人教A版高中数学必修五第二章2.1数列的概念与简单表示法练习【学生版】

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第1课时数列的概念与简单表示[课时作业］[A组基础巩固]1．数列1,0，1,0，1，0,1，0…的一个通项公式是（)A．a n＝1－－1n＋12B．a n＝错误!C．a n＝错误!D．a n＝错误!解析：n＝1时验证知B正确．答案：B2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ）A．1，错误!,错误!，错误!，…B．－1，－2,－3，－4，…C．－1,－错误!,－错误!，－错误!,…D。

错误!,错误!,错误!，…，错误!解析:对于A，它是无穷递减数列；对于B，它也是无穷递减数列；D是有穷数列；对于C，既是递增数列又是无穷数列，故C符合题意．答案：C3．数列错误!,错误!,错误!,错误!，…的一个通项公式是( )A．a n＝错误!B．a n＝错误!C．a n＝错误!D．a n＝错误!解析:观察前4项的特点易知a n＝错误!。

答案:C4．已知a n＝n（n＋1）,以下四个数中，是数列｛a n}中的一项的是（）A．18 B．21C．25 D．30解析：依次令n(n＋1)＝18,21，25和30检验，有正整数解的为数列{a n｝中的一项，知选D。

§2.1 数列的概念与简单表示法(二)一、基础过关1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1B.12C.34D.582．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于 ( ) A.259B.2516C.6116D.3115 3．若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第7项是( )A.116B.117C.119D.1254．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 6的值是( )A ．9B ．17C ．33D ．655．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，n ∈N *，则使a n >100的n 的最小值是________．6．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，n ∈N *，则通项公式a n ＝________.7．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．8．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是递减数列． 二、能力提升9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n－1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 012的值为( )A.67B.57C.37D.1710．已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C．a10，a9D．a10，a3011．已知数列{a n}满足：a n≤a n＋1，a n＝n2＋λn，n∈N*，则实数λ的最小值是________．12．已知数列{a n}满足a1＝12，a n a n－1＝a n－1－a n，求数列{a n}的通项公式．三、探究与拓展13．设{a n}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋a n＋1a n＝0(n＝1,2,3，…)，求{a n}的通项公式．答案1．B 2.C 3.C 4.C 5.12 6．－1n7．解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1. 8．(1)解 因为f (x )＝2x －2－x ，f (log 2a n )＝－2n ， 所以2log 2 a n －2－log 2a n ＝－2n ，a n －1a n＝－2n ，所以a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1.因为a n >0，所以a n ＝n 2＋1－n .(2)证明 a n ＋1a n＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1.又因为a n >0，所以a n ＋1<a n ， 所以数列{a n }是递减数列． 9．B 10.C 11.－312．解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ， ∴1a n －1a n －1＝1. ∴1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝2＋ 1111个n +++＝n ＋1. ∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 13．解 ∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0，∴[(n ＋1)a n ＋1－na n ]·(a n ＋1＋a n )＝0， ∵a n >0，∴a n ＋a n ＋1>0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0. (n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴na n ＝(n －1)a n －1＝…＝1×a 1＝1， ∴na n ＝1，a n ＝1n .。

第2课时 数列的性质和递推公式1.已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列D.不能确定解析a n ＋1－a n ＝3>0，故数列{a n }为递增数列. 答案A2.数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，则a 6＝ A.3B.5C.8D.13解析 由条件知a 3＝2，a 4＝3，a 5＝5，a 6＝8. 答案C3.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }的通项公式是 A.a n ＝2n B.a n ＝12nC.a n ＝12n －1D.a n ＝1n2解析a 1＝1，a 2＝12，a 3＝14，a 4＝18，观察得a n ＝12n －1.答案C4.若数列{a n }满足a n ＋1＝2a n －1，且a 8＝16，则a 6＝________. 解析 由a n ＋1＝2a n －1，得a n ＝12(a n ＋1＋1)，∴a 7＝12(a 8＋1)＝172，a 6＝12(a 7＋1)＝194.答案1945.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，则a 2 018＝________.