数列的应用2

6.已知{an}是等比数列, a1=2, a3=18, {bn}是等差数列, b1=2, b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20. (1)求数列 {bn} 的通项公式; (2)求数 列 {bn} 的前 n 项和公式; (3)设 Pn=b1+b4+b7 +„+b3n-2, Qn=b10+ b12+b14 +„+b2n+8, 其中, n=1, 2, „, 试比较 Pn 与 Qn 的大小, 并 证明你的结论. 解: (3)∵b1, b4, b7, „, b3n- 2 组成以 3d 为公差的等差数列, n(n- 1) 9 5 ∴Pn=2n+ 2 3d= 2 n2- 2 n; 又 b10, b12, b14, „, b2n+8 组成以 2d 为公差的等差数列, n(n- 1) ∴Qn=nb10+ 2 2d=3n2+26n. 9 5 ∵Pn- Qn=( 2 n2- 2 n)- (3n2+26n) = 3 2 n(n- 19),
4.如图, △ABC 的三个顶点坐标分别为 (0, 0), (1, 0), (0, 2), 设 P1 为线段 BC 的中点, P2 为线段 CO 的中点, P3为线段 OP1 的中点, 对于每一个正整数 n, Pn+3 为线段 PnPn+1 的中点 , 令 Pn y yn 的坐标为 (xn, yn), an= 2 +yn+1+yn+2. C yn (1)求 a1, a2, a3 及 an; (2)证明: yn+4=1- 4 , nN*; P P P P P * (3)若记 bn=y4n+4- y4n, nN , 证明: {bn} 是等比数列. P O B 1 3 (1)解: 显然 y1=y2=y4=1, y3= 2 , y5= 4 . yn ∵an= 2 +yn+1+yn+2, ∴可求得 a1=a2=a3=2. 又 yn+3= 1 2 (yn+yn+1), 1 y + y + 1 ( y +y ) = ∴an+1= 1 y + y + y 2 n+1 n+2 n+3 2 n+1 n+2 2 n n+1 =1 2 yn+yn+1+yn+2 =an.
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O
B
x
(2)证:将等式 1 yn+yn+1+yn+2 =2 两边同除以 2, 得: 2 1 y + 1 (y +y ) =1. 又 y = 1 (y +y ), n+4 2 n+1 n+2 4 n 2 n+1 n+2 yn ∴yn+4=1- 4 . y4n+4 y4n 1 (3)证:∵ bn+1=y4n+8- y4n+4=(1- 4 )- (1- 4 )=- 4 (y4n+4- y4n) 1 1 =- 4 bn, 又∵ b1=y8-y4=- 4 0, 1 ∴{bn} 是首项与公比均为 - 4 的等比数列.
(1)解: 依题意 a15=4+(5-1)(7-4)=16, a25=7+(5-1)(12-7)=27, ∴a45=16+(4-1)(27-16)=49.
(2)解: 依题意 a1j=4+(j-1)(7-4)=3j+1, a2j=7+(j-1)(12-7)=5j+2, ∴aij=3j+1+(i-1)[(5j+2)-(3j+1)]=2ij+i+j.
典型例题
1.已知数列 {an} 中, a1=5 且 an=3an- 1+3n-1(n=2, 3, „) . (1)试 a + n 求 a2, a3 的值; (2)若存在实数 使得{ n }为等差数列, 试求 3 的值. 解: (1)由已知 a2=3a1+32-1=15+8=23; a3=3a2+33-1=69+26=95. ∴a2, a3 的值分别为 23 和 95. an+ (2)令 bn= 3n , 2b2=b1+b3, 即 2 23+ = 5+ + 95+ . 9 3 27 1 an- 2 1 ∴6(23+)=9(5+)+95+. 解得 =- 2 . 此时 bn= . 3n 1 1 3 1 an- 2 an- 1- 2 3an- 1+3n-1- 2 - 3an- 1+ 2 ∵bn- bn- 1= 3n - 3n- 1 = =1, 3n 1 an- 2 3 ∴{bn} 即 { n } 是以 2 为首项, 1 为公差的等差数列. 3 ∴ 的值为 - 1 2.
