2017年春季学期新版新人教版八年级数学下学期18.2.3、正方形同步练习5

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！人教版数学八年级下册《18．2．3正方形》单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是A．四条边相等B．对角线相等C．对角相等D．对角线互相垂直2．下列判断中正确的是A．四边相等的四边形是正方形B．四角相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形3．如图，正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为A．B．C．D．不能确定(3)(4)4．如图，将一边长为的正方形纸片的顶点折叠至边上的点，使，折痕为，则的长为A．B．C．D．5．下列是关于某个四边形的三个结论：它的对角线相等；它是一个正方形；它是一个矩形．下列推理过程正确的是A ．由推出，由推出B ．由推出，由推出C ．由推出，由推出D ．由推出，由推出6．如图，在正方形中，点、分别在、上，且，连接、相交于点，则下列结论不正确的是A ．B ．C ．D ．(6)(7)7．如图，在矩形内有一点，与分别平分和，点为矩形外一点，连接，现添加下列条件：，；，；，；，，其中能判定四边形是正方形的共有A ．个B ．个C ．个D ．个8．有一边长为的正方形纸片，先将正方形对折，设折痕为如下图，再沿过点的折痕将角翻折，使得点落在的上如下图，折痕交于点，则的长度为A ．B ．C ．D ．9．如图，正方形中，点在上，，，垂足分别为、，，则的长为A ．B ．C ．D ．10．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为A ．B ．C ．D ．(9)(10)二、填空题11．为正方形对角线上一点，且，则_______度．12．如图，在正方形中，点为上一点，与交于点，若，则_______．13．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，则的度数为______．(13)(14)14．如图，边长分别是和的两个正方形和并排放在一起，连接并延长交于点，交于点，则的长度为_________15．如图，正方形纸片的边长为，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为______．三、解答题16．如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．求证：≌；若，求的度数．17．如图，正方形的对角线、相交于点，是上一点，连接过点作，垂足为，与相交于点求证：．18．如图，是正方形，是边上任意一点，连接，作，，垂足分别为，求证：．19．已知：如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，分别是边，上的点，且．求证：．20．如图，在正方形中，点，分别在，上，且．试探索线段，的大小关系，写出你的结论并说明理由；连接，，分别取，，，的中点，，，，顺次连接，得到四边形：请在图中补全图形；四边形是什么特殊平行四边形？请说明理由．参考答案一、选择题1-10二、填空题11．12．13．14．15．三、解答题16．证明：四边形是正方形，，，，在和中，，≌；≌，，又，，，，，．17．证明：四边形是正方形．，．又，，．≌．．18．证明：四边形是正方形，，，，，，，，在和中，≌，，，，，．19．解：四边形为正方形，，，，，即，，≌，．20．解：．四边形是正方形，，，又，≌．．画出图形如下图所示：四边形是正方形．理由如下：，，，分别是，，，的中点，，．，．四边形是菱形．≌，．，．．又，，．四边形是正方形．。

正方形一、单选题1．下列命题正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线垂直的四边形是菱形C ．对角线互相垂直平分的四边形是矩形D ．对角线相等的菱形是正方形2．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个正方形，剪口与折痕所成的角的大小等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE=DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论：（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF ；（3）AO=OE ；（4）AOB DEOF S S 四边形∆=中正确的有 A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个4．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D ′的坐标是（ ）A ．（2，10）B ．（﹣2，0）C ．（2，10）或（﹣2，0）D ．（10，2）或（﹣2，0）5．如图，正方形ABCD 的边长为，对角线AC 、BD 相交于点O ，将AC 向两个方向延长，分别至点E 和点F ，且AE ＝CF ＝3，则四边形BEDF 的周长为( )A ．20B ．24C ．D ．6．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，P 为对角线BD 上的一个动点，则下列线段的长等于AP EP 最小值的是（ ）A ．AB B ．DEC ．BD D ．AF7．如图，在正方形ABCD 中，AD=5，点E 、F 是正方形ABCD 内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF 的长为（ ）A ．32BC ．75 D8．如图所示，正方形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上两点，连接BE ，BF ，DE ，DF ，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF 是菱形（ ）A ．∠1＝∠2B ．BE ＝DFC ．∠EDF ＝60°D ．AB ＝AF9．如图，在长方形ABCD 中，E ，G 分别为AB ，CD 边上的点，F 为BC 的中点，且1BE =，CG 4=，4BC =，EF FG ⊥，则EG 的长为（ ）A ．5B ．10C ．25D ．2010．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则下列说法正确的是( )A ．若四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 相等B ．若四边形EFGH 是正方形，则AC 与BD 互相垂直且相等C ．若AC ＝BD ，则四边形EFGH 是矩形D ．若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是菱形11．如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN ，EF ，M ，N ，E ，F 分别在边AB ，CD ，AD ，BC 上．小明认为：若MN ＝EF ，则MN ⊥EF ；小亮认为：若MN ⊥EF ，则MN ＝EF ，你认为( )A ．仅小明对B ．仅小亮对C ．两人都对D ．两人都不对 12．如图，正方形ABCD 中，AB=6，点E 在边CD 上，且CD=3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG=GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC =3．其中正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13．如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，则∠AED的度数为_________．14．如图，在正方形ABCD中，延长BC到点E，使CE＝AC，则∠BAE＝_____．15．如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE＝15°，则CE＝_____．16．已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．E、F分别是边AD、CD 上的点，若AE＝4cm，CF＝3cm，且OE⊥OF，则EF的长为_____cm．17．由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的边长为1，则图中阴影部分的面积为____．18．如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于_______．19．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是______．20．