矩阵的最小多项式及其应用

矩阵的最小多项式和不变因子的关系
首先，矩阵的最小多项式是一个最低次数的首项系数为1的多项式，使得它在矩阵上取值为0。

最小多项式可以看做是矩阵的“特征方程”，它告诉我们矩阵的特征值以及每个特征值的几何重数。

而矩阵的不变因子，则是一个多项式，使得它在矩阵上取值为0时，对应的线性变换不改变向量空间的维数。

不变因子是矩阵的“最大不变子空间”。

它们之间的关系是，矩阵的不变因子是最小多项式的所有因子中次数最高的那个。

也就是说，最小多项式的每一个因子都可以得到一个对应的不变子空间，而不变因子则是其中最高次的那一个。

此外，最小多项式和不变因子还有以下性质：
1. 最小多项式的次数等于矩阵的维度；
2. 不变因子的次数等于矩阵的“最大不变子空间”的维数；
3. 最小多项式和不变因子的根（即多项式的零点）都是矩阵的特征值；
4. 如果一个矩阵在一个域上的最小多项式和不变因子相同，则这个矩阵是可对角化的。

总之，最小多项式和不变因子是矩阵性质的重要指标，它们相互关联，互相影响，对于我们研究矩阵的特征值、对角化、相似变换等问题都具有深远的意义。

- 1 -。

极⼩多项式和友矩阵将学习到什么介绍了极⼩多项式和友矩阵的相关概念以及基础性质。

极⼩多项式多项式p(t) 称为使A∈M n零化，如果p(A)=0. 保证了：对每个A∈M n, 存在⼀个n次的⾸ 1 多项式p A(t)（特征多项式），使得p A(A)=0. 当然可能也存在⼀个更低次数的⾸ 1 多项式使A零化. 我们要找出使A零化的最低次数的⾸ 1 多项式. 下⾯这个定理表明这个要找的多项式是唯⼀的. 定理 1：设给定A∈M n. 则存在唯⼀⼀个最⼩次数的⾸ 1 多项式q A(t) 使A零化. q A(t) 的次数⾄多为n. 如果p(t) 是任何⼀个使p(A)=0 成⽴的⾸ 1 多项式，那么q A(t) 整除p(t), 即对某个⾸ 1 多项式h(t) 有p(t)=h(t)q A(t). 证明：次数不⼤于n没什么好说的，因为存在n次的⼀定满⾜. 如果p(t) 是任何⼀个使A零化的⾸ 1 多项式，⼜如果q(t) 是⼀个使A零化的m次（设为最低次）⾸ 1 多项式，那么p(t) 的次数是m或者更⾼. Euclid 算法确保存在⼀个⾸ 1 多项式h(t) 以及⼀个次数严格⼩于m的多项式r(t) 使得p(t)=q(t)h(t)+r(t). 但是 0=p(A)=q(A)h(A)+r(A)=0h(A)+r(A), 所以r(A)=0. 如果r(t)不是零多项式，我们就能将它规范化得到⼀个次数⼩于m的⾸ 1 零化多项式，这是⼀个⽭盾. 所以r(t) 是零多项式，从⽽q(t) 整除p(t), 商为h(t). 如果存在两个最⼩次数的使A零化的⾸ 1 多项式，这个论证表明它们每⼀个都整除另外⼀个，由于它们次数相同，其中⼀个必定是另⼀个的纯量倍数. 但由于两者都是⾸ 1 的，纯量因⼦必为 +1, 从⽽它们是相等的. 定义 1：设给定A∈M n. 使A零化的唯⼀的最⼩次数⾸ 1 多项式q A(t) 称为A的极⼩多项式. 推论 1：相似矩阵有相同的极⼩多项式 证明：如果A,B,S∈M n, 且A=SBS−1, 那么q B(A)=q B(SBS−1)=Sq B(B)S−1=0, 所以q B(t) 是⼀个使A零化的⾸ 1 多项式，从⽽q A(t) 的次数⼩于或等于q B(t) 的次数. 但是B=S−1AS，所以相同的推理表明q B(t) 的次数⼩于或等于q A(t) 的次数. 从⽽q A(t) 与q B(t) 都是使A零化的最⼩次数的⾸ 1 多项式，故⽽由定理 1 知它们是相等的.需要注意的是，矩阵A与B有相同的极⼩多项式，不代表它们⼀定相似，⽐如A=J2(0)⊕J2(0)∈M4与B=J2(0)⊕02(0)∈M4. 推论 2：对每⼀个A∈M n, 极⼩多项式q A(t) 整除特征多项式p A(t). 此外，q A(λ)=0 当且仅当λ是A的特征值，故⽽p A(t)=0 的每个根都是q A(t) 的根. 证明：由于p A(A)=0, 则存在⼀个多项式h(t) 使得p A(t)=h(t)q A(t). 这个分解式使得q A(t)=0 的每个根都是p A(t)=0 的你根这⼀事实变得显然，从⽽q A(t)=0 的每个根都是A的特征值. 如果λ是A的⼀个特征值，⼜如果x是与之相伴的特征向量，那么Ax=λx, 且 0=q A(A)x=q A(λ)x, 所以q A(λ)=0.上⾯这个推论表明，如果特征多项式p A(t) 被完全分解成\begin{align} \label{e1}p_A(t)=\prod_{j=1}d(t-\lambda_i){s_i},\quad 1 \leqslant s_i \leqslant n, \quad s_1+s_2+\cdots+s_d =n\end{align}其中λ1,λ2,⋯,λd各不相同，那么极⼩多项式q A(t) 必定有形式\begin{align} \label{e2}q_A(t)=\prod_{i=1}d(t-\lambda_i){r_i}, 1\leqslant r_i \leqslant s_i\end{align}这就从理论上对寻求给定矩阵A的极⼩多项式给出⼀个算法： 1. ⾸先计算A的特征值，包括它们的重数，这或许通过求出特征多项式并将其完全分解即可得到. ⽤某种⽅法确定分解式. 2. 存在有限多个形如的多项式. 从所有r i=1 的乘积出发，⽤显⽰计算来确定使A零化的最⼩次数的乘积，这就是极⼩多项式.从数值计算上来说，对于⼤矩阵计算过于复杂，但在处理简单的⼩矩阵的徒⼿计算时还是⾮常有效的.在A∈M n的标准型与A的极⼩多项式之间存在密切的联系. 假设A=SJS−1是A的 Jordan 标准型，⼜⾸先假设J=J n(λ) 是单独⼀个 Jordan 块. A的特征多项式是 (t−λ)n, 由于当k<n时有 (J−λI)k≠0, 所以J的极⼩多项式仍然是 (t−λ)n. 然⽽，如果J=J n1(λ)⊕J n2(λ)∈M n（其中n1⩾）, 则J的特征多项式仍然是(t-\lambda)^n, 但现在有(J-\lambda I)^{n_1}=0, 且没有更低次的幂变为零. 这样⼀来，J的极⼩多项式是(t-\lambda)^{n_1}. 如果对特征值\lambda有多个 Jordan 块，则有相同结论：J的极⼩多项式是(t-\lambda)^r, 其中r是与\lambda对应的最⼤ Jordan 块的阶. 如果J是⼀般的 Jordan 矩阵，其极⼩多项式必定包含因⼦(t-\lambda_i)^{r_i}（对每⼀个不同的特征值\lambda_i）；⽽r_i必定是与\lambda_i对应的最⼤ Jordan 块的阶；没有更低的幂能零化与\lambda_i对应的所有 Jordan 块，⽽且也不需要更⾼的幂. 由于相似矩阵有相同的极⼩多项式，我们就证明了下⾯的定理. 定理 2：设A \in M_n是⼀个给定的矩阵，其不同的特征值是\lambda_1\cdots \lambda_d. 则A的极⼩多项式是\begin{align} \label{e3}q_A(t)=\prod_{i=1}d(t-\lambda_i){r_i}\end{align}其中r_i是A的与特征值\lambda_i对应的最⼤ Jordan 块的阶.实际上，这个结果在计算极⼩多项式时没有太多的帮助，因为通常确定⼀个矩阵的 Jordan 标准型⽐确定它的极⼩多项式更为困难.的确，如果仅仅知道矩阵的特征值，它的极⼩多项式就可以通过简单的试错法确定. 然⽽，这个结果有⼀些有重要理论价值的推论.由于⼀个矩阵可对⾓化当且仅当它所有 Jordan 块的阶均为 1, 所以矩阵可对⾓化的⼀个充分必要条件就是式\ref{e3}中所有的r_i=1. 