多项式与矩阵

第四章多项式与矩阵计划课时：24 学时( P l59-220)・§ 4.1带余除法多项式的整除性(2学时)教学目的及要求：理解多项式的定义及整除的定义，掌握带余除法及整除的性质教学重点、难点：带余除法及带余除法定理的证明本节内容分以下四个问题讲授：一. 多项式的定义(P159定义1), , 2 n -1 “ na0 a1x a2x m…"a n a n x注：在讲多项式的定义时，重点放在形式表达式上注意区分零多项式和零次多项式.二•消去律问题(P i6i推论4.1.2)f (x) = 0, f (x)g(x) = f (x)h(x)二g(x) = h(x)在证这个结论时要强调指出，并不是在上式两端除去f(x)而得结论，因为这时我们还没讲多项式的除法.三.带余除法仞1定理4.1.3)f (x) =g(x)q(x) r(x),g(x) =0,r(x) =0,或degr(x) < degg(x)这里要强调指出，用多项式g(x)去除f (x)时要求g(x)=0.注意：带余除法定理的证明是本章的难点之一。

先通过一个具体的例子来演示多项式的长除法。

四•整除的定义、性质以及整除的判定f (x)二u(x)g(x)注意到这里定义整除时用的是多项式的乘法，不涉及多项式的除法，因此由该定义就可得到：零多项式整除零多项式，0=g(x) 0，所以0|0 (而不能用记号 -).作业：P214, 1 , 2, 3, 4, 5.§4.2 最大公因式(4学时)教学目的及要求：理解最大公因式、互素的定义和性质，掌握辗转相除法教学重点、难点：1. 辗转相除法2. 辗转相除法的证明本节内容分以下三个问题讲授：—.最大公因式的定义(P l64 - 167).注意：1.最大公因式的最大性是由整除来体现的.2.最大公因式一定是存在的.二. 最大公因式的求法(P l66 - 167).(1)辗转相除的过程.(2)d(x)二f(x)u(x) g(x)v(x)注意：辗转相除过程中最后一个不为零的余式r s(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式，推下去,容易得到r s(x) = f(x)u(x) g(x)v(x)但满足上式的u(x),v(x)不唯一(可举例说明).三. 多项式的互素(P170)注意:教材中讲的是多个多项式互素的问题.在讲授时，应详细讲解两个多项式互素问题：f (x)与g(x)互素= (f (x), g(x)) =1.另外，补充三个性质：(1) . (f(x),h(x)) =1,(g(x), h(x)) =1,则(f(x)g(x),h(x)) =1.(2) . h(x) f(x)g(x),且(h(x), f (x)) =1,则h(x) g(x).(3) . g(x) f (x), h(x) f (x),且(g(x),h(x)) =1,则g(x)h(x) f (x).注意下面两个结论的不同之处：(f (x),g(x)) =d(x)= f(x)u(x) g(x)v(x)二d(x)(f(x),g(x)) =1= f (x)u(x) g(x)v(x) =1作业：P215 7 , 8, 10, 11, 12, 19.§ 4.3 多项式的分解(4学时)教学目的及要求：理解不可约多项式、k重因式的定义，掌握它们的性质及因式分解唯一性定理教学重点、难点：因式分解存在与唯一性定理本节内容分为下面三个问题讲授：一. 不可约多项式的定义及性质(P170-172)(1) .不可约多项式是针对次数大于零的多项式而谈的•换句话说,我们不讨论零多项式与零次多项式的可约性问题•(2) .不可约多项式p(x)与任意多项式f(x)的关系是：要么(p(x), f(X)) =1 ,要么p(x) | f (x),仅仅只有一个成立•二. 多项式分解成不可约多项式的乘积与数域有关若F, F都是数域，且F F, f(x)・ F[x},则f(x)在F[x]中的不可约分解与 f (x)在F[x}中的不可约分解一般不同•例若f(x) =x4 -4, Q是有理数域，R是实数域•则在Q[x]中，f (x)的不可约分解是2 2f(x)=(x -2)(x 2).