河北省衡水中学2018届高三下学期第三十五次模拟考试数学(文)试题含答案

2018届（河北省衡水金卷一模）高三毕业班模拟演练文科数学试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.2. 已知为虚数单位，复数，则的实部与虚数之差为（）A. B. C. D.3. 已知圆锥曲线的离心率为，则（）A. B. C. D.4. 已知等比数列中，，，则（）A. B. -2 C. 2 D. 45. 已知命题：“”的否定是“”；命题：“”的一个必要不充分条件是“”，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.6. 我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，上广二丈，袤三丈，下广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），上底宽2丈，长3丈；下底宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，再次相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（）A. 13.25立方丈B. 26.5立方丈C. 53立方丈D. 106立方丈7. 如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据，若从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（）A. B. C. D.8. 执行上面的程序框图，若输出的值为-2，则①中应填（）A. B. C. D.9. 已知一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.10. 已知函数的图象向左平移个单位，所得的部分函数图象如图所示，则的值为（）A. B. C. D.11. 已知的内角的对边分别为，且，，点是的重心，且，则的外接圆的半径为（）A. 1B. 2C. 3D. 412. 若函数满足：①的图象是中心对称图形；②若时，图象上的点到其对称中心的距离不超过一个正数，则称是区间上的“对称函数”.若函数是区间上的“对称函数”，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，则__________．14. 若幂函数的图象上存在点，其坐标满足约束条件则实数的最大值为__________．15. 已知在直角梯形中，，，若点在线段上，则的取值范围为__________．16. 已知抛物线的焦点为，准线为，直线与抛物线相切于点，记点到直线的距离为，点到直线的距离为，则的最大值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求.18. 在矩形中，，，点是线段上靠近点的一个三等分点，点是线段上的一个动点，且.如图，将沿折起至，使得平面平面.（1）当时，求证：；（2）是否存在，使得三棱锥与三棱锥的体积之比为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19. 某公司在某条商业街分别开有两家业务上有关联的零售商店，这两家商店的日纯利润变化情况如下表所示：（1）从这几天的日纯利润来看，哪一家商店的日平均纯利润多些？（2）由表中数据可以认为这两家商店的日纯利润之间有较强的线性相关关系.（ⅰ）试求与之间的线性回归方程；（ⅱ）预测当店日纯利润不低于2万元时，店日纯利润的大致范围（精确到小数点后两位）；（3）根据上述5日内的日纯利润变化情况来看，哪家商店经营状况更好？附：线性回归方程中，，.参考数据：，.20. 已知圆的圆心为原点，其半径与椭圆的左焦点和上顶点的连线线段长度相等.（1）求圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点的动直线（其斜率不为0）交圆于两点，试探究在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与的斜率之和为0？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.21. 已知函数（，为自然对数的底数）.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程是，圆的参数方程为（为参数，）.（1）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围；（2）当时，过点且与直线平行的直线交圆于两点，求的值.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若函数，若对于任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.2018届（河北省衡水金卷一模）高三毕业班模拟演练文科数学试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：化简两个集合，然后求并集即可.详解：由题意可得，∴.故选：C点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解,进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 已知为虚数单位，复数，则的实部与虚数之差为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用复数四则运算化简复数z，得到实部与虚部，然后作差即可.详解：故的实部与虚数之差为故选：B点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.3. 已知圆锥曲线的离心率为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:由离心率建立关于的方程，通过解最简单的三角方程，即可得到值.详解：由圆锥曲线的离心率大于1，可知该圆锥曲线为双曲线，且，即，又∴故选：D点睛：本题考查双曲线的离心率，注意区分椭圆离心率，双曲线离心率抛物线离心率.4. 已知等比数列中，，，则（）A. B. -2 C. 2 D. 4【答案】C【解析】分析：利用等比数列下标和性质求等比数列的特殊项.详解：由，，可得，∴，又同号，∴故选：C点睛：等比数列中，若，则；等差数列中，若，则.5. 已知命题：“”的否定是“”；命题：“”的一个必要不充分条件是“”，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先判断命题与命题的真假，然后利用真值表作出判断.详解：命题：“”的否定是“”；故命题为假命题；命题：“”的一个必要不充分条件是“”，故命题为真命题，∴只有C选项正确.故选：C点睛：本题主要考查复合命题真假判断，结合条件分别判断命题p，q的真假是解决本题的关键．此类问题综合性较强涉及的知识点较多．6. 我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，上广二丈，袤三丈，下广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），上底宽2丈，长3丈；下底宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，再次相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（）A. 13.25立方丈B. 26.5立方丈C. 53立方丈D. 106立方丈【答案】B【解析】分析：根据题意，把有关数据代入公式，即可求出刍童的体积.详解：由算法可知，刍童的体积，立方长,\故选：B点睛：本题解题的关键是理解题意，利用题目提供的各个数据代入公式即可.7. 如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据，若从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据折线图得到从6个月中任选2个月的所有可能结果有15种可能，其中满足题意的共12种，利用古典概型公式可得结果.详解：由图可知，7月，8月，11月的利润不低于40万元，从6个月中任选2个月的所有可能结果有共15种，其中至少有1个月的利润不低于40万元的结果有共12种，故所求概率为.故选：D点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．8. 执行上面的程序框图，若输出的值为-2，则①中应填（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=-2，可得判断框内应填入的条件详解：由题知，该程序框图的功能是计算，当时，；当时，，跳出循环，故①中应填.故选：B点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9. 已知一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由三视图可知该几何体为一个半圆锥拼接一个三棱锥所得，根据图中数据计算其表面积即可.详解：三视图所对应的空间几何体为一个半圆锥拼接一个三棱锥所得，其中三棱锥的三条侧棱均等于圆锥的母线，都为，故所求几何体的表面积为.故选：A点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10. 已知函数的图象向左平移个单位，所得的部分函数图象如图所示，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据图象，利用五点法作图的特点确定，即可.详解：由题知，∴，∴∴,故又∴.故选：C(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求。

