2014高中自主对外招生数学试卷和答案

2014年淮南一中自主招生考试数学卷 第 1 页 2014年淮南市第一中学（淮南一中）自主招生数学测试试题卷 第二部分（科学素养120分）－－76分一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分。

每小题只有一个正确选项）－－32分7. 计算)3(223x x -⋅的结果是（ ）A.56x -B.56xC. 512x -D.62x8．把2221y xy x -+-分解因式的结果是（ ）A ．)1(x 1y x y ---+）（B ．)1(x 1y x y -+++）（C ．)1(x 1y x y +--+）（D ．)1(x 1y x y --+-）（9. 如果一个样本的方差是])20()20()20[(12121222212-++-+-=x x x S ，将这组数据中的一个最小数9去掉，所得新数据的平均数为（ ）A.12B.15C.18D.2110. 如图，设AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE 的长为（ ） A ．518 B ．4 C ．521 D ．524二、填空题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）－－16分11. 若α、β是方程0201432=--x x 的两根，则βαα+-22=________________。

12. 如图，已知Rt △ABC 中，AC=3cm ，BC=4cm ，设⊙C 的半径为r cm ，若⊙C 与△ABC 的边有两个公共点，则半径r 的取值范围是___________。

13．计算：201420121861641421⨯++⨯+⨯+⨯的结果是_______________。

14. 已知AB 是半径为1的⊙O 的一条弦，且AB=a <1，以AB 为一边在⊙O 内作正△ABC ，点D 为⊙O 上不同于点A 的一点，且DB=AB=a ，DC 的延长线交⊙O 于点E ，则AE=________C B A FE D C B A E2014年淮南一中自主招生考试数学卷 第 2 页 19．（8分）如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB 长为4米．（1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：41.12≈＝，73.13≈，24.25≈，45.26≈）24．（8分）分现有一张矩形纸片ABCD （如图），其中AB=4cm ，BC=6cm ，点E 是BC 的中点．将纸片沿直线AE 折叠，点B 落在四边形AECD 内，记为点B′．求线段B′C 的长．25．（12分）如图，抛物线c bx x y ++=221与直线143:-=x y l 交于点A(4，2)、B （0，－1）。

2014外校资格生考试试卷一、填空题：1.设5151+-的整数部分为x,小数部分为y ，则2212x xy y ++的值为.2.若关于x,y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，则方程组111122534534a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为3.学生玩游戏，他们按以下规则轮流在黑板上写数，规则①：每人每次各选一个从1~10中的数轮流写在黑板上；规则②：不能写已写在黑板上的数的约数。

比如，黑板上写着“9”，那么以后不能写1、3、9,；规则③：不能弃权不写。

最后，没有可写的数的人失败，在这个游戏中，如何巧妙地选数，那么先写的人必胜。

则1~10的数中最先可以写的数是.4.某城堡的围墙围成如下图PQRS 的形状，其中PQ=40m ，QR=45m ，RS=20m ，SP=20m ，且090PSR ∠=。

有一名卫兵在城墙外，依顺时针方向沿着与城墙最近的距离保持2m 的路径巡逻，绕一圈回到出发点，则他总共走了米.5.数x,y,z 满足方程9744x y z x x +-++-+=，则()2014533x y z +-的末位数字为.6.模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1米，然后，原地逆时针方向旋转角α（000180 <<），被称为一次操作，若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为.7.直角坐标系中，正方形11122211,,...,n n n n A B C O A B C C A B C C -按下图所示的方式放置。

其中点12,,...,n A A A 都在一次函数y kx b =+的图像上，点12,,...,n C C C 都在x 轴上，已知点1B 的坐标为（1,1），点2B 的坐标为（3,2），则点n B 的坐标为.8.如图，锐角三角形ABC 内接于半径为R 的O ，H 是三角形ABC 的垂心，AO 的延长线与BC 交于点M ，若OH 垂直AO ，BC=10，OA=6，则OM 的长为.9.满足不等式2003005n 的最大整数n 等于.10.条件下在某的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：注：油耗=，可继续行驶距离=，平均油耗=．从上述信息可以推断在10：00﹣11：00这1小时内（填上所有正确判断的序号）．①向前行驶的里程为80公里；②向前行驶的里程不足80公里；时间耗油（升/100公里）可继续行驶距离（公里）10:009.530011:009.6220④平均油耗恰为9.6升/100公里；⑤平均车速超过80公里/小时．二．解答题：11.数x,y.z,t 满足不等式()()222224x y z t x y z t +++≥+++。

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1 2014年华约自主招生数学试题
1．12345,,,,x x x x x 是正整数，任取四个其和组成的集合为{44，45，46，47}，求这五个数．
2．乒乓球比赛，五局三胜制．任一局甲胜的概率是1()2p p >，甲赢得比赛的概率是q ，求p 为多少时，q p -取得最大值．
3．函数2()(cos sin )sin()2sin (0)24
f x x x x a x b a π=
-+-+>的最大值为1，最小值为4-，求,a b 的值．
4．（1）证明(())y f g x =的反函数为11(())y g f x --=；
（2）1()(),()()F x f x G x f x -=-=，若()G x 的反函数是()F x ，证明()f x 为奇函数．
5．已知椭圆22
221x y a b
+=与圆222x y b +=，过椭圆上一点M 作圆的两切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与,x y 轴分别交于点,E F ，求EOF S ∆的最小值．
6．已知数列{}n a 满足:110,n n n a a np qa +==+．（1）若1q =，求n a ；（2）若||1,||1p q <<，求证：数列{}n a 有界．
7．已知*,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x n n e x n
--≤．。

2014年“华约”自主招生数学试题1、设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 是5个正整数，从中任取4个数求和所得的集合为{}44,45,46,47，求1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的值．2、甲乙2人进行乒乓球比赛，单局甲胜的概率为p （p >12），若采取5局3胜制，设甲比赛获胜的概率是q ．问当p 为何值时，q p -取得最大值？3、已知函数())cos sin sin 2sin 4f x x x x a x b π⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭（a>0）有最大值1和最小值-4．求a 、b 的值．4 、已知函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，设-1f 表示f 的反函数，f g 表示函数f 与函数g 的复合函数，即()()(())fg x f g x =（1）证明-111()()()()fg x g f x --=．（2）记()()F x f x =-，1()()G x f x -=-, 证明：若()F x 是()G x 的反函数，则()f x 是奇函数．5、从椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的动点M 作圆222b y x =+的2条切线，切点为P 和Q ，直线PQ 与x 和y 轴的交点分别为E 和F ，求EOF ∆面积的最小值。

6、已知数列{}n a 满足nn n qa np a +=+1，01=a 。

（1）若1=p ，求{}n a 的通项公式；（2）若1||<p ，1||<q ，求证：数列{}n a 有界。

7、设n 为正整数，证明当n x ≤时，21e nx x n n x n ⎛⎫-⋅-⋅≤ ⎪⎝⎭．附录：2014年“华约”自主招生数学参考解答1 [解法1] 设五个数任取四个，得到的五个和分别是44，45，46，47，a ．由题意，a 是44，45，46，47中的一个．又12345444546474ax x x x x ++++=++++是整数，知46a =且1234557x x x x x ++++=．从而这五个数是574413-=，574512-=，574611-=，574611-=，574710-=．[解法2]2 【解法1】设甲胜的局用1表示，乙胜的局用0表示．甲取得比赛胜利的情形有：111,011113C ⨯,1010124C ⨯.()()2313233411q p C p p C p p =+-+-，设()54361510f p q p p p p p =-=-+-．则()()()2432222'30121111f p p p p p p p p p =30-60+-=30-+-=30--．由单调性可知，当11302430p =+-时，q p -取到最大值． 【解法2】4、解析：5、解析：7 答案：原不等式等价于： 21e nxx n x n n ⎛⎫-≤⋅-⋅ ⎪⎝⎭；若2x n ≥，则左边非正，右边非负，自然成立．若2x n ≤，则右边222221e 1111nnnxn x x x x x n n n n n n x n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅≥⋅-⋅+=⋅-≥⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，也成立，证毕．注：第7题证明中用了如下两个事实：（1）若0x ≥，则e 1xx ≥+；（2）若1x ≥-，1α≥，则()11x x αα+≥+．其中第二个不等式称为贝努力不等式．历年“华约”题目中围绕e 的不等式屡见不鲜． 除上述两个结论外， （3）若0x ≥，则()ln 11xx x x ≥+≥+；（或()2ln 12x x x x-≤+≤）．（4）若0x ≥，则 3sin tan 6x x x x x-<<<；（5）若0x ≥，则 2cos 12x x ≥-．也常用在不等式的估计中．上面的不等式涵盖了指数、对数、三角函数、幂函数的一阶或高阶估计，比较全面，是值得了解的！。

