2018届高三数学(理科)二轮复习讲义模块三考前增分篇二小题专项限时突破3.数列Word版含解析

最新高考数学大二轮、小三轮精准复习课堂讲义专题一函数第1讲函数的图象与性质1第2讲基本初等函数9第3讲分段函数与绝对值函数15第4讲函数的零点问题21第5讲函数的综合应用28专题二导数第6讲曲线的切线35第7讲函数的单调性40第8讲函数的极值与最值45第9讲导数及其应用53专题三不等式第10讲三个“二次”的问题62第11讲基本不等式与线性规划68专题四三角函数、向量与解三角形第12讲三角函数的化简与求值74第13讲三角函数的图象及性质79第14讲正、余弦定理及其应用84第15讲平面向量数量积89第16讲向量与三角函数的综合问题93专题五立体几何第17讲直线与平面的位置关系98第18讲平面与平面的位置关系103第19讲立体几何中的计算108专题六解析几何第20讲直线与圆115第21讲隐性圆问题121第22讲圆锥曲线的基本量计算125第23讲圆锥曲线中定点、定值问题130第24讲圆锥曲线中最值、范围问题138第25讲圆锥曲线中探索性问题144专题七数列第26讲等差、等比数列的基本运算151第27讲等差、等比数列的判定与证明155第28讲等差、等比数列的综合应用161第29讲数列的求和及其运用166第30讲数列中的创新性问题171专题八思想方法第31讲函数方程思想177第32讲数形结合思想183第33讲分类讨论思想190第34讲化归转化思想198专题九理科附加第35讲曲线与方程205第36讲空间向量与立体几何212第37讲随机变量及其分布列219第38讲数学归纳法225第39讲计数原理与二项式定理230课后训练专题一函数第1讲函数的图象与性质235第2讲基本初等函数238第3讲分段函数与绝对值函数240第4讲函数的零点问题243第5讲函数的综合应用246专题二导数第6讲曲线的切线249第7讲函数的单调性251第8讲函数的极值与最值253第9讲导数及其应用255专题三不等式第10讲三个“二次”的问题258第11讲基本不等式与线性规划261专题四三角函数、向量与解三角形第12讲三角函数的化简与求值264第13讲三角函数的图象及性质267第14讲正、余弦定理及其应用270第15讲平面向量数量积272第16讲向量与三角的综合问题274专题五立体几何第17讲直线与平面的位置关系277第18讲平面与平面的位置关系280第19讲立体几何中的计算282专题六解析几何第20讲直线与圆285第21讲隐性圆问题287第22讲圆锥曲线的基本量计算291第23讲圆锥曲线中定点、定值问题294第24讲圆锥曲线中最值、范围问题297第25讲圆锥曲线中探索性问题300专题七数列第26讲等差、等比数列的基本运算303第27讲等差、等比数列的判定与证明305第28讲等差、等比数列的综合应用307第29讲数列的求和及其运用310第30讲数列中的创新性问题312专题八思想方法第31讲函数方程思想315第32讲数形结合思想318第33讲分类讨论思想321第34讲化归转化思想324专题九理科附加第35讲曲线与方程327第36讲空间向量与立体几何330第37讲随机变量及其分布列333第38讲数学归纳法335第39讲计数原理与二项式定理338小三轮回归第一部分知识微专题——回归课本第1练函数图象与性质340第2练基本初等函数342第3练函数与方程344第4练用导数研究函数的性质346第5练不等式的解法348第6练基本不等式与线性规划350第7练三角函数化简与求值352第8练解三角形354第9练三角函数与平面向量356第10练等差数列与等比数列358第11练数列的通项与求和360第12练直线与圆362第13练圆锥曲线364第14练立体几何366第二部分热点微专题——抢分冲刺第1练多元函数的最值问题369第2练三角形中的三角函数371第3练解析几何中最值与范围问题374第4练实际应用性问题377第5练探索与创新性问题380第三部分压轴预测——考前热身2018年江苏高考预热卷(一)3832018年江苏高考预热卷(二)388专题一 函 数 第1讲 函数的图象与性质1. 函数的图象与性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．2. 函数的图象与性质会涉及如下题型：(1) 函数“二域三性”的考查；(2) 函数性质在解决不等式问题中的应用；(3) 函数与方程问题；(4) 函数性质在数列等问题中的应用；(5) 利用导数来刻画函数的性质．1. 根据函数f(x)＝x 2＋1的图象，若0<x 1<x 2，则f(x 1)________f(x 2)． 答案：<解析：作出函数图象，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x 1)<f(x 2)． 2. (2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x －2)≤1的x 的取值范围是________．