第二讲 矩阵与多项式运算

第二章多项式矩阵本章主要讲授多项式矩阵的基本概念和理论, 包括多项式矩阵的余数定理、Smith标准型定理和多项式矩阵的理想、互质等。

多项式矩阵的理论也是讲授第三章的重要基础。

§2.1 多项式矩阵记号：实数域R ，复数域C 。

记[]m nR λ×为n m ×的实系数多项式矩阵全体，[]m nC λ×为n m ×的复系数多项式矩阵全体。

容易验证,[]m nC λ×和[]m nR λ×分别为域C 和R 上的线性空间，[][]nn nn R C ××λλ分别为域C 和R 上的线性代数。

[]nm C A ×∈∀λλ)(,有[]λλC a ij ∈)(N N ijij ijij a a a a λλλ)()1()0()(L ++=其中令[]{})(deg max λij a N =. 则有()NNA A A A A λλλλ++++=L 2210, 其中()mxnl ijl Ca A ∈=)(。

多项式矩阵)(λA 可以看成为系数矩阵的多项式, N 称为是)(λA 的次数, 记为()[]λA N deg =注意：如果0)(=λA 则称)(λA 没有次数定义1（正则）若[]nn NN C A A A A ×∈+++=λλλλ01)(L , 且[]0det ≠N A , 则称)(λA 是正则的。

