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高三国庆假期作业(1)1. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，那么集合A ∩(C U B )＝___________.2. 设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0ln x ，x ＞0，则g [g (12)]＝___________.3. 若y ＝f (x )是幂函数, 且满足f (4)f (2)＝22, 则f (3)＝___________. 4. 若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0, 1]，则a ＝___________.5. 函数y ＝log 0.5(4x 2－3x )的定义域为___________.6. 已知函数f (x )＝x ＋1－a a －x (a ∈R 且x ≠a )的定义域为[a －1，a －12]时，则f (x )的值域为___________.7. 函数f (x )＝log 2x ·)x 的最小值为___________. 8. 函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f [f (5)]＝___________. 9. 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x ＜0，(a －3)x ＋4a ， x ≥0.满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是________.10. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则f (－3)等于___________.11. 设a 为实常数, y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数, 当x ＜0时, f (x )＝9x ＋a 2x＋7, 若f (x )≥a＋1对一切x ≥0成立,则a 的取值范围为___________.12. 已知函数f (x )＝x 2－|x |, 若f (－m 2－1)＜f (2), 则实数m 的取值范围是___________. 13. 函数f (x )＝2x·|log 0.5x |－1的零点个数为___________.14. 已知f (x )＝32x －(k ＋1)·3x＋2, 当x ∈R 时, f (x )恒为正值, 则k 的取值范围是___________. 15. 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x ). 当x ∈[0, 1]时，f (x )＝2x ., 若在区间[－2, 3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是___________. 16. 若f (x )＝x 2－2, g (x )＝－x ，则max{f (x ), g (x )}的最小值为___________.17. 若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a ＞0, a ≠1)在区间(0, 12)内恒有f (x )＞0，则f (x )的单调递增区间是_____________.18. 已知函数f (x )＝|lg x |, a ＞b ＞0, f (a )＝f (b ) , 则a 2＋b 2a －b的最小值等于_________.19. 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足下列条件：①当x ∈R 时，f (x )的最小值为0, 且f (x －1)＝f (－x －1)恒成立；②当x ∈(0, 5)时, 2x ≤f (x )≤4|x －1|＋2恒成立. (1)求f (1)的值； (2)求f (x )的解析式；(3)求最大的实数m (m ＞1), 使得存在实数t , 只要当x ∈[1, m ]时, 就有f (x ＋t )≤2x 成立.20. 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )．(1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围． 21. 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0.(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．22. 设函数f (x )＝e x x2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x (k 为常数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．23. 已知函数f (x )＝ae 2x －be －2x－cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c . (1)确定a ，b 的值； (2)若c ＝3，判断f (x )的单调性；(3)若f (x )有极值，求c 的取值范围．24. 设函数f (x )＝13x 3－ax (a ＞0)，g (x )＝bx 2＋2b －1.(1)若曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处有相同的切线，求实数a ，b 的值；(2)当b ＝1－a2时，若函数h (x )＝f (x )＋g (x )在区间(－2，0)内恰有两个零点，求实数a 的取值范围；(3)当a ＝1，b ＝0时，求函数h (x )＝f (x )＋g (x )在区间[t ，t ＋3]内的最小值．高三国庆假期作业(1)答案1、{x |－1≤x ≤3}；2、12；3、33；4、2；5、[－14，0)∪(34，1]；6、[0, 1]；7、－14；8、－15；9、(0，14]；10、6；11、a ≤－87；12、(−1, 1)；13、2；14、k ＜22－1；15、(25, 23)；16、－1；17、(－∞, －12)；18、22；19、解：⑴ 在②中，令x ＝1得f (1)＝2，⑵ 由f (x －1)=f (－x －1)，知f (x )关于x ＝－1对称且开口向上．故设f (x )＝a (x ＋1)2(a ＞0)∵f (1)＝2，∴ a ＝12，f (x )＝12(x ＋1)2．⑶假设存在t ∈R ，对于∨−x ∈[1，m ]，都有f (x ＋t )≤2x ，即x 2＋(2t －2)x ＋t 2＋2t ＋1≤0 令g (x )＝x 2＋(2t －2)x ＋t 2＋2t ＋1，则只需要g (1)≤0且g (m )≤0，由g (1)≤0⇒－4≤t ≤0． 由g (m )≤0 ⇒1－t －2－t ≤m ≤1－t ＋2－t ．∴m ≤1－t ＋2－t ≤1－(－4)＋2－(－4)＝9．而当t ＝－4时，f (x －4)－2x ＝12(x 2－10x ＋9)＝12(x －1)(x －9)在x ∈[1，9]时，恒有f (x －4)≤2x 成立．∴ m 的最大值为9．⑶ 另解：假设存在t ∈R ，对于∨−x ∈[1，m ]，都有f (x ＋t )≤2x ，即x 2＋(2t －2)x ＋t 2＋2t ＋1≤0 ……①令g (x )＝x 2＋(2t －2)x ＋t 2＋2t ＋1，则只需要g (1)≤0且g (m )≤0，由g (1)≤0⇒－4≤t ≤0 …………②由g (m )≤0 ⇒ t 2＋(2m ＋2)t ＋m 2－2m ＋1≤0，即－1－m －2m ≤t ≤－1－m ＋2m ．∵①②关于t 有解，∴－1－m ＋2m ≥－4 ⇒(m －1)2≤4 ⇒1＜m ≤9，∴ m 的最大值为9． 注：若本题是填空题，还可以数形结合画图来做 (大题不行!).20、解：(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x (x ＋2)1－2x，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0.所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0， 在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，－x 1－2x ＜0，依题意当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b ≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19. 21、解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3， x 2＝－1＋4＋3a3，x 1＜x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x－x 2)．当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＜0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＞0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a ＞0，所以x 1＜0，x 2＞0，①当a ≥4时，x 2≥1. 由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增， 所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a ＜4时，x 2＜1. 由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值；当1＜a ＜4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．22、解：(1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2e x －2x e x x4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x ＝x e x －2e x x 3－k (x －2)x 2＝(x －2)(e x －kx )x3. 由k ≤0可得e x－kx ＞0，所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，函数y ＝f (x )单调递减；x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，当k ≤0时，函数f (x )在(0，2)内单调递减，故f (x )在(0，2)内不存在极值点；当k ＞0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈(0，＋∞)．因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k，当0＜k ≤1时，当x ∈(0，2)时，g ′(x )＝e x－k ＞0，y ＝g (x )单调递增，故f (x )在(0，2)内不存在两个极值点．当k ＞1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )＜0，函数y ＝g (x )单调递减；x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数y ＝g (x )单调递增．所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )．