人教版初三数学上册公式法第二课时

第2课时 一元二次方程根的判别式教学目标1．理解一元二次方程根的判别式，并能用其判定一元二次方程根的情况．2．能根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值或取值范围． 教学重难点重点是理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；难点是用根的判别式b 2－4ac 来判别ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的应用．教学过程导入新课〈方式1〉用公式法解下列方程：(1)2x 2－3x ＝0；(2)3x 2－23x ＋1＝0；(3)4x 2＋x ＋1＝0.得出正确答案后思考以下问题：方程(1)b 2－4ac ＝9＞0，方程的根有什么特点？方程(2)b 2－4ac ＝12－12＝0，方程的根有什么特点？方程(3)b 2－4ac ＝1－16＝－15＜0，方程根的情况如何？综合以上问题，你认为一元二次方程根的规律和b 2－4ac 的关系是怎样的？ 〈方式2〉我们在一元二次方程的配方过程中得到：(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a2，发现当且仅当b 2－4ac ≥0时，右式b 2－4ac 4a 2有平方根．直接开平方，得x ＋b 2a ＝±b 2－4ac 2a.也就是说，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当且仅当系数a 、b 、c 满足条件b 2－4ac ≥0时有实数根．我们是否可以用b 2－4ac 来判断方程根的情况呢？这节课我们就来学习它． 推进新课一、合作探究一元二次方程根的判别式议一议：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)根的情况由谁确定？为什么？ 提示：从求根公式的角度来分析：求根公式：x ＝－b ±b 2－4ac 2a，当b 2－4ac ＞0时，根据平方根的意义，b 2－4ac 等于一个具体数，所以一元二次方程的根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a，即有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，根据平方根的意义，b 2－4ac ＝0，所以x 1＝x 2＝－b 2a，即有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数根．结论：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)根的情况由b 2－4ac 的正负情况确定：(1)当b 2－4ac ＞0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，即x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a. (2)当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－b 2a. (3)当b 2－4ac ＜0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根．我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式．想一想：不解方程，你会判别一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况吗？二、应用迁移1．利用根的判别式判别一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)根的情况不解方程，判别方程根的情况：(1)16x 2＋8x ＝－3；(2)9x 2＋6x ＋1＝0；(3)2x 2－9x ＋8＝0；(4)x 2－7x －18＝0.分析：不解方程，判别根的情况，只需用b 2－4ac 的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．解：(1)化为16x 2＋8x ＋3＝0.这里a ＝16，b ＝8，c ＝3，b 2－4ac ＝64－4×16×3＝－128＜0，∴方程没有实数根．(2)a ＝9，b ＝6，c ＝1，b 2－4ac ＝36－36＝0，∴方程有两个相等的实数根．(3)a ＝2，b ＝－9，c ＝8，b 2－4ac ＝(－9)2－4×2×8＝81－64＝17＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(4)a ＝1，b ＝－7，c ＝－18，b 2－4ac ＝(－7)2－4×1×(－18)＝121＞0，∴方程有两个不相等的实数根．2．根据一元二次方程根的情况解决问题若关于x 的一元二次方程(a －2)x 2－2ax ＋a ＋1＝0没有实数根，求ax ＋3＞0的解集(用含a 的式子表示)．分析：要求ax ＋3＞0的解集，就是求ax ＞－3的解集，那么就转化为要判定a 的值是正、负或0.因为一元二次方程(a －2)x 2－2ax ＋a ＋1＝0没有实数根，即(－2a )2－4(a －2)(a ＋1)＜0，就可求出a 的取值范围．解：∵关于x 的一元二次方程(a －2)x 2－2ax ＋a ＋1＝0没有实数根，∴(－2a )2－4(a －2)(a ＋1)＝4a 2－4a 2＋4a ＋8＜0.a ＜－2.∵ax ＋3＞0，即ax ＞－3，∴x ＜－3a. ∴所求不等式的解集为x ＜－3a. 点拨：已知一元二次方程根的情况，可以求出方程中某些字母的范围．三、巩固提高1．一元二次方程x 2－ax ＋1＝0的两实数根相等，则a 的值为( )．A ．a ＝0B ．a ＝2，或a ＝－2C ．a ＝2D ．a ＝2，或a ＝0答案：B2．已知k ≠1，一元二次方程(k －1)x 2＋kx ＋1＝0有根，则k 的取值范围是( )．A ．k ≠2B ．k ＞2C ．k ＜2且k ≠1D ．k ≠1答案：D3．不解方程，试判定下列方程根的情况．(1)2＋5x ＝3x 2；(2)x 2－(1＋23)x ＋3＋4＝0.4．不解方程，判别关于x 的方程x 2－2kx ＋(2k －1)＝0的根的情况．本课小结本节课要掌握：b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根；b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实根；b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根及其他的运用．。