DC BA宜宾市2014年高中阶段学校招生考试数学试卷(考试时间：120分钟， 全卷满分120分)本试卷分选择题和非选择题两部分，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回. 注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2在作答选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选潦其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．. 3在作答非选择题时，请在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．. 一、选择题：(本大题共8小题，每小题3分，共24分)在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡对成题目上. (注意．．：在试题卷上作答．．．．．．．无效．．) 1. 2的倒数是A. 12B.–12C. ±12 D.22. 下列运算的结果中, 是正数的是A ．（–2014)–1B ．– (2014)–1C ．（–1) (–2014)D ．(–2014)÷2014 3．如图，放置的一个机器零件(图1)，若其主(正)视图如(图2)所示，则其俯视图4.一个袋子中装有6个黑球和3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相 同在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率是 A ．19 B ．13 C ．12 D ． 235.若关于x 的一元二次方程的两根为x 1=1，x 2 =2则这个方程是图2图1A ．x 2+3x –2=0B ．x 2–3x +2=0C ．x 2–2x +3=0D ．x 2+3x +2=06.如图，过A 点的一次函数的图象与正比例函数y =2x 的图象相交于 点B ，则这个一次函数的解析式是 A ．y =2x +3 B ．y = x –3 C ．y =2x –3 D ．y = –x +37.如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2， …A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是 A.n B.n –1 C.(14)n –1 D. 14n8.已知⊙O 的半径r =3，设圆心O 到一条直线的距离为d ，圆上 到这条直线的距离为2的点的个数为m ，给出下列命题： ①若d >5，则m =0；②若d =5，则m =1；③若1<d <5，则m =3 ④若d =1，则m =2；⑤若d <1，则m = 4. 其中正确命题的个数是 A ．1 B ．2 C ． 3 D ．5二、填空题：(本大题共8小题，每小题3分，共24分)请把答案直接填在答题卡对应题中 横线上(注意．．：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 9.分解因式：x 3– x = . 10.分式方程x x –2 – 1x 2 – 4= 1的解是 . 11.如图，直线a 、b 被第三条直线c 所截，如果a ∥b ， ∠1 =70°，那么∠3的度数是 .12.菱形的周长为20cm ，两个相邻的内角的度数之比为l ∶2，则较长的对角线长度是 cm.13.在平面直角坐标系中，将点A (–1，2)向右平移3个单位长度得到点B ，则点B 关于x 轴的对称点C 的坐标是 .14．如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC = 4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在斜 边AC 上，与点B ′重合，AE 为折痕，则E B ′= .15.如图，已知AB 为⊙O 的直径，AB =2，AD 和BE 是圆O 的两条切线，A 、B 为切点，过 圆上一点C 作⊙O 的切线CF ，分别交AD 、BE 于点M 、N ，连接AC 、CB ．若∠ABC =30°，则AM = .xba16.规定：sin(–x)= –sin x，cos(–x)= cos x，sin(x+y)=sin x·cos y+cos x·sin y，据此判断下列等式成立的是(写出所有正确的序号).①cos (–60°)= –12；② sin75°=6+24③sin2x=2sin x·cos x；④sin(x–y)=sin x·cos y–cos x·sin y，三、解答题：(本大题共8个题，共72分)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(每小题5分，共10分) (注意．．：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)(1)计算：||–2– (–2)0+ ( 1 3)–1(2)化简：( 3aa–3–aa+3) ·a2–9aCB'BAF18. (本小题6分) (注意．．：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 如图，已知：在△AFD 和△CEB 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，AE =CF ，∠B =∠D AD ∥BC . 求证：AD = BC .19．(本小题8分) (注意．．：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 我市中小学全面开展“阳光体育”活动，某校在大课间中开设了A ：体操，B ：跑操， C ：舞蹈，D ：健美操四项活动为了解学生最喜欢哪一项活动，随机抽取了部分学生进行 调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题： (1)这次被调查的学生共有 人； (2)请将统计图2补充完整；(3)统计图1中B 项目对应的扇形的圆心角是 度；(4)已知该校共有学生3600人，请根据调查结果估计该校喜欢健美操的学生人数．图2图128%DCB A20．(本小题8分) (注意．．：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都 扣3分．(1)小李考了60分，那么小李答对了多少道题?(2)小王获得二等奖(75～85分)，请你算算小王答对了几道题?21．(本小题8分) (注意．．：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x 、y 均 为整数，则称点P则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S 内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L 。

