2013-2014学年第一学期高三理科数学国庆假期作业1

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2014.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B = （ ） （A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（ ） （A ）4（B（C ）3（D4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）34 （B ）45（C ）56（D ）12．已知复数z 满足2i=1iz +，那么z 的虚部为（ ） （A ）1-（B ）i -（C ）1（D ）i5．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ） （A）2y x =+-（B）1y x =+-（C）2y x =-+（D）1y x =+-6． 若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（ ） （A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b <<（D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（ ） （A ）116-（B ） 18-（C ） 14-（D ） 08. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP =x ， 则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（ ）（A） （B） （C） （D）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k = ____． 10．若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++= ______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）13． 如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB=______．1侧(左)视图14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y =+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v . （1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是 ； （2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()2f α=[π,π]α∈-，求α的值； （Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值； （Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3， H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.甲组 乙组 891 a822 F CEHD18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ， O 为坐标原点. （Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N **挝.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．4 10．125511． 12．24 13．1 214．(1,1) π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π， 所以2||ωπ=π，解得2ω=． ……………… 3分由 ()2f α=22α=， 即 cos 22α=， ……… 4分 所以 π22π4k α=±，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-， 所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- ……………… 8分1sin 222x x =πsin(2)3x =+， ……………10分 由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分 解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． ………………12分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 2分解得 1a =. ……………… 3分 （Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 4分依题意 0,1,2,,9a = ，共有10种可能. ……………… 5分 由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当2,3,4,,9a = 时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 6分 所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． ……………… 7分 （Ⅲ）解：当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种， 它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)， ……………… 9分则这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有取值为0,1,2,3,4. ……………… 10分 因此2(0)9P X ==，2(1)9P X ==，1(2)3P X ==，1(3)9P X ==，1(4)9P X ==. ……………… 11分所以随机变量X 的分布列为：………………12分所以X 的数学期望221115()01234993993E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以 AC BD ⊥. ……… 1分因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，且四边形BDEF 是矩形，所以 ED ⊥平面ABCD ， ……………… 2分 又因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 ED AC ⊥. …………… 3分 因为 ED BD D = ，所以 AC ⊥平面BDEF . …………… 4分 （Ⅱ）解：设AC BD O = ，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点，所以 //ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，所以 ON ⊥平面ABCD ，由AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系. ……… 5分 因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，3BF =， 所以(0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F，C，13()22H . ………………6分因为 AC ⊥平面BDEF ，所以平面BDEF的法向量AC =. …………7分设直线DH 与平面BDEF 所成角为α，由33(,)222DH = ， 得sin |cos ,|DH AC DH AC DH ACα⋅=<>=== ，所以直线DH 与平面BDEF. ………………9分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ），得13()222BH =- ，(2,0,0)DB = .设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ………………10分即111130,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩ 令11z =，得(0,=n . ………………11分由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-，则00(01(3)1cos ,232ED ED ED⋅⨯+⨯+⨯-<>===-⨯n n n . ………………13分 由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60 . ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e x f x x a '=++． ……………… 2分 令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分 当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：……………… 5分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分 （Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……………… 7分理由如下：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2e x ax x -=，显然0x =为此方程的一个实数解.所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分 当0x ≠时，方程可化简为e x ax -=.设函数()ex aF x x -=-，则()e 1x a F x -'=-，令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分 因为 1a <，所以min ()()10F x F a a ==->， 所以对于任意x ∈R ，()0F x >， 因此方程e x a x -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ……………… 1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分 令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分 因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方， 所以 114k ->， 解得 34k <. ……………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩ 消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 7分 同理，得AC 的方程为11(1)y x k-=--，211x k =--. ……………… 8分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线斜率为12x ，所以切线BD 的方程为21112()y x x x x -=-， 即2112y x x x =-. ……………… 9分 同理，抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的方程为2222y x x x =-.………………10分联立两条切线的方程2112222,2,y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 解得12311(2)22x x x k k +==--，3121y x x k k==-，所以点D 的坐标为111((2),)2k k k k---. ………………11分 因此点D 在定直线220x y ++=上. ………………12分因为点O 到直线220x y ++=的距离d ==所以5OD ≥，当且仅当点42(,)55D --时等号成立． ………………13分 由3125y k k =-=-，得k =.所以当k =OD………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由等比数列{}n a 的14a =，12q =， 得14a =，22a =，31a =，且当3n >时，01n a <<. ……………… 1分所以14b =，22b =，31b =，且当3n >时，[]0n n b a ==. ……………… 2分即 ,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥ ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. ……………… 4分 因为 []n n b a =，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ……………… 5分 由 21a q a =，得 1q <. ……………… 6分 因为 201220142[2,3)a a q =∈，所以 20122223qa >≥，第 11 页 共 11 页 所以 2012213q <<，即 120122()13q <<. ……………… 8分 （Ⅲ）证明：（充分性）因为 1a N *Î，q N *Î， 所以 11n n a a q N -*= ，所以 []n n n b a a == 对一切正整数n 都成立.因为 12n n S a a a =+++L ，12n n T b b b =+++L ，所以 n n S T =. ……………… 9分 （必要性）因为对于任意的n N *Î，n n S T =，当1n =时，由1111,a S b T ==，得11a b =；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =.由 n b Z Î，0n a >，得对一切正整数n 都有n a N *Î， ………………10分 所以公比21a q a =为正有理数. ………………11分 假设 q N *Ï，令p q r=，其中,,1p r r N *?，且p 与r 的最大公约数为1. 因为1a 是一个有限整数，所以必然存在一个整数()k k N Î，使得1a 能被k r 整除，而不能被1k r+整除. 又因为111211k k k k a p a a q r++++==，且p 与r 的最大公约数为1. 所以2k a Z +Ï，这与n a N *Î（n N *Î）矛盾.所以q *∈N .因此1a N *Î，q *∈N . ……………13分。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作高三国庆假期作业(1)1. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，那么集合A ∩(C U B )＝___________.2. 设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0ln x ，x ＞0，则g [g (12)]＝___________. 3. 若y ＝f (x )是幂函数, 且满足f (4)f (2)＝22, 则f (3)＝___________. 4. 若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0, 1]，则a ＝___________. 5. 函数y ＝log 0.5(4x 2－3x )的定义域为___________.6. 已知函数f (x )＝x ＋1－a a －x(a ∈R 且x ≠a )的定义域为[a －1，a －12]时，则f (x )的值域为___________. 7. 函数f (x )＝log 2x ·2log (2)x 的最小值为___________.8. 函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f [f (5)]＝___________. 9. 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ， x ＜0，(a －3)x ＋4a ， x ≥0.满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是________.10. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则f (－3)等于___________.11. 设a 为实常数, y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数, 当x ＜0时, f (x )＝9x ＋a 2x ＋7, 若f (x )≥a ＋1对一切x ≥0成立,则a 的取值范围为___________.12. 已知函数f (x )＝x 2－|x |, 若f (－m 2－1)＜f (2), 则实数m 的取值范围是___________.13. 函数f (x )＝2x ·|log 0.5x |－1的零点个数为___________.14. 已知f (x )＝32x －(k ＋1)·3x ＋2, 当x ∈R 时, f (x )恒为正值, 则k 的取值范围是___________.15. 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x ). 当x ∈[0, 1]时，f (x )＝2x ., 若在区间[－2, 3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是___________.16. 若f (x )＝x 2－2, g (x )＝－x ，则max{f (x ), g (x )}的最小值为___________.17. 若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a ＞0, a ≠1)在区间(0, 12)内恒有f (x )＞0，则f (x )的单调递增区间是_____________.18. 已知函数f (x )＝|lg x |, a ＞b ＞0, f (a )＝f (b ) , 则a 2＋b 2a －b的最小值等于_________.19. 