第五讲 因式分解的应用

第五节 《因式分解》课例分析该节主要讨论问题：1. 如何设计概念的注意要点？2. 如何划分题组层次？《因式分解》是人教版教材八年级上册第十五章第四节的第一课时。

前一节主要学了整式乘法、乘法公式等内容。

该节有两个知识点：1、因式分解概念，2、提公因式法。

课程标准对该节的教学要求是：能用提公因式法进行因式分解。

以下描述的两节课，均由一位熟手女教师郑老师执教。

郑老师在一所省会城市普通中学任教，教学业绩在年级名列前茅。

郑老师曾在一所省城著名私立初中校任教多年。

第一次课由郑老师自己备课，上课。

上课后与研究者简要讨论后，简单修改教学设计，第二天在另一个班继续上课。

以下是第一次课的描述。

第一次课分为四个环节。

分别是复习、讲授因式分解概念、讲授提公因式法、练习。

在复习环节，郑老师引导学生复习了乘法公式（平方差公式和完全平方公式）、添括号和约分。

约分以221==6233⨯ 为例，郑老师强调，对分数进行约分必须对分子或者分母写成的乘积的形式，然后进行约分。

在讲授因式分解概念环节，郑老师分成了两项学习活动。

首先是讲授因式分解概念。

郑老师这样讲：“初中我们已经学习了多项式，同样我们要把多项式写成一种乘积的形式，为我们下一个章节做准备。

举个例子：22211(1)(1)x x x x -=-=+-，这是我们之前学过的平方差公式，21x -可以写成(1)x +与(1)x -)的乘积。

像这样子，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

21(1)(1)x x x -=+-左边到右边的这种变形叫做因式分解，从右边到左边的变形叫做是整式乘法。

”第二项学习活动是概念辨析，郑老师出了四个辨析题，题目如下：判断下列各式从左到右是否为因式分解？（1）()()2314312153x x x x -+=+- （2）111a a a ⎛⎫ ⎪⎝++⎭= （3）()24161441x x x x +-=++（4）111()333ax bx x a b +=+ 通过与学生讨论这四道题，郑老师强调了因式分解概念的三个注意要点：左边是多项式、右边是乘积的形式、整式的乘积。

初三数学因式分解的应用教案【】初三数学因式分解的运用教案教案让先生学会运用因式分解停止复杂的多项式除法并且学会运用因式分解解复杂的方程。

教学目的1、会运用因式分解停止复杂的多项式除法。

2、会运用因式分解解复杂的方程。

二、教学重点与难点教学重点：因式分解在多项式除法和解方程两方面的运用。

教学难点：运用因式分解解方程触及较多的推理进程。

三、教学进程〔一〕引入新课1、知识回忆(1) 因式分解的几种方法: ①提取公因式法: ma+mb=m(a+b) ②运用平方差公式: = (a+b) (a-b)③运用完全平方公式:a 2ab+b =(ab) (2) 课前热身：①分解因式:(x +4) y - 16x y〔二〕师生互动，讲授新课1、运用因式分解停止多项式除法例1 计算: (1) (2ab -8a b) (4a-b)(2)(4x -9) (3-2x)解:(1) (2ab -8a b)(4a-b) =-2ab(4a-b) (4a-b) =-2ab (2) (4x -9) (3-2x) =(2x+3)(2x-3) [-(2x-3)] =-(2x+3) =-2x-3 一个小效果 :这里的x能等于3/2吗 ?为什么?想一想:那么(4x -9) (3-2x) 呢?练习：课本P162课内练习12、协作学习想一想:假设 ( )( )=0 ，那么这两个括号内应填入怎样的数或代数式子才可以满足条件呢? (让先生自己思索、相互之间讨论!)理想上，假定AB=0 ，那么有下面的结论：(1)A 和B同时都为零，即A=0，且B=0(2)A和B中有一个为零，即A=0，或B=0试一试:你能运用下面的结论解方程(2x+1)(3x-2)=0 吗?3、运用因式分解解复杂的方程例2 解以下方程： (1) 2x +x=0 (2) (2x-1) =(x+2) 解：x(x+1)=0 解：(2x-1) -(x+2) =0那么x=0，或2x+1=0 (3x+1)(x-3)=0原方程的根是x1=0，x2= 那么3x+1=0，或x-3=0 原方程的根是x1= ，x2=3注：只含有一个未知数的方程的解也叫做根，当方程的根多于一个时，常用带足标的字母表示，比如：x1 ，x2等练习：课本P162课内练习2做一做！关于方程:x+2=(x+2) ，你是如何解该方程的，方程左右两边能同时除以(x+2)吗?为什么?教员总结：运用因式分解解方程的基本步骤(1)假设方程的左边是零，那么把左边分解因式，转化为解假定干个一元一次方程;(2)假设方程的两边都不是零，那么应该先移项，把方程的左边化为零以后再停止解方程;遇到方程两边有公因式，异样需求先停止移项使左边化为零，切忌两边同时除以公因式!4、知识延伸解方程：(x +4) -16x =0解：将原方程左边分解因式，得 (x +4) -(4x) =0(x +4+4x)(x +4-4x)=0(x +4x+4)(x -4x+4)=0 (x+2) (x-2) =0接着继续解方程，5、练一练① a、b、c为三角形的三边，试判别 a -2ab+b -c 大于零?小于零?等于零?解: a -2ab+b -c =(a-b) -c=(a-b+c)(a-b-c)∵ a、b、c为三角形的三边 a+c ﹥b a﹤b+c a-b+c﹥0 a-b-c ﹤0即：(a-b+c)(a-b-c) ﹤0 ，因此 a -2ab+b -c 小于零。