而在R[x]中，f (x)的不可约分解是f(x) =(x-、2)(x 、2)(x2• 2).三. 多项式的导数(P174的定义3)设f (x)二a0 a/ a2x2亠亠a n」x n」-a n x n记f (x)的导数为f (x),则f (x) =a1 2a2x (n_ 1)a n4x n^ na n x nJ这里导数的定义是纯粹形式上的.不涉及函数、连续、极限等概念.作业：P215 13 ，14，15，16，17，18.§ 4.4最大公因式的求法(I ) (2学时)教学目的及要求：理解矩阵的准等价、准初等变换、简单矩阵的定义，掌握用准初等变换将矩阵化为简单矩阵的方法教学重点、难点：1. 用准初等变换求多项式系的最大公因式的方法2. 定理4.4.7的证明本节内容分下面三个问题讲授：多项式系矩阵A 的最大公因式（R 75定义1 ） 注：给定一个矩阵A,则A 一定能确定一个多项式系 「fjx ）, f 2（x ）,…，f m （x ）l 而这m 个多项式的最大公因式又叫矩阵 A 的最大公因式. 二.矩阵的准等价与矩阵的准初等变换（R 76）A 三Bu A 与B 有相同的最大公因式,行数不一定等，列数也不一定相等相A 与B 准等价,A 是3行4列,B 是2行3列. 要注意到矩阵的准初等变换与矩阵的初等变换差别较大 三•准初等变换与矩阵最大公因式的关系 （R 77）定理445准初等变换不改变矩阵的最大公因式 .（证明略）.该定理的证明比较长，但并不复杂•可由3个引理直接得到，这样的证明简明扼要• 有了定理445,定理446,定理447,便得到了求多个多项式最大公因式的矩阵求法例2给出了求8个多项式最大公因式的矩阵准初等变换法 •与辗转相除法比较，该方法优越的多•作业：P 215-21620.§ 4.5最大公因式的矩阵求法（II ） （4学时）教学目的及要求： 掌握用X-矩阵的行初等变换求多项式的最大公因式的方法 教学重点、难点：1. 用X-矩阵的行初等变换求多项式的最大公因式的方法2. 定理4.5.3的证明本节内容分下面四个问题讲授： 一.方法（I ）与方法（I ）的区别.§ 4.4的例2给出了求f,X ）, f 2（X ）,f 8（X ）最大公因式的矩阵准初等变换法.它们的最大公0 -1 0 例如 A = 0 1 0 -10 2 -2 B 』3 0 4 <0 1 一1 丿注：两个矩阵准等价时因式是(X-1).因此一定有u1 (x), u2 (x)^ , u8(x)使f i（x）U i（x） f2（x）U2（x）：”-h f8（X）U8（X）=X — 1.但方法(I)并没有告诉我们U i (x),U2(x)^ ,U8(x)如何求•本节讲的方法(n )就弥补了这一点.二.x-矩阵与初等变换(P182)⑴ 以F[x]中多项式为元素的矩阵称为F上的x-矩阵，根据这一定义，以数为元素的矩阵是x-矩阵的特殊情形•换句话说，以数域F上的数为元素的矩阵也是F上的x-矩阵•此时矩阵中的元素是零多项式或者零次多项式•⑵ 由于以F上的为元素的矩阵也是x-矩阵，因此，通常讲的矩阵的初等变换必是x-矩阵的初等变换的特殊情形•三• n个基本结论(P182」84)引理 4.5.1 ，定理 4.5.2 ,定理4.5.3.(证明略).在上述几个结论的支持下，可得到求多项式f'x), f2(x)，…,f s(x)最大公因式d(x),并同时可求出相应的U i(x)，U2(x)，，U s(x)使得f^xlu^x) f2(x)U2(x) f s(x)U s(x) =d(x)详细讲解例1( P185).作业：P216 21 ( 1)，22.§ 4.6多项式的根(4学时)教学目的及要求：理解多项式函数、k重根的定义及相关理论，理解代数学基本定理及韦达定理,掌握综合除法、有理根的筛选法教学重点、难点：1. 综合除法、多项式根的个数、有理根的筛选法2. 定理4.6.9的证明本节内容可分下面四个问题讲授:•从函数的观点看多项式(P187)前面我们总是把多项式看做形式表达式本节我们将从函数的视角考察多项式f（x）二a n X n ' a n_x n4「' a1X ' a。