衡水金卷2018届全国高三大联考文数第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M x|x25x 4 0，N 0,1,2,3 ，则集合M N中元素的个数为（）A．1B．2 C．3 D．412.已知命题p：x R，(2 x)20，则命题p为（）1 1A．x0R，(2x0)20 B．xR，(1x)201 1C．xR，(1x)20 D．x0R，(2x0)203.已知复数z5i （i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）2i 1A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4.已知双曲线C：x2y21(a 0)的一个焦点为(5,0)，则双曲线C的渐近线方程为a216（）A．4x3y0 B．16x 9y0 C．4x 41y 0 D．4x3y 125.2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A．726mm2 B．363mm2C．363mm2D．363 mm251 10 5 206.下列函数中，与函数y 2x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（）2xA．ysinx B．yx3C．y 1 D．yx2,x02,x 0x x7.如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（）2，bln21lg58.设a log54log5ln3，c102，则a，b，c的大小关系为（）3A．a b c B．b c aC．c a b D．b a c9.执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．18B．19C．20D．119 20 21 2010.将函数f(x) 2sin(4x)的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原3 6来的2倍，得到函数y g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法错误的是（）A．最小正周期为B．图象关于直线x对称12C．图象关于点(,0)对称D．初相为12 311.抛物线有如下光学性质：过焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y24x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（）A．4B． 4 C． 4 D．163 3 3 912.已知ABC的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且(a2b2c2)(acosB bcosA) abc，若a b 2，则c的取值范围为（）A．(0,2) B．[1,2)C．[ 1 ,2)D．(1,2]2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量a(sin ,cos)，b (k,1)，若a//b，则k ．3 614. 已知函数f(x)x32x，若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线经过圆 C：x2(y a)22的圆心，则实数a的值为．3x y ,15. 已知实数x，y满足约束条件x , 则sin(xy)的取值范围为（用6y 0,区间表示）．16. 在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥M ABCD为阳马，侧棱MA 底面ABCD，且MABCAB 2，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在递增的等比数列a n中，a1a632，a2a518，其中n N*.（1）求数列a n的通项公式；（2 ）记b n a n log2a n 1 ，求数列b的前n项和T n.n如图，在三棱18.柱ABC A1B1C1中，AA1平面ABC，AC BC，AC BC CC12，点D为AB的中点.（1）证明：AC1//平面B1CD；（2）求三棱锥A1CDB1的体积.19.随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在A市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）经常使用偶尔或不用合计30 岁及以下70 30 100 30 岁以上60 40 100 合计130 70 200（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.（i）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（ii）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.参考公式：K2n(ad bc)2，其中nabc d．(ab)(cd)(ac)(bd)参考数据：2k0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010P(Kk0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520.已知椭圆C：x2 y21（a b0）过点( 2,1)，离心率为2，直线l：a 2 b2 2kx y 2 0与椭圆C交于A，B两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在实数k，使得|OAOB||OA OB|（其中O为坐标原点）成立？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由.21.已知函数f(x) lnx2x23，g(x)f'(x)4xalnx(a0).（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若关于 x的方程g(x) a有实数根，求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为x 2cos,为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为y（sin极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2sin()3.4（1）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数f(x) |2x 1| |x 1|.（1）解不等式f(x) 3；（2）记函数g(x) f(x)|x 1|的值域为M，若t M，试证明：t22t3.衡水金卷2018届全国高三大联考文数答案一、选择题1-5:CDDAB 6-10: DAABC 11 、12：BB二、填空题13.114. 2 15. 1,1 16. 36 16 22三、解答题17.解：（1）设数列 a n的公比为q，则a2a5a1a632，又a2a518，∴a22，a516或a216，a2（舍）.5∴q3a58，即q 2.a2故a n a2q n22n1(nN*).（2）由（1）得，b n2n 1 n.∴T n b1b2⋯b n2⋯ 2n1)(123 ⋯1 2n(1n)n (122 n)2 212n 1 n2n.218.（1）证明：连接BC1交B1C于点O，连接OD.在三棱柱ABC A1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O是BC1的中点，∵点D为AB的中点，∴OD//AC1.又OD 平面B1CD，AC1平面B1CD，∴AC1//平面B1CD.（2）解：∵ AC BC，AD BD，∴CDAB.在三棱柱ABC A1B1C1中，由AA1平面ABC，得平面ABB1A1平面ABC，又平面ABB1A1平面ABC AB，∴CD平面ABB1A1.∴点C到平面A1DB1的距离为CD，且CD ACsin 2.1 1 1 41 4∴V A1CDB1V CA1DB1S A1DB1A1B1AA13CD2CD 2222.3 6 319.解：（1）由列联表可知，K2200 (70 40 60 30)2 2.198.130 70 100 100因为2.198 2.072，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关.（2）（i）依题意可知，所抽取的 5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有3 540 100（人），偶尔或不用共享单车的有 5 2（人）.100（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a，b，c；偶尔或不用共享单车的 2人分别为d，e.则从5人中选出2人的所有可能结果为(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)共10种.其中没有 1人经常使用共享单车的可能结果为(d,e)共1种，故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率1 9 P1 .10 102 11, a2b220.解：（1）依题意，得c 2,a 2a2b2c2,解得a24，b22，c22，故椭圆C的标准方程为x2y2 1.4 2（2）假设存在符合条件的实数k.依题意，联立方程y kx 2,x22y24,消去y并整理，得(1 2k2)x28kx40，则64k216(12k2) 0，即k2 2. 或k22设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1x28k，x1x24.1 2k212k2由|OA OB||OAOB|，得OAOB 0，∴x1x2y1y20，∴x1x2(kx12)(kx22) 0，即(1 k2)x1x22k(x1x2)40，∴4(1 k2)16k240，12k212k2即84k20，即k22，k 2.1 2k2故存在实数k 2，使得|OA OB| |OA OB|成立.21.解：（1）依题意，得14x1 4x2(1 2x)(12x)f'(x)x，x(0,).x x令f '(x) 0，即1 2x 0，解得0x1；21令f '(x) 0 ，即12x 0，解得x，21 1故函数f(x)的单调递增区间为(0, )，单调递减区间为2(,).12 （2）由题得，g(x) f '(x) 4x alnx alnx.依题意，方程1x alnx a 0有实数根，x即函数h(x)1alnx a存在零点，x1 a又h'(x)x2x 令h'(x)0，得x当a0时，h'(x)ax 1x2，1.a0，即函数h(x)在区间(0, )上单调递减，而h(1) 1 a1 1 1 1 1110，h(e a)1a(1)a110，1 a 1 ee a e a所以函数h(x)存在零点；当a 0时，h'(x)，h(x)随x的变化情况如表：x (0, 1 1 1 )a(,) a ah'(x) 0h(x)极小值1a 1alna为函数h(x)的极小值，也是最小值.所以h() alnaa a1) 0，即0 a 1时，函数h(x)没有零点；当h(a1) 0，即a 1时，注意到h(1) 1 a 1a a1当h( 0，h(e) 0，a e e所以函数h(x)存在零点.综上所述，当a ( ,0) [1, )时，方程g(x) a有实数根.22.解：（1）由曲线C的参数方程x 2cos ,（为参数），y sin得曲线C的普通方程为x2y2 1.4由2 sin( ) 3，得(sin cos ) 3，即xy 3，4所以直线l的普通方程为x y3 0.（2）设曲线C上的一点为(2cos ,sin )，则该点到直线l的距离d |2cos sin 3|| 5sin( ) 3|（其中tan 2），2 2当sin( ) 1时，d max| 53| 10 3 2，2 2即曲线C上的点到直线l的距离的最大值为103 2.23x,x 1,23.解：（1）依题意，得f(x)2x, 1 x 1,则不等式f(x) 3，即为23x,x 1,2x 1, 1x 1,x 1,1 x1.3x 3,或 2 或2解得2 x3 3x 3,故原不等式的解集为x| 1x 1.（2）由题得， g(x) f(x) |x 1| |2x 1| |2x 2||2x 1 2x 2| 3，当且仅当(2x1)(2x2) 0，即1x 1时取等号，2∴M [3, )，∴t22t 3 (t 3)(t1)，∵tM，∴t3 0，t1 0，∴(t 3)(t 1) 0 ，∴t22t 3.。

