第2讲(函数)

2第⼆讲函数极限的概念2慕课讲稿第三章函数极限§1函数极限的概念同学们好，这⼀讲我们继续来学习函数极限的概念由上节课可知，极限可以体现为两句话：第⼀句话：随着⾃变量变化，第⼆句话：相应的因变量的变化趋势．函数f(x)当x趋于正⽆穷⼤时的极限，是假定f(x)为定义在a到正⽆穷⼤上的函数，所体现的两句话是：随着x越来越⽆限增⼤时，相应的函数值与某个定数A越来越⽆限接近．本节假定f(x)为定义在点x0的某个空⼼邻域内的函数，现在讨论随着x与x0 越来越⽆限接近时，相应的函数值与某个定数A越来越⽆限接近．⼆、x趋于x0时函数的极限先看下⾯⼏个例⼦：例1f(x)=1（x不等于0）.（f(x)是定义在U0(0)上的函数，当x趋于0时，f(x)趋于1）例2f(x)等于(x^2-4)/(x-2). ( f(x)是定义在U0(2)上的函数，当x趋于2时，f(x)趋于4) 那么，如何体现“随着x与x0 越来越⽆限接近时，相应的函数值与某个定数A越来越⽆限接近”？我们⽤以下epsilon-delta定义来体现1．x趋于x0(x不等于x0)时，函数极限的epsilon-delta定义定义1设函数f(x)在U0(x0)内有定义，A为定数，若对任给的epsilon>0，存在delta>0，使得当“0<|x-x0|lim x趋于x0 f(x)=A或f(x)趋于A(当x趋于x0).2. 函数极限的epsilon-delta定义的⼏点说明(这个和“x趋于⽆穷”的含义相同)：(1) 关于epsilon：①epsilon的任意性．定义1中的正数epsilon的作⽤在于衡量f(x)与常数A的接近程度，epsilon越⼩，表⽰接近得越好；⽽正数epsilon可以任意⼩，说明f(x)与常数A可以接近到任何程度；②epsilon的暂时固定性．尽管epsilon有其任意性，但⼀经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出delta ；③epsilon的多值性．epsilon既是任意⼩的正数，那么epsilon，2epsilon，epsilon的平⽅等等，同样也是任意⼩的正数，因此定义１中的不等式“|绝对值f(x)-A|⽽“|f(x)-A|④正由于epsilon是任意⼩正数，我们可以限定epsilon⼩于⼀个确定的正数．(2) 关于delta：①相应性，是表⽰x与x0的接近程度，⼀般地，delta随epsilon的变⼩⽽变⼩，因此常把delta记作delta(epsilon)，来强调delta是依赖于epsilon的；epsilon⼀经给定，就可以找到⼀个delta；②delta多值性．delta的相应性并不意味着delta是由epsilon唯⼀确定的，因为对给定的epsilon，故若delta满⾜此要求，则delta/2、delta/3等等⽐delta还⼩的正数均可满⾜要求；事实上，在许多场合下，最重要的是delta的存在性，⽽不是它的值有多⼤．(3) 极限问题关⼼的是趋势问题，所以在定义中，只要求函数f(x)在U0(x0)有定义，⽽⼀般不要求f(x)在x0处的函数值是否存在，或者取什么样的值．因⽽限定“|x-x0|>0”．(4) 定义中的“0<|x-x0|属于U(A, epsilon)”．从⽽定义1 等价于“对任给的epsilon>0，存在delta>0，使得当x 属于U0(x0, delta)，有f(x)属于U(A, epsilon)”等价于“对任给的epsilon>0，存在delta>0，f（U0(x0, delta)）属于U(A, epsilon)”。

人教版高中数学 任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题.（一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：=r ____________________1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+=+>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

（二）单位圆与三角函数线：1.三角函数线的定义：当角的终边上一点(,)P x y 的坐标满足____________时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

2.有向线段：____________________________规定：与坐标轴方向一致时为_____，与坐标方向相反时为______。

3．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====_________________， cos 1x x x OM r α====_______________，tan y MP AT AT x OM OA α====_______________ 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