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足下列条件：①当x ∈R 时，f (x )的最小值为0, 且f (x －1)＝f (－x －1)恒成立；②当x ∈(0, 5)时, 2x ≤f (x )≤4|x －1|＋2恒成立. (1)求f (1)的值； (2)求f (x )的解析式；(3)求最大的实数m (m ＞1), 使得存在实数t , 只要当x ∈[1, m ]时, 就有f (x ＋t )≤2x 成立.20. 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )．(1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．21. 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0.(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．22. 设函数f (x )＝e x x 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x (k 为常数)． (1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．23. 已知函数f (x )＝ae 2x －be －2x －cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c . (1)确定a ，b 的值； (2)若c ＝3，判断f (x )的单调性；(3)若f (x )有极值，求c 的取值范围．24. 设函数f (x )＝13x 3－ax (a ＞0)，g (x )＝bx 2＋2b －1. (1)若曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处有相同的切线，求实数a ，b 的值；(2)当b ＝1－a 2时，若函数h (x )＝f (x )＋g (x )在区间(－2，0)内恰有两个零点，求实数a 的取值范围；(3)当a ＝1，b ＝0时，求函数h (x )＝f (x )＋g (x )在区间[t ，t ＋3]内的最小值．高三国庆假期作业(1)答案1、{x |－1≤x ≤3}；2、12；3、33；4、2；5、[－14，0)∪(34，1]；6、[0, 1]；7、－14；8、－15；9、(0，14]；10、6； 11、a ≤－87；12、(−1, 1)；13、2；14、k ＜22－1；15、(25, 23)；16、－1；17、(－∞, －12)；18、22； 19、解：⑴ 在②中，令x ＝1得f (1)＝2，⑵ 由f (x －1)=f (－x －1)，知f (x )关于x ＝－1对称且开口向上．故设f (x )＝a (x ＋1)2 (a ＞0)∵f (1)＝2，∴ a ＝12，f (x )＝12(x ＋1)2． ⑶假设存在t ∈R ，对于∨−x ∈[1，m ]，都有f (x ＋t )≤2x ，即x 2＋(2t －2)x ＋t 2＋2t ＋1≤0 令g (x )＝x 2＋(2t －2)x ＋t 2＋2t ＋1，则只需要g (1)≤0且g (m )≤0，由g (1)≤0⇒－4≤t ≤0． 由g (m )≤0 ⇒1－t －2－t ≤m ≤1－t ＋2－t ．∴m ≤1－t ＋2－t ≤1－(－4)＋2－(－4)＝9．而当t ＝－4时，f (x －4)－2x ＝12(x 2－10x ＋9)＝12(x －1)(x －9)在x ∈[1，9]时，恒有f (x －4)≤2x 成立．∴ m 的最大值为9．⑶ 另解：假设存在t ∈R ，对于∨−x ∈[1，m ]，都有f (x ＋t )≤2x ，即x 2＋(2t －2)x ＋t 2＋2t ＋1≤0 ……①令g (x )＝x 2＋(2t －2)x ＋t 2＋2t ＋1，则只需要g (1)≤0且g (m )≤0，由g (1)≤0⇒－4≤t ≤0 …………②由g (m )≤0 ⇒ t 2＋(2m ＋2)t ＋m 2－2m ＋1≤0，即－1－m －2m ≤t ≤－1－m ＋2m ．∵①②关于t 有解，∴－1－m ＋2m ≥－4 ⇒(m －1)2≤4 ⇒1＜m ≤9，∴ m 的最大值为9． 注：若本题是填空题，还可以数形结合画图来做 (大题不行!).20、解：(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x (x ＋2)1－2x，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0. 所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0， 在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，－x 1－2x＜0， 依题意当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b ≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，19. 21、解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3， x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1＜x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＜0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＞0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3 内单调递增．(2)因为a ＞0，所以x 1＜0，x 2＞0，①当a ≥4时，x 2≥1. 由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a ＜4时，x 2＜1. 由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a 3处取得最大值． 又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值；当1＜a ＜4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．22、解：(1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝⎛⎭⎫－2x 2＋1x ＝x e x －2e x x 3－k (x －2)x 2＝(x －2)(e x －kx )x3. 由k ≤0可得e x －kx ＞0， 所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，函数y ＝f (x )单调递减；x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，当k ≤0时，函数f (x )在(0，2)内单调递减，故f (x )在(0，2)内不存在极值点； 当k ＞0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈(0，＋∞)．因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ，当0＜k ≤1时，当x ∈(0，2)时，g ′(x )＝e x －k ＞0，y ＝g (x )单调递增，故f (x )在(0，2)内不存在两个极值点．当k ＞1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )＜0，函数y ＝g (x )单调递减；x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )＞0， 函数y ＝g (x )单调递增．所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )．函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＞0，g (ln k )＜0，g (2)＞0，0＜ln k ＜2， 解得e ＜k ＜e 22. 综上所述，函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e ，e 22. 23、解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝2ae 2x ＋2be －2x －c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )，即2(a －b )(e 2x－e －2x )＝0.因为上式总成立，所以a ＝b . 又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，所以a ＝1，b ＝1.(2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x －e －2x －3x ，∴f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －3≥22e 2x ·2e －2x －3＝1＞0，故f (x )在R上为增函数．(3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c ，而2e 2x ＋2e －2x ≥22e 2x ·2e －2x ＝4，当且仅当x ＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论：当c ＜4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c ＞0，此时f (x )无极值．当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －4＞0，此时f (x )无极值．当c ＞4时，令e 2x ＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1，2＝c ±c 2－164＞0， 则f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1，x 2＝12ln t 2. 当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＜0；当x ＞x 2时，f ′(x )＞0. 从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．24、解：(1)因为f (x )＝13x 3－ax (a ＞0)，g (x )＝bx 2＋2b －1，所以f ′(x )＝x 2－a ，g′(x )＝2bx . 因为曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处有相同的切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)， 即13－a ＝b ＋2b －1，且1－a ＝2b ，解得a ＝13，b ＝13. (2)当b ＝1－a 2时，h (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a (a ＞0)，所以h ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )． 令h ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝a ＞0. 当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1) －1 (－1，a ) a (a ，＋∞)h ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋h (x ) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗所以函数h (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(－1，a )， 故h (x )在区间(－2，－1)上单调递增，在区间(－1，0)上单调递减．又函数h (x )在区间(－2，0)内恰有两个零点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧h (－2)＜0，h (－1)＞0，h (0)＜0，即⎩⎨⎧－83＋2(1－a )＋2a －a ＜0，－13＋1－a 2＋a －a ＞0，－a ＜0，解得0＜a ＜13，所以实数a 的取值范围是(0，13). (3)当a ＝1，b ＝0时，h (x )＝13x 3－x －1，b ＝1－a 2， 则由(2)可知，函数h (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1)．因为h (－2)＝－53，h (1)＝－53，所以h (－2)＝h (1)． ①当t ＋3＜1，即t ＜－2时，[h (x )]min ＝h (t )＝13t 3－t －1. ②当－2≤t ＜1时，[h (x )]min ＝h (－2)＝－53. ③当t ≥1时，h (x )在区间[t ，t ＋3]上单调递增，[h (x )]min ＝h (t )＝13t 3－t －1. 综上可知，函数h (x )在区间[t ，t ＋3]上的最小值[h (x )]min ＝⎩⎨⎧13t 3－t －1，t ∈(－∞，－2)∪[1，＋∞），－53，t ∈[－2，1）.。

六安一中2025届高三年级国庆假期作业数学试卷时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则 （ ）A ．B ． C．D ．2．设函数则 （ ）A． B ． C ． D ．3．己知，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．当时，曲线与的交点个数为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．85．已知，则在下列选项中最小的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知定义在上的函数满足 （为的导函数），且，则（）A ．B ．C ．D ．7．某同学为测量钟楼的高度MN ，在钟楼的正西方向找到一座建筑物AB ，高为a 米，在地面上点C 处（B ，C ，N 三点共线）测得建筑物顶部A ，钟楼顶部M 的仰角分别为和，在A 处测得钟楼顶部M 的仰角为，则钟楼的高度为（）米．sin 2cos θθ=-sin si (n os )c θθθ+=65-25-2565()()()2ln 1,2,x x x ef x x e x e--≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩(321log log f f ⎛++= ⎝539122e e -+331ln 22e +351ln 22e +151ln 22e-+x ∈R 10ln 2x <≤2311x x -≤-[]0,2πx ∈sin y x =π2sin 36y x =-⎛⎫⎪⎝⎭ln 7ln 6ln5ln 43,4,5,6a b c d ====b a -c b -d b -c a-()0,+∞()f x ()()()1f x x f x <'-()f x '()f x ()10f =()22f <()22f >()33f <()33f >αβγA ．B ．．C ．D ．8．若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列命题正确的有（）A ．函数定义域为，则的定义域为B ．函数是奇函数C ．已知函数存在两个零点，则D ．函数在上为增函数10．已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，下面四个结论正确的是（ ）A ．若，则是钝角三角形B ．若，则为等腰三角形C ．若，则D ．若，且有两解，则b 的取值范围是11．设函数与其导函数的定义域均为R ，且为偶函数，，则（）A ．B ．C ．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．．12．若如是关于x 的方程的两个根，则________．13．若是奇函数，则______，________．()()sin sin sin sin a αββαβγ+-()()sin sin sin sin a a αββαβγ++-()()sin sin sin sin a αγβαβγ+-()()sin sin sin sin a a αβγαβγ++-ln kx b x +≥bk[)0,+∞[)1,-+∞[)2,-+∞[),e -+∞()2f x []2,2-()2f x []2,2-())lnf x x =+()lg f x x k =-12,x x 12x x k=()1f x x x=+()0,+∞ABC △2220a b c +-<ABC △cos cos a A b B =ABC △sinsin 2A C a b A +=π3B =π,3B a ==ABC △(3,()f x ()f x '()2f x '+()()110f x f x +--=()()11f x f x '+='-()30f '=()20250f '=()()()2222f x f x f ++-=sin cos θθ、20x ax a -+=3π3πcos sin 22θθ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln 1f x a b x=++-a =b =14．已知函数的值域为，其中，则的最小值为________．四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知（1）化简；（2）若，求的值．16．（本小题满分15分）记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．（1）求的面积；（2）若，求b ．17．（本小题满分15分）记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．（1）求；（2）求的取值范围．18．（本小题满分17分）已知函数，（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）证明：函数在上有两个零点．