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF 交AD于点H，那么DH的长是______．三、解答题21．如图，正方形ABCD内的△BEC为正三角形，求∠DEA的度数．22．如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．23．已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．24．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上两点，BE交AF于点G，且DE=CF．（1）写出BE与AF之间的关系，并证明你的结论；（2）如图2，若AB=2，点E为AD的中点，连接GD，试证明GD是∠EGF的角平分线，并求出GD的长．25．数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，的正方形ABCD与边长为AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上.(1)小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由.(2)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长.26．已知：▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DP∥OC且DP＝OC，连接CP．得到四边形CODP．（1）如图（1），在▱ABCD中，若∠ABC＝90°，判断四边形CODP的形状，并证明；（2）如图（2），在▱ABCD中，若AB＝AD，判断四边形CODP的形状，并证明；（3）如图（3），在▱ABCD中，若∠ABC＝90°，且AB＝AD，判断四边形CODP的形状，不需证明．答案1．D 2．B 3．B 4．C 5．D 6．D 7．D 8．B9．A 10．B 11．C 12．C13．150 14．67.5°15．416．5 17．181920．21．150°．22．证明见解析.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°，AD∥BC，∴∠EAF=∠BMA，∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°=∠B，在△ABM和△EFA中，∵EAF BMAAFE BAE AM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△EFA（AAS），∴AB=EF．23．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=90°．∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠BCD=∠DCE=90°．又∵CG=CE，∴△BCG≌△DCE．（2）解：四边形E′BGD是平行四边形．理由如下：∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE=AE′．∵CE=CG，∴CG=AE′．∵四边形ABCD是正方形，∴BE′∥DG，AB=CD．∴AB﹣AE′=CD﹣CG．即BE′=DG．∴四边形E′BGD是平行四边形．24．解：（1）BE=AF，BE⊥AF，理由：四边形ABCD是正方形，∴BA=AD=CD，∠BAE=∠D=90°，∵DE=CF，∴AE=DE，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE=AF，∠ABE=∠DAF，∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠DAE+∠AEB=90°，∴∠BGA=90°，∴BE⊥AF；（2）如图2，过点D作DN⊥AF于N，DM⊥BE交BE的延长线于M，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，∵S△ADF=12AD×FD=12AD×DN，∴，∵△BAE≌△ADF，∴S△BAE=S△ADF，∵BE=AF，∴AG=DN，又∵∠AGE=∠DME，∠AEG=∠DEM ∴△AEG≌△DEM（AAS），∴AG=DM，∴DN=DM，∵DM⊥BE，DN⊥AF，∴GD平分∠MGN，∴∠DGN=12∠MGN=45°，∴△DGN是等腰直角三角形，∴．25．(1)Q四边形ABCD与四边形AEFG是正方形∴AD＝AB,∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE∴△ADG≌△ABE∴∠AGD＝∠AEB如图1，延长EB交DG于点HQ△ADG中∠AGD＋∠ADG＝90°∴∠AEB＋∠ADG＝90°Q△DEH中, ∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°∴∠DHE＝90°∴DG BE(2)Q四边形ABCD与四边形AEFG是正方形∴AD＝AB, ∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE∴∠DAB＋∠BAG＝∠GAE＋∠BAG∴∠DAG＝∠BAEQ AD＝AB, ∠DAG＝∠BAE,AG＝AE∴△ADG≌△ABE(SAS)∴DG＝BE如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M, ∠AMD＝∠AMG＝90°Q BD是正方形ABCD的对角线∴∠MDA＝∠MDA＝∠MAB＝45°, BD＝2∴AM＝12BD＝1在Rt△AMG中，∵222AM GM AG＋＝∴GM＝2∵DG＝DM＋GM＝1＋2＝3∴BE＝DG＝326．（1）四边形CODP是菱形，证明：∵DP∥OC，DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，▱ABCD中，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴OD=OC，∴四边形CODP是菱形；（2）四边形CODP是矩形，证明：▱ABCD中，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴∠DOC=90°，∴四边形CODP是矩形；（3）四边形CODP是正方形，证明：∵▱ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD，∴四边形ABCD是正方形，∴∠DOC=90°，OD=OC，∴四边形CODP是正方形．。

人教版数学八年级下册《18．2．3 正方形》单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是()A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形2．小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题．从下列四个条件:①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD．中选两个作为补充条件, 使▱ABCD为正方形（如图）,现有下列四种选法,你认为其中错误的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④3．已知正方形的边长为2cm，则其对角线长是（）A．4cm B．8cm C．2cm D．22cm4．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE=CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．顶点为A（6，6），B（－4，3），C（－1，－7），D（9，－4）的正方形在第一象限的面积是（）A．25 B．36 C．49 D．306．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）A．4个B．6个C．8个D．10个7．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22．5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．1 B． 2 C．4﹣2 2 D．32﹣48．如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M,得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2,则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4 2 B．42+4 C．8﹣4 2 D．2+1二、填空题9．在正方形ABCD中，对角线AC=2cm，那么正方形ABCD的面积为．10．若正方形的面积是9，则它的对角线长是．11．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是____度．