1第2讲 导函数性质利用导数判断函数的单调性的方法如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '>，则()f x 在这个区间上是增函数；如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '<，则()f x 在这个区间上是减函数．【教师备案】对于函数()f x ，若()()0()0f x f x ''><，则()f x 为增函数（减函数）；反之，若()f x 为增函数（减函数），则()()0()0f x f x ''≥≤恒成立，且()f x '不恒等于零．考点1：函数单调性与其导函数正负的关系【教师备案】选修2-2A 版教材引入方式1.如下图，函数图象的切线的斜率（即导数）的正负可以反映函数的单调性．导数()0f x '表示函数()f x 在点()()00x f x ，处的切线的斜率.在0x x =处，()00f x '>，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，()10f x '<，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减.2.已知导函数()f x '的下列信息：当14x <<时，()0f x '>；当1x <或4x >时，()0f x '<；当1x =或4x =时，()0f x '=． 试画出函数()f x 的大致形状．【教师备案】选修2-2B 版教材引入方式函数()y f x =在区间[]x x x +∆，上的平均变化率为y x∆∆． 依据函数单调性的定义：2.1利用导数分析函数的单调性经典精讲知识点睛2若0y x ∆>∆，则函数在给定区间上为增函数；若0y x∆<∆，则函数在给定区间上为减函数． 从导数的角度看： ()00()()lim lim x x y f x x f x f x x x∆→∆→∆+∆-'==∆∆．若()0f x '>，则函数在给定区间上为增函数；若()0f x '<，则函数在给定区间上为减函数． 因此我们可以用导数作工具来研究函数的性质．【铺垫】老师可以以此铺垫给学生讲解导函数的正负与原函数单调性的关系求下列函数的导函数，并画出导函数的图象，观察导函数的正负与原函数单调性的关系【解析】 导函数的图象为：从导函数的图象我们可以看出，当导函数大于零时，原函数是单调递增的；当导函数小于零 时，原函数是单调递减的.【例1】 根据导函数图象判断原函数图象（2010石景山一模文理7）已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）．【解析】 A由()f x '的图象知()y f x =在(2)-∞-，与(0)+∞，上单调递减，在(20)-，上单调递增．考点2：从导数角度解释函数增减的快慢【教师备案】函数图象如图1、2所示，由图3、4可知，当自变量x ∆逐次增加一个单位增量x ∆时，函数()g x 的相应增量1y ∆，2y ∆，3y ∆，…越来越大；函数()f x 的相应增量1y ∆，2y ∆，3y ∆，…越来越小．xy O xyO O yx(3)(2)(1)3图1 图2图3 图4从导数的角度来看：()0g x '>，()g x '为增函数；()0f x '>，()f x '为减函数．图象特点：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）．如果一个函数在某一区间内导数的绝对值越来越大，那么对应的函数图象就越来越陡峭．反之，就越来越平缓．【铺垫】如图，水以恒速（即单位时间内注水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象．【解析】 以容器⑵为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快.反映在图象上，（A ）符合上述变化情况，同理可知其他三种容器的情况. ⑴→B ； ⑵→A ； ⑶→D ； ⑷→C ．【例2】函数的增长速度⑴ 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路 程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（ ）D.C.B.A.OtOt tOOts4⑵ 如左图所示，液体从球形漏斗漏入一圆柱形烧杯中，开始时漏斗中盛满液体，经过3 分 钟漏完，已知烧杯中液面上升的速度是一个常量，H 是漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t （分）的函数关系用图象表示可能是右图中的（ ）．【解析】 ⑴A曲线的切线的斜率()s t '表示汽车的速度，由题意知，速度先增加，再保持不变，最后减小，故由曲线的斜率变化知选A ．也可根据汽车匀加速行驶2112s v t at =+()0a >，匀速行驶0s s vt =+，减速行驶2212s v t at =-()0a >，结合函数图象得到．⑵D每当t 增加一个单位增量t ∆，H 的变化开始增量H ∆越来越小，经过中截面后越来越 大，故H 关于t 的函数图象是增加先变缓后变陡，因此选D ．考点3：求函数的单调区间【教师备案】求可导函数单调区间的一般步骤和方法第一步：确定函数()f x 的定义域；第二步：求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实根；第三步：把函数()f x 在间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区 间；第四步：确定()f x '在各个小区间的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间的增减性.【注意】①函数的单调区间不能用不等式表示，必须写成区间形式；②当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些单调区间不能用“∪”连接，可用“，”或“和”连接.提高班学案1【铺1】 确定函数()33f x x x =-在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？【解析】 ()233f x x '=-，令2330x ->，解此不等式，得1x >或1x <-.因此，已知函数在区间()1+∞，和()1-∞-，内是增函数；令2330x -<，解此不等式，得11x -<<.因此，已知函数在区间()11-，内是减函数.尖子班学案1【铺2】已知函数()e x f x x =．求函数()f x 的单调区间． 【解析】 函数()f x 的定义域为R ．5()()1e x f x x '=+．由()0f x '>，解得1x >-．由()0f x '<，解得1x <-．∴()f x 的单调递增区间为()1-+∞，，单调递减区间为()1-∞-，．【例3】 求单调区间求下列函数的单调区间⑴32()395f x x x x =--+；⑵()22ln f x x x =-． 【解析】 ⑴2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-，令()0f x '>得3x >或1x <-，∴函数()f x 的单调递增区间为(1)-∞-，和(3)+∞，， 令()0f x '<，得13x -<<，∴函数()f x 的单调递减区间为(13)-，． ⑵ 函数()f x 的定义域为()0+∞，，又()()()()22212112222x x x x f x x x x x x--+-'=-===， 令()0f x '>得1x >，()f x ∴的单调递增区间为()1+∞，，令()0f x '<得01x <<，()f x ∴的单调递减区间为()01，.目标班学案1【拓3】 已知函数()e 1xf x x =-，求函数()f x 的定义域及单调区间．【解析】 函数()f x 的定义域为{}1x x ≠．()()()()()22e 1e 1e 211x x x x xf x x x --⋅-'==--．由()0f x '>，解得2x >． 由()0f x '<，解得2x <且1x ≠．∴()f x 的单调递增区间为()2+∞，，单调递减区间为()1-∞，和()12，．求函数()()2ln f x x ax a =-∈R 的单调区间．【解析】 函数()y f x =的定义域为()0+∞，．∵()2ln f x x ax =-，∴()2f x a x'=-． 当0a ≤时，因为0x >，所以()0f x '>，所以()y f x =在()0+∞，上单调递增； 当0a >时，令()20f x a x '=->，解得20x a <<；令()20f x a x '=-<，解得2x a>． 此时函数()y f x =的单调递增区间是20a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调递减区间是2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．6综上所述：当0a ≤时， ()y f x =的单调递增区间为()0+∞，；当0a >时，函数()y f x =的单调递增区间是20a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调递减区间是2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．提高班学案2【铺1】 若y ax =与by x=-在()0+∞，上都是减函数，对函数3y ax bx =+的单调性描述正确的是（ ） A ．在()-∞+∞，上是增函数 B ．在()0+∞，上是增函数 C ．在()-∞+∞，上是减函数 D ．在()0-∞，上是增函数，在()0+∞，上是减函数 【解析】 C由题意知：0a <，0b <，于是230y ax b '=+<对任意x ∈R 成立，故选C ．【例4】 已知函数单调性，求参数范围设函数2()ln f x x x ax =++在其定义域内为增函数，求a 的取值范围．【解析】 2121()2x ax f x x a x x++'=++=，()f x 的定义域为()0+∞，． 若()f x 在其定义域内为增函数，所以221()0x ax f x x++'=≥对()0x ∈+∞，恒成立（﹡）． 方法一：分离参量法（﹡）可以转化为2210x ax ++≥对()0x ∈+∞，恒成立， 即12a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥，对()0x ∈+∞，恒成立．令1222x x +≥()0x ∈+∞，．故12x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为2-即22a -≥． 方法二：分类讨论方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-，①当0∆≤，即2222a -≤2210x ax ++≥， ()0f x '≥在()0+∞，内恒成立，此时()f x 为增函数． ②当0∆>，即22a <-22a > 要使()f x 在定义域()0+∞，内为增函数， 只需在()0+∞，内有2210x ax ++≥即可， 设2()21h x x ax =++，由(0)10022h a=>⎧⎪⎨-<⎪⎩⨯，得0a >，所以22a > 由①②可知，若()f x 在其定义域内为增函数，a 的取值范围是)22⎡-+∞⎣．尖子班学案2【拓2】 已知函数21()2(02]f x ax x x=-∈，，，若()f x 在(01]x ∈，上是增函数，则a 的取值范围 为 ．7【解析】 1a ≥-．3321()22f x a a x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭， 若()f x 在(01]x ∈，上是增函数，只需在(01]x ∈，上，()0f x '≥恒成立，即31a x -≥恒成立． 在(01]x ∈，上，有311x-≤-，故只需1a -≥． 综上，1a -≥时，函数21()2f x ax x=-，(01]x ∈，是增函数．目标班学案2【拓3】 已知函数()21()ln 202f x x ax x a =--≠不存在单调递减区间，求a 的取值范围．【追问】若改为存在单调递减区间，则a 的取值范围是多少．【解析】 函数()f x 的定义域为()0+∞，． 2121()2ax x f x ax x x+-'=--=-，因为函数()f x 不存在单调递减区间，所以()0f x '<在 ()0+∞，上无解，从而2210ax x +->在()0+∞，上无解． ① 当0a >时，221y ax x =+-为开口向上的抛物线，2210ax x +->总有正解，故存在单调递减区间，0a >∴不符合题意；② 当0a <时，221y ax x =+-为开口向下的抛物线，2102a a-=->∵，∴要使2210ax x +-> 在()0+∞，上无解，则440a ∆=+≤，解得1a -≤． 综上所述，a 的取值范围为(]1-∞-，． 【追问】函数()f x 的定义域为()0+∞，． 2121()2ax x f x ax x x+-'=--=-，因为函数()f x 存在单调递减区间，所以()0f x '<在 ()0+∞，上有解，从而2210ax x +->有正解． ① 当0a >时，221y ax x =+-为开口向上的抛物线，2210ax x +->总有正解；② 当0a <时，221y ax x =+-为开口向下的抛物线，且2102a a-=->，∴要使2210ax x +-> 总有正解，只需440a ∆=+>，解得10a -<<． 综上所述，a 的取值范围为(10)(0)-+∞，，．1.利用导数研究函数的极值：已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任一点，如果对0x 附近的所有点x ，都有0()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大．并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点．如果在0x 附近都有0()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小．并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．2.2利用导数分析函数的极值与最值知识点睛8【教师备案】老师可以借助经典精讲中的【铺垫】来讲解函数的极值，先让学生自己观察，然后老师再来总结极值，并总结极值中应注意的方面. 我们可以从以下几个方面理解概念：①极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须在区间内的 连续点取得.一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值 也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系.即极大 值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小.②函数的极值点的导数为0，但导数为0的点可能不是函数的极值点.也就是说，若()f c '存在，()0f c '=是()f x 在x c =处取得极值的必要条件，但不是充分条件.比如()3f x x =在0x =处，()00f '=但0x =不是函数的极值点，所以一定要注意点的左右变化趋势．③若()f x 在区间()a b ，内有极值，那么()f x 在()a b ，内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值.④如果函数()f x 在[]a b ，上有极值的话，它的极值点的分布是有规律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地，当函数()f x 在[]a b ，上连续且有有限个极值点时，函数()f x 在[]a b ，内的极大值点、极小值点是交替出现的.2.求函数()y f x =的极值的方法 ⑴确定函数定义域 ⑵求导数()f x '； ⑶求方程()0f x '=的根；⑷检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值【教师备案】①使()f x '无意义的点也要讨论.即可先求出()'0f x =的根和使()f x '无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断.②极大值点可以看成是函数单调递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值.极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值.3.求函数()y f x =在[]a b ，上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴ 求函数()y f x =在()a b ，内的极值； ⑵ 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，(f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【教师备案】老师在讲最值时，也可以继续以【铺垫】为例，问学生在一个区间上的最值，并提出需要注意的几点.在理解函数最值时，需要注意以下几点：①函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必是整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必是整个区间上的所有函数值中的最小者.②函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值可以在端点取得；有极值未必有最值，有最值也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值；极值不一定是最值，比如说，某位同学在班里的成绩最好，可以认为是班里的极大值，但在全校不一定是最好的，即使在全校最好，也不一定在全国最好，所以极大值不一定是最大值，老师也可以以此为例讲解极小值不一定是最小值.9【铺垫】如图所示，函数()y f x =在a b c d e f g h ，，，，，，，等点的函数值与这些点附近的函数值有什么大小关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？【解析】 以a b ，两点为例，我们可以发现，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>.类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<.其它的点老师可以自由发挥，随便问学生.考点4：与极值相关的图象问题【例5】 与极值相关的图象问题⑴函数()f x 的导函数图象如图所示，则函数()f x 在图示区间上 （ ） A ．无极大值点，有四个极小值点 B ．有三个极大值点，两个极小值点 C ．有两个极大值点，两个极小值点 D ．有四个极大值点，无极小值点 ⑵（2010朝阳二模6）函数321()2f x x x =-+的图象大致是（ ）．D .O xyC .O x y B .O x y A .O y x【解析】 ⑴C因为导函数的图象与x 轴的四个交点处都是穿过的，所以都是极值点，根据正负变化情况知，第一个与第三个交点对应极大值点，第二个与第四个交点对应极小值点（从左到右），故选C ． ⑵A由2()32f x x x '=-，于是()f x 在203x =，点取得极值．A ，B ，C ，D 中仅A 符合．另外此题也可以根据单调性和极值点来分析．考点5：求函数的极值与最值经典精讲O yx10【铺垫】用导数法求函数2()f x x x=+的极值． 【解析】 函数定义域为{}22210()1(2)(2)x x f x x x x x'≠=-=-+，．令()0f x '>，得2x >或2x <-． ∴函数()f x 的单调递增区间为(2)-∞-，和(2)+∞，； 令()0f x '<，得22x -<<且0x ≠，∴函数()f x 的单调递减区间是(20)-，和(02)，． ∴()f x '，()f x 的变化情况如下表：x()2-∞-，2-()20-，()02，2()2+∞，()f x ' +--+()f x↗极大值↘↘极小值↗∴()f x 在2x =-时取得极大值22-，在2x =时，取得极小值22．【例6】 求函数的极值与最值已知函数()()32231f x x x x =-+∈R ．⑴求()f x 的极值；⑵求函数()f x 在闭区间[]12-，上的最值．【解析】 ⑴()266f x x x '=-．令2660f x x x '=-=，解得01x x ==，． x()0-∞，0 ()01，1()1+∞，()f x ' +- 0 +()f x↗ 极大值↘极小值↗()()()⑵由⑴知()f x 在区间()12-，上的极小值为()10f =；极大值为()01f =．计算得：()()1425f f -=-=，．所以函数()f x 在闭区间[]12-，上的最小值为4-，最大值为5．提高班学案3【拓1】已知函数()()3222213f x x x a x =-+-+，其中0a >．求()f x 在区间[]23，上的最小值． 【解析】 ()()()2224221f x x x a x a '=-+-=--，()7223f a =-，()373f a =-，令()0f x '=解得21a x =，则211a <，211a >， ①当212a+，即02a <≤时，()f x 在区间[]23，上单调递增， ∴最小值为()7223f a =-； ②当213a+，即8a ≥时，()f x 在区间[]23，上单调递减， ∴最小值为()373f a =-；③当213<<，即28a <<时， ()f x在区间21⎛+ ⎝⎭，上单调递减，在区间13⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，∴最小值为513f a ⎛+=- ⎝⎭， 综上所述，当02a <≤时，()f x 在区间[]23，上的最小值是723a -； 当28a <<时，()f x 在区间[]23，上的最小值是53a -；当8a ≥时，()f x 在区间[]23，上的最小值是73a -．尖子班学案3【拓2】已知函数()()3222213f x x x a x =-+-+，其中a ∈R ．求()f x 在区间[]23，上的最大值和最 小值．【解析】 ()()()2224221f x x x a x a '=-+-=--，()7223f a =-，()373f a =-， ①当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，∴()f x 在区间[]23，上的最大值为()373f a =-，最小值为723a -；②当0a >时，令()0f x '=解得1x =，则11<，11+>， a当12，即02a <≤时，()f x 在区间[]23，上单调递增， ∴最大值为()373f a =-，最小值为()7223f a =-； b当13，即8a ≥时，()f x 在区间[]23，上单调递减， ∴最大值为()7223f a =-，最小值为()373f a =-； c当213<<，即28a <<时， ()f x在区间21⎛ ⎝⎭，上单调递减，在区间13⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，∴最小值为513f a ⎛+=-- ⎝⎭，最大值为()(){}max 23f f ，， 而()()14233f f a -=-， ∴当1423a <≤时，最大值为()373f a =-，当1483a <<时，最大值为()7223f a =-； 综上所述，当2a ≤时，()f x 在区间[]23，上的最小值是723a -，最大值是73a -； 当1423a <≤时，()f x 在区间[]23，上的最小值是5233a a a --，最大值是73a -；当1483a <<时，()f x 在区间[]23，上的最小值是5233a a a --，最大值是723a -； 当8a ≥时，()f x 在区间[]23，上的最小值是73a -，最大值是723a -．【铺垫】设函数3()32f x ax x =++有极值，求a 的取值范围． 【解析】 ()233f x ax '=+．当0a ≥时，()0f x '>，()f x 为实数集上的增函数，()f x 没有极值． 当0a <时， ()0f x '=有两个不相等的实根， ()f x 有极值． 所以a 的取值范围为0a <．【例7】已知函数存在极值，求参数范围设函数()f x 的导函数为()f x '，若()()32112f f x ax ax x a '⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦R ，． ⑴用a 表示()1f '；⑵若函数()f x 在R 上存在极值，求a 的范围．【追问】若函数在R 上不存在极值，则a 的取值范围是多少？【解析】 ⑴()()213212f f x ax ax ''=-+-，把1x =代入上式，得()()1112f f a ''=+-， ∴()122f a '=-． ⑵()2322f x ax ax a '=-+-当0a =时，()20f x '=-<，无极值，∴不满足假设．当0a ≠时，要满足存在极值，则()0f x '=必须有两个相异实根， 故0∆>，即()244320a a a -⋅->，得03a <<． 【追问】(][)03-∞+∞，∪，目标班学案3【拓3】 （2010北京卷18）设函数()()3203a f x x bx cx d a =+++>，且方程()90f x x '-=的两个根分别为1，4． ⑴ 当3a =且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； ⑵ 若()f x 在()-∞,+∞内无极值点，求a 的取值范围．【解析】 由()323a f x x bx cx d =+++得()22f x ax bx c '=++． 因为()29290f x x ax bx c x '-=++-=的两个根分别为1，4， 所以290168360a b c a b c ++-=⎧⎨++-=⎩ ①⑴ 当3a =时，由①式得2608120.b c b c +-=,⎧⎨++=⎩解得3b =-，12c =．又因为曲线()y f x =过原点，所以0d =． 故()32312f x x x x =-+． ⑵ 由于0a >，所以“()323a f x x bx cx d =+++在()-∞,+∞内无极值点”等价于 “()220f x ax bx c '=++≥在()-∞,+∞内恒成立”． 由①式得295b a =-，4c a =． 又()()()224919b ac a a ∆=-=--．解()()09190a a a >,⎧⎪⎨∆=--⎪⎩≤得[]19a ∈,，即a 的取值范围是[]19,．右图是导函数()y f x '=的图象，试找出函数 ()y f x =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.【解析】 根据导函数的正负，我们可以判断原函数的单调性，由此，我们可以得到，函数在2x x =处取得极大值，即2x 为极大值点；函数在4x x =处取得极小值，即4x 为极小值点.【点评】一方面，学生在看到此图时，第一反应会默认为1x 和3x 分别为极值点，但是我们要审清题意，这里给的是导函数的图象，不是原函数的图象，我们要根据导函数的图象画出原函数的图象；另一方面，学生也会误认为6x 为函数的一个极值点，我们从图象上就可以看出原函数在()5x +∞，一直是单调递增的，所以6x 不是函数的极值点.所以原函数的单调性只与导函数的正负有关，与导函数的单调性无关.【演练1】 已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）【解析】 A由()f x '的图象知()y f x =在(0)-∞，与(2)+∞，上单调递增，在(02)，上单调递减．【演练2】 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如左图所示，那么水瓶的形状是（ ）．实战演练【解析】 B因为容器中总的水量（即注水量）V 关于h 的函数图象是增加越来越缓的，即每当h 增加一个单位增量h ∆，V 的相应增量V ∆越来越小．这说明容器的上升的液面越来越小，故选B ．【演练3】 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）．yxO yx O yx O DC B A O x y【解析】 D【演练4】 函数214y x x=+的单调增区间为（ ） A ．(0)+∞， B ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．(1)-∞-， D ．12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，【解析】 B令32218180x y x x x -'=-=>，得12x >．【演练5】 已知0a ≥，函数2()(2)e x f x x ax =-．设()f x 在[]11-，上是单调函数，求a 的取值范围． 【解析】 对函数()f x 求导数，得22()(2)e (22)e [2(1)2]e .x x x f x x ax x a x a x a '=-+-=+--令()0f x '=，得2[2(1)2]e 0x x a x a +--=， 从而22(1)20x a x a +--=，解得2111x a a =-+2211x a a =-++12x x < x 'x()1x -∞，1x 12()x x ， 2x()2x +∞，()f x ' ＋ 0 － 0 ＋ ()f x↗极大值↘极小值↗1x x =处取到极大值，在2x x =处取到极小值． 解法1：因为0a ≥，所以121x x <-<，所以()f x 在[11]-，上为单调函数的充要条件是21x ≥，即2111a a -+，解得34a ≥．综上，()f x 在[11]-，上为单调函数的充要条件34a ≥．即a 的取值范围是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．解法2：因为0a ≥时，所以11x <-，且()f x 在1x x =处取到极大值， 而21x >-，且()f x 在2x x =处取到极小值，因此，若()f x 在[]11-，上是单调函数，则()f x 在[]11-，上是单调减函数． ()f x 在[]11-，上是单调减函数，等价于()0f x '≤在区间[]11-，上恒成立， 等价于()22120x a x a +--≤在区间[]11-，上恒成立． 即1222012220a a a a -+-+--⎧⎨⎩≤≤，解得34a ≥．函数212y x x =+-的最值为（ ）A ．min 54y =-，max 54y =B ．无最小值，max 54y =C ．min 54y =-，无最大值 D ．既无最大值也无最小值【解析】 B解法一：函数的定义域为12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，，对原函数求导得1212y x '=--，令0y '=得38x =；于是38x <时0y '>，3182x <<时0y '<；故原函数在38⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在3182⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；所以当38x =时，有max 54y =；又由于x 趋向于-∞时y 同样趋向于-∞，故原函数无最小值．解法二：换元12x t -=，则221x t =-，原函数变成21y t t =-+，其中[)0t ∈+∞，； 而二次函数2251142y t t t ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，其在[)0+∞，上显然有最大值54而无最小值．大千世界。