多项式与矩阵乘法相乘经典练习题1. 问题描述在多项式代数中，我们经常需要进行多项式与矩阵的乘法运算。

本文档将介绍一些经典的练题，帮助读者巩固对多项式与矩阵乘法相乘的理解。

2. 练题2.1 题一已知一个多项式 P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1，以及一个 3x3 的矩阵 A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]。

请计算 P(x) 与矩阵 A 的乘积。

2.2 题二已知一个多项式 Q(x) = x^2 + 4x - 1，以及一个 2x2 的矩阵 B = [2, 1; 3, 2]。

请计算 Q(x) 与矩阵 B 的乘积。

2.3 题三已知一个多项式 R(x) = x^2 - 2x + 3，以及一个 2x3 的矩阵 C = [1, 2, 3; 4, 5, 6]。

请计算 R(x) 与矩阵 C 的乘积。

3. 解答3.1 题一解答将多项式 P(x) 和矩阵 A 相乘，得到的结果记为 M：M = P(A)首先计算 P(A) 中的每一项，然后将它们相加。

根据矩阵乘法的定义，我们有：M = [2A^3 + 3A^2 - 4A + I]其中 A^3 表示将矩阵 A 连续乘三次，A^2 表示将矩阵 A 连续乘两次，I 表示单位矩阵。

将矩阵 A 的数值代入上述等式，即可计算出 M 的结果。

3.2 题二解答将多项式 Q(x) 和矩阵 B 相乘，得到的结果记为 N：N = Q(B)按照矩阵乘法的定义，我们有：N = [B^2 + 4B - I]其中 B^2 表示将矩阵 B 连续乘两次，I 表示单位矩阵。

将矩阵 B 的数值代入上述等式，即可计算出 N 的结果。

3.3 题三解答将多项式 R(x) 和矩阵 C 相乘，得到的结果记为 L：L = R(C)按照矩阵乘法的定义，我们有：L = [C^2 - 2C + I]其中 C^2 表示将矩阵 C 连续乘两次，I 表示单位矩阵。