2014初升高数学测试题(含答案) 绵阳南山中学（实验学校）2014 年自主招生考试数学试题本套试卷分试题卷和答题卷两部份，试题卷共 6 页，答题卷共 6 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号用 0．5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上，并认真核对姓名与考号； 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效； 3．非选择题（主观题）用 0．5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上无效．作图一律用 2B 铅笔或 0．5 毫米黑色签字笔； 4．考试结束后，请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交．第一卷（选择题，共 36 分）一．选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列计算正确的是（（A）a ?a ? a2 3 6）（C）(a3b)2 ? a6b2 （D）a 2 ? a3 ? a(a ? 0)（B）(x ? y)2 ? x2 ? y 22．方程组 ??| x ? 1|? 42 ?x ? 2x ? 3的解是（）（A）－1 （B）3 （C）－1 或 3 （D）－5 或 3 3．如右图所示，图①表示正六棱柱形状的高大建筑物，图②中的阴影部分表示该建筑物的俯视图，P、Q、M、N 表示小明在地面上的活动区域（各区域均不含边界），若小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在（）（A）P 区域（B）Q 区域（C）M 区域（D）N 区域 N M 4．小李骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段 P 时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像 Q 是（）距学校的距离距学校的距离距学校的距离距学校的距离①第3题图②O（A）时间 O（B ）时间 O（C）时间O（D）时间5．南山中学高一年级有四名学生 A、B、C、D 参加了校团委举办的“南山中学百佳、百杰学生”绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 1 页共 12 页的选举，已知候选人 D 得票比 B 得票多，候选人 A、B 得票之和超过 C、D 得票之和，候选人 A、 C 得票之和与 B、D 得票之和相等，则这四人得票数由高到低的次序排列,他们依次为（）（A）A、D、C、B （B）D、B、A、C （C）D、A、B、C （D）A、D、B、C 6．南山中学数学建模小组的同学们在研究 15、 12、10 这三个数的倒数时发现：1 1 1 1 ? ? ? ， 12 15 10 12他们就将具有这样性质的有序的三个数称之为调和数．若 x、y、2 （x、y 均为正整数）是一组调和数，则 x、y 的值（）（A）有一组（B）有两组（C）有三组（D）有无数组 7．如下图所示，在 Rt△ABC 中，AC=3，BC=4，D 为斜边 AB 上一动点，DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别为 E、F，当线段 EF 最小时，cos ?EFD 的值等于（）（A）3 5（B）4 5B D E（C）D3 4F C（D）7 4EAF C 第7题图A第8题图B8．如上图所示，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且使得△AEF 为等边三角形，则△AEF 与梯形 ABCF 的面积之比为（）（A） 3 ? 1 （B）3 2（C）2 3（D） 4 ? 2 32 9．已知函数 y ? x ， y ? x 和 y ?1 在同一直角坐标系内的图象如下图所示，给出下列结论： x1 ? a ? a2 ，那么 0 ? a ? 1 ； a 1 2 ②如果 a ? a ? ，那么 a ? 1 ； a1 2 ③如果 ? a ? a ，那么 ? 1 ? a ? 0 ； a 1 2 ④如果 a ? ? a 时，那么a ? ?1 ． a①如果则其中正确结论的序号为（）（A）①④（B）②③（C）①②③（D）①②④绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 2 页共 12 页y=x2y y=x y= O 1 x x入口第9题图123 4 第1 0题图5610．上右图为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等边三角形的净化材枓表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过五层净化后流入底部的六个出口中的一个．下列判断：①六个出口的出水量相同；②2 号出口的出水量与 5 号出口的出水量相同；③1，2，3 号出水口的出水量之比约为 1∶5∶10；④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的 16 倍．其中，正确的判断个数是（）（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个 11．如下图所示，在 Rt△ABC 中，∠A=2∠B，CD 为∠C 的内角平分线，若 AD=2，则 CD 等于（）（A） 2 3 （B） 3 （C） 2 6 （D） 6CA E DBD 第11题图ABO 第12题图C12．如上图所示，点 A、 D 在以 BC 为直径的半圆上， D 是弧 AC 的中点，AC 与 BD 交于点 E．若 AE=3，CD= 2 5 ，则 BC 等于（（A）6 （B）8 ）（C）10 （D）12绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 3 页共 12 页第二卷（非选择题，共 114 分）二．填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分．将答案填写在答题卡相应的横线上） 13．按下图程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个 x”到“结果是否&gt;10”为一次操作．若操作进行三次才停止，则 x 的取值范围是___________．输入 x ×3-2＞10 否是停止第13题图14．如下图所示，直线 l1、 l2、 l3、 l4 及 m1、 m2、 m 3、 m4 分别平行，且 S四边形ABCD =100, S四边形EFGH ? 20 ，则 S四边形PQRS =__________．l1 A P E Q B 第14题图 F H G R C S l2 l3 l4 D m4m3 m2m1第1 5题图15．如上图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为 1cm 的圆形，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为________________． 16．小明每天下午 5 点放学回家时，爸爸总是从家开车按时到达学校接他回家．有一天，学校提前 1 小时放学，小明自己步行回家，在途中遇到开车接他的爸爸，结果比平时早了 20 分钟到家．则小明步行______________分钟遇到来接他的爸爸． 17．已知关于 x 的一元二次方程 x2 ? a 2 ? 2a ? 2 ? x ? (m ? 1) ? 0 对任意的实数 a 均有实数根，则实数 m 的取值范围是____________． 18．如右图所示，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，已知 ?DAC ? 60? ，边 CD 上有一点 S，满足DS AD ? ．线段 OC 上有一点 M，OS 与 MB 交于点 L，联结 CL、SM．给出以下结论： SC ACL①SM//BD 与 SM//CL 等价；CM AC ? ②若，则点 L 在 AD 的延长线上； MO AO SM 1 ? ，则 AD=DL；③若 CL 3④若DS M OCS?SCM ? k ，则方程 x2 ? 3kx ? 1 ? 0 无等根． S?BCMAB 第18题图其中，正确的结论有____________（填所有正确结论的序号）．绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 4 页共 12 页三．解答题（本大题共 7 个小题，共 90 分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤） 19．（本题共 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分）解答下列各题：（1）计算： ( )?1 ? | sin30? ? 1| ?( ? 1)106 ? 3 8 ? (2014 ? ? )0 ；1 320142 ? 1 2013 20142 ? 2014 ? 2 ? ? （2）计算：． 20142 ? 4028+1 2015 201620．（本小题满分 12 分）做服装生意的唐老板经营甲、乙两个店铺．每个店铺在同一段时间内都能售出 A、B 两种款式的服装合计 30 件，并且每售出一件 A 款式和 B 款式服装，甲店铺获利润分别为 30 元和 40 元，乙店铺获利润分别为 27 元和 36 元．某日，唐老板进 A 款式服装 35 件， B 款式服装 25 件，怎样分配给每个店铺各 30 件服装，使得在保证乙店铺获利润不小于 950 元的前提下，唐老板获取的总利润最大？最大总利润是多少？ 21．（本小题满分 12 分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“百”、“年”、“经”、“典”、“南”、“山”的六个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．（Ⅰ）若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“南”的概率；（Ⅱ）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“经典”或“南山”的概率 P1；（Ⅲ）从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记取出的两个球上的汉字恰能组成“经典”或“南山”的概率为 P2，指出 P1，P2 的大小，并证明你的结论． 22．（本小题满分 12 分）如右图所示，已知点 A（4，0），点 By D A C O B xk 在 y 轴上，经过 A、 B 两点的直线与反比例函数 y ? ( k ? ?1) 在 x第四象限的图像只有一个公共点．又一次函数 y ? x ? 2k 的图像与 x 轴、y 轴分别交于点 C、D 两点．当四边形 ABCD 的面积最小时，求 k 的值及面积的最小值．23．（本小题满分 12 分）如右图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，多边形OABCDE 的顶点分别为 O（0，0），A（0，6），B（4， 6），C（4，4），D （6，4），E（6，0）．已知直线 l 经过点 M，分别与边 OA、DE 相交，且将多边形 OABCDE 分成面积相等的两部分．第22题图y A B C D11 （Ⅰ）若点 M (0, ) ，求直线 l 的函数表达式； 3（Ⅱ）是否存在一点 M，使得过点 M 有无数条直线 l 将多边形 OABCDE 分成面积相等的两部分？若存在，求出 M 的坐标；否则，说明理由．O绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 5 页共 12 页第23题图Ex24．（本小题满分 12 分）如下图所示， O1 与O2 外切于点 O，直线 l 分别与 O1 、 O2 外切于点 A、B，分别与 x 轴、y 轴交于点 M (2 3,0) 、 C (0, 2) ．（Ⅰ）求O1 的半径长；（Ⅱ）在直线 l 上找一点 P，使得 ?MO1P 与 ?MOB 相似，并求出点 P 的坐标．l Ay C B O1 O O2 M x第24题图25．（本小题满分 14 分）如下图所示，过 y 轴上一点 M（0，1）作直线与二次函数 y ?1 2 x 的图 4像交于 A、B 两点，过 A、B 两点分别作 y 轴的垂线，垂足为 C、D，直线 l 过点 M 关于原点 O 的对称点 N，且与 y 轴垂直．过点 A 作 l 的垂线，垂足为E．（Ⅰ）当 A 点的横坐标是－1 时，证明 AM=AE；（Ⅱ）当直线 AB 变化时（点 A 与点 O 不重合），求 OC ? OD ? AC ? BD 的值；（Ⅲ）当直线 AB 变化时（点 A 与点 O 不重合），试判断直线 l 与以 AB 为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．y D M A O E N 第25题图 l C xB绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 6 页共 12 页绵阳南山中学（实验学校）2014 年自主招生考试数学参考答案及评分标准一．选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分．每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B C D B A D A C D C 1．C．显然 (a3b)2 ? a6b2 正确，故选择 C． 2．B． ??| x ? 1|? 42? x ? 1 ? 4或x ? 1 ? ?4 ? x ? ?5或x ? 3 ?? ?? ? x ? 3 ，故选择 B． ? x ? ?1或x ? 3 ? x ? 2 x ? 3 ?( x ? 3)( x ? 1) ? 03．B．显然 P、N 区域只能给看到一面，M 区域只能看到两面，Q 区域可以看到三面，故选择 B． 4．C．开始时匀速行驶，此时对应的图像为直线，函数的图像递减．途中因交通堵塞停留了一段时间，此时到学校的距离为常数，最后加快速度行驶对应的曲线为上凸曲线，故选择 C．?d ? b ? 5．D．用 a、b、c、d 依次表示 A、B、C、D 的得票，由条件可得 ? a ?b ?c ?d ，于是 ?a ? c ? b ? d ? (b ? d ? c) ? b ? c ? d ,?b ? c ，a ?b ? (b ? d ? a) ? d ,? a ? d ，于是 a ? d &gt;b ?c ，故选择 D． 2 21 1 2y 6．B．由已知得 ? ? ? x ? ．当 y=1 时， x ? （舍去）；当 y=2 时，x ? 2 ；当 y=3 3 y x 2 4? y 时， x ? 6 ，所以 x、y 的值有两组，故选择 B． 7．A．由EF ? CD ，于是当 CD 与 AB 垂直时，EF 最小． 3 此时 ?EFD ? ?CDF ? ?BDE ? ?BAC ，于是 cos ?EFD ? cos ?BAC ? ，故选择 A． 5 8．D．令 BE ? x ，则 AE ? AF ? EF ? 1 ? x 2 ,? DF ? x, CF ? CE ? 1 ? x(0 ? x ? 1) ．由 EF ? CF ? CE 得： 1 ? x2 ? 2(1 ? x)2 ,? x ? 2 ? 3 ．2 2 23 (1 ? x 2 ) S?AEF 于是 ?4 ? 4 ? 2 3 ，故选择 D． 2? x S梯形ABCF 2 11 2 2 9．A．由图像知，当 0 ? a ? 1 时， ? a ? a 成立，当 a ? 1 时， a ?a ? ，当 ? 1 ? a ? 0 a a 1 1 2 2 时， a ? a ? ，当 a ? ?1 时， a ? ? a ，故选择 A． a a 1 5 10 10 5 1 , , , , , ， 10．