19．（本小题满分17分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；()22f x ax x b =++()0,+∞a b >22a b a b+-()()()()()πcos 3πsin sin πan 2π33cos πcos π2t f ααααααα⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()fαπ33π5π,,4544f αα⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABC △123,,S S S 12313S S S B -+==ABC △sin sin A C =ABC △cos sin a C C b c =+tan A 2bca()sin 1f x x x =-()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()y f x =[]0,π()()ln 1xf x e x =+()y f x =()()0,0f（2）设，讨论函数在上的单调性；（3）证明：对任意的，有．六安一中2025届高三年级国庆假期作业数学试卷参考答案1234567891011CAACCDCBABACDBCD8．令，则恒成立，又，当时，恒成立，所以在上单调递增，且时，不符合题意；当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增．在上单调递减，所以，所以，所以，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即的取值范围是．故选B 1213．14．15．（1）（2）()()g x f x ='()g x [)0,+∞(),0,s t ∈+∞()()()f s t f s f t +>+()ln f x x kx b =--()0f x ≤()1f x k x'=-0k ≤()0f x '>()f x ()0,+∞x →+∞()f x →+∞0k >()0f x '>10x k<<()0f x '<1x k >()f x 10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()max 11ln 1l 01n f x f k k b k b =--=-⎛⎫= ⎪⎝--≤⎭ln 1b k ≥--ln 1b k k k --≥()()ln 1,0,k g k k k--=∈+∞()2ln kg k k'=01k <<()0g k '<1k >()0g k '>()g k ()0,1()1,+∞()()11g k g ≥=-1b k ≥-bk [)1,-+∞112-ln 2()()()()()()()()()πcos 3πsin sin πan 2πcos cos sin tan 2sin 3sin cos cos πc s π2t o f αααααααααααααα⎛⎫-+-- ⎪--⎝⎭===--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭πππππsin sin si 3πn 4444,cos 524f ααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛-=-+=-=- ⎪ ⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎪⎢⎭⎝⎥⎝⎭⎭⎣⎦⎭⎝3π5ππππ,,,πcos 44424,54ααα⎛⎫⎛⎫∈-∈-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎛⎫-⎪⎭⎭⎝16．（1）由题意得，则即，由余弦定理得，整理得，则，又则，则，（2）由正弦定理得：，则，则17．（1）因为，所以由正弦定理知，而，故，．由于C 是三角形内角，故，，故亦即，显然，故（2）因为，又，所以，解得，所以π4sin 45α⎛⎫+=-⎪⎝⎭22221231,,2S a S S =⋅===222123S S S -+==2222a c b +-=222cos 2a c b B ac+-=cos 1ac B =cos 0B >1sin 3B =1cos cos B ac B ====1sin 2ABC S ac B ==△sin sin sin b a c B A C ==229sin sin sin sin sin 4b a c ac B A C A C =⋅===331,sin sin 222b b B B ===cos sin 0a C C bc +--=sin cos sin sin sin A C A C B C =+()sin sin sin cos sin cos B A C A C C A =+=+sin cos sin sin cos sin cos sin A C A C A C C A C =++cos cos sin sin A C A C C =+sin 0C ≠cos 1A A =+)222cos sin cos A AA A-=+24sin cos A A A =sin 0A ≠tan A =sin tan 0cos A A A ==>22sin cos 1A A +=π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0A >sin A =2cos 3A =从而．不妨设，则，即的取值范围是，所以的取值范围是，而，所以的取值范围是，所以的取值范围是18．（1）因为函数的定义域为R ，，所以函数为偶函数，又，且当时，，所以函数在上单调递增，又函数为偶函数，所以在上单调递减，综上，函数在上单调递增，在上单调递减．（2）证明：由（1）得，在上单调递增，又，所以在内有且只有一个零点，当时，令则，当时，恒成立，即在上单调递减，又，则存在，使得，()()()()939cos cos cos cos cos 10910150B C B C B C A B C --+=-+=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦=⎣⎦()()22cos cos sin sin cos s 2sin sin 92sin 1n 0i sin B C bc B C a A B C BcosC B C +=--=⎡⎤⎣⎦0B C ≥>0πB C B C A ≤-<+=-B C -[)0,πA -()cos B C -()(,os π1c A -⎤⎦()2co cos πs 3A A ==---()cos B C -2,13⎛⎤-⎥⎝⎦()239cos 510bc B C a =+-30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦()f x ()()()sin 1f x x x f x -=---=()f x ()sin cos f x x x x '=+π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()0f x '≥()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x ()f x π,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()ππ10,10220f f ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π,π2x ⎛⎤∈⎥⎝⎦()()sin cos g x f x x x x ='=+()2cos sin g x x x x '=-π,π2x ⎛⎤∈⎥⎝⎦()0g x '<()g x π,π2⎛⎤⎥⎝⎦()π10,ππ02g g =>=⎫⎪⎭-⎝<⎛π,π2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()0g m =且当时，，即，则在上单调递增，，故在没有零点当时，有，即，则在上单调递减，又，所以在上有且只有一个零点，综上，函数在上有2个零点19．（1）解．因为，所以，即切点坐标为，又，∴切线斜率∴切线方程为：（2）解：因为所以令，则，∴在上单调递增，∴∴在上恒成立，∴在上单调递增．（3）解：原不等式等价于，π,2x m ⎛⎫∈⎪⎝⎭()()0g x g m >=()0f x '>()f x π,2m ⎛⎫⎪⎝⎭()π10,02π2f m f ⎛⎫ >⎝=-⎪>⎭π,2m ⎛⎫⎪⎝⎭(],πx m ∈()()0g x g m <=()0f x '<()f x (],πm ()()ππ10,π1022m f f f ⎛⎫>=->=⎝-⎭<⎪()f x (],πm ()f x []0,π()()ln 1xf x e x =+()00f =()0,0()()1ln 11x f x e x x ⎛⎫'=++ ⎪+⎝⎭()01k f ='=y x=()()()1ln 11xg x f x e x x ⎛⎫='=++⎪+⎝⎭()()()221ln 111xg x e x x x ⎛⎫'=++- ⎪ ⎪++⎝⎭()()()221ln 111h x x x x =++-++()()()()2222122101111x h x x x x x +'=-+=>++++()h x [)0,+∞()()010h x h ≥=>()0g x '>[)0,+∞()g x [)0,+∞()()()()0f s t f s f t f +->-令，即证，∵，由（2）知在上单调递增，∴，∴∴在上单调递增，又因为，∴，所以命题得证．()()()(),,0m x f x t f x x t =+->()()0m x m >()()()()()1n 1l x tx m x f x t f x ex t e x +=+-=++-+()()()()()l 1n n 11l 1x t x x txe e g x t g x x t m xx ex t e x +++-=+-+++'=++-+()()()ln 111xx g x f x e x ⎛⎫='=++ ⎝+⎪⎭[)0,+∞()()g x t g x +>()0m x '>()m x ()0,+∞,0x t >()()0m x m >。

2013-2014学年北京市第43中学高三上学期国庆假期作业（理科数学10月月考复习题）复习题一 1．下列命题中正确的是（ ）A ．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C ．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D ．如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面2．已知α、β是两个不同平面，m 、n 是两条不同直线，下列命题中假命题．．．是（ ） A ．若m ∥n ,m α⊥, 则n α⊥ B ．若m ∥α,n αβ= , 则m ∥n C ．若m α⊥,m β⊥, 则α∥β D ．若m α⊥,m β⊂, 则α⊥β3．已知平面α，β，直线l ，若αβ^，l αβ= ，则 ( )A ．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB ．垂直于直线l 的直线一定垂直于平面αC ．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD ．垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直4．已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,3,21,,1,3)(2x x x x x x x f 若f (x )＝3，则x 的值是( )(A)0 (B)0或23 (C)3± (D)35．dx e x x )(01⎰--=_________________6、若复数（m 2-5m+6）+(m 2-3m)i 是纯虚数，则实数m=____________。

为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. （Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望.7. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，12AB BC AA ==，90ABC ︒∠=，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．复习题二1.从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．482.若21()nx x-展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（ ）A.84-B.84C.36-D.363.复数1i2i-+的虚部是（ ） A ．i - B ．3i 5- C ．–1 D ．35-4．下列判断正确的是( )(A)定义在R 上的函数f (x )，若f (－1)＝f (1)，且f (－2)＝f (2)，则f (x )是偶函数 (B)定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＞f (1)，则f (x )在R 上不是减函数(C)定义在R 上的函数f (x )在区间(－∞，0]上是减函数，在区间(0，＋∞)上也是减函数，则f (x )在R 上是减函数(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数 5．若曲线x y 2ln =在点P 处的切线斜率为1,则点P 的坐标为__________________ 6．已知0＜a ＜1，log a m ＜log a n ＜0，则m ，n 与1的大小关系______ 已知函数f (x )是单调减函数． (1)若a ＞0，比较)3(aa f +与f (3)的大小； (2)若f (｜a －1｜)＞f (3)，求实数a 的取值范围．7.已知函数22()ln (0)a f x a x x a x=++≠．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：21()e 2g a ≤．复习题三1.复数z 满足等式(2i)i z -⋅=，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ． 第四象限2.41(2)x x -的展开式中的常数项为（ ）A ．24- B.6- C.6 D.243.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩 余的4个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为（ ）A ．16B ．18C ．24D ．324．已知f (x )是定义在(－∞，0)上的减函数，且f (1－m )＜f (m －3)，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜2 B ．0＜m ＜1 C ．0＜m ＜2 D ．1＜m ＜2 5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体 积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则 球的表面积是_____．6．函数f(x )=x 3－3x +1, x ∈［－3,0］的最大值为__________，最小值为__________7．函数f (x )＝lg(x 2＋ax ＋1)，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．37.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD， EF // AB，∠B AF=90º，AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上．（Ⅰ）若P是DF的中点，(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP；(ⅱ) 求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（Ⅱ）若二面角D-AP-C的余弦值为3PF的长度．PFEDCAB复习题四1．已知函数)41(,log )(2f x x f =等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．32．学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、 丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法共有（ ）种A.2243∙AB.2324A A ∙C.2243∙CD.2324A C ∙ 3.计算定积分2(sin )ππ-+=⎰x x dx ___________.4.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．)37,97(B ．)97,37(--C ．)97,37(D ．)37,97(--5.已知向量)10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===，且A 、B 、C 三点共线，求实数k 的值．6.已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，求实数k 的值．7.已知：｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，〈a ，b 〉＝60°，求：①a ·b ；②(2 a ＋b )·b ；③｜2a ＋b ｜；④2 a ＋b 与b 的夹角θ 的余弦值33．如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(,)a b（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．（Ⅰ）求某个家庭得分为(5,3)的概率？（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X，求X 的分布列及数学期望．复习题五1．函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是 8y x =-+，则()()55f f '+=_____。