因式分解的基本性质及应用因式分解是将一个多项式分解成较简单的乘积形式的过程。

因素分解的基本性质和应用包括以下几个方面：1. 唯一性：一个多项式的因式分解不是唯一的，但是当我们考虑整数多项式时，因式分解是唯一的。

这是因为整数多项式的因子只能是整数常数或次数为1的一次多项式，而这些多项式已经是不可再分解的。

2. 分解定理：分解定理表明，如果一个多项式P(x)在x=a处取值为0，则P(x)可以被x-a整除。

这意味着x-a是P(x)的一个因子，或者等价地说，P(x)可以分解成(x-a)乘以另一个多项式Q(x)。

3. 公因式提取：公因式提取是一种将多项式的各项提取出一个公因子的方法。

例如，在多项式2x^3+4x^2中，可以提取出2x^2，然后得到2x^2(x+2)。

这个方法在简化多项式计算、化简分式等方面非常有效。

4. 因式分解定理：因式分解定理表明，一个多项式P(x)可以分解成多个一次或者二次的因子。

这个定理对于计算多项式的根和化简复杂的多项式表达式非常有用。

5. 最大公因式：最大公因式是多个多项式的最高次的公因式。

最大公因式的求解可以通过因式分解的方法进行。

最大公因式在多项式的约分、分式的化简等方面扮演着重要的角色。

6. 应用方面：因式分解在数学和物理等方面有着广泛的应用。

在数学中，因式分解可以用于求解多项式方程的根，化简复杂的表达式，计算多项式的导函数等。

在物理中，因式分解可以用于分解物体的运动方程，分析物理过程等。

除此之外，因式分解还有其他的一些应用。

例如在数论中，因式分解可以用于分析质数和合数的性质，判断一个数的因子等。

在代数几何中，因式分解可以用于分析曲线的结构和性质。

在概率论中，因式分解可以用于计算事件的概率等。

因式分解是数学中一个非常重要和基础的概念，在数学和其他学科中都有着广泛而重要的应用。

第五讲：十字相乘法进行因式分解（1） 理解二次三项式的意义： 二次三项式1,：多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．2：在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．3：在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式 （2）理解十字相乘法的根据；1：利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则 （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++注意：这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．例1 把1522--x x 分解因式解：因为 常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；131 -5所以：)5)(3(1522-+=--x x x x 变式：1.x 2+6x －722.x 2－4x －12；3.x 2+9x －10； x 2-14x-15；例2：把2265y xy x +-分解因式解：将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )， 而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．1-2y1 -3y所以：)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-． 变式：x 2－10xy －56y 2 练习：分解因式1、x 2-5xy+6y 2．2、x 2-7xy+12y 23、x 2+3xy-102例3、(x+y) 2－8(x+y)-48解：因为可将（x+y ）看作一个整体，转化为关于(x+y)的二次三项式，常数项-48可分为（-12）x （4），而（-12）+4=-8,恰好为一次项系数。

