点是否共线？说明理由．ππ解析：将极坐标 M(2，－ 3)，N (2,0)，P (2 3， 6)分别化为直角坐标，得 M (1，－ 3)，N (2,0)，P (3， 3)．5方法一因为k MN＝k PN＝3，所以M，N，P三点共线．→→→→方法二因为MN＝NP＝(1，3)．所以MN∥NP，所以M，N，P三点共线．π(4，6)，极点O′在直角坐标系xOy中的直角坐标为(2,3)，极轴6．已知点M的极坐标为平行于x轴，极轴的方向与x轴的正方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点M的直角坐标．解析：以极点O′为坐标原点，极轴方向为x′轴正方向，建立新π直角坐标系x′O′y′设，点M的新直角坐标为(x′y，′)于，是x′＝4cos6π＝2 3，y′＝4sin ＝2，6由O′(x′，y′)＝O′(0,0)，O′(x，y)＝O′(2,3)，易得O′(x′，y′)与O′(x，y)的关系为Error!于是点M(x，y)为Error!所以点M的直角坐标为(2 3＋2,5)．6。