答案：[1，3] 解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝1，不等式－1≤f(x －2)≤1，即f(1)≤f(x －2)≤f(－1)．因为f(x)单调递减，所以－1≤x －2≤1，解得1≤x ≤3，故x 的取值范围是[1，3]．3. 若关于x 的方程|x|＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________． 答案：(0，＋∞)解析：由题意a ＝|x|＋x ，令y ＝|x|＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，0，x ＜0，图象如图所示，故要使a ＝|x|＋x 只有一解，则a>0.4. (2017·山东卷)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x ＋4)＝f(x －2)．若当x ∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．答案：6解析：由f(x ＋4)＝f(x －2)可知周期T ＝6，所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．因为f(x)为偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6., 一) 研究函数的单调性, 1) 已知函数f(x)＝a －1|x|.(1) 求证：函数y ＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2) 若f(x)<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．(1) 证明：当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，f(x 2)－f(x 1)＝(a －1x 2)－(a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2) 解：由题意a －1x<2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x ＋1x，则a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立． 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2，h(x 1)－h(x 2)＝(x 1－x 2)(2－1x 1x 2)．因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>1，所以2－1x 1x 2>0，所以h(x 1)<h(x 2)，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 故a ≤h(1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]．已知a 为实常数，y ＝f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝2x －a 3x2＋1.(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若f(x)≥a －1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．解：(1) 由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f(x)在区间(－∞，0)上的单调性即可．f ′(x)＝2＋2a 3x3，令f′(x)＝0，得x ＝－a.① 当a ≤0时，f ′(x)＞0，故f(x)在区间(－∞，0)上单调递增； ② 当a ＞0时，x ∈(－∞，－a)，f ′(x)＞0，所以f(x)在区间(－∞，－a)上单调递增；x ∈(－a ，0)，f ′(x)＜0，所以f(x)在区间(－a ，0)上单调递减．综上所述，当a ≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；当a ＞0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a)．(2) 因为f(x)为奇函数，所以当x ＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－2x －a 3x 2＋1)＝2x ＋a 3x2－1.① 当a ＜0时，要使f(x)≥a －1对一切x ＞0成立，即2x ＋a3x2≥a 对一切x ＞0成立．当x＝－a2＞0时，有－a ＋4a ≥a ，所以a ≥0，与a ＜0矛盾．所以a ＜0不成立．