10.线性系统的多项式矩阵描述

第八章 多变量系统的矩阵分式描述多项式矩阵定义：m ×n 矩阵()s A 的元素(i=1，…,m;j=1,…n )是变s 的多项式，称()ij a s ()s A 为多项式矩阵。

记为1111()()()()()n m m a s a s s a s a s ⎡⎤⎢=⎢⎢⎥⎣⎦ΑL M L n ⎥⎥M)(s a ij 的最高次数称为N ()s A 的次数，记为)]}({deg[max ,,s a N j i ji =)(s A 可写成降幂形式的矩阵多项式 111()N N N N s −−=++++0A A S A S A S A L式中是常数矩阵。

),1,0(N k k L =A n m ×1）单模矩阵对于多项式矩阵()s A ，当det ()s =A 非零常数时，其仍为多项式矩阵时，称1()s −A ()s A 为单模矩阵。

单模矩阵有如下的性质：a) 单模矩阵的乘积仍为单模矩阵； b) 单模矩阵的逆阵仍是单模矩阵；c) 所有单模矩阵均可表示成有限个初等变换的乘积的形式。

2）Smith 标准形任意秩为r 的多项式矩阵经过行、列运算均等价于下列Smith 标准形)(s A )(s S 12*()()()()()()()()r s s s s s s s s γγγ0S 0S P A Q 0000O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦式中；rank ()min(,)r s =≤A m n )(1s γ，)(2s γ，… ，)(s r γ是不恒为零的首一多项式，且)(1s i +γ可整除)(s i γ，即存在1()()i i s s γγ+。

3）多项式矩阵的最大公因子设多项式矩阵为矩阵，若存在)(s A )(n m ×()()()s s =A B D s s ，则称阶方阵为的左因子 m )(s B )(s A 若存在，()()()s s =A E C 则称阶方阵为的右因子n )(s C )(s A若)()()(11s s s M B M =，)()()(22s s s M B M =，[][])()()()()(2121s s s s s M M B M M =则为[ ]的左公因子)(s B )(1s M )(2s M )()()(11s s s C N N =，)()()(22s s s C N N =，)()()()()(2121s s s s s C N N N N ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(s C 为的右公因子[TT T s s )()(21N N ]设是(1，…，)(s C )(s i N =i r )的一个右公因子，且的其他任何一个右公因子C 均为的右因子，即)(s i N )()1s s C )s (1)(s C ()(s W C =，则称是的一个最大右公因子，记为)(s C )(s i N []1()()()r s gcrd s s =C N N L4）最大右公因子构造定理设、分别为、1()s N )(2s N ()n m ×1()n m ×2矩阵，对[]TTT s s )()(21N N 作初等行变换，使其变换后矩阵的最后)2n (1m m −+行恒为零，即1211112122122212()()()()()()()0nm m n m s s s s m s s s m m nn+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦U U N R U U N则式中即为、的一个最大右公因子。

多项式矩阵多项式矩阵（polynomialmatrix）是指将多项式作为元素，构成矩阵的矩阵。

它是数学上的一种重要结构，可以用于复杂方面的多项式计算。

多项式矩阵的研究属于矩阵论（matrix theory）的范畴，主要涉及求解系统矩阵方程，求解极大值问题，求解微分方程等等。

定义：设有一个n阶矩阵A，它的元素均由单项式组成，则称A为多项式矩阵。

特别地，若A的元素均为实数项式，则称A为实数多项式矩阵；若A的元素均为复数项式，则称A为复数多项式矩阵。

多项式矩阵的基本性质包括：1、交换律：多项式矩阵间的加法满足交换律，即A+B=B+A，其中A，B为任意两个多项式矩阵。

2、结合律：多项式矩阵间的加法满足结合律，即（A+B）+C=A+(B+C)，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。

3、元素恒等律：多项式矩阵的加法满足元素恒等律，即若A+B=C，则A的第i行第j列元素与C的第i行第j列元素均相等，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。

4、可加性：若A+B=C，则A的所有元素可以借助B的元素得到C 的所有元素，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。

5、可积性：若A与B的任意一个元素相乘，其积仍然是多项式，则称A与B为可积多项式矩阵。

多项式矩阵的应用1、求解系统矩阵方程：利用多项式矩阵的可加性和可积性，可以用于求解系统矩阵方程，即（A+B）X=C，其中A，B，C为多项式矩阵。

2、求解极大值问题：多项式矩阵可以用来表示多项式极大值问题，即求解如何使多项式函数达到最大值，从而解决求极值问题。

3、求解微分方程：多项式矩阵可以用来表示多项式微分方程，通过解决多项式微分方程，可以求出曲线的极值，解决求根问题等。

4、应用于数字信号处理：多项式矩阵可以用于处理复杂的数字信号，如滤波、数字信号检测、声音分析、图像处理等。

多项式矩阵的研究多项式矩阵的研究是矩阵论的重要主题，它涉及的主要研究领域包括：1、多项式线性方程组的求解：多项式矩阵可以用来求解多项式线性方程组，即求解系数矩阵A及常数矩阵B满足AX=B的多项式矩阵X。