第二章 一元函数的连续性函数是数学分析研究的对象，是贯穿数学分析的一根主线。

本讲主要讨论函数的连续性、一致连续性、闭区间上连续函数的性质、函数方程及其应用等方面的内容.I 基本概念与主要结果一 函数1 基本初等函数幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数. 2 初等函数及其性质由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而获得的函数，称为初等函数. 初等函数的基本特性：有界性，单调性，奇偶性和周期性. 3 重要的非初等函数符号函数，取整函数，Dirichlet 函数，Riemann 函数. 4 连续函数及其性质连续函数的几种等价描述：（1）极限形式：)()(lim 00x f x f x x =→；（2）增量形式：0lim 0=∆→∆y x ；（3）“δε-”语言：,0,0>∃>∀δε当δ<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f ； （4）领域形式：,0,0>∃>∀δε当),(0δx U x ∈时，有ε<-)()(0x f x f ； （5）海涅定理：{})(),(00∞→→⊂∀n x x xU xn ，都有)()(lim 00x f x f x x =→；（6）左右极限：)()0()0(000x f x f x f =-=+.证明函数)(x f 在某区间连续，只需证明在其中任意一点连续即可，其常用方法除上面所给出的六种等价描述之外，还可以利用连续函数的四则运算性质和连续函数的复合性质.连续函数的性质：局部有界性，局部保号性，四则运算性质和复合性质. 5 间断点的类型若函数)(x f 在点0x 不连续，则称)(x f 在点0x 间断，0x 称为)(x f 的间断点.对于间断点0x ，（1）一类间断点：)0(),0(00-+x f x f 都存在. 1）若)0()0(00+≠-x f x f ，则称0x 为跳跃间断点； 2）若)0()0(00-=+x f x f ，则称0x 为可去间断点. （2）第二类间断点：)0(),0(00-+x f x f 中至少有一个不成在.二 一致连续设函数)(x f 在区间I 有定义，若,0,0>∃>∀δε I x x ∈∀21,，当δ<-21x x 时，有ε<-)()(21x f x f ，则称)(x f 在I 上一致连续.三 闭区间上连续函数的性质 1 有界性若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上有界. 2 最值性若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上能取到最大值和最小值. 3 介值性定理设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且)()(b f a f ≠. 若u 满足：)()(b f u a f <<或)()(b f u a f >>，则存在),(b a c ∈，使得u c f =)(.4 根的存在定理（零点定理）若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续, 且0)()(<b f a f , 则),(b a c ∈∃, 使得0)(=c f . 注 性质3和性质4是等价的. 5 一致连续性若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上一致连续.II 典型例题与方法一 函数的连续性及其相关问题例1 判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）)(x f 在),(b a 的每一个闭子区间上有界，则)(x f 在),(b a 有界； （2）)(x f 在),(b a 的每一个闭子区间上连续，则)(x f 在),(b a 连续； （3）)(x f 在],[b a 的每一个开子区间上有界，则)(x f 在],[b a 有界； （4）)(x f 在],[b a 的每一个开子区间上连续，则)(x f 在],[b a 连续. 解（1）不正确. 如)1,0(,1)(∈=x xx f .（2）正确. ),(],[),,(0b a b a x ⊂∃∈∀βα，使],[0βα∈x ，由条件知)(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知结论正确.（3）正确. ],[),(b a b a ⊂，由条件知)(x f 在),(b a 有界，记1M 为其一个界，取{})(),(,max 1b f a f M M =，则M 为)(x f 在],[b a 上的一个有界.（1）不正确. 如函数⎩⎨⎧=<≤=.1,0,10,1)(x x x f例2 构造]1,0[上的函数，使其分别具有下列性质：（1）处处不连续； （2）仅在点12-=x 处连续；（3）在无理点连续，在有理点不连续； （4）在每一点的任何领域内均无界. 解（1）狄利克雷函数； （2）⎩⎨⎧-=.,1,)(为无理数为有理数，x x x x x f 或),()21()(x D x x f -=其中)(x D 为Dirichlet 函数.（3）黎曼函数；（浙江大学2001） （4）⎩⎨⎧==+=.1),(,,,0)(q p q p x q p x x f ，为无理数（上海师大）例3（复旦大学1999）严格表达下列概念： （1）-∞=+∞→)(lim x f x ；（2）)(x f 在],[b a 上非一致连续.解（1）,0,0>∃>∀N M 当N x >时，有M x f -<)(，则称-∞=+∞→)(lim x f x .（2）],[,,0,0210b a x x ∈∃>∀>∃δε，且δ<-21x x ，但.)()(021ε≥-x f x f 例4（复旦大学）讨论Riemann 函数⎪⎩⎪⎨⎧=>==,1,0,0,,0,,1)(及无理数是互质整数，x q p q q px q x f在区间]1,0[上的不连续点类型.解 先证)(x f 在)1,0(内任意点的极限都存在，且为0，从而在无理点连续. )1,0(0∈∀x ，)()(x f x f =. 0>∀ε，使ε>-1q成立的正整数只有有限个，从而在)1,0(中使得ε>)(x f 成立的x 只有有限个，不妨设为k x x x ,,,21 ，若0x 等于这k 个数中的某一个，例如,10x x =，则取{}ki x x x x i ,,3,2,,1,m i n 000 =--=δ, 否则取{}ki x x x x i ,,2,1,,1,min 000 =--=δ，这样)1,0(),(0⊂δxU ，且ε<)(x f ，由极限的定义知.0)(lim 0=→x f x x 此说明函数在无理点均连续，在)1,0(. 内任意有理点都不连续，且均为可去间断点.由上面的证明过程可以看出函数)(x f 在00=x 右连续，在1=x 左连续.思考题1（浙江大学2001）给出一个一元函数，它在无理点都连续，在有理点均不连续.例5（成都电子科技大学）研究函数11lim )(+-=∞→nnn x x x f 的连续性.解 由于⎪⎩⎪⎨⎧=<->=+-=∞→.1,0,1,1,1,111lim )(x x x x x x f n nn所以，函数)(x f 在),1()1,1()1,(∞+---∞ 内都连续，1±=x 为其第一类间断点.例6（湖南大学）设⎩⎨⎧<-≥=,0,1,0,1)(x x x f x x g sin )(=，讨论))((x g f 的连续性.解 由于 ⎩⎨⎧<-≥=,0)(,1,0)(,1))((x g x g x g f,,2)12(,1,)12(2,1Z k k x k k x k ∈⎩⎨⎧<<--+≤≤=ππππ所以，,,Z k k x ∈=π为其第一类间断点，其余点均连续.例7 设函数)(x f 在),(b a 内每一点的左右极限都存在，且),(,b a y x ∈∀，都有)).()((21)2(y f x f y x f +≤+ （1）证明：)(x f 在),(b a 内连续.证 在（1）中，取0x x =，令+→0x y 得)0(21)(21)0(000++≤+x f x f x f ，即 ).()0(00x f x f ≤+ 同理，在（1）中，令-→0x y 可得)()0(00x f x f ≤-. 又在（1）中，令h x y h x x +=-=00,，并令+→0h 得))0()0((21)(000-++≤x f x f x f .由此可得)0()0()(000-=+=x f x f x f ，即)(x f 在点0x x =连续，由0x 的任意性知)(x f 在),(b a 内连续.例8（西安电子科技大学）设函数)(),(),(321x f x f x f 在],[b a 连续，记)(x f 为)(),(),(321x f x f x f 三者居中的一个，证明：)(x f 在],[b a 连续.证 事实上，)(x f 可表为{}{}.)(),(),(max )(),(),(min )()()()(321321321x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f --++=显然是连续的.例9（北京师范大学）设函数)(x f 在)1,0(上有定义，且函数)(x f e x 和)(x f e -在)1,0(都单调不减. 证明：)(x f 在)1,0(连续.证 由)(x f e -在)1,0(都单调不减知)(x f -单调不减，)(x f 单减，因此)1,0(0∈∀x ，)0(),0(00-+x f x f 都存在，且有)0()()0(000-≤≤+x f x f x f . （2）由)(x f e x 单调不减知：当0x x >时，)()(00x f e x f e x x ≥，令+→0x x 得)()0(000x f ex f ex x ≥+，)()0(00x f x f ≥+.结合（2）式知)()0(00x f x f =+.同理可证)()0(00x f x f =-，因此)(x f 在0x 连续. 由0x 的任意性知)(x f 在)1,0(连续. 例10（合肥工业大学）证明：定义在),(l l -内的任何函数)(x f ，必可以表示成偶函数与奇函数之和的形式，而且这种表示法是唯一的.证 令))()((21)()),()((21)(x f x f x G x f x f x F --=-+=，则)(x F 与)(x G 分别为),(l l -上的偶函数和奇函数.下证唯一性.假设还存在偶函数)(1x F 和奇函数)(1x G ，使得)()()(11x G x F x f +=，则有)()()()(11x G x G x F x F -=-，上式左端为偶函数，右端为奇函数，因此，)()(),()(11x G x G x F x F --既是偶函数，又是奇函数，从而为常值函数0.例11（湖北大学2001）证明：函数23)(xe x xf -=为R 上的有界函数.证 由于0lim23=∞→xx ex （洛必达法则），所以，由极限的保序性得：0>∃M ，当M x >时，有.1)(≤x f又)(x f 在],[M M -上连续，故在],[M M -有界，即,1>∃L 使得],[M M x -∈∀，都有L x f ≤)(，综合上两式立得：R x ∈∀，有L x f ≤)(，即)(x f 为R 上的有界函数.例12（华中师范大学）设函数)(x f 定义在区间I 上. 若)1,0(,,21∈∀∈∀λI x x ，都有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+，证明：)(x f 在I 的任何闭子区间上都有界.证 ),(,],[b a x I b a ∈∀⊂∀，)1,0(∈∃λ，使得a b a b a x )1()(λλλ-+=-+=，记{})(),(max b f a f M =，则由假设得.)()1()()(M a f b f x f ≤-+≤λλ此式显然对b a x ,=也成立. 下证)(x f 有下界.],[b a x ∈∀，令x b a y -+=，则22b a y x +=+，由假设条件得2)(21)(21)(21)2()2(M x f y f x f y x f b a f +≤+≤+=+，由此可得M b a f x f -+≥)2(2)(，即)(x f 在I 上有下界，从而在I 上有界.例13（南京大学）设)(x f 为非常值连续周期函数，证明：)(x f 必有最小正周期. 证 记{}的正周期为f t t S =，由确界原理知S存在下确界，记,inf S T =则.0≥T 下证T 是)(x f 的周期，且.0>T由下确界定义，{}S t n ⊂∃，使得.lim T t n n =∞→ 由)(x f 的连续性得：R x ∈∀，有)()(lim )(x f t x f T x f n n =+=+∞→.若0=T ，即0lim =∞→n n t ，则R x ∈∀，x 可表示为.,2,1, =+=n r t k x n n n其中n k 为整数，,0n n t r <≤ 且.0lim =∞→n n r 由函数的周期性得)()()(n n n n r f r t k f x f =+=，由函数的连续性，令∞→n 得).0()(f x f =即)(x f 为常值函数，这与假设矛盾，所以0>T ，从而T 为)(x f 的最小正周期.注 没有连续性假设，这个结论不正确，如Dirichlet 函数.思考题2（华东师大1998）设)(x f 为R 上的周期函数，其周期小于任意小的正数. 证明：若)(x f 在R 上连续，则)(x f 为常值函数.例14 设函数)(x f 在],[b a 连续. 证明：（1）若对任意有理数],[b a r ∈，有0)(=r f ，则],[,0)(b a x x f ∈∀≡；（2）若对任意有理数],[,21b a r r ∈，21r r <，有)()(21r f r f <，则)(x f 在],[b a 上严格递增.