C．若进水量为 1，则从左到右的六个出水口的出水量依次为： 32 32 32 32 32 32于是②③正确．水流量最大与最小的三角形分别是最上面的三角形与第五排最左（或最右）的三角形，流经最上面的三角形的水量为 1，而流经第五排最左（或最右）的三角形的水量为1 ， 16于是④正确．故选择 C． 11．D．如图，令 AB 边的高线为 CF，在 CB 上作一点 E，使得 CA=CE，联结 DE，则△CAD≌绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 7 页共 12 页△CED，所以 ?CED ? ?CAD ? 2?B ,??BDE ? ?B ,? BE ? DE ? AD ? 2 ．过 E 作EG⊥BD 交 BD 于 G，由 ?ABC ? 30? 得 EG=1，于是 BG ? GD ? 3, ? AB ? 2 ?2 3, CA ? 1 ?3 ．在△ACF 中可得 CF ?E B G DF 第11题图 A C3? 3 1? 3 3? 3 ，? FD ? ． , AF ? 2 2 2在△CDF 中可得 CD ? CF 2 ? DF 2 ? 6 ，故选择 D． 12．C．如图，延长 BA、CD 交于点 F．由条件可得 BD 是等腰△BCF 的角平分线，可得 CD ? AD ? DE ?2 5 ．由 ?CDE ∽ ?CAF 得A EB O 第12题图C F DCE CD CE 2 5 ? ? ? ,?CE ? 5, ? AF ? CF 2 ? CA2 ? 4 ． CF CA 4 5 CE ? 3 2 2 BC ? AB ? CA2 ? ( BF ? AF )2 ? CA2 ， BC 2 ? (BC ? 4)2 ? 82 ,? BC ?10 ，故选择 C．二．填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分．将答案填写在答题卡相应的横线上） 13 14 15 16 17 18 题号4 3 ? x ? 2 60 ①②③ 15cm 50 m ? ? 3 4 13．第一次运行的结果为 3 x ? 2 ，第二次运行的结果为 3(3x ? 2) ? 2 ? 9x ? 8 ，第三次运行的结 ?9x ? 8 ? 10 4 果为 3(9x ? 8) ? 2 ? 27 x ? 26 ．由条件得 ? ,? ? x ? 2 ． ?27 x ? 26 ?10 3 14．由图可知： S四边形ABCD =S四边形EFGH ? 2(S四边形PQRS ? 20), ? S四边形PQRS ? 60 ． 15 ．圆锥底面周长 2? 等于扇形的弧长，于是可得扇形的半径等于 4cm ，于是圆锥的高为答案42 ?12 cm ? 15cm ．16．由已知得，爸爸从接到他的位置 A 处开车到达学校 B，则往返 AB 段开车用时为 20 分钟，单程 AB 段开车用时 10 分钟，于是小明步行了 50 分钟． 17．由条件得 ? ? a ? 2a ? 2 ? 4(m ? 1) ? 0 对任意的实数 a 恒成立，2即 (a ? 1) ? (4m ? 3) ? 0,? 4m ? 3 ? 0,? m ? ?23 ． 4DS AD ? 知 AS 为 ?DAC 的角平分线． SC AC 由 ?DAC ? 60? 及 OA=OD，知 ?DAO 为正三角形，有 AD=AO．又由 AS 平分 ?DAC ，知 ?ASO≌ ?ASD ? ?ASL? ? ?ASC ? ?ASO ≌ ?ASC ．又 ?DAC ? 60? ，则 ?ACL? 为正三18．设 OS 与 AD 交于点 L? ．由角形，且 S 为其中心．设 BM 与 AD 的延长线交于 L?? ．注意到 SM / / BD ?CM CS AC AC CM 1 BM BC 1 ? ? ? ?2? ? ? ? ? MO SD AD AO AM 2 ML?? AL?? 2 ? DL?? ? AD ? ?ACL??为正三角形．第 8 页共 12 页绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）故 SM / / BD ? 点L?与点L??重合 ? 点L在AD的延长线上 ? S 为正?ACL的中心OS OM 1 SM 1 ? ? ? SM / / CL, 且 ? ，因此①②③正确． SL MC 2 CL 3 S S S S SC CM OC SC AC 2 注意到 ?SCM ? ?SCM ? ?OCD ? ?OCB ? ? ? ? ? ? ?k，S?BCM S?OCD S?OCB S?BCM CD OC CM CD AC ? AD 3 ?则方程 x ? 3kx ? 1 ? 0 有等根 1．综上，正确的结论有①②③．三．解答题（本大题共 7 个小题，共 90 分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）219．（1）原式= 3? |1 1 1 1 ? 1| ?1 ?2 ? 1 ?3 ? ? 2 ? 1 ? ? ．???????????????8 分 2 2 2 2a2 ?1 a ?1 a2 ? a ? 2 ? ? （2）令 a ? 2014 ，则原式 ? 2 a ? 2a +1 a ? 1 a?2 (a ? 1)(a ? 1) a ? 1 (a ? 1)(a ? 2) ? ? ? ? 1 ? (a ? 1) ? a ?2014 ．???????????8 分 (a ? 1)2 a ?1 a?220．分配给甲店铺 A 款式服装 x 件（x 取整数，且 5≤x≤30），则分配给甲 B 款式服装 30－x 件． ?????????????????????????2 分分配给乙店铺 A 款式服装 35－x 件，分配给乙 B 款式服装[25－（30－x）]=x－5 件．???????????????????4 分甲店铺的利润为 y 甲，则有 y甲 ? 30x ? 40(30 ? x) ? 1200 ?10 x ，???????????6 分乙店铺的利润为 y 乙，则有 y乙 ? 27(35 ? x) ? 36( x ? 5) ? 9 x ? 765 ，??????????8 分于是总利润 y总 ? y甲 ? y 乙 ? (1200 ?10 x) ? (9 x ? 765) ? ? x ? 1965 ．由条件得 y乙 ? 9x ? 765 ? 950 ，解得 x ? 205 ．??????????????????10 分 9对于 y总 ? ? x ? 1965 随着 x 的增大而减小，要使 y 总最大，则 x 必须最小．又 x ? 205 ，故取 x=21，即分配给甲店铺 A、B 两种款式服装 21 件与 9 件，分配给乙店铺 A、B 9两种款式服装 14 件与 16 件．此时，既保证乙店铺获利润不小于 950 元，又保证了在此前提下，唐老板获取的总利润最大，最大利润是 y总 ? ?21 ? 1965 ? 1944 元．?????????12 分 21．（Ⅰ）任取一球，共有 6 种不同结果，所以球上汉字刚好是“南”的概率 P ? （Ⅱ）由题知树状图如下：百年经典南山典百年经南山年百经典南山南百年经典山经百年典南山山百年经典南1 ?????3 分 6?????????????????5 分 4 2 共有 30 种不同取法，能满足要求的有 4 种，所以 P ? ．????????????7 分 1 ? 30 15 （Ⅲ）P1&gt;P2 ．?????????????????????????????????8 分各种情况列表如下：绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 9 页共 12 页典南山典百南百山百典年南年山年经典南经山经典典南典山典典南南南南山典出南出山山 4 1 一共有 36 种结果，满足要求的结果有 4 种，于是 P2 ? ? ，所以 P 1 &gt;P 2 ．??????12 分 36 9 22．经过点 A（4，0）的直线的函数表达式令为 y ? m( x ? 4)(m ? 0) ，?????????1 分百年经典南山百百百百年百经百典百南百山年百年年年年经年典年南年山经经百经年经经经典经南经出k ? ?y ? 2 由? 可得： mx ? 4mx ? k ? 0 ．????????????????????3 分 x ? ? y ? m( x ? 4)因为直线与反比例函数图像只有一个公共点，于是 ? ? 16m ? 4mk ? 0,?k ? ?4m ．??????????????????????5 分易得 C (2k ,0), D(0, ?2k ), B(0, k ) ，可得 AC ? 4 ? 2k , BD ? ?3k ．??????????7 分21 1 BD ? AC ? (?3k )(4 ? 2k ) ? 3k (k ? 2)2 2 2 2 ? 3k ? 6k ? 3(k ?1) ? 3(k ? ?1) ．???????????????????????10 分于是当 k ? ?1 时， S四边形ABCD 有最小值，最小值等于 9．???????????????12 分于是 S四边形ABCD ? 23．（Ⅰ）如图 1，延长 BC 交 x 轴于 F，联结 OB、AF 交于 P，联结 DF、CE 交于 Q．易知 P（2，3），Q（5，2）是两个矩形的中心，过 P 的直线将矩形 OABF 的面积平分，过 Q 的直线将矩形 CDEF 的面积平分，于是直线 PQ 将多边形 OABCDE 的面积平分．?????2 分y A G P O B C D H xy A M B C D H O E xy A G G1 O P M Q F E 第23题解答图3 B C D H1 H xQF E 第23题解答图1第23题解答图21 11 x ? ．?????????????????????4 分 3 3 11 1 11 显然 M (0, ) 在 y ? ? x ? 上，且 M 不是 GH 的中点， 3 3 3 1 11 故直线 l 的函数表达式为 y ? ? x ? ．?????????????????????5 分 3 3 11 11 另解如图 2，令过 M (0, ) 的直线的表达式为 y ? kx ? ，与 DE 交于点 H， 3 3 11 则 H 的坐标为 (6,6k ? ) ，???????????????????????????1 分 3直线 PQ 的函数表达式为 y ? ?绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 10 页共 12 页11 11 ( ? 6k ? ) ? 6 3 则 S梯形OMHE ? 3 ? 18k ? 22 ．???????????????????3 分 2 而 S多边形OABCDE ? 6 ? 4 ? 2 ? 4 ? 32 ． ????????????????????????4 分 1 1 11 由题意得 18k ? 22 ? 16, ? k ? ? ，于是直线 l 的表达式为 y ? ? x ? ．???????5 分 3 3 3 1 11 （Ⅱ）如图 3，由（Ⅰ）知直由线 l 的函数表达式为 y ? ? x ? ， 3 3 11 5 可得 G (0, ), H(6, ) ．?????????????????????????????6 分 3 3 8 令 M 为 GH 的中点，则 M 的坐标为 (3, ) ，此即为满足条件的点 M．?????????8 分 3证明如下：另取一条过点 M (3, ) 的直线分别与 OA、DE 交于 G1、H1 ．注意到线段 G1 H1 的中点也为 M (3, ) ，则 S?MGG ? S?MHH ? S四边形OG H E 1 11 18 38 3 ? S多边形AG1H1DCB ，故 G1 H1 也是满足条件的直线．???10 分 8 3由 G1 H1 的任意性，知满足条件的直线有无数条．故存在满足条件的点 M，其坐标为 (3, ) ．????????????????????12 分 24．（Ⅰ）如图 1，易知 tan ?AMO2 ? 令2 2 3?3 ,??AMO2 ? 30? ．?????????2 分 3O1 与 O2 的半径分别是 R 与 r，则PMO1 ? 2R, MO2 ? 2r,由2R ? R ? r ? 2r, 得R ? 3r ? 2 3 ，故 O1 的半径 R ?2 3 ．??5 分l A y C B O1 O O2 M xH O1 O l A y C(P) B O2 M x第24题解答图1第24题解答图2?BO2 M ? 60? ,??OO2 B ? 120?,??BOO2 ? 30? ? ?O2 MB ，于是得 ?MOB 是等腰三角形，且 ?BOM ? 30? ．若存在满足条件的点 P，则 ?MO1P ? 30? 或 ?MPO1 ? 30? ．?????????????7 分如图 2，当 ?MO1P ? 30? 时，由 ?MO1C ? 30? 知，点 P 与点 C 重合，此时， P(0,2) ．????????????????????????9 分当 ?MPO1 ? 30? 时，作 PH⊥x 轴于点 H，则 Rt△PO1A≌Rt△PO1H，（Ⅱ）绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 11 页共 12 页于是 O1H ? O1 A ? 2 3 ，故点 P( ? 4 3,6) ．综上，所求点 P 的坐标是 P(0,2) 或 P( ? 4 3,6) ．?????????????????12 分1 1 5 ），又 M（0，1），于是 AE ? ? 1 ? ．????????1 分 4 4 4 12 9 52 2 2 在 Rt△ACM 中， AM ? AC ? MC ? 1 ? (1 ? ) ? 1 ? ? ， 4 16 4 5 于是 AM ? AE ? ，结论得证．?????????????????????????3 分4 （Ⅱ）令A( xA ,yA ), B( xB ,yB ) ，令直线 AB 的函数表达式为 y ? kx ? 1 ，25．（Ⅰ）由已知得 A（－1，1 2 ? ?y ? x 2 由? 可得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ．???????????????????????5 分 4 ? ? y ? kx ? 1 此方程之两根为 A、B 两点的横坐标 xA、xB ，且 xA xB ? ?4 ， xA ? xB ? 4k ．??????????????????????????6 分又 OC ? OD ? AC ? BD ? y A yB ? x A xB ?1 ( x A xB )2 ? x A xB ? 1 ? 4 ? 5 ．?8 分 16（Ⅲ）如图，令 AB 的中点为 P，过 P、 B 作直线 l 的垂线，垂足分别为Q、 F，则 PQ 为梯形 AEFB 的中位线，由（Ⅱ）知 xA xB ? ?4 ，xA ? xB ? 4k ，且 yA ? kxA ? 1, yB ? kxB ? 1 ． AE ? BF ( y A ? 1) ? ( yB ?1) ? 于是 PQ ? 2 2 y ? yB k (x A ? xB ) ? A ?1 ? ? 2 ? 2(k 2 ? 1) ．??????10 分 2 2在 Rt△ACM 中可得：Ay D M C O E N l Q F 第25题解答图 x PBAM ? AC 2 ? MC 2 ? xA2 ? (1 ? y A )2 ? xA 2 ? k 2 xA2 ? ? xA ? 1 ? k 2 ，?????11 分2 于是 AB ? AM ? BM ? 1 ? k ? ( xB ? x A ) ，2 同理，在 Rt△BDM 中可得： BM ? xB ? 1 ? k ． ????????????????12 分所以 AB ? (1 ? k )[( xA ? xB ) ? 4xA xB ] ? (1 ? k )(16k ?16),? AB ? 4(1 ? k ) ，???13 分2 2 2 2 2 2所以 PQ ?1 AB,又PQ ? l ，于是以 AB 为直径的圆与直线 l 相切．??????????14 分 2绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试数学（试题卷）第 12 页共 12 页。

