矩阵的最小多项式及其应用

矩阵的最小多项式和不变因子的关系
首先，矩阵的最小多项式是一个最低次数的首项系数为1的多项式，使得它在矩阵上取值为0。

最小多项式可以看做是矩阵的“特征方程”，它告诉我们矩阵的特征值以及每个特征值的几何重数。

而矩阵的不变因子，则是一个多项式，使得它在矩阵上取值为0时，对应的线性变换不改变向量空间的维数。

不变因子是矩阵的“最大不变子空间”。

它们之间的关系是，矩阵的不变因子是最小多项式的所有因子中次数最高的那个。

也就是说，最小多项式的每一个因子都可以得到一个对应的不变子空间，而不变因子则是其中最高次的那一个。

此外，最小多项式和不变因子还有以下性质：
1. 最小多项式的次数等于矩阵的维度；
2. 不变因子的次数等于矩阵的“最大不变子空间”的维数；
3. 最小多项式和不变因子的根（即多项式的零点）都是矩阵的特征值；
4. 如果一个矩阵在一个域上的最小多项式和不变因子相同，则这个矩阵是可对角化的。

总之，最小多项式和不变因子是矩阵性质的重要指标，它们相互关联，互相影响，对于我们研究矩阵的特征值、对角化、相似变换等问题都具有深远的意义。

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极⼩多项式和友矩阵将学习到什么介绍了极⼩多项式和友矩阵的相关概念以及基础性质。