证（1）],[0b a x ∈∀，由有理数的稠密性知，必存在有理数列{}],[b a r n ⊂，使得.lim 0x r n n =∞→则由)(x f 的连续性得0)(lim )(0==∞→n n r f x f ，即].,[,0)(b a x x f ∈∀≡（2）2121],,[,x x b a x x <∈∀，21r r <∃，使得2211x r r x <<<，在],[11r x 和],[22x r 中分别存在严格递减有理数列{}n r '和严格递增有理数列{}n r ''，使.lim ,lim 1n n n n n x r x r =''='∞→∞→由函数的连续性得).()(lim )(lim )(21x f r f r f x f n n n n =''<'=∞→∞→即)(x f 在],[b a 上严格递增.例15 设定义在R 上的函数)(x f 满足： （1）)(x f 在0=x 连续；（2）R y x ∈∀,，有).()()(y f x f y x f +=+ （3）证明：（1）)(x f 在R 上连续； （2）.)1()(,x f x f R x =∈∀证（1）以0==y x 代入（3）式得.0)0(=f R x ∈∀0，由（3）式得)()()(00x f x x f x f +-=，由)(x f 在0=x 连续得).()0()()(lim )()(lim 00000x f f x f x x f x f x f x x x x =+=-+=→→即)(x f 在R 上连续.（2）以x y -=代入（3）式知)(x f 为R 上的奇函数. 对任意正整数q p ,，反复应用（3）式可得).1(1)1(),1()(f qq f pf p f == 由)(x f 为奇函数知上式对一切整数都成立，从而对一切有理数qpr =，都有 ).1()(rf r f =于是，R x ∈∀，存在有理数列{}n r ，x r n n =∞→lim ，由连续性假设得).1()1(lim )(lim )(xf f r r f x f n n n n ===∞→∞→例16 设函数)(x f 在],[b a 上连续，],[b a x ∈∀，记)(sup )(],[t f x M x a t ∈=. 证明：)(x M 在],[b a 上连续.证 )(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上一致连续，即0,0>∃>∀δε，当δ≤-∈2121],,[,x x b a x x 时，有ε<-)()(21x f x f ，从而，],[0b a x ∈∀，当],[,00b a x x x ∈∆+<∆<δ时，有)(sup)(sup)()(0],[],[0000t f t f x M x x M x a t x x a t ∈∆+∈-=-∆+≤))()((sup ))()((sup0],[0],[00x f t f x f t f x a t x x a t ---=∈∆+∈))()((sup ))()((sup)),()((sup max 0],[0],[0],[0000x f t f x f t f x f t f x a t x x x t x a t --⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=∈∆+∈∈ε<，同理可证，当],[,00b a x x x ∈∆+≤∆<-δ时，有ε<∆+-≤)()(000x x M x M ，从而有ε<-∆+)()(00x M x x M ，即 )(x M 在点0x x =连续，由0x 的任意性知)(x M 在],[b a 上连续.思考题3（大连理工2004，湖北大学2001）证明：若)(x f 在],[b a 上连续，则函数{})(min)(t f x m xt a ≤≤=在],[b a 上连续.例17（上海交大2003，首都师大2003，华东师范大学） 设)(x f 对R 上一切x ，有)()(2x f x f =，且)(x f 在点1,0==x x 处连续. 证明：)(x f 在R 上为常数.证 当0>x 时，由已知条件得====)()()()(214121nx f x f x f x f ，因此，由)(x f 在点1=x 连续得)1()(lim )(21f x f x f nn ==∞→.当0<x 时，)1()()(2f x f x f ==.当0=x 时，由)(x f 在点0=x 连续得)1()(lim )0(0f x f f x ==→.综合上述结果得)(x f 在R 上为常数.二 闭区间上连续函数性质的应用例18 利用确界原理和致密性定理证明闭区间上连续函数的最值定理.证 设函数)(x f 在],[b a 连续，记)(sup ],[x f M b a x ∈=（这里M 可能为.∞+ ），由上确界定义可得：存在{}],[b a x n ⊂，使得.)(lim M x f n n =∞→ 而{}n x 有界，由致密性定理，存在收敛子列{}knx ，设0limx x k n k =∞→，则],[0b a x ∈，由)(x f 在],[b a 上连续得)()(lim )(lim 0x f x f x f M k n k n n ===∞→∞→，即)(x f 在0x 取得最大值.类似可以证明最小值存在.例19 设函数)(x f 在],[b a 上连续，且在],[b a 上存在反函数，证明：)(x f 在],[b a 上严格单调.证 假设)(x f 在],[b a 上不严格单调，则将出现以下两种情况之一： 1）x x b a x x ''<'∈'''∃],,[,，使得)()(x f x f ''='； 2）x x x b a x x x '''<''<'∈''''''∃],,[,,，使得)()()(x f x f x f ''<'''<' 或 ).()()(x f x f x f ''>'''>'当情况1）出现时，函数)(x f 在],[b a 上不存在反函数，这与条件矛盾. 当情况2）出现时，由介值定理知，存在),(x x c '''∈，使得)()(x f c f '''=，这也与反函数存在矛盾，因此)(x f 在],[b a 上严格单调.思考题4（华东师大1999，上海大学2002）证明：若函数)(x f 在区间I 上处处连续，且为一一映射，则)(x f 在I 上必为严格单调.提示：一一映射必存在反函数.例20 设函数)(x f 在),(b a 内连续（这里),(b a 可以是有限区间，也可以是无穷区间），且α==-+→→)(lim )(lim x f x f bx ax ，其中α为有限数，∞+ 或 .∞- 证明：)(x f 在),(b a 内能取到最大值或最小值.证 （1）若),(b a 为有限区间，α为有限时，补充定义⎩⎨⎧=∈=,,,),,(),()(b a x b a x x f x f α 则)(x f 在],[b a 连续，从而存在最大最小值，由)()(b f a f =知，最大最小值至少有一个在),(b a 内取到.若+∞=α时，取),(0b a x ∈，由+∞==-+→→)(lim )(lim x f x f bx ax 得：0>∃δ}{),min (00x b a x --<δ，使得 ),(),(b b a a x δδ-+∈ 时，)()(0x f x f >. 在区间],[δδ-+b a 上，)(x f 连续，从而取到最小值，设为)(1x f ，则)()(01x f x f ≤.由此可见，)(1x f 为)(x f 在),(b a 上的最小值.（2）当),(b a 为无穷区间时，仅就a 为有限，+∞=b 情形给予证明，其余情形类似，请读者自己补证.当α为有限值时，若α≡)(x f ，结论显然成立，否则必存在),(0b a x ∈，使得.)(0α≠x f 不妨设α>)(0x f ，则由极限的保序性知：0>∃δ，当),(δ+∈a a x 时，)()(0x f x f <，同时，)(0δ+>>∃a M M ，使得当M x >时，).()(0x f x f < 在闭区间],[M a δ+上，)(x f 连续，故存在最大值，设为)(c f ，则)()(0x f c f ≥，由此可见，)(c f 为)(x f 在),(b a 上的最大值.例21 设函数)(x f ：],[],[b a b a →为连续函数. 证明：ξξξ=∈∃)(],,[f b a .证 若a a f =)(或b b f =)(，不证自明. 否则.)(,)(b b f a a f <>令x x f x F -=)()(，则)(x F 在],[b a 连续，且0)(,0)(<>b F a F ，由介值定理立明. 思考题5 设)(x f ：]1,0[]1,0[→为连续函数，证明：+∈∀Z n ，]1,0[0∈∃x ，使得.)(00nx x f =例22（湖北大学2001）设函数)(x f 在]1,0[上连续，且)1()0(f f =. 证明：]1,0[,∈∃∈∀+ξZ n ，有)()(1ξξf nf =+-.证 当1=n 时，取0=ξ，则结论成立. 否则令)()()(1x f n x f x F -+=-，则有0)1()3()2()1()0(=-+++++nn F n F n F n F F . 若此式中每项均为零，则结论已成立；若不全为零，则必有正有负，由介值定理立明.思考题6（上海交大）设)(x f 在]1,0[上非负连续，且0)1()0(==f f ，则对任意实数l ：10<<l ，必存在]1,0[0∈x ，使得).()(00l x f x f +=例23 设函数)(x f 在),0[∞+二次可微，且.0)0(,1)0(>'-=f f 又当0>x 时，0)(>''x f . 证明：方程0)(=x f 在一),0[∞+内只有一根.证 由泰勒定理得.0,)(21)0()0()(2x x f x f f x f <<''+'+=ξξ由0)(,0)0(≥''>'x f f 知，当x 充分大时，必有1)(>x f ，而01)0(<-=f ，由连续函数的介值定理知，至少存在一点c ，使得0)(=c f .又0)(>''x f ，则)(x f '单增，而0)0(>'f ，所以0)(>'x f ，即)(x f 严格单调，从而零点是唯一的.例24 已知函数在圆周上有定义，并且连续. 证明：可以找到一个直径的两个端点,,b a 使得)()(b f a f =.（前苏联高校联赛题）证 以圆心为极点，以某半径所在射线为极轴，这样，定义在圆周上的函数仅为极角θ的一元函数，且以π2为周期. 至此，所求问题转化为：函数)(θf 在]2,0[π上连续，且)2()0(πf f =. 求一0θ，使得)()(00πθθ+=f f .为此，令)()()(θπθθ+-=f f F ，若0)0(=F ，则问题已解；若0)0(≠F ，则)0()0()()2()()(F f f F f F -=-=-=ππππ， 即)(θF 在闭区间],0[π上异号，由介值定理立明.例25（北京大学2002）设函数)(x f 在]2,[α+a a 上连续，证明：],[α+∈∃a a x ，使得)]()2([21)()(a f a f x f x f -+=-+αα.证 令)]()2([21)()()(a f a f t f t f t F -+--+=αα，则 0)()(≤+αa F a F ，且)(t F 在],[α+a a 连续，若0)(=a F 或0)(=+αa F ，则命题显然成立，否则0)()(<+αa F a F ， 由介值定理知，),(α+∈∃a a x ，使得0)(=x F ，即)]()2([21)()(a f a f x f x f -+=-+αα.例26（哈工大1999）设函数)(x f 在R 上连续，若+∞=±∞→)(lim x f x ，且)(x f 在a x =处达到最小值，.)(a a f < 证明：))(()(x f f x F =至少在两点达到最小值.证 由+∞=±∞→)(lim x f x 得：)(0a M M >>∃，使得当M x ≥时，有a x f >)(. 在区间],[a M -与],[M a 上，)()(M f a a f ±<< ，由连续函数介值定理知，存在],[],,[21M a x a M x ∈-∈，使得.)()(21a x f x f ==从而R x ∈∀，有)())(()()()(21x F x f f a f x F x F =≤==，即)(x F 在21,x x 处达到最小值.例27（华中科技大学）设函数)(x f 在),(b a 内连续，b x x x a n <<<<< 21，证明： ),(b a ∈∃ξ，使得.)()()()(21nx f x f x f f n +++=ξ证 )(x f 在),(b a 内连续，则在],[1n x x 上连续，从而在],[1n x x 上存在最大最小值，记)(min),(min],[],[2121x f M x f m x x x x x x ∈∈==，则M nx f x f x f m n ≤+++≤)()()(21 ，由连续函数介值定理知，),(],[21b a x x ⊂∈∃ξ，使得.)()()()(21nx f x f x f f n +++=ξ例28（华中师大2000，西安交大，北京交大，国防科技大学）设)(x f 在],[b a 上连续，且.0)(>x f 又⎰⎰+=x bx adt t f dt t f x F )(1)()(. 证明：（1）2)(≥'x F ；（2）0)(=x F 在],[b a 内有且只有一个根. 证（1）由0)(>x f 得.2)(1)(2)(1)()(=⋅≥+='x f x f x f x f x F（2）由0)(>x f 得,0)(,0)(><b F a F由连续函数介值定理知，存在),(b a c ∈，使得,0)(=c F又由（1）知)(x F 在],[b a 上严格递增，所以使上式成立的c 是唯一的.例29（复旦大学，安徽大学1999，首都师大2000）设连续函数],[),(b a x x f y ∈=，其值域].,[b a R f ⊂ 证明：],[0b a x ∈∃，使得.)