12．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为．13．如图，ABCD是一张边长为4cm的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将A 角翻折，使得点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，则EG=______cm．14．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为3，则HD的长为．三、解答题15．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM 的中点．(1)求证：△ABM≌△DCM；(2)填空：当AB∶AD= 时，四边形MENF是正方形，并说明理由．16．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分别是求M、N （1）求证：AE=MN；（2）若AE=2，∠DAE=30°，求正方形的边长．17．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE=OF．18．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．(1)求证：△BCP≌△DCP；(2)求证：∠DPE=∠ABC；(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC=58°，则∠DPE=________°．参考答案1．D 2．B 3．D 4．C 5．B 6．C 7．C 8．A9．210．311．22.5；12．5．13．43﹣6．14．3﹣1．15．解：(1)由SAS 可证(2)理由：∵AB ∶AD=1∶2，∴AB=12AD ， ∵AM=12AD ， ∴AB=AM ，∴∠ABM=∠AMB ，∵∠A=90°，∴∠AMB=45°，∵△ABM ≌△DCM ，∴BM=CM ，∠DMC=∠AMB=45°，∴∠BMC=90°，∵E ，F ，N 分别是BM ，CM ，BC 的中点，∴EN ∥CM ，FN ∥BM ，EM=MF ，∴四边形MENF 是菱形，∵∠BMC=90°，∴菱形MENF 是正方形16．（1）证明：连接EC ．∵四边形ABCD 是正方形，EM ⊥BC ，EN ⊥CD ，∴∠NCM=∠CME=∠CNE=90°，∴四边形EMCN 为矩形．∴MN=CE ．又∵BD 为正方形ABCD 的对角线，∴∠ABE=∠CBE ．在△ABE 和△CBE 中∵，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴AE=EC．∴AE=MN．（2）解：过点E作EF⊥AD于点F，∵AE=2，∠DAE=30°，∴EF=AE=1，AF=AE•cos30°=2×=．∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠EDF=45°，∴DF=EF=1，∴AD=AF+DF=+1，即正方形的边长为+1．17．证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，∴∠MEA=∠AFO．∴△BOE≌△AOF(AAS)．∴OE=OF．18．(1)证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．在△BCP和△DCP中，∴△BCP≌△DCP(SAS)．(2)证明：如图，由(1)知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP=∠CDP．∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∴∠CDP=∠E．又∵∠1=∠2(对顶角相等)，∴180°－∠1－∠CDP=180°－∠2－∠E，即∠DPE=∠DCE．∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DPE=∠ABC．（3）58．。

F A C 特殊的平行四边形班级 姓名1. 下列说法错误的是（ ）Ａ．两条对角线相等的菱形是正方形Ｂ．两条对角线相等且垂直平分的四边形是正方形Ｃ．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形Ｄ．两条对角线垂直的矩形是正方形2．四个内角都相等的四边形一定是（ ）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．平行四边形3.已知在□ABCD 中，∠A=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）A ．∠D=90° B.AB=CD C. AD=BC D. BC=CD4.四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）A. OA=OB=OC=OD ，AC ⊥BDB. AB ∥CD ，AC=BDC. AD ∥BC ，∠A=∠CD. OA=OC ，OB=OD ，AB=BC5. 顺次连结矩形的各边中点，所得的四边形一定是（ ）Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．梯形6.如图，过矩形ABCD 的四个顶点作对角线AC 、BD 的平行线，分别相交于E 、F 、G 、H 四点，则四边形EFGH 为（ ） A.平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D. 正方形7. 用两个全等的直角三角形拼成下列图形：平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形．其中一定能拼成的图形是（ ）． A ．①④⑤ B ．②⑤⑥ C ．①②③ D ．①②⑤8.能使平行四边形A B C D 为正方形的两个条件是 ________ ____________________________________________ ．（最少填三组）9.如图正方形ABCD 的边长为8，DM =2，N 为AC 上一点，则DN +MN 的最小值为 .10.如图，正方形ABCD 边长为2，两对角线交点为O ，OEFG 也为正方形，则图中阴影部分面积为 .11.如图，若四边形ABCD 是正方形，△CDE 是等边三角形，则∠EAB 的度数为 ．12. 如图，已知正方形ABCD 的面积为F AD 上，点E 在AB 的延长线上，Rt △CEF 的面积为200，则BE 的值是 . 13. 如图所示，在Rt ΔABC 中，∠C∠A 、∠B 的平分线交于点D ，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，试说明四边形正方形。

18.2.3正方形课后练习题一、选择题1．下列说法正确的是（）A．平行四边形的对角线互相平分且相等B．矩形的对角线相等且互相平分C．菱形的对角线互相垂直且相等D．正方形的对角线是正方形的对称轴2．如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边CD、AD上,BE与CF交于点G．若BC＝8,DE＝AF＝2,则FG的长为（）A．B．C．D．3．如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为AB,AD的中点,CE,BF相交于点G,AB＝2,则CG＝（）A．B．C．D．4．如图,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE＝22.5°,EF⊥AB,垂足为F,则EF 的长为（）A．4﹣2B．3﹣4 C．1 D．5．如图,有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD,将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点,两条直角边分别与CD交于点F,与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是（）A ．13B ．14C ．15D ．166．如图,正方形ABCD 的边长为6,将正方形折叠,使顶点D 落在BC 边上的点E 处,折痕为GH ,若BE ：EC =2：1,则线段CH 的长是（ ）A ．B ．C ．3D ．3.57．如图,正方形ABCD 的边长为2,E 是BC 的中点,点P 是AC 边上的一个动点,连结BP ,EP ,则BP ＋EP 的最小值为（ ）AB C D ＋18．如图,正方形ABCD 的边长为1,取AB 中点E ,取BC 中点F ,连接DE ,AF ,DE 与AF 交于点O ．连接OC ,则OC ＝（ ）52835322A ．1B ．C ．D ．9．如图,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 、BD 的交点,△DCE 为Rt △,∠CED ＝90°,OE ＝2,若CE •DE ＝4,则正方形的面积为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．