极⼩多项式多项式p(t) 称为使A∈M n零化，如果p(A)=0. 保证了：对每个A∈M n, 存在⼀个n次的⾸ 1 多项式p A(t)（特征多项式），使得p A(A)=0. 当然可能也存在⼀个更低次数的⾸ 1 多项式使A零化. 我们要找出使A零化的最低次数的⾸ 1 多项式. 下⾯这个定理表明这个要找的多项式是唯⼀的. 定理 1：设给定A∈M n. 则存在唯⼀⼀个最⼩次数的⾸ 1 多项式q A(t) 使A零化. q A(t) 的次数⾄多为n. 如果p(t) 是任何⼀个使p(A)=0 成⽴的⾸ 1 多项式，那么q A(t) 整除p(t), 即对某个⾸ 1 多项式h(t) 有p(t)=h(t)q A(t). 证明：次数不⼤于n没什么好说的，因为存在n次的⼀定满⾜. 如果p(t) 是任何⼀个使A零化的⾸ 1 多项式，⼜如果q(t) 是⼀个使A零化的m次（设为最低次）⾸ 1 多项式，那么p(t) 的次数是m或者更⾼. Euclid 算法确保存在⼀个⾸ 1 多项式h(t) 以及⼀个次数严格⼩于m的多项式r(t) 使得p(t)=q(t)h(t)+r(t). 但是 0=p(A)=q(A)h(A)+r(A)=0h(A)+r(A), 所以r(A)=0. 如果r(t)不是零多项式，我们就能将它规范化得到⼀个次数⼩于m的⾸ 1 零化多项式，这是⼀个⽭盾. 所以r(t) 是零多项式，从⽽q(t) 整除p(t), 商为h(t). 如果存在两个最⼩次数的使A零化的⾸ 1 多项式，这个论证表明它们每⼀个都整除另外⼀个，由于它们次数相同，其中⼀个必定是另⼀个的纯量倍数. 但由于两者都是⾸ 1 的，纯量因⼦必为 +1, 从⽽它们是相等的. 定义 1：设给定A∈M n. 使A零化的唯⼀的最⼩次数⾸ 1 多项式q A(t) 称为A的极⼩多项式. 推论 1：相似矩阵有相同的极⼩多项式 证明：如果A,B,S∈M n, 且A=SBS−1, 那么q B(A)=q B(SBS−1)=Sq B(B)S−1=0, 所以q B(t) 是⼀个使A零化的⾸ 1 多项式，从⽽q A(t) 的次数⼩于或等于q B(t) 的次数. 但是B=S−1AS，所以相同的推理表明q B(t) 的次数⼩于或等于q A(t) 的次数. 从⽽q A(t) 与q B(t) 都是使A零化的最⼩次数的⾸ 1 多项式，故⽽由定理 1 知它们是相等的.需要注意的是，矩阵A与B有相同的极⼩多项式，不代表它们⼀定相似，⽐如A=J2(0)⊕J2(0)∈M4与B=J2(0)⊕02(0)∈M4. 推论 2：对每⼀个A∈M n, 极⼩多项式q A(t) 整除特征多项式p A(t). 此外，q A(λ)=0 当且仅当λ是A的特征值，故⽽p A(t)=0 的每个根都是q A(t) 的根. 证明：由于p A(A)=0, 则存在⼀个多项式h(t) 使得p A(t)=h(t)q A(t). 这个分解式使得q A(t)=0 的每个根都是p A(t)=0 的你根这⼀事实变得显然，从⽽q A(t)=0 的每个根都是A的特征值. 如果λ是A的⼀个特征值，⼜如果x是与之相伴的特征向量，那么Ax=λx, 且 0=q A(A)x=q A(λ)x, 所以q A(λ)=0.上⾯这个推论表明，如果特征多项式p A(t) 被完全分解成\begin{align} \label{e1}p_A(t)=\prod_{j=1}d(t-\lambda_i){s_i},\quad 1 \leqslant s_i \leqslant n, \quad s_1+s_2+\cdots+s_d =n\end{align}其中λ1,λ2,⋯,λd各不相同，那么极⼩多项式q A(t) 必定有形式\begin{align} \label{e2}q_A(t)=\prod_{i=1}d(t-\lambda_i){r_i}, 1\leqslant r_i \leqslant s_i\end{align}这就从理论上对寻求给定矩阵A的极⼩多项式给出⼀个算法： 1. ⾸先计算A的特征值，包括它们的重数，这或许通过求出特征多项式并将其完全分解即可得到. ⽤某种⽅法确定分解式. 2. 存在有限多个形如的多项式. 从所有r i=1 的乘积出发，⽤显⽰计算来确定使A零化的最⼩次数的乘积，这就是极⼩多项式.从数值计算上来说，对于⼤矩阵计算过于复杂，但在处理简单的⼩矩阵的徒⼿计算时还是⾮常有效的.在A∈M n的标准型与A的极⼩多项式之间存在密切的联系. 假设A=SJS−1是A的 Jordan 标准型，⼜⾸先假设J=J n(λ) 是单独⼀个 Jordan 块. A的特征多项式是 (t−λ)n, 由于当k<n时有 (J−λI)k≠0, 所以J的极⼩多项式仍然是 (t−λ)n. 然⽽，如果J=J n1(λ)⊕J n2(λ)∈M n（其中n1⩾）, 则J的特征多项式仍然是(t-\lambda)^n, 但现在有(J-\lambda I)^{n_1}=0, 且没有更低次的幂变为零. 这样⼀来，J的极⼩多项式是(t-\lambda)^{n_1}. 如果对特征值\lambda有多个 Jordan 块，则有相同结论：J的极⼩多项式是(t-\lambda)^r, 其中r是与\lambda对应的最⼤ Jordan 块的阶. 如果J是⼀般的 Jordan 矩阵，其极⼩多项式必定包含因⼦(t-\lambda_i)^{r_i}（对每⼀个不同的特征值\lambda_i）；⽽r_i必定是与\lambda_i对应的最⼤ Jordan 块的阶；没有更低的幂能零化与\lambda_i对应的所有 Jordan 块，⽽且也不需要更⾼的幂. 由于相似矩阵有相同的极⼩多项式，我们就证明了下⾯的定理. 定理 2：设A \in M_n是⼀个给定的矩阵，其不同的特征值是\lambda_1\cdots \lambda_d. 则A的极⼩多项式是\begin{align} \label{e3}q_A(t)=\prod_{i=1}d(t-\lambda_i){r_i}\end{align}其中r_i是A的与特征值\lambda_i对应的最⼤ Jordan 块的阶.实际上，这个结果在计算极⼩多项式时没有太多的帮助，因为通常确定⼀个矩阵的 Jordan 标准型⽐确定它的极⼩多项式更为困难.的确，如果仅仅知道矩阵的特征值，它的极⼩多项式就可以通过简单的试错法确定. 