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21.2.2公式法(第1课时)好

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九年级数学上册 21.2.2 公式法课件 (新版)新人教版

九年级数学上册 21.2.2 公式法课件 (新版)新人教版

合作探究
2．用公式法解下列方程： (1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－x－＝0； (3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x； (5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋2x＋10＝0.
解：(1)x 1＝3，x 2＝－4；
2＋ 3
2－ 3
(2)x 1＝ 2 ，x 2＝ 2 ；
第二十一章：一元二次方程
21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法
学习目标
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了 解公式法的概念．
2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．
重点难点
重点：求根公式的推导和公式法的应用． 难点：一元二次方程求根公式的推导．
学前准备
用配方法解方程： (1)x2＋3x＋2＝0； 解：x1＝－2，x2＝－1； (2)2x2－3x＋5＝0. 解：无解．
(3)没有实数根？
解：(1)m＜
1 4
Hale Waihona Puke ；(2)m＝；14
(3)m＞ .
1 4
合作探究
3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋ mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根， ∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0. 对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1 ＝0， Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0， ∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 根((，45))也由一可求般能根地有，公式式可子个知b12实，－根一4a或元c叫者二做次方方实程程没根a最x有．2多＋有bx＋c2个 ＝实数 0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2 －4ac.

0907_21.2.2公式法(1)初中数学PPT上传带框

0907_21.2.2公式法(1)初中数学PPT上传带框
x b b2 4ac 求出方程的根；
2a
当b2 4ac 0时 ,方程无实数根.
（5）结果化成最简形式.
公式法
解：5x2 4x 1 0. a 5,b 4, c 1.
b2 4ac=36>0.
方程有两个不相等实数根
b b2 4ac
x
x1
1，x2
2a =
1 5
.
= 46. 10
配方法
5x2 4x 1.
x2 4 x 1. 55
x2 4 x ( 2)2 1 ( 2)2,
5
55 5
(x 2)2 9 . 5 25
x2 3, 55
x1
1，x2
=
1 5
.
问题4 比较两种解法，能体会出为什么学习公式法吗？
①利用配方法可以推导出求根公式，配方是推 导求根公式 的中间过程.
21.2.2公式法（1）
1.复习回顾
问题1 请同学们回顾,在前面的学习中,学过哪些解一元二次方程 的方法.
转化
直接开平方法
配方法
(x m)2 n
问题2 用配方法解方程 5x2 3x x 1.
解： 移项，得 二次项系数化为1，得 配方，得
由此可得
5x2 4x 1.
x2 4 x 1.
的根的情况：
(1)当b2 4ac 0时，方程有两个不相等实数根
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac ； 2a
(２)当b2 4ac＝0时，方程有两个相等实数根
x1
x2
b； 2a
(３)当b2 4ac 0时，方程无实数根.
可见,式子 b2 4ac决定了一元二次方程的根的情况.

人教版九年级数学上册课件：21.2.2公式法

人教版九年级数学上册课件：21.2.2公式法

21.2.2 公式法
(2)方程整理，得 x2－2 5x＋10＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝(－2 5)2－4×1×10＝－20<0，∴此方程无实数根．
(3)方程整理，得 x2＋4x－2＝0.∵a＝1，b＝4，c＝－2，
∴b2－4ac＝16＋8＝24>0，∴x＝－42±×1 24，
∴x1＝－2＋ 6，x2＝－2－ 6. (4)原方程可化为 x2－9x＋2＝0.∵a＝1，b＝－9，c＝2，
1)·(－2)＝9＋8(a－1)≥0，且 a－1≠0，即得 a≥－81且 a≠1.
21.2.2 公式法
13．已知等腰三角形的腰长为 x，周长为 20，则方程 x2－ 12x＋31＝0 的根为___6＋___5__．
【解析】由方程 x2－12x＋31＝0 得 a＝1，b＝－12，c＝31，b2－4ac＝(－12)2 12± 20
(2)方程的根为 x＝ ，即 x ＝2，x ＝k＋1.∵方程总有一个根 艰闹群垛漆除蛾多悠纷铝终锰炕毅贞绵粳压谣灸艇磁诧酱述凶妖喧朝芋疡人教版九年级数学上册课件：211.
2
2 2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
馏亥磨甩僵钾河纪灿翼大实刃昂拎赣崇捍您戌登棺秤渣肃例笆荚弗窿鼻冗人教版九年级数学上册课件：21.
2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
【解析】∵点 P(a，c)在第二象限，∴a＜0，c＞0， 第二十一章 一元二次方程
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
21.2.2 公式法
14．用公式法解下列方程：