推论 3：设A \in M_n有不同的特征值\lambda_1\cdots \lambda_d. ⼜令\begin{align} \label{e4} q(t)=(t-\lambda_1)(t-\lambda_2)\cdots (t-\lambda_d) \end{align}那么，A可对⾓化当且仅当q(A)=0这个判别法对于判断⼀个给定的矩阵是否可以对⾓化是有实际⽤途的，只要我们知道它不同的特征值：构造多项式\ref{e4}并观察它是否使A零化. 如果它使A零化，它必定就是A的极⼩多项式，这是因为没有更低次数的多项式能以A的所有不同特征值作为其零点了. 如果它不能使A零化，那么A不可对⾓化. 将此结果总结成若⼲等价的形式是有益的. 推论 4：设A \in M_n, ⽽q_A(t)是它的极⼩多项式，则以下诸结论等价： (a) q_A(t)是不同线性因⼦的乘积 (b) A的每⼀个特征值作为q_A(t)=0的根的重数都是 1 (c) 对A的每个特征值\lambda, 都有q'_A(\lambda) \neq 0 (d) A可以对⾓化友矩阵对给定的A\in M_n, 我们迄今正在考虑的是寻求使A零化的最⼩次数的⾸ 1 多项式. 但是对于其逆，我们能说什么呢？给定⼀个⾸1 多项式\begin{align}\label{e5}p(t)=t n+a_{n-1}t{n-1}+a_{n-2}t^{n-2}+\cdots+a_1t+a_0\end{align}是否存在⼀个矩阵A, 使得它以p(t)作为它的极⼩多项式呢？若如是，则A的⼤⼩必定⾄少是n \times n. 考虑\begin{align} \label{e6} A=\begin{bmatrix} 0 &&&& -a_0 \\ 1 & 0 &&& -a_1 \\ & 1 & \ddots && \vdots \\ && \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 &&& 1 & -a_{n-1}\end{bmatrix} \in M_n \end{align}并注意到\begin{align} & I e_1 &= \, &e_1 =\quad A^0e_1 \notag \\ & A e_1 &= \, &e_2 = \quad Ae_1 \notag\\ & A e_2 &= \, &e_3 =\quad A^2 e_1 \notag \\ & A e_3 &= \, &e_4 = \quad A^3 e_1 \notag \\ & \,\,\, \vdots & \notag \\ & A e_{n-1} &= \,& e_n =\quad A^{n-1}e_1 \notag \end{align}进⼀步有\begin{align}Ae_n &=-a_{n-1}e_n-a_{n-2}e_{n-1}-\cdots -a_1e_2-a_0e_1 \notag \\&=-a_{n-1}A{n-1}e_1-a_{n-2}A{n-2}e_1 -\cdots -a_1Ae_1-a_0 e_1 \notag \\&=(A^n-p(A))e_1\end{align}于是\begin{align}p(A)e_1 &=(a_0e_1+a_1Ae_1+a_2A^2e_1+\cdots +a_{n-1}A{n-1}e_1)+A ne_1 \notag \\&=(p(A)-A n)e_1+(A n-p(A))e_1 \notag \\&=0\end{align}此外，对每个k=1,2,\cdots,n有p(A)e_k=p(A)A^{k-1}e_1=A^{k-1}p(A)e_1=A^{k-1}0=0. 由于对每个基向量e_k有p(A)e_k=0,我们断定有p(A)=0. 从⽽p(t)是使A零化的n次⾸ 1 多项式. 如果存在⼀个更低次数m<n且使A零化的多项式q(t)=t^m+b_{m-1}t^{m-1}+\cdots+b_1t+b_0, 那么\begin{align}0&=q(A)e_1=A me_1+b_{m-1}A{m-1}e_1+\cdots+b_1Ae_1+b_0e_1 \notag \\&=e_{m+1}+b_{m-1}e_m+\cdots+b_1e_2+b_0e_1=0\end{align}⽽这是不可能的，因为e_1,\cdots,e_{m+1}是线性⽆关的. 我们断⾔：n次多项式p(t)是使A零化的最低次数的⾸ 1 多项式，所以它就是A的极⼩多项式. 特征多项式p_A(t)也是⼀个使A零化的n次⾸ 1 多项式，故⽽定理 1 确保p(t)也是矩阵\ref{e6}的特征多项式. 定义 2：矩阵\ref{e6}称为多项式\ref{e5}的友矩阵.我们已经证明了下⾯的结论： 定理 3：每⼀个⾸ 1 多项式既是它的友矩阵的极⼩多项式，⼜是它的友矩阵的特征多项式.如果A \in M_n的极⼩多项式的次数为n，那么\ref{e3}中的指数满⾜r_1+\cdots+r_d=n；也就是说，与每⼀个特征值对应的最⼤的 Jordan 块就是与每⼀个特征值对应的唯⼀的 Jordan 块. 这样的矩阵是⽆损的. 特别地，每⼀个友矩阵都是⽆损的. 当然，不⼀定每个⽆损的矩阵A\in M_n都是友矩阵，但是A与A的特征多项式的友矩阵C有同样的 Jordan 标准型（与每⼀个不同的特征值\lambda_i对应的只有⼀个分块J_{r_i}(\lambda_i)）, 所以A与C相似. 定理 4：设A \in M_n有极⼩多项式q_A(t)以及特征多项式p_A(t). 则下⾯诸结论等价： (a) q_A(t)的次数为n (b) p_A(t)=q_A(t) (c) A是⽆损的 (d) A与p_A(t)的友矩阵相似应该知道什么极⼩多项式存在且唯⼀相似矩阵具有相同的极⼩多项式，反之不成⽴友矩阵是以事先给定多项式为极⼩多项式的矩阵Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js每⼀个⾸ 1 多项式既是它的友矩阵的极⼩多项式，⼜是它的友矩阵的特征多项式。

λ-矩阵一、λ-矩阵的基本概念数域P 上m n ⨯的λ-矩阵的一般形式()()()()()()()1111n ij mnm mn a a A a a a λλλλλλ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ，其中各()[]ij a P λλ∈.1 ()A λ的某行（列）不为零：该行（列）的元素不全为零多项式； 2()A λ的：该子式是一个非零多项式； 3 ()A λ的秩为r ：()A λ有一个r 级子式不为零，而所有的1r +级子式（如果还有的话）全为零；4 n 级λ-矩阵()A λ可逆：存在n 级λ-矩阵()B λ使()()()()A B B A E λλλλ==，这时记()B λ为()1A λ-称为()A λ的逆矩阵。

()A λ可逆()A λ⇔=非零常数（即零次多项式）. 5 ()A λ与()B λ等价：()A λ与()B λ可以经过初等变换互相转化。

()A λ与()B λ等价⇔存在可逆矩阵()(),P Q λλ使()()()()P A Q B λλλλ=.二、λ-矩阵的标准准形及三种因子1 每个λ-矩阵()A λ都可以经过初等变换（可以同时作行变换和列变换）化为标准形()()()()1200r d d B d λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭ ， 其中()()()12,,,r d d d λλλ 均为首一多项式，称为()A λ的不变因子。