曲靖市2013—2014学年度第一学期期末统一考试高三数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟． 注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上.3、不可以使用计算器.4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为 ( ) A ．{}2 B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}4,6,7,82．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若301272=++a a a ，则13S 的值是( ) A ．130 B ．65 C ．70 D ．753．“22ab >”是 “22log log a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5．直线2(1)10x a y +++=的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[0,]4πB ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[0,](,)42πππD ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭6．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为（ ）A ．521B ．27C ．13D ．8217．若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（ ） A ．n ≤5B ．n ≤6C ．n ≤7D ．n ≤88．如图，在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行； ④当1AA E ∈时，BF AE +是定值.其中所有正确的命题的序号是（ ）A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①③④第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)9．在二项式()62+x 的展开式中，含3x 的项的系数是__________10．曲线2:x y C =、直线2:=x l 与x 轴所围成的图形面积为_________11．已知函数()x f 的导数()()()()1,f x a x x a f x x a '=+-=若在处取得极大值，则a 的取值范围为__________12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积．．．等于 13．已知直线0=++c by ax 与圆1:22=+y x O 相交于,A B 两点，且,3=AB 则OB OA ⋅的值是14．如下图，对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”：C1BA 241357341315171944616365672213323542792313533791143252729仿此，26的“分裂”中最大的数是 ；32013 的“分裂”中最大的数是 ； 三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12分）函数()2sin()ωϕ=+f x x (0,0)2ωϕπ><<的部分图象如下图所示，该图象与y 轴交于点(0,1)F ，与x 轴交于点,B C ，M 为最高点，且三角形MBC 的面积为π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若((0,)62f ααππ-=∈，求cos(2)4απ+的值．16．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差大于0,且53,a a 是方程045142=+-x x 的两根,数列{}n b 的前n 项的和为n S ，且n n b S 211-= (*n N ∈). （1） 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2） 记n n n b a c ⋅=,求证：n n c c ≤+1.17．（本小题满分14分） 如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ,D 、E 分别为11A B 、1AA 的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =. （Ⅰ）求证：//EF 平面1BDC ;（Ⅱ）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在， 指出点G 的位置；若不存在，说明理由.18．（本小题满分14分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：（Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，根据表中数据已经正确计算出ˆ0.6b=，试求出ˆa 的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数； （Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．(本小题满分14分) 已知函数()b ax x x f +-=331，其中实数b a ,是常数． （Ⅰ）已知{}2,1,0∈a ，{}2,1,0∈b ，求事件A ：“()01≥f ”发生的概率；（Ⅱ）若()x f 是R 上的奇函数，()a g 是()x f 在区间[]1,1-上的最小值，求当1≥a 时A 1x()a g 的解析式；（Ⅲ）记()x f y =的导函数为()x f '，则当1=a 时，对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x 使得12()()f x f x '=，求实数b 的取值范围．20．(本小题满分14分) 已知函数()2ln bf x ax x x=--，(1)0f =. （Ⅰ）若函数()f x 在其定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 的图象在1x =处的切线的斜率为0，且211()11n n a f n a n +'=-+-+，已知14a =，求证：22n a n ≥+；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较1231111...1111n a a a a ++++++++与25的大小，并说明你的理由.中山市高三级2012—2013学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题二、填空题9．160； 10．83； 11．01<<-a ； 12．326+； 13．12-；14．11（本空2分）；3m （m 为奇数）的“分拆”的最大数是21m m +-，所以2201320124054181+=（本空3分，写成“220132012+”或“4054181”都给3分）三、解答题15．（本小题满分12分）解：（I ）∵122MBC S BC BC ∆=⨯⨯==π， ∴周期2,1T ωω2π=π== ……….2分由(0)2sin 1f ϕ==，得1sin 2ϕ=， ……………………………………3分∵02ϕπ<<，∴6ϕπ=，∴()2sin()6f x x π=+． …………………………………………….6分 （Ⅱ）由()2sin 6f ααπ-=sin α=， ∵(0,2απ∈，∴cos α=， ∴234cos 22cos 1,sin 22sin cos 55ααααα=-===，∴cos(2)cos2cos sin 2sin 444αααπππ+=-3455==． …………………….12分16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵53,a a 是方程045142=+-x x 的两根，且数列}{n a 的公差0d >，∴355,9a a ==，公差.23535=--=a a d∴.12)5(5-=-+=n d n a a n ( *n N ∈)………………4分又当n=1时，有b 1=S 1=1－.32,2111=∴b b 当).2(31),(21,2111≥=∴-=-=≥---n b b b b S S b n n n n n n n n 有时 ∴数列{b n }是等比数列，.31,321==q b ∴.3211nn n q b b ==- ( *n N ∈) …………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,3)12(2,3)12(211+++=-==n n n n n n n c n b a c …………10分∴.03)1(83)12(23)12(2111≤-=--+=-+++n n n n n n n n c c ∴.1n n c c ≤+ …………………………12分在三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为11,A B AB 的中点，11//,A D BM A D BM ∴=,1A DBM ∴为平行四边形，1//A M BD ∴ //,EF BD ∴BD ⊆ 平面1BC D ，EF ⊄平面1BC D//EF ∴平面1BC D…………………….7分（II ）设AC 上存在一点G ,使得平面EFG 将三棱柱分割成两 部分的体积之比为1︰15，则111:1:16E AFG ABC A B C V V --=111111sin 321sin 2E AFG ABC A B C AF AG GAF AEV V AB AC CAB A A --⨯⋅∠⋅=⋅⋅∠⋅ 111134224AG AG AC AC =⨯⨯⨯=⋅112416AG AC ∴⋅=， 32AG AC ∴=， 32AG AC AC ∴=> 所以符合要求的点G 不存在 ……………………….14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）11(12345)3,(44566)555x y =++++==++++=，因线性回归方程ˆ=+ybx a 过点(,)x y ， ∴50.66 3.2a y bx =-=-⨯=，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：ˆ0.66 3.2 6.8y=⨯+=…………….6分（Ⅱ）0,1,2,3,ξ=31254533991054010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213454339930541(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ======== …………………….10分5105140123 422114213E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= …………………….14分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当{}{}0,1,2,0,1,2a b ∈∈时，等可能发生的基本事件(,)a b 共有9个： (00)(01)(02),(10)(11)(12)(20)(21)(22).，，，，，，，，，，，，，，，， 其中事件A ： “1(1)03f a b =-+≥”，包含6个基本事件： (00)(01)(02)(11)(12)(22).，，，，，，，，，，，故62()93P A ==． 即事件“(1)0f ≥”发生的概率23…………………….4分 （Ⅱ）31(),3f x x ax b =-+是R 上的奇函数，得(0)0,0.f b ==（5分）∴31(),3f x x ax =- 2()f x x a '=-,① 当1a ≥时，因为11x -≤≤，所以()0f x '≤，()f x 在区间[]1,1-上单调递减，从而1()(1)3g a f a ==-； ② 当1a ≤-时，因为11x -≤≤，所以()0f x '>，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，从而1()(1)3g a f a =-=-+, 综上，知1,13().1,13a a g a a a ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩…………………….9分（Ⅲ）当1=a 时，()()1,3123-='∴+-=x x f b x x x f当()()()()02,1,01,0>'∈<'∈x f x x f x 时当时()()()上递增上递减，在在2,11,0x f ∴，即()()b f x f +-==321m in 又()()()0322,0f b f b f >+== ，[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∈∈∴b b x f x 32,3220时，，当 而()[]210,2f x x x '=-∈在上递增，()[1,3]f x '∈-对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x 使得)()(21x f x f '=()()f x f x '∴⊆的值域的值域，[]22-,1,333b b ⎡⎤++⊆-⎢⎥⎣⎦即∴ 2-13b +≥-且233b +≤，解得13-73b ≤≤.…………………….14分20．(本小题满分14分)解（Ⅰ） (1)0f a b a b =-=⇒= ，()2ln a f x ax x x ∴=--， 22 ()a f x a x x'∴=+-. 要使函数()f x 在其定义域内为单调函数，则在定义域(0,)+∞内， ① 当0a =时，2()0f x x'=-<在定义域(0,)+∞内恒成立， 此时函数()f x 在其定义内为单调递减函数，满足题意； ②当0a >时，要使222111 ()()0a f x a a a x x x a a '=+-=-+-≥恒成立，则10a a-≥，解得1a ≥；此时函数()f x 在其定义内为单调递增函数，满足题意；③ 当0a <时，22()0a f x a x x'=+-<恒成立；此时函数()f x 在其定义内为单调递减函数，满足题意；综上所述，实数a 的取值范围是(,0][1,)-∞⋃+∞；…………………….4分（注: 本问也可采用“分离变量”的方法，酌情给分）（Ⅱ）由题意知(1)0f '=，可得20a a +-=，解得1a =，所以21()(1)f x x'=-于是/2211(1211n n n n a f n a na a n +=-+=-+-+，下面用数学归纳法证明22n a n ≥+成立，数学归纳法证明如下：（i ）当1n =时，14212a =≥⨯+，不等式成立；（ii ）假设当n k =时，不等式22k a k ≥+成立，即22k a k -≥成立，则当1n k =+时，1(2)1(22)21452(1)2k k k a a a k k k k +=-+≥+⨯+=+>++， 所以当1n k =+时，不等式也成立，由（i ）（ii ）知*n N ∀∈时都有22n a n ≥+成立. …………………….8分（Ⅲ） 由（Ⅱ）得1111(22)1[2(1)222]121n n n n n a a a n a n n a ----=-++≥-+-++=+，（*,2n N n ∀∈≥）于是112(1)n n a a -+≥+， （*,2n N n ∀∈≥）成立，所以2112(1)a a +≥+，3212(1),...a a +≥+，112(1)n n a a -+≥+成立 累乘可得：1112(1)n n a a -+≥+，则1111112(1)n n a a -≤++成立，（*,2n N n ∀∈≥） 所以1231111...1111n a a a a ++++++++2111111212(1...)(1)1222525n n a -≤++++=-<+.。