函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＞0，g (ln k )＜0，g (2)＞0，0＜ln k ＜2，解得e ＜k ＜e22.综上所述，函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，e 22.23、解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝2ae 2x＋2be －2x－c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )，即2(a －b )(e 2x －e －2x)＝0.因为上式总成立，所以a ＝b . 又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，所以a ＝1，b ＝1.(2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x －e －2x －3x ，∴f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －3≥22e 2x ·2e －2x－3＝1＞0，故f (x )在R 上为增函数．(3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c ，而2e 2x ＋2e －2x ≥22e 2x ·2e －2x＝4，当且仅当x ＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论：当c ＜4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x－c ＞0，此时f (x )无极值．当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x－4＞0，此时f (x )无极值．当c ＞4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1，2＝c ±c 2－164＞0，则f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1，x 2＝12ln t 2. 当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＜0；当x ＞x 2时，f′(x )＞0.从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．24、解：(1)因为f (x )＝13x 3－ax (a ＞0)，g (x )＝bx 2＋2b －1，所以f ′(x )＝x 2－a ，g ′(x )＝2bx .因为曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处有相同的切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)，即13－a ＝b ＋2b －1，且1－a ＝2b ，解得a ＝13，b ＝13. (2)当b ＝1－a 2时，h (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a (a ＞0)，所以h ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x－a )．故h (x )在区间(－2，－1)上单调递增，在区间(－1，0)上单调递减． 又函数h (x )在区间(－2，0)内恰有两个零点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧h (－2)＜0，h (－1)＞0，h (0)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－83＋2(1－a )＋2a －a ＜0，－13＋1－a 2＋a －a ＞0，－a ＜0，解得0＜a ＜13，所以实数a 的取值范围是(0，13). (3)当a ＝1，b ＝0时，h (x )＝13x 3－x －1，b ＝1－a2，则由(2)可知，函数h (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1)．因为h (－2)＝－53，h (1)＝－53，所以h (－2)＝h (1)．①当t ＋3＜1，即t ＜－2时，[h (x )]min ＝h (t )＝13t 3－t －1.②当－2≤t ＜1时，[h (x )]min ＝h (－2)＝－53.③当t ≥1时，h (x )在区间[t ，t ＋3]上单调递增，[h (x )]min ＝h (t )＝13t 3－t －1.综上可知，函数h (x )在区间[t ，t ＋3]上的最小值[h (x )]min ＝⎩⎪⎨⎪⎧13t 3－t －1，t ∈(－∞，－2)∪[1，＋∞），－53，t ∈[－2，1）.。
2021年高三上学期10月月考试题 数学（理） 含答案(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1. 已知集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |lg(2x ＋1)＞0}，则M ∩N ＝ ．(0,1)2. 复数z ＝a ＋i 1－i为纯虚数，则实数a 的值为 ．13. 不等式|x ＋1|·(2x ―1)≥0的解集为 ． {x |x ＝―1或x ≥12}4. 函数f (x )＝13x －1＋a （x ≠0），则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）．5. 充要6. m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5必过定点_________．(9,－4)7. 向量a ＝(1,2)、b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k ＝_________． 8. 由题意知，a 与b 不共线，故k ∶1＝1∶(－3)，∴k ＝－139. 关于x 的方程cos 2x ＋4sin x －a ＝0有解，则实数a 的取值范围是 ． 10. [－4,4]11. 已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．412. 解：x ＋2y ＝8－x ·(2y )≥8－⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22，整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4) (x＋2y ＋8)≥0．又x ＋2y ＞0，∴x ＋2y ≥4．13. 已知点x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2，若ax ＋y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是__________．(－∞,3]14. 已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足→AB ＋12·→AC ＝→AD ，且|→CD |＝3，那么→DA ·→DC＝ ． 315. 若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是_________．[12,＋∞)16. 解：f '(x )＝2mx ＋1x －2≥0对x ＞0恒成立，2mx 2＋1－2x ≥0∴2m ≥2x －1x 2＝－1x 2＋2x，令t ＝1x ＞0∴2m ≥－t 2＋2t ，∵()－t 2＋2t max ＝1，∴2m ≥1，∴m ≥12． 17. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax (x ≤1)2ax －5 (x ＞1)，若x 1, x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是 ． (－∞,4)18. 将y ＝sin2x 的图像向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图像仍过点⎝⎛⎭⎫π3，32，则φ的最小值为_______．19. 解法一：点代入y ＝sin(2x －2φ)∴sin(2π3－2φ)＝32∴－2φ＋2π3＝2k π＋π3或－2φ＋2π3＝2k π＋2π3∴φ＝－k π＋π6或φ＝－k π∴φ的最小值为π6．20. 解法二：结合函数y ＝sin2x 的图形．21. 已知函数f (x )满足f (x )＝f (1x )，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间[13,3]内，函数g (x )＝f(x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ． 22. ⎣⎡ln33,⎭⎫1e二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23. （本小题满分14分） 24. 已知直线和．25. 问：m 为何值时，有：（1）；（2）．解：（1）∵，∴，得或；当m ＝4时，l 1：6x ＋7y －5＝0，l 2：6x ＋7y ＝5,即l 1与l 2重合，故舍去． 当时，即 ∴当时，． ………7分 （2）由得或； ∴当或时，． ………14分 26. （本小题满分14分）27. 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M ⎝⎛⎭⎫π3，12，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π． 28. （1）求f (x )的解析式；29. （2）在△ABC 中，a ＝13，f (A )＝35，f (B )＝513，求△ABC 的面积．解：（1）依题意知，T ＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)∵f (π3)＝sin(π3＋φ)＝12，且0＜φ＜π ∴π3＜π3＋φ＜4π3 ∴π3＋φ＝5π6 即φ＝π2∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ． ………6分（2）∵f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513， ∴A ,B ∈(0,π2)∴sin A ＝45，sin B ＝1213 ………8分∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665………10分 ∵在△ABC 中a sin A ＝bsin B ∴b ＝15. ………12分∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×13×15×5665＝84． ………14分30. （本小题满分15分）31. 已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为120º，当k 为何值时， 32. （1）k a －b 与a －k b 垂直；33. （2）|k a －2b |取得最小值？并求出最小值．解：（1）∵k a －b 与a －k b 垂直，∴(k a －b )·(a －k b )＝0．∴k a 2－k 2a ·b －b ·a ＋k b 2＝0．∴9k －(k 2＋1)×3×2·cos120°＋4k ＝0．∴3k 2＋13k ＋3＝0．∴k ＝－13±1336． ………7分（2）∵|k a －2b |2＝k 2a 2－4k a ·b ＋4b 2＝9k 2－4k ×3×2·cos120°＋4×4 ＝9k 2＋12k ＋16＝(3k ＋2)2＋12．