将矩阵 C 的数值代入上述等式，即可计算出 L 的结果。

极⼩多项式和友矩阵将学习到什么介绍了极⼩多项式和友矩阵的相关概念以及基础性质。

极⼩多项式多项式p(t) 称为使A∈M n零化，如果p(A)=0. 保证了：对每个A∈M n, 存在⼀个n次的⾸ 1 多项式p A(t)（特征多项式），使得p A(A)=0. 当然可能也存在⼀个更低次数的⾸ 1 多项式使A零化. 我们要找出使A零化的最低次数的⾸ 1 多项式. 下⾯这个定理表明这个要找的多项式是唯⼀的. 定理 1：设给定A∈M n. 则存在唯⼀⼀个最⼩次数的⾸ 1 多项式q A(t) 使A零化. q A(t) 的次数⾄多为n. 如果p(t) 是任何⼀个使p(A)=0 成⽴的⾸ 1 多项式，那么q A(t) 整除p(t), 即对某个⾸ 1 多项式h(t) 有p(t)=h(t)q A(t). 证明：次数不⼤于n没什么好说的，因为存在n次的⼀定满⾜. 如果p(t) 是任何⼀个使A零化的⾸ 1 多项式，⼜如果q(t) 是⼀个使A零化的m次（设为最低次）⾸ 1 多项式，那么p(t) 的次数是m或者更⾼. Euclid 算法确保存在⼀个⾸ 1 多项式h(t) 以及⼀个次数严格⼩于m的多项式r(t) 使得p(t)=q(t)h(t)+r(t). 但是 0=p(A)=q(A)h(A)+r(A)=0h(A)+r(A), 所以r(A)=0. 如果r(t)不是零多项式，我们就能将它规范化得到⼀个次数⼩于m的⾸ 1 零化多项式，这是⼀个⽭盾. 所以r(t) 是零多项式，从⽽q(t) 整除p(t), 商为h(t). 如果存在两个最⼩次数的使A零化的⾸ 1 多项式，这个论证表明它们每⼀个都整除另外⼀个，由于它们次数相同，其中⼀个必定是另⼀个的纯量倍数. 但由于两者都是⾸ 1 的，纯量因⼦必为 +1, 从⽽它们是相等的. 定义 1：设给定A∈M n. 使A零化的唯⼀的最⼩次数⾸ 1 多项式q A(t) 称为A的极⼩多项式. 推论 1：相似矩阵有相同的极⼩多项式 证明：如果A,B,S∈M n, 且A=SBS−1, 那么q B(A)=q B(SBS−1)=Sq B(B)S−1=0, 所以q B(t) 是⼀个使A零化的⾸ 1 多项式，从⽽q A(t) 的次数⼩于或等于q B(t) 的次数. 但是B=S−1AS，所以相同的推理表明q B(t) 的次数⼩于或等于q A(t) 的次数. 从⽽q A(t) 与q B(t) 都是使A零化的最⼩次数的⾸ 1 多项式，故⽽由定理 1 知它们是相等的.需要注意的是，矩阵A与B有相同的极⼩多项式，不代表它们⼀定相似，⽐如A=J2(0)⊕J2(0)∈M4与B=J2(0)⊕02(0)∈M4. 推论 2：对每⼀个A∈M n, 极⼩多项式q A(t) 整除特征多项式p A(t). 此外，q A(λ)=0 当且仅当λ是A的特征值，故⽽p A(t)=0 的每个根都是q A(t) 的根. 证明：由于p A(A)=0, 则存在⼀个多项式h(t) 使得p A(t)=h(t)q A(t). 这个分解式使得q A(t)=0 的每个根都是p A(t)=0 的你根这⼀事实变得显然，从⽽q A(t)=0 的每个根都是A的特征值. 如果λ是A的⼀个特征值，⼜如果x是与之相伴的特征向量，那么Ax=λx, 且 0=q A(A)x=q A(λ)x, 所以q A(λ)=0.上⾯这个推论表明，如果特征多项式p A(t) 被完全分解成\begin{align} \label{e1}p_A(t)=\prod_{j=1}d(t-\lambda_i){s_i},\quad 1 \leqslant s_i \leqslant n, \quad s_1+s_2+\cdots+s_d =n\end{align}其中λ1,λ2,⋯,λd各不相同，那么极⼩多项式q A(t) 必定有形式\begin{align} \label{e2}q_A(t)=\prod_{i=1}d(t-\lambda_i){r_i}, 1\leqslant r_i \leqslant s_i\end{align}这就从理论上对寻求给定矩阵A的极⼩多项式给出⼀个算法： 1. ⾸先计算A的特征值，包括它们的重数，这或许通过求出特征多项式并将其完全分解即可得到. ⽤某种⽅法确定分解式. 