21.2.2公式法解一元二次方程(一)

21.2.2公式法解一元二次方程(一)

21.2.2公式法解一元二次方程（1）主备人：符后丽 审核：数学备课组 课型：新授课学习目标：1、 掌握用求根公式法解一元二次方程的一般步骤，会用公式法解一元二次方程。

2、 经历求根公式的推导过程，进一步发展逻辑思维能力，体验数学的简洁美。

3、 进一步体会分类、类比、转化、降次的数学思想方法。

学习重点：公式法解一元二次方程学习难点：求根公式的推导过程学习过程：一 复习回顾1、在方程02752=+-x x 中，a= ，b= ，c= 。

2、在方程x x 8172=+中，a= ，b= ，c= 。

3、用配方法解下列方程。

（1）0142=+-x x （2）x x 2132=-二 新知探究1、（探索与思考）用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax2、总结与归纳：（1）由上可知，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 是由系数a 、b 、c 而定，因此，用公式法解一元二次方程的基本步骤是：第一步： 第二步： 第三步：(2) 由上可知，一元二次方程解的个数情况是由ac b 42-决定的。

当ac b 42- 时，有 个 实数根；（=1x =2x ） 当ac b 42- 时，有 个 实数根；（=1x =2x ） 当ac b 42- 时，一元二次方程没有实数根；3、例题讲解（1）0742=--x x （2）012222=+-x x（3）1352+=-x x x （4）x x 8172=+三 巩固练习解下列方程（1）062=-+x x （2）04132=--x x（3）02632=--x x （4）0642=-x x（5）114842+=++x x x （6）x x x 85)42(-=-四 变式训练1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 ，用求根公式的前提是 。

2、在方程02752=+-x x 中，a= ，b= ，c= ，=-ac b 42 ，方程的两根为=1x ，=2x 。

人教版九年级数学上册21.2.2公式法课件(16张PPT)

人教版九年级数学上册21.2.2公式法课件(16张PPT)

•
课堂探究
根的判别式
一元二次方程 ax2bxc0(a0)
解的情况由 b2 4ac 决定:
(1) 当 b24ac0 时，方程有两个
不相等的实数根；
(2) 当 b24ac0 时，方程有两个
相等的实数根；
(3) 当 b24ac0 时，方程没有实数根.
课堂探究
一元二次方程 ax2bxc0(a0).
的根由方程的系数a，b，c确定．
•
15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年8月2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021
•
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021/8/102021/8/10August 10, 2021
∴x=
==
x1 = x2 =
当 b2-4ac=0 时，一
元二次方程有两个相等 的实数根。
典例精析
b b2 4ac x
2a
例4 解方程：x213x6
解：去括号，化简为一般式：
这里 a3 、 b =-7 、 c =8
b24ac（ 7） 2438 4996-470
方程没有实数解。
课堂归纳
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac时0,方程无实数解;
当b2 4ac0时,一元二次方程才有根.实数
3、代入求根公式 : xb b2 4ac 2a

21.2.2 一元二次方程的解法——公式法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

21.2.2 一元二次方程的解法——公式法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
第二十一章 一元二次方程
第2课时
一元二次方程的解法
——公式公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方
程化为一般形式.
❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
复习引入
1.如何用配方法解方程 2x2 4x 10?
解：方程整理得
．
小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0.