它们满足依次整除关系：()()1i i d d λλ+，1,2,,1i r =- .因为初等变换不改变()A λ的秩，所以上述()()r r A λ=.2()A λ的所有k 级子式的首一最大公因式()k D λ称为()A λ的k 级行列式因子。

（1）若()()r A rλ=，则()A λ的行列式因子恰有r 个：()()()12,,,r D D D λλλ .（2）初等变换不改变()A λ的各级行列式因子，所以()A λ与它的标准形()B λ有相同的行列式因子。

中图分类号： O151.2本科生毕业论文（设计）（申请学士学位）论文题目矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用作者姓名专业名称数学与应用数学指导教师2011年5月1日学号：论文答辩日期：年月日指导教师：（签字）滁州学院本科毕业设计（论文）原创性声明本人郑重声明：所呈交的设计（论文）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。

除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。

本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

作者签名：年月日目录摘要 (1)Abstract (4)绪论................................................................................................................... 错误!未定义书签。

1矩阵最小多项式与特征多项式.................................................................... 错误!未定义书签。

1.1相关符合及定义................................................................................... 错误!未定义书签。

1.2矩阵最小多项式................................................................................... 错误!未定义书签。

1.2.1最小多项式的定义 ................................................................... 错误!未定义书签。

1.2.2有关定理及推论 ....................................................................... 错误!未定义书签。

矩阵的特征多项式与最小多项式矩阵是线性代数中的重要概念，而矩阵的特征多项式和最小多项式则是研究矩阵性质和计算矩阵的关键工具。

本文将介绍矩阵的特征多项式和最小多项式的概念、定义、性质以及它们在线性代数中的应用。

一、特征多项式特征多项式是矩阵的一个重要特征，它能给出矩阵的特征值，进而揭示了矩阵的一些重要性质。

矩阵A的特征多项式可以表示为：P(λ)=|A-λI|对于n阶矩阵A，其特征多项式的次数为n。

特征多项式的根即矩阵的特征值，因此我们可以通过求解特征多项式的根来得到矩阵的特征值。

二、最小多项式最小多项式是描述矩阵A最简单的多项式，它不仅能揭示矩阵的性质，还能够描述矩阵的最小特征多项式。

对于矩阵A，定义其最小多项式为满足P(A)=0的最低次数的多项式P(x)。

最小多项式P(x)具有以下性质：1. P(x)的次数小于等于n（n为矩阵的阶数）；2. P(x)是关于x的首一多项式（即最高次项系数为1）；3. 如果P(A)=0，则P(x)一定是A的最小多项式；4. P(x)具有唯一性。

最小多项式的计算通常需要借助于特征多项式。

首先，计算出矩阵的特征多项式P(λ)，然后将λ替换为A，得到特征多项式P(A)，令其为零，即可得到最小多项式P(x)。

三、特征多项式与最小多项式的关系特征多项式和最小多项式有着紧密的联系。

首先，矩阵的特征多项式的根即为其特征值，而矩阵的特征值同样也是最小多项式的根。

其次，最小多项式是特征多项式的约化。

也就是说，最小多项式的所有根都是特征多项式的根，但特征多项式的所有根未必都是最小多项式的根。

此外，特征多项式和最小多项式都可以用于计算矩阵的幂。

根据矩阵A的特征值λ，我们可以得到A的特征向量v，进而得到矩阵A 的特征矩阵S，使得AS=SD，其中D是对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。

利用这个特性，我们可以通过特征矩阵S将矩阵A进行对角化，从而计算矩阵的幂A^n。

四、应用举例特征多项式和最小多项式在线性代数和相关领域有广泛的应用。

最小多项式是矩阵的化零多项式
介绍它矩阵的最小多项式是一种数学概念，它可以用来表示矩阵的乘积。

它也称为矩阵的化零多项式。

矩阵的最小多项式是一种把矩阵乘积表示成最小多项式的方法。

它可以把矩阵乘积表示成一个有限项的多项式，每一项对应一个特定的矩阵。

矩阵的最小多项式包括一个矩阵乘积的最小多项式和一个矩阵乘积的最小多项式系数。

最小多项式系数用于表示乘积中的每个矩阵的权重，以及乘积的最小多项式的总体权重。

矩阵的最小多项式可以用来计算矩阵的乘积，也可以用来计算矩阵的逆矩阵。

矩阵的最小多项式可以用来求解矩阵方程，也可以用来求解矩阵的特征值和特征向量。

矩阵的最小多项式也可以用来求解矩阵的最小行列式。

这是一种常见的数学技巧，用于解决给定矩阵的行列式的最小值。

矩阵的最小多项式还可以用来求解矩阵的低秩近似。

这种方法可以用来求解高维矩阵的近似值，而不必计算整个矩阵。

矩阵的最小多项式也可以用来分析一组矩阵的关系。

由于最小多项式可以表示一组矩阵的关系，因此可以把这一组矩阵的关系表示成一个有限项的多项式，这样就可以用来分析这一组矩阵之间的关系。

矩阵的最小多项式是一种重要的数学概念，它可以用来计算矩阵的乘积，求解矩阵方程，求解矩阵的特征值和特征向量，求解矩阵的最小行列式，求解矩阵的低秩近似和分析一组矩阵的关系。

它可以为数学研究和应用提供重要的理论和实用的方法。

怎么计算极小多项式举例
极小多项式是指给定一个数域K上的线性变换T所对应的线性变换矩阵A，其最小的首项系数为1的首一多项式。

极小多项式有一些重要的性质：它是唯一的，其次数等于矩阵A的特征值集合中不同特征值的个数之和，而且可以用来刻画矩阵A的所有代数性质。

通过具体的例子来说明如何计算极小多项式。

假设对于矩阵
A=[1,2;0,1]，我们需要求出它的极小多项式。

步骤1：求矩阵A的特征多项式。

特征多项式是指使得，A-λI，=0的多项式，其中λ是关于A的一次多项式的根。

那么，特征多项式为：A-λI，=，[1-λ,2;0,1-λ]，=(1-λ)^2
步骤2：求出矩阵A的所有特征值。

矩阵A的特征值为λ=1。

步骤3：求出极小多项式。

因为特征值λ=1只有一个，所以矩阵A 的极小多项式的次数等于1，且它的首项系数为1、因此，矩阵A的极小多项式为：
f(某)=某-1
这就是矩阵A的极小多项式。

总结来说，计算一个矩阵的极小多项式需要求出矩阵的特征多项式，计算出矩阵的所有特征值，然后寻找一个次数最小的首项系数为1的首一多项式，使得该多项式的根集合为矩阵的所有特征值。