2014-2015重点高中自主招生数学模拟试题一．选择题（每小题5分，共40分）1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ D ）A．2π+B ．83πC ．4πD．2π2.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数xy 1=在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721=+y y ，3512=-x x . 则=∆AOB S （ B ） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 141323.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ）A ．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 0083.设2 015个整数为1x ，2x ，…，2015x .记1x +2x +…+2015x =M.不妨设M-i x =i （i =1，2，…，2014），M-2015x =A.则2014M=1+2+…+2014+A.故A 除以2014的余数为1007.从而，A=1007，M=1008.当i x =1008-i （i =1，2，…，2014），2015x =1时取到.4.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为 ( D )A. 521.B. 27.C. 13D. 8214、解 从10个球中取出4个，不同的取法有410C 210=种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有45C 种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有445C 280⋅=种.因此，取出的球的编号互不相同的概率为80821021=. 故选（D ）.5. 使得381n+是完全平方数的正整数n 有 （ B ）2 2 2侧（左）视222正（主）视俯视图.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5、解 当4n ≤时，易知381n +不是完全平方数.故设4n k =+，其中k 为正整数，则38181(31)n k +=+.因为381n +是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数x ，使得231k x +=，即231(1)(1)k x x x =-=+-，故1,1x x +-都是3的方幂.又两个数1,1x x +-相差2，所以只可能是3和1，从而2,1x k ==.因此，存在唯一的正整数45n k =+=，使得381n +为完全平方数.故选（B ）.6.如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，C D ⊥AB 于D ，AD=9，BD=4，以C 为圆心，CD 为半径的圆与⊙O 相交于P,Q 两点，弦PQ 交CD 于E ，则PE •EQ 的值是（ D ）A ．24 B. 9 C. 36 D. 277.已知实系数一元二次方程x 2+(1+a)x+a+b+1=0的两实根为x 1,x 2,且0 ＜x 1＜1，x 2＞1，则ab 的取值范围（ ） A -1＜a b 21-≤ B -1＜a b ＜21- C -2＜a b 21-≤ D -2＜a b ＜21-8. 图中正方形ABCD 边长为2，从各边往外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、DAH ，则四边形AFGD 的周长为 ( )A.4+26+22B. 2+26+22C. 4+23 +42 D ．4+23+42 二．填空题（每小题6分，共36分） 9.设由1～8的自然数写成的数列为1a ，2a ，…，8a .则32 .由题意记S=21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -. 该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由1～4取负，由5～8取正，于是，S=2[（8+7+6+5）-（4+3+2+1）]=32.如48-+74-+17-+51-+25-+62-+36-+83-=32.10.记[]x 表示不超过实数x 的最大整数，a k =⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 2014(k=1,2,, 100,则在这100个整数中，不同的整数的个数为 6911.设非负实数x,y,z 满足x+y+z=1,则t=29x ++24y ++21z +12．如图所示，线段OA = OB = OC =1，∠AOB = 60º，∠B OC = 30º，以OA ，OB ，OC 为直径画3个圆，两两的交点为M ，N ，P ，则阴影部分的曲边三角形的面积是 ．解：如图，连接AC ，AN ，BN ，AM ，BM ， MP ，NP ，OM ，ON ，OP ，易知∠OP A =∠OPC =90º，∠ANO =∠BNO = 90º，∠BMO =∠CNO = 90º，所以A ，P ，C 共线；A ，N ，B 共线；B ，M ，C 共线．由OA =OB =OC =1，可知P ，M ，N 分别是AC ，BC ，AB 的中点，MPNB 为平行四边形，BN =MP ，BM =NP ，所以BN 与MP 长度相等，BM 与NP 长度相等，因此，曲边三角形MPN 的面积= S MPNB =12S △ABC ， 而 S △ABC = S AOCB – S △AOC = S△AOB + S △BOC – S△AOC 1142-所以，曲边三角形MPN 的面积=12S △ABC 13. 将一个44⨯棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则 有 不同的染法.（用数字作答）解：第一行染2个黑格有24C 种染法.第一行染好后，有如下三种情况： （1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有24C 种染法，第四行的染法随之确定； （3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定. 因此，共有染法为()9024616=⨯++⨯种.填90.14.圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周顺时针滚动。