()λA 正则⇒[]n N A ×=))(det(deg λ 其中, det[()]A λ的n N ×次项系数即)det(N A定理1若)()(),(λλλA C B A nn 且×∈正则, 则∃唯一的)(1λQ 和)(1λR , 使)()()()(11λλλλR A Q B += (*)且[][]0)()(deg )(deg 11=<λλλR A R 或, 同样, ∃唯一的)(2λQ 和)(2λR 使()())()(22λλλλR Q A B += (**)且[][]0)()(deg )(deg 22=<λλλR A R 或.证明： 若[][])(deg )(deg λλA B <, 则令01=Q , B R =1, 定理得证.若[][]N A B M =≥=)(deg )(deg λλ 记N M p −=, 然后令[]nn p p pp C QQQ Q ×−−∈+++=λλλλ)0(1)1()(1)(L由（*）式可以推出[][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=−−−−=−==−−+−−−−−−−−−)()()()(1111)1(1)1()()0(11)(1)1(1)(λλλλA Q B R A A Q A Q A Q B Q A A Q B QA B Q N N p N p p N p p M N N p M p N M p L L可以验证Q 1(λ)和R 1(λ)满足定理要求.唯一性：即只需证0)(0)(0)()()()(1111==⇒=+=λλλλλλR Q R A Q B 时 假设Q 1(λ)≠00)()(1)0(1)1(1)(11≠+++=L L L Q Q Q Q Q λλλLL +=++NL N L A QR A Q λλλλ)(111)()()(由[]00det )(1≠⇒≠N L N A Q A 此时)()()(11λλλR A Q +不可能=0⇒矛盾 同理可证(**)式 #定理 2 nn C A ×∈][)(λλ正则, []nm C B ×∈λλ)(,则∃唯一的[]nm C R Q ×∈λλλ)(),(11使（*）成立, 且[][]0)()(deg )(deg 11=<λλλR A R 或；m m C A ×∈][)(λλ正则, []n m C B ×∈λλ)(, 则∃唯一的[]n m C R Q ×∈λλλ)(),(22使（**）成立, 且[][]0)()(deg )(deg 22=<λλλR A R 或.证明：仿定理1 #以上两个定理可以叫作多项式矩阵的余数定理.定义2（多项式矩阵的秩）nm C A ×∈][)(λλ, r 称为A （λ）的秩并记)]([λA rank r =,系指)(λA 的任何k ≥ r +1阶子式均为C （λ）中的零, 而A (λ)至少存在一个r 阶子式是C [λ]中的非零多项式.例：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=112)(22λλλλA 非正则但r = 2 ⇒ 非奇异 {一般多项式矩阵}⊃{满行秩或满列秩多项式矩阵}⊃{非奇异多项式矩阵}⊃{正则多项式方阵}⊃{}A I n −λ§2.2 Smith 标准型定义3（单模态矩阵）mxmC M )()(λλ∈称为单模态的, 系指0)](det[≠∈=ααλCM 常数定义4（初等矩阵）mm C ×][λ中三类[][]mj i j i j i ij m i i i i e e e e e e e e K C e e e e e K L L L L L ,,,,,,,,0,,,,,,,)(11111111+−+−+−=≠∈=αααα[][]][)(,,)(,,,,)(11λλαλαλαC e e e e e e K m i j j i ij ∈+=−L L L对A (λ)左乘相当于作行初等变换, 右乘相当于作列初等变换, 其中第3类不同于mm C ×中的初等矩阵初等矩阵的性质： 1 它的逆仍为初等矩阵2初等矩阵与单模态矩阵的关系：初等矩阵是单模态矩阵, 多个初等矩阵之积也是单模态矩阵.定义5（等价）nm C B A ×∈][)(),(λλλ称为是等价的, 系指存在m m sC M M ×∈][,1λL , nn t C N N ×∈][,1λL 均初等矩阵, 使t s N N N A M M B L L 211)()(λλ=容易证明：1．反身性：任何A (λ)与自身等价2．对称性：B (λ)与A (λ)等价⇔ A (λ)与B (λ)等价3．传递性：C (λ)与B (λ)等价, B (λ)与A (λ)等价⇒ C (λ)与A (λ)等价.定义6（行列式因子）nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则对自然数j ≤ r , A (λ)中必有非零j 阶子式, A (λ)中全部j 阶子式的（首一）最大公因式d j (λ)称为A (λ)的j 阶行列式因子.定理3nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则其各阶行列式因子d j (λ), j ≤r 有 r j d d j j ≤−)()(1λλ其中1)(0=λd证明：A (λ)的j 阶子式可以写成j -1阶子式以多项式为系数的线性组合, 因此, )()(1λλA d j −任一j 阶子式)()(1λλj j d d −⇒#定义7（不变因子） nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则称)(/)()(1λλλσ−=i i i d d , r i ≤为A (λ)的不变因子.