这个过程可以解释矩阵的所有代数性质，如相似、对角线化、可对角化等，非常重要。

矩阵的最小多项式的求解及其应用冯福存【摘要】首先介绍最小多项式的相关概念及最小多项式的一些基本性质,然后给出求解最小多项式的几种常用方法,最后结合实例归纳总结最小多项式在解题中的几个应用.【期刊名称】《宁夏师范学院学报》【年(卷),期】2017(038)006【总页数】5页(P28-32)【关键词】最小多项式;特征多项式;应用【作者】冯福存【作者单位】宁夏师范学院数学与计算机科学学院, 宁夏固原 756000【正文语种】中文【中图分类】O151.21矩阵可以说贯穿线性代数始终，而矩阵的特征多项式则是高等代数学习中的重点和难点，它与最小多项式的结合又常常成为数学系硕士研究生入学考试的难点和焦点．矩阵最小多项式在求矩阵函数的结果以及观察矩阵的特征值等方面具有重要的应用,大多数教材[1-3]只对矩阵最小多项式的定义做了简单的介绍,如何快速准确地计算出其最小多项式却很少给予系统的讨论，作者在长期的教学实践中，参阅相关文献[4-7]，得到和总结了关于矩阵最小多项式的系列性质，并对计算最小多项式常用的易于掌握的几种方法进行整理、总结和对比，并将教材上的Jordan标准形和最小多项式两个知识点串联到了一起,有利于加深初学者对这两部分内容的理解，以期对读者有所帮助．1 基本概念及性质定义1 设f(x)∈C[x]，A∈Cn×n,若f(A)=0，则称f(x)为A的零化多项式．定义2 设A∈Cn×n,A的零化多项式中次数最低的首项系数为1的多项式称为A的最小多项式．关于矩阵的最小多项式有如下结论：性质1[1] A∈Cn×n，则A存在唯一的最小多项式，记为mA(λ)．性质2 A∈Cn×n，mA(λ)整除A的任一零化多项式，特别的mA(λ)|fA(λ)，(fA(λ)=|λE-A|)．证明设f(λ)是A的任一零化多项式，由带余除法定理可知f(λ)=mA(λ)q(λ)+r(λ),若r(λ)≠0，由f(A)=0，mA(λ)=0可知r(A)=0，则r(λ)为A的最小多项式，与性质1矛盾，故r(λ)=0，即mA(λ)|f(λ)．由Hamilton-Cayley定理[1]知fA(λ)是A的一个零化多项式，故mA(λ)|fA(λ)．性质3[7] A∈Cn×n，A的最小多项式的根必是A的特征多项式的根，反之亦然．性质4[1] 设A∈Cn×n，若A是一个准对角阵并设A1的最小多项式为g1(λ)，A2的最小多项式为g2(λ)，那么A的最小多项式为g1(λ)，g2(λ)的最小公倍式[g1(λ),g2(λ)]．性质5[6] 相似矩阵的最小多项式相同，即最小多项式是相似不变量．性质6[1] k级Jordan块的最小多项式为(λ-a)k．性质7[1] 设Α是复数域上n维线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基，使得Α在这组基下的矩阵是Jordan形．2 最小多项式的求解求矩阵的最小多项式有多种方法，本文主要介绍四种便于掌握的方法．2.1 由特征多项式求最小多项式设A∈Cn×n的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，则A的特征多项式为fA(λ)=|λE-A|=(λ-λ1)k1(λ-λ2)k2…(λ-λs)ks,由性质3可知A的最小多项式必有如下形式：mA(λ)=(λ-λ1)m1(λ-λ2)m2…(λ-λs)ms，上式中mi≤ki(i=1,2,…,s)．若A的特征值均为单根时，mA(λ)=fA(λ)；若A的特征多项式为fA(λ)=(λ-λ1)n 时，mA(λ)=(λ-λ1)m(m≤n)，m为使(λ1I-A)m=0的最小次数．2.2 待定系数法A∈Cn×n，设A的最小多项式为mA(λ)=λm+am-1λm-1+am-2λm-2+…+a1λ+a0(1≤m≤n)，可如下操作：第一步：m=1，试解A=-a0I，看是否有解：若有解a0，则最小多项式为mA(λ)=λ+a0；若无解；则进入下一步；第二步：m=2，试解A2=-a1A-a0I，看是否有解：若有解a0,a1，则最小多项式为mA(λ)=λ2+a1λ+a0；若无解，则进入下一步；第三步：m=3，试解A3=-a2A2-a1A-a0I，看是否有解，若有解a0,a1,a2，则最小多项式为mA(λ)=λ3+a2λ2+a1λ+a0；若无解，则进入下一步；如此循环，直到求出ai(0≤ai≤n)使矩阵方程Am=-am-1Am-1-am-2Am-2-…-a1A-a0I成立为止，以λ代A，以1代I便可得到所求的最小多项式．2.3 初等变换法设A∈Cn×n，λI-A为矩阵A的特征矩阵，这是一个λ-矩阵，对该矩阵施行初等行(列)变换将λI-A化为标准形，通过标准形可求得A的不变因子d1(λ),d2(λ),…,dn(λ)，则mA(λ)=dn(λ)，即λI-A的标准形的最后一个不变因子就是A的最小多项式．也可以先求出λI-A的n-1阶和n阶行列式因子分别为Dn-1(λ)，Dn(λ)，由前面可知A的最小多项式为2.4 利用Jordan标准形求最小多项式文献[8]关于A∈Cn×n的Jordan标准形的求解已做了详细的介绍，设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，如果λi是A的单特征值，则对应一阶Jordan块Ji=(λi)，如果λi是A的ri(ri>1)重特征值，则以λi为对角元素的Jordan块的阶数之和为ri，设以λi为对角元素的Jordan块的最大阶数为di,可得A的最小多项式为mA(λ)=(λ-λ1)d1(λ-λ2)d2…(λ-λs)ds．由性质6可知每个Jordan块对应一个一次因式的方幂(初等因子)，即A化为标准形后每个Jordan块与A的初等因子是一一对应的．再由性质4、性质7可知A的最小多项式为所有这些初等因子的最小公倍式．这样，通过A的所有初等因子也可以确定A的最小多项式．这四种求矩阵最小多项式的方法中特征多项式法和待定系数法都有试探的成分，实际操作起来比较麻烦.前者适合低阶的比较简单的矩阵，而后者可适用于任意阶矩阵，计算方法机械，可用计算机编程来处理．如果知道矩阵的Jordan标准形，则可以快速的写出矩阵的最小多项式，但如果不知道矩阵的Jordan标准形而要计算矩阵的Jordan标准形有时也是比较麻烦的．初等变换法和行列式因子法相似，他们都是利用λ-矩阵的相关理论解决问题．3 矩阵最小多项式的应用3.1 计算Ak文献[8]中对于这种问题通过相似变换讨论过，即在n维线性空间V中，任意一个矩阵A∈Cn×n与一个n阶Jordan矩阵相似，存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J，则及的形式，可以把一般的矩阵的问题化为Jordan形来讨论，使得问题简化．本文用最小多项式来解决此类问题，令f(λ)=λk，设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，A的最小多项式为mA(λ)=(λ-λ1)d1(λ-λ2)d2…(λ-λs)ds，mA(λ)的次数∂(mA(λ))=m.若k≤m，则直接计算Ak，若k>m，由带余除法可得f(λ)=q(λ)mA(λ)+r(λ)，其中,∂r(λ)=r<m．因为mA(A)=0，所以f(A)=r(A)，只需要确定r(λ)便可计算f(λ)，不妨设r(λ)=lm-1λm-1+lm-2λm-2+…+l1λ+l0，通过最小多项式的根待定系数后可确定r(λ)的系数，从而计算f(λ)．可以将这类问题的计算进一步推广为：已知方阵A与任意多项式f(λ)求f(A)，解决方法与前面的讨论完全一致．3.2 求方阵A的全体多项式所生成的线性空间的维数与基对于一个给定的方阵A的矩阵多项式,考察的核心对象是该矩阵的幂的形式.如果矩阵A没有明显的特征，则它的各次幂一般也没有明显的特征，这时就不好确定A 的矩阵多项式的次数，从而无法确定A的矩阵多项式所生成的空间的维数与基．将这类问题的结论以命题的形式给出，对于这一类型的问题只需知道A的最小多项式便可套用命题的结论解决．定理[1][9] A∈Cn×n，A的最小多项式的次数为k,W={f(A)|A∈Cn×n},则有：(1)dimW=k；(2)E,A,A2,…,Ak-1为W的一组基．3.3 求解常系数线性微分方程组关于常系数线性微分方程组的求解和解的理论可参看文献[10],读者会发现比较繁杂，要求掌握矩阵函数和矩阵的微分和积分的知识才能看懂和进行相关的计算．本文给出一种较简单直观的方法来求解线性齐次微分方程组．对于常系数线性微分方程组(其中x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T，i=1,2,…,n，A为n 阶数字方阵)的求解本质是求解它的基解矩阵，基解矩阵其本质就是一个矩阵函数．根据矩阵函数的定义，一般矩阵函数f(A)是用在A的特征值上和f(λ)一致的多项式g(λ)所对应的矩阵多项式g(A)来表示的．但是，这样的g(λ)并不是唯一的，因此用来定义矩阵函数f(A)的g(A)也不是唯一的，但借助于A的最小多项式后这样的g(A)是唯一的，从而f(A)也是唯一的．设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，最小多项式为mA(λ)，次数为∂(mA(λ))=m，由带余除法可得g(λ)=p(λ)mA(λ)+r(λ)，由矩阵函数的定义，利用拉格朗日插值公式可求解f(A)．(i)当A的最小多项式没有重根时(1)其中(ii)当A的最小多项式有重根时设此时最小多项式为mA(λ)=(λ-λ1)d1(λ-λ2)d2…(λ-λs)ds，其中d1+d2+…+ds=m≤n，则其中mi(A)=(A-λ1I)d1(A-λ2I)d2…(A-λi-1I)di-1(A-λ1I)di+1…(A-λ1I)ds,；j=1,2,…,ds．4 应用举例例1 求下列矩阵的最小多项式．解计算得|λI-A|=(λ-1)4，r(λI-A)=2,可知对应特征值1的特征向量有2个，所以矩阵A的Jordan标准形由2个Jordan块构成，但无法判断Jordan块是一个1阶和3阶，还是2个2阶的，采用文献[8]中的波尔曼法计算可得A的Jordan标准形为由本文确定最小多项式的Jordan标准形方法可得矩阵A的最小多项式为mA(λ)=(λ-1)3．例2 解下列线性微分方程组其中解矩阵A的最小多项式为mA(λ)=(λ-4)(λ-2)．由微分方程理论可知所求方程组解的形式为X=eAtc，其中c=(c1,c2,c3)，ci(i=1,2,3)不全为零．下面只需计算矩阵函数f(A)=eAt和向量c，为此，令f(λ)=eλt，λ1=4,λ2=2.最小多项式无重根，由公式(1)可得其中于是得故一般解为X=eAtc．当t=0时，由初值条件可得c1=0，c2=1，c3=1．故满足初始条件的解为参考文献:【相关文献】[1] 北京大学数学系代数与几何教研室前代数小组．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，2013．[2] 库洛什．高等代数教程[M]．北京：高等教育出版社，1983．[3] 蓝以中．线性代数引论[M]．北京：北京大学出版社，1998．[4] YU Bo,ZHANG Jintao,XU Yanyan．The RCH Method for Computing Minimal Polynomials of Polynomial Matrices[J]．J.Syst.Sci .Complex，2015,25:190-209.[5] 夏必腊.方阵最小多项式的性质与求法[J].高等数学研究,2003,6(3):34-39．[6] 张跃辉．矩阵理论与应用[M]．北京：科学出版社，2011．[7] 魏洪增．矩阵理论与方法[M]．北京：电子工业出版社，2005．[8] 冯福存．矩阵的Jordan标准形及其应用[J]．绵阳师范学院学报，2016,35(5):11-15．[9] 林志兴，杨忠鹏．线性组合与积相等矩阵对及其多项式表示[J]．浙江大学学报(理学版)，2015,42(3):261-267．[10] 王高雄，周之铭，朱思铭，等．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，2006．。