② 当a ＝0时，f(x)＝2x －1＞－1＝a －1对一切x ＞0成立，故a ＝0满足题设要求． ③ 当a ＞0时，由(1)可知f(x)在(0，a)上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数，所以f min (x)＝f(a)＝3a －1＞a －1，所以a ＞0时也满足题设要求．综上所述，a 的取值范围是[0，＋∞)．, 二) 研究函数的最值 , 2) 已知函数f(x)＝x 2－1，g(x)＝a|x －1|.(1) 若关于x 的方程|f(x)|＝g(x)只有一个实数解，求实数a 的取值范围；(2) 求函数h(x)＝|f(x)|＋g(x)在区间[－2，2] 上的最大值(直接写出结果，不需给出演算步骤)．解：(1) 方程|f(x)|＝g(x)，即|x 2－1|＝a|x －1|，变形得|x －1|(|x ＋1|－a)＝0，显然，x ＝1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x ＋1|＝a 有且仅有一个等于1的解或无解，结合图形得a<0或a ＝2.(2) 因为h(x)＝|f(x)|＋g(x)＝|x 2－1|＋a|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －a －1，x ≥1，－x 2－ax ＋a ＋1，－1≤x<1，x 2－ax ＋a －1，x<－1.① 当a2>1，即a>2时，结合图形可知h(x)在[－2，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，且h(－2)＝3a ＋3，h(2)＝a ＋3.经比较，此时h(x)在[－2，2]上的最大值为3a ＋3.② 当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，结合图形可知h(x)在[－2，－1]，[－a2，1]上递减，在[－1，－a 2]，[1，2]上递增，且h(－2)＝3a ＋3，h(2)＝a ＋3，h(－a 2)＝a24＋a ＋1.经比较，知此时h(x)在[－2，2]上的最大值为3a ＋3.③ 当－1≤a2<0，即－2≤a<0时，结合图形经比较，知此时h(x)在[－2，2]上的最大值为a ＋3.④ 当－32≤a2<－1，即－3≤a<－2时，结合图形经比较，知此时h(x)在[－2，2]上的最大值为a ＋3.⑤ 当a 2<－32，即a<－3时，结合图形可知h(x)在[－2，2]上的最大值为h(1)＝0.综上所述，当a ≥0时，h(x)在[－2，2]上的最大值为3a ＋3； 当－3≤a<0时，h(x)在[－2，2]上的最大值为a ＋3； 当a<－3时，h(x)在[－2，2]上的最大值为0.设a 为实数，函数f(x)＝x 2＋|x －a|＋1，x ∈R .(1) 讨论f(x)的奇偶性； (2) 求f(x)的最小值．解：(1) 当a ＝0时，函数f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)，此时f(x)为偶函数．当a ≠0时，f(a)＝a 2＋1，f(－a)＝a 2＋2|a|＋1，f(－a)≠f(a)，f(－a)≠－f(a)．此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2) ① 当x ≤a 时，函数f(x)＝x 2－x ＋a ＋1＝(x －12)2＋a ＋34.若a ≤12，则函数f(x)在(－∞，a]上单调递减，从而函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为f(a)＝a 2＋1；若a ＞12，则函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为f(12)＝34＋a ，且f(12)≤f(a)．② 当x ≥a 时，函数f(x)＝x 2＋x －a ＋1＝(x ＋12)2－a ＋34.若a ≤－12，则函数f(x)在[a ，＋∞)上的最小值为f(－12)＝34－a ，且f(－12)≤f(a)；若a ＞－12，则函数f(x)在[a ，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)在[a ，＋∞)上的最小值为f(a)＝a 2＋1.综上，当a ≤－12时，函数f(x)的最小值是34－a ；当－12＜a ≤12时，函数f(x)的最小值是a 2＋1；当a ＞12时，函数f(x)的最小值是a ＋34.点评：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助．因为x ∈R ，f(0)＝|a|＋1≠0，由此排除f(x)是奇函数的可能性．运用偶函数的定义分析可知，当a ＝0时，f(x)是偶函数，第(2)题主要考查学生对分类讨论思想、对称思想的运用．