2014年北约自主招生数学试题1.圆心角为60 的扇形面积为6π,求它围成的圆锥的表面积.2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.3.如果2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ,求a 的取值范围.4.设2()2()()33a b f a f b f ++=,且(1)1,(4)7f f ==,求(2014)f .5.已知1x y +=-且,x y 都是负数,求1xy xy+的最值.6.已知22()arctan 14x f x c x +=+-在11(,)44-上是奇函数,求c .7.证明tan3 是无理数.8.已知实系数二次函数()f x 与()g x 满足3()()0f x g x +=和()()0f x g x -=都有双重实根,如果已知()0f x =有两个不同的实根,求证()0g x =没有实根.9.1213,,,a a a 是等差数列,{|113}i j k M a a a i j k =++≤<<≤,问:7160,,23是否可以同时在M 中,并证明你的结论.10.已知12,,,n x x x R +∈ ,且121n x x x = ,求证:12))1)n n x x x ≥ .2014年北约自主招生试题参考答案1.【解】设扇形的半径为r ,则由21623r ππ=⨯,得6r =.于是扇形的弧长为623l ππ=⨯=,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1,所以底面面积为21ππ⨯=,也所以圆锥的表面积为67S πππ=+=.2.【解】由题知所有分组方法有3341074222100C C C N A ==种. 3.【解】由题意22u x ax a =-+的值域包含区间(0,)+∞,则22u x ax a =-+与x 有交点, 故2(2)40a a ∆=--≥,解得1a ≥或0a ≤.4.【解】由(1)1,(4)7f f ==得421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===; 124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===,由数学归纳法可推导得*()21,f n n n N =-∈, 所以(2014)4027f =.5.【解】由0,0x y <<可知,1||1||||1x y x y x y +=-⇒+=⇒+=,所以2(||||)1||||||44x y xy x y +=⨯≤=,即1(0,]4xy ∈,令1(0,]4t xy =∈,则易知函数1y t t =+在(0,1]上递减,所以其在1(0,]4上递减,于是1xy xy +有最小值117444+=,无最大值.6.【解】奇函数(0)0f =,故arctan2c =-.7.【证明】由三角公式22tan tan tan tan 2,tan()1tan 1tan tan ααβααβααβ+=+=--⋅, 若tan3 是有理数,则tan6,tan12,tan 24 为有理数,再由tan 6 和tan 24 可得tan30 为有理数,这与tan30=!因此,tan3 是无理数. 8.【证】由题可设2211223()()(),()()()f x g x a x b f x g x a x b +=--=-,其中120,0a a ≠≠,则22221222112211()[()()],()[()3()]44f x a x b a x bg x a x b a x b =-+-=---,由()0f x =有两个不同的实根,则必有12,a a 异号,且120a a +≠,此时22212112211221()[()2()]4f x a a x a b a b x a b a b =+-+++,即2222112212112212124()4()()4()0a b a b a a a b a b a a b b ∆=+-++=-->,所以12b b ≠,故此时观察2211221()[()3()]4g x a x b a x b =---可知,12,3a a -同号,且1230a a -≠,12b b ≠,故()0g x >恒成立,即证明()0g x =没有实根.9.【解】不可以同时在M 中,下面给予证明.假设7160,,23同时在M 中,设*(113,)k a a kd k k N =+≤≤∈,其中d 为公差,则*{3()|113}{3|636,}M a i j k d i j k a md m m N =+++≤<<≤=+≤≤∈于是存在正整数6,,36x y z ≤≤,使得30,73,21633a xd a yd a zd ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩从而7(),216()3y x d z x d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩也所以2132y x z x -=-,由于21,32互质,且,y x z x --为整数,则有||21,||32y x z x -≥-≥, 但||36630z x -≤-=,矛盾!假设错误,即证明7160,,3不可以同时在M中.10.【证】(一法:数学归纳法)①当1n =时,111x =≥=右边,不等式成立;②假设*(1,)nk k k N=≥∈时,不等式12))1)k k x x x ≥ 成立. 那么当1n k =+时,则1211k k x x x x += ,由于这1k +个正数不能同时都大于1,也不能同时都小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设11,01k k x x +≥<≤, 从而111(1)(1)01k k k k k kx x x x x x+++--≤⇒+≥+,所以1212)2(2)kk x xx x + 12112)2()]kk k k x x xx x x ++=+++11212)2(2(1)1)(21)k k k k x x x x ++≥≥= 其中推导上式时利用了1211()1k k k x x x x x -+= 及n k =时的假设,故1n k=+时不等式也成立.综上①②知,不等式对任意正整数n 都成立.(二法)左边展开得12))nx x x12121212111()()k k nn n n n k i i j i i i n i i j ni i i nx x x x x x x x x ---=≤<≤≤<<<≤=+++++∑∑∑由平均值不等式得1112121212111211()(())k kknn nk k k k C C C k k k i i i ni i i nn n i i i ni i i nx x x C x x x C x x x C --≤<<<≤≤<<<≤≥==∑∏故12))nx x x1122))2)(2)(21)n n n n k kn n n nnC C C C ---≥++++ ,即证. (三法)由平均值不等式有111(nnnk kn ==≥……①;111(nnnk k n==≥……②①+②得1()nkk nn x =≥,即12))1)n n x x x ≥ 成立.。

