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(2)第2讲：函数及其概念

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第2章函数及其表示-2021版高三数学(新高考)一轮复习教学课件(45张ppt)

第2章函数及其表示-2021版高三数学(新高考)一轮复习教学课件(45张ppt)
___[_1_,2_)_∪__(_4_,5_]___.
第二章 函数、导数及其应用
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
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题组三 考题再现 5．(2019·江苏，5 分)函数 y＝ 7＋6x－x2的定义域是____[_－__1_,7_]_______.
[解析] 要使函数有意义，则 7＋6x－x2>0，解得－1≤x≤7，则函数的定义域是 [－1,7]．
第二章 函数、导数及其应用
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
[答案] (1)①是映射，也是函数 ②不是映射，更不是函数 ③不是映射，更不是函数 ④是映射，但不是函数 (3)不同函数①②；同一函数③
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第二章 函数、导数及其应用
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
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1.映射与函数的含义 (1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与 之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓． (2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，且每个象都有 原象，即称为函数． 2．判断两个函数是否相同的方法 (1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同． (2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数．
f2：
x
x≤1
y
1
1<x<2 2
x≥2 3
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f3：
第二章 函数、导数及其应用
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
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[解析] (1)①是映射，也是函数； ②不是映射，更不是函数，因为从A到B的对应为“一对多”； ③当x＝0时，与其对应的y值不存在．故不是映射，更不是函数； ④是映射，但不是函数，因为集合A不是数集． (2)A图象不满足函数的定义域，不正确；B、C满足函数的定义域以及函数的值 域，正确；D不满足函数的定义，故选B、C． (3)①中f1的定义域为{x|x≠0}，f2的定义域为R，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是 同一函数； ②中f1的定义域为R，f2的定义域为{x|x≥0}，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是同 一函数； ③中f1，f2，f3的定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数．

高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数I第2讲函数的单调性与最值市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖

高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数I第2讲函数的单调性与最值市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖
10/35
5.(2016·北京卷)函数 f(x)＝x－x 1(x≥2)的最大值为________. 解析 易得 f(x)＝x－x 1＝1＋x－1 1， 当 x≥2 时，x－1>0，易知 f(x)在[2，＋∞)是减函数， ∴f(x)max＝f(2)＝1＋2－1 1＝2.
答案 2
11/35
考点一 确定函数的单调性Байду номын сангаас区间)
15/35
规律方法 (1)求函数单调区间，应先求定义域，在定义域 内求单调区间，如例1(1). (2)函数单调性判断方法有: ①定义法；②图象法；③利用 已知函数单调性；④导数法. (3)函数y＝f(g(x))单调性应依据外层函数y＝f(t)和内层函数 t＝g(x)单调性判断，遵照“同增异减”标准.
29/35
【迁移探究 1】 在例题第(1)题中，条件不变，若设 m＝f(－12)， n＝f(a)，t＝f(2)，试比较 m，n，t 的大小. 解 由例题知 f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 且32≤a<2，又－12<a<2， ∴f－12<f(a)<f(2)，即 m<n<t.
答案 A
8/35
3.假如二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞, 1)上是
减函数, 那么( )
A.a＝－2
B.a＝2
C.a≤－2
D.a≥2
解析 二次函数的对称轴方程为 x＝－a－3 1，
由题意知－a－3 1≥1，即 a≤－2.
答案 C
9/35
4.函数f(x)＝lg x2单调递减区间是________. 解析 f(x)定义域为(－∞, 0)∪(0, ＋∞), y＝lg u在(0, ＋∞)上为增函数, u＝x2在(－∞, 0)上递减, 在(0, ＋∞)上递增, 故f(x)在(－∞, 0)上单调递减. 答案 (－∞, 0)

第2讲 函数概念与基本初等函数

第2讲 函数概念与基本初等函数

第2讲函数概念与基本初等函数一．【考纲导读】（一）函数1.了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2.理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数.3.了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题.4.理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性.5.理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值6.会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数1．了解指数函数模型的实际背景.2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题.4．知道指数函数是一类重要的函数模型.（三）对数函数1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3．知道对数函数是一类重要的函数模型.4．了解指数函数与对数函数互为反函数.（四）幂函数1．了解幂函数的概念.2．结合函数的图像，了解它们的变化情况.（五）函数与方程1.了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系.2.理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。

能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.（六）函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。