, 三) 研究函数的图象 , 3) 已知f(x)为定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)为二次函数，且满足f(2)＝1，f(x)在(0，＋∞)上的两个零点为1和3.(1) 求函数f(x)在R 上的解析式；(2) 作出f(x)的图象，并根据图象讨论关于x 的方程f(x)－c ＝0(c ∈R )根的个数．解：(1) 由题意，当x>0时，设f(x)＝a(x －1)·(x －3)(a ≠0)， 因为f(2)＝1，所以a ＝－1，所以f(x)＝－x 2＋4x －3. 当x<0时，－x>0，因为f(x)为R 上的奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)＝－[－(－x)2＋4(－x)－3]＝x 2＋4x ＋3， 即x<0时，f(x)＝x 2＋4x ＋3.因为f(x)是奇函数，所以当x ＝0时，得f(0)＝0，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3，x>0，0，x ＝0，x 2＋4x ＋3，x<0.(2) 作出f(x)的图象(如图所示)，由f(x)－c ＝0得c ＝f(x)，在图中作y ＝c ，根据交点讨论方程的根：当c ≥3或c ≤－3时，方程有1个根； 当1<c<3或－3<c<－1时，方程有2个根； 当c ＝－1或c ＝1时，方程有3个根； 当0<c<1或－1<c<0时，方程有4个根； 当c ＝0时，方程有5个根．设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>b>c)的图象经过点A(m 1，f(m 1))和点B(m 2，f(m 2))，且f(1)＝0.若a 2＋[f(m 1)＋f(m 2)]·a ＋f(m 1)·f(m 2)＝0，则b 的取值范围是________．答案：[0，＋∞) 解析：因为f(1)＝0，所以c ＝－(a ＋b)．又由a>b>c 可知a>0，c<0.由a 2＋[f(m 1)＋f(m 2)]·a ＋f(m 1)·f(m 2)＝0可得a ＝－f(m 1)或a ＝－f(m 2)，即f(x)＋a ＝0的两个根分别为m 1，m 2，即ax 2＋bx ＋c ＋a ＝0有两个根m 1，m 2.所以ax 2＋bx －b ＝0有两个根m 1，m 2，所以Δ＝b 2－4a(－b)＝b(b ＋4a)≥0，所以b ≥0或b ≤－4a.当b ≤－4a 时，4a ＋b ≤0，所以4a ＋b ＋c<0，所以a＋b ＋c<0，与a ＋b ＋c ＝0矛盾，所以b ≥0., 四) 函数图象与性质的综合应用, 4) (2017·张家港模拟)已知函数f(x)＝x|x －a|＋2x(a ∈R )． (1) 当a ＝4时，解不等式f(x)≥8；(2) 当a ∈[0，4]时，求f(x)在区间[3，4]上的最小值；(3) 若存在a ∈[0，4]，使得关于x 的方程f(x)＝tf(a)有3个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．解：(1) 当a ＝4时，不等式可化为x|x －4|＋2x ≥8. 若x ≥4，则x 2－2x －8≥0，所以x ≥4； 若x<4，则x 2－6x ＋8≤0，所以2≤x<4. 综上，不等式的解集为{x|x ≥2}．(2) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（a －2）x ，x ≥a ，－x 2＋（a ＋2）x ，x<a＝⎩⎨⎧（x －a －22）2－（a －22）2，x ≥a ，－（x －a ＋22）2＋（a ＋22）2，x ＜a.下面比较a －22，a ＋22，a 的大小：因为a ∈[0，4]，所以当a ∈[0，2]时，a －22－a ＝－a －22<0，a ＋22－a ＝2－a2≥0，所以作出函数f(x)的图象如图1.所以f(x)在(－∞，a]，[a ，＋∞)上为增函数， 即f(x)在R 上是增函数，所以f(x)在区间[3，4]上的最小值为f(3)＝15－3a.,图1) ,图2)当a ∈(2，4]时，a －22－a ＝－a －22<0，a ＋22－a ＝2－a 2<0，a ＋22≤3.所以作出函数f(x)的图象如图2.所以f(x)在(－∞，a ＋22]，[a ，＋∞)上为增函数，在[a ＋22，a]上为减函数，所以若a ≤3，则f(x)在区间[3，4]上为增函数，最小值为f(3)＝15－3a ； 若3<a ≤4，则f(x)在区间[3，4]上的最小值为f(a)＝2a.(3) 由(2)知当a ∈[0，2]时，如图1，关于x 的方程f(x)＝tf(a)不可能有3个不相等的实数根．