(00x x f =提示：],,[b a R f ⊂ 则b x f a ≤≤)(，令x x f x F -=)()(，由介值定理立明.三 一致连续问题例30（南开大学2000）（1）叙述函数)(x f 在区间I 一致连续的定义； （2）)(),(x g x f 在I 一致连续，且有界，证明：)()(x g x f 在I 一致连续.解（1）若I x x ∈'''∀>∃>∀,,0,0δε，当δ<''-'x x 时，有ε<''-')()(x f x f ，则称函数)(x f 在I 一致连续.（2）由)(),(x g x f 在I 一致连续知，I x x ∈'''∀>∃>∀,,0,0δε，当δ<''-'x x 时，有.)()(,)()(εε<''-'<''-'x g x g x f x f 又)(),(x g x f 在I 有界，故存在0>M ，使得I x ∈∀，有 .)(,)(M x g M x f ≤≤从而)()()()()()()()()()()()(x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f ''''-'''+'''-''=''''-'' εM x f x f M x g x g M 2)()()()(<''-'+''-'≤，即)()(x g x f 在I 一致连续.例31（华中师大）设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，（1）用“δε-”语言叙述)(x f 在),(b a 一致连续的概念； （2）设10<<a . 证明：x f 1sin )(=在)1,(a 内一致连续； （3）证明：xx f 1sin)(=在)1,0(非一致连续. 解（1）若),(,,0,0b a x x ∈'''∀>∃>∀δε，当δ<''-'x x 时，有ε<''-')()(x f x f ，则称函数)(x f 在),(b a 一致连续.（2）)1,(,a x x ∈'''∀，有x x ax x x x ''-'≤''-'≤''-'21111sin 1sin， 所以，)1,(,,0,02a x x a ∈'''∀>=∃>∀εδε，当δ<''-'x x 时，有ε<''-'x x 1sin1sin，即)(x f 在)1,(a 内一致连续.（3）,0,210>∀=∃δε 当n 充分大时，δππδπ<+<221,21n n ，取221,2121πππ+==n x n x ，则δ<-21x x ，但0211)()(ε>=-x f x f ，所以)(x f 在)1,0(非一致连续.思考题7（中科院2001）证明：xx f 1)(=在)0)(,[>+∞a a 上一致连续，x x g 1sin)(=在)1,0(上非一致连续.例32（武汉大学2001）证明：x x f sin)(=在),0(+∞内一致连续.证 0s i n lim 0=+→x x ，由极限的柯西收敛准则知：,0,01>∃>∀δε当),0(,121δ∈x x 时，有ε<-)()(21x f x f .在),2[1∞+δ上，),2[,121∞+∈∀δx x ，有2121212121214)()(x x x x x x x x x f x f -≤-≤-≤-δ，从而对上述0>ε，)2(04121δδεδδ<>=∃ ，当),2[,121+∞∈δx x ，δ<-21x x 时，有.)()(21ε<-x f x f于是，当δ<-+∞∈2121),,0(,x x x x 时，21,x x 要么同时属于),0(1δ，要么同时属于),2[1+∞δ，无论哪种情况，都有,)()(21ε<-x f x f故)(x f 在),0(+∞一致连续.注 也可将区间),0(+∞延拓到),0[+∞，然后分别讨论]1,0[和),1[+∞的一致连续性，在]1,0[上直接使用Conter 定理，无穷区间上的证明类似.思考题8（人民大学1999）用定义证明：x x f =)(在),0[+∞上一致连续.例33（上海交大）讨论函数xxx f sin )(=在π<<x 0上的一致连续性. 解 由于,0sin lim ,1sinlim 0==-+→→xxxx x π补充定义⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∈=,,0,0,1),,0(,sin )(ππx x x x xx f 则)(x f 在],0[π连续，从而在],0[π上一致连续，因此，)(x f 在),0(π内一致连续.例34（哈工大2000）已知.)(2x x f =（1）证明：)(x f 在],0[a )0(>a 上一致连续； （2）证明：)(x f 在),0[+∞非一致连续.证（1）因为)(x f 在],0[a 上连续，由Conter 定理知)(x f 在],0[a 上一致连续（也可用定义仿例26证之）.（2）δδδδδδε<=->+=>=∃>∀=∃2,022,02,0,121210x x x x ，但0212121224))(()()(εδδ>=⋅>-+=-x x x x x f x f ，所以，)(x f 在),0[+∞上非一致连续.注 此例同时表明：一致连续函数的乘积未必一致连续.例35（北京大学2000）用定义证明：若函数)(x f 在],[b a 和],[c b 上一致连续，则)(x f 在],[c a 上一致连续.证 由)(x f 在],[],,[c b b a 一致连续得：0,0>∃>∀δε，当δ<-∈2121],,[,x x b a x x 时，或δ<-∈2121],,[,x x c b x x 时，都有2)()(21ε<-x f x f ，特别地，当δ<-∈b x b a x 11],,[时，有2)()(1ε<-b f x f ，当δ<-∈b x c b x 22],,[时，有2)()(2ε<-b f x f .从而， ],[,21c a x x ∈∀，当δ<-21x x 时，21,x x 要么同时属于],[b a ，要么同时属于],[c b ，要么分别属于不同的区间，在前两种情况下都有εε<<-2)()(21x f x f ，当21,x x 分别属于不同的区间时，不妨设],[],,[21c b x b a x ∈∈，此时有ε<-+-≤-)()()()()()(2121b f x f b f x f x f x f ，因此，无论哪种情况都有ε<-)()(21x f x f ，所以，函数)(x f 在],[c a 上一致连续.下面几个例题刻画了一致连续的性质.例36（浙江大学2004，华中科技大学）证明：函数)(x f 在区间I 上一致连续的充要条件是：对区间I 上的任意数列{}{}nn x x ',，只要,0→'-n n x x 就有 )(0)()(∞→→'-n x f x f nn . 证 必要性. 设)(x f 在区间I 上一致连续，则0,0>∃>∀δε，当δ<''-'∈'''x x I x x ,,时，有ε<''-')()(x f x f ， （1）又,0→'-nn x x 故对上述0>δ，0>∃N ，当N n >时，δ<'-n n x x ，从而由（1）式得 ε<'-)()(nn x f x f ， 即0)()(lim ='-∞→nn n x f x f . 充分性. 假设)(x f 在区间I 上非一致连续，即,,,,0,00δδε<''-'∈'''∃>∀>∃x x I x x 但0)()(ε≥''-'x f x f .取n 1=δ，则相应有n x 和x x '：1-<''-'n x x n n，但0)()(ε≥''-'n n x f x f ，这与已知条件向矛盾，故一致连续.例37 设I 为有限区间，)(x f 在其上有定义. 证明：)(x f 在I 一致连续的充要条件是：函数)(x f 把柯西列映射为柯西列.（北京师范大学、西北师范大学）证 必要性证明同上.充分性. 假设)(x f 在区间I 上非一致连续，由例11的证明知：{}{}nn x x '∃,，使得 nx x nn 1<'-，但0)()(ε≥'-nn x f x f ， 由于I x n ∈，则必存在收敛子列{}k n x ，由上式知{}kn x '也收敛，且极限相同，因此序列 ,,,,,,,2211kk n n n n n n x x x x x x ''' 也收敛，即为柯西列，但数列),(),(,),(),(),(),(2211kk n n n n nn x f x f x f x f x f x f ''' 非柯西列，这与已知条件矛盾.例38（山东大学、南开大学）设函数)(x f 在有限区间),(b a 上连续. 试证：)(x f 在有限区间),(b a 上一致连续的充要条件是：)(lim x f a x +→和)(lim x f b x -→均存在（有限）.证 充分性显然.（利用函数延拓方法证之）必要性. 已知)(x f 在有限区间),(b a 上一致连续，则),(,,0,0b a x x ∈'''∀>∃>∀δε， 当δ<''-'x x 时，有ε<''-')()(x f x f ，故,,),,(,δ+<'''<∈'''∀a x x a b a x x 有ε<''-')()(x f x f ，由函数极限的柯西准则知)(lim x f a x +→存在，且有限. 同理可证)(lim x f b x -→存在且有限.注（1）将有限区间改为无穷区间时，结论不在成立，如x x f =)(，但充分性仍然成立（新疆大学）.（2）在有限区间一致连续，则一定有界；但连续、有界未必一致连续，如函数x x f 1sin )(=在)1,0(上.（3）)(x f 在I 一致连续，)(2x f 在I 未必一致连续，如x x f =)(在R 上. 若)(x f 一致连续，且有界，或I 为有限区间，则)(2x f 在I 一致连续.（4）若函数)(x f 在),(b a （有限或无穷）单调、有界、连续，则)(x f 在),(b a 一致连续.思考题9（厦门大学）如果一个函数)(x f 在区间)1,0(内一致连续，那么存在一个函数)(x F 在闭区间]1,0[上连续，并且对任何)1,0(∈x ，有).()(x f x F =思考题10（大连理工）已知函数)(x f 在有限区间),(b a 内一致连续，证明：)(lim x f ax +→存在.思考题11（天津大学1999）下列函数在区间)1,0(一致连续的是（ ）（1）,1)(x x f = （2）,1sin )(x x g =（3）,2)(2xx x h -=（4）.ln )(x x s =思考题12（北京大学1998）设],[)(b a C x f ∈，若2)(lim ,1)(lim ==-+→→x f x f bx ax ，则（1）)(x f 在],[b a 一致连续， （2）)(x f 在],[b a 连续，（3）)(x f 在),(b a 一致连续， （4）)(x f 在),(b a 可微. 例39 设函数)(x f 在),[∞+a 连续，且A x f x =+∞→)(lim （有限数），则（1）函数)(x f 在),[∞+a 一致连续. （人民大学2001，新疆大学） （2）)(x f 在),[+∞a 有界.（复旦大学，天津大学1999）证 （1）由A x f x =+∞→)(lim 得：),(0,0a N N >>∃>∀ε当N x >时，有2)(ε<-A x f ，从而当),[,21∞+∈∀N x x 时，有.)()(21ε<-x f x f （也可直接由柯西准则）在区间[a ，N +1]上，由于)(x f 连续，从而在闭区间[a ，N +1]上一致连续，于是对上述0>ε，),1(0<>∃δδ当δ<-+∈2121],1,[,x x N a x x 时，有.)()(21ε<-x f x f这样，),[,21∞+∈∀a x x ，则当δ<-21x x 时，21,x x 要么同时属于[a ，N +1]，要么同时属于),[+∞N ，无论何种情形，都有.)()(21ε<-x f x f 因此，)(x f 在),[∞+a 一致连续. （2）由A x f x =+∞→)(lim 得：对1=ε，)(0a M M >>∃，当M x ≥时，有1)(<-A x f ，.1)(+<A x f在区间],[M a 上，)(x f 有界，故存在)1(0+>>A L L ，],[M a x ∈∀时，有L x f ≤)(，结合上两式立得：),[+∞∈∀a x ，有L x f ≤)(，即)(x f 在),[+∞a 有界.思考题13（哈工大2002）求证：xexx f 314)(=在),0[+∞上一致连续.思考题14（北京科技大学）证明：若R 上的连续函数)(x f 有有限极限：.)(lim ,)(lim B x f A x f x x ==+∞→-→证明：)(x f 在R 上一致连续.例40（北师大） 设函数)(x f 在),[∞+a 连续，且有斜渐近线，即R c b ∈∃,，使得0)]()([lim =+-+∞→c bx x f x .证明：函数)(x f 在),[∞+a 一致连续.证 若0=b ，由例13知结论成立，若0≠b ，则由0)]()([lim =+-+∞→c bx x f x 得：M x a M M >∀>>∃>∀),(0,0ε，有)(ε<--c bx x f .取b 31εδ=，则当12121,,δ<->x x M x x 时，有ε<-+--+--≤-21221121)()()()(x x b c bx x f c bx x f x f x f . （2）又)(x f 在),[∞+a 连续，从而在]1,[+M a 上一致连续，于是对上述0>ε，),1(022<>∃δδ当22121],1,[,δ<-+∈x x M a x x 时，有.)()(21ε<-x f x f这样，取{}21,min δδδ=，),[,21∞+∈∀a x x ，当δ<-21x x 时，21,x x 要么同时属于[a ，M +1]，要么同时属于),[+∞M ，无论哪种情形，都有.)()(21ε<-x f x f 因此，)(x f 在),[∞+a 一致连续. 更一般地，我们有：例41（浙江大学2003，上海交大2002，华南理工2001，华中科技大学1997） 设函数)(x f 在),[∞+a 一致连续，)(x g 在),[∞+a 连续，且0)]()([lim =-+∞→x g x f x .