2. 存在有限多个形如的多项式. 从所有r i=1 的乘积出发，⽤显⽰计算来确定使A零化的最⼩次数的乘积，这就是极⼩多项式.从数值计算上来说，对于⼤矩阵计算过于复杂，但在处理简单的⼩矩阵的徒⼿计算时还是⾮常有效的.在A∈M n的标准型与A的极⼩多项式之间存在密切的联系. 假设A=SJS−1是A的 Jordan 标准型，⼜⾸先假设J=J n(λ) 是单独⼀个 Jordan 块. A的特征多项式是 (t−λ)n, 由于当k<n时有 (J−λI)k≠0, 所以J的极⼩多项式仍然是 (t−λ)n. 然⽽，如果J=J n1(λ)⊕J n2(λ)∈M n（其中n1⩾）, 则J的特征多项式仍然是(t-\lambda)^n, 但现在有(J-\lambda I)^{n_1}=0, 且没有更低次的幂变为零. 这样⼀来，J的极⼩多项式是(t-\lambda)^{n_1}. 如果对特征值\lambda有多个 Jordan 块，则有相同结论：J的极⼩多项式是(t-\lambda)^r, 其中r是与\lambda对应的最⼤ Jordan 块的阶. 如果J是⼀般的 Jordan 矩阵，其极⼩多项式必定包含因⼦(t-\lambda_i)^{r_i}（对每⼀个不同的特征值\lambda_i）；⽽r_i必定是与\lambda_i对应的最⼤ Jordan 块的阶；没有更低的幂能零化与\lambda_i对应的所有 Jordan 块，⽽且也不需要更⾼的幂. 由于相似矩阵有相同的极⼩多项式，我们就证明了下⾯的定理. 定理 2：设A \in M_n是⼀个给定的矩阵，其不同的特征值是\lambda_1\cdots \lambda_d. 则A的极⼩多项式是\begin{align} \label{e3}q_A(t)=\prod_{i=1}d(t-\lambda_i){r_i}\end{align}其中r_i是A的与特征值\lambda_i对应的最⼤ Jordan 块的阶.实际上，这个结果在计算极⼩多项式时没有太多的帮助，因为通常确定⼀个矩阵的 Jordan 标准型⽐确定它的极⼩多项式更为困难.的确，如果仅仅知道矩阵的特征值，它的极⼩多项式就可以通过简单的试错法确定. 然⽽，这个结果有⼀些有重要理论价值的推论.由于⼀个矩阵可对⾓化当且仅当它所有 Jordan 块的阶均为 1, 所以矩阵可对⾓化的⼀个充分必要条件就是式\ref{e3}中所有的r_i=1. 推论 3：设A \in M_n有不同的特征值\lambda_1\cdots \lambda_d. ⼜令\begin{align} \label{e4} q(t)=(t-\lambda_1)(t-\lambda_2)\cdots (t-\lambda_d) \end{align}那么，A可对⾓化当且仅当q(A)=0这个判别法对于判断⼀个给定的矩阵是否可以对⾓化是有实际⽤途的，只要我们知道它不同的特征值：构造多项式\ref{e4}并观察它是否使A零化. 如果它使A零化，它必定就是A的极⼩多项式，这是因为没有更低次数的多项式能以A的所有不同特征值作为其零点了. 如果它不能使A零化，那么A不可对⾓化. 将此结果总结成若⼲等价的形式是有益的. 推论 4：设A \in M_n, ⽽q_A(t)是它的极⼩多项式，则以下诸结论等价： (a) q_A(t)是不同线性因⼦的乘积 (b) A的每⼀个特征值作为q_A(t)=0的根的重数都是 1 (c) 对A的每个特征值\lambda, 都有q'_A(\lambda) \neq 0 (d) A可以对⾓化友矩阵对给定的A\in M_n, 我们迄今正在考虑的是寻求使A零化的最⼩次数的⾸ 1 多项式. 但是对于其逆，我们能说什么呢？给定⼀个⾸1 多项式\begin{align}\label{e5}p(t)=t n+a_{n-1}t{n-1}+a_{n-2}t^{n-2}+\cdots+a_1t+a_0\end{align}是否存在⼀个矩阵A, 使得它以p(t)作为它的极⼩多项式呢？若如是，则A的⼤⼩必定⾄少是n \times n. 