如图,正方形ABCD ,对角线,AC BD 相交于点O,过点D 作ODC ∠的角平分线交OC 于点G,过点C 作CF DG ⊥,垂足为F,交BD 于点E,则:ADG BCE S S 的比为（ ）A ．21):1B ．(221):1C ．2∶1D ．5∶2二、填空题11．顺次连接四边形ABCD 各边中点E 、F 、G 、H ,得到四边形EFGH ,只要添加___条件,就能保证四边形EFGH 是矩形．12．如图,正方形ABCD 和正方形CEFG 中,点D 在CG 上,AD DG ＝,H 是AF 的中点,那么CH 的长是_____．2213．正方形ABCD 的边长为4,则图中阴影部分的面积为 _____．14．如图,在正方形ABCD 中,AB ＝4,E 为对角线AC 上与A ,C 不重合的一个动点,过点E 作EF ∶AB 于点F ,EG ∶BC 于点G ,连接DE ,FG ,下列结论：∶DE ＝FG ；∶DE ∶FG ；∶∶BFG ＝∶ADE ；∶FG 的最小值为3．其中正确结论的序号为__．15．如图,E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点,对角线AC 、BD 的长分别为7和9,则四边形EFGH 的周长是______．三、解答题16．已知：如图,在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,CD 是ABC 的角平分线,DE BC ⊥,DF AC ⊥,垂足分別为E 、F ．求证：四边形CEDF 是正方形．17．如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,连接AE ,过点B 作射线BM 交CD 于点F , 交AE 于点O,且BF ⊥AE ．(1)求证：BF ＝AE ；(2)连接OD ,猜想OD 与AB 的数量关系,并证明．18．如图,点P （3m -1,-2m +4）在第一象限的角平分线OC 上,AP ⊥BP ,点A 在x 轴正半轴上,点B 在y 轴正半轴上．(1)求点P 的坐标．(2)当∠APB 绕点P 旋转时,①OA +OB 的值是否发生变化？若变化,求出其变化范围；若不变,求出这个定值． ②请求出OA 2+OB 2的最小值．19．如图,Rt △ABC 中,,CD 是斜边AB 上的中线,分别过点A ,C 作,,两线交于点E ．90ACB ∠=︒AE DC ∥CE AB ∥(1)求证：四边形AECD 是菱形；(2)若∠B ＝45°,CD ＝2,求四边形AECD 的面积．20．如图,在ABC 中,90ACB ∠=︒,B A ∠>∠,点D 为边AB 的中点,//DE BC 交AC 于点E ,//CF AB 交DE 的延长线于点F ．（1）求证：DE EF =；（2）当Rt ABC 满足什么条件时,四边形ADCF 是正方形？请证明你的结论．21．提出问题：（1）如图1,已知在锐角ABC 中,分别以AB 、AC 为边向ABC 外作等腰直角ABD △和等腰直角ACE ,连接BE 、CD ,则线段BE 与线段CD 的数量关系是 ； （2）如图2,在ABC 中,90ACB ∠=︒,分别以边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ,连接CE ,BG ,EG ．猜想线段CE 与线段BG 的有什么关系？并说明理由．（提示：正方形的各边都相等,各角均为90︒）（3）在（2）的条件下,探究ABC 与AEG △面积是否相等？说明理由．【参考答案】1．B 2．A 3．D 4．A 5．D 6．B 7．A 8．A 9．D 10．D11．AC BD⊥1213．814．∶∶∶15．1616．证明：∶CD平分ACB∠,DE BC⊥,DF AC⊥,∶DE DF=,90DFC∠=︒,90DEC∠=︒,又∶90ACB∠=︒,∶四边形DECF是矩形,∶DE DF=,∶矩形DECF是正方形．17．(1)证明：在正方形ABCD中,∶ABC=∶C=90°,AB=BC,∶∶BAE+∶AEB=90°,∶BF∶AE,∶∶EOB=90°,∶∶CBF+∶AEB=90°,∶∶BAE=∶CBF,∶∶ABE∶∶BCF,∶BF=AE；(2)解：OD=AB,理由如下：如图,延长AD交射线BM于点G,由（1）得：∶ABE∶∶BCF,∶BE=CF,∶E是BC的中点,∶,∶CF=DF,∶AD∶BC,∶∶DGF=∶CBF,101122CF BE BC CD===在∶DGF 和∶CBF 中,∶∶DGF =∶CBF ,∶DFG =∶BFC ,DF =CF ,∶∶DGF ∶∶CBF ,∶DG =BC ,∶DG =AD ,即OD 为∶AOG 的中线,∶BF ∶AE ,∶． 18．(1)解：∶点P （3m -1,-2m +4）在第一象限的角平分线OC 上, ∶3m -1=-2m +4,∶m =1,∶P （2,2）；(2)∶过点P 作PM ∶y 轴于M ,PN ∶OA 于N ．∶∶PMO =∶PNO =∶MON =90°,∶四边形OMPN 是矩形,∶OP 平分∶MON ,PM ∶OM ,PN ∶ON ,∶PM =PN ,∶四边形OMPN 是正方形,∶P （2,2）,∶PM =PN =OM =ON =2,∶AP ∶BP ,∶∶APB =∶MPN =90°,∶∶MPB +∶BPN =∶BPN +∶NP A =90°,∶∶MPB =∶NP A ,在△PMB 和△PNA 中,, ∶∶PMB ∶∶PNA （ASA ）,∶BM =AN ,∶OB +OA =OM -BM +ON +AN =2OM =4．12OD AG AD AB ===MPB NPA PM PN PMB PNA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∶连接AB ,∶∶AOB =90°,∶OA 2+OB 2=AB 2．∶∶BP A =90°,∶AB 2=P A 2+PB 2=2P A 2,∶OA 2+OB 2=2P A 2,当P A 最小时,OA 2+OB 2也最小．根据垂线段最短原理,P A 最小值为2．∶OA 2+OB 2的最小值为8．19．(1)证明：∶AE∥DC ,CE∥AB ,∶四边形AECD 是平行四边形,∶Rt∶ABC 中,,CD 是斜边AB 上的中线, ∶CD =AD ,∶四边形AECD 是菱形．(2)解：∶Rt∶ABC 中,,CD 是斜边AB 上的中线, ∶CD =AD=DB=2,∶∶B =∶BCD =45°,∶∶CDA =∶B +∶BCD =90°,∶四边形AECD 是正方形,∶ S 正方形AECD = CD 2=4．21．解：（1）如图（1）所示：∵点(),0B b ,()0,D d ,∴OB b =,OD d =,∵四边形OBCD 是矩形, 90ACB ∠=︒90ACB ∠=︒∴CD OB b ==,BC OD d ==,∴点(),C b d ；（2）如图（2）所示：∵四边形ABCD 是菱形,∴OA OC =,OB OD =,∵点(),0C c ,()0,D d ,∴OA OC c ==,OB OD d ==,∴点(),0A c -,点()0,B d -；（3）如图（3）所示：∵四边形OBCD 是正方形,∴OB BC CD OD ===,∵点()0,D d ,∴OD d =,∴OB BC CD d ===,∴点(),0B d ,点(),C d d ．23．解：（1）∶∶ABD 和∶ACE 都是等腰直角三角形, ∶AB ＝AD ,AC ＝AE ,∶DAB ＝∶CAE ＝90°, ∶∶DAC ＝∶BAE ,∶∶ADC ∶∶ABE （SAS ）,∶BE ＝CD ,故答案为： BE CD =；（2）CE BG =,CE BG ⊥；理由如下： 如图,设AB 与CE 的交点为P ,∶四边形ACFG 和四边形ABDE 是正方形, ∶AB ＝AE ,AC ＝AG ,∶EAB ＝∶GAC ＝90°,, EAB BAC GAC BAC ∴∠+∠=∠+∠,EAC BAG ∴∠=∠,在EAC ∆和BAG ∆中,EA BA EAC BAG AC AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()EAC BAG SAS ∴∆≅∆,CE BG ∴=,AEC ABG ∠=,90AEC APE ∠+∠=︒,APE BPC ∠=∠, 90BPC ABG ∴∠+∠=︒,CE BG ∴⊥；即：CE BG =,CE BG ⊥；（3）如图,过点E 作EH AG ⊥交GA 延长线于H ；90EHA BCA ∴∠=∠︒=∠,90EAH BAH ∠+∠=︒,90BAC BAH ∠+∠=︒, EAH BAC ∴∠=∠,在EHA ∆和BCA ∆中,EHA BCA EAH BAC AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, EHA BCA ∴∆≅∆,EH BC ∴=,AC AG =1122ABC S AC BC AC EH ∆∴=⨯=⨯, 1122AGE S AG EH AC EH ∆=⨯=⨯ ABC AGE S S ∆∆∴=。