∴当k ＝－23时，|k a －2b |取得最小值为23． ………15分34. （本小题满分15分）35. 如图①，一条宽为1km 的两平行河岸有村庄A 和供电站C ，村庄B 与A 、C 的直线距离都是2km ，BC 与河岸垂直，垂足为D ．现要修建电缆，从供电站C 向村庄A 、B 供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km 、4万元/km ．36. （1）已知村庄A 与B 原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元/km ．现决定利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．37. （2）如图②，点E 在线段AD 上，且铺设电缆的线路为CE 、EA 、EB ．若∠DCE ＝θ(0≤θ≤ π3)，试用θ表示出总施工费用y (万元)的解析式，并求y 的最小值．解：（1）由已知可得△ABC 为等边三角形，∵AD ⊥CD ，∴水下电缆的最短线路为CD . 过D 作DE ⊥AB 于E ，可知地下电缆的最短线路为DE 、AB . ………3分又CD ＝1，DE ＝32，AB ＝2，故该方案的总费用为 1×4＋32×2＋2×0.5＝5＋ 3 （万元）． …………6分 （2）∵∠DCE ＝θ (0≤θ≤ π3)∴CE ＝EB ＝1cos θ，ED ＝tan θ，AE ＝3－tan θ.则y ＝1cos θ×4＋1cos θ×2＋(3－tan θ)×2＝2×3－sin θcos θ＋2 3 ……9分令f (θ)＝3－sin θcos θ (0≤θ≤ π3)则f '(θ)＝－cos 2θ－(3－sin θ)(－sin θ)cos 2θ＝3sin θ－1cos 2θ，……11分∵0≤θ≤ π 3，∴0≤sin θ≤32，记sin θ0＝13，θ0∈(0, π 3)当0≤θ＜θ0时，0≤sin θ＜13，∴f '(θ)＜0当θ0＜θ≤ π 3时，13＜sin θ≤32，∴f '(θ)＞0∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减，在(θ0, π3]上单调递增．……13分∴f (θ)min ＝f (θ0)＝3－13223＝22，从而y min ＝42＋23，此时ED ＝tan θ0＝24，答：施工总费用的最小值为（42＋23）万元，其中ED ＝24. ……15分38. （本小题满分16分）39. 已知a 为实数，函数f (x )＝a ·ln x ＋x 2－4x ．40. （1）是否存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值？证明你的结论； 41. （2）若函数f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围； 42. （3）设g (x )＝2a ln x ＋x 2－5x －1＋ax，若存在x 0∈[1, e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，求实数a 的取值范围．解：（1）函数f (x )定义域为(0,＋∞)，f '(x )＝a x ＋2x －4＝2x 2－4x ＋a x假设存在实数a ，使f (x )在x ＝1处取极值，则f '(1)＝0，∴a ＝2， ……2分此时，f '(x )＝2(x －1)2x，∴当0＜x ＜1时，f '(x )＞0，f (x )递增；当x ＞1时，f '(x )＞0，f (x )递增． ∴x ＝1不是f (x )的极值点．故不存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值． ………4分（2）f '(x )＝2x 2－4x ＋a x ＝2(x －1)2＋a －2x，①当a ≥2时，∴f '(x )≥0，∴f (x )在(0,＋∞)上递增，成立； ………6分②当a ＜2时，令f '(x )＞0，则x ＞1＋1－a 2或x ＜1－1－a2，∴f (x )在(1＋1－a2,＋∞)上递增，∵f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，∴1＋1－a2＜3，解得：6＜a ＜2 综上，a ＞－6． ………10分（3）在[1,e]上存在一点x 0，使得成立，即在[1,e]上存在一点，使得，即函数在[1,e]上的最小值小于零．有22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==①当，即时， 在上单调递减， 所以的最小值为，由可得，因为，所以； ………12分 ②当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得； ………14分 ③当，即时，可得最小值为， 因为，所以，，故 此时不存在使成立．综上可得所求的范围是：或． ………16分解法二：由题意得，存在x ∈[1, e]，使得a (ln x －1x )＞x ＋1x成立．令m (x )＝ln x －1x ，∵m (x )在[1, e]上单调递增，且m (1)＝－1＜0, m (e)＝1－1e ＞0故存在x 1∈(1,e)，使得x ∈[1, x 1)时，m (x )＜0；x ∈(x 1, e]时，m (x )＞0 故存在x ∈[1, x 1)时，使得a ＜x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆)或存在x ∈(x 1, e]时，使得a ＞x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆☆) ………12分记函数F (x )＝x 2＋1x ln x －1，F '(x )＝(x 2－1)ln x －(x ＋1)2(x ln x －1)2当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＝(x 2－1)·⎝⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x －1∵G (x )＝ln x －x ＋1x －1＝ln x －2x －1－1递增，且G (e)＝－2e －1＜0∴当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＜0，即F '(x )＜0∴F (x )在[1, x 1)上单调递减，在(x 1, e]上也是单调递减， ………14分 ∴由条件(☆)得：a ＜F (x )max ＝F (1)＝－2 由条件(☆☆)得：a ＞F (x )min ＝F (e)＝e 2＋1e －1综上可得，a ＞e 2＋1e －1或a ＜－2． ………16分43. （本小题满分16分）44. 已知常数a ＞0，函数f (x )＝13ax 3－4(1－a )x ，g (x )＝ln(ax ＋1)－2x x ＋2．45. （1）讨论f (x )在(0,＋∞)上的单调性；46. （2）若f (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上存在两个极值点x 1、x 2，且g (x 1)＋g (x 2)＞0，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意可知：f '(x )＝ax 2－4(1－a )当a ≥1时，f '(x )＞0，此时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增． 当0＜a ＜1时，由f '(x )＝0得：x 1＝2a (1－a )a （x 2＝－2a (1－a )a＜0舍去） 当x ∈(0, x 1)时，f '(x )＜0；当x ∈(x 1,＋∞)时，f '(x )＞0.故f (x )在区间(0, x 1)上单调递减，在区间(x 1,＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增； 当0＜a ＜1时，f (x )在区间(0,2a (1－a )a )上单调递减，在区间(2a (1－a )a,＋∞)上单调递增． ………6分（2）由（1）知，当a ≥1时，f '(x )≥0，此时f (x )不存在极值点， 因而要使得f (x )有两个极值点，必有0＜a ＜1. 又∵f (x )的极值点只可能是x 1＝2a (1－a )a 和x 2＝－2a (1－a )a， 由g (x )的定义可知，x ＞－1a 且x ≠－2，∴－2a (1－a )a ＞－1a 且2a (1－a )a x ≠2解得：0＜a ＜12或12＜a ＜1 【定义域在这里很重要】 ………8分此时，由（*）式易知，x 1, x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点． 而g (x 1)＋g (x 2)＝ln(ax 1＋1)(ax 2＋1)－2x 1x 1＋2－2x 2x 2＋2＝ln[a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1]－4x 1x 2＋4(x 1＋x 2)x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝ln(2a －1)2－4(a －1)2a －1＝ln(2a －1)2－22a －1－2………10分令x ＝2a －1，由0＜a ＜12且a ≠12知，当0＜a ＜12时，－1＜x ＜0；当12＜a ＜1时，0＜x ＜1 ，记h (x )＝ln x 2＋2x－2．①当－1＜x ＜0时，h (x )＝2ln(－x )＋2x－2，设t ＝－x ∈(0,1)， (t )＝2ln t －2t －2单调递增 ∴ (t )＜ (1)＝－4＜0∴h (x )＜－4＜0，故当0＜a ＜12时，g (x 1)＋g (x 2)＜0，不合题意，舍去．②当0＜x ＜1时，h (x )＝2ln x ＋2x －2，∴h '(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2＜0，∴h (x )在(0,1)上单调递减，∴h (x )＞h (1)＝0，故当12＜a ＜1时，g (x 1)＋g (x 2)＞0．综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1．………16分附加题(考试时间：30分钟 总分：40分)xx.1021.（选修4—2：矩阵与变换）（本小题满分10分) 已知矩阵（1）求；（2）满足AX ＝二阶矩阵X解：(1) ………5分(2) ………10分22．（选修4—4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3t(t 为参数)，求直线l 被曲线C 所截得的弦长．解：曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，圆心为(1，1)，半径为2，(3分)直线的直角坐标方程为3x －y －3＝0，(5分)所以圆心到直线的距离为d ＝||3－1－32＝12，(8分)所以弦长＝22－14＝7.(10分)23.（本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4，AA 1⊥平面ABC ； AB ⊥AC ， （1）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；（2）在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，求BDBC 1的值．解： （1）如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A －, 则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4),设平面A 1BC 1的法向量为, 则,即,令,则,,所以.同理可得,平面BB 1C 1的法向量为, 所以.