2018届河北省衡水中学高三大联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合M = x |x 2−5x +4≤0 ，N = 0,1,2,3 ，则集合M ∩N 中元素的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】由题得，集合M = x x 2−5x +4≤0 ={x |1≤x ≤4}，所以M ∩N ={1,2,3}.集合M ∩N 中元素的个数为3. 故选C.2．已知命题p ：x R ∀∈，()1220x -<，则命题p ⌝为（ ） A. 0x R ∃∈，()12020x -> B. x R ∀∈，()1210x -> C. x R ∀∈，()1210x -≥ D. 0x R ∃∈，()12020x -≥ 【答案】D【解析】全称命题的否定是特称命题，则：若命题p ：x R ∀∈，()1220x -<，则命题p ⌝为0x R ∃∈，()12020x -≥. 本题选择D 选项. 3．已知复数521iz i =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D【解析】结合复数的运算法则可得：()()2121522121i i i iz i i i +-==-=---， 即复数z 在复平面内对应的点位于第四象限.本题选择D 选项.4．已知双曲线C ：x 2a −y 216=1 a >0 的一个焦点为 5,0 ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. 4x ±3y =0B. 16x ±9y =0C. 4x ± 41y =0D. 4x ±3y =12 【答案】A【解析】由题意得，c =5，则a 2=c 2−16=9，即a =3. 所以双曲线C 的渐近线方程为y =±43x ，即4x ±3y =0. 故选A.5．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A.27265mm π B. 236310mm π C. 23635mm π D. 236320mm π【答案】B【解析】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率为30310010p ==， 设军旗的面积为S ，由题意可得：()22233363,1111101010S S mm πππ=∴=⨯⨯=⨯. 本题选择B 选项.6．下列函数中，与函数122x x y =-的定义域.单调性与奇偶性均一致的函数是（ ）A. sin y x =B. 3y x = C. 1y x = D. 22,0{ ,0x x y x x -≥=<【答案】D 【解析】函数122x x y =-为奇函数，且在R 上单调递减， 对于A ，sin y x =是奇函数，但不在R 上单调递减； 对于B ，3y x =是奇函数，但在R 上单调递增； 对于C ，1y x=定义域不同； 对于D ，画出函数图象可知函数()()220{ 0x x y x x -≥=<是奇函数，且在R 上单调递减， 故选D.7．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（ ）A. B.C. D. 【答案】A 【解析】由正视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知其侧视图为A. 故选A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8．设a =log 54−log 52，b =ln 23+ln 3，c =1012lg 5，则a ， b ， c 的大小关系为（ ）A. a <b <cB. b <c <aC. c <a <bD. b <a <c 【答案】A【解析】由题意得，a =log 54−log 52=log 52，b =ln 23+ln 3=ln 2,c =1012lg 5= 5.得a =1l o g25,b =1l o g 2e，而l o g25> l o g 2e >1.所以0<1l o g25<1l o g 2e<1，即0<a <b <1.又c = 5>1.故a <b <c . 选A.9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A. 1819 B. 1920 C. 2021 D. 120 【答案】B【解析】由框图可知，S =1−12+12−13+⋯+119−120=1−120=1920. 故选B.10．将函数()2sin 43f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则下列关于函数()g x 的说法错误的是（ ）A. 最小正周期为πB. 图象关于直线12x π=对称C. 图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D. 初相为3π【答案】C【解析】易求得()223g x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其最小正周期为π，初相位3π，即A ，D 正确，而π2sin 2122g π⎛⎫== ⎪⎝⎭.故函数()y g x =的图象关于直线12x π=对称，即B 项正确，故C 错误.选C.11．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M 3,1 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线A B 的斜率为（ ）A. 43B. −43C. ±43D. −169 【答案】B【解析】令y =1，代入y 2=4x 可得x =14，即A (14,1). 由抛物线的光学性质可知，直线A B 经过焦点F (1,0)，所以k =1−014−1=−43.故选B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.12．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()()222cos cos ab c a B b A abc +-⋅+=，若2a b +=，则c 的取值范围为（ ）A. ()0,2B. [)1,2C. 1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. (]1,2【答案】B【解析】由题意可得：222cos cos 122a b c a B b A ab c +-+⨯=, 且222cos 2a b c C ab +-=，cos cos sin cos sin cos sin 1sin sin a B b A A B B A Cc C C ++===， 据此可得：1cos 2C =，即：2222221,22a b c a b c ab ab +-=+-=， 据此有：()222223434312a b c a b ab a b ab ab +⎛⎫=+-=+-=-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立；三角形满足两边之和大于第三边，则2c a b <+=， 综上可得：c 的取值范围为[)1,2.本题选择B 选项.点睛：1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a 2＝b 2＋c 2－2bccosA 可以转化为sin 2 A ＝sin 2B ＋sin 2 C －2sinBsinCcosA ，利用这些变形可进行等式的化简与证明．二、填空题13．已知向量a = sin π3,cos π6 ，b = k ,1 ，若a ∥b ，则k =__________．【答案】1【解析】由a //b ,得sin π3− k cos π6=0.即 32− 32k =0. 解得k =1.14．已知函数()32f x x x =-，若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线经过圆C ：()222x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________.【答案】2-【解析】结合函数的解析式可得：()311211f =-⨯=-，对函数求导可得：()2'32f x x =-，故切线的斜率为()2'13121k f ==⨯-=， 则切线方程为：()111y x +=⨯-，即2y x =-，圆C ：()222x y a +-=的圆心为()0,a ，则：022a =-=-.15．已知实数x ， y 满足约束条件 3x +y ≤π,x ≥π6,y ≥0, 则sin x +y 的取值范围为__________（用区间表示）． 【答案】 12,1【解析】作出约束条件表示的平面区域(如图阴影部分表示)设z =x +y ，作出直线l :x +y =z ，当直线l 过点B (π6,0)时，z 取得最小值π6；当直线l 过点A (π6,π2)时，z 取得最大值2π3. 即π6≤x +y ≤2π3,所以sin x +y ∈[12,1]. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥M −A B C D 为阳马，侧棱M A ⊥底面A B C D ，且M A =B C =A B =2，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为__________． 【答案】36π−16 2π【解析】设该阳马的外接球与内切球的半径分别R 与r ，则2R = M A 2+A B 2+B C2=2 3.即R = 3.由13S M −A B C D表∙r =13S A B C D ∙M A .得r =S A B C D∙M AS M −A B C D 表=2×2×22×2+12×(2×2×2+2×2 2×2)=2− 2.所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为4π R 2+r 2 =36π−16 2π.三、解答题17．在递增的等比数列{}n a 中，1632a a ⋅=，2518a a +=，其中*N n ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）12n n a -=；（2）2212nn n+-+.【解析】试题分析：（1）由251632a a a a ⋅=⋅=及2518a a +=得22a =，516a =，进而的q ，可得通项公式；（2）12n n b n -=+利用分组求和即可，一个等差数列和一个等比数列. 试题解析：（1）设数列{}n a 的公比为q ， 则251632a a a a ⋅=⋅=， 又2518a a +=，∴22a =，516a =或216a =，52a =（舍）. ∴3528a q a ==，即2q =. 故2122n n n a a q --==（*N n ∈）. （2）由（1）得，12n n b n -=+. ∴12n n T b b b =+++()()211222123n n -=+++++++++()112122n n n +-=+- 2212nn n +=-+.18．如图，在三棱柱A B C −A 1B 1C 1中，A A 1⊥平面A B C ，A C ⊥B C ，A C =B C =C C 1=2，点D 为A B 的中点. （1）证明：A C 1∥平面B 1C D ； （2）求三棱锥A 1−C D B 1的体积.【答案】（1）见解析；（2）43.