解析a 1＝2，由a n ＋1＝1＋a n1－a n，得a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，∴数列{a n }的周期为4， ∴a 2 018＝a 4×504＋2＝a 2＝－3. 答案 －3[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是A.1B.12C.34D.58解析 由a 1＝1，∴a 2＝12a 1＋12＝1，依此类推a 4＝12.答案B2.在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值X 围是 A.RB.(0，＋∞)C.(－∞，0)D.(－∞，0]解析 ∵{a n }是递减数列， ∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k ＜0. 答案C3.数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是 A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项解析a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎪⎫n －1432－1963，故当n ＝5时，a n 的最小值为a 5＝－65. 答案B4.数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于 A.259B.2516C.6116D.3115解析 由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，(n ≥2)得a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，(n ≥3)，∴a n ＝n 2（n －1）2，(n ≥3)，∴a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.答案C5.已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于 A.－165B.－33C.－30D.－21解析 由已知得a 2＝a 1＋a 1＝2a 1＝－6，∴a 1＝－3.∴a 10＝2a 5＝2(a 2＋a 3)＝2a 2＋2(a 1＋a 2)＝4a 2＋2a 1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30. 答案C6.(能力提升)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝A.2＋lg nB.2＋(n －1)lg nC.2＋n lg nD.1＋n ＋lg n解析 由a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ⇒a n ＋1－a n ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，那么a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋lg 2＋lg 32＋lg 43＋…＋lg n n －1＝2＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32×43×…×n n －1＝2＋lg n .答案A二、填空题(每小题5分，共15分)7.若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第7项的值为________.解析由数列{a n }的首项和递推公式可以求出a 2＝14，a 3＝17，…，观察得到通项公式a n ＝13n －2，所以a 7＝119.答案1198.已知函数f (x )的部分对应值如表所示.数列{a n }满足a 1＝1，且对任意n ∈N *，点(a n ，a n ＋1)都在函数f (x )的图象上，则a 2 017的值为________.解析 由题知，a n ＋1＝f (a n )，a 1＝1.∴a 2＝f (1)＝3，a 3＝f (a 2)＝f (3)＝2，a 4＝f (a 3)＝f (2)＝1，…，依次类推，可得{a n }是周期为3的周期数列，∴a 2 017＝a 672×3＋1＝a 1＝1.答案 19.(能力提升)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0，则a n ＝________.解析 (n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0， ∵a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝n n ＋1. 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12·1＝1n. 答案1n三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)给出. (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式b n ＝a na n ＋1构造一个新的数列{b n }，写出数列{b n }的前4项. 解析 (1)因为a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)， 且a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝3＋2＝5，a 5＝a 4＋a 3＝5＋3＝8. 故数列{a n }的前5项依次为a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8.(2)因为b n ＝a na n ＋1， 且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8，所以b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58.11.(12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n . (1)写出数列{a n }的前5项； (2)猜想数列{a n }的通项公式； (3)画出数列{a n }的图象.解析 (1)a 1＝1，a 2＝11＋1×1＝12，a 3＝21＋2×12＝13，a 4＝31＋3×13＝14，a 5＝41＋4×14＝15.(2)猜想：a n ＝1n.(3)图象如图所示：12.(12分)已知函数f (x )＝1－2x x ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N *). (1)求证：a n ＞－2；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？解析 (1)证明 因为f (x )＝1－2x x ＋1＝3－2（x ＋1）x ＋1＝－2＋3x ＋1，所以a n ＝－2＋3n ＋1.因为n ∈N *，所以a n ＞－2. (2)数列{a n }为递减数列.因为a n ＝－2＋3n ＋1， 所以a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2＋3n ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3n ＋1＝3n ＋2－3n ＋1＝－3（n ＋2）（n ＋1）＜0， 即a n ＋1＜a n ，所以数列{a n }为递减数列.。