编号：09005110201南阳师范学院2013届毕业生毕业论文（设计）题目：关于矩阵最小多项式的探讨完成人：李菊花班级：2009-02学制： 4 年专业：数学与应用数学指导教师：袁玉卓完成日期：2013-04-12目录摘要 (1)0引言 (1)1预备知识 (1)2矩阵最小多项式的求法 (2)2.1利用不变因子求矩阵最小多项式 (3)2.2利用特征函数求矩阵的最小多项式 (4)2.3利用Jordan标准型计算矩阵的最小多项式 (5)3 矩阵最小多项式的应用 (7)3.1矩阵最小多项式在矩阵运算中的应用 (7)3.1.1已知方阵A和多项式()f A (7)fλ，求().3.1.2A为方阵确定()f A的逆 (8)f A非奇异及求()3.2矩阵最小多项式在矩阵相似中的应用 (10)3.3矩阵最小多项式在微分方程组中的应用 (12)参考文献 (13)Abstract (14)关于矩阵最小多项式的探讨作者：李菊花指导老师：袁玉卓摘要：总结矩阵最小多项式的若干求法，并举例说明了矩阵最小多项式在代数问题、常微分方程组求解问题上的应用.关键词：矩阵;最小多项式;最小多项式的应用0引言在《高等代数》教材中，对矩阵最小多项式的概念有所阐述，但对其求法和应用讨论较少.事实上，矩阵的最小多项式在判断矩阵相似、若当标准型、矩阵函数、矩阵方程和研究线性变换的结构中都有极为重要的应用，也是现在研究矩阵最小多项式的主要方向之一.目前，国内很多学者对矩阵最小多项式的求法已有较深入的研究.为了更好地掌握矩阵最小多项式的求法，挖掘其应用价值，本文给出了矩阵最小多项式的若干求法，并举例说明了最小多项式的相关应用.1预备知识为了叙述的需要,我们首先引入以下符号.[]Cλ表示复数域C上的一元多项式环.()M C表示C上的全体n阶矩阵对矩阵的加法与数乘矩阵运算构成的向n量空间.()fλ表示方阵A的特征多项式.A()mλ表示方阵A的最小多项式.A为了便于证明，有必要引入矩阵最小多项式的相关概念.定义1[]1 设A ∈()nMC ，()[]f C λλ∈，若()f A =0，则称()f λ为A 的零化多项式.定义2[]1 在A 的零化多项式中，次数最低的首项系数是1的多项式称为A的最小多项式，记作()Am λ.引理1[]2 若当块()000100010001k k kcc J Cc c ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式为()()()kkJC m c λλ=-.若当块的最小多项式恰好是其特征多项式时，()()()||kk f E J C c λλλ=-=-.引理 2[]4相似矩阵有相同的最小多项式，即若A相似于B ，则()()A B m m λλ=.引理3[]2任取()nMC 中的k阶可逆矩阵A，设其最小多项式为()111n n A n n m b b b λλλλ--=++++ ，则1A-的最小多项式是1111.nn n nnnb b b b b λλλ--++++引理4[]5设A =()12,,...,s diag A AA ，记A 的最小多项式为()Am λ，iA 的最小多项式为()iA m λ，1,2,...,,i s =则()()()()12,,...,sAA A A m m m m λλλλ⎡⎤=⎣⎦. 引理 5[]1()A f λ的根必是()Am λ的根.2 矩阵最小多项式的求法在给出了矩阵的最小多项式的相关概念之后，我们容易得到以下几种计算矩阵最小多项式的方法. 2.1利用不变因子求矩阵最小多项式定理1[]6n 阶复数矩阵A 的最小多项式()Am λ就是A 的最后一个不变因子()nd λ.证明 任取()nM C 中矩阵A ，则A 相似于某一个若当块()nJ M C ∈.其中，()()()()1122,,...,,s s J diag J J J λλλ=由引理2知， ()().A J m m λλ=（1）又由引理4， ()()()()12,,...,s J J J J m m m m λλλλ⎡⎤=⎣⎦（2）再有引理1，(),1,2,...,.iik J i m i s λλ=-=（3）其中，ik 是()iiJ λ的阶数，i λ是iJ 主对角线的元素，结合（1），（2），（3）得：()()()()()()()()121212,,...,,,...,skk kA J J J J s s m m m m m λλλλλλλλλλλ⎡⎤===---⎡⎤⎣⎦⎣⎦.由引理4及初等因子的概念，()Jm λ是各若当块的初等因子（即A 的初等因子组）的最小公倍式，恰好等于从各组同底初等因子中抽取次数最高的一个作乘积的结果.根据用初等因子组确定不变因子的方法知()()Jnm d λλ=，()()()A J n m m d λλλ==.由定理1得出求()Am λ的步骤如下： （1）首先，求出矩阵A 的特征多项式()Af λ.（2）其次，求出矩阵A 的各阶行列式因子.（3）最后，利用不变因子与行列式因子之间的关系求出矩阵A 的最后一个不变因子即为矩阵A 的最小多项式()Am λ.由定理1可以得到计算矩阵A 最小多项式的第一种方法，即通过求矩阵A的最后一个不变因子()nd λ，得到矩阵A 的最小多项式.例1求矩阵A =211011111-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭的最小多项式.解 矩阵A 特征多项式为：()()()2211||01121111A f E A λλλλλλλ--⎛⎫⎪=-=--=-- ⎪ ⎪--⎝⎭. 各阶行列式因子分别为：()()()23||21D E A λλλλ=-=--，()21D λ=，()11D λ=.则有()()()()()()()()()()2231123121,1,21D D d D d d D D λλλλλλλλλλ======--.于是()A f E Aλλ=-⇔()()21000100021λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭.由于E A λ-的不变因子即为A的不变因子，从而有定理1知，()A f E A λλ=-的最后一个不变因子()()221λλ--就是A 的最小多项式，即()()()221A m λλλ=--.注 由例1可以看出运用定理1求矩阵的最小多项式有以下特点： (1)优点: 具有普遍适用性.(2)缺点: 由于该方法结合了矩阵的初等因子、行列式因子等的计算，计算过程比较复杂.为了减少运算，我们能否从矩阵的特征多项式出发，不用计算矩阵A 的各阶行列式因子以及利用不变因子与行列式因子之间的关系，得出求解矩阵的最小多项式的方法呢？下面我们先介绍一下另一个定理. 2.2利用特征多项式求矩阵最小多项式定理2[]7若矩阵A 的特征多项式()()()()1212||...lm m m A l f E A λλλλλλλλ=-=---其中12,,...,l λλλ为A的所有互不相同的特征值，且12,,...,l mm m 均大于等于1，则 ()()()()1212...ln n n A l m λλλλλλλ=---，其中1,1,2,...,ii nm i l≤≤=.由此定理2得出求()Am λ的步骤如下： (1)首先求出矩阵A 的特征多项式()Af λ.(2)其次将()Af λ分解不同的一次因式的幂积.(3)最后取包含一切不同的一次因式的幂积,由低次像高次逐一试验，求出使A零化的次数最低的这样的幂积即为()Am λ.由定理2可以得到计算矩阵A 的最小多项式的第二种方法，即通过计算矩阵A 的特征多项式，并分解成含()()()12sλλλλλλ--- 的形式，通过检测，可以得到矩阵A 的最小多项式.例2求矩阵200111113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的最小多项式. 解 矩阵A 的特征多项式为：()()32||1112113A f E A λλλλλλ-⎛⎫⎪=-=---=-⎪ ⎪--⎝⎭.矩阵A 的最小多项式为：()()2,1 3.kA m k λλ=-≤≤由于()20000000021110,21111110.111111111A E A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=-≠-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭且 所以2,k=故A 的最小多项式为：()()22.A m λλ=-注 由代数基本定理，我们知道()A f λ在复数域C 上肯定可以作标准分解，但是有时候做标准分解时有一定的难度，也有一定的技巧.