知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题.二．【命题走向】分析近几年的高考试题，可以发现函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.2015年高考热点主要有：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.三．【要点精讲】 1、知识网络定义定义域区间对应法则值域一元二次函数一元二次不等式映射函数性质奇偶性单调性周期性指数函数根式分数指数指数函数的图像和性质指数方程对数方程反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数对数的性质积、商、幂与根的对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质1.2.1 对函数的进一步认识一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。

第2讲 基本初等函数、函数与方程

第2讲 基本初等函数、函数与方程

[解析] (1)设太阳的星等为 m1，天狼星的星等为 m2，则太阳与天狼星的 亮度分别为 E1，E2，由条件 m1＝－26.7，m2＝－1.45，m2－m1＝52lgEE12，得52lgEE12 ＝－1.45＋26.7＝25.25.∴ lgEE21＝25.25×25＝10.1，
∴ EE21＝1010.1，即太阳与天狼星的亮度的比值为 1010.1. (2)设该场 x(x∈N *)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平 均每天支付的总费用为 y 元． 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少 200×0.03＝6(元)，所以 x 天饲料的保管费与其他费用共是 6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元)． 从而有 y＝1x(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝3x00＋3x＋357≥417，当且仅当 3x00＝3x，即 x＝10 时，y 有最小值．故该场 10 天购买一次饲料才能使平均
B．0，12∪1，2 D．1，2
[解析] 关于 x 的方程 a＝f(x)恰有两个不同
的实根，即函数 f(x)的图象与直线 y＝a 恰有两
个不同的交点，作出函数 f(x)的图象如图所示，
由图象可得实数 a 的取值范围是0，12∪1，2，故选 B. [答案] B
数为
()
A．2
B．3
C．4
D.5
[解析] (1)因为 f′(x)＝ex＋3＞0，所以函数 f(x)在 R 上单调
递增． 易知 f12＝e21＋32－4＝e12－52， 因为 e＜245，所以 e12＜52，所以 f12＜0，但 f(1)＝e＋3－4＝
e－1＞0， 所以结合选项可知，函数 f(x)的零点所在区间为12，1，故
是单调递减函数，则 f(log25)，flog315，f(log53)的大小关系是

02-第2讲函数

02-第2讲函数

y
3
[ 2] 1
0.5 1 0.5 [0.5] 1
2.7 3 0.3 [2.7] 3 3 3 0
[3] 3
3 3 0 [3] 3
。 2 。 1 。 3 2 1 。3 4 x O 1 2 。 1 。 2 。 3
第二节 函 数
一、函数的基本概念
二、函数的基本性质
三、基本初等函数 四、初等函数
一、函数的基本概念 定义4. 设数集 D R , 则称映射 D 上的函数 , 记为 定义域 自变量 为定义在
y f ( x) , x D
因变量 f ( D ) 称为值域 函数图形:
y y
C ( x , y ) y f (x) , x D D f (D)
定理
在关于坐标原点对称的区间 I 内有
定义的任何一个函数 f ( x )，均可表示为 区间 I 内的一个偶函数与一个奇函数之和 的形式。
证明提示：令 f ( x) g ( x) h( x)，其中
g ( x)
f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) ，h( x) 。 2 2
求分段函数的反函数是： 先求出各段上函数的反函数， 然后综合起来，得出原分段函数的反函数。
例. 求
y
x2 , 1 x 0 ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域. 2 e x 1 , 1 x 2 y
2
解: 当 1 x 0 时, y x ( 0 , 1] , 则 x y , y ( 0 , 1] 当 0 x 1 时, y ln x ( , 0 ] , 则 x e , y ( , 0]
非初等函数举例: 符号函数

第2讲 函数与映射的概念js

第2讲 函数与映射的概念js

第二讲 函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念 (1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →:★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域[误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a[正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域[误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而22-≤≤-b x a ，所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a[正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a 即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围 即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同重难点：2．求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。

第2章函数概念与基本初等函数 (6)