定理4 在nm C ×][λ中)()(.λλB A ⎯→←, 以)(),(λλ∧k k d d 分别表示A （λ）和B （λ）的k 阶行列式因子, 则1 [][])()(λλB rank A rank =2 [])()()(λλλA rank r k d d k k =≤=∧3 )(λA 和)(λB 有相同的不变因子.证明：容易验证初等矩阵左乘和右乘均不改变)(λA 的行列式因子, 所以结论1、2、3易证. #下面来证上述定理的逆命题.引理 1 nm ijC A ×∈=][))(()(λλαλ, 若0)(11≠λα又)(11λα不能除尽某个)(λαij , 则)()(λλA B ↔∃且[][])(deg )(deg 1111λαλβ<证明：根据不能为)(11λα除尽的元)(λαij 所处位置分为三种情形. (1) 设)(1λαi 不能为)(11λα除尽, 则有 [])](deg[)(deg )()()()(11111λαλδλδλγλαλα<+=i考虑初等矩阵[])(1λγ−i k[]))(~()(~)()(1λαλλλγiji A A K ==−其中)()(~1λδλα=i令)(~)(1λλA K B i = 则)()(.λλA B ⎯→← 且)(11λδβ=即[][])(deg )(deg 1111λαλβ< (2)设)(1λαj 不能为)(11λα除尽,证明与(1)相仿. (3) 若)(1λαi 和)(1λαj 都可被)(11λα除尽, 其中n j mi ≤≤但kl α∃不能为)(11λα除尽, 令[])()(1)(~1λλγλA K A k −=,其中)(λγ是1k α除以11α的商, 即)()()(111λαλγλα=k .此时 )(~λA 元)(~λαij 有111~αα=k , )1(~1γααα−⋅+=l kl kl . 令))(()(~)(1λγλλij k A K C =⋅=于是11111~ααγ==k ,)1(~11γαααγ−⋅+==l kl kl l . 于是l 1γ不能为11γ除尽, ⇒（2） #引理2 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−01)(001)(1212n n mm I N I M M L ML δδλγγλ 均为初等矩阵之积, 其中γi , δj 为多项式 证明：[][][])()()()(1331221λγλγλγλm m K K K M L =[][][])()()()(21211,11λδλδλδλK K K N n n n n L −−= [][][])()()(1313212λδλδλδn n K K K L = #引理3 nm C A ×∈][)(λλ,若 n j m i ij ≤≤αα11, 则有)(00)(.'11λαλA B B ⎯→←⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=, 且B’的元均能被11α除尽. 证明：因为 n j m i ij ≤≤αα11, 所以)()()(11λλαλC A ⋅=.记⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D gf C T 1)(λ, 其中1)1(][)(×−∈m C g λλ,)1(1][)(−×∈n C f λλ,)1()1(][)(−×−∈n m C D λλ.令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−101)(m I g M λ, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−101)(n TI f N λ. 由引理2可知, M 、N 为初等矩阵之积.⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−='111100001)(B gf D MAN T αλα, 其中])[(11'Tgf D B −=λα, 且B ’的元均能被11α除尽. #定理5（Smith 标准型定理）nm C A ×∈)()(λλ,[]r A rank =)(λ 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡↔000)()(λλS A (Smith 标准形)其中[])(),(),()(21λσλσλσλr diag S L =, 且1),()(1−≤+r i i i λσλσ 证明：假设m ≥ n , 对A (λ)的列数n 用归纳法 (Ⅰ) n=1时,令[]Tm A )(),()(1λαλαλL =,则1 若m i i ≤≤2)()(1λαλα则由引理3[]TA 0,0,)(11.L αλ⎯→←2 若有i α不能为1α除尽,由引理1可知有[][])(deg )(deg )()(1111.