2016_2017学年高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法课件新人教A版选修2_2 (2)

2．2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
自主学习 新知突破
1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本
方法——综合法和分析法． 2．了解综合法、分析法的思考过程、特点． 3．会综合运用综合法、分析法解决数学问题．
1．阅读下列例题：
例：若实数a，b满足a＋b＝4，证明2a＋2b≥8.
1．用分析法证明：欲使①A＞B，只需②C<D，这里②是
①的( ) B．必要条件 A．充分条件
C．充要条件
答案： A
D．即不充分也不必要条件
解析： ②⇒①，∴②是①的充分条件．
2．下面叙述正确的是(
)
A．综合法、分析法是直接证明的方法
B．综合法是直接证法，分析法是间接证法
C．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D．综合法、分析法所用语气都是假定的
a＋b ≥2ab ， 2
a＋b b a (3)若 a，b∈(0，＋∞)，则 2 ≥ ab，特别地a＋b≥2. (4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)，此结论可由 a2 ＋b2≥2ab 证得， 此结论是一个非常重要的不等式， 很多不等式 的证明都用到该结论．
≥ab 成立，只需证 a2＋b2≥2ab，也就是证 a2＋b2－2ab≥0，即 证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0 显然成立，所以原不等式成立．
答案： a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0
4 ．已知 a ， b ， c ， d∈R ，证： (ac ＋ bd)2≤(a2 ＋ b2)(c2 ＋ d2)．
证明： ∵左边＝a2c2＋2abcd＋b2d2
≤a2c2＋(a2d2＋b2c2)＋bbd2 ＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝右边，
∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
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综合法的应用
1 1 已知 a，b>0，且 a＋b＝1，求证：a＋b≥4.
[思路点拨] 出结论． 证明：
言． 第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可
对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解
题方法的选取．
分析法
1．分析法的定义
充分条件 ， 结论出发 ，逐步寻求使它成立的_________ 从要证明的_________
直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分 析法．
又 a＋b＝1， 1 1 ∴a＋b≥4.
证法三：∵a，b∈R ， 1 1 a＋b a＋b ∴a＋b＝ a ＋ b b a ＝1＋a＋b＋1≥2＋2 ab b· a＝4，
＋
当且仅当 a＝b 时，取“＝”号．
1. 综合法是数学证明中最常用的一种方 法，本题巧妙地应用了“1”的代换及基本不等式． 2．综合法证明不等式常用 “ 两个正数的算术平均数不小 于它们的几何平均数”这一结论，运用时要结合题目条件，有
由已知条件出发，结合基本不等式，即可得
证法一：∵a，b∈R＋，且 a＋b＝1，
∴a＋b≥2 ab， 1 ∴ ab≤2， 1 1 a＋b 1 ∴a＋b＝ ab ＝ab≥4.
证法二：∵a，b∈R＋， 1 1 ∴a＋b≥2 ab>0，a＋b≥2
1 1 ∴(a＋b)a＋b≥4，
1 ab>0，
综合法
1．综合法的定义
已知条件 和 某 些 数 学 _________ 定理 、 利 用 ___________ 、 ________ 定义
推理论证 ，最后推导出所要证 公理 _________ 等，经过一系列的 __________ 结论 明的__________ 成立，这种证明方法叫做综合法．
证明： ∵2a＋2b≥2 2a· 2b＝2 2a＋b， 又∵a＋b＝4，∴2a＋2b≥2 24＝8， ∴2a＋2b≥8.
[问题1] 本题利用什么公式证明的？ [提示1] 基本不等式．
[问题2] 本题的证明顺序是什么？
[提示2] 从已知到结论．
2．求证： 3＋2 2<2＋ 7.
证明： 要证明 3＋2 2<2＋ 7，
第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件 (包括隐含条件 )，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相
关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化 成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间
的转化．组织过程时要有清晰的思路，严密的逻辑，简洁的语
时要适当变形．
3．综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质 和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：
(1)a2≥0(a∈R)． (2)(a － b) ≥0(a ， b ∈ R) ，其变形后 a ＋ b
2 2 a＋b a ＋ b 2 2 ≥ab， 2 ≥ 2 . 2 2 2
解析： 直接证明包括综合法和分析法．
答案： A
a2＋b2 3．将下面用分析法证明 2 ≥ab 的步骤补充完整：要证 a2＋b2 2 2 ≥ ab ，只需证 a ＋ b ≥2ab ，也就是证 ________ ，即证 2 ________，由于________显然成立，因此原不等式成立．
解析： a2＋b2 a2＋b2 用分析法证明 2 ≥ab 的步骤为：要证 2
2．分析法的框图表示 得到一个明显 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 成立的条件
2．应用分析法证明问题的模式
用分析法证明命题“若P，则Q”时的模式如下：
为了证明命题Q为真， 只需证明命题P1为真，从而有…
只需证明命题P2为真，从而有…
… 只需证明命题P为真，而已知P为真，故Q必为真．
2．综合法的框图表示 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
已知条件 、 已 有 的 _________ 定义 定理 (P 表 示 __________ 、 __________ 、 公理 所要证明的结论 __________ 等，Q表示________________)
1．综合法证明问题的步骤
由于 3＋2 2>0,2＋ 7>0， 只需证明( 3＋2 2)2<(2＋ 7)2， 展开得 11＋4 6<11＋4 7，只需证明 6<7， 显然 6<7 成立． ∴ 3＋2 2<2＋ 7成立．
[问题1] 本题证明从哪里开始？ [提示1] 从结论开始．
[问题2] 证题思路是什么？
[提示2] 寻求上一步成立的充分条件．