那么有没有较易的方法来计算矩阵的最小多项式呢？下面是计算矩阵的最小多项式的另外一种方法.2.3利用Jordan 标准型计算矩阵的最小多项式北大教材《高等代数》第七章中关于矩阵的最小多项式有这样一个定理，现叙述如下：定理3[]5设A 是一个准对角矩阵1200A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭并设1A 的最小多项式为()1A m λ，2A 的最小多项式为()2A m λ，那么A的最小多项式为()1A m λ，()2A m λ的最小公倍式()()12,A A m m λλ⎡⎤⎣⎦. 这个结论可以推广到A 为若干个矩阵组成的准对角的情形，即如果12S A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭i A 的最小多项式为()iAm λ，其中1,2,i s = ，那么A的最小多项式为()()()()12,,...,s A A A A m m m m λλλλ⎡⎤=⎣⎦.从上述定理和推论中，我们可以得出利用Jordan 标准型计算矩阵最小多项式的步骤如下：(1)将矩阵A 化成若干个矩阵组成的准对角的形式. (2)分别求出各个分块矩阵的最小多项式.(3)求出各个分块矩阵的最小多项式的最小公倍式，即为矩阵A 的最小多项式.由定理3及其推广我们可以得到计算矩阵A 的最小多项式的第三种方法，即只要求出矩阵A 的分块矩阵iA 的最小多项式()iA m λ，然后求出它们的最小公倍式，即为矩阵A 的最小多项式.例3设2000012000012000001000011A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵A 的最小多项式()Am λ.解 设12A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中1200120012A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21011A⎛⎫= ⎪⎝⎭.因Jordan 矩阵1A 的最小多项式为()()132Am λλ=-.Jordan矩阵2A 的最小多项式为()()221Am λλ=-.故由上述定理可得矩阵A 的最小多项式为()()()2312.A m λλλ=--从例3中可以看出，用Jordan 标准型计算矩阵的最小多项式虽然比较容易计算，但是运算量比较大.那么计算矩阵的最小多项式还有其它的方法呢？目前计算矩阵A 的最小多项式的方法有四种，第一种是利用矩阵A 的最后一个不变因子，第二种是利用矩阵矩阵A 的特征多项式的标准分解，第三种是利用Jordan 标准型，第四种是利用矩阵A 的幂系列的相关性.上面给出了求矩阵A 的最小多项式的前三种最常用的方法.最后一种方法在此不再论述.当给出一个矩阵A 要求计算其最小多项式的时候，我们要灵活地选择计算矩阵A 最小多项式的方法.这样不仅可以有效地达到预计目的，而且可以大大地减少运算过程.我们知道矩阵的最小多项式在研究线性变换的结构及矩阵的对角化方面起着十分重要的作用，然而它在实际运算中有哪些作用呢？下面从三个方面简要叙述.3 矩阵最小多项式的应用我们在矩阵的最小多项式的相关概念以及两种基本求法的基础上，进一步探讨矩阵的最小多项式，简要地总结出了矩阵的最小多项式在矩阵函数、矩阵相似和微分方程组中的相关应用.下面从这三个角度逐一论述. 3.1 矩阵最小多项式矩阵运算中的应用 3.1.1已知方阵A 和多项式()f λ，求().f A设()f λ是任意多项式，()Am λ为方阵A 的最小多项式，有带余除法知，用()Am λ除()f λ，得到商式()q λ和余式()r λ，即()()()()()()()()()()0.A A f q m r r m r λλλλλλλ=+∂<∂=或由哈密顿-凯莱定理可知()0,A f A =再由引理5得出()0,A m A =因此()()()()().A fA q A m A r A r A =+=由此看出，由()r A 来求()fA 要比直接计算()f A 简单些.下面通过实际运算来体现矩阵A 的最小多项式在求矩阵函数中的作用.例4设()9764322241211f λλλλλλλλ=-++--+102011010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭求()f A .解 矩阵A 的特征多项式为：()()()2312||011112 1.01A f E A λλλλλλλλλλ--⎛⎫⎪=-=+-=-+-=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭因为()A f λ没有重根，故()()32 1.AA m f λλλλ==-+由带余除法得：()()()().A f q m r λλλλ=+计算可知()2,r λλ=+因此：()()()()()3022011.012A f A q A m A r A r A A E ⎛⎫⎪=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭在利用矩阵的最小多项式求解矩阵函数时，从例4中可以看出，当多项式的次数比较高时，直接将A 带入()f λ求解()f A 运算量会很大，而由带余除法知利用最小多项式可以使()f λ的次数降到低于()Am λ的次数，再将A带入求解，从而简化了运算过程.注 如果已知矩阵A 的特征多项式()Af λ，而矩阵A 的最小多项式()Am λ尚未求出，为了求出()f A ，可以用()Af λ除()f λ得到余式()r λ，此时依然有()().fA r A =3.1.2A 为方阵确定()f A 非奇异及求()f A 的逆.(()f λ是多项式).定理4[]7设()Am λ是方阵A 的最小多项式，()f λ是次数大于等于1的多项式.（1）若()()|Af m λλ，则()f A 降秩（奇异）.（2）若()()()(),,Ad f m λλλ=则秩()d A =秩()f A .（3）()f A 非异的充要条件是()f λ、()Am λ互质.我们从以下两个例题来说明上述定理的简单应用.例5 设多项式()65422321f λλλλλλ=+-+-+，()432223 2.g λλλλλ=-+--矩阵200111113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，试判断矩阵多项式()f A 和()g A 的奇异性，并求出()g A 的秩.解：由例2知，矩阵A 的最小多项式为：()()22.A m λλ=-由多项式理论求得()f λ和()Am λ的最大公因式为：()()()()1,1,Ad f m λλλ==由定理3知，()f A 是非奇异矩阵.()g λ和()A m λ的最大公因式为：()()()()2,2,A d g m λλλλ==-由定理3知，()g A 是奇异矩阵，且秩()()g A =秩()()2d A ，而()220010000021112010111113001111d A A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.显然，秩()()g A =秩()()2d A 1=.从例5中我们可以得出：利用定理3可以判断矩阵多项式()f A 的奇异性并可以求出()f A 的秩.在矩阵的运算中,求矩阵的逆一般是比较麻烦的,对于一些特殊的矩阵可以利用矩阵的最小多项式来化简.我们通过下面的例子来说明.例6 设()32682f λλλλ=+++110014104A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求()f A 的逆矩阵.解 矩阵A 的特征多项式为：()()211||0143.104A f E A λλλλλλλ+-⎛⎫⎪=-=+-=+⎪ ⎪-+⎝⎭所以()()3Am λλλ=+或()()23.Am λλλ=+由于()21434280,214A A E-⎛⎫ ⎪+=--≠ ⎪ ⎪-⎝⎭故()()232369.A m λλλλλλ=+=++易知()()(),1,Af m λλ=于是存在()()[],,p q C λλλ∈使得()()()() 1.A f p m q λλλλ+=其中()()()()2211825,824.5050p q λλλλλλ=++=-++于是()()()()A fA p A m A q A E+=.