2014年四川省成都七中自主招生数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论①a+b+c ＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（5分）如图，O是线段BC的中点，A、D、C到O点的距离相等．若∠ABC=30°，则∠ADC的度数是（）A．30°B．60°C．120° D．150°3．（5分）如图，△ACB内接于⊙O，D为弧BC的中点，ED切⊙O于D，与AB 的延长线相交于E，若AC=2，AB=6，ED+EB=6，那么AD=．4．（5分）（课改）现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）不等式组的所有整数解的和是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．（5分）如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a大的一个完全平方数是（）A．a+1 B．a2+1 C．a2+2a+1 D．a+2+17．（5分）如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（）A．B．C．D．（1+）28．（5分）对于两个数，M=2008×20 092 009，N=2009×20 082 008．则（）A．M=N B．M＞N C．M＜N D．无法确定9．（5分）如图，已知∠A=∠B，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP+PB等于（）A．12 B．13 C．14 D．1510．（5分）若实数abc满足a2+b2+c2=9，代数式（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2的最大值是（）A．27 B．18 C．15 D．1211．（5分）成都七中学生网站是由成都七中四大学生组织共同管理的网站，该网站是成都七中历史上首次由四大学生组织共同合作建成的一个学生网站，其内容囊括了成都七中学生学习及生活的各个方面．某学生在输入网址“http：∥www．cdqzstu．com”中的“cdqzstu．com”时，不小心调换了两个字母的位置，则可能出现的错误种数是（）A．90 B．45 C．88 D．4412．（5分）已知四边形ABCD，从下列条件中：（1）AB∥CD；（2）BC∥AD；（3）AB=CD；（4）BC=AD；（5）∠A=∠C；（6）∠B=∠D．任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（）A．4种 B．9种 C．13种D．15种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）判断一个整数能否被7整除，只需看去掉一节尾（这个数的末位数字）后所得到的数与此一节尾的5倍的和能否被7整除．如果这个和能被7整除，则原数就能被7整除．如126，去掉6后得12，12+6×5=42，42能被7整除，则126能被7整除．类似地，还可通过看去掉该数的一节尾后与此一节尾的n 倍的差能否被7整除来判断，则n=（n是整数，且1≤n＜7）．14．（4分）假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座，租金400元；乙种客车每辆车有50个座，租金480元．则租用该公司客车最少需用租金元．15．（4分）如果关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0有两个实数根x1，x2，且它们满足不等式，则实数m的取值范围是．16．（4分）黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地砖块．（用含n的代数式表示）三、解答题（共6小题，满分24分）17．（4分）（1）先化简，再求值：5（x2﹣2）﹣2（2x2+4），其中x=﹣2；（2）求直线y=2x+1与抛物线y=3x2+3x﹣1的交点坐标．18．（4分）如图，⊙O与直线PC相切于点C，直径AB∥PC，PA交⊙O于D，BP 交⊙O于E，DE交PC于F．（1）求证：PF2=EF•FD；（2）当tan∠APB=，tan∠ABE=，AP=时，求PF的长；（3）在（2）条件下，连接BD，判断△ADB是什么三角形？并证明你的结论．19．（4分）已知：如图，直线交x轴于O1，交y轴于O2，⊙O2与x轴相切于O点，交直线O1O2于P点，以O1为圆心，O1P为半径的圆交x轴于A、B 两点，PB交⊙O2于点F，⊙O1的弦BE=BO，EF的延长线交AB于D，连接PA、PO．（1）求证：∠APO=∠BPO；（2）求证：EF是⊙O2的切线；（3）EO1的延长线交⊙O1于C点，若G为BC上一动点，以O1G为直径作⊙O3交O1C于点M，交O1B于N．下列结论：①O1M•O1N为定值；②线段MN的长度不变．只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并证明正确的结论，以及求出它的值．20．（4分）如图，五边形ABCDE为一块土地的示意图．四边形AFDE为矩形，AE=130米，ED=100米，BC截∠F交AF、FD分别于点B、C，且BF=FC=10米．（1）现要在此土地上划出一块矩形土地NPME作为安置区，且点P在线段BC 上，若设PM的长为x米，矩形NPME的面积为y平方米，求y与x的函数关系式，并求当x为何值时，安置区的面积y最大，最大面积为多少？（2）因三峡库区移民的需要，现要在此最大面积的安置区内安置30户移民农户，每户建房占地100平方米，政府给予每户4万元补助，安置区内除建房外的其余部分每平方米政府投入100元作为基础建设费，在五边形ABCDE这块土地上，除安置区外的部分每平方米政府投入200元作为设施施工费．为减轻政府的财政压力，决定鼓励一批非安置户到此安置区内建房，每户建房占地120平方米，但每户非安置户应向政府交纳土地使用费3万元．为保护环境，建房总面积不得超过安置区面积的50%．若除非安置户交纳的土地使用费外，政府另外投入资金150万元，请问能否将这30户移民农户全部安置？并说明理由．21．（4分）如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．22．（4分）数独（sūdoku）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本发扬光大的数学智力拼图游戏．拼图是九宫格（即3格宽×3格高）的正方形状，每一格又细分为一个九宫格．在每一个小九宫格中，分别填上1至9的数字，让整个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复．下面是一个数独游戏，请完成该游戏．（您只需要完整地填出其中的5个小九宫格即可）（评分标准：完整地填出其中的5个小九宫格且5个均正确即可给满分．未填出5个不给分．若填出超过5个且无错给满分，若填出超过5个且有任何一处错误不给分．）2014年四川省成都七中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论①a+b+c ＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴对称轴为x=＞0，又∵a＜0，∴b＞0，故abc＜0；由图象可知：对称轴为x=＜1，a＜0，∴﹣b＞2a，∴b+2a＜0，由图象可知：当x=1时y＞0，∴a+b+c＞0；当x=﹣1时y＜0，∴a﹣b+c＜0．∴②、③正确．故选B．2．（5分）如图，O是线段BC的中点，A、D、C到O点的距离相等．若∠ABC=30°，则∠ADC的度数是（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，即∠ADC=150°．故选D．3．（5分）如图，△ACB内接于⊙O，D为弧BC的中点，ED切⊙O于D，与AB 的延长线相交于E，若AC=2，AB=6，ED+EB=6，那么AD=4．【解答】解：如图，设AD与BC交于点F，∵ED+EB=6，∴DE2=BE•AE=BE（BE+AB）=BE2+BE•AB，∴（DE+BE）（DE﹣BE）=BE•AB，即6×（DE﹣BE）=BE×6，∴DE=2BE，∵DE2=BE2+BE•AB，∴BE=2，DE=4，连接BD，则∠EDB=∠EAD，∵D为弧BC的中点，∴∠DAC=∠BAD，∴∠CBD=∠BDE，∴BC∥DE，∴BF：DE=AB：AE，∴BF=3，∵AD是∠BAC的平分线，∴BF：CF=AB：AC（三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例），∴CF=1，∴BF•CF=AF•DF=3①，∵BF：ED=AF：AD=AF：（AF+DF），∴3：4=AF：（AF+DF），∴AF=3DF②联立①②得，DF=1，AF=3，∴AD=AF+DF=4．4．（5分）（课改）现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：点P的坐标共有36种可能，其中能落在抛物线y=﹣x2+4x上的共有（1，3）、（2，4）、（3，3）3种可能，其概率为．故选B．5．（5分）不等式组的所有整数解的和是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：由不等式①得x≥﹣由不等式②得x＜2所以不等组的解集为≤x＜2不等式的整数解0，1，则所有整数解的和是1．故选C．6．（5分）如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a大的一个完全平方数是（）A．a+1 B．a2+1 C．a2+2a+1 D．a+2+1【解答】解：∵自然数a是一个完全平方数，∴a的算术平方根是，∴比a的算术平方根大1的数是+1，∴这个平方数为：（+1）2=a+2+1．故选D．7．（5分）如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（）A．B．C．D．（1+）2【解答】解：根据图形和题意可得：（a+b）2=b（a+2b），其中a=1，则方程是（1+b）2=b（1+2b）解得：b=，所以正方形的面积为（1+）2=．故选A．8．（5分）对于两个数，M=2008×20 092 009，N=2009×20 082 008．则（）A．M=N B．M＞N C．M＜N D．无法确定【解答】解：根据数的分成和乘法分配律，可得M=2008×（20 090 000+2009）=2008×20 090 000+2008×2009=2008×2009×10000+2008×2009=2009×20 080 000+2008×2009，N=2009×（20 080 000+2008）=2009×20 080 000+2009×2008，所以M=N．故选A．9．（5分）如图，已知∠A=∠B，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP+PB等于（）A．12 B．13 C．14 D．15【解答】解：如图，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，∴AA1∥PP1∥BB1，过点P作PF⊥AA1，交AA1于点D，交BB1于点F，延长BP交AA1于点C，作CG ⊥BB1，交BB1于点G，∴四边形DFB1A1，DPP1A1，FPP1B1，FDGC，CGB1A1是矩形，∴DA1=PP1=FB1=16，CG=A1B1=12，∵AA1∥BB1，∴∠B=∠ACB，∵∠A=∠B∴∠A=∠BCA，∴AP=CP，∵PF⊥AA1，∴点D是AC的中点，∵AA1=17，∴AD=CD=17﹣16=1，BF=20﹣16=4，FG=CD=1，BG=4+1=5，∴BP+PA=BP+PC=BC===13．故选B．10．（5分）若实数abc满足a2+b2+c2=9，代数式（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2的最大值是（）A．27 B．18 C．15 D．12【解答】解：∵a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，∴﹣2ab﹣2ac﹣2bc=a2+b2+c2﹣（a+b+c）2①∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc；又（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=3a2+3b2+3c2﹣（a+b+c）2=3（a2+b2+c2）﹣（a+b+c）2②①代入②，得3（a2+b2+c2）﹣（a+b+c）2=3×9﹣（a+b+c）2=27﹣（a+b+c）2，∵（a+b+c）2≥0，∴其值最小为0，故原式最大值为27．故选A．11．（5分）成都七中学生网站是由成都七中四大学生组织共同管理的网站，该网站是成都七中历史上首次由四大学生组织共同合作建成的一个学生网站，其内容囊括了成都七中学生学习及生活的各个方面．某学生在输入网址“http：∥www．cdqzstu．com”中的“cdqzstu．com”时，不小心调换了两个字母的位置，则可能出现的错误种数是（）A．90 B．45 C．88 D．44【解答】解：“cdqzstu．com”中共有10个字母；若c与后面的字母分别调换，则有：10﹣1=9种调换方法；依此类推，调换方法共有：9+8+7+…+1=45种；由于10个字母中，有两个字母相同，因此当相同字母调换时，不会出现错误．因此出现错误的种数应该是：45﹣1=44种．故选D．12．（5分）已知四边形ABCD，从下列条件中：（1）AB∥CD；（2）BC∥AD；（3）AB=CD；（4）BC=AD；（5）∠A=∠C；（6）∠B=∠D．任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（）A．4种 B．9种 C．13种D．15种【解答】解：根据平行四边形的判定，符合四边形ABCD是平行四边形条件的有九种：（1）（2）；（3）（4）；（5）（6）；（1）（3）；（2）（4）；（1）（5）；（1）（6）；（2）（5）；（2）（6）共九种．故选B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）判断一个整数能否被7整除，只需看去掉一节尾（这个数的末位数字）后所得到的数与此一节尾的5倍的和能否被7整除．如果这个和能被7整除，则原数就能被7整除．如126，去掉6后得12，12+6×5=42，42能被7整除，则126能被7整除．类似地，还可通过看去掉该数的一节尾后与此一节尾的n 倍的差能否被7整除来判断，则n=2（n是整数，且1≤n＜7）．【解答】解：∵和的时候，是尾数的5倍，能被7整除，任意一个正整数写成P=10a+b，b是P的个位数．根据已知结论，P是7的倍数等价于a+5b是7的倍数，而a+5b=a﹣2b+7b，a+5b和a﹣2b相差7的倍数，所以它们两个同时是7的倍数或者同时不是7的倍数．因此n=2符合要求．∴差的时候，应是尾数的2倍，∴n=2．故填2．14．（4分）假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座，租金400元；乙种客车每辆车有50个座，租金480元．则租用该公司客车最少需用租金3520元．【解答】解：若只租甲种客车需要360÷40=9辆．若只租乙种客车需要8辆，因而两种客车用共租8辆．设甲车有x辆，乙车有8﹣x辆，则40x+50（8﹣x）≥360，解得：x≤4，整数解为0、1、2、3、4．汽车的租金W=400x+480（8﹣x）即W=﹣80x+3840W的值随x的增大而减小，因而当x=4时，W最小．故取x=4，W的最小值是3520元．故答案为：3520．15．（4分）如果关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0有两个实数根x1，x2，且它们满足不等式，则实数m的取值范围是﹣1＜m≤．【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系知，x1+x2=1，x1•x2=，代入不等式得＜1，解得m＞﹣1，又∵方程有两个实数根，∴△=b2﹣4ac≥0，即（﹣2）2﹣4×2×（3m﹣1）≥0，解得m≤，综合以上可知实数m的取值范围是﹣1＜m≤．故本题答案为：﹣1＜m≤．16．（4分）黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地砖4n+2块．（用含n的代数式表示）【解答】解：分析可得：第1个图案中有白色地砖4×1+2=6块．第2个图案中有白色地砖4×2+2=10块．…第n个图案中有白色地砖4n+2块．三、解答题（共6小题，满分24分）17．（4分）（1）先化简，再求值：5（x2﹣2）﹣2（2x2+4），其中x=﹣2；（2）求直线y=2x+1与抛物线y=3x2+3x﹣1的交点坐标．【解答】解：（1）5（x2﹣2）﹣2（2x2+4）=5x2﹣10﹣4x2﹣8=x2﹣18=（﹣2）2﹣18=4﹣18=﹣14（2）把y=2x+1代入y=3x2+3x﹣1，可得3x2+x﹣2=0，解得x=或x=﹣1，①当x=时，y=2×+1==2②当x=﹣1时，y=2×（﹣1）+1=﹣2+1=﹣1所以直线y=2x+1与抛物线y=3x2+3x﹣1的交点坐标是（）、（﹣1，﹣1）．18．（4分）如图，⊙O与直线PC相切于点C，直径AB∥PC，PA交⊙O于D，BP 交⊙O于E，DE交PC于F．（1）求证：PF2=EF•FD；（2）当tan∠APB=，tan∠ABE=，AP=时，求PF的长；（3）在（2）条件下，连接BD，判断△ADB是什么三角形？并证明你的结论．【解答】解：（1）∵AB∥PC，∴∠BPC=∠ABE=∠ADE．又∵∠PFE=∠DFP，△PFE∽△DFP，∴PF：EF=DF：PF，PF2=EF•FD．（2）连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BP．∵tan∠APB==，tan∠ABE==，令AE=a，PE=2a，BE=3a，AP=a=，∴a==AE，PE=，BE=．∵PC为切线，∴PC2=PE•PB=4．∴PC=2．∵FC2=FE•FD=P F2∴PF=FC==1，∴PF=1．（3）△ADB为等腰直角三角形．∵AB为直径，∴∠ADB=90°．∵PE•PB=PA•PD，∴PD=2BD===AD．∴△ADB为等腰Rt△．19．（4分）已知：如图，直线交x轴于O1，交y轴于O2，⊙O2与x轴相切于O点，交直线O1O2于P点，以O1为圆心，O1P为半径的圆交x轴于A、B 两点，PB交⊙O2于点F，⊙O1的弦BE=BO，EF的延长线交AB于D，连接PA、PO．（1）求证：∠APO=∠BPO；（2）求证：EF是⊙O2的切线；（3）EO1的延长线交⊙O1于C点，若G为BC上一动点，以O1G为直径作⊙O3交O1C于点M，交O1B于N．下列结论：①O1M•O1N为定值；②线段MN的长度不变．只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并证明正确的结论，以及求出它的值．【解答】解：（1）连接O2F．∵O2P=O2F，O1P=O1B，∴∠O2PF=∠O2FP，∠O1PB=∠O1BP，∴∠O2FP=∠O1BP．∴O2F∥O1B，得∠OO2F=90°，∴∠OPB=∠OO2F=45°．又∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠APO=∠BPO=45°．（2）延长ED交⊙O1于点H，连接PE．∵BO为切线，∴BO2=BF•BP．又∵BE=BO，∴BE2=BF•BP．而∠PBE=∠EBF，∴△PBE∽△EBF，∴∠BEF=∠BPE，∴BE=BH，有AB⊥ED．又由（1）知O2F∥O1B，∴O2F⊥DE，∴EF为⊙O2的切线．（3）MN的长度不变．过N作⊙O3的直径NK，连接MK．则∠K=∠MO1N=∠EO1D，且∠NMK=∠EDO1=90°，又∵NK=O1E，∴△NKM≌△EDO1，∴MN=ED．而OO1=4，OO2=3，∴O1O2=5，∴O1A=8．即AB=16，∵EF与圆O2相切，∴O2F⊥ED，则四边形OO2FD为矩形，∴O2F=OD，又圆O2的半径O2F=3，∴OD=3，∴AD=7，BD=9．ED2=AD•BD，∴ED=3．故MN的长度不会发生变化，其长度为．20．（4分）如图，五边形ABCDE为一块土地的示意图．四边形AFDE为矩形，AE=130米，ED=100米，BC截∠F交AF、FD分别于点B、C，且BF=FC=10米．（1）现要在此土地上划出一块矩形土地NPME作为安置区，且点P在线段BC 上，若设PM的长为x米，矩形NPME的面积为y平方米，求y与x的函数关系式，并求当x为何值时，安置区的面积y最大，最大面积为多少？（2）因三峡库区移民的需要，现要在此最大面积的安置区内安置30户移民农户，每户建房占地100平方米，政府给予每户4万元补助，安置区内除建房外的其余部分每平方米政府投入100元作为基础建设费，在五边形ABCDE这块土地上，除安置区外的部分每平方米政府投入200元作为设施施工费．为减轻政府的财政压力，决定鼓励一批非安置户到此安置区内建房，每户建房占地120平方米，但每户非安置户应向政府交纳土地使用费3万元．为保护环境，建房总面积不得超过安置区面积的50%．若除非安置户交纳的土地使用费外，政府另外投入资金150万元，请问能否将这30户移民农户全部安置？并说明理由．【解答】解：（1）延长MP交AF于点H，则△BHP为等腰直角三角形．BH=PH=130﹣xDM=HF=10﹣BH=10﹣（130﹣x）=x﹣120则y=PM•EM=x•[100﹣（x﹣120）]=﹣x2+220x由0≤PH≤10得120≤x≤130因为抛物线y=﹣x2+220x的对称轴为直线x=110，开口向下．所以，在120≤x≤130内，当x=120时，y=﹣x2+220x取得最大值．其最大值为y=12000（㎡）（2）设有a户非安置户到安置区内建房，政府才能将30户移民农户全部安置．由题意，得30×100+120a≤12000×50%30×4+（12000﹣30×100﹣120a）×0.01+×10×0.02≤150+3a解得18≤a≤25因为a为整数．所以，到安置区建房的非安置户至少有19户且最多有25户时，政府才能将30户移民农户全部安置；否则，政府就不能将30户移民农户全部安置．21．（4分）如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴OB=，过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则OD=，BD=，∴点B的坐标为（）．（1分）（2）将A（2，0）、B（）、O（0，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c，得（2分）解方程组，有a=，b=，c=0．（3分）∴所求二次函数解析式是y=x2+x．（4分）（3）设存在点C（x，x2+x）（其中0＜x＜），使四边形ABCO面积最大∵△OAB面积为定值，∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大．（5分）过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，=S△OCF+S△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|，（6分）则S△OBC而|CF|=y C﹣y F=x2+x﹣x=﹣x2+x，∴S=x2+x．（7分）△OBC∴当x=时，△OBC面积最大，最大面积为．（8分）此时，点C坐标为（），四边形ABCO的面积为．（9分）22．（4分）数独（sūdoku）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本发扬光大的数学智力拼图游戏．拼图是九宫格（即3格宽×3格高）的正方形状，每一格又细分为一个九宫格．在每一个小九宫格中，分别填上1至9的数字，让整个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复．下面是一个数独游戏，请完成该游戏．（您只需要完整地填出其中的5个小九宫格即可）（评分标准：完整地填出其中的5个小九宫格且5个均正确即可给满分．未填出5个不给分．若填出超过5个且无错给满分，若填出超过5个且有任何一处错误不给分．）【解答】解：。