证明：)(x g 在),[∞+a 一致连续.证 由0)]()([lim =-+∞→x g x f 得：M x a M M >∀>>∃>∀),(0,0ε，有3)()(ε<-x g x f .又)(x f 在),[∞+a 一致连续，故对上述121211),,[,,0,0δδε<-∞+∈∀>∃>∀x x a x x 时，有2)()(21ε<-x f x f .于是，当,,M x x >'''且1δ<''-'x x 时，有ε<''-''+''-'+'-'≤''-')()()()()()()()(x g x f x f x f x f x g x g x g .又)(x g 在),[∞+a 连续，从而在]1,[+M a 上一致连续，于是对上述0>ε，),1(022<>∃δδ当22121],1,[,δ<-+∈x x M a x x 时，有.)()(21ε<-x g x g这样，取{}21,min δδδ=，),[,21∞+∈∀a x x ，当δ<-21x x 时，21,x x 要么同时属于[a ，M +1]，要么同时属于),[+∞M ，无论哪种情形，都有.)()(21ε<-x g x g 因此，)(x g 在),[∞+a 一致连续.例42 若函数)(x f 在区间I 上满足利普希茨条件：I x x L ∈∀>∃21,,0，有2121)()(x x L x f x f -≤-，则)(x f 在I 上一致连续.证 用一致连续的定义容易证明.例43（华东师大2003）若函数)(x f 在区间I 上可导，且导函数有界，则)(x f 在I 一致连续.证 由假设知：0>∃L ，I x ∈∀，有L x f ≤')(，从而有微分中值定理得：I x x ∈∀21,，有2121)()(x x L x f x f -≤-，即)(x f 在I 上满足利普希茨条件，从而一致连续.例44（北京大学2001，东南大学2002）证明：函数x x x f ln )(=在),1[+∞上一致连续.证 xxx x f 12ln )(+='，)(x f '在),1[+∞上连续，且0)(lim ='+∞→x f x ，由例39知)(x f '在),1[+∞上有界，由上例知)(x f 在),1[+∞上一致连续.例45（华东师大1999，哈工大1999）设函数)(x f 在),1[+∞上可导，且.)(lim +∞=+∞→x f x证明：)(x f 在),1[+∞上非一致连续.证 由+∞='+∞→)(lim x f x 得：0,0>∃>∀N δ，当N x >时，有δ2)(>'x f .对10=ε，取,,21N x x > 且221δ=-x x ，则有0212122)()()(εδδξ=⋅≥-'=-x x f x f x f ， 所以，)(x f 在),1[+∞上非一致连续.思考题15（武汉大学）设函数)(x f 定义在区间I 上，试对“函数)(x f 在I 上非一致连续”的含义作一肯定语气（即不使用否定词）叙述，并且证明：x x x f ln )(=在),0(+∞不一致连续.提示：利用上例结论.思考题16（武汉大学1998）设函数)(x f 在),0[+∞上满足利普希茨条件，证明：函数)(αx f )10(<<α在),0[+∞上一致连续.提示：只需证明：αx x g =)(在),0[+∞上一致连续，为此将区间),0[+∞分成两个区间]1,0[和),1[+∞，当10<<α时，)(x g '在),1[+∞有界，从而)(x g 在),1[+∞一致连续.思考题17（清华大学1999）设函数)(x f 在),0[+∞连续，在),0(+∞内处处可导，且A x f x ='+∞→)(lim （存在）. 证明：当且仅当+∞<A 时，)(x f 在),0[+∞上一致连续.提示：由例43和例45立明.思考题18（北京大学2005）（1）设)(x f 在开区间),(b a 可微，且)(x f '在),(b a 有界.证明：)(x f 在),(b a 一致连续.（2）设)(x f 在开区间))(,(+∞<<<-∞b a b a 可微，且一致连续，试问)(x f '在),(b a 是否一定有界（若肯定回答，请证明；若否定回答，请举例说明）.提示：（1）参见例43.（2）未必有界，如函数x x f =)(，).1,0(∈x思考题19（北大2005保送生考试）设)(),(x g x f 在区间I 上一致连续. 问)()(x g x f 在I 是否一致连续？并证明x x ln 在),0(+∞一致连续.例46（北京师范大学）设函数)(x f 在有限开区间),(b a 内有连续的导函数，且)(lim x f ax '+→与)(lim x f bx -→均存在有限. 试证：（1）)(x f 在),(b a 一致连续； （2）)(lim ),(lim x f x f bx ax -+→→均存在.证（1）由假设条件知)(x f '在区间),(b a 一致连续，从而在其上有界，由例42知)(x f 在),(b a 一致连续.（2）见例38.例47（云南大学、南开大学）设)(x f 在R 一致连续，则存在非负实数,,b a 使得R x ∈∀，有b x a x f +≤)(.证 由)(x f 在R 一致连续知：δδε≤-∈∀>∃>∀2121,,,0,0x x R x x 当 时，有ε<-)()(21x f x f .,R x ∈∀不妨设,0>x 则Z n ∈∃，使得),(,00δδδ-∈+=x x n x .注意到)(x f 在],[δδ-上有界，即0>∃M ，有],[,)(δδ-∈≤x M x f .因此，)()])1(()([)(0100x f x k f x k f x f nk ++--+=∑=δδ，M n x f x k f x k f x f nk +≤++--+≤∑=εδδ)()])1(()([)(0100.由0x n x +=δ知δx x n -=，代入上式得εδεδεδεδε++≤++≤+-≤M x x M x M x x x f 00)(.特别地，取,0,100>∃=δε均为常数，从而取1,00+==M b a ε，则结论成立.思考题20（华东师大2004）若函数)(x f 在),1[+∞上一致连续，求证：xx f )(在),1[+∞上有界.例48（上海师大，江西大学） 设函数)(x f 在),0[∞+一致连续，且0>∀x ，有0)(lim =+∞→n x f n .证明：0)(lim =∞→x f x .证 由)(x f 在),0[∞+一致连续得：δδε<-∞+∈∀>∃>∀2121),,[,,0,0x x a x x 时，有2)()(21ε<-x f x f . （3）取δ1>k ，将[0，1]k 等份，记分点为k i ki x i ,,2,1, ==. 这时小区间的间距均小于δ，因此对于小区间中的任意两点，上式均成立.由已知条件知，对每个nix i =，有0)(lim =+∞→n x f i n ，从而对上述0,0>∃>i N ε，当i N n ≥时，有2)(ε<+n x f i . 取{}k N N N N ,,,max 21 =，则当N n ≥时，有2)(ε<+n x f i ，k i ,,2,1 =.下证：当ε<>)(,x f N x . 事实上，N x >∀，记N x n ≥=][，则)1,0[∈-n x ，故存在{}k i ,,2,1 ∈，使得δ<--i x n x )(，由（3）式得 2)()(ε<+-i x n f x f ，从而ε<+++-≤)()()()(i i x n f x n f x f x f .即0)(lim =∞→x f x .注 分割法常用来寻找若干个中的最大者，其基本原理是：化无限为有限，从而存在最大者. 注意此法的应用.例49 设)(x f 在R 有定义，且满足：（1）具有介值性：若)()(21x f x f <<μ，则存在ξ介于1x 与2x 之间，使得μξ=)(f ； （2）对任意有理数r ，集合{}r x f x =)(为闭集. 试证：)(x f 在R 连续.证 用反证法. 假设)(x f 在某点0x 不连续，则存在00>ε，R x nn ∈∃>∀,01，虽然nx x n 10<-，但00)()(ε≥-x f x f n ，由此得一数列{}),(0∞→→n x x x n n ： 使)(n x f 在区间))(,)((0000εε+-x f x f 之外，从而在该区间的某侧，不妨设为右侧含有{})(n x f 中无穷多项，即存在子列{})(k n x f ：使得00)()(ε+>x f x f k n .在))(),((000ε+x f x f 内任取定一有理数r ，则有,2,1),()()(00=<+<<k x f x f r x f k n ε.由介值性，对每个k n ，在0x 与k n x 之间存在一点k ξ，使得 ,2,1,)(==k r f k ξ.从而∈k ξ{}r x f x =)(. 由0x x k n →知数列{}k ξ收敛于0x ，且其中有无穷多个彼此互不相同，因此0x 是{}r x f x =)(的聚点，从而0x ∈{}r x f x =)(，即r x f =)(0，这与r x f <)(0矛盾，故结论成立.例50 证明：)(x f 在R 上连续⇔任何开集的原象是开集.证 必要性. 设)(x f 在R 上连续，G 为任一开集，证明)(1G f -为开集.事实上，)(10G fx -∈∀，则G x f y ∈=)(00，由开集的定义知：0>∃ε，使得G x f x f ⊂+-))(,)((00εε，由)(x f 的连续性知，0>∃δ，使得⊂)),((0δx U f G x f x f ⊂+-))(,)((00εε，从而)(),(10G fx U -⊂δ，即)(1G f-为开集.充分性. 已知任何开集的原象是开集. R x ∈∀0，记)(00x f y =，,0>∀ε)),((0εx f U 为开集，)),(((01εx f U f-为开集，而∈0x )),(((01εx f U f-，所以,0>∃δ使得⊂),(0δx U )),(((01εx f U f -，从而有)),((0⊂δx U f )),((0εx f U ，即连续.练习题21（中国科学技术大学1997）设)(x f 在],[b a 上连续，并至少有一个零点，求证：)(x f 在],[b a 上必有最小零点.2（人民大学2000）证明： （1）)1,0(∈∃c ，使得cec -=；（2）任给)1,0(1∈x ，定义.1,1≥=-+n e x nx n 则有.lim c x n n =∞→3（南开大学2001）设)(x f 于),[+∞a 可导，且0)(>≥'c x f （c 为常数）.证明：（1）+∞=+∞→)(lim x f x ；（2）)(x f 于),[+∞a 必有最小值.4（复旦大学1997）若)(x f 在),[+∞a 上连续，且.0])([lim =-+∞→bx x f x 其中b 是常数，则)(x f 在),[+∞a 一致连续.5（上海交大2004）证明)sin(2x 在),0[+∞上不一致连续.6（上海交大2004）设)(x f 在]2,0[a 上连续，且).2()0(a f f = 证明：],0[0a x ∈∃，使得).()(00a x f x f +=7（苏州大学2005）设)(x f 在]1,0[上可微，且)(x f 的每一个零点都是简单零点，即若,0)(0=x f 则.0)(0≠'x f 证明：)(x f 在]1,0[上只有有限个零点.8（苏州大学2005）设)(x f 为R 上的以π2为周期的函数，满足： （1）0)(20=⎰πdx x f ；（2）L R y x y x L y f x f ,,,)()(∈∀-≤-为常数； 证明：（1）)(x f 在R 上可以取到最大、最小值； （2）.)(max L x f Rx π≤∈9（南京理工大学2005）设f 是],[],[b a b a ⨯上的二元连续函数，定义{}],[),(max )(b a y y x f x g ∈=，证明：)(x g 在],[b a 上连续.10（北航1999）设.0>α 试确定函数x x x f ln )(α=在),0(+∞内一致连续的参数α的范围.11（重庆大学2003）设函数)(x f 在),0[+∞连续，且,0])([lim =-+∞→x kx f x k 为常数.证明：)(x f 在),0[+∞上一致连续.12（华南理工2001）设)(x f 在),(b a 内可微，且)(x f '有界，证明：)(x f 在),(b a 内有界.13（华南理工2003）设)(x f 在有穷区间),(b a 上一致连续，证明：（1）)0(),0(-+b f a f 都存在； （2）)(x f 在),(b a 有界.14（陕西师大2002）设函数)(x f 在区间I 一致连续.（1）若I 是有界区间，问)(x f 在I 是否有界？ （2）若I 是无界区间，问)(x f 在I 是否有界？ 上述问题，若对，请证明，若不对，请举反例.15（陕西师大2003）设函数)(x f 在区间),(+∞-∞上连续，且)(lim x f x +∞→存在有限，试证：)(x f 在),(+∞-∞有界.16（大连理工2004）设函数)(x f 在]1,0(上连续，可导，且)(lim 23x f x x '+→存在. 求证：)(x f 在]1,0(上一致连续.17（大连理工2005）设函数)(x f 在开区间),0(+∞内连续有界，试讨论)(x f 在),0(+∞内的一致连续性.18（浙江大学2002）设c b a ,,为三个实数，证明：方程c bx ax e x++=2的根不超过三个.19（浙江大学2003，南京师大2003）设函数)(x f 在),[+∞a 有二阶连续导数，且,0)(,0)(<'>a f a f 当a x >时，.0)(≤''x f 证明：在),[+∞a 内，方程0)(=x f 有且只有一个实根.20（厦门大学2000）设)(x f 在),0[+∞上具有连续二阶导数. 又设,0)0(,0)0(<'>f f )),0[(0)(+∞∈<''x x f ，则])0()0(,0(f f '-∈∃ξ，使.0)(=ξf。