武汉外国语学校2024—2025学年度上学期10月月考高三数学试卷考试时间：2024年10月9日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2|230A x x x =+-≥，{}|22B x x =-≤<，则A B = （ ）A. []2,1--B. [)1,2- C. []1,1- D. [)1,22. 复数2i12i-+的共轭复数是（ ）A. 3i 5- B. 3i 5 C. i- D. i3. 若2b a = ，=- c a b ，且c a ⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π64. 已知π(0,)2αβ∈∈，则下列不等关系中不恒成立的是（ ）A. ()sin sin sin αβαβ+<+ B. ()sin cos cos αβαβ+<+C ()cos sin sin αβαβ+<+ D. ()cos cos cos αβαβ+<+5. 将体积为1的正四面体放置于一个正方体中，则此正方体棱长的最小值为（ ）A. 3B.C.D.6. 武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种A. 114B. 120C. 126D. 1327. 已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩…若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为A. []0,1 B. []0,2 C. []0,e D. []1,e 8. 已知函数()(),R f x f x x =-∈，()5.51f =，函数()()()1g x x f x =-⋅，若()1g x +为偶函数，则()0.5g -的值为（ ）.A. 3B. 2.5C. 2D. 1.5二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ）A. 数据1-，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1B. 已知随机变量(),X B n p ，若()40E X =，()30D X =，则160n =C. 若一组样本数据(),i i x y （1i =，2，…，n ）的对应样本点都在直线132y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为12-D. 若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且()()1P N M P N +=，则M 与N 相互独立10. 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（ ）A. 平行四边形B. 梯形C. 有三条边相等的四边形D. 有一组对角相等的四边形11. 设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A. 当0a =时，直线1y =是曲线()y f x =的切线B. 若()f x 有三个不同的零点123,,x x x ，则12312x x x ⋅=-⋅C. 存在,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D. 当02ax ≠时，()f x 在0x x =处的切线与函数()y f x =的图象有且仅有两个交点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若320S =，990S =，则6S =____________．13. 已知函数()()sin ,0,2π2cos xf x x x=∈+，写出函数()f x 的单调递减区间____________．14. 掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，（1）恰好得3分的概率为____________；（2）恰好得n 分的概率为____________．（用与n 有关的式子作答）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知ABC ∆的面积为3，且满足0AB AC ≤⋅≤ 设AB 和AC的夹角为θ，（1）求θ的取值范围；（2）求函数()2πcos sin 3fθθθθ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭值域．16. 如图，已知四棱锥P ABCD -，PB AD ⊥，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 是边长为4菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120︒．（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求二面角A PB C --的正弦值．17. 已知函数f(x)=a e x−2+ln ax (a >0)（1）当e a =时，求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处切线方程；（2）若不等式()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围．18. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为23，且经过点52,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）求椭圆E 的方程；（2）求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；（3）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．19. 设()f x 使定义在区间(1,)+∞上的函数，其导函数为()f x '.如果存在实数a 和函数()h x ，其中()h x 对任意的(1,)x ∈+∞都有()h x >0，使得()()()21f x h x x ax '=-+，则称函数()f x 具有性质()P a ．（1）设函数()f x 2ln (1)1b x x x +=+>+，其中b 为实数① 求证：函数()f x 具有性质()P b ；② 讨论函数()f x 单调性；（2）已知函数()g x 具有性质(2)P ，给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为正实数，12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，且1,1αβ>>，若12()()()()g g g x g x αβ-<-，求m 的取值范围．的的的的武汉外国语学校2024—2025学年度上学期10月月考高三数学试卷考试时间：2024年10月9日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2|230A x x x =+-≥，{}|22B x x =-≤<，则A B = （ ）A. []2,1--B. [)1,2- C. []1,1- D. [)1,2【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式求集合A ，即可得交集.【详解】由题意可得：{}(][)2|230,31,A x x x =+-≥=-∞-+∞U ，且{}|22B x x =-≤<，所以A B = [)1,2.故选：D.2. 复数2i12i-+的共轭复数是（ ）A. 3i 5- B. 3i5C. i -D. i【答案】D 【解析】【分析】先根据复数的除法求解，再根据共轭复数的概念求解.【详解】因为()()()()2i 12i 2i5i i 12i 12i 12i 5----===-++-，所以其共轭复数是i .故选：D.3. 若2b a = ，=- c a b ，且c a ⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直列方程，结合向量数量积的运算以及向量夹角的知识求得正确答案.【详解】因为c a ⊥，所以()22cos ,0a c a a b a a b a a b a b ⋅=⋅-=-⋅=-⋅⋅= ，由于2b a = ，所以212cos ,0,cos ,2a a a a b a b -⋅⋅== ，由于0,πa b ≤≤ ，所以π,3a b = .故选：B4. 已知ππ(0,),(0,)22αβ∈∈，则下列不等关系中不恒成立的是（ ）A. ()sin sin sin αβαβ+<+ B. ()sin cos cos αβαβ+<+C. ()cos sin sin αβαβ+<+ D. ()cos cos cos αβαβ+<+【答案】C 【解析】【分析】由两角和的正弦、余弦公式展开后结合不等式的性质可判断ABD ，举反例判断C ．【详解】,αβ都是锐角，则sin (0,1),cos (0,1),sin (0,1),cos (0,1)ααββ∈∈∈∈，sin()sin cos cos sin sin sin αβαβαβαβ+=+<+，A 正确；sin()sin cos cos sin cos cos αβαβαβαβ+=+<+，B 正确；15αβ==︒时，cos()cos30αβ+=︒=，sin15︒====，sin sin sin15sin15αβ+=︒+︒=>C 错误；()cos cos cos sin sin cos cos cos cos cos αβαβαβαβααβ+=-<<<+，D 正确．故选：C ．5. 将体积为1的正四面体放置于一个正方体中，则此正方体棱长的最小值为（ ）A. 3B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】反向思考，求出边长为a 的正方体的最大内接正四面体的体积，结合条件，即可求解.【详解】反向思考，边长为a 的正方体，其最大内接正四面体的体积为33311141323a a a -⨯⨯⨯==，得到33a =，解得a =故选：C.6. 武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种A. 114 B. 120 C. 126 D. 132【答案】A 【解析】【分析】依据值班3天的为分类标准，逐类解决即可.【详解】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，所以必有一人值班3天，另两人各值班2天.第一类：值班3天在(1,3,5)、(1,3,6)、(1,4,6)、(2,4,7)、(2,5,7)、(3,5,7)时，共有1113226C C C 72⨯=种不同的值班方法；第二类：值班3天在(1,3,7)、(1,5,7)时，共有11322C C 12⨯=种不同的值班方法；第三类：值班3天在(1,4,7)时，共有111322C C C 12=种不同的值班方法；第四类：值班3天在(2,4,6)时，共有1234C C 18=种不同的值班方法；综上可知三位老师在国庆节7天假期共有72121218114+++=种不同的值班方法.故选：A7. 已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩…若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为A. []0,1 B. []0,2 C. []0,e D. []1,e 【答案】C 【解析】【分析】先判断0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，转化为ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立．【详解】∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->，当1a >时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立，令()ln xg x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故()()min g x g e e ==，所以a e ≤．当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；综上可知，a 的取值范围是[0,]e ，故选C ．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．8. 已知函数()(),R f x f x x =-∈，()5.51f =，函数()()()1g x x f x =-⋅，若()1g x +为偶函数，则()0.5g -的值为（ ）A. 3B. 2.5C. 2D. 1.5【答案】D 【解析】【分析】由()1g x +为偶函数，推得()()2g x g x =-，再由()()()1g x x f x =-⋅，求得()f x 关于(1,0)对称，结合()()f x f x =-，推得(4)()f x f x -=，得到()f x 是周期为4的周期函数，根据(5.5)1f =，得到(2.5)1f =，进而求得(0.5)g -的值，得到答案.【详解】因为函数()1g x +为偶函数，可()g x 的图象关于1x =对称，所以()()2g x g x =-，由()()()1g x x f x =-⋅，可得()()()()112x f x x f x -⋅=-⋅-，即()()20f x f x +-=，所以函数()f x 关于(1,0)对称，又因为()()f x f x =-，所以()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()2(2)f x f x f x =--=--，所以()4[(2)2](2)[()]()f x f x f x f x f x -=--=--=-=，即(4)()f x f x -=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数，所以(5.5)(1.54)(1.5)( 2.5)(2.5)1f f f f f =+==-==，则(0.5)(2.5)(2.51)(2.5) 1.5g g f -==-=.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列关于概率统计知识，其中说法正确的是（ ）A. 数据1-，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1B. 已知随机变量(),X B n p ，若()40E X =，()30D X =，则160n =C. 若一组样本数据(),i i x y （1i =，2，…，n ）的对应样本点都在直线132y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为12-D. 若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且()()1P N M P N +=，则M 与N 相互独立【答案】ABD 【解析】【分析】根据百分位数的定义计算判断A ，由二项分布的数学期望与方差公式计算可判断B ，根据相关系数的定义可判断C, 根据相互独立事件及条件概率的概率公式计算可判断D.【详解】对于选项A ，8个数据从小到大排列，由于825%2⨯=，所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数0+2=12，故A 正确；对于选项B ，因为(),X B n p ，()40E X =，()30D X =，所以40(1)30np np p =⎧⎨-=⎩，解得1,1604p n ==，故B 正确；对于选项C ，因为样本点都在直线132y x =-+上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为1-，故C 错误.的对于选项D ，由()()1P N M P N +=，可得()()1P N M P N =-，即()()()N P NM P P M =，即()()()N P NM P P M =，所以M 与N 相互独立，故D 正确；故选：ABD.10. 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（ ）A. 平行四边形B. 梯形C. 有三条边相等的四边形D. 有一组对角相等的四边形【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意作出相应的图形，结合抛物线的性质逐项分析判断.【详解】对于选项A ：作两条平行线与抛物线均相交，根据抛物线的性质可知：截得的弦长一定不相等，所以所得的四边形不可能为平行四边形，故A 错误；对于选项C ：任作一条直线垂直与抛物线的对称轴，交抛物线与,A B 两点，则OA OB =，再以A 圆心，OA 为半径作圆，该圆以抛物线必有一个异于坐标原点的交点C ，此时可得OA OB OC ==，符合题意，故C 正确；对于选项B ：任作两条直线垂直与抛物线的对称轴，分别与交抛物线交于,A B 和,C D ，此时AB CD ≠，即ABCD 为梯形，故C 正确；对于选项D ：如图，以AC 为直径作圆，与抛物线交于,,,A B C D ，此时90ABC ADC ∠=∠=︒，符合题意，故D 正确；故选：BCD.11 设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A. 当0a =时，直线1y =是曲线()y f x =的切线B. 若()f x 有三个不同的零点123,,x x x ，则12312x x x ⋅=-⋅C. 存在,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D. 当02ax ≠时，()f x 在0x x =处的切线与函数()y f x =的图象有且仅有两个交点【答案】ABD 【解析】【分析】根据曲线的切线、函数的零点、曲线的对称轴，直线和曲线的交点个数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，当0a =时，()321f x x =+，令()260f x x ='=解得0x =，且()01f =，此时()f x 在0x =处的切线方程为10y -=，即1y =，正确.B 选项，()()322()231,666f x x ax f x x ax x x a '=-+=-=-，.要使()f x 有三个零点，则0a ≠，若32()231f x x ax =-+有三个不同的零点123,,x x x ，则()()()()1232f x x x x x x x =---()()32123122313123222x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，通过对比系数可得1231231212x x x x x x -=⇒=-，正确.C 选项，若存在,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴，则()()2f x f b x =-，即()()323223122321x ax b x a b x -+=---+，即3232232223162412212123x ax b b x bx x ab ab ax -=-+--+-，即()3222364330x bx b x b ab a b -+--+=，此方程不恒为零，所以不存在符合题意的,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴，错误.D 选项，当02a x ≠时，()322()231,66f x x ax f x x ax =-+=-'，则()322000000()231,66f x x ax f x x ax =-+=-'，所以()f x 在0x x =处的切线方程为()()()3220000023166y x ax x ax x x --+=--，()()()2320000066231y x ax x x x ax =--+-+，由()()()232000003266231231y x ax x x x ax y x ax ⎧=--+-+⎪⎨=-+⎪⎩，消去y 得()()323220000023123166x ax x ax x ax x x -+=-++--①，由于()()()333322000002222x x x x x x x xx x -=-=-++，()()()222200003333ax ax a x x a x x x x -+=--=--+，所以①可化为()()()()()()2220000000023660x x x xx x a x x x x x ax x x -++--+---=，提公因式0x x -得()()()()22200000023660x x x xx x a x x x ax ⎡⎤-++-+--=⎣⎦，化简得()()()220000223430x x x x a x x ax ⎡⎤-+---=⎣⎦，进一步因式分解得()()2002430x x x x a -+-=，解得010234,2a x x x x -==，由于02a x ≠，所以020x a -¹，所以()0001203234630222x a a x x a x x x ----=-==≠，所以12x x ≠，所以当02a x ≠时，()f x 在0x x =处的切线与函数y =f (x )的图象有且仅有两个交点，正确.