第一部分复习大纲1.什么是线性系统？线性系统一般怎样分类？2.状态空间的描述和输入输出描述的基本概念及其关系。

3.系统状态空间描述建模。

主要是指电路、力学装置、机电装置的状态空间描述数学模型。

4.状态方程的约当标准型及其性质。

5.传递函数矩阵概念。

传递函数矩阵与状态空间描述之间的关系（已知状态空间描述求传递函数矩阵和已知传递函数矩阵进行状态空间描述实现）。

6.线性坐标变换。

7.组合系统的状态空间描述，输入输出描述建模。

8.矩阵指数函数及其性质。

9.线性系统的运动求解，系统矩阵特征值，特征向量对运动的影响。

10.脉冲响应阵与传递函数阵的关系、卷积定理。

11.状态转移矩阵及其性质。

12.线性连续系统离散化及其性质、求解。

13.连续系统与离散系统的能控性、能达性、能观性、能测性及其判据。

14.能控性指数、能观性指数、对偶原理。

15.能控能观标准型及其结构分解，结构分解后各部分与输入输出描述，状态空间描述之间的关系，会对约当标准型进行结构分解并求传递函数。

16.线性系统内部稳定、BIBO稳定概念及其性质。

17.连续和离散系统的lyapunov稳定概念及其各种判别定理，会用lyapunov方法判断连续系统、离散系统的稳定性。

18.状态反馈、输入输出反馈性能比较。

19.极点配置及其算法。

20.镇定条件、镇定与极点配置的关系（算法不考，但对一个线性系统能进行是否能镇定条件判断）。

21.解耦控制形式、分类，各种解耦方法特点，系统能否解耦判断，会进行积分型解耦算法。

22.跟踪问题及其结构框图、内模原理（会建立跟踪问题的内模）、可跟踪条件。

23.各种线性二次型最优控制问题指标含义，掌握最优控制及其性能指标求法。

24.无限时间最优控制的稳定裕度，反馈增益可摄动范围及其物理意义。

25.状态观测器设计、分类及其特点，掌握全维和降维观测器设计方法。

26.状态观测器设计与状态反馈设计之间的关系问题。

第二部分复习大纲1.多项式、多项式矩阵的基本概念。

线性系统理论一、主要内容本课程是一门信息科学的专业基础课程，阐述分析和综合线性多变量系统的理论、方法和工程上的实用性，本理论在控制技术、计算方法和信号处理等领域有着广泛的应用。

1、系统、系统模型，线性系统理论基本内容2、状态、状态空间，状态和状态空间的数学描述，连续变量动态的状态空间描述，系统输入输出描述与状态空间描述的关系，LTI系统的特征结构，状态方程的约当规范型，系统状态方程与传递函数矩阵的关系，组合系统的状态空间描述3、连续时间LTI系统的运动分析，状态转移矩阵和脉冲响应矩阵，连续时间LTV系统的运动分析，连续时间LTI系统的时间离散化，离散时间线性系统的运动分析4、线性系统的能控性和能观测性，连续时间LTI系统的能控性和能观测性判据，离散时间线性系统的能控性和能观测性判据5、对偶系统和对偶性原理，时间离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件，能控和能观测规范型，连续时间LTI系统的结构分解6、系统外部和内部稳定性，李亚普诺夫稳定的基本概念，李亚普诺夫第二方法的主要定理，连续时间线性系统的状态运动稳定性判据，离散时间线性系统的状态运动稳定性判据7、系统综合问题，状态反馈和输出反馈，状态重构和状态观测器，降维状态观测器，状态观测器状态反馈系统的等价性问题二、线性系统及其研究的对象一般说来，许多物理系统在其工作点的附近都可以近似地用一个有限维的线性系统来描述，这不仅是由于线性系统便于从数学上进行处理，更为重要的，它可以在相当广泛的范围内反映系统在工作点附近的本质。

因此，线性系统理论研究对象是 (线性的)模型系统，不是物理系统。

控制理论发展到今天，包括了众多的分支，如最优控制，鲁棒控制，自适应控制等。

但可以毫不夸张地说，线性系统的理论几乎是所有现代控制理论分支的基础，也是其它相关学科如通讯理论等的基础。

三、研究线性系统的基本工具研究有限维线性系统的基本工具是线性代数或矩阵论。

用线性代数的基本理论来处理系统与控制理论中的问题，往往易于把握住问题的核心而得到理论上深刻的结果。

矩阵的特征多项式与特征值矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，它在各个领域都有广泛的应用。