第2讲 函数的基本性质一、要点精讲1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ，则称f (x )为偶函数。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否 ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 = 0，则f (x )是奇函数。

（3）函数的图像与性质：奇函数的图象关于 对称；偶函数的图象关于 对称； 2．单调性（1）定义：注意：① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；② 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是 或是 ，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有 ，区间D 叫做y =f (x )的 。

（3）判断函数单调性的方法（ⅰ）定义法：利用定义严格判断（ⅱ）利用已知函数的单调性如若()f x 、)(x g 为增函数，则①()f x +)(x g 为 ；②1()f x 为 （()f x ＞0）；为 （()f x ≥0）；④-()f x 为 （ⅲ）利用复合函数【y = f （u ），其中u =g(x ) 】的关系判断单调性：复合函数的单调性法则是“ ” （ⅳ）图象法（ⅴ）利用奇偶函数的性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反； 3．最值：利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○2 利用图象求函数的最大（小）值； ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 4．周期性（1）定义：如果存在一个 常数T ，使得对于函数定义域内的 ，都有 ，则称f (x )为周期函数；（2）f (x+T )= f (x )常常写作),2()2(Tx f T x f -=+若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期；②若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为||ωT 。

第二章 函数§2.1 函数及其性质一、函数的基本性质：1. 函数图像的对称性（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=-成立；偶函数的图像关于y 轴对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=成立。

（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y x =对称。

若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y x =对称。

（3） 若函数满足()(2)f x f ax =-，则()f x 的图像就关于直线x a =对称；若函数满足()(2)f x f a x =--，则()f x 的图像就关于点(,0)a 对称。

（4） 互对称知识：函数()()y f x a y f a x =-=-与的图像关于直线x a =对称。

2．函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。

判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）特别提示：函数(0)ay x a x=+>的图像和单调区间。

3．函数的周期性对于函数()y f x =，若存在一个非零常数T ，使得当x 为定义域中的每一个值时，都有()()f x T f x +=成立，则称()y f x =是周期函数，T 称为该函数的一个周期。