根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成 本 Q 与上市时间 t 的变化关系： Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a· bt，Q＝a·logbt. 利用你选取的函数，求： (1)西红柿种植成本最低时的上市天数是 ________； (2)最低种植成本是 ________元/100 kg.
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函 数
函数模型 对数函数模型 幂函数模型
函数解析式 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1， b≠0) f(x)＝axn＋b(a，b，n 为常数，a≠0，n≠0)
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函 数
2.三种函数模型性质比较 y＝ax(a>1) 在(0，＋∞) 上的单调性 增长速度 y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函 数
【解析】
根据题意，要使附加税不少于 128 万元，
5 需30－2R×160×R%≥128，
整理得 R2－12R＋32≤0，解得 4≤R≤8，即 R∈[4，8]．
【答案】 A
栏目 导引
第二章 函数概念与基本初等函 数
角度二
构建指数函数、对数函数模型
2 a (60 － 120) ＋m＝116， a＝0.01， 解得 2 a(100－120) ＋m＝84， m＝80，
所以 Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为 120 时，种植成本 取到最低值 80 元/100 kg.
答案：(1)120 (2)80
栏目 导引
栏目 导引
)
解析：选 B．根据散点图知，选择 y＝a＋b x最适合，故选 B．

高中数学必修2《 函数概念与基本性质》知识点

第2讲函数及其表示方法2.1映射1、映射的概念f设有两个集合、，通过在中都有唯一确定的元素与之对应,称映射.A B x A f B y A B∀∈−−→原象：象：说明：映射是一种对应关系，对应关系一般有4种类型，但只有“一对一”、“多对一”才构成映射关系.下列对应中有几项是映射？考点1 映射【例1】【例2】一、选择题1．给出下列四个命题：(1)若A＝{整数}，B＝{正奇数}，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；(2)若A是无限集，B是有限集，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；(3)若A＝{a}，B＝{1,2}，则从集合A到集合B只能建立一个映射；(4)若A＝{1,2}，B＝{a}，则从集合A到集合B只能建立一个映射．其中正确命题的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个2．下列从P到Q的各对应关系f中，不是映射的是( )A ．P ＝N ，Q ＝N *，f ：x →|x －8|B ．P ＝{1,2,3,4,5,6}，Q ＝{－4，－3,0,5,12}，f ：x →x (x －4)C ．P ＝N *，Q ＝{－1,1}，f ：x →(－1)xD ．P ＝Z ，Q ＝{有理数}，f ：x →x 23．已知集合M ＝{x |0≤x ≤6}，P ＝{y |0≤y ≤3}，则下列对应关系中，不能看做从M 到P 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝xD ．f ：x →y ＝16x4．集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{d ，e }则从A 到B 可以建立不同的映射个数为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．9详解答案 1[答案] B[解析] 对于(1)f ：A →B 对应法则f ：x →2|x |＋1故(1)错；(2)f ：R →{1}，对应法则f ：x →1，(2)错；(3)可以建立两个映射，(3)错；(4)正确，故选B.2[答案] A[解析] 对于选项A ，当x ＝8时，|x －8|＝0∉N *， ∴不是映射，故选A. 3[答案] C[解析] 对于选项C ，当x ＝6时，y ＝6，当6∉P ，故选C. 4[答案] C[解析] 用树状图写出所有的映射为：a →d ⎩⎪⎨⎪⎧b →d ⎩⎨⎧ c →d c →eb →e ⎩⎨⎧c →d c →e a →e ⎩⎪⎨⎪⎧b →d ⎩⎨⎧ c →d c →eb →e ⎩⎨⎧c →d c →e 共8个．2.2函数及其表示1、函数的概念：非空数集A 到非空数集B 的映射，叫函数。

第2章 第2讲 函数的单调性与最值


(4)有界性法：利用代数式的有界性(如 x2≥0， x≥0，2x>0，－1≤sinx≤1 等)确定函数的值域．如举例说明 4 可用此法．
(5)分离常数法：形如求 y＝acxx＋＋db(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离 常数法求解．如举例说明 4 可用此法．
(2)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，则 可由图象的直观性确定它的单调性．如举例说明 2.
(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的Βιβλιοθήκη 调性．如举例说明 3 可 用此法.
2.熟记函数单调性的三个常用结论 (1)若 f(x)，g(x)均是区间 A 上的增(减)函数，则 f(x)＋g(x)也是区间 A 上 的增(减)函数； (2)若 k>0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同；若 k<0，则 kf(x)与 f(x)单调性相 反； (3)复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相同，则这 两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个 函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．如举例说明 1.
fxx11－－fx2x2>0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0.(
)
(3)若函数 y＝f(x)，x∈D 的最大值为 M，最小值为 m(M＞m)，则此函数
的值域为[m，M]．( )
(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
答案
2.小题热身 (1)设定义在[－1,7]上的函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的 增区间为__[－__1_,_1_]_，__[5_,_7_]___． 解析 由图可知函数的单调递增区间为[－1,1]和[5,7]．