在矩阵理论中，矩阵的特征多项式与特征值是两个重要的概念，它们之间有着密切的联系。

一、特征多项式在讨论矩阵的特征多项式之前，首先要了解什么是特征向量。

对于一个n阶矩阵A，若存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k为常数，那么X就是A的一个特征向量，k就是该特征向量所对应的特征值。

特征向量反映了矩阵A的某种变化规律，而特征值则表示了这种变化的幅度大小。

根据特征向量的定义，我们可以得到特征方程AX=kX，将特征方程改写为(λI-A)X=0，其中I是单位矩阵，λ是一个特征值。

进一步推导可得到特征多项式的定义：特征多项式是一个关于λ的多项式，它是由矩阵A的特征值所确定的，记作|λI-A|。

特征多项式可以表示为P(λ)=|λI-A|=λ^n+c_1λ^(n-1)+...+c_(n-1)λ+c_n，其中c_1，c_2，...，c_n为常数。

特征多项式的次数为n，与矩阵A的阶数相同。

二、特征值与特征多项式的关系特征值与特征多项式之间存在着紧密的联系。

我们通过特征多项式可以求解矩阵A的特征值，而矩阵A的特征值则是特征多项式的根。

设λ是特征多项式P(λ)=|λI-A|的一个根，即P(λ)=0，则有(λI-A)X=0，其中X为非零向量。

这意味着(λI-A)是一个奇异矩阵，即它的行列式为0，因此得到|λI-A|=0。

所以特征值λ是特征多项式P(λ)=|λI-A|的一个根。

特征值与特征多项式之间的关系在实际问题中起到了重要的作用。

通过求解特征多项式，我们可以得到矩阵A的全部特征值，进而进一步分析矩阵A的性质和特点。

三、应用举例矩阵的特征多项式与特征值在多个领域都有广泛的应用，下面以线性代数和物理学领域为例进行说明。

1. 线性代数中的应用特征多项式和特征值是线性代数中一个重要的概念。

在解线性方程组、矩阵相似问题以及求矩阵的幂等等问题时，特征多项式和特征值的计算都是十分有用的工具。

多项式矩阵多项式矩阵（polynomial matrix）是由多项式组成的矩阵。

它在数学和工程领域有着广泛的应用，尤其在控制论、信号处理和图像处理等领域中扮演着重要角色。

本文将介绍多项式矩阵的定义、基本性质和一些应用。

首先，我们来定义多项式矩阵。

一个m行n列的多项式矩阵可以写为：[P] = [P11, P12, ..., P1n;P21, P22, ..., P2n;...Pm1, Pm2, ..., Pmn]其中Pij是一个多项式，表示矩阵的第i行第j列的元素。