第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法A 级 基础巩固一、选择题1．数列1，3，7，15，31，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n －1D ．a n ＝2n －1解析：代入检验，选C ，另法：将数列的每一项都加1，得到的数列是2，4，8，16，32，…，通项为2n .故原数列的通项为2n －1.答案：C2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个分裂为2个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成( )A ．511个B ．512个C ．1 023个D ．1 024个解析：3小时含9个20分钟，分裂9次后细菌个数为29＝512. 答案：B3．已知数列{a n }的前n 项的S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a n ＜8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：a 1＝－8，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－9n －(n －1)2＋9(n －1)＝2n －10.由5＜a k ＜8，得152＜k ＜9.所以k ＝8.答案：B4．数列{a n }的通项公式为a n ＝25－2n ，在下列各数中，不是{a n }的项的是( )A ．1B ．－1C ．3D ．2解析：25－2n 不可能是偶数，选D.答案：D5．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是( )A.（－1）n ＋12B ．cos n π2C ．cos （n ＋1）π2D ．cos （n ＋2）π2解析：分别取n ＝1，2，3，4代入验证可得．答案：D二、填空题6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝a n ＋1＋1a n，则a 5＝________．解析：a 3＝a 2＋1a 1＝4，a 4＝a 3＋1a 2＝133. a 5＝a 4＋1a 3＝5512. 答案：55127．数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，则37是这个数列的第________项．解析：由2n ＋1＝37⇒n ＝18.答案：188．已知数列：1－12，12－13，13－14，14－15，求其通项公式为__________________．答案：a n ＝1n －1n ＋1三、解答题9．已知数列的通项公式为a n ＝4n 2＋3n，试问110和1627是不是它的项？如果是，是第几项？解：令4n 2＋3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0， 解得n ＝5或n ＝－8，注意到n ∈N *，故n ＝－8舍去，所以110是数列的第5项． 令4n 2＋3n＝1627，则4n 2＋12n －27＝0， 解得n ＝32或n ＝－92， 因为n ∈N *，所以1627不是此数列中的项． 10．(1)设数列{a n }满足⎩⎨⎧a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1 （n ＞1），写出这个数列的前5项；(2)求数列{－2n 2＋9n ＋3}(n ∈N *)的最大项．解：(1)由题意可知：a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝1＋11＝2， a 3＝1＋1a 2＝1＋12＝23， a 4＝1＋1a 3＝1＋23＝53， a 5＝1＋1a 4＝1＋35＝85. (2)令a n ＝－2n 2＋9n ＋3， 所以a n 与n 构成二次函数关系，因为a n ＝－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －942＋1058，且n 为正整数， 所以当n 取2时，a n 取得最大值13， 所以数列{－2n 2＋9n ＋3}的最大项为13.B 级 能力提升1．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33 a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 010＝( )A ．－ 3B ．0 C. 3 D ．3 解析：a 1＝0，a 2＝－31＝－ 3.a 3＝－23－3＋1＝3， a 4＝3－33＋1＝0，a 5＝－31＝－3，…， 由此可知，a n ＋3＝a n .又2 010＝3×670， 所以a 2 010＝a 3＝ 3.答案：C2．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝1＋a n 3－a n.写出若干项，并归纳出通项公式a n ＝______________．解析：a 2＝1＋a 13－a 1＝13，a 3＝1＋133－13＝24，a 4＝1＋243－24＝35，a 5＝46，猜想：a n ＝n －1n ＋1.答案：n －1n ＋13．已知数列{a n }，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，写出数列的前5项，猜想a n ，并加以证明．解：由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得 a 2＝2a 1＝2×2＝4＝22， a 3＝2a 2＝2×4＝8＝23， a 4＝2a 3＝2×8＝16＝24， a 5＝2a 4＝2×16＝32＝25， …猜想a n ＝2n (n ∈N *)． 证明如下：法一(累乘法)：由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n a n －1＝a n －1a n －2＝…＝a 3a 2＝a 2a 1＝2. 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝ 2×2×…×2×2,\s \do 4(n 个))＝2n (n ∈N *)． 法二(迭代法)：由a n ＋1＝2a n 得a n ＝2a n －1，a n －1＝2a n －2，…， a 3＝2a 2，a 2＝2a 1，所以a n ＝2a n －1＝2(2a n －2)＝22·a n －2＝ 22(2a n －3)＝23·a a －3＝…＝ 2n －1·a 1＝2n (n ∈N *)．。