【解析】试题分析：（I）连接BC1交B1C于点O，连接O D，通过证明O D∥A C1，利用直线与平面平行的判定定理证明AC1∥平面CDB1．（II）要求三棱锥A1−C D B1的体积，转化为V A1−C D B1=V C−A1DB1=1 3SΔA1DB1×C D即可求解．试题解析：（1）连接BC1交B1C于点O，连接O D.在三棱柱A B C−A1B1C1中，四边形B C C1B1是平行四边形.∴点O是BC1的中点.∵点D为A B的中点，∴O D∥A C1.又O D⊂平面B1C D，A C1⊄平面B1C D，∴A C1∥平面B1C D.（2）∵A C=B C，A D=B D，∴C D⊥A B.在三棱柱A B C−A1B1C1中，由A A1⊥平面A B C，得平面A B B1A1⊥平面A B C.又平面A B B1A1∩平面A B C=A B.∴C D⊥平面A B B1A1.∴点C到平面A1DB1的距离为C D，且C D=A C sinπ4=2.∴V A1−C D B1=V C−A1DB1=13SΔA1DB1×C D=13×12×A1B1×A A1×C D=16×22×2×2=43.19．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在A市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人. （i ）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（ii ）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率. 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】(1)能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关；(2)(i)经常使用共享单车的有3人，偶尔或不用共享单车的有2人.(ii)910【解析】试题分析：(1)由列联表可得2 2.198 2.072K ≈>，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关. (2)（i ）依题意可知，经常使用共享单车的有6053100⨯=（人），偶尔或不用共享单车的有4052100⨯=（人）. （ii ）由题意列出所有可能的结果，结合古典概型公式和对立事件公式可得选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率910P =.试题解析：（1）由列联表可知，()2220070406030 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为2.198 2.072>，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关.（2）（i）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有6053100⨯=（人），偶尔或不用共享单车的有4052100⨯=（人）.（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a，b，c；偶尔或不用共享单车的2人分别为d，e.则从5人中选出2人的所有可能结果为(),a b，(),a c，(),a d，(),a e，(),b c，(),b d，(),b e，(),c d，(),c e，(),d e共10种.其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为(),d e共1种，故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率1911010 P=-=.20．已知椭圆C：x2a +y2b=1a>b>0过点 −2,1，离心率为22，直线l：k x−y+2=0与椭圆C交于A ， B两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在实数k，使得O A+O B=O A−O B（其中O为坐标原点）成立？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）x 24+y22=1；（2）k=±2.【解析】试题分析：（1）根据题意得2a+1b=1,ca=22,a2=b2+c2,，从而可得方程；（2）直线和椭圆联立得1+2k2x2+8k x+4=0，设A x1,y1，B x2,y2，由O A+O B=O A−O B，得O A⋅O B=0，即x1x2+y1y2=0，由韦达定理代入即得.试题解析：（1）依题意，得2a+1b=1,ca=22,a2=b2+c2,解得a2=4，b2=2，c2=2，故椭圆C的标准方程为x24+y22=1.（2）假设存在符合条件的实数k.依题意，联立方程y=k x+2, x2+2y2=4,消去y并整理，得1+2k2x2+8k x+4=0.则Δ=64k2−161+2k2>0，即k >22或k <− 22. 设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=−8k1+2k ，x 1x 2=41+2k . 由 O A +O B = O A −O B ， 得O A ⋅O B=0. ∴x 1x 2+y 1y 2=0.∴x 1x 2+ k x 1+2 k x 2+2 =0. 即 1+k 2 x 1x 2+2k x 1+x 2 +4=0. ∴4 1+k 2 1+2k −16k 21+2k +4=0.即8−4k 21+2k =0.即k 2=2，即k =± 2.故存在实数k =± O A +O B = O A −O B 成立. 21．已知函数()2ln 23f x x x =-+，()()'4ln g x f x x a x =++()0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的方程()g x a =有实数根，求实数a 的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2)()[),01,-∞⋃+∞.【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式可得()()()1212'x x f x x+-=，()0,x ∈+∞，结合导函数与原函数的单调性的关系可得函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)原问题等价于方程10alnx a x +-=有实数根，构造函数()1h x alnx a x=+-，利用导函数研究函数存在零点的充要条件可得：当()[),01,a ∈-∞⋃+∞时，方程()g x a =有实数根.试题解析：（1）依题意，得()()()21212114'4x x x f x x x x x+--=-==，()0,x ∈+∞. 令()'0f x >，即120x ->，解得102x <<； 令()'0f x <，即120x -<，解得12x >， 故函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）由题得，()()'4g x f x x alnx =++1alnx x=+. 依题意，方程10alnx a x +-=有实数根，即函数()1h x alnx a x=+-存在零点，又()2211'a ax h x x x x-=-+=，令()'0h x =，得1x a=.当0a <时，()'0h x <，即函数()h x 在区间()0,+∞上单调递减，而()110h a =->，1111111a ah e a a a e --⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111110ae e -=-<-<，所以函数()h x 存在零点；当0a >时，()'h x ，()h x 随x 的变化情况如表：极小值所以11h a aln a alna a a ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭为函数()h x 的极小值，也是最小值.当10h a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即01a <<时，函数()h x 没有零点；当10h a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即1a ≥时，注意到()110h a =-≤，()110h e a a e e =+-=>，所以函数()h x 存在零点.综上所述，当()[),01,a ∈-∞⋃+∞时，方程()g x a =有实数根.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为 x =2cos αy =sin α（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 2ρsin θ+π4 =3. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）曲线C 的普通方程为x 24+y 2=1，直线l 的普通方程为x +y −3=0；（2）10+3 22. 【解析】试题分析：（1）利用sin 2α+cos 2α=1消去参数得曲线C 的普通方程为x 24+y 2=1，利用x =ρcos θ，y =ρsin θ得直线l 的普通方程为x +y −3=0；（2）利用圆的参数方程得d = 2=5sin 2，进而由三角求最值即可. 试题解析：（1）由曲线C 的参数方程x =2co sαy =si n α（α为参数），得曲线C 的普通方程为x 24+y 2=1. 由 ρsin θ+π4 =3，得ρ sin θ+cos θ =3， 即x +y =3.∴直线l 的普通方程为x +y −3=0. （2）设曲线C 上的一点为 2cos α,sin α ， 则该点到直线l 的距离d = 2=5sin 2（其中tan φ=2）.当sin α+φ =−1时，d max =5+ 2=10+3 22. 即曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为 10+3 22. 23．已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，试证明：223t t -≥. 【答案】(1){}|11x x -≤≤；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式零点分段可得不等式()3f x ≤的解集为{}|11x x -≤≤. (2)结合绝对值三角不等式的性质可得[)3,M =+∞，结合二次函数的性质可得30t -≥，10t +>，则223t t -≥.试题解析：（1）依题意，得()3,1,1{2,1, 213,,2x x f x x x x x -≤-=--<<≥则不等式()3f x ≤，即为1,{ 33,x x ≤--≤或11,{ 223x x -<<-≤或1,{ 233,x x ≥≤解得11x -≤≤. 故原不等式的解集为{}|11x x -≤≤.（2）由题得，()()1g x f x x =++212221223x x x x =-++≥---=， 当且仅当()()21220x x -+≤， 即112x -≤≤时取等号， ∴[)3,M =+∞，∴()()22331t t t t --=-+， ∵t M ∈，∴30t -≥，10t +>， ∴()()310t t -+≥， ∴223t t -≥.。