当a ∈(2，4]时，要存在a ，使得关于x 的方程f(x)＝tf(a)有3个不相等的实数根，则f(a)<tf(a)<f(a ＋22)有解，所以1<t<⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤f （a ＋22）f （a ）max (2<a ≤4)， f （a ＋22）f （a ）＝18(a ＋4a ＋4)，且函数y ＝a ＋4a 在区间(2，4]上为增函数，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤f （a ＋22）f （a ）max ＝98，所以1<t<98.(2017·南通三模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥a ，x 3－3x ，x<a.若函数g(x)＝2f(x)－ax 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案：(－32，2)解析：(解法1)要使g(x)＝2f(x)－ax 有2个不同的零点，只需y ＝f(x)的图象与直线y ＝12ax 有两个不同的交点，考虑直线x ＝a ，y ＝12ax 与y ＝x 3－3x 交于同一点时的临界状态可求出a ＝－32(如图1)和a ＝2(如图2)，当a 从－32连续变化到2时，直线y ＝12ax 绕着原点逆时针转动，分析可得a ∈(－32，2)． ,图1) ,图2),图3)(解法2)可将条件转化为“若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥a ，x 2－3，x<a ，且y ＝2f(x)－a 恰有1个零点”求解．点评：本题考查分段函数、函数的零点，意在考查考生分类讨论、数形结合、等价转化、函数与方程的数学思想．填空题中的零点问题常利用分离函数、分离参数，继而数形结合得到处理，解答题中的零点问题常利用导数研究函数的性质，常考虑区间端点处函数值的符号、极值的符号，常通过零点赋值法由零点存在性定理处理．1. (2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f(x)＝2x 3＋x 2，则f(2)＝________．答案：12解析：因为函数f(x)为奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.2. (2017·山东卷)设f(x)＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2（x －1），x ≥1.若f(a)＝f(a ＋1)，则f(1a )＝________．答案：6解析：当0<a<1时，a ＋1>1，由f(a)＝f(a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)＝2a ，解得a ＝14，此时f(1a)＝f(4)＝2×(4－1)＝6；当a ≥1时，a ＋1≥2，由f(a)＝f(a ＋1)得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，此时方程无解．综上可知，f(1a )＝6.3. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0.若f(f(a))≤2，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，2]解析：∵ 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0，它的图象如图：由f(f(a))≤2，可得f(a)≥－2.当a ＜0时，f(a)＝a 2＋a ＝(a ＋12)2－14≥－2恒成立；当a ≥0时，f(a)＝－a 2≥－2，即a 2≤2，解得0≤a ≤ 2. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．4. (2017·天津卷)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|＋2，x<1，x ＋2x，x ≥1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是________．答案：[－2，2]解析：(解法1)由题意可知，函数y ＝f(x)的图象恒不在函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 的图象下方，画出函数y ＝f(x)和函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2的图象，如图所示．当a ＝0时，显然f(x)>⎪⎪⎪⎪x 2＋a ；当a<0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 的图象由函数y ＝⎪⎪⎪⎪x2的图象向右平移|2a|个单位长度得到．