由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角,所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为. ………5分（2）设D 是直线BC 1上一点,且. 所以.解得,,. 所以.由,即.解得.因为,所以在线段BC 1上存在点D , 使得AD ⊥A 1B .此时,. ………10分1C 1A 1B 1C ABC24.（本小题满分10分)（1）证明：①；②（其中）；（2）某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛共设局，每局比赛甲获胜的概率均为，首先赢满局者获胜（）. ①若，求甲获胜的概率；②证明：总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）. 解：（1）①()()()()()()()()()111!1!!!()!1!(1)!1!()!1!1!11!r r n nr n n r n r n n C C r n r r n r r n r n C r n r +++++-⎡⎤⎣⎦+=+=-+--+-+==++-+……2分②由① ……3分（2）①若，甲获胜的概率()10156)1()1(2322242233+-=-+-+=p p p p p pC p p pC p P ……5分②证明：设乙每一局获胜的概率为，则． 记在甲最终获胜的概率为，则()nn nn n nn n nn n n n n n n n n n n qC q Cq Cpqp pC q p pC q p pC p P 2221122211...1...++++=++++=++++++所以，()()()()()[]()()[()][][]()()()0122)()()(...)1()1()11(......1...1...11...1...1 (112111212111212211122211212211122211212211211221)3221211212231321211222131222211112221312222111122213122222111<-=-=-=+--=+--+-+++-++-+-=+++++++++-++++=++++--++++=++++-++++=-++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++q C q p C qC q p C qC q p C qC C q p C q C C q C C C q C C q C C q p qC q C q C q q C q C q C qC q C q C p q C q C q C q qC q C q C p q C q C q C p q C q C q C p P P n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n所以即总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）． ………10分 26545 67B1 枱Ay21102 526E 剮40664 9ED8 默33073 8131 脱 35752 8BA8 讨25121 6221 戡24143 5E4F 幏34944 8880 袀34497 86C1 蛁。
绝密★启用前2021年高三数学（理）10月周考卷（一）含答案A． B．3 C． D．93．为研究两变量和的线性相关性，甲、乙两人分别作了研究，利用线性回归方程得到回归直线和，两人计算相同，也相同，则下列说法正确的是（）A．与重合B．与平行C．与交于点（，）D．无法判定与是否相交4．已知．若且，非同时假命题，则满足条件的的集合为（）A． B．C． D．5．已知双曲线的渐近线为，焦点坐标为（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A． B． C．D．6．设是虚数单位，复数是纯虚数，则实数A. B.2 C. D.7．如果直线与直线互相垂直，则的值等于（）A．2 B．－2 C．2，－2 D．2，0，－28．圆x2+y2=1和圆x2+y2﹣6y+5=0的位置关系是（）.A.外切B.内切C.外离D.内含9．把函数图象上所有点向右平移个单位，再将所得图象的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得图象的解析式是，则（）A． B．C． D．10．如图，在正三棱锥中，分别是的中点，，且，则正三棱锥的体积是（）A． B． C． D．x第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题（题型注释）11．_____ ___．12．设全集，集合，，则 ， ．13．定义在上的奇函数满足：当时，，则 ；使的的取值范围是 ． 14．已知函数()sin(),(0,0,||,)2f z A x Ax R πωϕωϕ=+>><∈的部分图象如图所示，则函数的最大值是 .15．已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为 . 三、解答题（题型注释）16．．已知圆，直线过定点 A (1，0)． （1）若与圆C 相切，求的方程；（2）若的倾斜角为，与圆C 相交于P ，Q 两点，求线段PQ 标；（3）若与圆C 相交于P ，Q 两点，求△CPQ 面积的最大值17．（14分）已知函数f(x)是 （x R ）的反函数，函数g (x )的图象与函数的图象关于直线x =－2成轴对称图形，设F(x )=f (x )+g (x ). （1）求函数F(x )的解析式及定义域；（2）试问在函数F(x )的图象上是否存在两个不同的点A,B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求出A,B坐标；若不存在，说明理由.18．用数学归纳法证明：19．设，函数（Ⅰ）若是函数的极值点，求实数的值；（Ⅱ）若函数在上是单调减函数，求实数的取值范围．20．在中，所对的边分别是，不等式对一切实数恒成立．（1）求的取值范围；（2）当取最大值，且时，求面积的最大值并指出取最大值时的形状21．已知平面向量．（1）若，求；（2）若与夹角为锐角，求的取值范围．22．如图，在直角坐标系中，射线OA: x－y=0（x≥0），OB: x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA、OB于A、B两点.（1）当AB中点为P时，求直线AB的斜率（2）当AB中点在直线上时，求直线AB的方程.23．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率（）A． B． C． D．参考答案1．C【解析】试题分析：表示集合是集合的子集，所以应该选C.考点：本小题主要考查韦恩图的识别和集合关系的应用.点评：韦恩图在集合的运算中应用很广，要灵活应用. 2．C 【解析】试题分析：由正弦定理得，由二倍角公式及两角和的正弦公式得，，所以，由余弦定理得即22222)(43)(3)(3c a c a ac c a ac c a +-+≥-+=-+=，解得.考点：1、正弦定理、余弦定理；2、基本不等式. 3．C 【解析】试题分析：根据回归直线方程知识可知，利用最小二乘法得到的回归直线方程必过样本中心点，所以直线与交于点。
2021年高三上学期国庆假期作业数学理试题含答案复习题一1．下列命题中正确的是（）A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D．如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面2．已知、是两个不同平面，、是两条不同直线，下列命题中假命题．．．是（）A．若∥,, 则 B．若∥,, 则∥C．若,, 则∥ D．若,, 则3．已知平面，，直线，若，，则 ( ) A．垂直于平面的平面一定平行于平面B．垂直于直线的直线一定垂直于平面C．垂直于平面的平面一定平行于直线D．垂直于直线的平面一定与平面,都垂直4．已知若f(x)＝3，则x的值是( )(A)0 (B)0或(C) (D)5．=_________________6、若复数（m2-5m+6）+(m2-3m)i是纯虚数，则实数m=____________。
为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为，求的分布列和数学期望.7. 如图，在直三棱柱中，，，是的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）试问线段上是否存在点，使与成角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．复习题二1.从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（）A．12 B．24 C．36 D．482.若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（）A. B. C. D.3.复数的虚部是（）A． B． C．–1 D．4．下列判断正确的是( )(A)定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，且f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数(B)定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)在R上不是减函数(C)定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是减函数，在区间(0，＋∞)上也是减函数，则f(x)在R上是减函数(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数5．若曲线在点P处的切线斜率为1,则点P的坐标为__________________6．已知0＜a＜1，log a m＜log a n＜0，则m，n与1的大小关系______已知函数f(x)是单调减函数．(1)若a＞0，比较与f(3)的大小；(2)若f(｜a－1｜)＞f(3)，求实数a的取值范围．7.已知函数．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，记函数的最小值为，求证：．复习题三1.复数满足等式，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.的展开式中的常数项为（）A． B. C. D.3.某小区有排成一排的个车位，现有辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（）A．16 B．18 C．24 D．324．已知f(x)是定义在(－∞，0)上的减函数，且f(1－m)＜f(m－3)，则m的取值范围是( ) A．m＜2 B．0＜m＜1 C．0＜m＜2 D．1＜m＜25．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是 腰长为的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体 积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则 球的表面积是_____．6．函数f(x )=x 3－3x +1, x ∈［－3,0］的最大值为__________，最小值为__________7．函数f (x )＝lg(x 2＋ax ＋1)，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．37.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠B AF=90º，AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P 在棱DF 上． （Ⅰ）若P 是DF 的中点，(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （Ⅱ）若二面角D-AP-C 的余弦值为，求PF 的长度．PF EDA复习题四1．已知函数等于( )A．－1 B．－2 C．2 D．32．学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法共有（）种A. B. C. D.3.计算定积分___________.4.已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )A．B．C．D．5.已知向量，且A、B、C三点共线，求实数k的值．6.已知向量a＝(1，1)，b＝(2，－3)，若k a－2b与a垂直，求实数k的值．7.已知：｜a｜＝2，｜b｜＝5，〈a，b〉＝60°，求：①a·b；②(2 a＋b)·b；③｜2a＋b｜；④2 a＋b与b的夹角 的余弦值33．如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．（Ⅰ）求某个家庭得分为的概率？（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为，求的分布列及数学期望．复习题五1．函数的图象在点P处的切线方程是，则_____。