因式分解的应用（初中数学竞赛资料）因式分解的应用因式分解是中学代数中的一种重要的变形，它与整式、分式联系极为密切，分式运算、解方程以及一些恒等变换，都经常用到因式分解。

它不仅是初中代数中的一个重要的基础知识，它还是一种重要的数学思想方法，在今后的数学学习中应用很广。

下面，向同学们介绍一些因式分解的初步应用。

一、利用因式分解判断整除性例1 2n－1和2n+1表示两个连续的奇数(n是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．证明(2n＋1)2－(2n－1)2=(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)=4n·2=8n∴这两个连续奇数的平方差能被8整除．例2 x3+y3+z3－3xyz能被(x+y+z)整除．证明因式分解，得原式=(x+y+z)(x2+y2+z2－xy－yz－zx)，∴x3+y3+z3－3xyz能被(x+y+z)整除．例3 设4x－y为3的倍数，求证：4x2+7xy－2y2能被9整除．证明∵4x2+7xy－2y2=(4x－y)(x+2y)，又∵ x+2y=4x－y－3x+3y=(4x－y)－3(x－y)．∴原式＝(4x－y)［(4x－y)－3(x－y)］＝(4x－y)2－3(4x－y)(x－y) ∵4x－y为3的倍数∴4x2+7xy－2y2能被9整除例4设实数a<b<c<="" p="">A. x<y<z< p="">B. y<z<x< p="">C. z<x<y< p="">D. 不能确定解：∵a<b<c<d，< p="">∴x－y=(a＋b)(c＋d)－(a＋c)(b＋d)=ac＋bd－ab－cd=(a－d)(c －b)<0，即；x<y。