第十八章平行四边形18.2.3 正方形一、选择题1、正方形具有而矩形不一定具有的特征是( )A．四个角都是直角B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线相等2、四边形ABCD的对角线AC = BD，且AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，则所构成的四边形是（）.A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形3、下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形4、如图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是( )A.3：4B.5：8C.9：16D.1：25、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF∠AB，垂足为F，则EF的长为（）A.1B.C. D.二、填空题6、如图，ABCD是正方形，E是CF上一点，若DBEF是菱形，则∠EBC=________．第6题图第7题图7、如图，已知正方形ABCD的边长为10，点P是对角线BD上的一个动点，M、N分别是BC、CD边上的中点，则PM＋PN的最小值是___________．8、如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为，线段O1O2的长为．9、正方形边长为a，若以此正方形的对角线为一边作正方形，则所作正方形的对角线长为.10、如图，在Rt△ABC中，△C=90°，DE垂直平分AC，DF△BC，当△ABC满足条件AC=BC时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）三、解答题11、如图，E是正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，求∠AEB的度数。

12、如右图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：DE=DF．（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）13、已知：如图，△ABC中，△ABC=90°，BD是△ABC的平分线，DE△AB于点E，DF△BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．14、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D 为AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECD 是正方形？请说明你的理由．15、如右图，要把边长为1的正方形ABCD 的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A 1B 1C 1D 1，试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的59，请说明理由.16、如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（8，8），将正方形ABCO绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连CH 、CG ．（1）求证：∠CBG∠∠CDG ；（2）求∠HCG 的度数；判断线段HG 、OH 、BG 的数量关系，并说明理由； （3）连结BD 、DA 、AE 、EB 得到四边形AEBD ，在旋转过程中，四边形AEBD 能否为矩形？如果能，请求出点H 的坐标；如果不能，请说明理由．参考答案：一、1、C 2、D 3、B 4、B 5、C 二、6、7、10、 8、1ab 49、2a10、考点： 正方形的判定． 专题： 计算题；开放型．分析：由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF 是正方形推出．解答：解：设AC=BC ，即△ABC 为等腰直角三角形，△△C=90°，DE 垂直平分AC ，DF △BC ， △△C=△CED=△EDF=△DFC=90°， DF=AC=CE ，DE=BC=CF ，11A1A 图3-21△DF=CE=DE=CF，△四边形DECF是正方形，故答案为：AC=BC．点评：此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形DECF是正方形推出△ABC满足的条件．三、11、∵△ADE中，AE＝AD，∠ADE＝75°，∴∠AED＝75°（等边对等角）∴∠EAD＝180°－75°×2＝30°又∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴△ABE中，AB＝AE，∠BAE＝120°∴∠AEB＝°°°12、（1）提示：证△DEB≌△DFC，（2）∠A=900167，四边形AFDE是平行四边形等（方法很多）13、考点：正方形的判定．专题：证明题．分析：由DE△AB，DF△BC，△ABC=90°，先证明四边形DEBF是矩形，再由BD是△ABC 的平分线，DE△AB于点E，DF△BC于点F得出DE=DF判定四边形DEBF是正方形．解答：解：△DE△AB，DF△BC，△△DEB=△DFB=90°，又△△ABC=90°，△四边形BEDF为矩形，△BD是△ABC的平分线，且DE△AB，DF△BC，△DE=DF，△矩形BEDF为正方形．点评：本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．14、（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴▱四边形BECD是菱形；（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．15、提示：AA1 = BB1 = CC1 = DD1 =13（或=23）.16、（1）∠正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF，∠CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°．在Rt∠CDG和Rt∠CBG中，，∠∠CDG∠∠CBG（HL）1 (180 2120-)30=（2）解：∠∠CDG∠∠CBG，∠∠DCG=∠BCG，DG=BG．在Rt∠CHO和Rt∠CHD中，∠ ，∠∠CHO∠∠CHD（HL），∠∠OCH=∠DCH，OH=DH，∠∠HCG=∠HCD+∠GCD= ∠OCD+ ∠DCB= ∠OCB=45°，∠HG=HD+DG=HO+BG（3）解：四边形AEBD可为矩形．如图，连接BD、DA、AE、EB，四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G为AB 中点的时候．∠DG=BG，∠DG=AG=EG=BG，即平行四边形AEBD对角线相等，则其为矩形，∠当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形．∠四边形DAEB为矩形，∠AG=EG=BG=DG．∠AB=6，∠AG=BG=3．设H点的坐标为（x，0），则HO=x∠OH=DH，BG=DG，∠HD=x，DG=3．在Rt∠HGA中，∠HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x，∠（x+3）2=32+（6﹣x）2，解得x=2．∠H点的坐标为（2，0）．。

人教版数学 八年级下册18.2.3正方形（含答案）一、单选题（共有8道小题）1.下列判断中正确的是（ ）A ．四边相等的四边形是正方形B ．四角相等的四边形是正方形C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形2.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线平行D ．对角线互相垂直3.以下命题是真命题的是（ ）A. 梯形是轴对称图形B. 对角线相等的四边形是矩形C. 四边相等的四边形是正方形D. 有两条相互垂直的对称轴的四边形是菱形4.下列命题是真命题的是（ ）A ．四条边都相等的四边形是矩形B ．菱形的对角形相等C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D ．对角线相等的梯形是等腰梯形5.下列命题中，假命题是（ ）A ．矩形的对角线相等B ．有两个角相等的梯形是等腰梯形C ．对角线互相垂直的矩形是正方形D ．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半6.下列判断正确的有（ ）①顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形的各边中点一定构成正方形②中心投影的投影线彼此平行③在周长为定值p 的扇形中，当半径为4p 时扇形的面积最大 ④相等的角是对顶角的逆命题是直命题A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且∠BAE ＝22.5°,EF ⊥AB,垂足为F,则EF 的长为（ ）A.1B.2C.422-D.324-8.在□ABCD 中，AB=10，BC=14，E 、F 分别为边BC 、AD 上的点。