2018届高三毕业班模拟演练文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}lg 2M x y x ==+，{}21xN y y ==-，则M N =U （ ）A ．RB ．()1,-+∞C ．()2,-+∞D ．[)2,-+∞2．已知i 为虚数单位，复数3i 2iz =-，则z 的实部与虚数之差为（ ）A ．15-B ．35C ．35-D ．153．已知圆锥曲线()22102cos x y θπθ+=<<的离心率为2，则=θ（ ） A ．6π B ．56π C ．3π D ．23π4．已知等比数列{}n a 中，2341a a a =，67864a a a =，则5a =（ ） A ．2± B ．-2 C ．2 D ．4 5．已知命题p ：“001,01x x ∃∈<-R ”的否定是“1,01x x ∀∈≥-R ”；命题q ：“2019x >”的一个必要不充分条件是“2018x >”，则下列命题为真命题的是（ ） A ．q ⌝ B ．p q ∧ C ．()p q ⌝∧ D ．()p q ∨⌝6．我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，上广二丈，袤三丈，下广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），上底宽2丈，长3丈；下底宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，再次相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（ ）A ．13.25立方丈B ．26.5立方丈C ．53立方丈D ．106立方丈 7．如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据，若从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（ ）A ．15 B ．25 C ．35 D ．458．执行上面的程序框图，若输出的S 值为-2，则①中应填（ ）A ．98?n <B ．99?n <C ．100?n <D ．101?n < 9．已知一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．(2116π++B ．(2124π+C ．16+D ．8163π+10．已知函数()()2cos 0f x x ωω=->的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位，所得的部分函数图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A ．6πB ．56π C ．12π D ．512π 11．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且cos sin a B B b c =+，1b =，点D 是ABC ∆的重心，且3AD =，则ABC ∆的外接圆的半径为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．若函数()y f x =满足：①()f x 的图象是中心对称图形；②若x D ∈时，()f x 图象上的点到其对称中心的距离不超过一个正数M ，则称()f x 是区间D 上的“M 对称函数”.若函数()()()310f x x m m =++>是区间[]4,2-上的“M 对称函数”，则实数M 的取值范围是（ ）A．)⎡+∞⎣B．)+∞ C．(D．()+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知()4tan 3απ-=-，则22sin 2cos sin 2ααα-= ． 14．若幂函数()16=3a f x ax+的图象上存在点P ，其坐标(),x y 满足约束条件2,6,,y x x y y m -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为 ．15．已知在直角梯形ABCD 中，22AB AD CD ===，90ADC ∠=︒，若点M 在线段AC上，则MB MD +uuu r uuu r的取值范围为 ．16．已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，准线为1l ，直线2l 与抛物线C 相切于点P ，记点P 到直线1l 的距离为1d ，点F 到直线2l 的距离为2d ，则212d d +的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17． 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n S an =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()221161n n n n a b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T . 18． 在矩形ABCD 中，3AB =，2AD =，点E 是线段CD 上靠近点D 的一个三等分点，点F 是线段AD 上的一个动点，且()01DF DA λλ=≤≤.如图，将BCE ∆沿BE 折起至BEG ∆，使得平面BEG ⊥平面ABED.（1）当12λ=时，求证：EF BG ⊥； （2）是否存在λ，使得三棱锥D EFG -与三棱锥B EFG -的体积之比为14：？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.19． 某公司在某条商业街分别开有两家业务上有关联的零售商店，这两家商店的日纯利润变化情况如下表所示：（1）从这几天的日纯利润来看，哪一家商店的日平均纯利润多些？（2）由表中数据可以认为这两家商店的日纯利润之间有较强的线性相关关系.（ⅰ）试求y 与x 之间的线性回归方程；（ⅱ）预测当B 店日纯利润不低于2万元时，A 店日纯利润的大致范围（精确到小数点后两位）；（3）根据上述5日内的日纯利润变化情况来看，哪家商店经营状况更好？附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，()()()1122211ˆn ni iiii i nni i i i x y nx y x x y y b x nxx x====---==--∑∑∑∑，ˆˆabx =-. 参考数据：()()510.691iii x x y y =--=∑，521()0.5ii x x =-=∑.20． 已知圆C 的圆心为原点，其半径与椭圆22:143x y D +=的左焦点和上顶点的连线线段长度相等.（1）求圆C 的标准方程；（2）过椭圆右焦点的动直线2l （其斜率不为0）交圆C 于,A B 两点，试探究在x 轴正半轴上是否存在定点E ，使得直线AE 与BE 的斜率之和为0？若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由.21． 已知函数()2e xf x ax =（a ∈R ，e 为自然对数的底数）.（1）当0a ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()e 1e xxf x x ++≥在区间(],0-∞上恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程是sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的参数方程为1cos ,sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0r >）.（1）若直线l 与圆C 有公共点，求实数r 的取值范围；（2）当2r =时，过点()2,0D 且与直线l 平行的直线l '交圆C 于,A B 两点，求11DA DB-的值.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =++-. （1）解不等式()3f x ≤；（2）若函数()2201822019g x x a x =--+-，若对于任意的1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.衡水金卷·2018届高三模拟联考（一）文数答案一、选择题1-5:CBDCC 6-10:BDBAC 11、12：AA 二、填空题13．112 14．2 15．⎣ 16．12 三、解答题 17．解：（1）由12n n S an =+，得()21n n S n a =+， 当2n ≥时，112n n S na --=，两式相减，得()121n n a a n n n -=≥-，又121a =， ∴2na n=，∴()2n a n n =∈*N . （2）由（1）知，()221161n n n n a b a a ++==()()2222211111n n n n n +=-++， ∴12222111123n n T b b b n =+++=--++L L ()()()22221121111n n n n n +-=-=+++. 18．解：（1）当12λ=时，点F 是AD 的中点. ∴112DF AD ==，113DE CD ==，90ADC ∠=︒，∴45DEF ∠=︒. ∵223CE CD ==，2BC =，90BCD ∠=︒， ∴45BEC ∠=︒. ∴BE EF ⊥.又平面GBE ⊥平面ABED ，平面GBE I 平面ABED BE =，EF ⊂平面ABED ， ∴EF ⊥平面BEG . ∵BG ⊂平面BEG ，∴EF BG ⊥.（2）∵2DF DA λλ==，∴1122DEF S λλ∆=⨯⨯=， ()11322BEF ABF DEFABED S S S S ∆∆∆=--=⨯+⨯梯形()1322122λλλ-⨯⨯--=+， 由::D EFG B EFG G DEF G BEF V V V V ----=()::1214DFE BEF S S λλ∆∆==+=：，解得12λ=， ∴当12λ=时，三棱锥D EFG -与三棱锥B EFG -的体积之比为1:4. 19．解：（1）由题意，可知0.20.50.80.9 1.10.75x ++++==（万元）；0.230.220.51 1.50.695y ++++==（万元）.所以从平均水平来讲，A 家商店的日平均纯利润要更多些.（2）（ⅰ）根据题意，得()()()51521ˆ 1.382iii ii x x y y bx x ==--==-∑∑，所以ˆ0.69 1.3820.70.2774a=-⨯=-， 所以y 与x 之间的回归方程为ˆ 1.3820.2774yx =-. （ⅱ）令2y ≥，得1.3820.27742x -≥， 解得 1.65x ≥，即B 店日纯利润不低于2万元时，A 店日纯利润大约不低于1.65万元. （3）A 店的日纯利润的方差为()()()222210.20.70.50.70.80.75A s ⎡=⨯-+-+-+⎣()()220.90.7 1.10.70.1⎤-+-=⎦，B 店的日纯利润的方差为()()()222210.230.690.220.690.50.695B s ⎡=⨯-+-+-+⎣()()2210.69 1.50.690.24⎤-+-≈⎦. 因为,x y 相差不大，但22A B s s <，所以A 店日纯利润更集中一些， 故从日纯利润变化情况来看，A 店经营状况更好.20．解：（1）由题知，椭圆22:143x y D +=的左焦点为()1,0-，上顶点为(， 故圆的半径2r ==，所以圆C 的标准方程为224x y +=. （2）假设存在符合条件的点E . 设(),0E t ，()11,A x y ，()22,B x y ， 当直线2l 的斜率存在时， 设直线2l 的方程为()1y k x =-.由()224,1,x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得()22221240k x k x k +-+-=，所以212221k x x k +=+，212241k x x k -=+.由0AE BE k k +=，得12120AE BE y yk k x t x t=-⇒+=--， 即()()1212121102k x k x x x x t x t --+=⇒--()()12120t x x t -+++=⇒()()2222242120411k k t t t k k -+-+=⇒=++. 即()4,0E .当直线2l的斜率不存在时，直线2l 的方程为1x =，与圆C的交点坐标分别为(，(1,，显然满足0AEBE kk +=.所以当点E 为()4,0时，0AE BE k k +=.21．解：（1）由题知，()22e e x x f x ax ax '=+=()()2e 2e 2x x a x x a x x +=+.当0a >时，令()0f x '>，得0x >或2x <-.所以函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞-，()0,+∞，单调递减区间为()2,0-. 当0a <时，令()0f x '>，得20x -<<.所以函数()f x 的单调递减区间为(),2-∞-，()0,+∞，单调递增区间为()2,0-. （2）()e 1e x x f x x ++≥⇒()2e 110xaxx +-+≥.依题意，当0x ≤时，()2e110xaxx +-+≥，即当0x ≤时，2110ex ax x +-+≥. 