故选：ABD 【点睛】关键点点睛：D 选项的解答涉及到切线与曲线交点的个数，利用联立方程组和因式分解的方法，最终得出交点个数的结论，过程完整而严谨．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若320S =，990S =，则6S =____________．【答案】50【解析】【分析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，后由等差数列求和公式可得答案.【详解】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，由题，则111503320993690109a a d a d d ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩.则6161550S a d =+=.故答案为：5013. 已知函数()()sin ,0,2π2cos x f x x x =∈+，写出函数()f x 的单调递减区间____________．【答案】2π4π33⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性即可.【详解】()()()()222cos 2cos sin 2cos 12cos 2cos x x xx f x x x +++'==++，()0,2πx ∈，令()()22cos 102cos x f x x +'==+，即2cos 10x +=，解得2π3x =或4π3x =.当2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 在2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当2π4π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在2π4π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当4π,2π3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 在4π,2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.综上可知，函数()f x 的单调递减区间为2π4π,33⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：2π4π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭.14. 掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，（1）恰好得3分的概率为____________；（2）恰好得n 分的概率为____________．（用与n 有关的式子作答）【答案】 ①. 1327 ②. 13425153n -⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭【解析】【分析】因为一次得2分，另一次得1分或三次的1分时恰好得3分，进而利用独立重复试验的概率可求（1）；令n P 表示“恰好得n 分”的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次不小于3的情况，则有1213n n P P --=，进而利用构造等比数列可求（2）.【详解】（1）掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3的概率4263=,掷一个质地均匀的骰子，向上的点数小于3的概率2163=.因为一次得2分，另一次得1分或三次得1分时恰好得3分，所以恰好得3分的概率等于21023********C +C ==3332727+⎛⎫⋅⨯⋅ ⎪⎝⎭.（2）令n P 表示“恰好得n 分”的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次不小于3的情况，因为“不出现n 分”的概率是1n P -，所以“恰好得到1n -分”的概率是1n P -.因为“掷一次得2分”的概率是23，所以有1213n n P P --=，即1213n n P P -=-+，则构造等比数列{}n P λ+，设()123n n P P λλ-=-++，即13532n n P P λ--=-，则513λ-=，35λ=-，所以1323535n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又113P =，1313453515P -=-=-，所以35n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为415-，公比为23-的等比数列，即13425153n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，13425153n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭.故恰好得n 分的概率为13425153n -⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.故答案为：（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知ABC ∆的面积为3，且满足0AB AC ≤⋅≤ 设AB 和AC 的夹角为θ，（1）求θ的取值范围；（2）求函数()2πcos sin 3f θθθθ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的值域．【答案】（1）ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据题意由三角形面积公式可得6cos 0sin θθ≤≤，继而可得tan θ≥或π2θ=，结合θ的范围即可求解；（2）利用和差公式、降幂公式、倍角公式及辅助角公式化简可得1π()sin 223f θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由（1）所求的θ的范围可得π23θ-的范围，继而即可求得值域.小问1详解】由题1sin 32ABC S bc θ∆==，【可得6sin bc θ=，又0cos AB AC bc θ≤⋅=≤ ，所以6cos 0sin θθ≤≤得到tan θ≥或π2θ=，因为()0,πθ∈，所以ππ,62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】()2πcos sin 3f θθθθ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭21cos (sin cos 2θθθθ=⋅+21sin 24θθ=+11cos 2sin 242θθ+=-1πsin 223θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为ππ,62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故π2π20,33θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()10,2f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.16. 如图，已知四棱锥P ABCD -，PB AD ⊥，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 是边长为4的菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120︒．（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求二面角A PB C --的正弦值．【答案】（1）（2【解析】【分析】（1）作出四棱锥P ABCD -的高，并计算出高的长度，进而计算出四棱锥P ABCD -的体积.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角A PB C --的余弦值，进而计算出正弦值.【小问1详解】过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，因为AD ⊂平面ABCD ，PO AD ⊥，又PB AD ⊥，又,,PO PB P PO PB =⊂ 平面POB ，所以AD ⊥平面POB ，因为,PE BE ⊂平面POB ，所以AD PE ⊥，AD BE ⊥，又PA PD =，所以E 为AD 得中点，所以4BD BA ==，因为侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120︒，即有120PEB ∠=︒，所以60PEO ∠=︒，因为侧面PAD 为正三角形，所以4sin 60PE =⋅︒=sin 603PO PE =⋅︒==，所以1144333P ABCD ABCD V S PO -=⋅⋅=⋅⋅=.【小问2详解】在平面ABCD 内过点O 作OB 的垂线Ox ，依题可得,,OP OB Ox两两垂直，为以,,OP OB Ox 为z 轴，y 轴，x 轴建立空间直角坐标系，可得()A ，()0,0,3P，()B，()C -，取PB 得中点为N，则32N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为AP AB =，所以AN PB ⊥，由（1）AD ⊥平面POB ，//BC AD ，知⊥BC 平面POB ，PB ⊂平面POB ，所以BC PB ⊥，可得,BC NA 所成角即为二面角A PB C --的平面角，记为θ，求得32,2NA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()4,0,0BC =-，则cos ,NA BC NA BC NA BC ⋅===⋅则sin θ==17. 已知函数()()2e ln 0x a f x a a x-=+>（1）当e a =时，求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程；（2）若不等式()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）2y =（2）ea ≥【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，根据导数求切线的斜率，再代入点斜式方程，即可求解；（2）首先根据指对公式，变形不等式为e ln a +x−2+ln a +x−2≥ln x +e ln x ，x >0，再构造函数()e x g x x =+，结合函数的单调性，转化为不等式ln 2ln a x x +-≥恒成立，再利用参变分离，转化为函数最值问题，即可求解.【小问1详解】当e a =时，()1e e ln x f x x -=+，()01e ln e 2f =+=，()()11e ,10x f x f x-=-'='，所求切线方程为：20(1)y x -=-，即2y =；【小问2详解】()2f x ≥转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得e ln a +x−2+ln a +x−2≥ln x +e ln x ，x >0，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增，所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增，故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()0,∞+恒成立，令()ln 2h x x x =-+，()110h x x-'==，得到1x =，可得()0,1x ∈时，ℎ′(x )>0；()1,x ∞∈+时，()0h x '<，所以ℎ(x )在1x =时取最大值，所以()ln 11a h ≥=，得到e a ≥.18. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为23，且经过点52,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）求椭圆E 的方程；（2）求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；（3）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．【答案】（1）22195x y += （2）9680x y --=（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆经过的点的坐标以及离心率解方程组可求得椭圆E 的方程；（2）思路一：利用角平分线上的点的性质，由点到直线距离公式整理可得结论；思路二：求得椭圆在点A 处的切线方程，再由椭圆的光学性质可得平分线所在直线方程；（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异的两点，联立直线与椭圆方程可得线段BC 中点52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点A 重合，假设不成立；思路二：利用点差法求出65OM k =，联立直线方程可得点52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点A 重合，不合题意，可得结论.【小问1详解】椭圆E 经过点52,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，23e =可得222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此可得椭圆E 的方程为22195x y +=；【小问2详解】由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意可知1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =，如下图所示：设角平分线上任意一点为P (x,y )，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=又易知其斜率为正，∴12F AF ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点52,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，12F AF ∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，所以12F AF ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-，即9680x y --=【小问3详解】思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点B (x 1,y 1),C (x 2,y 2)，设2:3BC l y x m =-+，联立2219523x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩可得229129450x mx m -+-=，∴线段BC 中点为25,39m m M ⎛⎫⎪⎝⎭在12F AF ∠的角平分线上，即106803m m --=，解得3m =；因此52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点B (x 1,y 1),C (x 2,y 2)，线段BC 中点()00,M x y ，由点差法可得22112222195195x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即22221212095x x y y --+=；∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，因此0065OM y k x ==，联立:96806:5AM OM l x y l y x --=⎧⎪⎨=⎪⎩可得52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件相异的两点．19. 设()f x 使定义在区间(1,)+∞上的函数，其导函数为()f x '.如果存在实数a 和函数()h x ，其中()h x 对任意的(1,)x ∈+∞都有()h x >0，使得()()()21f x h x x ax '=-+，则称函数()f x 具有性质()P a ．的（1）设函数()f x 2ln (1)1b x x x +=+>+，其中b 为实数① 求证：函数()f x 具有性质()P b ；② 讨论函数()f x 的单调性；（2）已知函数()g x 具有性质(2)P ，给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为正实数，12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，且1,1αβ>>，若12()()()()g g g x g x αβ-<-，求m 的取值范围．【答案】（1）①证明见解析；②答案见解析（2）01m <<【解析】【分析】(1)①对()f x 求导，可得ℎ(x)=1x (x +1)2>0恒成立，即可函数()f x 具有性质()P b ；②设u (x )=x 2−bx +1(x >1)，f ′(x )与()u x 符号相等，对b 讨论，可知f ′(x )符号，即可得出函数()f x 的单调区间；(2)对()g x 求导，()()()()()22211g x h x x x h x x ='=-+-，分析可知()g x '其在(1,)+∞恒成立，对m 讨论，再根据αβ，与12,x x 大关系进行讨论，验证是否满足条件，可求解m 的取值范围.