第二章数列§2.1 数列的概念与简单表示法（一）课时目标1．理解数列及其有关概念；2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3．对于比较简单的数列，会根据其前n 项写出它的通项公式．1 •按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项•数列 ___ 中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1项（通常也叫做首项）,排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第 n 项.2•数列的一般形式可以写成 a i , a 2,…，a n ,…，简记为｛a n ｝. 3•项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.4•如果数列｛a n ｝的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子 叫做这个数列的通项公式.一、选择题1.数列2,3,4,5，…的一个通项公式为（）A. a n = nB C. a n = n + 2 D答案 B2•已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =- 2，则该数列的前 4项依次为（ ------------------------------- ）A. 1,0,1,0 B • 0,1,0,1 1 1C.2，0, 2，0 D• 2,0,2,0答案 A.a n = n + 1 .a n = 2n1+ — 13•若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是 ( )A a n =尹 + ( - 1) 1]1B. a n =尹—cos( n • 180° )] 2C. a n = sin ( n • 90°)1 n — 1D a n = (n — 1)( n -2) + 空[1 + ( — 1)] 答案 D解析 令n = 1,2,3,4 代入验证即可.4.已知数列｛勿｝的通项公式为a n = n 2— n -50,则一8是该数列的()A.第5项 B .第6项 C.第7项 D .非任何一项答案 C解析 n 2— n — 50 = — 8, 得n = 7或n = — 6（舍去）5. 数列 1,3,6,10 , ■ …的一个通项公式是(A. 2 “a n = n — n + 1 n n — 1B . a n =2C. n n +1 a n —22D. a n = n + 1答案 C解析 令门=1,2,3,4，代入A 、B C D 检验即可.排除 A 、B 、D,从而选C.1 1 1 1 *6•设 a n =卄 1 + 卄 2 + n + 3 + …+ 2^( n N)，那么 an +1— an等于( )1A.2 n + 11 1 1 1an= n +7+n +2+卫+…+ 2n1 1 1 1 1 + +■■■+ --- + +n +2 n + 3 2n 2n + 12 n + 2'11 1 1 1…a n + 1 — a n = + — = — . 2n + 1 2n + 2 n + 1 2n + 1 2n + 2 二、填空题3n +1 n 为正奇数7.已知数列｛a n ｝的通项公式为 a n =.则它的前 4项依次为4n — 1 n 为正偶数答案 4,7,10,15&已知数列｛a n ｝的通项公式为a n= ——(n € N)，那么-2-是这个数列的第 n n + 2 120项.答案 101 1解析• n n + 2 = 120，1 1C ----- + -----2n + 1 +2n + 2D.1_ _l_ 2n + 1 —2n + 2B.1_ 2n + 2答案 解析 a n +1=••• n(n+ 2) = 10X 12,「. n= 10. 9. 用火柴棒按下图的方法搭三角形:17,按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是答案a n= 2n+ 1解析a i = 3, a2 = 3+ 2= 5, a3= 3+ 2+ 2 = 7, a4= 3 + 2+ 2 + 2 = 9,…，二a n= 2n+ 1.10. 传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年一公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数. 比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是答案55解析三角形数依次为：1,3,6,10,15 ，…，第10个三角形数为：1 + 2+ 3+ 4+-+ 10 =55.三、解答题11. 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)—1,7 , - 13,19，…(2)0.8,0.88,0.888 ，…11 5 13 29 61(3)2，4，—8，16，—32，64，…17,(5)0,1,0,1 ，…解(1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n +1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面 的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6,故通项公式为 8 8 (2) 数列变形为 9(1 - 0.1) , 9(1 - 0.01), 8 89(1 - 0.001)，…，二 a n= 9 n * a n = (— 1) (6 n -5)( n € N). (3) 各项的分母分别为 21,22,23,24, 2- 3 1项变为一~2—，因此原数列可化为一 1 * 1-帀(n € N). …易看出第2,3,4 21 - 3 22- 3项的分子分别比分母少 3.因此把第 23- 3 丁，丁，-〒 24 - 3 丁，.… n 2n- 3 *•• a n = ( — 1) • -2^~(n € N). 、 3 5 7 9(4)将数列统一为 亍，二，=,—子的通项公式为 b n = 2n +1,对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{ n 2}, 可得分母的通项公式为 6= n 2+ 1, 2 5 10 17' …对于分子3,5,7,9，… 是序号的2倍加1，可得分 •••可得它的一个通项公式为 2n +1 *an=T +r(n € N). n1 + — 1 *或 a n = 2 ( n €N) 0 n 为奇数 (5) a n =1 n 为偶数亠 1 + cos n n * 或 a n = 2 ( n € N). 2 9n — 9n + 2 12.已知数列 9n 2— 1 ； 求这个数列的第10项；98而是不是该数列中的项，为什么？ 求证：数列中的各项都在区间 (0,1)内；、1 2⑷在区间3，§内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由..9n — 9n + 2(1)解设 f (n )= -9n — 1 3n — 1 3n — 2 3n — 2=3n -13n +1 = 3n + 1.28令 n = 10,得第 10 项 a 10= f (10) = 3^.