然⽽，这个结果有⼀些有重要理论价值的推论.由于⼀个矩阵可对⾓化当且仅当它所有 Jordan 块的阶均为 1, 所以矩阵可对⾓化的⼀个充分必要条件就是式\ref{e3}中所有的r_i=1. 推论 3：设A \in M_n有不同的特征值\lambda_1\cdots \lambda_d. ⼜令\begin{align} \label{e4} q(t)=(t-\lambda_1)(t-\lambda_2)\cdots (t-\lambda_d) \end{align}那么，A可对⾓化当且仅当q(A)=0这个判别法对于判断⼀个给定的矩阵是否可以对⾓化是有实际⽤途的，只要我们知道它不同的特征值：构造多项式\ref{e4}并观察它是否使A零化. 如果它使A零化，它必定就是A的极⼩多项式，这是因为没有更低次数的多项式能以A的所有不同特征值作为其零点了. 如果它不能使A零化，那么A不可对⾓化. 将此结果总结成若⼲等价的形式是有益的. 推论 4：设A \in M_n, ⽽q_A(t)是它的极⼩多项式，则以下诸结论等价： (a) q_A(t)是不同线性因⼦的乘积 (b) A的每⼀个特征值作为q_A(t)=0的根的重数都是 1 (c) 对A的每个特征值\lambda, 都有q'_A(\lambda) \neq 0 (d) A可以对⾓化友矩阵对给定的A\in M_n, 我们迄今正在考虑的是寻求使A零化的最⼩次数的⾸ 1 多项式. 但是对于其逆，我们能说什么呢？给定⼀个⾸1 多项式\begin{align}\label{e5}p(t)=t n+a_{n-1}t{n-1}+a_{n-2}t^{n-2}+\cdots+a_1t+a_0\end{align}是否存在⼀个矩阵A, 使得它以p(t)作为它的极⼩多项式呢？若如是，则A的⼤⼩必定⾄少是n \times n. 考虑\begin{align} \label{e6} A=\begin{bmatrix} 0 &&&& -a_0 \\ 1 & 0 &&& -a_1 \\ & 1 & \ddots && \vdots \\ && \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 &&& 1 & -a_{n-1}\end{bmatrix} \in M_n \end{align}并注意到\begin{align} & I e_1 &= \, &e_1 =\quad A^0e_1 \notag \\ & A e_1 &= \, &e_2 = \quad Ae_1 \notag\\ & A e_2 &= \, &e_3 =\quad A^2 e_1 \notag \\ & A e_3 &= \, &e_4 = \quad A^3 e_1 \notag \\ & \,\,\, \vdots & \notag \\ & A e_{n-1} &= \,& e_n =\quad A^{n-1}e_1 \notag \end{align}进⼀步有\begin{align}Ae_n &=-a_{n-1}e_n-a_{n-2}e_{n-1}-\cdots -a_1e_2-a_0e_1 \notag \\&=-a_{n-1}A{n-1}e_1-a_{n-2}A{n-2}e_1 -\cdots -a_1Ae_1-a_0 e_1 \notag \\&=(A^n-p(A))e_1\end{align}于是\begin{align}p(A)e_1 &=(a_0e_1+a_1Ae_1+a_2A^2e_1+\cdots +a_{n-1}A{n-1}e_1)+A ne_1 \notag \\&=(p(A)-A n)e_1+(A n-p(A))e_1 \notag \\&=0\end{align}此外，对每个k=1,2,\cdots,n有p(A)e_k=p(A)A^{k-1}e_1=A^{k-1}p(A)e_1=A^{k-1}0=0. 由于对每个基向量e_k有p(A)e_k=0,我们断定有p(A)=0. 从⽽p(t)是使A零化的n次⾸ 1 多项式. 如果存在⼀个更低次数m<n且使A零化的多项式q(t)=t^m+b_{m-1}t^{m-1}+\cdots+b_1t+b_0, 那么\begin{align}0&=q(A)e_1=A me_1+b_{m-1}A{m-1}e_1+\cdots+b_1Ae_1+b_0e_1 \notag \\&=e_{m+1}+b_{m-1}e_m+\cdots+b_1e_2+b_0e_1=0\end{align}⽽这是不可能的，因为e_1,\cdots,e_{m+1}是线性⽆关的. 我们断⾔：n次多项式p(t)是使A零化的最低次数的⾸ 1 多项式，所以它就是A的极⼩多项式. 特征多项式p_A(t)也是⼀个使A零化的n次⾸ 1 多项式，故⽽定理 1 确保p(t)也是矩阵\ref{e6}的特征多项式. 定义 2：矩阵\ref{e6}称为多项式\ref{e5}的友矩阵.我们已经证明了下⾯的结论： 定理 3：每⼀个⾸ 1 多项式既是它的友矩阵的极⼩多项式，⼜是它的友矩阵的特征多项式.如果A \in M_n的极⼩多项式的次数为n，那么\ref{e3}中的指数满⾜r_1+\cdots+r_d=n；也就是说，与每⼀个特征值对应的最⼤的 Jordan 块就是与每⼀个特征值对应的唯⼀的 Jordan 块. 这样的矩阵是⽆损的. 特别地，每⼀个友矩阵都是⽆损的. 当然，不⼀定每个⽆损的矩阵A\in M_n都是友矩阵，但是A与A的特征多项式的友矩阵C有同样的 Jordan 标准型（与每⼀个不同的特征值\lambda_i对应的只有⼀个分块J_{r_i}(\lambda_i)）, 所以A与C相似. 定理 4：设A \in M_n有极⼩多项式q_A(t)以及特征多项式p_A(t). 则下⾯诸结论等价： (a) q_A(t)的次数为n (b) p_A(t)=q_A(t) (c) A是⽆损的 (d) A与p_A(t)的友矩阵相似应该知道什么极⼩多项式存在且唯⼀相似矩阵具有相同的极⼩多项式，反之不成⽴友矩阵是以事先给定多项式为极⼩多项式的矩阵Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js每⼀个⾸ 1 多项式既是它的友矩阵的极⼩多项式，⼜是它的友矩阵的特征多项式。