2021年高三数学10月联考试题 理 新人教A 版一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则( )A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3．已知二项式（）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为( )A ．180B ．360C ．1152D ．23044.三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为( )A. 8B. 4C.D.5.两个正数的等差中项是，一个等比中项是，且，则抛物线的焦点坐标是( )A ．B ．C ．D ．6．函数的零点个数为( )A.1B. 2C.3D.47.十一黄金周期间，5位同学各自随机从“三峡明珠，山水宜昌”、“千古帝乡，智慧襄阳”、“养生山水，长寿钟祥”三个城市中选择一个旅游，则三个城市都有人选的概率是( )A. B. C. D.8．已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，且有，那么的取值范围是( )A. B. C. D.9.对于函数，在曲线上存在点，使得，则的取值范围是( )A. B. C. D.10.记为两数的最大值，当正数变化时，的最小值为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题: 本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡相应题号后的横线上.答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.正视11.执行如右图所示的程序框图，若输出的的值为127，则图中判断框内①处应填的整数为．12.中,则最大角与最小角的和是____．13．已知曲线与直线交于点，若设曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为_______．14.在平面直角坐标系xOy中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值为__________．15.已知正方体的棱长为1，在正方体的表面上与点距离为的点的集合形成一条曲线，则该曲线的长度为___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）设函数.(I) 求函数的最小正周期及单调递减区间；(II) 当时，函数的最大值与最小值的和为，求的解析式；(III) 将满足（Ⅱ）的函数的图像向右平移个单位，纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍，再向下平移个单位，得到函数，求图像与轴的正半轴、直线所围成图形的面积.17．（本题满分12分）已知公比不为1的等比数列的首项，前项和为，且成等差数列. (I)求等比数列的通项公式；(II)对,在与之间插入个数，使这个数成等差数列，记插入的这个数的和为，求数列的前项和.18．（本题满分12分）低碳生活，从“衣食住行”开始．在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的二氧化碳排放量（千克）＝耗电度数，家用天然气的二氧化碳排放量（千克）＝天然气使用立方数等．某校开展“节能减排，保护环境，从我做起！”的活动，该校高一、六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查．生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”，否则称为“非低碳家庭”．经统计，这两类家庭占各自小区总户数的比例数据如下：东城小区低碳家庭 非低碳家庭 西城小区 低碳家庭 非低碳家庭 比例 比例（I ）如果在东城、西城两个小区内各随机选择2个家庭，求这个家庭中恰好有两个家庭是“低碳家庭”的概率；（II ）该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义，每周“非低碳家庭”中有的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中．宣传两周后随机地从东城小区中任选个家庭，记表示个家庭中“低碳家庭”的个数，求和．19．（本题满分12分）如图，已知长方形中，,为的中点. 将 沿折起，使得平面平面. （I ）求证： ；（II ）若点是线段上的一动点，问点E 在何位置时，二面角的余弦值为．20．（本题满分13分）如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点. 的最大值是，的最小值是，满足.(I) 求该椭圆的离心率；(II) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点. 记的面积为，的面积为，求的取值范围.A xy AO B G E F D21．（本题满分14分）已知函数.（Ⅰ）求过原点且与函数的图象相切的直线方程；（Ⅱ）设，讨论函数在区间上零点的个数；（Ⅲ）记….若对任意正整数，对任意恒成立，则称在上是“高效”的.试判断是否是上是“高效”的？若是，请给出证明，若不是，请说明理由.湖北省部分重点中学xx学年度第一学期十月联考高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1.B;2.D;3.A;4.C;5.C;6.C;7.A;8.B;9.D;10.B二、填空题: 本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.8; 12. ; 13. ; 14.8; 15.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．解：（Ⅰ）cos211()sin2sin(2)2262xf x x a x aπ+=++=+++，…………2分的最小正周期为……………………………………………………………………3分由，得故函数的单调递减区间是……………………………4分注：上面函数的单调递减区间写成开区间或半开半闭区间也正确.. (II) ,51 2,,sin(2),1 66662x xππππ⎡⎤⎡⎤∴+∈-∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦当时，函数的最大值与最小值的和为……………………6分由题意，，………………………………………………………………7分故……………………………………………………………………8分(III) 函数的图像向右平移个单位，纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍，再向下平移个单位，得到函数……………………………10分图像与轴的正半轴、直线所围成图形的面积为…………………………………………………………………………………………………12分17．解：（I）因为成等差数列，所以，…………………………………………………2分即，所以，因为，所以，………………4分所以等比数列的通项公式为…………………………………………………6分（II），……………………………………………… 9分…………………………………………………… 12分18．解（I）设事件“个家庭中恰好有两个家庭是‘低碳家庭’”为，………1分则有以下三种情况：“低碳家庭”均来自东城小区，“低碳家庭”分别来自东城、西城两个小区，“低碳家庭”均来自西城小区．6分（II ）因为东城小区每周有的人加入“低碳家庭”行列，经过两周后，两类家庭占东城小区总家庭数的比例如下： ………8分由题意，两周后东城小区个家庭中的“低碳家庭”的个数服从二项分布，即 ………………………………………………………………………10分∴ ，…………………………………………………………………11分．…………………………………………………………………12分19. 解：因为平面平面，，为的中点，，取的中点，连结，则平面，取的中点，连结，则，以为原点，的正方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图空间直角坐标系…………………………………………………………2分2222(,0,0),(,2,0),(,0,0),(0,0,)2222A B M D --,则,所以……………6分（Ⅱ）设,因为平面的一个法向量22222(,,)22222ME MD DB λλλλ=+=--,设平面的一个法向量为,取,得,所以,………………………………8分因为求得，…………………………………………… 10分所以为的中点…………………………………………………………………………12分20.解：(I) 设，则根据椭圆性质得 而，所以有，即，，因此椭圆的离心率为…………………………4分. (II) 由(I)可知，，椭圆的方程为. 根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，并设则由消去并整理得…………………………………………5分 从而有21212122286,(2)4343ck ck x x y y k x x c k k +=-+=++=++，………………6分 所以.因为，所以，.由与相似，所以22222222122222243()()943434399()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+. …………………10分小区 低碳家庭 非低碳家庭xyA OB G E F D令，则，从而，即的取值范围是.………………………………………………………………………………………13分21．解：（I ）函数的定义域为，…………………1分设切点为，则切线的斜率为，所以切线方程为……………………………………………………………………2分，又因为原点在切线上，所以，即，解得…3分故所求的直线方程为………………………………………………………………4分（II ）令，得，令，则，由，得或………………………………………………………………5分又因为在区间上，在区间上，在区间上……………………………………………………………………………………6分所以函数在区间上递减，在区间上递增，在区间上递减且…………………………………………………………7分故当或时，函数没有零点；当或时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.………………………………………9分（III ）由（II ）知当时，恒成立，即对任意恒成立，又，所以当时，成立…………………………10分又当时，故当时，…11分而对11111444()(1)(1)(2)(1)()n n n n n p n p n n p n ⎡⎤<+++=-<⎢⎥++++-++⎣⎦…………13分综上，在区间上是“高效”的.……………………………………………14分24320 5F00 开224489 5FA9 復.36822 8FD6 迖24936 6168 慨 36738 8F82 辂 @34143 855F 蕟21726 54DE 哞 21364 5374 却9。