2
2
★10．若a ＋5ab－b ＝0(ab≠0)，求 的值．




2
2
解：∵a ＋5ab－b ＝0，∴ ＋ －1＝0，



令t＝ ，∴方程可化为t2＋5t－1＝0，

∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根据公式法得t＝
－±
×

＝
－±
)±
±
＝
，
×

即x1＝2 ，x2＝ ．
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝
－±
所以x1＝
－
－± －±
＝
＝
，

×

－＋

－－
，x2＝
．


小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值.
x＝

x－ ＝0．

±

8．用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
－±


9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
＋

6．某数学小组对关于x的方程(m＋1)
＋(m－2)x－1＝0提出了问题：

一元二次方程公式法解方程第一课时初中数学原创课件


小结
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1.把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值,
2.求出b²-4ac的值，
当b²-4ac≥0时，方程才有实数根，
−± ²−
，

3.代入求根公式： x=
4、写出方程的解：x1、x2.
例题
【例1】 用公式法解下列方程：
(1)2x²-x-1=0；
解:(1)a=2,b=-1,c=-1,
(2) 4x²-3x+2=0；
b²-4ac=(-1)²-4×2×(-1)=9＞0，
(3) 2x²-2 x+1=0.
∴x=
− − ±
− −××(−) ±
= ，
×


∴x1=1，x2=- .

例题
【例1】 用公式法解下列方程：
(1)2x²-x-1=0；
(2) 4x²-3x+2=0；
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ＜0时，方程没有实数根.
反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时， Δ＞0；
当方程有两个相等的实数根， Δ=0；
当方程没有实数根， Δ＜0.
课堂检测
1.方程3 x2 +1=2 x中，b2-4ac= 0 .
2.若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0有两个相等的实数根，则
-1或4
n=_______.
3.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k的取值范围
是( A)
A.k≤1
B.k≥1
C.k<1
D.k>1
用公式法解一元二次方程的前提是:

九年级数学上册 21.2.2 公式法(1)教案 新人教版(2021-2022学年)

1。

能用公式法解数字系数的一元二次方程。

2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实根是否相等。

本节课是九年级上册第二十一章第2节的内容；它是在学生掌握一元二次方程的直接开平方法和配方法解法的基础上学习的。

本节课的内容也是本章的重点之一,用它可以判断一元二次方程根的情况,有助于我们顺利地解一元二次方程，又可以为今后研究二次函数、不等式、二次曲线等知识奠定基础,并可用它来解决许多综合性问题，所以应给与重视。

多数学生有强烈的好奇心和求知欲.当他们在解决实际问题时，发现用配方法解题有点麻烦时,他们自然会想进一步研究和探索解方程的问题.ﻬ一 、复习引入导语：我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程,能否用配方法解一般形式的一元二次方程？ 二、探究新知活动1．学生观察下面两个方程思考它们有何异同？错误! 6ｘ２—7x+1＝0 错误!未定义书签。

(学生观察思考尝试回答学生对比进行配方，通过自主探究，合作交流,展开对求根公式的推导）活动2.按配方法一般步骤同时对两个方程求解:1.移项得到6x 2—７ｘ=-１， 2．二次项系数化为１得到3。

配方得到 ｘ2-x+（)2=—+（）2x 2+x+(）2=-+(）24。

写成(x ＋m)2=n 形式得到(x —）２=,(ｘ+）2=5.直接开平方得到ｘ-=±,注意：（x+)2=是否可以直接开平方?学生回顾配方法的解题思路数字系数过渡到字母系数进行配方，推导公式对()002≠=++a c bx ax ()002≠=++a c bx ax c bx ax-=+2a c x ab x x x -=+-=-22,61677671216712b a2b ac a 2b a712251442ba2244b a c a -7125122ba2244b aca-活动3．对(x+)2＝观察,分析,在时对的值与０的关系进行讨论活动4。

归纳出一元二次方程的根的判别式和求根公式,公式法.(让学生尝试对的值进行分析,学生尝试归纳，师生总结)活动5.初步使用公式解方程6x2—7x+1=0.（学生初步使用公式,教师规范板书。

21.2.2 公式法(第一课时[根的判别式])