由于 ()0,A m A =因此()()()()()().A fA p A m A q A E fA p A E +=⇔=从而()()()1218641182541812.5050319fA p A AA E-⎛⎫ ⎪==++=⎡⎤⎣⎦⎪ ⎪⎝⎭在例6中，如果直接将A 带入()f λ求解()f A ，在求解()f A 的逆，虽然可以求出最终的结果，但是计算过程复杂繁琐的多.由此可以看出，利用矩阵最小多项式求解矩阵函数的逆，可以简化计算过程.从以上的例题中，我们可以得出：矩阵最小多项式能起到简化多项式的作用.3.2矩阵最小多项式在矩阵相似中的应用由北大数学教材《高等代数》[]5第七章定理，我们知道 ：数域p 上的n 级矩阵A 与对角阵相似的充要条件为A 的最小多项式是p 上的互素的一次因式的乘积.由此得出的推论如下：推论1[]9若A 的某一零化多项式没有重根，则A 与对角方阵相似，且对角阵的元素都是此零化多项式的根.证明 设多项式()f λ没有重根且()0f A =， 由于()()|A m fλλ (4)故()Am λ也没有重根，所以存在对角阵D ，使得12n A D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则12,,...,nλλλ都是A 的特征根,同时12,,...,nλλλ 都是()Am λ的根.由(4)知12,,...,nλλλ都是()f λ的根.我们由北大数学教材《高等代数》[]5第七章第九节中的推论可以知道：复数矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 的最小多项式没有重根.有推论1可以判断方阵能否与对角阵相似.下面举例说明与对角矩阵相似的一些特殊矩阵.例7 证明在以下三种条件下矩阵A 是否可以对角化. ()1;kAE = ()22;AA =()30, 1.kAk =>证明（1）由于kAE=，得到0kA E -=，取()1kf λλ=-使A 零化. 由于()1k f λλ=-无重根，故12n A D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中1,1,2,...,k ii nλ==.（2）由2AA=，得2AA -=，故()()21f λλλλλ=-=-使A 零化.由于()f λ没有重根，故12n A D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，0,1,2,...,ii nλ==.（3）由于0,1kAk =>，故得()kf λλ=为零化多项式.但是它有重根，由推论2知A 不可对角化.3.3矩阵最小多项式在微分方程组中的应用在历年研究生入学考试中,对矩阵的最小多项式的考查综合性较强,能力要求较高,是个难点.下面通过线性微分方程组的定解问题和有关定理来说明矩阵的最小多项式在常微分方程组中的灵活运用.在线性控制系统中，常常涉及求解线性微分方程组的问题，用矩阵函数理论给计算带来很大方便.对于一阶线性微分方程组的定解问题：()00|{t t d X A X F td tX X t ⎛⎫⎪⎝⎭==+=，其中()()()()()()12,,,...,Tn nijn A a CX t x t x t x t ⨯=∈=易得方程组的唯一解为：()()()()000.t A t t A t t X eX t eF d τττ--=+⎰上述求解可归纳为A te 的计算，一般都用矩阵标准型来求解矩阵函数A te或()f A t ,但是若矩阵A 与对角阵()12,,...n diag λλλ不相似，计算过程会很复杂.如果运用矩阵的最小多项式理论，计算过程将大大简化.如何运用矩阵的最小多项式理论快速地求出基解矩阵呢？为此我们引入下述定理：定理5 []10若矩阵n nA C⨯∈的最小多项式()Am λ为m 次多项式，()()()()1212...ln n n A l m λλλλλλλ=---，其中12,,...,l λλλ为A的所有互不相同的特征值，又与收敛的复变幂级数()()0kk k fZ t C t Z∞==∑相应的()()0kkk f A t C t A ∞==∑是A的收敛幂级数，则()f A t 可表为A 的1m -次多项式，并且()()()()1011.m m fA t a t E a t A a t A--=+++其中系数()0a t ，()1a t ， ，()1m at -由以下方程组确定：对()1,2,.i i l λ∀=)()()()()()()()()()()()()()()()()1011212311111231|1!121|i ii i m i m i i m m i i n m n i n i m i in a t a t a t f t d f t a t a t a t m a t d d f t n a t m m m n a t d λλλλλλλλλλλλλ---------⎧+++=⎪⎪++++-==⎪⎨⎪⎪⎪-++----==⎩例8 求下列微分方程组的定解.00,1,1{Td X A X d tX ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==其中211011111A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭解 有定解理论得出方程组的解为：()0A tX eX =其特征方程为()()()2d et 21E A λλλ-=--.易得矩阵的最小多项式()()()221.A m λλλ=--设()()()01A tf A t ea t E a t A ==+，得20112tta a e a ae +=+={解之得：20212t t t ta e e a e e =-=-{则有()()()2222012232202.22t tttt t A ttttt t ttte eee e e ef A t a t E a t A ee ee e e ee⎛⎫---⎪==+=- ⎪ ⎪--⎝⎭故定解为：()()2200,3,3.TA tttttX eX e e e e==--从例8中我们可以看出，如果利用特征多项式来求解，由于特征多项式()()()221Af λλλ=--.特征根有两个，且特征值1的次数为2，计算量显然要比例题中的解法复杂.由此可见，用矩阵最小多项式计算微分方程组的标准矩阵和齐次线性微分方程组的初值问题能起到简化计算的目的. 此题通过利用矩阵的最小多项式灵活地求出了微分方程组的定解,体现了其在交叉学科中的重要地位.参 考 文 献[1] 赵礼峰.矩阵最小多项式求法探讨[J].淮北煤师院学报.1993,3(14):60-65.[2] 吴洁华.矩阵最小多项式的求解及应用[J].韩山师范学院学报.2010,6(31):19-24.[3] 钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2003.[4] 韩振芳，杨小姝，王宇红.有关最小多项式定理及其应用[J].河北北方学院学报（自然科学报）2006，3（22）：4-5.[5] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.[6] 龙小胖.最小多项式的求法[J].井冈山师范学院学报（自然科学）.2004，5（25）：54-55.[7] 贺加来.矩阵的最小多项式的进一步探讨[J].巢湖学院学报.2006,3(8):157-159.[8] 朱思铭，王寿松，李艳会.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.[9] 靳艳芳.最小多项式的性质、求法及应用[D].河南郑州：郑州华信学院综合教育部,1994.[10] 王子瑜，陈华如.矩阵最小多项式在微分方程组中的应用[J].铜陵学院学报.2004(3):67-71.Discussion on Minimal Polynomial of MatrixLI Ju-huaAbstract: We summarize the approaches to minimal polynomial of a matrix. Examples about the minimal polynomial in solving algebra and ordinary differential system problems are explained to prove the Validity.Key words: matrix; minimal polynomial; application of minimal polynomial.。