数学姓名 班级 学号答案请写在答题纸上本卷满分150分，时间为60分钟一、填空题（本部分共8道题，每题9分，共72分） 1. 已知ac zc b y b a x -=-=-，则=++z y x 。

2. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，则下列6个代数式：b a b ac b a c b a ac ab -++-++22，，，，，中，其值为正的式子有个。

3. 已知△ABC 的三边长分别为18128，，，△DEF 中有两边长分别为1812，，则当第三条边长=时，△ABC 与△DEF 相似但不全等。

4. 将22328y xy x --写成两个整系数多项式的平方差，有=--22328y xy x 。

5. 已知正整数a 是一个小于610的完全平方数，且a 是12的倍数，这样的a 有 个？ 6. 在坐标平面上，把横、纵坐标都为整数的点叫做整点。

对于任意的n 个整点，其中一定有两个整点，它们的连线的中点仍为整点，那么n 的最小值为 。

7. 如右图，从A 到B （方向只能左→右，或下→上，或左下→右上）有 种不同的路线？8. 设][x 表示不超过x 的最大整数，如3]6.3[=，2]2.1[-=-。

则方程6][3=-x x 的解为=x。

二、解答题（本部分共五道题，其中前两题每题15分，后三题每题16分，共78分，要求写出必要的解题步骤。

） 9. 是否存在两个既约分数cda b ，（其中d c b a ，，，均为整数，且22≥≥c a ，），使它们的和与积都为整数？证明你的结论。

10. 设100321a a a a ，，，， 都是正整数，且12a a >，12323a a a -=，98991002342323a a a a a a -=-=，， ，求证：981002>a 。

11. 如图，在以C ∠为直角的ABC Rt ∆中，，，43==AC BC 点I 是其内心。

''B 'C A 、、分别是C B A 、、关于点I 的对称点，求△ABC 和△'''C B A 所围成公共部分图形的面积。