2021～2021学年高三10月质量检测理科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两局部。
总分值150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内工程填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
4.本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量。
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1.设命题p ：∀x<－1，x 2＋2π>0，那么⌝p 为 A.∃x 0<－1，x 02＋0x 2≤0 B.∃x 0≥－1，x 02＋0x 2≤0 C.∀x<－1，x 2＋x 2≤0 D.∀x ≥－1，x 2＋x 2≤0 ＝{x|lnx<0}，N ＝{x|x ≤12}，那么M ∩N ＝ A.∅ B{x|≤12} C.{x|x<1}D.{x|0<x ≤12} 3.函数f(x)＝xlnx －x 3的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，那么tanα＝A.－1B.－2C.－3D.－4“焦点访谈〞是时事、政治评论性较强的一个节目，坚持用“事实说话〞，深受广阔人民群众的喜爱，其播出时间是晚上看电视节目人数最多的“黄金时间〞，即晚上7点半到8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻也是时针与分针重合的时刻，高度显示“聚焦〞之意，比喻时事、政治的“焦点〞，那么这个时刻大约是 ＝3512⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1235⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝351log 2，那么以下结论正确的选项是 A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.c>b>a6.函数f(x)＝2cos sin 1x x x x ++的局部图象大致为 7.企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P ＝P 0e －kt (其中P 0，k 是正的常数)。
2021年高三上学期10月联考数学理试题 含答案一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．若（为虚数单位），则的值可能是（ ） A ． B. C. D. 2．已知集合，则（ ） A ． B ． C ． D ．3．“”是“直线与直线互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．等比数列中的、是函数的极值点，则（ ）A. xxB. 4030C.4032D.xx 5．中，分别是角A ，B ，C (1,3),(cos ,sin ),//p q B B p q=-=且=（ ）A ．B ．C ．D ．6．甲、乙两人进行三打二胜制乒乓球赛，已知每局甲取胜的概率为0.6，乙取胜的概率为0.4，那么最终甲胜乙的概率为（ ）A ．0.36B ．0.216C ．0.432D ．0.648 7．若x,y 满足约束条件且目标函数仅在点（1,0）处取得最小值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.8．阅读如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ） A ． B ． C ． D ．第9题图9．已知函数的图像的一部分如图所示，其中，为了得到函数的图像，只要将函数的图像上所有的点( )A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍；B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍．C．把得所各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍；D．把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍；10．若函数在区间上为单调函数，则实数不可能取到的值为A． B．C．D．11．设二次函数（）的值域为，则的最大值为（）A． B．C． D.12．已知定义域为R的函数以4为周期,且函数，若满足函数恰有5个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．二．填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。
2021年高三10月质检数学理试题含解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则∁M=（）UA． {2，4，6} B．{1，3，5} C．{1，2，3，4，5，6} D．∅考点：补集及其运算．分析：找出全集U中不属于M的元素，即可求出A的补集．解答：解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，∴∁M={2，4，6}．故选AU点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．设条件p：a≥0；条件q：a2+a≥0，那么p是q的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．非充分非必要条件考点：充要条件．分析：由a2+a≥0，得a≥0，a≤﹣1，根据充分必要条件的定义可判断答案．解答：解：∵a2+a≥0，∴a≥0，a≤﹣1，可判断：若p：a≥0；则条件q：a2+a≥0成立．根据充分必要条件的定义可判断：p是q的充分不必要条件，故选：A点评：本题考查了解不等式，以及充分必要条件的定义可判断，属于容易题．3．=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：原式===﹣1﹣2i，故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．4．设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）考点：复合命题的真假．分析：根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．点评：本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．5．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D． 89考点：程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的应用．分析：写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．解答：解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选B点评：本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A．12πB．4πC．3πD． 12π考点：由三视图求面积、体积．分析：三视图复原几何体是四棱锥，扩展为正方体，它的体对角线，就是球的直径，求出半径，解出球的表面积．解答：解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S﹣ABCD，其中SA⊥面ABCD．面ABCD为正方形，将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=．∴S球=4πr2=4π×=3π．答案：C点评：本题考查三视图求表面积，几何体的外接球问题，是基础题．7．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A．232 B．252 C．472 D． 484考点：排列、组合及简单计数问题．分析：不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，由此可得结论．解答：解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472故选C．点评：本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．8．设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A．B．C．D． 0考点：数量积表示两个向量的夹角．分析：两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，结合其数量积组合情况，即可得出结论．解答：解：由题意，设与的夹角为α，分类讨论可得①•+•+•+•=•+•+•+•=10||2，不满足②•+•+•+•=•+•+•+•=5||2+4||2cosα，不满足；③•+•+•+•=4•=8||2cosα=4||2，满足题意，此时cosα=∴与的夹角为．故选：B．点评：本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.9．已知=（1，2），=（4，k），若⊥，则k=﹣2．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由垂直关系可得数量积为0，解方程可得k值．解答：解：∵=（1，2），=（4，k），∴由⊥可得=4+2k=0，解得k=﹣2故答案为：﹣2点评：本题考查平面向量的垂直关系与数量积，属基础题．10．（5分）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣2）i是纯虚数，则实数a的值为1．考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵复数（a2﹣3a+2）+（a﹣2）i是纯虚数，∴a2﹣3a+2=0，a﹣2≠0，解得a=1．故答案为：1．点评：本题考查了纯虚数的定义，属于基础题．11．（5分）（x﹣2）6的展开式中x2的系数为240．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．解答：解：（x﹣2）6的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣2）r•x6﹣r，令6﹣r=2，求得r=4，可得（x﹣2）6的展开式中x2的系数为•（﹣2）4=240，故答案为：240．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．12．（5分）不等式|x﹣2|+|x+1|≤5为[﹣2，3]．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件根据绝对值的意义求得|x﹣2|+|x+1|≤5的解集．