移项，得 配方，得
x2 b x c
a
a
x2

b a
x


b 2a
2


c a


b 2a
2
即

x

b 2a
2


b2 4ac 4a2
即

x

b 2a
2

b2 4ac 4a2
因为a≠0,所以4a2 >0 式子 b2 4ac的值有以下三种情况：
(1) b2

4ac

0, 这时
b2 4ac 4 a2

0
即 x b b2 4ac
2a
2a
此时，方程有两个不等的实数根
x b b2 4ac
1
2a
x b b2 4ac
2
2a
即

x

b 2a
2

b2 4ac 4a2
因为a≠0,所以4a2 >0 式子 b2 4ac的值有以下三种情况：
(2) b2

4ac

0, 这时
b2 4ac 4 a2

0
即 x b b2 4ac ＝0
2a
2a
此时，方程有两个相等的实数根
x1
x2


b 2a
即 因为a≠0,所以4a2 >0

x

b 2a
2

b2 4ac 4a2
式子 b2 4ac的值有以下三种情况：


骤 ：

21.2.2一元二次方程 公式法(课时一)

第二十一章一元二次方程
21.2.2公式法教案
课时安排
第一课时
课时目标
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
2．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程.
3．经历推导求根公式的过程，加强推理技训练，进一步发展逻辑思维能力。体验类比、转化、降次的数学思想方法。
∴ ≥0
直接开平方，得：x+ =± ，即x=
∴x1= ，x2=
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（2）本节课运用了哪些数学思想？
学生总结，教师补充
板书设计
21.2.2公式法（第1课时）
一、复习引入
二、探索新知练习
四、应用拓展
用配方法解下列方程求根公式
（1）6x2-7x+1=0例1．
（2）4x2-3x=52
课后反思
探索新知
问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面
1.回答第9页探究中问题，理解有配方法得出求根公式的方法和步骤；
课本步骤详细，学生自学能很好地培养学生自学意识和能力。
教学环节
3.记住求根公式，理解例2解题的方法和步骤。
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当 0时，方程有两个不相等的实数根；
当 0时，方程有两个相等的实数根；
当 0时，方程无实数根.
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
例题讲解
例1. 不解方程,判断方程的根的情况：
5（x2－1）=7x .
方程要先化 为一般形式 再求判别式
2
解 : 原方程可化为5x 7 x 5 0
0
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
能力提升
试述关于x的方程kx2+(2k+1)x－k+1=0的实 数根的情况.
解（ : 1）当k 0时，方程化为x 1 0， 此时方程有一个实数根； （2）当k 0时，此方程为一元二次方程，
根的判别式为 (2k 1) 2 4k (k 1) 8k 2 1 0 此时，原方程有两个不相等的实数根.
—— 城 关 镇 中 学
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
学习目标
1.认识一元二次方程的根的判别式，理解 它与根的关系； 2.会运用根的判别式判断一元二次方程根 的情况； 3.能结合根的判别式确定一元二次方程中 字母系数的值或取值范围； 4.体验与人合作交流以及探索数学的乐趣.
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
配方法基本步骤：
解方程： 2x2+1=3x. 解：移项，得 2x2－3x=－1,
2Hale Waihona Puke 温故知新常数项右移
3 1 二次项系数化为1，得 x x , 二系化成1 2 2 2 2 3 1 3 3 2 一系取一半 , 配方 x x
2 4
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
作业
1.作业本：课本P17，习题21.2 第4题；
2.质量监测：P10 21.2（3）A组.
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
资源链接
1.目标检测设计：21.2.2公式法（第1课时） 目标检测设计内容 2.教学课件： 21.2.2公式法（第1课时）
如果方程有两个不相等的实数根，
那么
＝b 4ac 0 ；
2
如果方程有两个相等的实数根，
那么
＝b 4ac 0 ；
2
如果方程没有实数根，
那么
作 者： 郭 春 港
b 4ac 0.
2
—— 城 关 镇 中 学
例题讲解
例2. 已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有
7 4 5 5 149 0
2
原方程有两个不相等的实数根.
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
基础训练
1.不解方程,判别下列方程的根的情况：
（1）
3 x2 ＋ x＋ 1 = 4 x
2
（2） x(x+4) =－4
解 : (1)原方程可化为3x 2 3 x 1 0 3 4 3 1 3 0 原方程没有实数根.