若四边形AECF 为正方形，则AE 的长为（ ）F E D A B CA.7B.4或10C.5或9D.6或8二、填空题（共有6道小题）9.对角线长为2的正方形，边长是10.已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE=AD ，过点E 作AC 的垂线，交CD 于点F ，那么∠FAD= 度。

人教版数学八年级下册同步训练：18.2.3《正方形》一、选择题1.如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A. 12B. 13C. 26D. 302.如图所示，E．F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，错误的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD 于G，下列有四个结论：①AF＝FH，②∠HAE＝45°，③BD＝2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④4.一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（）A. 4B. 6C. 10D. 125.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（）A. 75°B. 60°C. 54°D. 67.5°6.在平面直角坐标系中，称横．纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（）A. 13B. 21C. 17D. 257.在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（）A. 4条B. 8条C. 12条D. 16条8.如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD中点，P为CE中点，F为BP中点，则F到BD的距离等于（）A. B. C. D.9.搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD．AN．CM将正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中点，N是BC的中点，AN与CM交于O点．已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的△CON的面积为（）A. 96cm2B. 48cm2C. 24cm2D. 以上都不对10.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE＝BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM＋PN＝（）A. 1B.C.D. 1＋11.顶点为A（6，6），B（－4，3），C（－1，－7），D（9，－4）的正方形在第一象限的面积是（）A. 25B. 36C. 49D. 3012.ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为（）A. B. C. D.13.如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC＋PE的和最小，则这个最小值为（）A. 4B. 2C. 2D. 214.如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝()A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm15.如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为()A. 14B. 15C. 16D. 17二、填空题16.如图所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是________cm2．17.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC 边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE＝FP，则P点坐标为________．18.如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为________，线段O1O2的长为________．19.已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为________和________．（只写一组）20.如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有________个．三、解答题21.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．（1）求证：；（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E⊥A1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当A1E1＝6，C1E1＝4时，求BD的长22.已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE ＝BF．23.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，则∠EAF为多少度．24.如图，正方形ABCD中，AB＝，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15度．（1）求证：DF＋BE＝EF；（2）求∠EFC的度数；（3）求△AEF的面积．25.已知正方形ABCD的边长为4cm，E，F分别为边DC，BC上的点，BF＝1cm，CE＝2cm，BE，DF相交于点G，求四边形CEGF的面积．答案解析部分一、选择题1.【答案】C【解析】解答：解：设AB＝3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；斜边长为的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对．故选C分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．本题考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性质，解题的关键是记熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏2.【答案】A【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD∵CE＝DF∴DE＝AF∴△ADE≌△BAF∴①AE＝BF，S△ADE＝S△BAF，∠DEA＝∠AFB，∠EAD＝∠FBA∴④S△AOB＝S四边形DEOF∵∠ABF＋∠AFB＝∠DAE＋∠DEA＝90°∴∠AFB＋∠EAF＝90°∴②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO＝OE．故选A【分析】根据四边形ABCD是正方形及CE＝DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE＝BF，以及△ADE 和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB＝S四边形DEOF；可以证出∠ABO＋∠BAO＝90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO＝OE．本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质3.【答案】D【解析】解答：解：①连接FC，延长HF交AD于点L，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDF＝45°．∵AD＝CD，DF＝DF，∴△ADF≌△CDF．∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．∵∠ALH＋∠LAF＝90°，∴∠LHC＋∠DAF＝90°．∵∠ECF＝∠DAF，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC．∴FH＝AF．②∵FH⊥AE，FH＝AF，∴∠HAE＝45°．③连接AC交BD于点O，可知：BD＝2OA，∵∠AFO＋∠GFH＝∠GHF＋∠GFH，∴∠AFO＝∠GHF．