方阵最小多项式的求法与应用［摘要］:本文首先介绍了方阵A的最小多项式，进而给出了最小多项式的四种求法，最后讨论了最小多项式的两个应用.［关键词］:方阵；最小多项式;不变因子Minimal polynomial of a square matrix and its applicationsFENG Yu-xiang(Class L Grade 2001, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Associate Prof. LI Zhi-hui［Abstrac t］ :The minimal polynomial of square matrix A is discussed, and fourmethods of solution for the minimal polynomial are presented・ Further more ,theapplications of the minimal polynomial are studied・［Keywords］ : squaie matrix; minimal polynomial; invariant operation—、引言文献［1］中研究了方阵最小多项式的若干性质，并给出最小多项式的三种求法.本文试图通过对文献［1］中的结果进一步研究，给出它相应的改进算法，并提出一种新的求法•与此同时，讨论了最小多项式在矩阵的相关计算和证明中的应用，为最小多项式的应用提供了新的思想.本文所讨论的矩阵和多项式均为复数域C上n阶方阵和多项式.二、最小多项式的性质及求法山哈密尔顿定理可知，对于一n阶矩阵A , /(2) = |/t£-^|是人的特征多项式，则/") = A” 一(5 + …+ …+(_l)”|4|E = 0,即就是任给数域P 上的一个“级矩阵A,总可以找到数域P上的多项式f(x),使得/(A) = 0.如果多项式于(对使得f(A) = 0 ,我们就称/(X)为矩阵A的零化多项式.X然A的零化多项式很多的，于是我们有定义1设A e C WXH，次数最低的首项为1的A的零化多项式称为A的最小多项式，记为TJZ).最小多项式有以下一些基本性质：定理1[1]设则(1)A的任一零化多项式都能被屮.4(刃整除；(2)A的最小多项式出4(刃是唯一的；(3)相似矩阵最小多项式相同.2. 1由特征多项式求最小多项式定理2[1]血是A的特征多项式零点的充分条件是心为A的最小多项式出° (刃的零点.证明：见参考文献[1].推论1若"阶方阵4的特征多项式被分解为不同的一次因式方幕的乘积：/(2) = (A-21p (2 一九2严…(入-九$严,其中人是A的相异的特征值，叫是特征值人的重数，且=儿则A的最小多r-1项式具有如下形式：T A (2)=(兄一人屮(兄一儿)么…(兄一 &.)必，其中％ < 7H, (/ = 1,2,- -,5)为正整数.推论1实际上给出了山方阵人的特征多项式，求最小多项式的方法.例1求矩阵'2 1 1'A= 1 2 11 1 2_的最小多项式.解：因为A的特征多项式为/(2) = (A-l)2(A-4),根据推论1便可知，A的最小多项式有以下两种可能：(兄一1)(兄一4) , (2 —1)~(A — 4)'1 1 f ・-2 1 10 0 o'(A-E)(A-4E) =1 1 1 1 -2 1 = 0 0 0 =01 1 11 1 -20 0 0因此，A 的最小多项式为(2-1)(2-4).例2求矩阵的最小多项式./(2) = 24 + 4才 一4822 一3202-512 广⑷=4(才 + 3才 _ 242_ 80)由辗转相除法求得(/(刃,广(刃)=才+82 + 16 于是/(2)_ 才 + 4才-4822 一3202-512(/")/")) 22+82 + 16二，一4兄一32二(兄 + 4)(几一8)于是 /(2) =(2 + 4)3(A-8)A 的最小多项式有以下三种可能：(A + 4)(几一8), (A + 4)~ (兄一8), (兄 + 4)' (A — 8)由于-1 一3 3 一-3 -1 一 3 3 3 -3 -1 -3 一3 3 一3 一A =有时/(刃在分解时比较困难，但由推论1可知, A 的最小多项式实质包含A 的特征多项式中的所有不同的一次因式之积, 故可先求出册丽2 + 13 一3 3 3 几+1 3 一3 -3 3 兄+1 -33一3 3 A +1=24 +4才 一48才-3202-512 解：\AE-A\ =而(A + 4E)(A-8£) = 0,因此A的最小多项式为(2 + 4)(2 -8).2. 2按最小多项式的定义及存在性求最小多项式定理3［1］任意〃阶矩阵A都存在最小多项式T4(/l).证明：参见文献［1］.这个定理告诉我们一种求最小多项式的方法，这种方法的步骤是:第一步试解A =若能解出血，则人的最小多项式为若A = A0E关于血无解，则做第二步试解A2 = 2()£ + 兄］E若能解出血与则A的最小多项式为T4(/l) = 22-A0-/l12若不能解出心与仏，则做第三步试解A5 = A0£ + 21A +若能解出心，入与则，则A的最小多项式为若不能解出九，人与禺，则再做第四步试解2+A3A3A4=20E+AI A+A2A等等，直到求出儿(,=0」2…，〃小使矩阵方程成立为止(山哈密尔顿凯莱定理，这样的过程最多只有〃步即可终多止）这时用几代替A ,便得到所求最小项式TJ2）.例2求矩阵111-111-10 A =0-111-10 11的最小多项式.解: (1)试解A = ^E,显然关于兄。

复矩阵的最小多项式是指可以使得该矩阵作为方程的根的最低次数多项式。

对于一个n×n的复矩阵A，其最小多项式定义为满足以下条件的最低次数首一多项式p(x)：
1. p(A) = 0，其中p(A)表示将矩阵A代入多项式p(x)中得到的矩阵。

2. 如果存在次数更低的多项式q(x)，使得q(A) = 0，则q(x)必须是p(x)的因子。

要找到复矩阵的最小多项式，可以使用以下步骤：
1. 计算矩阵A的特征值和特征向量。

2. 对于每个特征值λ，构造首一多项式p(x) = (x-λ)^k，其中k是特征值λ的重数（即特征值λ对应的特征向量的个数）。

3. 最小多项式是所有这些多项式的乘积。

需要注意的是，最小多项式可能不是唯一的，但它们具有相同的根。

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