λαλβλλ<⎯→←A B若)(λB 满足条件1则结论成立, 否则又可有[][])(deg )(deg )()()(11)1(11..1λβλβλλλ<⎯→←⎯→←A B B这样重复下去, 就能有矩阵与A （λ）等价且满足条件1 所以, n =1时定理成立 (Ⅱ)假设n = l -1时定理成立 (Ⅲ)当n = l 时 1 若lj mi ij ≤≤αα11则由引理3有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎯→←'00)(11.B A αλ其中B ’的元均能被11α除尽, 由于B ’之列数l -1且[]1'−=r B rank , 按(Ⅱ)有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎯→←000'1.S B[][])1()1(321,,−×−∈=r r r C diag S λσσσL且1,2|1−=+r i i i L σσ显然2σ是B ’的一阶行列式因子, 而行列式因子对于等价矩阵是不变量, 这表明2σ是B '各元的最大公因子, 同此211|σα, 令111ασ=则定理得证.2 若存在ij α不能为11α除尽, 则由引理1可知,存在)()(.λλA B ⎯→←且[][]1111deg deg αβ<, 仿照n=1情形中条件2, 总能找到)()(~.λλA A ⎯→←使l j m i ij ≤≤,,~)(~11αλα.这就归结到条件1. #推论 1 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡000)(λS 是nm C A ×∈][)(λλ的Smith 标准形, 则)(),(),(21λσλσλσr L 是 A （λ）的不变因子, )()()(21λσλσλσk L 是A （λ）的k 阶行列式因子.推论2 对nm C A ×∈][)(λλ，则其Smith 标准形唯一. 推论 3 若n m C A ×∈][)(λλ和nm C B ×∈][)(λλ的行列式因子或不变因子相同，则)()(.λλB A ⎯→←定理6 在n n C ×][λ中下述提法等价1 mm C M ×∈][)(λλ是单模态2 m I M ↔&)(λ 3 M (λ)是初等矩阵之积4 []mm C M M ×−∈][)()(1λλλ和证明: 1°⇒2°: 由于[]m M rark =)(λ则有],,,[)(21.m diag M σσσλL ⎯→← 由det[M (λ)]为常数, []{}m diag σσσL ,,det 21=m σσσL 21为常数（非零）m σσσL ,,21⇒均非零常数（首一）⇒2°2°⇒3° 显然3°⇒4° 初等矩阵之逆仍为初等矩阵4°⇒1° [][]1)(det )(det 1=⋅−λλM M[]=⇒)(det λM 非零常数 #§2.3 多项式矩阵的理想与互质（自学） 定义8（理想） 设nn C M ×⊂][λ是nn C ×][λ的子空间, 又具性质nn C B M A MA B ×∈∈∀∈][)(,)()()(λλλλλ则称M是nn C ×][λ的一个左理想.若M 具性质nn C B M A MB A ×∈∈∀∈][)(,)()()(λλλλλ则称M 是nn C ×][λ的一个右理想例：{}nn LC B A B X X A ×∈∀==][)(),()()()())((λλλλλλλ（其中n n C A ×∈][)(λλ）是nn C ×][λ的一个左理想.{}nn R C B B A X X A ×∈∀==][)(),()()()())((λλλλλλλ是nn C ×][λ的一个右理想.其中A (λ)称为它们的生成元.定理7 若nn C M ×∈][)(λλ是单模态, 则1° n n LL C A A M A ×∈∀=][)())()(())((λλλλλ2° n n R R C A M A A ×∈∀=][)())()(())((λλλλλ证明：1°L L L A M A M M A A M L))()(())()()(())(())()((1λλλλλλλλ⊂=⊂− ()()L L A M A )()()(λλλ=⇒ 2° 同上可证 # 定理8 n n C M ×∈][)(λλ则M 是单模态当且仅当()()R L n n M M C )()(][λλλ==×证明：n n Rn L n C I I ×==][)()(λ 当：()L n n nM C I )(][λλ=∈×()()1)(det )(det )()(=⇒=∴λλλλM N M N I n())(det λM ⇒为非零常数)(λM ⇒单模态“仅当”：由定理7, 令n I A =)(λ即可 #定义9（多项式矩阵生成的理想）若,,][)(r i C A nn i≤∈×λλ则 ()()()L r L L A A A M )()()(21λλλ+++=L 称为r i A i ≤),(λ生成的左理想, 而()()()R r R R A A A N )()()(21λλλ+++=L 称为由r i A i ≤),(λ生成的右理想定义10（互质）r i A i ≤),(λ称为左互质, 是指()()()n n Rr R R C A A A ×=+++][)()()(21λλλλL而r i A i ≤),(λ称为右互质, 是指()()()n n Lr L L C A A A ×=+++][)()()(21λλλλL定理9 r i A i ≤),(λ左互质当且仅当多项式矩阵方程n r r I X A X A X A =+++)()()()()()(2211λλλλλλL 有解.右互质当且仅当n r r I A Y A Y A Y =+++)()()()()()(2211λλλλλλL 有解.