考虑\begin{align} \label{e6} A=\begin{bmatrix} 0 &&&& -a_0 \\ 1 & 0 &&& -a_1 \\ & 1 & \ddots && \vdots \\ && \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 &&& 1 & -a_{n-1}\end{bmatrix} \in M_n \end{align}并注意到\begin{align} & I e_1 &= \, &e_1 =\quad A^0e_1 \notag \\ & A e_1 &= \, &e_2 = \quad Ae_1 \notag\\ & A e_2 &= \, &e_3 =\quad A^2 e_1 \notag \\ & A e_3 &= \, &e_4 = \quad A^3 e_1 \notag \\ & \,\,\, \vdots & \notag \\ & A e_{n-1} &= \,& e_n =\quad A^{n-1}e_1 \notag \end{align}进⼀步有\begin{align}Ae_n &=-a_{n-1}e_n-a_{n-2}e_{n-1}-\cdots -a_1e_2-a_0e_1 \notag \\&=-a_{n-1}A{n-1}e_1-a_{n-2}A{n-2}e_1 -\cdots -a_1Ae_1-a_0 e_1 \notag \\&=(A^n-p(A))e_1\end{align}于是\begin{align}p(A)e_1 &=(a_0e_1+a_1Ae_1+a_2A^2e_1+\cdots +a_{n-1}A{n-1}e_1)+A ne_1 \notag \\&=(p(A)-A n)e_1+(A n-p(A))e_1 \notag \\&=0\end{align}此外，对每个k=1,2,\cdots,n有p(A)e_k=p(A)A^{k-1}e_1=A^{k-1}p(A)e_1=A^{k-1}0=0. 由于对每个基向量e_k有p(A)e_k=0,我们断定有p(A)=0. 从⽽p(t)是使A零化的n次⾸ 1 多项式. 如果存在⼀个更低次数m<n且使A零化的多项式q(t)=t^m+b_{m-1}t^{m-1}+\cdots+b_1t+b_0, 那么\begin{align}0&=q(A)e_1=A me_1+b_{m-1}A{m-1}e_1+\cdots+b_1Ae_1+b_0e_1 \notag \\&=e_{m+1}+b_{m-1}e_m+\cdots+b_1e_2+b_0e_1=0\end{align}⽽这是不可能的，因为e_1,\cdots,e_{m+1}是线性⽆关的. 我们断⾔：n次多项式p(t)是使A零化的最低次数的⾸ 1 多项式，所以它就是A的极⼩多项式. 特征多项式p_A(t)也是⼀个使A零化的n次⾸ 1 多项式，故⽽定理 1 确保p(t)也是矩阵\ref{e6}的特征多项式. 定义 2：矩阵\ref{e6}称为多项式\ref{e5}的友矩阵.我们已经证明了下⾯的结论： 定理 3：每⼀个⾸ 1 多项式既是它的友矩阵的极⼩多项式，⼜是它的友矩阵的特征多项式.如果A \in M_n的极⼩多项式的次数为n，那么\ref{e3}中的指数满⾜r_1+\cdots+r_d=n；也就是说，与每⼀个特征值对应的最⼤的 Jordan 块就是与每⼀个特征值对应的唯⼀的 Jordan 块. 这样的矩阵是⽆损的. 特别地，每⼀个友矩阵都是⽆损的. 当然，不⼀定每个⽆损的矩阵A\in M_n都是友矩阵，但是A与A的特征多项式的友矩阵C有同样的 Jordan 标准型（与每⼀个不同的特征值\lambda_i对应的只有⼀个分块J_{r_i}(\lambda_i)）, 所以A与C相似. 定理 4：设A \in M_n有极⼩多项式q_A(t)以及特征多项式p_A(t). 则下⾯诸结论等价： (a) q_A(t)的次数为n (b) p_A(t)=q_A(t) (c) A是⽆损的 (d) A与p_A(t)的友矩阵相似应该知道什么极⼩多项式存在且唯⼀相似矩阵具有相同的极⼩多项式，反之不成⽴友矩阵是以事先给定多项式为极⼩多项式的矩阵Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js每⼀个⾸ 1 多项式既是它的友矩阵的极⼩多项式，⼜是它的友矩阵的特征多项式。