设()211e xh x ax x =+-+， 则()121e x h x ax '=+-11222e x ax ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 设()1122e x m x ax =+-， 则()12e x m x a '=+.①当12a ≥-时，当0x <时，112e 2x >，从而()0m x '>，∴()1122ex m x ax =+-在区间(),0-∞上单调递增，又∵()00m =，∴当0x <时，()0m x <，从而当0x <时，()0h x '<， ∴()211e xh x ax x =+-+在区间(),0-∞上单调递减， 又∵()00h =，从而当0x ≤时，()0h x ≥， 即2110ex ax x +-+≥. 于是当0x ≤时，()e 1e xxf x x ++≥； ②当12a <-时，令()0m x '=，得102ex a +=，∴1ln 02x a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， 当1ln ,02x a ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0m x '<， ∴()1122e x m x ax =+-在区间1ln ,02a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减， 又∵()00m =， ∴当1ln ,02x a ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0m x >， 从而当1ln ,02x a ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>， ∴()211e x h x ax x =+-+在区间1ln ,02a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增， 又∵()00h =， 从而当1ln ,02x a ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x <， 即2110e x ax x +-+<，不合题意. 综上所述，实数a 的取值范围为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 22．解：（1）由sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 得sin cos cos sin 133ππρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即112y x =，故直线l 20y -+=.由1cos ,sin ,x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩得1cos ,sin ,x r y r ϕϕ-=⎧⎨=⎩所以圆C 的普通方程为()2221x y r -+=.若直线l 与圆C 有公共点，则圆心()1,0到直线l的距离d r =≤，即22r ≥， 故实数r的取值范围为2,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭. （2）因为直线l '的倾斜角为3π，且过点()2,0D ， 所以直线l '的参数方程为2,22t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），①圆C 的方程为()2214x y -+=，② 联立①②，得230t t +-=，设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则121t t +=-，123t t =-， 故12121113DB DA t t DA DB DA DB t t -+-===⋅. 23．解：（1）依题意，得()13,,212,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩由()3f x ≤，得1,233x x ⎧≤-⎪⎨⎪-≤⎩或11,223x x ⎧-<<⎪⎨⎪+≤⎩或1,3 3.x x ≥⎧⎨≤⎩ 解得11x -≤≤.即不等式()3f x ≤的解集为{}11x x -≤≤.（2）由（1）知，()min 1322f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ()2201822019g x x a x =--+-≥22018220191x a x a ---+=-， 则312a -≤， 解得1522a -≤≤，即实数a 的取值范围为15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}|20,|A x x B x x a =-<=<，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．[)2,-+∞ C ．(],2-∞ D ．[)2,+∞ 【答案】D考点：集合的运算.2.如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB，则12z z +=（ ）A ．2B ．3C ． ．【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，122,z i z i =--=，所以1222z z +=-=，故选A. 考点：复数的表示与复数的模.3.已知平面直角坐标系内的两个向量，()()1,2,,32a b m m ==-，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c a b λμ=+（,λμ为实数），则m 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),-∞+∞D ．(),2-∞()2,⋃+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c a b λμ=+（,λμ为实数），则,a b一定不共线，所以1232m m ≠-，解得2m ≠，所以m 的取值范围是(),2-∞()2,⋃+∞，故选D.考点：向量的坐标运算. 4.如图所示的是计算111124620++++ 的值的一个框图，其中菱形判断框内填入的条件是（ ）A ．8i >B ．9i >C ．10i >D ．11i >【答案】C考点：循环结构的程序框图的计算.5.将函数()cos f x x x -的图像向左平移m 个单位（0m >），若所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．23π B ．3π C ．8π D ．56π【答案】A【解析】试题分析：由题意得，函数()cos sin()6f x x x x π=-=-，将函数()sin()6f x x π=-的图象向左平移m 个单位（0m >），得()sin()6f x x m π=+-，若使得()sin()6f x x m π=+-为偶数，则2,623m k m k k Z πππππ-=+⇒=+∈,当1k =时，23m π=，故选A.考点：三角函数的图象变换与三角函数的性质. 6.已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则101268a a a a --的值为（ ）A ． 2B ． 4C ． 8D ．16 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，246516a a a ==，所以54a =±，因为32a =，所以54a =，所以2532a q a ==，又91141012115768114a a a q a q q a a a q a q--===--，故选B. 考点：等比数列的通项公式的应用.7.某书法社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生①该抽样一定不是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样；③该抽样不可能是分层抽样；④男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率，其中说法正确的为（ ） A ．①②③ B ．②③ C ． ③④ D ．①④ 【答案】B考点：抽样的应用.8.已知点Q 在椭圆22:11610x y C +=，点P 满足()112OP OF OQ =+ （其中O 为坐标原点，1F 为椭圆C 的左焦点），则点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆 【答案】D 【解析】试题分析：因为点P 满足()112OP OF OQ =+（其中O 为坐标原点，所以点P 是1QF 的中点，设(,)P a b ，由于1F 为椭圆22:11610x y C +=的左焦点，则1(F ，故)2b Q ，由点Q 在椭圆22:11610x y C +=上，则点P 的轨迹方程为2140b C +=，故选D. 考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质.9.已知一个几何体的三视图的如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3272π-B ．3182π- C ．273π- D ．183π- 【答案】B考点：几何体的三视图及体积的计算.10.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，,1,AC BC AC BC PA ⊥===外接球的表面积为（ ）A ．5π BC ．20πD ．4π 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，所以BC ⊥平面,PAC PB 是三棱锥P ABC -的外接圆的直径，因为Rt PBA ∆中，AB PA =PB =接球的半径为R =，所外接球的表面积为245S R ππ==，故选A.考点：球的组合体及球的表面积公式.【方法点晴】本题主要考查了特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了直线与平面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式，同时考查了推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据题意，证得BC ⊥平面,PAC PB 是三棱锥P ABC -的外接圆的直径，利用勾股定理几何体题中数据算得球的直径，得到球的半径，即可求解球的表面积. 11.若函数[])111sin 20,y x x π=∈，函数223y x =+，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ）A．12 B ．()21872π+ C ．()21812π+ D．()21572π-【答案】B考点：利用导数研究曲线在某点处的切线；利用导数求闭区间上函数的最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线、利用导数求闭区间上函数的最值，体现了导数的综合应用，其中利用平移切线法求直线和正弦函数距离的最小值是解决本题的关键，同时着重考查了转化与化归思想和数形结合思想的应用，本题的解答中根据平移切线法，求出和直线3y x =+平行的切线或切点，利用点到直线的距离公式即可求解结论.12.已知,x y R ∈，且4300x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则存在R θ∈，使得()4cos sin 0x y θθ-++=的概率为 （ ） A ．4π B ． 8π C ．24π- D ．18π-【答案】考点：简单的线性规划的应用.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划的应用，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想和数形结合思想的应用，本题的解答中作出不等式组表示的平面区域，利用辅助角公式将条件进行化简，转化为()2242x y -+≥，对应的图象是以(4,0)为圆心，半径r =的圆的外部，求出对应饿平面区域的面积即可求得结论.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知()22:12,:210,0p x q x x a a -≤-+-≥>，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(]0,2考点：充分不必要条件的应用．14.已知函数()f x =[)0,+∞，则实数m 的取值范围是 . 【答案】[][)0,19,⋃+∞ 【解析】试题分析：由题意得，函数()f x =[)0,+∞，则当0m =时，函数()f x =[)0,+∞，显然成立；当0m >时，则2(3)40m m ∆=--≥，解得01m <≤或9m ≥，综上可知实数m 的取值范围是[][)0,19,⋃+∞. 考点：函数的值域及二次函数的性质.15.若点P 是以12,F F 为焦点的双曲线22221x y a b-=上一点，满足12PF PF ⊥，则122PF PF =，则次双曲线的离心率为 .