∵AF＝HF，∠AOF＝∠FGH＝90°，∴△AOF≌△FGH．∴OA＝GF．∵BD＝2OA，∴BD＝2FG．④延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则：LI＝HC，根据△MEC≌△MIC，可得：CE＝IM，同理，可得：AL＝HE，∴HE＋HC＋EC＝AL＋LI＋IM＝AM＝8．∴△CEM的周长为8，为定值．故（1）（2）（3）（4）结论都正确．故选D．分析：①作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF＝CF，故需证明FC＝FH，可证：AF＝FH；②由FH⊥AE，AF＝FH，可得：∠HAE＝45°；③作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD＝2FG，只需证OA＝GF即可，根据△AOF≌△FGH，可证OA ＝GF，故可证BD＝2FG；（4）作辅助线，延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则IL＝HC，可证AL＝HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CI＝IM，故△CEM的周长为边AM的长，为定值解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等4.【答案】D【解析】【解答】解：∵卡片的边长为1.5，∴卡片的对角线长为2＜＜3，且小方格的对角线长＜1.5．故该卡片可以按照如图所示放置：图示为n取最大值的时候，n＝12．故选D【分析】要n取最大值，就让边长为1.5的正方形卡片边与小方格的边成一定角度．本题考查的是已知正方形边长正方形对角线长的计算，旋转正方形卡片并且找到合适的位置使得n为最大值，是解题的关键5.【答案】B【解析】【解答】解：如图，连接BD，∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，∴∠EBC=∠BEC= （180°﹣∠BCE）=15°∵∠BCM= ∠BCD=45°，∴∠BMC=180°﹣（∠BCM+∠EBC）=120°，∴∠AMB=180°﹣∠BMC=60°∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，∴∠AMD=∠AMB=60°故选B．【分析】连接BD，根据BD，AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线，所以∠AMD=AMB，要求∠AMD，求∠AMB即可．6.【答案】D【解析】【解答】正方形边上的整点为（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（4，1）、（5，2）、（1，4）、（2，5）、（3，6）；在其内的整点有（1，3）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（5，3）．故选D【分析】根据正方形边长的计算，计算出边长上的整点，并且根据边长的坐标找出在正方形范围内的整点．本题考查的是正方形四条边上整点的计算，找到每条边上整点变化的规律是解本题的关键7.【答案】D【解析】【解答】解：符合题目要求的一共16条直线，下图虚线所示直线均符合题目要求．【分析】根据正方形的性质，一个值为另一个值的3倍，所以本题需要分类讨论，①该直线切割正方形，确定直线的位置；②该直线在正方形外，确定直线的位置．本题考查了分类讨论计算点到直线的距离，找到直线的位置是解题的关键8.【答案】D【解析】【解答】解：连接DP，S△BDP＝S△BDC－S△DPC－S△BPC＝－×1× －×1×＝，∵F为BP的中点，∴P到BD的距离为F到BD的距离的2倍．∴S△BDP＝2S△BDF，∴S△BDF＝，设F到BD的距离为h，根据三角形面积计算公式，S△BDF＝×BD×h＝，计算得：h＝＝．故答案为：D．【分析】连接DP，根据三角形BDF的面积可求解。

18.2.3正方形1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( A )A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直平分且相等2．下列说法正确的是(C)A．有一个角是直角的四边形是正方形B．四个角都相等的四边形是正方形C．有一组邻边相等的矩形是正方形D．四条边都相等的四边形是正方形3．[2019·永嘉期末]如图18－2－47所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB＝AE，则∠EBC的度数是(C)A．45°B．30°C．22.5° D．20°【解析】∵正方形ABCD中，∠BAC＝45°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，∵∠ABE＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝22.5°.图18－2－474．如图18－2－48，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有(C)A．4个B．6个C．8个D．10个【解析】∵在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴AB＝BC＝CD ＝AD，OA＝OD＝OC＝OB，∴△ABC，△BCD，△ADC，△ABD，△AOB，△BOC，△COD，△AOD都是等腰三角形，一共8个．故选C.5．如图18－2－49，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是(D)A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是正方形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形【解析】根据DE∥AC，DF∥AB，可证明四边形AEDF是平行四边形，再根据矩形，菱形的判定方法依次分析即可做出判断．若AD⊥BC，无法判定四边形AEDF是矩形，∴A错误；若AD垂直平分BC，可以判定四边形AEDF是菱形，∴B错误；若BD＝CD，无法判定四边形AEDF是菱形，∴C错误；若AD平分∠BAC，则∠EAD＝∠F AD＝∠ADF，∴AF＝DF，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故D正确．图18－2－49图18－2－506．[2018·温州一模]七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．如图18－2－50是一个七巧板迷宫，它恰好拼成了一个正方形ABCD，其中点E，P分别是AD，CD的中点，AB＝22，一只蚂蚁从A处沿图中实线爬行到出口P 处，则它爬行的最短路径长为(B)A．3 B．2＋ 2C．4 D．3 2【解析】∵正方形ABCD中，E，P分别是AD，CD的中点，AB＝22，∴AE＝DE＝DP＝2，∠D＝90°，∴EP＝DE2＋PD2＝（2）2＋（2）2＝2，∴蚂蚁从点A处沿图中实线爬行到出口点P处，它爬行的最短路程为AE＋EP ＝2＋2.7．在▱ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下列给出的四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是__①③④__.【解析】①有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形，即①正确；②BD为平行四边形的对角线，AB为平行四边形的其中一条边，所以AB＝BD时，平行四边形不可能是正方形，即②错误；③对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，由题意OB＝OC，得AC＝BD，由OB⊥OC得AC⊥BD，即四边形ABCD为正方形，即③正确；④邻边相等的平行四边形是菱形；对角线相等的菱形是正方形．依题意在平行四边形ABCD中，由AB＝AD，得四边形ABCD为菱形，又∵AC＝BD，∴四边形ABCD为正方形，即④正确．8．[2018·舟山]如图18－2－51，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．图18－2－51证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，又∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．9．如图18－2－52，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB，ED.(1)求证：△BEC≌△DEC；(2)延长BE交AD于点F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．