线性代数中的特征多项式与相似矩阵线性代数是数学的一个重要分支，涉及到向量、矩阵等概念和运算。

在线性代数中，特征多项式和相似矩阵是两个重要的概念，它们在研究矩阵的性质和变换中起着重要的作用。

本文将详细介绍特征多项式和相似矩阵的概念、性质以及它们之间的关系。

一、特征多项式特征多项式是与矩阵有关的一个重要概念，它可以帮助我们研究矩阵的本征值和本征向量。

对于一个n阶方阵A，其特征多项式定义为：p(λ) = det(A - λI)其中，p(λ)是特征多项式，det表示行列式，A是待求特征多项式的矩阵，λ是待求的变量，I是单位矩阵。

特征多项式的根即为矩阵的特征值，可以通过求解特征多项式的根来求得矩阵的本征值。

特征多项式与矩阵的本征向量之间存在着密切的关系，通过特征多项式，我们可以求得矩阵的本征向量。

二、相似矩阵相似矩阵是指具有相同特征多项式的矩阵，它们之间存在着一定的关系。

设矩阵A和B是n阶方阵，若存在一个可逆矩阵P，使得B = P^(-1)AP则称矩阵B是矩阵A的相似矩阵，A和B互为相似矩阵。

相似矩阵具有相同的特征多项式，它们的本征值也相同。

相似矩阵之间的转换可以帮助我们研究矩阵的性质。

通过相似矩阵的转换，我们可以将矩阵化为一种更简单的形式，从而更容易研究和计算。

三、特征多项式与相似矩阵的关系特征多项式与相似矩阵之间存在着密切的关系。

对于一个n阶矩阵A，其特征多项式为p(λ) = det(A - λI)，对于一个相似矩阵B，其特征多项式为p(λ) = det(B - λI)。

由于相似矩阵具有相同的特征多项式，所以它们的特征值也相同。

矩阵的特征值是矩阵性质的一个重要指标，通过特征值我们可以了解到矩阵的特性和变换情况。

此外，相似矩阵之间的转换可以帮助我们求解线性方程组。

假设有一个线性方程组Ax = b，其中A是一个n阶矩阵，x和b是向量。

如果A和B是相似矩阵，那么线性方程组也可以写成Bx' = b，其中x' =P^(-1)x。

mathematica多项式转化为矩阵
Mathematica是一款强大的数学软件，其中包含了多项式转化为矩阵的功能。

在数学中，多项式和矩阵是两个非常重要的概念，它们的转化可以帮助我们更好地理解和处理复杂的数学问题。

首先，我们需要定义一个多项式。

在Mathematica中，我们可以使用Poly[x]的语法格式将一个多项式赋值给变量x。

例如，Poly[x] = x^3 + 2x^2 - 3x + 4。

接下来，我们可以使用
CoefficientList[Poly[x], x]的函数将多项式转化为系数矩阵。

系数矩阵是一个由系数组成的矩阵，其中每一行都代表了多项式中一个项的系数。

例如，如果我们有一个多项式P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3，则它的系数矩阵为：
| a0 | a1 | a2 | a3 |
使用Mathematica中的CoefficientList函数，我们可以将多项式Poly[x]转化为一个系数矩阵。

例如，如果我们有一个多项式
Poly[x] = x^3 + 2x^2 - 3x + 4，我们可以使用以下代码将它转化为一个系数矩阵：
CoefficientList[Poly[x], x]
输出结果为：
{{4, -3, 2, 1}}
这个输出结果代表了多项式Poly[x]的系数矩阵。

多项式和矩阵的转化在数学中是非常常见的操作。

通过使用Mathematica中的CoefficientList函数，我们可以快速准确地将一个多项式转化为一个系数矩阵。

这个功能可以帮助我们更好地理解和处理复杂的数学问题，从而更好地解决实际问题。

§8矩阵多项式与多项式矩阵设A 是n 阶阵，则为矩阵A 的特征多项式 事实上，n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 因此有一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱）Th 2.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即0111=++++--E a A a A a A n n n n （矩阵）注：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。

eg 1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=010110201A 试计算E A A A A A 432)(2458-++-=ϕ解：A 的特征多项式为12)(23+-=-=λλλλA E f取多项式432)(2458-++-=λλλλλϕ)()()149542(235λλλλλλr f +⋅-+-+=余项103724)(2+-=λλλr 由上定理0)(=A f ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+-==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ϕDf 2.一般地，设)(λϕ是多项式，A 为方阵，若0)(=A ϕ，则称)(λϕ是矩阵A 的零化多项式。

根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即A E f -=λλ)(Df 3.设A 是n 阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。

显然：①矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。

②矩阵A 的最小多项式是唯一的Th 3.矩阵A 的最小多项式的根必是A 的特征根；反之，A 的特征根也必是A 的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。

由此可得，求最小多项式的一个方法：设n n C A ⨯∈，其所有不同的特征值为s λλλ,,,21 ，则其特征多项式为ks s k k A E f )()()()(2121λλλλλλλλ---=-=则A 的最小多项式必具有如下形式：ns s n n m )()()()(2121λλλλλλλ---=其中s i k n i i ,,2,1 =≤eg 2.求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=031251233A 的最小多项式)(λm 解：)4()2()(2--=-=λλλλA E fA ∴的最小多项式,只能是：)4)(2()(--=λλλm ,或2)2()(-=λλm ，)2()(-=λλm ,)4()(-=λλm 及)()(λλf m =经计算可知：)4)(2()(--=λλλm 是A 的最小多项式，由此可得：Th 4.若A 的特征多项式没有公因子，则特征多项式为最小多项式。