【小问1详解】① ()()()()222121111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，所以1x >，ℎ(x )=1x (x +1)2>0恒成立，则函数()f x 具有性质()P b ；② 设u (x )=x 2−bx +1(x >1)，(i) 当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()'0f x >，故此时()f x 在区间(1,)+∞上递增；(ii) 当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()'0f x >，故此时()f x 在区间(1,)+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，1211x x ==<=>，，所以x ⎛∈ ⎝时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x 在⎛ ⎝上递减；x ∞⎫∈+⎪⎪⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x 在∞⎫+⎪⎪⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在(1,)+∞上递增；当2b >时，()f x 在⎛ ⎝上递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上递增.【小问2详解】由题意，()()()()()22211g x h x x x h x x ='=-+-，又()h x 对任意的,(1)x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的,(1)x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上递增. 所以12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，因为()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<所以1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<所以12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意当1m ≥时，11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，所以12x x αβ≤<≤所以12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，则12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去综上所述，01m <<。

福建省南安一中2013届高三上学期数学（理）国庆作业（二）：第1-4章班级:__________ 座号:__________ 姓名：_______________成绩： 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．已知集合2{|log 1},{|1}M x x N x x =<=<，则M N I = （ A ） A ．{|01}x x << B ．{|02}x x << C ．{|1}x x <D ．∅2．对于非零向量a,b r r ， “0a b +=r r r ”是 “a //b r r” 的 （ ）A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件3． 26m <<是方程16222=-+-my m x 表示椭圆的（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件4．已知函数()x x x f cos sin 3-=，x ∈R ，若()1≥x f ，则x 的取值范围为（ ）A ． 3x k x k ,k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ZB ． 223x k x k ,k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z C ． 566x k x k ,k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z D ． 52266x k x k ,k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z5． 函数()cos f x x =在[0,)+∞内 （ ）A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点 6． 设0ω>，数23y sin x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移34π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ） A ．23 B ．43 C ．32D ．3 7．设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 8．若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（ ）A ．64B ．32C ．16D ．89． 已知130OA ,OB ,OA OB ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，点C 在AOB ∠内，且030AOC ∠=，设OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ()m,n ∈R ，则nm等于（ ）A ．31B ．3C ．33D ．310．设函数[]x x x f -=)(，其中[]x 为取整记号，如[]22.1-=-，[]12.1=，[]11=．又函数3)(xx g -=，)(x f 在区间)2,0(上零点的个数记为m ，)(x f 与)(x g 图象交点的个数记为n ，则⎰nmdx x g )(的值是（）Ａ．25-Ｂ．34- Ｃ．45- Ｄ．67- 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分共20分） 11．如果,51cos =α且α是第四象限的角，那么)2cos(πα+=.________________ 12．已知集合(){}(){}101xP x,y |y m ,Q x,y |y a,a ,a ====+>≠，如果P Q I 有且只有一个元素，那么实数m 的取值范围是________．13．若平面向量a ，b 满足1=+b a ，b a +平行于x 轴，)1,2(-=b ，则=a ．14．函数x x y ln =的单调递减区间是 ．15．如图，点P 在已知ABC ∆的内部,定义有序实数对(),,μνω为点P 关于ABC ∆的面积坐标，其中PBC ABC S S μ∆∆=,PCA ABC S S ν∆∆=，PAB ABCSS ω∆∆=．若点Q 满足1132BQ BC BA =+u u u r u u u r u u u r，则点Q 关于ABC ∆的面积坐标为 ．三、解答题：(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分13分) 已知函数()sin(),f x x ωϕ=+其中0ω>，||2πϕ<（Ⅰ）若3044coscos sinsin ππϕϕ-=，求ϕ的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3π，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图象象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数．17．(本小题满分13分) 已知函数12cos 32)4(sin 4)(2--+=x x x f π，且给定条件p :“24ππ≤≤x ”,（Ⅰ）求)(x f 的最大值及最小值（Ⅱ）若又给条件"2|)(|:"<-m x f q 且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分13分)已知二次函数)(x g y =的导函数的图象与直线2y x =平行，且)(x g y =在x =－1处取得极小值()10m m -≠．设函数xx g x f )()(=(Ⅰ)若曲线)(x f y =上的点P 到点()02Q ,)的距离的最小值为2，求m 的值(Ⅱ) )(R k k ∈如何取值时，函数kx x f y -=)(有且只有一个零点，并求出相应的零点．19．(本小题满分13分)设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．20．(本小题满分14分) 已知函数)1(ln )(2>-+=a a x x a x f x ，， （Ⅰ）求证：函数)(x f 在)0(∞+，上单调递增； （Ⅱ）函数1|)(|--=t x f y 有三个零点，求t 的值；21．(本小题满分14分) 已知圆()365x :22=++y M ，定点()0,5N，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足2=,0=⋅ （Ⅰ）求点G 的轨迹C 的方程（Ⅱ）过点（2,0）作直线l ，与曲线交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设OB OA OS +=，是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由．南安一中2013届高三上学期数学试卷（理科、第1～4章）国庆（二）答案1．【解析】选A ． {}{}0201M x|x ,M N x|x =<<∴=<<Q I2．【解析】选A ． 3．【解析】选B ． 206026m m m m,->->-≠-且且264m m ∴<<≠且4．【解析】选B ． ()3216f x sin x cos x sin x π⎛⎫=-=-≥ ⎪⎝⎭Q ，162sin x π⎛⎫∴-≥ ⎪⎝⎭，522666k x k ,k πππππ∴+≤-≤+∈Z ，223k x k ,k ππππ∴+≤≤+∈Z ，故选B ． 5．【解析】选B ．数形结合即可．6．【解析】选C ．平移后为4sin[()]233y x ππω=-++4sin()233x πωπω=+-+，所以有43ωπ=2k π,即32k ω=，又因为0ω>，所以k ≥1,故32k ω=≥327．【解析】选A ． ()2sin 4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭Q ，又最小正周期为π，所以2ω=，()24f x sin x πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭．由()()f x f x -=知()f x 为偶函数，4πϕ∴=，()22f x cos x ∴=．由02x π<<，有02x π<<，即()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，选A ．8．【解析】选A ．332211',22y x k a --=-∴=-，切线方程是13221()2y a a x a ---=--，令0x =，1232y a -=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是121331822s a a -=⋅⋅=，解得64a =．9． 【解析】选B ．假设点C 在线段AB 上，以O 为坐标原点，分别以OA,OB 所在直线为x,y 轴建立直角坐标系，如图，则()()1003A ,,B , ，求得3344C ,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(,)OC mOA nOB m n =+∈u u u r u u u r u u u r Q R ，∴ 3144m ,n == 3mn∴=．10．【解析】选A ．数形结合可知，14m ,n ==11．【解析】26sin α=-，2625cos sin παα⎛⎫∴+=-= ⎪⎝⎭ 12．【解析】111xy a ,m =+>∴>Q13．【解析】因为1=+b a ，b a +平行于x 轴，所以a b +r r＝（1，0）或（－1，0）， 则a r＝（－1，1）或（－3，1）．14．【解析】1100y ln x ,x e '=+<∴<<，所以单调递减区间是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭15．【解析】如图，过点Q 作BC 的平行线交AB 于M ，过点Q 作AB 的平行线交BC 于N ,则BQ BM BN =+u u u r u u u u r u u u r ，则1132BN BC,BM BA ==u u u r u u u r u u u u r u u u r ．则112QBC ABC BM S h S h BA μ∆∆====u u u u ru u u r ，同理13QAB ABC BN S S BC ω∆∆===u u u ru u u r ，所以1111236QAC ABC S S ν∆∆==--=， 即点Q 关于ABC ∆的面积坐标为111263,,⎛⎫⎪⎝⎭． 三、解答题：(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．解：（Ⅰ）由3cos cos sinsin 044ππϕϕ-=得cos cos sin sin 044ππϕϕ-=…………3分 即cos()04πϕ+=又||,24ππϕϕ<∴=…………5分（Ⅱ）由（I ）得，()sin()4f x x πω=+依题意，23T π= 又2,T πω=3ω∴=()34f x sin x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，…………7分故函数()f x 的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为()sin 3()4g x x m π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦……9分()g x 是偶函数当且仅当3()42m k k Z πππ+=+∈即()312k m k Z ππ=+∈…………11分 从而最小正实数12m π=…………13分17．解 （Ⅰ）()21223212f x cos x cos x π⎡⎤⎛⎫=-+--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q 2223214213sin x cos x sin x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ …………4分2242633x ,x πππππ≤≤∴≤-≤Q ∴当236x ππ-=即4x π=时，()3min f x = 当232x ππ-=即512x π=时，()5max f x = …………7分(Ⅱ)2)(22|)(|+<<-∴<-m x f m m x f Θ …………9分 又5m 352m 32-m q <<⎩⎨⎧>+<∴解得的充分条件是p Θ …………13分18．解 （Ⅰ）设()2g x ax bx c =++，则()2g x ax b '=+；又()g x '的图象与直线2y x=平行 22a ∴=，1a ∴=． 又()g x 在1x =-取极小值， 12b-=- ，2b ∴=()1121g a b c c m ∴-=-+=-+=-，c m ∴=； ∴()()2g x mf x x x x==++， ……4分 设(),o o P x y ，则()22222000002m PQ x y x x x ⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭22020222m x m m x =++≥221m ,m ∴=∴=- ……7分(Ⅱ)由()()120my f x kx k x x =-=-++=，得()2120k x x m -++= ()*……9分 当1k =时，方程()*有一解2m x =-，函数()y f x kx =-的零点2mx =-；……11分当1k ≠时，方程()*有一解()4410m k ⇔∆=--=，∴11k m=-，函数()y f x kx=-的零点11k -．……13分19．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． ………………6分 （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭………………8分1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ……………… 10分由ABC △为锐角三角形知， 0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且0,62C B A A π5ππ⎛⎫=--=-∈ ⎪⎝⎭，可得32A ππ<<，所以2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭332A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，即cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． ………………13分20． 解：（I ）a a x a x a a x f xxln )1(2ln 2ln )(-+=-+='，…………………………2分 由于1>a ，∴0ln >a ，当0>x 时， 01>-xa ，∴ 0)(>'x f ， ……………4分故函数)(x f 在)0(∞+，上单调递增． ………………………………………………6分 （Ⅱ）令0ln )1(2)(=-+='a a x x f x，得到0x =， ……………………………7分 )(x f ，)(x f '的变化情况如下表：…………………………………………………9分因为函数1|)(|--=t x f y 有三个零点，所以1)(±=t x f 共有三个根，即)(x f y =的图象与平行于x 轴的直线1±=t y 共有三个交点．)(x f y =在(,0)-∞递减，在)0(∞+，递增，极小值1)0(=f 也是最小值，当±∞→x 时，+∞→)(x f ． 11+<-t t ，∴1)(+=t x f 有两个根，1)(-=t x f 只有一个根． ∴1)0()(1min ===-f x f t ， ∴2=t ．………………………14分21．解析：（Ⅰ）由NQ NP 2=,0=⋅NP GQ 知PN GQ PN Q ⊥的中点且为,则GQ 为PN 的中垂线，则GN PG =，6==+=+∴MP GP GM GN GM 故点G 的轨迹C 是以为M 、N 焦点的椭圆，且2,5,3=∴==b c a ，即点G 的轨迹方程：14922=+y x ………………5分 ②由+=知四边形OASB 为平行四边形，若则四边形OASB 为矩形,0OA OB ∴⋅=u u u r u u u r…………6分若l 的斜率不存在，则直线l :2=x ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=149222y x x 得⎪⎩⎪⎨⎧±==3522y x 09160>=⋅∴与0OA OB ⋅=u u u r u u u r 矛盾，故l 的斜率存在…………8分设l ：()2-=x k y ，()11,y x A 、()22,y x B ，联立()2-=x k y 与14922=+y x 有()()013636492222=-+-+k x k x k …………10分 则()0454362>⋅⋅∆＋＝k 且49362221+=k k x x ＋，49)1(362221+-=k k x x()()23049361642102222122122121±=∴=+-=++-+=+=⋅k k k k x x k x x k y y x x OB A 存在直线l ：0623=--y x 或0623=-y x ＋使得四边形OASB 为矩形…………14分。