考点：双曲线的定义及简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的定义及其简单的几何性质、离心率的求解，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力，解答的关键是抓住要求离心率的定义，利用题设条件建立,,a b c 的关系式，即可求解ca的值，得到双曲线的离心率，本题的解答中根据双曲线的定义和题设条件，可得12,PF PF ，在直角三角形中，利用勾股定理得到,,a b c 的关系式. 16.已知函数()()2cos 10,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=++>><< ⎪⎝⎭的最大值为3，()f x 的图像与y 轴的交点坐标为()0,2，其相邻两条对称轴间的距离为2，则 ()()()()1232016f f f f +++= .【答案】4032 【解析】 试题分析：因为()()21cos(22)cos 112wx f x A x A ϕωϕ++=++=⋅+cos(22)122A Awx ϕ=+++的最大值为3，所以1322A A++=，所以2A =，根据函数相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即24w π=，所以4w π=，故函数的解析式为()cos()2sin 2222f x x x πππ=++=-+，所以()()()()1232016f f f f +++[sin sin(2)sin(3)sin(2015)sin(2016)]2201604032403222222πππππ-+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=+= .考点：二倍角公式；三角函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了二倍角公式、三角函数sin()y A wx ϕ=+的图象与性质，着重考查分析问题、解答问题的能力和运算能力，属于中档试题，本题的解答中，由函数的最值求出A 的值，在根据相邻两条对称轴间的距离，求出函数的周期，确定w 的值，根据特殊点的坐标求解ϕ的值，确定函数的解析式，再利用三角函数的周期性求解相应式子的值. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项()113,3n n n a a S n N ++≠=+∈． （1）求证：{}3nn S -是等比数列；（2）若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）()9,-+∞.试题解析：（1）()13nn n a S n N ++=+∈ ，()1+1+1=233=23n n n n n n n SS S S +∴+∴--13a ≠ ，∴数列3n n S -是公比为2，首项为13a -的等比数列；（2）由（1）得()11332nn n S a --=-⨯，()11323n n n S a -=-⨯+2n ≥时，()21113223n n n n n a S S a ---=-=-⨯+⨯{}n a 为递增数列，2n ∴≥时，()()1211132233223n n n n a a ----⨯+⨯>-⨯+⨯2n ∴≥时，2213212302n n a --⎡⎤⎛⎫⨯+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦12119,3a a a a ∴>-=+> ，1a ∴的取值范围是()9,-+∞.考点：等比数列的定义及等比数列的性质的应用.18．（本小题满分12分）去年年底，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估.将各连锁店的评估分数按[)[)[)[)60,70,70,80,80,90,90,100分成四组，其频率分布直方图如下图所示，集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为,,,A B C D 四个等级，等级评定标准如 下表所示.（1）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；（2）从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A 等级的概率.【答案】（1）75，75.4；（2）35.（2）A 等级的频数为250.082⨯=，记这两家分别为,;a b B 等级的频数为250.164⨯=，记这四家分别为,,,c d e f ，从这6家连锁店中任选2家，共有()()()()()(),,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,b d b e b f c d c e c f d e d f e f ，共有15种选法.其中至少选1家A 等级的选法有()()()()()(),,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c ()()(),,,,,b d b e b f 共9种，则93155P ==，故至少选一家A 等级的概率为35.考点：频率直方图、众数与平均数的计算；古典概型及其概率的计算.19.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -，侧面11ACC A 与侧面11CBBC 都是菱形，11160,2ACC CC B AC ∠=∠=︒=.（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB =11A BB C C -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）2.试题解析：（1）连接11,AC CB 则1ACC ∆和11BCC ∆皆为正三角形. 取1CC 中点O ，连接1,OA OB则1111,,CC OA CC OB OA OB O ⊥⊥⋂=又 则1CC ⊥平面1OAB ，则11CC AB ⊥；（2）由（1）知，1OA OB =1AB所以1OA OB ⊥，又111,OA CC OB CC O ⊥⋂=，所以OA ⊥平面11BB C C则111sin 60BB C C S BC BB =⨯︒=菱形故1111123A BBC C BB C C V S OA -=⨯=菱形.考点：直线与平面垂直的判定与证明；几何体的体积的计算.20. （本小题满分12分）设抛物线21:4C y x =的准线与x 轴交于点1F ，焦点2F ；椭圆2C 以1F 和2F 为焦点，离心率12e =.设P 是1C 与2C 的一个交点. （1）椭圆2C 的方程；（2）直线l 过2C 的右焦点2F ，交1C 于12,A A 两点，且12A A 等于12PFF ∆的周长，求l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）)1y x =-或)1y x =-.试题解析：（1）由题得， ()()121,0,1,0F F -是椭圆2C 的两焦点，故半焦距为1，再由离心率为12知，长半轴长为2，从而2C 的方程为22143x y +=；考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线综合应用.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线综合应用，解题是要认真审题，注意椭圆的弦长公式的合理运用，着重考查了推理与运算能力和分类讨论思想的应用，本题的解答中，利用12PF F ∆的周长为6，得出弦长，可设l 的方程为(1)y k x =-与1C 的方程联立，由此利用弦长公式，即可求解直线的方程.21.（本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3. （1）求实数a 的值；（2）若()2f x kx ≤对任意0x >成立，求实数k 的取值范围；（3）当()1,n m m n N+>>∈m n>.【答案】（1）1a =；（2）[)1,+∞；3mn>. 【解析】试题分析：（1）求出()f x 的导数，由切线的斜率为3，解方程，即可得到a ；（2）()2f x kx ≤对任意0x >成立，得1ln x k x +≥对任意0x >成立，令()1ln xg x x+=，则问题转化为求()g x 的最大值，运用导数，求出导数，求得单调区间，得到最大值，令k 不小于最大值即可；（3）令()ln 1x xh x x =-，求出导数，判断其单调性，即得()h x 是(1,)+∞上的增函数，由1n m >>，则()()h n h m >，化简整理，即可得证.试题解析：（1）()()'ln ln 1f x ax x x fx a x =+∴=++又()f x 的图像在点x e =处的切线的斜率为3，()'3f e ∴=，即ln 131a e a ++=∴=（3）令()ln 1x x h x x =-，则()()'21ln 1x xh x x --=- 由（2）知，()()'1ln 0,0x x x h x ≥+>∴≥()h x ∴在区间()1,+∞上增函数，()()'1n m h n h m >>∴> ，即ln ln 11n n m mn m >-- ln ln ln min mn n n n mn m m ∴->-，即ln ln ln ln mn n m m mn m n n ∴+>+ln ln ln ln mn m mn n n m m n +>+，()()ln ln mnn m mn nm >()()mnn nmn m n >，mn>. 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的综合应用和不等式的证明.【方法点晴】本题主要考查了导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查不等式的恒成立问题转化为求解函数的最值，同时考查了与函数有关的不等式的证明，运用构造函数，求得导数的单调性，再由单调性证明，试题有一定的难度属于难题，着重考查了转化与化归的思想方法和构造思想的应用，对于此类问题平时要注意总结和积累. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆O 是ABC ∆的外接圆，,AB BC AD =是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径. （1）求证：AC BC AD AE ⋅=⋅；（2）过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ，若4,6AF CF ==，求AC 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）103.（2）因为FC 为圆的切线，所以2FC FA FB =⋅又4,6AF CF ==，从而解得9,5BF AB BF AF ==-= 因为,ACF CBF CFB AFC ∠=∠∠=∠， 所以AFC CFB ∆∆∽，所以AF AC CF CB =，即103AF CB AC CF ⋅==. 考点：圆的性质及与圆相关的比例线段.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，O 为极点，点2,,24A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求经过点,,O A B 的圆C 的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x 的正半轴建立平面直角坐标系，圆D 的参数方程为1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ 是参数，a 为半径），若圆C 与圆D 相切，求半径a 的值.【答案】（1）4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）a =a =试题解析：（1）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，∴点()()()0,0,0,2,2,2O A B ，过,,O A B 三点的圆C 的普通方程是()()22112x y -+-=即22220x x y y -+-=，化为极坐标方程为22cos 2sin ρρθρθ=+即4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭； （2）圆D 的参数方程1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ是参数，a 为半径）化为普通方程是()()22211x y a +++=则圆C 与圆D 的圆心距CD ==,当圆C 与圆D 相切时，则有2a +=2a -=解得a =a =考点：参数方程与普通方程的互化；简单曲线的极坐标方程. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()(),4f x x g x x m ==--+. （1）解关于x 的不等式()20g f x m +->⎡⎤⎣⎦；（2）若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()()6,22,6--⋃；（2）(),4-∞.考点：函数的恒成立；函数的值；绝对值不等式的求解.。