解答：解：|x﹣2|+|x+1|表示数轴上的x对应点到2、﹣1对应点的距离之和，而﹣2和3对应点到2、﹣1对应点的距离之和正好等于5，故|x﹣2|+|x+1|≤5的解集为[﹣2，3]，故答案为：[﹣2，3]．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于基础题．13．（5分）若a＞0，b＞0，且+=，则a3+b3的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．解答：解：∵a＞0，b＞0，且且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．故答案为：点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．（几何证明选讲）14．（5分）如图，点P为圆O的弦AB上的一点，连接PO，过点P作PC⊥OP，且PC交圆O于C．若AP=4，PC=2，则PB=1．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；几何证明．分析：根据题设中的已知条件，利用相交弦定理，直接求解．解答：解：延长CP，交圆于D，则∵AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交⊙O于C，∴PC=PD，∴利用相交弦定理可得AP×PB=PC×PD=PC2，∵AP=4，PC=2，∴PB=1．故答案为：1点评：本题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意相交弦定理的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（12分）为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：时间x 1 2 3 4 5命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4求：（1）小李这5天的平均投篮命中率．（2）用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）利用提供的命中率，可求李这5天的平均投篮命中率；（2）先求出线性回归方程，再令x=6，即可预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．解答：解：（1）小李这5天的平均投篮命中率…（3分）（2）…（5分），∴，…（9分）∴…（10分）∴线性回归方程，…（11分）则当x=6时，y=0.53∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53…（12分）点评：本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC，PA=，PC=2，PB=，E是PC的中点，F是PB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：EF⊥平面PAC；（3）求PC与平面ABC所成角的大小．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由中位线定理，再由线面平行的判定定理，即可得证；（2）先运用直径所对的角为直角，及勾股定理的逆定理，再由线面垂直的判定定理，证得BC⊥平面PAC，由于EF∥BC，即可得证；（3）运用线面垂直的判定定理，证得PA⊥平面ABC，即∠PCA为PC与平面ABC所成角，通过解直角三角形，即可得到．解答：证明：（1）在△PBC中，E是PC的中点，F是PB的中点，所以EF∥BC．又BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC．（2）因为AB是⊙O的直径，所以BC⊥AC．在Rt△ABC中，AB=2，AC=BC，所以．因为在△PCB中，，，，所以PB2=PC2+BC2，所以BC⊥PC．又PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC．由（1）知EF∥BC，所以EF⊥平面PAC．（3）解：由（2）知BC⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，所以PA⊥BC．因为在△PAC中，，，，所以PC2=PA2+AC2，所以PA⊥AC．又AC∩BC=C，所以PA⊥平面ABC．所以∠PCA为PC与平面ABC所成角．在Rt△PAC中，，所以∠PCA=，即PC与平面ABC所成角的大小为．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系：平行和垂直，考查线面平行的判定和线面垂直的判定和性质及运用，考查空间直线和平面所成的角的求法，属于中档题．17．（14分）某商店根据以往某种玩具的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）估计日销售量的众数；（2）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（3）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E （X）及方差D（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）直接利用频率分布直方图，估计日销售量的众数即可；（2）求出“日销售量不低于100个”，“日销售量低于50个”的概率，然后求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（3）推出X的可能值，分别求出X的概率，即可求随机变量X的分布列，利用公式求解期望E（X）及方差D（X）．解答：（本小题满分14分）解：（1）依据日销售量的频率分布直方图可得众数为．（3分）（2）记事件A1：“日销售量不低于100个”，事件A2：“日销售量低于50个”，事件B：“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．则P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，（4分）P（A2）=0.003×50=0.15，（5分）P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108．（7分）（3）X的可能取值为0，1，2，3．，（8分），（9分），（10分），（11分）分布列为X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216因为X～B（3，0.6），所以期望E（X）=3×0.6=1.8，（12分）方差D（X）=3×0.6×（1﹣0.6）=0.72．（14分）点评：本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的期望与方差，考查分析问题解决问题的能力．18．（14分）广东省某家电企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调机、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调机彩电冰箱工时产值/千元 4 3 2问每周应生产空调机、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，且总产值A=4x+3y+2z．建立三元一次方程组，由于每周冰箱至少生产20台即z≥20，结合生产空调器、彩电、冰箱共120台算出出10≤x≤40，利用一次函数的单调性即可求得产值A的最大值，进而可得相应的x、y、z的值．解答：解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，根据题意可得，总产值为A=4x+3y+2z．x、y、z满足（x、y、z∈N*）∵z=120﹣x﹣y=160﹣2x﹣y∴消去z，可得y=120﹣3x，进而得到z=2x因此，总产值为A=4x+3y+2z=4x+3（120﹣3x）+4x=360﹣x∵z=2x≥20，且y=120﹣3x≥0∴x的取值范围为x∈[10，40]根据一次函数的单调性，可得A=360﹣x∈[320，350]由此可得当x=10，y=90，z=20时，产值A达到最大值为350千元．答：生产空调机10台、彩电90台、冰箱20台时，可使产值达最大值，最大产值为350千元．点评：本题给出实际应用问题，求工厂生产总值的最大化的问题，着重考查了三元一次方程组的处理、一次函数的单调性和简单线性规划的应用等知识点，属于中档题．19．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，且A1A=4．梯形ABCD 的面积为6，且AD∥BC，AD=2BC，CD=2．平面A1DCE与B1B交于点E．（1）证明：EC∥A1D；（2）求三棱锥C﹣A1AB的体积；（3）求二面角A1﹣DC﹣A的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明BE∥平面AA1D．BC∥平面AA1D，通过BE∩BC=B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，利用平面BCE∥平面ADA1，利用平面与平面平行的性质定理证明EC∥A1D．（2）求出．然后求出棱锥的体积．（3）解法一：在△ADC中，作AF⊥CD于F，连接A1F，证明CD⊥A1A．推出CD⊥面A1AF．说明∠A1FA为二面角A1﹣DC﹣A的平面角，然后求出二面角A1﹣DC﹣A的大小．解法二：以D为坐标原点，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系，设∠CDA=θ，BC=a，求出平面A1DC的一个法向量，平面ABCD的一个法向量，通过向量数量积求解二面角A1﹣DC﹣A的大小．解答：（本小题满分14分）解：（1）证明：因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D．（1分）因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D．（2分）又BE∩BC=B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面ADA1．（3分）又平面A1DCE∩平面BCE=EC，平面A1DCE∩平面A1AD=A1D，所以EC∥A1D．（4分）（2）解：因为S梯形ABCD=6，BC∥AD，AD=2BC，所以．（6分）所以．（8分）（3）解法一：如图，在△ADC中，作AF⊥CD于F，连接A1F．（9分）因为A1A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以CD⊥A1A．又A1A∩AF=A，所以CD⊥面A1AF．又A1F⊂面A1AF，所以CD⊥A1F．（10分）所以∠A1FA为二面角A1﹣DC﹣A的平面角．（11分）由（2）得，所以．（12分）所以，（13分）所以，即二面角A1﹣DC﹣A的大小为．（14分）解法二：如图，以D为坐标原点，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系．（9分）设∠CDA=θ，BC=a，则AD=2a．因为，所以．（10分）所以C（2cosθ，2sinθ，0），，所以，．（11分）设平面A1DC的一个法向量，由，得，所以．（12分）又平面ABCD的一个法向量，（13分）所以，所以二面角A1﹣DC﹣A的大小为．（14分）点评：本题考查二面角的求法，几何体的体积，平面与平面平行的判定定理与性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20．