证明：r i A i ≤),(λ左互质()()()R r R R n n A A A C )()()(][21λλλλ+++=⇔×L)()()()()()(2211λλλλλλr r n X A X A X A I +++=⇔L 有解同理可证右互质情形. #定理10 r i C A nn i ≤∈×][)(λλ, 则下面各条件等价1° r i A i ≤),(λ是左互质的2°若[]rnn r C A A A A ×∈=][)()(),()(21λλλλλL则[]C nA rank ∈∀=00)(λλ3°[][]0,0,)()(),(),(21L L n rI A A A A ⎯→←=⋅λλλλ 证明:1°⇒2°⇒3°⇒1°1°⇒2° 由定理9可知有n r r I X A X A X A =+++)()()()()()(2211λλλλλλL记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=)()()()(21λλλλr X X X X 则有n i I X A =)()(λλn I X A C =∈∀)()(o o o λλλ2°⇒3° 由[]C n A rank ∈∀=o o λλ)([]0,0),()(L λλS A ⎯→←⇒⋅其中[])(),(),()(21λσλσλσλn diag S L = 且[]n S rank =)(0λn i i ≤⇒)(λσ均无任何根(在C 中))(λσi ⇒均为非零常数 ⇒考虑首一 n I S =)(λ3°⇒1° 存在单模态矩阵nn C M ×∈][)(λλ和rnrn C N ×∈][)(λλ, 使 [][]0,,0,)()()(),(),(21L L n r I M N A A A λλλλλ=记⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=)(,),()(,),()(,),()(1221111λλλλλλλrr r r r N N N N N N N L LL L nn ij C N ×∈][)(λλ则)()(),()(111111λλλλ−−==M N X M N X r r L 可使n r r I X A X A =++)()()()(11λλλλL#同理可以证明下面定理定理11 r i C A n n i ≤∈×][)(λλ,则下述条件等价:1 r i A i ≤),(λ是右互质的2 C n A rank A A A r ∈∀=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=00~1~)()()()(λλλλλM3 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎯→←00)(.~M n I A λ定义11 (公因子) n n C A ×∈][)(λλ,若存在nn C C B ×∈][)(),(λλλ,使)()()(λλλC B A =,则B (λ)称为A (λ)的一个左因子, C (λ)称为A (λ)的一个右因子.若B (λ)同为A i (λ)r i ≤的左因子, 则B (λ)称为A i (λ)r i ≤的左公因子. 若F(λ)为A i (λ)r i ≤的左公因子且A i (λ)的任意左公因子都是F (λ)的左因子, 则F (λ)称为)(λi A 的最大左公因子.相似的可以有右公因子和最大右公因子的概念.定理12 n n i C A ×∈][)(λλr i ≤为左互质当且仅当其最大左公因子是单模态矩阵,而右互质当且仅当其最大右公因子是单模态矩阵.证明：左互质情形“当”：设D(λ)是单模态矩阵且为A i (λ),r i ≤的最大左公因子, 则有r i C B n n i ≤∈×][)(λλ使)()()(λλλi i B D A =令[]rn n r C A A A ×∈=][)(),()(1λλλλL 则[]n A rank ≤)(λ无妨记A(λ)的Smith 标准形为[]0,0),(L λS , 于是有单模态矩阵n n C M ×∈][)(λλ和rn rn C N ×∈][)(λλ, 使[])(0,0),()()(λλλλN S M A L =.记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=rr r r r r N N N N N N N N N N L L L 212221211211)(λ,则有()()r r N N N MS A A A 1121121,,,,L L =⇒MS 是)(λi A 的左公因子⇒n n C F ×∈∃][)(λλ使MSF=D因为 det(D )为非零常数所以 det(S(λ))也为非零常数n I S ⎯→←⇒⋅)(λ [][]0,0,)(),(1L L n rI A A ⎯→←⋅λλ 由定理10 )(λi A ⇒左互质“仅当”：由n n iC A ×∈][)(λλr i ≤为左互质 可以推出 r i C X nn i ≤∈∃×][)(λλ使n r r I X A X A X A =++L 2211设D 是)(λi A 的最大左公因子, A i =DB i则上式变成[][]1det ))(det(1111=++⋅=++r r nr r X B X B D I X B X B DL L λ())(det λD ⇒为非零常数)(λD ⇒单模态.类似地可证右互质情形.#作业：1．求⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−20012021λλλλ和的不变因子和Smith 标准形。