下载地址为： 邮箱：guochungang2014@ , 登录密码：guo123456.
作 者： 郭 春 港
2
(2) ax bx c 0(a 0).
2
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
ax bx c 0 （ a 0）. ①
2
新知探究
解：
移项，得
ax bx c.
2
2
b c x x . 二次项系数化为1，得 a a 2 2 b c b b 2 配方 x x , a a 2a 2a
根的 情况
0
有两个相等 的实数根
15 0
没有实数根
17 0
有两个不相 等的实数根
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
能力提升
3.不解方程，判断关于x的方程x2-2mx+m-2=0的根 的情况.
解 : 此方程的根的判别式为 (2m) 2 4(m 2) 4m 2 4m 8 4m 2 4m 1 7 (2m 1) 2 7 无论m为任何实数，(2m 1) 2 0 (2m 1) 2 7 0 因此，原方程总有两个不相等的实数根.
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程没有实数根.
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
规律总结
一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根的判别式为 b 2 4ac
方程有两个不相等的实数根 0 方程有两个相等的实数根 0 方程没有实数根
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
课堂小结
1.一元二次方程 ax bx c 0 的根的判别式为 b 2 4ac
2
a 0
0 0
方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 0 方程没有实数根
2.用Δ判断一元二次方程根的情况一般步骤： （1）化为一般式，确定a、b、c 的值； （2）计算 Δ＝b2-4ac的值，确定Δ的符号； （3）判别根的情况，得出结论.
两个不相等的实数根， 求k的取值范围.
解：根据题意，得k2≠0 且 方程有两个不相等的实数根.
∴∆=（2k-1）2-4k2>0
1 解得k< 4
且k≠0
1 且 k ≠0. 4
即k的取值范围是k<
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
基础训练
已知关于x的方程x2-3x-m=0，当m为何值时 满足下列条件：
2
b b 4ac . ② x 2 2a 4a
2
2
新知探究
2 b 4ac 2 (3)当b －4ac<0时， 0, 2 4a
因为负数不能开平方， 所以此时方程无实数根.
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
新知探究
究竟是谁决定了一元二次方程根的情况？
b2 4ac与0的关系
b b2 4ac 由②式得 x . 2a 2a
b b2 4ac b b 2 4ac x1 ，x2 . 2a 2a
此时，方程有两个不等的实数根.
作 者： 郭 春 港
—— 城 关 镇 中 学
(2)当b2－4ac=0时，
b 4ac 0, 2 4a 由②式得， x x b . 1 2 2a 此时，方程有两个相等的实数根.
(2)原方程可化为x 2 4 x 4 0 ＝42 4 4 0 原方程有两个相等的实数根.
作 者： 郭 春 港
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基础训练
2.完成下列表格：
2 y2 2 4 y
2( x 2 1) x 0 2 x 2 3x 1 0
Δ值
我们把 b 4ac 叫做一元二次方程
2
ax bx c 0 a 0 的根的判别式，
2
用符号“ ”表示， 即 b 4ac
2
作 者： 郭 春 港
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新知探究
一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根的判别式为 b 2 4ac
作 者： 郭 春 港
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方法归纳
用Δ判断一元二次方程根的情况一般步骤：
1. 化为一般式，确定a、b、c 的值； 2. 计算 Δ＝b2-4ac的值，确定Δ的符号； 3. 判别根的情况，得出结论.
作 者： 郭 春 港
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新知探究
反过来，对于方程ax2 bx c 0( a 0)
2
2 4
3 1 , x 4 16
平方左右加 配成平方式 直接开平方
3 1 由此可得 x , 4 4 1 x1 1, x 2 . 2
作 者： 郭 春 港
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温故知新
用配方法解下列方程:
3 15 ) (1) 3x 6x 2 0 ； (x 3
即
2 b b 4ac . x 2 2a 4a 2
②
作 者： 郭 春 港
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b b 4ac .(a 0) ② x 2 2a 4a
2
2
新知探究
因为a≠0,所以4a2>0.
2 b 4ac 2 0, (1)当b －4ac >0时， 2 4a