第2讲 函数与映射的概念,定义域,值域

第2讲 函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),((2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，记为B A f →: ★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域[误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a[正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域[误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而22-≤≤-b x a ，所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a[正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同1． 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。

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。当 a＞0 时，值域为
a＜0 时，值域为
.
2.求函数值域的常用方法：
①不等式法：①
，②
的函数可以用不等式法.
②分离常数法：形如
的函数可以用分离常数法.
③配方法：
函数可以用配方法.
④换元法：
但又不适宜直接配方的函数可以用换元法求值域.
典型例题
题型 1.函数的值域的求法 例 1：不等式法求值域
① y x 1
.
2
6.下列函数中，值域为 (0,) 的是（ ）
A. y x
B. y 1 x
C. y 1 x
D. y x2 1
7.函数 y 5x 4 的值域是（ ） x 1
A. (,5)
B. (5,)
C. (,5) (5,) D. (,1) (1,)
8.用适当方法求下列函数的值域.
① y x 2x 1
③ f (x) x 2, g(x) x2 4 ； x2
④ f (x) x, g(x) 3 x3
例 2：判断下列式子是否表示同一函数
① f (x) x , g(t) t2 ；
② y x2 , y ( x)2;
③ y 1 x 1 x, y 1 x2 ;
④ y x0, y 1
2 / 11
或
0 的实数的集合.
③若函数为 f (x) x0 这样的含零次幂，则定义域为
.
④若函数为 f (x) x 2x 1 这样由几个式子构成，其定义域为使各部分都有意义的的实数的
.
3 x
2.抽象函数的定义域：
①对于函数 f (x), f ((x)) 来说，定义域均为其中
的取值范围.
②在同一对应法则下，函数 f (x), f ((x)), f (h(x)) 中，
，
范围相同.
③已知 f (x) 的定义域为[2,3] ，则函数 f (3x 2) 的定义域为
， 的范围相同，即
的
；已知函数 f (2x 1) 的定义域为[1,1] ，
则函数 f (x) 的定义域为
，函数 f (x 5) 的定义域为
.
典型例题
题型 1：求常见函数的定义域 例 1：求下列函数的定义域
第 2 讲 函数及其概念
教学内容
1、函数的概念、函数三要素及相同函数 2、区间及无穷大的概念 3、常见函数及抽象函数的定义域 4、函数值域的求法
教学过程
考点 1：函数的概念、函数三要素及相同函数
1.函数：设 A、B 是非空数集，如果按照某种
，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B
中都有
和它对应，那么就称 f : A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作
① f (x) 1 1 3x
②
f
(x)
1 x2 1
2x 1
③ f (x) 3 x 1 1 x
④ f (x) 3 x 1 x且x Z
4 / 11
题型 2：抽象函数的定义域 例 1：求下列抽象函数的定义域
（1）若函数 f (x) 的定义域为[1,4] .
①则函数 f (x 1) 的定义域为
.
6.已知函数 y ax 1(a＜0且a为常数) 在区间 (,1] 上有意义，则实数 a 的取值范围为
.
7.已知集合 A {x | x 4}, g(x)
1
的定义域为 B,若 A B ，则实数 a 的取值范围是