§8矩阵多项式与多项式矩阵设A 是n 阶阵，则为矩阵A 的特征多项式 事实上，n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 因此有一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱）Th 2.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即0111=++++--E a A a A a A n n n n （矩阵）注：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。

eg 1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=010110201A 试计算E A A A A A 432)(2458-++-=ϕ解：A 的特征多项式为12)(23+-=-=λλλλA E f取多项式432)(2458-++-=λλλλλϕ)()()149542(235λλλλλλr f +⋅-+-+=余项103724)(2+-=λλλr由上定理0)(=A f ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+-==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ϕDf 2.一般地，设)(λϕ是多项式，A 为方阵，若0)(=A ϕ，则称)(λϕ是矩阵A 的零化多项式。

根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即A E f -=λλ)(Df 3.设A 是n 阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。

显然：①矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。

②矩阵A 的最小多项式是唯一的Th 3.矩阵A 的最小多项式的根必是A 的特征根；反之，A 的特征根也必是A 的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。

由此可得，求最小多项式的一个方法：设n n C A ⨯∈，其所有不同的特征值为s λλλ,,,21 ，则其特征多项式为ks s k k A E f )()()()(2121λλλλλλλλ---=-=则A 的最小多项式必具有如下形式：ns s n n m )()()()(2121λλλλλλλ---=其中s i k n i i ,,2,1 =≤eg 2.求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=031251233A 的最小多项式)(λm 解：)4()2()(2--=-=λλλλA E fA ∴的最小多项式,只能是：)4)(2()(--=λλλm ,或2)2()(-=λλm ，)2()(-=λλm ,)4()(-=λλm 及)()(λλf m =经计算可知：)4)(2()(--=λλλm 是A 的最小多项式，由此可得：Th 4.若A 的特征多项式没有公因子，则特征多项式为最小多项式。

第四章 多项式与矩阵计划课时: 24学时 (P 159-220).§4.1 带余除法 多项式的整除性 (2学时)教学目的及要求：理解多项式的定义及整除的定义，掌握带余除法及整除的性质教学重点、难点： 带余除法及带余除法定理的证明本节内容分以下四个问题讲授：一．多项式的定义(P 159定义1)n n n n x a x a x a x a a +++++--112210注: 在讲多项式的定义时, 重点放在形式表达式上注意区分零多项式和零次多项式.二．消去律问题(P 161推论4.1.2)0)(≠x f ,)()()()()()(x h x g x h x f x g x f =⇒=在证这个结论时要强调指出,并不是在上式两端除去)(x f 而得结论, 因为这时我们还没讲多项式的除法.三．带余除法(p 161定理4.1.3)0)(,0)(),()()()(=≠+=x r x g x r x q x g x f , 或)(deg x r ＜)(deg x g这里要强调指出,用多项式)(x g 去除)(x f 时要求0)(≠x g .注意：带余除法定理的证明是本章的难点之一。