衡水金卷2018年高考模拟卷(三)数学(文)试题Word版含答案2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（三）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合 $A=\{x|1<x\leq3\}$，$B=\{x|0\leq x<2\}$，则$A\cap B=$（）A。

$\{x|0\leq x<2\}$B。

$\{x|0\leq x\leq3\}$C。

$\{x|1<x<2\}$D。

$\{x|1\leq x\leq3\}$2.设函数 $f(x)=\begin{cases}x+1,&x\geq2\\\frac{1}{2},&x<2\end{cases}$，则 $f[f(-1)]=($$)$A。

$\frac{3}{2}$B。

$2+1$C。

$1$D。

$3$3.若向量$\boldsymbol{a}=(1,0)$，$\boldsymbol{b}=(0,1)$，$\boldsymbol{c}=2x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}=(2,3)(x,y\in\mathbb{R})$，则 $x+y=$（）A。

$4$B。

$5$C。

$3$D。

$2$4.若实数 $x$，$y$ 满足约束条件 $\begin{cases}y\geq1\\x+y\leq3\end{cases}$，则 $x$ 的取值范围是（）A。

$(-\infty,2]$B。

$[2,3]$C。

$(-\infty,-2]\cup[2,3]$D。

$(-\infty,3]$5.命题 $p$：若复数$z=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+2i$（$i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 对应的点在第二象限，命题 $q$：若复数 $z$ 满足$z\cdot\overline{z}$ 为实数，则复数$z$ 一定为实数，那么（）A。

河北省衡水市衡水金卷2018届高三大联考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2540M x x x =-+≤，{}0,1,2,3N =，则集合M N I 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知命题p ：x ∀∈R ，()1220x -<，则命题p ⌝为（ ） A ．0x ∃∈R ，()12020x -> B ．x ∀∈R ，()1210x -> C ．x ∀∈R ，()1210x -≥ D ．0x ∃∈R ，()12020x -≥ 3．已知复数5i2i 1z =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．已知双曲线C ：()2221016x y a a -=>的一个焦点为()5,0，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．430x y ±= B ．1690x y ±=C ．40x =D ．4312x y ±=5．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示的是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A ．2726mm 5π B．2363mm 10π C ．2363mm 5π D ．2363mm 20π6．下列函数中，与函数122x x y =-的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（ ）A ．sin y x =B ．2y x =C ．1y x =D ．()()2200x x y x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩7．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ．8．设55log 4log 2a =-，2ln ln 33b =+，1lg5210c =，则a b c ，，的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．b a c << 9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．1819 B ．1920 C ．2021 D ．12010．将函数()2sin 43f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭π的图象向左平移6π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ） A ．最小正周期为π B ．图象关于直线12x =π对称C ．图象关于点,012⎛⎫⎪⎝⎭π对称 D ．初相为3π11．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为（ ） A ．43 B ．43- C ．43± D ．169- 12．已知ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且()()222cos cos ab c a B b A abc +-⋅+=，若2a b +=，则c 的取值范围为（ ）A ．()0,2B ．[)1,2C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(]1,2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量sin ,cos 36a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππr ，(),1b k =r，若a b ∥r r ，则k = ．14．已知函数()32f x x x =-，若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线经过圆C ：()222x y a +-=的圆心，则实数a 的值为 ．15．已知实数x y ，满足约束条件3,,60,x y x y +≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩ππ则()sin x y +的取值范围为 （用区间表示）．16．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥M ABCD -为阳马，侧棱MA ⊥底面ABCD ，且2MA BC AB ===，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在递增的等比数列{}n a 中，1632a a ⋅=，2518a a ⋅=，其中*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC CC ===，点D 为AB 的中点.（1）证明：1AC ∥平面1B CD ； （2）求三棱锥11A CDB -的体积.19．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人. （i ）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（ii ）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.63520．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()2,12，直线l ：20kx y -+=与椭圆C 交于A B ，两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在实数k ，使得OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r（其中O 为坐标原点）成立？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由.21．已知函数()2ln 23f x x x =-+，()()()4ln 0g x f x x a x a '=++≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的方程()g x a =有实数根，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y =⎧⎨=⎩αα（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lsin 34⎛⎫+= ⎪⎝⎭πθ. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，试证明：223t t -≥.衡水金卷2018届全国高三大联考文数参考答案及评分细则一、选择题1-5:CDDAB 6-10:DAABC 11、12：BB 二、填空题13．1 14．2- 15．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．36-π 三、解答题17．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则251632a a a a ⋅=⋅=， 又2518a a +=，∴22a =，516a =或216a =，52a =（舍）. ∴3528a q a ==，即2q =. 故2122n n n a a q--==（*n ∈N ）.（2）由（1）得，12n n b n -=+.∴12n n T b b b =+++L()()211222123n n -=+++++++++L L()112122n n n +-=+- 2212nn n +=-+.18．解：（1）连接1BC 交1B C 于点O ，连接OD .在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是平行四边形. ∴点O 是1BC 的中点. ∵点D 为AB 的中点， ∴1OD AC ∥.又OD ⊂平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ，∴1AC ∥平面1B CD .（2）∵AC BC =，AD BD =， ∴CD AB ⊥.在三棱柱111ABC A B C -中，由1AA ⊥平面ABC ，得平面11ABB A ⊥平面ABC . 又平面11ABB A I 平面ABC AB =. ∴CD ⊥平面11ABB A .∴点C 到平面11A DB 的距离为CD ，且sin 4CD AC ==π∴11111113A CDB C A DB A DB V V S CD --∆==⨯1111132A B AA CD =⨯⨯⨯⨯=14263⨯=. 19．解：（1）由列联表可知，()2220070406030 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为2.198 2.072>，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关. （2）（i ）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有6053100⨯=（人）， 偶尔或不用共享单车的有4052100⨯=（人）.（ii ）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a b c ，，；偶尔或不用共享单车的2人分别为d e ，.则从5人中选出2人的所有可能结果为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种.其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为(),d e ，共1种.故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率1911010P =-=. 20．解：（1）依题意，得22222211,,2,a b caa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得24a =，22b =，22c =，故椭圆C 的标准方程为22142x y +=. （2）假设存在符合条件的实数k .依题意，联立方程222,24,y kx x y =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理，得()2212840k xkx +++=.则()226416120k k∆=-+>，即2k >或2k <-. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122812k x x k +=-+，122412x x k=+. 由OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r ，得0OA OB ⋅=uu r uu u r.∴12120x x y y +=.∴()()1212220x x kx kx +++=. 即()()212121240kx xk x x ++++=.∴()22224116401212k k k k+-+=++. 即2284012k k -=+. 即22k =，即k =故存在实数k =OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r成立.21．解：（1）依题意，得()21144x f x x x x -'=-=()()1212x x x+-=，()0,x ∈+∞. 令()0f x '>，即120x ->. 解得102x <<； 令()0f x '<，即120x -<. 解得12x >. 故函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）由题得，()()4ln g x f x x a x '=++=1ln a x x+. 依题意，方程1ln 0a x a x +-=有实数根， 即函数()1ln h x a x a x=+-存在零点.又()2211a ax h x x x x -'=-+=.令()0h x '=，得1x a=.当0a <时，()0h x '<.即函数()h x 在区间()0,+∞上单调递减，而()110h a =->，111111e 1a ah a a a e --⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111110e e a-=-<-<.所以函数()h x 存在零点；当0a >时，()h x '，()h x 随x 的变化情况如下表：所以11ln ln h a a a a a a a ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭为函数()h x 的极小值，也是最小值. 当10h a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即01a <<时，函数()h x 没有零点； 当10h a ⎛⎫≤⎪⎝⎭，即1a ≥时，注意到()110h a =-≤， ()11e 0e eh a a =+-=>， 所以函数()h x 存在零点.综上所述，当()[),01,a ∈-∞+∞U 时，方程()g x a =有实数根.22．解：（1）由曲线C 的参数方程2cos sin x y =⎧⎨=⎩αα（α为参数），得曲线C 的普通方程为2214x y +=. 2sin 34⎛⎫+= ⎪⎝⎭πρθ， 得()sin cos 3+=ρθθ，即3x y +=.∴直线l 的普通方程为30x y +-=.（2）设曲线C 上的一点为()2cos ,sin αα，则该点到直线l的距离d ==（其中tan 2=ϕ）.当()sin 1+=-αϕ时，max d ==. 即曲线C 上的点到直线l. 23．解：（1）依题意，得()3,1,12,1,213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩ 则不等式()3f x ≤即为1,33x x ≤-⎧⎨-≤⎩或11,223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,23 3.x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得11x -≤≤.故原不等式的解集为{}11x x -≤≤. （2）由题得，()()121g x f x x x =++=-+2221223x x x +≥---=， 当且仅当()()21220x x -+≤.即112x -≤≤时取等号. ∴[)3,M =+∞.∴()()22331t t t t --=-+. ∵t M ∈，∴30t -≥，10t +>. ∴()()310t t -+≥. ∴223t t -≥.。