.
1 x a
6 / 11
8. k
为何值时，函数
y
2kx 8 的定义域为 kx2 2kx 1
R?
9. m 为何值时，函数 y mx 4 的定义域为 R? 2mx2 mx 1
7 / 11
考点 4：函数的值域
1.基本初等函数的值域：
①一次函数 y kx b(k 0) 的定义域与值域分别为
、
；
②反比例函数 y k (k 0) 的定义域与值域分别为
、
x
③二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的定义域为
③y x 2x
挑战过关
1.函数 y 3x2 2(1 x 3) 的值域为
.
2.函数 y x4 2x2 1, x R 的值域为
.
3.函数 y 2x 的值域为
.
x 1
4.函数 y x 2x 1 的值域为
.
9 / 11
5 已知函数 y 2x 3 a 4x 的值域为 (, 7], 则实数 a 的取值范围是
2
⑩ y 1 (2＜x＜1且x 0) x
11 / 11
考点 2：区间及无穷大的概念
1.区间：设 a, b 是两个实数，且 a＜b,
满足不等式 a x b 的实数 x 的集合叫做
，记为
；
满足不等式 a＜x＜b 的实数 x 的集合叫做
，记为
；
满足不等式 a x＜b 或 a＜x b 的实数 x 的集合叫做
，分别记为
，
.
2.无穷大：符号
读作无穷大，
读作负无穷大，
C.[0,1) (1,4]
D. (0,1)
3.已知函数 f ( x 2) 的定义域为 (1,4) ，则函数 f (2 x) 的定义域为
.
4.已知函数 f (3 x) 的定义域为 (1,9), 则函数 f (x) 的定义域为
.
5.已知函数 f (x) 的定义域为[1,2] ，则函数 f ( x 1) 的定义域为
⑩{x x 2且x 1}
○11 {x 2＜x 6且x 5}
○12 {x 4＜x＜3且x 2}
3 / 11
考点 3：常见函数及抽象函数的定义域
1.常见函数的定义域：
①若函数为 f (x) 2x 1 这样的分式，其定义域为使 x2
不等于 0 的实数的集合.
②若函数为 f (x) x 1 这样的偶次根式，其定义域为使根号内的式子
② y x 1
③ y 9 x2
； ，当
例 2：分离常数法求值域
① y 2x 3 x2
②y x 2x 1
③ y 5x 1 4x 2
8 / 11
例 3：配方法求值域
① y x2 2x
② y x2 2x 1
③ y 2x2 x 1
例 4：换元法求值域
①y x x22
② y 2x x 1
，
x A.
2.函数的三要素：一个函数包含
、
、
三个要素.
定义域是指
的取值集合 A;与 x 值对应的 y 值叫做
；函数值的集合{ f (x) x A} 叫做函数
的
. 值域 C 与集合 B 的关系为：
3.相同函数：1.如果两个函数的
、
. 相同，则这两个函数相同.
典型例题
题型 1：函数的概念及判断 例 1：下列图像，为函数图像的是（ ）
1.求下列函数的定义域
① f (x) 3 1 1 x
② f (x) 1 2 且x Z 6 x x 1
③ y 2x 3 1 1 2x x
④y 2x 1 x 1 x
2.若函数 f (x) 的定义域为[0,2]，则函数 g(x) f (2x) 的定义域是（
）.
x 1
A. [0,1]
B. (0,1]
A.（1）
B.(1) (3) (4)
例 2：下列几个图像中，可以表示为函数图像的是（
C.(1) (2) (3) ）
D.(1) (2) (4)
A
B
C
D 1 / 11
题型 2：相同函数判定 例 1：判断下列函数是否为同一函数
① f (x) x, g(x) x2 ;
② f (x) x, g(x) ( x)2 ；
读作正无穷大，实数集 R 可记为
.
典型例题
题型 1：区间与集合的转化 例 1：将下列集合用区间表示
①{x 2 x 3}；
②{x1＜x＜5} ；
③{x x 1}；
④{x x＜ 1} ；
⑤{x 1 x＜3};
⑥{x x 1或2＜x}.
⑦{x x 2或x＜1}
⑧{x x 3且x＞1}
⑨{x x 2且x 4}
.
④若函数 f (2x 5) 的定义域为[1,1], 则函数 f (x) 的定义域为
.
例 2：①若函数 f (x 2) 的定义域为[1,1], 则函数 f (1 3x) 的定义域为
.
②若函数 f (2 2x) 的定义域为[1,1], 则函数 f (3x 1) 的定义域为
.
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挑战过关
② y 2x x 1
9.求下列函数的值域
①y 5 x
③y x5 2x 2
②y x 2x 1
④ y 2x x 2
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⑤ y x 2 x
⑥ y 2 (x 2)2
⑦ y 3 x x
⑧ y 2x2 1 x 2 2
⑨ y 3x 2 (x 2且x 3)
2x 3
.
②则函数 f (2x 1) 的定义域为
.
③则函数 f (x 1) 的定义域为
.
④则函数 f (2x 1) 的定义域为
.
（2）①若函数 f (x 5) 的定义域为[1,1], 则函数 f (x) 的定义域为
.
②若函数 f (2x 5) 的定义域为[1,1], 则函数 f (x) 的定义域为
.
③若函数 f (x 5) 的定义域为[1,1], 则函数 f (x) 的定义域为