先通过一个具体的例子来演示多项式的长除法。

四．整除的定义、性质以及整除的判定)()()(x g x u x f =注意到这里定义整除时用的是多项式的乘法,不涉及多项式的除法, 因此由该定义就可得到:零多项式整除零多项式,0)(0⋅=x g , 所以0|0（而不能用记号00）.作业：P 214，1，2，3，4，5.§4.2 最大公因式 (4学时)教学目的及要求：理解最大公因式、互素的定义和性质，掌握辗转相除法.教学重点、难点：1. 辗转相除法2. 辗转相除法的证明本节内容分以下三个问题讲授：一．最大公因式的定义(P 164 –167).注意：1.最大公因式的最大性是由整除来体现的.2.最大公因式一定是存在的.二．最大公因式的求法(P 166 –167).（1）辗转相除的过程.（2）)()()()()(x v x g x u x f x d +=注意: 辗转相除过程中最后一个不为零的余式)(x r s 是)()(x g x f 与的一个最大公因式,推下去,容易得到)()()()()(x v x g x u x f x r s +=但满足上式的)(),(x v x u 不唯一(可举例说明).三． 多项式的互素(P 170)注意:教材中讲的是多个多项式互素的问题.在讲授时,应详细讲解两个多项式互素问题:)()(x g x f 与互素⇔1))(),((=x g x f .另外, 补充三个性质: (1)．1))(),((,1))(),((==x h x g x h x f ,则1))(),()((=x h x g x f .(2)．)(x h ∣)()(x g x f ,且1))(),((=x f x h ,则)(x h ∣)(x g .(3)．)(x g ∣)(x f ,)(x h ∣)(x f ,且1))(),((=x h x g ,则)()(x h x g ∣)(x f .注意下面两个结论的不同之处:)()()()()()())(),((x d x v x g x u x f x d x g x f =+⇒=1)()()()(1))(),((=+⇔=x v x g x u x f x g x f作业：P 215 7，8，10，11，12，19.§4.3 多项式的分解(4学时)教学目的及要求：理解不可约多项式、k 重因式的定义，掌握它们的性质及因式分解唯一性定理 教学重点、难点：因式分解存在与唯一性定理本节内容分为下面三个问题讲授：一.不可约多项式的定义及性质(P 170-172)(1).不可约多项式是针对次数大于零的多项式而谈的.换句话说,我们不讨论零多项式与零次多项式的可约性问题.(2).不可约多项式)(x p 与任意多项式f(x)的关系是: 要么1))(),((=x f x p , 要么)(|)(x f x p ,仅仅只有一个成立.二. 多项式分解成不可约多项式的乘积与数域有关若-F F ,都是数域,且-⊆F F ,}[)(x F x f ∈, 则)(x f 在][x F 中的不可约分解与)(x f 在-}[x F 中的不可约分解一般不同.例 若4)(4-=x x f ,Q 是有理数域,R 是实数域.则在][x Q 中, )(x f 的不可约分解是 )2)(2()(22+-=x x x f .而在][x R 中,)(x f 的不可约分解是)2)(2)(2()(2++-=x x x x f .三. 多项式的导数(P 174的定义3)设n n n n x a x a x a x a a x f +++++=--112210)(记)(x f 的导数为)('x f ,则 12121')1(2)(---+-+++=n n n n x na x a n x a a x f这里导数的定义是纯粹形式上的. 不涉及函数、连续、极限等概念.作业： P 215 13，14，15，16，17，18.§4.4 最大公因式的求法（I ） （2学时）教学目的及要求：理解矩阵的准等价、准初等变换、简单矩阵的定义，掌握用准初等变换将矩阵化为简单矩阵的方法教学重点、难点：1. 用准初等变换求多项式系的最大公因式的方法2. 定理4.4.7的证明本节内容分下面三个问题讲授：一. 多项式系矩阵A 的最大公因式（175P 定义1）注：给定一个矩阵A,则A 一定能确定一个多项式系{},)(,),(),(21x f x f x f m 而这m 个多项式的最大公因式又叫矩阵A 的最大公因式.二. 矩阵的准等价与矩阵的准初等变换(176P )⇔≅B A A 与B 有相同的最大公因式.注: 两个矩阵准等价时,行数不一定相等, 列数也不一定相等.例如 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=220010100101A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110303B . A 与B 准等价,A 是3行4列,B 是2行3列.