（14分）设a为常数，且a＜1．（1）解关于x的不等式（a2﹣a﹣1）x＞1；（2）解关于x的不等式组．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）对a进行分类讨论，判断得出a2﹣a﹣1的正负，进而可求得其解集；（2）对a分类讨论先求得一元二次不等式2x2﹣3（1+a）x+6a＞0的解集，再与0≤x≤1求交集即可得出结论．解答：解：（1）令a2﹣a﹣1=0，解得，．①当时，解原不等式，得，即其解集为；②当时，解原不等式，得无解，即其解集为φ；③当时，解原不等式，得，即其解集为．（2）依2x2﹣3（1+a）x+6a＞0（*），令2x2﹣3（1+a）x+6a=0（**），可得△=9（1+a）2﹣48a=3（3a﹣1）（a﹣3）．①当时，△＜0，此时方程（**）无解，解不等式（*），得x∈R，故原不等式组的解集为{x|0≤x≤1}；②当时，△=0，此时方程（**）有两个相等的实根，解不等式（*），得x≠1，故原不等式组的解集为{x|0≤x＜1}；③当时，△＞0，此时方程（**）有两个不等的实根，，且x3＜x4，解不等式（*），得x＜x3或x＞x4．，，且，所以当a＞0，可得x3＞0；又当x3＞0，可得a＞0，故x3＞0⇔a＞0，（所以ⅰ）当时，原不等式组的解集为；ⅱ）当a≤0时，原不等式组的解集为φ．综上，当a≤0时，原不等式组的解集为φ；当时，原不等式组的解集为；当时，原不等式组的解集为{x|0≤x＜1}；当时，原不等式组的解集为{x|0≤x≤1}．点评：本题主要考查含有参数的一元一次不等式及一元二次不等式的解法，考查学生分类讨论思想的运用能力及运算求解能力，属于中档题．33816 8418 萘22123 566B 噫524271 5ECF 廏y27481 6B59 歙26503 6787 枇37304 91B8 醸$32923 809B 肛20252 4F1C 伜38197 9535 锵23993 5DB9 嶹。
2021年高三10月月考数学（理）试题含答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是（ ）A ．A ⊆B B ．A ∩B ＝{2}C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩()＝{1}2．,,,,5.0log ,3,5.035.03c b a c b a 则若===的大小关系是（ ）A. B. C. D.3．下列命题中，假命题是（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数的一个零点落在下列哪个区间（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．若函数)10()(≠>==a a a y x f y x ，且是函数的反函数，且 （ ）A. B ． C ． D ．6．函数的图象大致是（ ）7．已知函数)()2())((x f x f R x x f y =+∈=满足，且，则的交点的个数为（）A ．4B ．5C ．6 D.78．若函数在区间［2,+∞)上单调递增,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.9．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A. B. C. D ．10．设函数在上均可导，且，则当时，有（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题: （本大题5小题，每小题5分，共25分）中学联盟网11、函数是幂函数且在上单调递减，则实数的值为 .12． = .13. 函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]有极值，则 a 的取值范围是________． 14．已知函数，若f (x )在上单调递增，则实数a 的取值范围为____ ____．15．定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面是关于的判断：①的图像关于点P()对称 ②的图像关于直线对称；③在[0，1]上是增函数； ④.其中正确的判断是____________________(把你认为正确的判断都填上)三、解答题：（本大题共6题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（本小题满分12分 ）已知，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.17. (本小题满分12分)已知，设命题上的单调递减函数；命题R ax axx g q 的定义域为：函数)122lg()(2++=.是假命题，求实数的取值范围.18．(本小题满分12分)山东中学联盟网已知函数f (x )＝ax ＋1x 2 ( x ≠0，常数a ∈ R)． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈ [3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．19. （本小题满分12分 ）已知函数（1）求函数的极值点；（2）若直线过点（0，—1），并且与曲线相切，求直线的方程；20. （本小题满分13分 ）有两个投资项目，根据市场调查与预测，A 项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，B 项目的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙.（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将两个投资项目的利润表示为投资（万元）的函数关系式；（2）现将万元投资项目, 万元投资项目.表示投资A 项目所得利润与投资项目所得利润之和.求的最大值,并指出为何值时, 取得最大值21. （本小题满分14分 ）设函数（e=2.718 28……是自然对数的底数)．(I)判断的单调性；(1I)当在(0，+∞)上恒成立时，求a 的取值范围；(Ⅲ)证明：当(0，+∞)时，．高三理科数学阶段检测一参考答案xx.10一、选择题：1-5：DABBD 6-10: DCADB二、填空题：11. 2 12. 13. a >2或a <－1 14. (2,3] 15.①②④三、解答题：16．解：由，得，或.由，得. 中学联盟网或是的必要不充分条件，.17．解：当命题， 因为上的单调递减函数，所以 --------------------2分当命题，因为R ax ax x g 的定义域为函数)122lg()(2++=所以当 ----------------4分当20084002<<⎩⎨⎧<-=∆>≠a a a a a ，解得时，则有 所以，当命题---------------8分因为是假命题，所以一真一假当--------------9分当0212010=<≤⎩⎨⎧<≤≥≤a a a a a q p 或，解得或真时，有假-----------11分综上所述的取值范围是 ----------------12分18.解：(1)定义域(－∞，0 )∪ ( 0，＋∞)，关于原点对称．当a ＝0时，f(x)＝1x 2，满足对定义域上任意x ，f(－x)＝f(x)，∴ a ＝0时，f(x)是偶函数；当a≠0时，f(1)＝a ＋1，f(－1)＝1－a ，若f(x)为偶函数，则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾；若f(x)为奇函数，则1－a ＝－(a ＋1),1＝－1矛盾，∴ 当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数．(2) 在[3，＋∞)上恒成立．[)max 33222y=3+27a y x x ∴≥∞∴=即恒成立 又在区间，上递减. ≥ 227 19.(1)解： （1）＞0.………………………………………………………1分而＞0lnx+1＞0＞＜0＜00＜＜所以在上单调递减，在上单调递增.………………4分所以是函数的极小值点，极大值点不存在.…………………6分（2）设切点坐标为，则切线的斜率为所以切线的方程为……………………8分又切线过点，所以有解得所以直线的方程为………………………………………………12分20.解：（1）设投资为万元，A 项目的利润为万元，B 项目的利润为万元。
2021年高三国庆节定时测试（一）数学（理）试题含答案（时间 120分钟满分 150分）一．选择题(50分）1.设集合,则集合M，N的关系为（）A． M=N B． MN C．NM D． MN2.已知为实数，且，则“”是“”的（）（A）充分不必要（B）必要不充分（C）充要（D）不充分也不必要3.函数=的定义域为（）（A）（，）（B）［1，（C）（，1（D）（，1）4.若，（e是自然对数的底），则( )A．a<b<c B．b>a>c C．a>c>b D．a>b>c5、下列说法中，正确的是（）A．“”的否定是“”B．为命题，则“为真”是“为真”的必要不充分条件C．命题“若，则”的逆否命题是“若或，则”D．命题“若，则的最小值为2”为真命题6.函数的一个零点落在下列哪个区间( )A．(0,1)B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)7.已知是满足，且使取得最小值的正实数.若曲线过点，则的值为（）A. 3 B.2C. D.-18.函数的大致图象为（）9.已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10.已知函数是定义在R 上的奇函数，其导函数为且x<0时， 恒成立，则 的大小关系为A. 20152014(1)f f f <<B ． 2015(1)2014f f f <<C ． (1)20152014f f f <<D ． (1)20142015f f f <<二、填空（25分）11.的单增区间是12.在上的最小值是1，则13.若变量满足约束条件，且的最小值为4，则14.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是15.已知函数对于任意有，且当时，，则以下命题正确的是：①函数是周期为2的偶函数，②函数在上单调递增；③函数的最大值是4；④若关于的方程有实根，则实数m 的范围是；⑤当时，三、解答题16.已知命题：不等式对一切恒成立；命题：函数是增函数．若或为真，且为假，求实数的取值范围．17.已知集合，．（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围．18.已知不等式．（1）若对于所有的实数不等式恒成立，求的取值范围．（2）设不等式对于满足的一切的值都成立,求的取值范围．19.甲、乙两地相距千米，一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，水速为常量(单位：千米/小时)，船在静水中的最大速度为千米/小时(q >p )．已知船每小时的燃料费用(单位：元)与船在静水中的速度(单位：千米/小时)的平方成正比，比例系数为.(1)把全程燃料费用(单位：元)表示为船在静水中的速度的函数，并求出这个函数的定义域；(2)为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？20.已知,函数.(I) 当时，求曲线在点处的切线的斜率；(Ⅱ) 讨论的单调性；(Ⅲ) 是否存在实数，使得方程有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.21.已知函数,，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）若函数的图象在点处的切线过坐标原点，求实数的值；（Ⅱ）若在上为单调递增函数，求实数a的取值范围．（Ⅲ）当时，对于满足的两个实数,若存在，使得成立，试比较与的大小。