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xபைடு நூலகம்
∴{an} 为常数列, ∴an=a1=2, nN*. 故 a1, a2, a3 及 an 的值均为 2.
4.如图, △ABC 的三个顶点坐标分别为 (0, 0), (1, 0), (0, 2), 设 P1 为线段 BC 的中点, P2 为线段 CO 的中点, P3为线段 OP1 的中点, 对于每一个正整数 n, Pn+3 为线段 PnPn+1 的中点 , 令 Pn y yn 的坐标为 (xn, yn), an= 2 +yn+1+yn+2. C yn (1)求 a1, a2, a3 及 an; (2)证明: yn+4=1- 4 , nN*; P P P P P * (3)若记 bn=y4n+4- y4n, nN , 证明: {bn} 是等比数列. P
3.数列 {an} 中, a1=8, a4=2, 且满足 an+2- 2an+1+an=0 (nN*). 1 *), S =b + (1)求数列 {an} 的通项公式; (2)设 bn= n(12 ( n N n 1 - an) b2+„+bn, 是否存在最大的整数 m, 使得对任意的 n 均有 Sn> m 32 总成立? 若存在, 求出 m, 若不存在; 请说明理由. 解: (1)∵an+2-2an+1+an=0(nN*), ∴an+2+an=2an+1 (n N*). ∴数列 {an} 是等差数列. 设其公差为d, 则由已知得: 8+3d=2. ∴d=-2. ∴an=- 2n+10. 1 1 1 1 (2)由(1)及已知得 bn= 2n(n+1) = 2 ( n - n+1 ). 1 1 1 1 1 1 ∴Sn=b1+b1+„+bn = 2[(1- 2 )+( 2 - 3 )+„+( n - n+1 )] n 1 1 = 2 (1- n+1 ) = 2(n+1) . n m 依题意 32小于 2(n+1) 的最小值即可. n 1 ∴m < 1. 而 2(n+1) 当 n=1 时有最小值 4 , 32 4 ∴m<8. ∴存在满足条件的最大整数 m, 其值为 7.
∴对于正整数 n, 当 n≤18 时, Pn<Qn; 当 n=19 时, Pn=Qn;
当 n≥20 时, Pn>Qn.
7.设二次函数 f(x)=x2+x, 当 x[n, n+1](nN*) 时, f(x) 的所有 3+3n2 2 n 整数值的个数为 g(n). (1)求 g(n) 的表达式; (2)设 an= g(n) (n ) , T =b N*), Sn=a1- a2+a3-a4+„+(-1)n- 1an, 求 Sn; (3)设 bn= g(n n 1 2n +b2+„+bn, 若 Tn<l( lZ), 求 l 的最小值. 解: (1)当 x [n, n+1](nN*) 时, f(x)=x2+x 为增函数, ∴f(x) 的值域为 [n2+n, n2+3n+2].
(3)证: 必要性: 若 N 在等差数阵中, 则存在正整数 i, j 使得: N=2ij+i+j.
则有 2N+1=4ij+2i+2j+1 =(2i+1)(2j+1). 即 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积;
充分性: 若 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积, ∵ 2N+1 是奇数, ∴它必为两个不是 1 的奇数之积.
5.下表给出一个等差数阵: 其中每行每列都是等差数列, aij 表示位于第 i 行, 第 j 列的 4 7 ( ) ( ) ( ) „ a1j „ 数. 7 12 ( ) ( ) ( ) „ a2j „ (1)写出 a45 的值; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) „ a3j „ (2)写出 aij 的计算公式; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) „ a4j „ (3)证明正整数 N 在该 „ „ „ „ „ „ „ „ 等差数阵中的充要条件是 2N+1 可以分解成两个不 ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 „ aij „ „ „ „ „ „ „ „ „ 是 1 的正整数之积;
n+1
解: (3)由 (2) 知 bn+1=2n+2, bn 2n n ∴f(n)= (n+25)b = (n+25)(2n+2) = n2+26n+25 n+1 1 1 1 = ≤ = . 25 2 5+26 36 n+ n +26 25 仅当 n= n 即 n=5 时上式取等号. 1 . 故当 n=5 时, f(n) 取最小值 36