图18－2－52解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE＝45°.又∵EC＝EC，∴△BEC≌△DEC(SAS)；(2)∵△BEC≌△DEC，∠BED＝120°，∴∠BEC＝∠DEC＝60°，∴∠AEF＝∠BEC＝60°.又∵∠DAC＝45°，∴∠EFD＝∠DAC＋∠AEF＝45°＋60°＝105°.10．如图18－2－53，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1，若点P在对角线BD上移动，则P A＋PE的最小值是．图18－2－53第10题答图【解析】如答图，作出点E关于BD的对称点E′，E′在边BC上，连接AE′与BD 交于点P，此时AP＋PE最小，∵PE＝PE′，∴AP＋PE＝AP＋PE′＝AE′，在Rt△ABE′中，AB＝3，BE′＝BE＝1，根据勾股定理得AE′＝10，则P A＋PE的最小值为10.11．如图18－2－54为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G 在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1 500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F，若小敏行走的路程为3 100 m，则小聪行走的路程为__4__600__m.图18－2－54【解析】连接GC，由四边形ABCD为正方形可得△ADG≌△CDG，∴GC＝AG，由四边形GECF为矩形可得GC＝EF，∴EF＝AG，小敏行走的路线为B→A→G→E，∴BA＋AG＋GE＝3 100.小聪行走的路线为B→A→D→E→F，∴BA ＋AD＋DE＋EF＝BA＋1 500＋GE＋AG＝3 100＋1 500＝4 600(m)．12．如图18－2－55，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．图18－2－55第12题答图解：(1)AG 2＝GE 2＋GF 2.理由：如答图，连接GC ，由正方形的性质知AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，在△ADG 和△CDG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，GD ＝GD ，∴△ADG ≌△CDG (SAS)，∴AG ＝CG ，由题意知∠GEC ＝∠GFC ＝∠DCB ＝90°，∴四边形GFCE 是矩形，∴GF ＝EC .在Rt △GEC 中，根据勾股定理，得GC 2＝GE 2＋EC 2，∴AG 2＝GE 2＋GF 2；(2)作AH⊥BD于点H，由题意知∠AGB＝60°，∠ABG＝45°，∴△ABH为等腰直角三角形，△AGH为含30°角的直角三角形，∵AB＝1，∴AH＝BH＝22，HG＝66，∴BG＝22＋66.13．如图18－2－56①，已知E，F，G，H分别是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形：①②③图18－2－56(1)如图②，将图①中的点C移动至与点E重合的位置，F，G，H仍是BC，CD，DA的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；(2)如图③，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，A，C，B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与BC，CD，DA的中点F，G，H组成正方形CFGH；(3)在(2)条件下求出正方形CFGH的边长．解：第13题答图①(1)证明：如答图①，连接BD.∵C，H是AB，DA的中点，∴CH是△ABD的中位线，∴CH∥BD，CH＝12BD，同理FG∥BD，FG＝12BD，∴CH∥FG，CH＝FG，∴四边形CFGH是平行四边形；第13题答图②(2)如答图②所示；(3)如答图②，∵BC＝5，∴CF＝12BC＝52，即正方形CFGH的边长是5 2.。

18.2.3正方形同步习题一．选择题1．下列说法正确的是）A．有一个角是直角的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．有一组邻边相等的菱形是正方形D．各边都相等的四边形是正方形2．如图，正方形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，AE＝BF，下列结论错误的是（）A．BE＝CF B．∠AEB+∠BFC＝180°C．∠DAE＝∠BFC D．AE⊥BF3．将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为4，正方形C的边长为3，则正方形B的面积为（）A．25B．5C．16D．124．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．4：9B．2：3C．1：2D．1：5．如图，正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，DE平分∠BDC交AC于F，交BC于E．若正方形ABCD的边长为2，则OF的值为（）A．2B．﹣1C．D．26．如图，四边形ABCD和EFGH都是正方形，点E，H在AD，CD边上，点F，G在对角线AC 上若AB＝6，则EFGH的面积是（）A．6B．8C．9D．127．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点E在边BC上的延长线上，点G在CD上，若AB＝2，则线段DF的最小值为（）A．1B．C．D．28．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，EA平分∠BEF，AG⊥EF，垂足为点G．则∠EAF的度数为（）A．45°B．30°C．60°D．40°9．如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连接AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知AE＝12，则线段FG的长是（）A．2B．4C．5D．610．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AD、CD上，BE＝2，若∠EBF＝45°，连接EF，则EF的长为（）A．3B．C．D．+2二．填空题11．如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BA，则∠DCE的度数为．12．如图，正方形ABCD．延长BC到E，连接AE，若CE＝BC，则∠AEB＝．13．如图，正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，正方形的边长为4，则阴影部分面积为．14．如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，已知△ADP≌△ABP′，AB＝6，DP＝2，求PP′＝．15．如图，正方形ABCD的面积为5，正方形CEFG的面积为2，点G在线段CD上，且B、C、E三点在一条直线上，联结AC、AE，则△ACE的面积是．三．解答题16．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF．求证：△ABE≌△ADF．17．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E在CD边上，以线段CE为边长在正方形ABCD 的外部作正方形CEFG，以线段AD和DE为邻边作矩形ADEH，若S正方形CEFG＝S矩形ADEH．（1）求线段CE的长；（2）若点M为BC边的中点，连接MD，求证：MD＝MG．18．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，线段BE与AC交于点F．（1）求∠AEB和∠BFC的度数；（2）若AD＝6，求BE2的值．参考答案1．B2．B3．A4．A5．C6．B7．B8．A9．A10．B11．22.5°12．22.5°13．14．415．16．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠ADF＝90°，∴∠B＝∠ADF，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）．17．（1）3﹣3；（2）证明：∵点M为BC边的中点，∴MC＝3，在Rt△MCD中，DM＝＝3，∵MG＝MC+CG＝3+3﹣3＝3，∴MD＝MG．18．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，又∵∠BAC＝45°，∴∠BFC＝45°+15°＝60°．（2）过E作EG⊥AD，并与AB交于H，∵△ADE是等边三角形，EG⊥AD，∴AG＝GD＝3，∴GE＝3，∵四边形ABCD是正方形，∴BH＝3，∵HE＝HG+GE＝6+3，在Rt△BHE中，BE2＝．。