多项式可以是任意阶数的，可以包含常数项、线性项、二次项等。

这个定义与一般的实数矩阵相似，只是矩阵中的元素是多项式而不是实数。

接下来，我们将讨论多项式矩阵的一些基本性质。

首先，多项式矩阵的加法和减法与实数矩阵的加法和减法类似，只需对应位置上的多项式进行相加或相减。

例如，矩阵[P] + [Q]的第i行第j列的元素为Pij + Qij。

同样，矩阵[P] - [Q]的第i行第j列的元素为Pij - Qij。

多项式矩阵的乘法也有所不同。

在实数矩阵中，矩阵的乘法是通过将一行的元素与另一列的元素逐个相乘，然后求和得到的。

而在多项式矩阵中，我们需要使用多项式的乘法规则。

具体地说，矩阵[P]和[Q]的乘积[PQ]的第i行第j列的元素为多项式Pi1 * Q1j + Pi2 * Q2j + ... + Pin * Qnj。

注意，Pi1和Q1j是对应位置上的多项式，它们相乘后得到一个新的多项式。

多项式矩阵还有一个重要的性质是可逆性。

一个多项式矩阵[P]是可逆的，如果存在一个多项式矩阵[Q]，使得[PQ] = [QP] = [I]，其中[I]是单位矩阵。

这个性质类似于实数矩阵的可逆性。

当一个多项式矩阵可逆时，我们可以使用矩阵的逆矩阵来解线性方程组，计算行列式等。

多项式矩阵在控制论中有着广泛的应用。

在控制系统中，我们通常需要设计一个控制器来调节系统的行为。

多项式矩阵可以用来表示系统的状态空间方程和传输函数。

矩阵的表达矩阵是数学中一种重要的概念，它涉及到各种数学应用中的概念，如线性代数、几何、统计学、信号处理和机器学习。

它们可以用来表示形状、图像、变换和性质等。

矩阵可以用各种方式表示，比如矩阵多项式、矩阵函数、矩阵指数、矩阵积、矩阵行列式等。

矩阵多项式是矩阵的一种常见表达方式，它的核心是数学中的拉格朗日插值法，也就是一种对矩阵多项式中各个变量的插值。

这种方法通过拟合函数曲线来拟合数据，从而可以得到在特定范围内的精确插值结果。

此外，矩阵多项式还可以用来表示矩阵的一些其他特性，比如当矩阵的元素发生变化时，矩阵的性质也会相应地发生变化。

另一种常用的矩阵表达方式是矩阵函数。

这种函数是一种把矩阵当做一个整体来操作的函数，它们能够在矩阵内部实现一些有用的操作，比如求矩阵的逆和求矩阵的特征值分解，从而提取矩阵内部的重要信息。

此外，还可以利用矩阵函数来表示向量处理、模式识别等复杂的数学操作。

矩阵指数是矩阵的另一种表达方式，它和矩阵多项式有些类似，但是它们的性质有较大的不同，比如矩阵指数的性质比矩阵多项式更稳定，而且可以更好地描述矩阵的特征和属性。

矩阵积是另一种表示矩阵的方法，它是通过对矩阵中的相邻元素进行运算来表示矩阵的关系，它能够更好地揭示矩阵之间的内在联系。

此外，矩阵积还可以用来表达复杂的图形、几何和数据结构，从而更好地理解复杂系统的内部结构。

最后，矩阵行列式也是矩阵的一种表达方式。

它是由一个矩阵的行列式组成的，它可以显示出矩阵的性质和变化，它也可以表示出矩阵的一些关系，比如矩阵的秩，它也是线性代数中主要的一种表示方式。

综上所述，矩阵有多种表达方式，其中比较常用的有矩阵多项式、矩阵函数、矩阵指数、矩阵积和矩阵行列式。

它们各自具有不同的特性和操作方式，可以更加深入地表达矩阵的性质和内部关系，为数学应用中的各类问题提供有效的解决方案。

线性系统理论复频域-多项式矩阵传递函数矩阵的先修内容： 1）自控原理 2）线性代数 3）拉斯变换多项式矩阵理论 1 多项式矩阵定义 多项式设s 为复变量,则称d(s)的次数为m 记为degd(s)=m 当时称d(s)为首1多项式多项式矩阵矩阵中每个元素都是s 的多项式 例实数矩阵是多项式矩阵的特殊情况，即每个元素的次数均为0111)(d s d s d s d s d m m m m ++++=-- 1=m d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=171521311)(322s s s s s s s D有理分式域例称为s 的有理分式 2 奇异性奇异： 方矩阵θ(s)的行列式为0即 det[θ(s)]=0称奇异,反之为非奇异 例 判断以下多项式矩阵的奇异性是非奇异矩阵。

，是奇异矩阵注意 奇异性是指方多项式矩阵行列式的值恒为0（无论s 为何值）3 线性相关性定义 设是s 的多项式向量,当存在一组不全为0的多项式使得01101........)(a s a a s b s b s b s G n n m m +++++++=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=2631)(1s s s s θ0)3(6)2)(1()](det[1≠+-++=s s s s θ)(1s θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=652331)(222s s s s s s s θ0)](det[2=s θp i s q i 1),(=p i s i 1),(=α则称多项式向量是线性相关的 反之,仅在时上式成立,则是线性无关的注 是s 的多项式例 考察两个多项式向量的相关性。

解:取由定义可知多项式向量和是线性相关的,上列写成矩阵与向量乘积的形式为可以验证，是奇异的,等同于的列向量(或行向量)是线性相关的4 秩定义 设是p ×q 维多项式矩阵，即如果至少存在一个r ×r 的子式不恒等于0,所有更高阶子式0)()()()()()(2211=+++s q s s q s s q s p p ααα Tp s q s q s q )]()()([21 p i s i 1,0)(==αT p s q s q s q )]()()([21 p i s i 1),(=αT Ts s s s q s s s q ]1,23[)(]1,2[)(2221-++=-+=1)(,1)(21-=+=s s s αα)(1s q )(2s q []αθαα⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111232)()()()(222121s s s s s s s s s q s q 0)]()(det[21=s q s q )(s θ)(s θ)(s θqp Rs ⨯∈)(θ均等于0,则称的秩为r ，记为例 ， 推论:1)2) 等价于中仅有r 个列(行)之间线性无关3) 满秩意味着 4) 为方阵时，,{满秩}={非奇异} {奇异}={}5)设θ(s) ∈R(s)p×q，P(s) ∈R(s)q×q， R(s) ∈R(s)p×p，P(S)与Q(S)均为任意非奇异矩阵。