若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。

（1） 若T 是()y f x =的周期，那么()nT n Z ∈也是它的周期。

（2） 若()y f x =是周期为T 的函数，则()(0)y f ax b a =+≠是周期为Ta的周期函数。

（3） 若函数()y f x =的图像关于直线x a x b ==和对称，则()y f x =是周期为2()a b -的函数。

（4） 若函数()y f x =满足()()(0)f x a f x a +=-≠，则()y f x =是周期为2a 的函数。

第二讲 函数的定义域、值域知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点一 函数的定义域 函数y ＝f (x )的定义域1．求定义域的步骤：(1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式(组)；(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) 2．求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为R . (2)分式函数中分母不等于0．(3)偶次根式函数被开方式大于或等于0． (4)一次函数、二次函数的定义域均为R ． (5)函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}． (6)指数函数的定义域为R ． (7)对数函数的定义域为(0，＋∞)． 知识点二 函数的值域 基本初等函数的值域： 1．y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R ． 2．y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎩⎨⎧y ⎪⎪⎭⎬⎫y ≥4ac －b 24a ；当a <0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≤4ac －b 24a ． 3．y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．4．y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． 5．y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R ．重要结论1．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．3．函数f (x )与f (x ＋a )(a 为常数a ≠0)的值域相同．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (2)函数y ＝xx －1定义域为x >1.( × ) (3)函数y ＝f (x )定义域为[－1，2]，则y ＝f (x )＋f (－x )定义域为[－1，1]．( √ ) (4)函数y ＝log 2(x 2＋x ＋a )的值域为R ，则a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，14.( √ ) (5)求函数y ＝x 2＋3x 2＋2的值域时有以下四种解法．判断哪种解法是正确的．[解法一](不等式法)：y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，∴值域为[2，＋∞)．( × )[解法二](判别式法)：设x 2＋2＝t (t ≥2)，则y ＝t ＋1t ，即t 2－ty ＋1＝0，∵t ∈R ，∴Δ＝y 2－4≥0，∴y ≥2或y≤－2(舍去)．( × )[解法三](配方法)：令x 2＋2＝t (t ≥2)，则y ＝t ＋1t ＝⎝⎛⎭⎫t －1t 2＋2≥2.( × )[解法四](单调性法)：易证y ＝t ＋1t 在t ≥2时是增函数，所以t ＝2时，y min ＝322，故y ∈⎣⎡⎭⎫322，＋∞.( √ ) [解析] (4)y ＝log 2(x 2＋x ＋a )值域为R 应满足Δ≥0，即1－4a ≥0，∴a ≤14.题组二 走进教材2．(必修1P 17例1改编)函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( C )A ．[0，2)B ．(2，＋∞)C ．[0，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)[解析] 使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2，故选C ．3．(必修1P 32T5改编)函数f (x )的图象如图，则其最大值、最小值分别为( B )A ．f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫－32 B ．f (0)，f ⎝⎛⎭⎫32 C ．f ⎝⎛⎭⎫－32，f (0) D ．f (0)，f (3)4．(必修1P 39BT1改编)已知函数f (x )＝x ＋9x，x ∈[2，4]的值域为⎣⎡⎦⎤6，132．[解析] 当x ＝3时取得最小值6，当x ＝2取得最大值132，值域为⎣⎡⎦⎤6，132. 题组三 走向高考5．(2020·北京，11，5分)函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的定义域是(0，＋∞)．[解析] 要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，x >0，故x >0，因此函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．6．(2016·北京，5分)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为2． [解析] 解法一：(分离常数法)f (x )＝x x －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1，∴x ≥2，∴x －1≥1，0<1x －1≤1，∴1＋1x －1∈(1，2]，故当x ＝2时，函数f (x )＝xx －1取得最大值2.解法二：(反解法)令y ＝x x －1，∴xy －y ＝x ，∴x ＝y y －1.∵x ≥2，∴y y －1≥2，∴yy －1－2＝2－y y －1≥0，解得1<y ≤2，故函数f (x )的最大值为2.解法三：(导数法)∵f (x )＝xx －1，∴f ′(x )＝x －1－x （x －1）2＝－1（x －1）2<0，∴函数f (x )在[2，＋∞)上单调递减，故当x＝2时，函数f (x )＝xx －1取得最大值2.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一 求函数的定义域——多维探究 角度1 求具体函数的定义域例1 (1)(2021·长春质检)函数y ＝ln （1－x ）x ＋1＋1x 的定义域是( D )A ．[－1，0)∪(0，1)B ．[－1，0)∪(0，1]C ．(－1，0)∪(0，1]D ．(－1，0)∪(0，1)(2)(2021·宣城八校联考期末)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg （x ＋1）的定义域为( B )A ．(－1，3]B ．(－1，0)∪(0，3]C ．[－1，3]D ．[－1，0)∪(0，3][解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1，0)∪(0，1)．(2)要使函数有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]． 角度2 求抽象函数的定义域例2 已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( B ) A ．(－1，1) B ．⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1，0)D ．⎝⎛⎭⎫12，1[解析] 由函数f (x )的定义域为(－1，0)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，即所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－1，－12. [引申1]若将本例中f (x )与f (2x ＋1)互换，结果如何？ [解析] f (2x ＋1)的定义域为(－1，0)，即－1<x <0， ∴－1<2x ＋1<1，∴f (x )的定义域为(－1，1)．[引申2]若将本例中f (x )改为f (2x －1)定义域改为[0，1]，求y ＝f (2x ＋1)的定义域，又该怎么办？ [解析] ∵y ＝f (2x －1)定义域为[0，1]．∴－1≤2x －1≤1，要使y ＝f (2x ＋1)有意义应满足－1≤2x ＋1≤1，解得－1≤x ≤0， 因此y ＝f (2x ＋1)定义域为[－1，0]． 名师点拨 MING SHI DIAN BO函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f [g (x )]的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； ②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 〔变式训练1〕 (1)(角度1)函数f (x )＝1ln （x ＋1）＋4－x 2的定义域为( B )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2](2)(角度1)(2021·安徽芜湖检测)如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( D ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2(3)(角度2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为[－1，2]． [解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln （x ＋1）≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.故选B ．(2)因为－2x ＋a >0，所以x <a 2，所以a2＝1，得a ＝2.故选D ．(3)因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1，2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．考点二,求函数的值域——师生共研例3 求下列函数的值域． (1)y ＝1－|x |1＋|x |；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x 2＋x ＋1x ；(4)y ＝x －1－2x ； (5)y ＝x ＋1－x 2； (6)y ＝|x ＋1|＋|x －2|.[解析] (1)解法一：分离常数法： y ＝1－|x |1＋|x |＝－1＋21＋|x |， ∵|x |≥0，∴|x |＋1≥1，∴0<2|x |＋1≤2.∴－1<－1＋21＋|x |≤1.即函数值域为(－1，1]．解法二：反解法：由y ＝1－|x |1＋|x |，得|x |＝1－y 1＋y .∵|x |≥0，∴1－y1＋y≥0，∴－1<y ≤1，即函数值域(－1，1]． (2)解法一：配方法：y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －142＋258， ∴0≤y ≤524，∴值域为⎣⎡⎦⎤0，524.解法二：复合函数法： y ＝t ，t ＝－2x 2＋x ＋3， 由t ＝－2x 2＋x ＋3，解得t ≤258， 又∵y ＝t 有意义，∴0≤t ≤258，∴0≤y ≤524，∴值域为⎣⎡⎦⎤0，524.(3)y ＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1解法一：基本不等式法由y ＝x ＋1x ＋1(x ≠0)，得y －1＝x ＋1x .∵⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋⎪⎪⎪⎪1x ≥2|x |·⎪⎪⎪⎪1x ＝2，∴|y －1|≥2，即y ≤－1或y ≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解法二：判别式法由y ＝x 2＋x ＋1x ，得x 2＋(1－y )x ＋1＝0.∵方程有实根，∴Δ＝(1－y )2－4≥0. 即(y －1)2≥4，∴y －1≤－2或y －1≥2.得y ≤－1或y ≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 解法三：导数法(单调性法)令y ′＝1－1x 2＝（x ＋1）（x －1）x 2<0，得－1<x <0或0<x <1.∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y ≥3； 函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，此时y ≤－1. ∴y ≤－1或y ≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (4)解法一：换元法设1－2x ＝t (t ≥0)，得x ＝1－t 22，∴y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1≤12(t ≥0)，∴y ∈⎝⎛⎦⎤－∞，12.即函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，12. 解法二：单调性法∵1－2x ≥0，∴x ≤12，∴定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，12.又∵函数y ＝x ，y ＝－1－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，12上均单调递增，∴y ≤12－1－2×12＝12，∴y ∈⎝⎛⎦⎤－∞，12. (5)三角换元法：设x ＝sin θ，θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，y ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，∵θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，∴y ∈[－1，2]．(6)解法一：绝对值不等式法：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 所以函数值域为[3，＋∞)．解法二：数形结合法： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1（x <－1），3（－1≤x ≤2），2x －1（x >2）.画出此分段函数的图象如图，可知值域为[3，＋∞)． 名师点拨 MING SHI DIAN BO求函数值域的一般方法(1)分离常数法：形如y ＝cx ＋d ax ＋b(a ≠0)的函数；如例3(1)．(2)反解法：形如y ＝cf （x ）＋daf （x ）＋b (a ≠0，f (x )值域易求)的函数；如例3(1)．(3)配方法：形如y ＝af 2(x )＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数；如例3(2)． (4)不等式法；如例3(3)．(5)单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进而确定值域．(6)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (c ≠0)的函数；如例3(4)；形如y ＝ax ＋b ±c 2－x 2(c ≠0)的函数采用三角换元，如例3(5)．(7)数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如例3(6)． (8)导数法． 〔变式训练2〕 求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝x ＋41－x ； (3)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝⎛⎭⎫x >12. [解析] (1)解法一：y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，因为x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<21＋x 2≤2.所以－1<－1＋21＋x 2≤1.即函数的值域为(－1，1]． 解法二：由y ＝1－x 21＋x 2，得x 2＝1－y 1＋y . 因为x 2≥0，所以1－y1＋y≥0.所以－1<y ≤1，即函数的值域为(－1，1]． (2)设t ＝1－x ，t ≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0)， 所以y ≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]． (3)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x （2x －1）＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12，因为x >12，所以x －12>0，所以x －12＋12x －12≥2⎝⎛⎭⎫x －12·12⎝⎛⎭⎫x －12＝2，当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号．所以y ≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎡⎭⎫2＋12，＋∞.导数法：y ′＝4x 2－4x ＋1（2x －1）2，∴y 在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1＋22递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，＋∞递增，∴y ≥2＋12.名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 已知函数的定义域或值域求参数的取值范围例4 已知函数f (x )＝lg [(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]． (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．[分析] (1)由f (x )的定义域为R 知(a 2－1)x 2＋(a ＋1)·x ＋1>0的解集为R ，即(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0恒成立； (2)由f (x )的值域为R 知(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取所有正数，即y ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1图象的开口向上且与x 轴必有交点．[解析] (1)依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0，对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a ＋1）2－4（a 2－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1或a <－1，a >53或a <－1. ∴a <－1或a >53.又a ＝－1时，f (x )＝1>0，满足题意．∴a ≤－1或a >53.(2)依题意，只要t ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f (x )的值域为R ，故有a 2－1>0，Δ≥0，解得－1≤a ≤53，又当a 2－1＝0，即a ＝1时，t ＝2x ＋1符合题意；a ＝－1时不合题意，∴－1<a ≤53.名师点拨 MING SHI DIAN BO已知函数的定义域，等于是知道了x 的范围，(1)当定义域不是R 时，往往转化为解集问题，进而转化为与之对应的方程解的问题，此时常利用代入法或待定系数法求解；(2)当定义域为R 时，往往转化为恒成立的问题，常常结合图形或利用最值求解．〔变式训练3〕(1)已知函数y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8的定义域为R ，则实数m 的取值范围为[0，1]．(2)(2021·甘肃天水三中阶段测试)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则实数m 的取值范围是( C )A ．(0，4]B ．⎣⎡⎦⎤32，4 C ．⎣⎡⎦⎤32，3D ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞[解析] (1)①当m ＝0时，y ＝8，其定义域为R . ②当m ≠0时，由定义域为R 可知， mx 2－6mx ＋m ＋8≥0对一切实数x 均成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝（－6m ）2－4m （m ＋8）≤0，解得0<m ≤1，∴m 的取值范围是[0，1]．(2)由x 2－3x －4＝－254得x ＝32；由x 2－3x －4＝－4，得x ＝0或x ＝3，又函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，∴32≤m ≤3. 另：由y ＝x 2－3x －4＝⎝⎛⎭⎫x －322－254，∴32≤m ≤3.。

第二讲分段函数及函数的单调性一.分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．常见的命题类型有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段函数与函数性质、方程、不等式问题．二.函数的单调性1.单调性的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)_______，区间D叫做函数y＝f(x)的___________.2．函数的最值②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论M 为函数y ＝f (x )的最大值 M 为函数y ＝f (x )的最小值 三.题型详解题型一分段函数的函数求值（域）问题1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0，3x ＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________． 2. 若函数，则=（ ） A ． B ．2 C ．1 D ．03.设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=⎩⎨⎧-+)]18([13n f f n ),2000(),2000(>≤n n 试求f （2002）的值.4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x， x >1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝________，函数f (x )的值域是________．题型二 分段函数的自变量求值问题 1．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 12，x ∈[0，＋∞，|sin x |，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，若f (a )＝12，则a ＝________. 2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2，x ≤0，－log 3x ，x >0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( ) A ．－log 37 B ．－34 C ．－54D ．－74 3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －1x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，若f (1)＝12，则f (3)＝________. 题型三 分段函数与函数性质、方程、不等式问题．1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________． 2.已知函数f （x ）=⎩⎨⎧<-≥-),2(2),2(2x x x 则f （lg30－lg3）=___________________； 不等式xf （x －1）＜10的解集是___________________.题型四.常见函数的单调性一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性、单调区间。