要注意到矩阵的准初等变换与矩阵的初等变换差别较大.三. 准初等变换与矩阵最大公因式的关系(177P )定理4.4.5 准初等变换不改变矩阵的最大公因式.(证明略).该定理的证明比较长,但并不复杂.可由3个引理直接得到, 这样的证明简明扼要.有了定理4.4.5, 定理4.4.6, 定理4.4.7, 便得到了求多个多项式最大公因式的矩阵求法.例2给出了求8个多项式最大公因式的矩阵准初等变换法. 与辗转相除法比较, 该方法优越的多.作业： P 215-216 20.§4.5 最大公因式的矩阵求法(Ⅱ) (4学时)教学目的及要求：掌握用x-矩阵的行初等变换求多项式的最大公因式的方法教学重点、难点：1. 用x-矩阵的行初等变换求多项式的最大公因式的方法2. 定理4.5.3的证明本节内容分下面四个问题讲授：一.方法(Ⅱ)与方法(I)的区别.§4.4 的例2给出了求)(,),(),(821x f x f x f 最大公因式的矩阵准初等变换法. 它们的最大公因式是)1(-x . 因此一定有)(,),(),(821x u x u x u 使1)()()()()()(882211-=+++x x u x f x u x f x u x f .但方法(I)并没有告诉我们)(,),(),(821x u x u x u 如何求. 本节讲的方法(Ⅱ)就弥补了这一点.二. x -矩阵与初等变换(182P )⑴ 以][x F 中多项式为元素的矩阵称为F 上的x -矩阵, 根据这一定义, 以数为元素的矩阵是x -矩阵的特殊情形. 换句话说，以数域F 上的数为元素的矩阵也是F 上的x -矩阵. 此时矩阵中的元素是零多项式或者零次多项式.⑵ 由于以F 上的为元素的矩阵也是x -矩阵, 因此, 通常讲的矩阵的初等变换必是x -矩阵的初等变换的特殊情形.三. n 个基本结论(184182-P )引理4.5.1， 定理4.5.2, 定理4.5.3.(证明略).在上述几个结论的支持下,可得到求多项式)(,),(),(21x f x f x f s 最大公因式)(x d ,并同时可求出相应的)(,),(),(21x u x u x u s 使得)()()()()()()(2211x d x u x f x u x f x u x f s s =+++详细讲解例1(185P ).作业： P 216 21（1），22.§4.6 多项式的根 (4学时)教学目的及要求：理解多项式函数、k 重根的定义及相关理论，理解代数学基本定理及韦达定理，掌握综合除法、有理根的筛选法教学重点、难点：1. 综合除法、多项式根的个数、有理根的筛选法2. 定理4.6.9的证明本节内容可分下面四个问题讲授：一．从函数的观点看多项式(187P )前面我们总是把多项式看做形式表达式. 本节我们将从函数的视角考察多项式.设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--用F 中的数c 代替x , 得0111)(a c a c a c a c f n n n n ++++=--由于数域对加、减、乘, 除四种运算封闭. 所以 0111a c a ca c a n n n n ++++-- 是F 中一个数, 记这个数为)(c f . 这正符合映射的定义:f →c 0111a c a c a c a n n n n ++++-- =)(c f .这个映射就叫做由数域F 上多项式f(x)所确定的多项式函数.二．多项式的根与综合除法(189188-P )c 是)(x f 的根⇔)(c f =0.c 是的)(x f 根⇔)(c x -∣)(x f .三．介绍几个基本结论(191189-P )引理4.6.3, 定理4.6.4， 定理4.6.5, 定理4.6.6, 定理4.6.7.四．本原多项式与有理根(193192-P )定理4.6.9给出求整系数多项式有理根的一种方法. 注意到, 定理给出的是)(x f 有有理根的一个必要条件而非充分条件. 也就是说，满足条件的许多有理数不是)(x f 的根.作业： P 216 23，24，25，27，28，29，31.*§4.7 X-矩阵的标准形*§4.8 数字矩阵相似的充要条件*§4.9 Cayley-Hamilton 定理 最小多项式这三节内容不作讲述要求,供学生自学,也不作考试要求.需要说明的是这部分选学内容比前面的选学内容难一些, 读不懂也没关系, 有一个大概的了解即可.为什么要求安排这三节内容呢? 目的是为了多项式理论的完整性. 同时，了解这些内容对一些后继课的学习和做研究工作都是有益的.习题课(4学时)例1(习题四ex.8)例2(习题四ex.23)例3(习题四ex.27)例4(习题四ex.29)例5(习题四ex.43)作业：本章小结。