&入 3n — 2 98 /口⑵解令，得9n = 300.3n +1 10198此方程无正整数解，所以 而不是该数列中的项.3n - 2 3n +1 - 3⑶证明V an =时=*3又 n € N ,• 0< ---- <1,3n +1 .•.数列中的各项都在区间3n+ 1 = 1 —dh ，…0<a n <1.(0,1)内. 1 3n - 2 2 3n + 1<9n — 6 (4)解令7<a n = Q 丄彳<2，贝V,33n +1 39n - 6<6 n + 2n>68又••• n € N ,「.当且仅当n = 2时，上式成立，故区间 4项为a 2=7.能 力 提 升1, 2上有数列中的项，且只有13.数列 a , b , a , b , a + ba n = ~~2~ +（ —1）a +b a — b a = ~T+ ~T , 步+（—才-2a ， 答案解析故a n = …的一个通项公式是+i a _ b 2 a + b a — b b =— -,2 2a —b 2 .14•根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点.解图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有 1 个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分. . 2支有(n—1)个点，故第n个图中点的个数为 1 + n(n—1) = n—n+ 1.1 •与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1) 确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的.(2) 可重复性：数列中的数可以重复.(3) 有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关.2 •并非所有的数列都能写出它的通项公式•例如，n 的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141 ，…，它没有通项公式.3•如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式•例如：数列—1,1 ,—1,1 , —1,1，…的通项公式可写成a n= ( —1)n，也可以写成a n= ( —1)n"，还可以写成—1 n = 2k — 1 , *13n= 其中k € N .n= 2k , 1。

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课后巩固作业（六）(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.已知数列{a n }的通项公式是a n =n 1n 1-+，那么这个数列是（ ） （A ）递增数列 （B ）递减数列（C ）常数列 （D ）摆动数列2.已知数列{a n }中，a n =2n+5，则a 3=（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）11 （D ）103．数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（ ）（A ）a n =2n-1 （B ）a n =（-1）n （2n-1）（C ）a n =（-1）n+1（2n-1） （D ）a n =（-1）n （2n+1）4.…，则 ）（A ）第6项 （B ）第7项（C ）第8项 （D ）第9项二、填空题(每小题4分，共8分)5.数列1524354863,25101726，，，，…的一个通项公式为______. 6.若三个连续整数的和是48，则紧随它们后面的三个连续整数之和是______.三、解答题(每小题8分，共16分)7.已知数列{a n }中，a n =5n-3.(1)求a 5；(2)判断27是否为数列{a n }的一项.8.已知数列{a n }的通项a n =(n+1)(1011) n (*n N ∈)，试问该数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.【挑战能力】（10分）已知数列{a n }中，a n =n n 1+，判断数列{a n }的增减性.答案解析1.【解析】选A.n 1n 1221.n 1n 1n 1-+-==-+++（） 2.【解析】选C.a 3=2×3+5=11.3．【解析】选C.用观察法先不考虑符号，数列1，3，5，7，9…的通项为2n-1，然后再考虑符号，则通项公式a n =（-1）n+1（2n-1）.4.【解题提示】先通过观察法得数列的通项公式，然后代入解n.【解析】选B.数列的通项公式为an ，解得n=7.5.【解析】此数列各项都是分式,且分母都减去1为1,4,9,16,25…故分母可用n 2+1表示，若分子各项都加1为：16，25，36，49，64,…故分子可用（n+3）2 -1表示,故其通项公式可为a n =22n 31.n 1+-+（） 答案：a n =22n 31n 1+-+（） 【误区警示】本题易出现填22n 31n 1+-+（）的错误,应注意通项公式是一个等式a n =f （n ）,而不是一个代数式.6.【解析】设三个数为a ，a+1，a+2，则a+（a+1）+（a+2）=48，解得a=15，则紧随它们后面的三个连续整数分别为18，19，20.故这三个连续整数之和是18+19+20=57.答案：577.【解题提示】（1）令n=5，代入a n 即可得a 5(2)令a n =27，解方程，看n 是否是正整数.【解析】(1)a 5=5×5-3=22.（2）令5n-3=27,解得n=6,即27是数列{a n }的第6项.8.【解题提示】先由a n =(n+1)·(1011)n 判断此数列的增减性，然后再确定其有无最大项.【解析】∵a n+1-a n =(n+2)(1011)n+1-(n+1)(1011)n =(1011)n ·9n 11-, ∴当n<9时，a n+1-a n >0,即a n+1>a n ；当n=9时，a n+1-a n =0，即a n+1=a n ；当n>9时，a n+1-a n <0,即a n+1<a n ；故a 1<a 2<a 3<…<a 9=a 10>a 11>a 12…，∴数列{a n }有最大项a 9或a 10，其值为10×(1011)9，其项数为9或10. 【方法技巧】巧用数列通项公式研究数列问题（1）由通项公式研究数列问题是常用办法，此时要注意数列是一类特殊的函数，要重视函数思想方法的运用和函数性质的应用；（2）数列的单调性的判定很大程度上等同于函数单调性的判定，但特殊函数——数列也有自身的特征，数列单调性不同于函数单调性那样任取x 1、x 2,而是直接比较a n 与a n+1的大小来确定单调性.【挑战能力】【解析】a n+1=n 1n 2++, 则a n+1-a n =n 1n n 2n 1+-++ =2n 1n n 21n 2n 1n 2n 1+-+=++++（）（）()()()(). ∵n N ∈*,∴n+2＞0,n+1＞0, ∴1n 2n 1++()()＞0, ∴a n+1＞a n .∴数列{a n }是递增数列.。