北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2014.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．函数1()1f x x =+- A ．[0,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．[0,1)(1,)+∞ D ．[0,1)2．如果点()02,P y 在以点F 为焦点的抛物线24y x =上，则PF = A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．命题p ：22,0x x ax a ∀∈++≥R ；命题q ：x ∃∈R ，sin cos 2x x +=，则下列命题中为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∧⌝4．在△ABC 中，︒=∠30A，AB =1BC =， 则△ABC 的面积等于A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．23或435．执行如图所示的程序框图，输出结果是4． 若{}01,2,3a ∈，则0a 所有可能的取值为A ．1,2,3B ．1C ．2D ．1,26．已知正方形的四个顶点分别为(0,0)O ，(1,0)A ，(1,1)B ，(0,1)C ，点,D E 分别在线段,OC AB 上运动，且OD BE =，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹方程是A ．(1)(01)y x x x =-≤≤B ．(1)(01)x y y y =-≤≤C ．2(01)y x x =≤≤ D ．21(01)y x x =-≤≤7．已知平面向量a ，b 的夹角为120，且1⋅=-a b ，则||-a b 的最小值为 A ．BCD ． 18．已知数列{}n a 满足(,01)n n a n k n k *=⋅∈<<N 下面说法正确的是①当12k =时，数列{}n a 为递减数列； ②当112k <<时，数列{}n a 不一定有最大项； ③当102k <<时，数列{}n a 为递减数列；④当1k k-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项.A. ①②B. ②④C. ③④D. ②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上． 9．某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为_____．10．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若2228log log 1a a +=，则37a a ⋅= ． 11．直线y kx =与圆22(2)4x y -+=相交于O ,A两点，若OA k 的值0.040.05 0.12是_____．12．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ；表面积是 ．13．实数,x y 满足3,20,x y x y +≥⎧⎨-≤⎩若(2)y k x ≥+恒成立，则实数k 的最大值是 ．14．所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数． 如：6=123++；28=124714++++；496=1248163162124248++++++++．已经证明：若21n-是质数，则12(21)n n --是完全数，n *∈N .请写出一个四位完全数 ；又623=⨯，所以6的所有正约数之和可表示为(12)(13)+⋅+；22827=⨯，所以28的所有正约数之和可表示为2(122)(17)++⋅+；按此规律，496的所有正约数之和可表示为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本题满分13分）已知函数2()cos sin 1f x x x =--+． （Ⅰ）求函数)(x f 的最小值； （Ⅱ）若5()16f α=，求cos2α的值．俯视图 侧视图正视图16．（本题满分13分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）； （Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X ，求随机变量X 的分布列和期望EX ．17．（本题满分14分）如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥. （Ⅰ）求证：AC ⊥PB ；（Ⅱ）设,O D 分别为,AC AP 的中点，点G 为△OAB 内一点，且满足13OG OA OB =+（）， 求证：DG ∥面PBC ；（Ⅲ）若==2AB AC ，=4PA ， 求二面角A PB C --的余弦值．18．（本题满分13分）已知函数()()ln f x x a x =-，a ∈R ． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，求a 的取值范围．PDOACG19.已知椭圆C 两焦点坐标分别为1(F ,2F ，且经过点1)2P ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点(0,1)A -，直线l 与椭圆C 交于两点,M N ．若△AMN 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线l 的方程．20．（本题满分13分）已知,,a b c 是正数， 1lg a a =，2lg a b =，3lg a c =． （Ⅰ）若,,a b c 成等差数列，比较12a a -与23a a -的大小；（Ⅱ）若122331a a a a a a ->->-，则,,a b c 三个数中，哪个数最大，请说明理由；（Ⅲ）若a t =，2b t =，3c t =（t *∈N ），且1a ，2a ，3a 的整数部分分别是,m 21,m +221,m +求所有t 的值．北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（理工类） 2014.1三、解答题15．解：（Ⅰ）因为2()cos sin 1f x x x =--+ 2sin sin x x =- 211(sin )24x =--， 又[]sin 1,1x ∈-，所以当1sin 2x =时，函数)(x f 的最小值为14-.…… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得2115(sin )2416α--=，所以219(sin )216α-=．于是5sin 4α=（舍）或1sin 4α=-．又2217cos 212sin 12()48αα=-=--=． ……………… 13分16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 6分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2．1144115516(0)25C C P X C C ===， 14115528(1)25C P X C C ===， 115511(2)25P X C C ===， 随机变量X 的分布列是：160122525255EX =⨯+⨯+⨯=． ……………… 13分17．证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PA AC ⊥．又因为AB AC ⊥，且PA AB=A ，所以AC ⊥平面PAB ． 又因为PB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥PB ． ……………… 4分（Ⅱ）解法1:因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥．又因为AB AC ⊥，8 7 5 6 9826 甲 乙5 57 2 58 5所以建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -． 设=2AC a ，=AB b ，=2PA c ， 则(0,0,0)A ，(0,,0)B b ，(2,0,0)C a ，(0,0,2),(0,0,)P c D c ，(,0,0)O a ．又因为13OG OA OB =+（）， 所以(,,0)33a b G ． 于是(,,)33a b DG c =-，(2,,0)BC a b =-，(0,,2)PB b c =-．设平面PBC 的一个法向量000(,,)x y z =n ，则有0,0BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ．即000020,20.ax by by cz -=⎧⎨-=⎩不妨设01z =，则有002,c c y x b a ==，所以2(,,1)c ca b=n ． 因为22(,,1)(,,)1()03333c c a b c a c bDG c c a b a b ⋅=⋅-=⋅+⋅+⋅-=n ，所以DG ⊥n ．又因为DG ⊄平面PBC ，所以DG ∥平面PBC ． ……………… 9分解法2：取AB 中点E ，连OE ，则1()2OE OA OB =+. 由已知13OG OA OB =+（）可得23OG OE =, 则点G 在OE 上.连结AG 并延长交CB 于F ，连PF .因为,O E 分别为,AC AB 的中点， 所以OE ∥BC ,即G 为AF 的中点. 又因为D 为线段PA 的中点， 所以DG ∥PF .又DG ⊄平面PBC ,PF ⊂平面PBC , 所以DG ∥平面PBC ．……………… 9分CPDOAGEF（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面PBC 的一个法向量2(,,1)(2,2,1)c ca b==n ． 又因为AC ⊥面PAB ，所以面PAB 的一个法向量是(2,0,0)AC =． 又42cos ,323AC AC AC⋅===⨯⋅n n n ， 由图可知，二面角A PB C --为锐角，所以二面角A PB C --的余弦值为23． ……………… 14分 18． 解：（Ⅰ）定义域(0,)+∞．当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+． 令()0f x '=，得1ex =． 当1(0,)ex ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当1(,)ex ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以函数()f x 的极小值是11()e e f =-． ……………… 5分（Ⅱ）由已知得()ln x af x x x-'=+．因为函数()f x 在(0,)+∞是增函数，所以()0f x '≥，对(0,)x ∈+∞恒成立． 由()0f x '≥得ln 0x ax x-+≥，即ln x x x a +≥对(0,)x ∈+∞恒成立． 设()ln g x x x x =+，要使“ln x x x a +≥对(0,)x ∈+∞恒成立”，只要min ()a g x ≤． 因为()ln 2g x x '=+，令()0g x '=得21ex =． 当21(0,)ex ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数； 当21(,)ex ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数. 所以()g x 在()0,+∞上的最小值是2211()e eg =-．故函数()f x 在(0,)+∞是增函数时，实数a 的取值范围是21(,]e -∞-…… 13分 19．解：（Ⅰ）设椭圆标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．依题意1224a PF PF =+==，所以2a =．又c =2221b a c =-=．于是椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……………… 5分 （Ⅱ）依题意，显然直线l 斜率存在.设直线l 的方程为y kx m =+，则由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(41)8440k x kmx m +++-=． 因为2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->,得22410k m -+>． ……………… ①设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点为00(,)Q x y ，则12221228414441km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩于是000224,4141km mx y kx m k k =-=+=++． 因为AM AN =，线段MN 中点为Q ，所以AQ MN ⊥． （1）当00x ≠，即0k ≠且0m ≠时，0011y k x +=-，整理得2341m k =+． ………………② 因为AM AN ⊥，1122(,1),(,1)AM x y AN x y =+=+，所以2212121212(1)(1)(1)(1)()21AM AN x x y y k x x k m x x m m =+++=+++++++22222448(1)(1)()2104141m kmk k m m m k k -=+++-+++=++，整理得25230m m +-=，解得35m =或1m =-． 当1m =-时，由②不合题意舍去. 由①②知，35m =时，k =．（2）当00x =时，（ⅰ）若0k =时，直线l 的方程为y m =，代入椭圆方程中得x =±.设()M m -，)N m ,依题意，若△AMN 为等腰直角三角形，则AQ QN =.即1m =+，解得1m =-或35m =.1m =-不合题意舍去， 即此时直线l 的方程为35y =. （ⅱ）若0k ≠且0m =时，即直线l 过原点.依椭圆的对称性有(0,0)Q ,则依题意不能有AQ MN ⊥,即此时不满足△AMN 为等腰直角三角形.综上，直线l 的方程为35y =530y -+=530y +-=. ………………14分 20．解：（Ⅰ）由已知得1223()()a a a a ---=2lg lg lg a b acb c b-=．因为,,a b c 成等差数列，所以2a cb +=，则1223()()a a a a ---=24lg()aca c +， 因为222a c ac +≥，所以2()4a c ac +≥，即241()aca c ≤+， 则1223()()0a a a a ---≤，即12a a -≤23a a -，当且仅当abc ==时等号成立．……………… 4分（Ⅱ）解法1：令12m a a =-，23n a a =-，31p a a =-，依题意，m n p >>且0m n p ++=，所以0m p >>． 故120a a ->，即lg lg a b >；且130a a ->，即lg lg a c >． 所以a b >且a c >． 故,,a b c 三个数中，a 最大． 解法2：依题意lglg lg a b c b c a >>，即a b c b c a>>． 因为0,0,0a b c >>>，所以2ac b >，2a bc >，2ab c >． 于是，3abc b >，3a abc >，3abc c >， 所以33a b >，33a c >．因为3y x =在R 上为增函数，所以a b >且a c >．故,,a b c 三个数中，a 最大． ……………… 8分（Ⅲ）依题意，lg t ，2lg t ，3lg t 的整数部分分别是,m 21,m +221m +，则l g 1m t m ≤<+， 所以22lg 22m t m ≤<+．又2lg 2lg t t =，则2lg t 的整数部分是2m 或21m +．当212m m +=时，1m =；当2121m m +=+时，0,2m =．（1） 当0m =时，lg t ，2lg t ，3lg t 的整数部分分别是0,1,1，所以0lg 1t ≤<，21lg 2t ≤<，31lg 2t ≤<．所以12lg 23t ≤<，解得21321010t ≤<． 又因为()12103,4∈，()23104,5∈，所以此时4t =．（2）当1m =时，同理可得1lg 2t ≤<，22lg 3t ≤<，33lg 4t ≤<． 所以41lg 3t ≤<，解得431010t ≤<．又()431021,22∈，此时10,11,12,...20,21t =． （3）当2m =时，同理可得2lg 3t ≤<，25lg 6t ≤<，39lg 10t ≤<，同时满足条件的t 不存在．综上所述4,10,11,12,...20,21t =． ……………… 13分。