初中数学试卷21.2.2 公式法第2课时 用公式法解一元二次方程基础题知识点 用公式法解一元二次方程1．(武汉校级月考)用公式法解一元二次方程3x 2－2x ＋3＝0时，首先要确定a ，b ，c 的值，下列叙述正确的是() A ．a ＝3，b ＝2，c ＝3 B ．a ＝－3，b ＝2，c ＝3C ．a ＝3，b ＝2，c ＝－3D ．a ＝3，b ＝－2，c ＝32．方程x 2＋x －1＝0的一个根是( )A ．1－ 5 B.1－52C ．－1＋ 5 D.－1＋523．一元二次方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是( ) A.p ±p 2－4q 2 B.－p ±p 2－4q2C.p ±p 2＋4q 2D.－p ±p 2＋4q24．一元二次方程a 2－4a －7＝0的解为__________________________．5．用公式法解下列方程：(1)4x 2－4x ＋1＝0；(2)x 2＋4x －1＝0；(3)x 2＋2x ＝0；(4)4x 2－4x －1＝0；(5)2x 2－3x －1＝0；(6)1－x ＝3x 2；(7)x 2＋10＝25x ；(8)x(x －4)＝2－8x.中档题6．(安陆市级月考)用公式法解方程－3x 2＋5x －1＝0，正确的结果是() A ．x ＝－5±136 B ．x ＝－5±133C ．x ＝5±136D ．x ＝5±1337．方程2x 2＋43x ＋62＝0的根是( )A ．x 1＝2，x 2＝ 3B ．x 1＝6，x 2＝ 2C ．x 1＝22，x 2＝ 2D ．x 1＝x 2＝－ 68．若(m 2－n 2)(m 2－n 2－2)－8＝0，则m 2－n 2的值是( )A ．4B ．－2C ．4或－2D ．－4或29．当x ＝________时，代数式x 2－8x ＋12的值是－4.10．(天津月考)方程2x 2－6x －1＝0的负数根为____________．11．若8t 2＋1与－42t 互为相反数，则t 的值为________．12．用公式法解下列方程：(1)－3x 2－5x ＋2＝0；(2)6x 2－11x ＋4＝2x －2；(3)3x(x －3)＝2(x －1)(x ＋1)；(4)(x ＋2)2＝2x ＋4；(5)x 2＋(1＋23)x ＋3－3＝0.13．对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算※如下：a ※b ＝a 2－2ab ，如x ※1＝1.求x 的值．综合题14．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根．(1)试用含有a ，b ，c 的式子表示x 1＋x 2，x 1x 2；(2)求代数式a(x 31＋x 32)＋b(x 21＋x 22)＋c(x 1＋x 2)的值．参考答案基础题1.D2.D3.A4.a 1＝2＋11，a 2＝2－115.(1)Δ＝42－4×4＝0.x ＝4±02＝2.x 1＝x 2＝2. (2)x ＝－4±42－4×1×（－1）2×1，x 1＝－2＋5，x 2＝－2－ 5. (3)x ＝－2±22－4×1×02×1，x 1＝0，x 2＝－2. (4)x ＝－（－4）±（－4）2－4×4×（－1）2×4，x 1＝1＋22，x 2＝1－22. (5)x ＝－（－3）±（－3）2－4×2×（－1）2×2，x 1＝3＋174，x 2＝3－174. (6)3x 2＋x －1＝0，x ＝－1±12－4×3×（－1）2×3，x 1＝－1－136，x 2＝－1＋136. (7)x 2－25x ＋10＝0，∵Δ＝(－25)2－4×1×10＝－20<0，∴此方程无实数解．(8)x 2＋4x －2＝0，x ＝－4±42－4×1×（－2）2×1，x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6. 中档题6.C7.D8.C9.4 10.x ＝3－112 11.2412.(1)x ＝－5±492×3＝－5±76，x 1＝13，x 2＝－2. (2)x ＝13±252×6＝13±512，x 1＝32，x 2＝23. (3)原方程可化为：x 2－9x ＋2＝0.x ＝9±732，x 1＝9＋732，x 2＝9－732. (4)原方程可化为：x 2＋2x ＝0.x ＝－2±42＝－1±1.x 1＝0，x 2＝－2.(5)x ＝－1－23±252，x 1＝2－3，x 2＝－3－ 3.13.∵a ※b ＝a 2－2ab ，∴x ※1＝x 2－2x ＝1.∴x 2－2x －1＝0.∴x ＝2±4＋42＝1± 2.∴x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2. 综合题14.(1)∵x 1，x 2是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根，x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a .∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a . (2)∵x 1，x 2是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根，∴ax 21＋bx 1＋c ＝0，ax 22＋bx 2＋c ＝0.∴原式＝ax 31＋bx 21＋cx 1＋ax 32＋bx 22＋cx 2＝x 1(ax 21＋bx 1＋c)＋x 2(ax 22＋bx 2＋c)＝0.。