5因式分解的常用方法及应用满分晋级代数式 7 级因式分解的概念和基本方法代数式 10 级因式分解的常用方法及应用代数式 11 级因式分解的高端方法及恒等变形漫画释义小人物与大人物暑期班第六讲秋季班第五讲秋季班第六讲知识互联网题型一：因式分解——分组分解法思路导航暑期因式分解知识回顾：1、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做因式分解，又叫分解因式．2、提公因式法：公因式：多项式各项公共的因式．用提公因式法进行因式分解要注意下面几点：⑴ 公因式要提尽；⑵将公因式提到括号外时，留在括号内的多项式的首项为正.3、公式法把乘法公式反过来，就可以利用公式将某些多项式写成因式的积的形式，即进行因式分解．平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方．例如：对下列各式因式分解：⑴ 12abc9a2 b2 =.⑵ ( x 3)2.(x 3) =⑶x3 xy2 ___________．⑷ 27x218x 3 =.在因式分解的时候，不能采用提公因式法和公式法的时候，可以思考一下是否可以采用分组分解法.基础知识示例剖析如果整式没有公因式可以提取，也无法直接用公式分解，则需要分组分解.分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法 .分组分解法的基本步骤：1、将原式适当分组；2、讲分组后的式子分解因式，或“提”或“代”；例如：3、将经过处理过的式子在分解因式，或“提”或“代”.ax by bx ayax bx ay byx a b y aa b x y重新分组b提取公因式再提取公因式注意事项：降幂排序首项为正拆开重组瞄准方法例题精讲【引例】分解因式⑴ x2xy 1 y2122⑵ a a b b41 y221 y1y 1【解析】⑴原式 =x2xy1=x 1y1x 1 x42221y 22x y22 x4⑵原式 = a2b2 a b = a b a b a b a b a b 1典题精练【例 1】⑴下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有（）① m3m2m 1；② 4b29a26ac c2；③ 5x2 6 y15x2xy ；④ x2y2mx my ；A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个⑵因式分解： 14x2 4 y28 xy ，正确的分组是（）A.14x28xy y2B.14x24y2xyC.18xy4x24y2D.14x2 4 y28xy⑶将多项式 x22xy y2 2 x 2 y 1分解因式，正确的是（）2B. x 222A. x y y 1 C. x y 1 D. x y 1A.a2ab a a b 1B. a a b 1 a b 1C. a a22ab b2 1D. a2ab a a2ab a【例 2】分解下列因式⑴ xy x y 1⑵ a 2b2 a 2b21⑶ 5a2 m 15am 3abm 9bm⑷ a2 b 22ab1⑸ a22ab b2c22c 1⑹ x3 2 x2x 2 x52x4【例 3】分解因式⑴ x(x z) y( y z)⑵ ax( y3b3 ) by(bx 2 a 2 y)2222⑶ab(c d ) (a d )cd题型二：因式分解——十字相乘法思路导航十字相乘法是二次三项式因式分解的重要方法．一个二次三项式ax2bx c ，若可以分解，则一定可以写成 (a1x c1 )( a2 x c2 ) 的形式，它的系数可以写成a1c1 ，十字相乘法就是用试验的方法找出a2c2十字线两端的数，其实就是分解系数 a， b ， c ，使得： a1a2 a ， c1c2 c ， a1c2 a2 c1 b ，2x(a b) x ab ( x a )( x b) .若 b 24ac 不是一个平方数，那么二次三项式ax2bx c就不能在有理数范围内分解 .建议：十字相乘法只适用于二次三项式的因式分解，有些多项式为了能用十字相乘法分解，一般需经过下面两个步骤：⑴ 将多项式按某一个字母降幂排列，将这个多项式看成是关于这个字母的二次三项式；⑵ 若系数为分数，设法提出一个为分数的公因数，使括号内的多项式成为整系数，再利用十字相乘法分解．这个方法的要领可以概括成16 个字“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，试验筛选”．例题精讲【引例】分解下列因式⑴ x2 5 x 6⑵ x2 5 x 6⑶ x25x 6⑷ x25x 6【解析】⑴ ( x2)( x3)⑵ ( x2)( x3) ；x2x-2x3x-3⑶ (x6)( x1) ；⑷ (x6)( x1)x6x-6x-1x1典题精练【例 4】分解因式：⑴ x27 x 10⑵ x2 10xy 24y2⑶ x413x236⑷ 2 x2x1⑸ 2x2 3xy 2y2⑹ 12x211xy 15 y2思路导航选主元法：在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时，可以选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成是字母系数进行因式分解．典题精练【例 5】请用十字相乘的方法将下列各式因式分解：⑴ x2 b 1 x b⑵ kx22k 3 x k3⑶ 3x24xy 4 y28 x 8 y 3⑷ a(6 a11b 4) b(3b 1)2题型三：因式分解的应用典题精练【例 6】在日常生活中如取款、上网都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式44因式分解的结果是x y x y x2y2，若取x 9，y 9，则各x y个因式的值是： x y0 ， x y18 ， x2y2162，于是就可以把“ 018162作”为一个六位数的密码．对于多项式4x3xy2，取 x 2 ，y 2 时，用上述方法产生的密码是： _______________（写出一种情况即可）．【例 7】如图，试用图中的三张正方形纸片和三张矩形纸片拼成一个较大的矩形，请你画出拼后的大矩形（注明边长），并将这个拼图表示为一个因式分解的式子.ab bbabbaaabb【例 8】 如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，13，9， 3 的对面的数分别为 a ， b ， c ，求 a 2 b 2 c 2 ab bc ac 的值 .思维拓展训练 ( 选讲 )训练 1. 分解因式⑴ 8x4 y3 z26x5 y2⑶3x 12x3⑸x2 x y y2y x训练 2. 分解因式⑴acx3bcx2adx bd2⑵ 6 m n12 n m⑷a2 49b 2 14ab ⑵x2 y2 z2x2 z y2 z1⑶6ax2 9a 2 xy 2xy 3ay2⑷5x315x2x3训练 3.在实数范围内分解因式⑴ x2 3 y 2⑵ 2x2 2 2 x 1训练 4. 试说明 257513能被 30 整除复习巩固题型一因式分解——分组分解法巩固练习【练习 1】分解因式：a4a3b ab3b4.题型二因式分解——十字相乘巩固练习【练习 2】分解因式：⑴ 16m231mn 2n2；⑵ 6x n 17x n y24x n 1 y2．【练习 3】多项式x2px 12 可分解为两个一次因式的积，整数p的值是（写出所有情况）.【练习 4】若多项式x2x m 在整数范围内能分解因式，把你发现字母m 的取值规律用含字母n（ n 为正整数）的式子表示为．题型三因式分解的应用巩固练习【练习 5】某学校长方形操场的周长为440 米，操场的两条边 a 、b满足 a3 a 2b ab2b30 ，求操场的面积．第十五种品格：创新创造力的价值前几年，有人卖一块铜，喊价竟然高达28 万美元。