λ-矩阵一、λ-矩阵的基本概念数域P 上m n ⨯的λ-矩阵的一般形式()()()()()()()1111n ij mnm mn a a A a a a λλλλλλ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ，其中各()[]ij a P λλ∈.1 ()A λ的某行（列）不为零：该行（列）的元素不全为零多项式； 2()A λ的：该子式是一个非零多项式； 3 ()A λ的秩为r ：()A λ有一个r 级子式不为零，而所有的1r +级子式（如果还有的话）全为零；4 n 级λ-矩阵()A λ可逆：存在n 级λ-矩阵()B λ使()()()()A B B A E λλλλ==，这时记()B λ为()1A λ-称为()A λ的逆矩阵。

()A λ可逆()A λ⇔=非零常数（即零次多项式）. 5 ()A λ与()B λ等价：()A λ与()B λ可以经过初等变换互相转化。

()A λ与()B λ等价⇔存在可逆矩阵()(),P Q λλ使()()()()P A Q B λλλλ=.二、λ-矩阵的标准准形及三种因子1 每个λ-矩阵()A λ都可以经过初等变换（可以同时作行变换和列变换）化为标准形()()()()1200r d d B d λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭ ， 其中()()()12,,,r d d d λλλ 均为首一多项式，称为()A λ的不变因子。

它们满足依次整除关系：()()1i i d d λλ+，1,2,,1i r =- .因为初等变换不改变()A λ的秩，所以上述()()r r A λ=.2()A λ的所有k 级子式的首一最大公因式()k D λ称为()A λ的k 级行列式因子。

（1）若()()r A rλ=，则()A λ的行列式因子恰有r 个：()()()12,,,r D D D λλλ .（2）初等变换不改变()A λ的各级行列式因子，所以()A λ与它的标准形()B λ有相同的行列式因子。

中图分类号： O151.2本科生毕业论文（设计）（申请学士学位）论文题目矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用作者姓名专业名称数学与应用数学指导教师2011年5月1日学号：论文答辩日期：年月日指导教师：（签字）滁州学院本科毕业设计（论文）原创性声明本人郑重声明：所呈交的设计（论文）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。

除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。

本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

作者签名：年月日目录摘要 (1)Abstract (4)绪论................................................................................................................... 错误!未定义书签。

1矩阵最小多项式与特征多项式.................................................................... 错误!未定义书签。

1.1相关符合及定义................................................................................... 错误!未定义书签。

1.2矩阵最小多项式................................................................................... 错误!未定义书签。

1.2.1最小多项式的定义 ................................................................... 错误!未定义书签。

1.2.2有关定理及推论 ....................................................................... 错误!未定义书签。