由图可知，当函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在x<－2a 部分的图象经过点(0，2)时，a 取得最小值，此时a ＝－2；当a>0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 的图象由函数y ＝⎪⎪⎪⎪x2的图象向左平移2a 个单位长度得到，由图可知，当函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在x>－2a 部分的图象经过点(0，2)或与函数y ＝f(x)在x>1部分的图象相切时，a 取得最大值，而经过点(0，2)时，a ＝2，当函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在x>－2a 部分的图象与函数y ＝f(x)在x>1部分的图象相切时，设切点为P(x 0，y 0)(x 0>1)，因为x>1时，f ′(x)＝1－2x 2，则1－2x 20＝12，解得x 0＝2，所以y 0＝3.又点P(2，3)在函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在x>－2a 部分的图象上，所以⎪⎪⎪⎪22＋a ＝3，解得a ＝2，因此a 的最大值为2.综上所述，a 的取值范围是[－2，2]．(解法2)不等式f(x)≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 转化为－f(x)≤x 2＋a ≤f(x)，当x<1时，有－|x|－2≤x 2＋a ≤|x|＋2，即－|x|－2－x 2≤a ≤|x|＋2－x 2.因为当x<0时，－|x|－2－x 2＝x 2－2<－2，|x|＋2－x 2＝－3x2＋2>2，当0≤x<1时，－|x|－2－x 2＝－3x 2－2≤－2，|x|＋2－x 2＝x2＋2≥2，所以－2≤a ≤2；当x ≥1时，有－x －2x ≤x 2＋a ≤x ＋2x ，即－3x 2－2x ≤a ≤x 2＋2x .又－3x 2－2x ≤－23，x 2＋2x≥2，所以－23≤a ≤2.综上，－2≤a ≤2.5. (2016·浙江卷)已知函数g(x)＝ax 2－2ax ＋b(a ＞0)在区间[1，3]上有最大值5，最小值1.设f(x)＝g （x ）x.(1) 求a ，b 的值；(2) 若f(|lg x －1|)＋k·2|lg x －1|－3k ≥1对任意x ∈[1，10)∪(10，100]恒成立，求k 的取值范围．解：(1) g(x)＝a(x －1)2＋b －a ，因为a ＞0，所以g(x)在区间[1，3]上是增函数， 故⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝1，g （3）＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (2) 由已知和(1)可得f(x)＝x ＋2x－2，f(|lg x －1|)＋k·2|lg x －1|－3k ≥1，即|lg x －1|＋2|lg x －1|－2＋2k|lg x －1|－3k ≥1.令t ＝|lg x －1|，则t ∈(0，1]，t ＋2＋2kt－3k －3≥0对任意t ∈(0，1]恒成立．令h(t)＝t ＋2＋2kt－3k －3，t ∈(0，1]，则① 当k ＝－1时，h(t)＝t ≥0成立；② 当k ＜－1时，h(t)＝t ＋2＋2k t－3k －3在(0，1]上为增函数，t →0＋时，h(t)→－∞，舍去；③ 当k ＞－1时，h(t)在(0，2＋2k]上为减函数，在[2＋2k ，＋∞)上为增函数，若2＋2k ＜1，即－1＜k ＜－12时，h min (t)＝h(2＋2k)＝22＋2k －3k －3≥0，得－1≤k ≤－19，即－1＜k ＜－12； 若2＋2k ≥1，即k ≥－12时，h(t)在(0，1]上为减函数，h min (t)＝h(1)＝－k ≥0，即－12≤k≤0.综上，k 的取值范围是[－1，0]．(本题模拟高考评分标准，满分16分) 已知函数f(x)＝1＋x ＋1－x. (1) 求函数f(x)的定义域和值域；(2) 设F(x)＝a2·[f 2(x)－2]＋f(x)(a 为实数)，求F(x)在a<0时的最大值g(a)；(3) 对(2)中g(a)，若－m 2＋2tm ＋2≤g(a)对a<0所有的实数a 及t ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 由1＋x ≥0且1－x ≥0，得－1≤x ≤1，所以定义域为[－1，1]．(2分) 又f 2(x)＝2＋21－x 2∈[2，4]，由f(x)≥0得值域为[2，2]．(4分)(2) 令t ＝f(x)＝1＋x ＋1－x ，则1－x 2＝12t 2－1，所以F(x)＝m(t)＝a(12t 2－1)＋t ＝12at 2＋t －a ，t ∈[2，2]．(6分)由题意知g(a)即为函数m(t)＝12at 2＋t －a ，t ∈[2，2]的最大值．注意到直线t ＝－1a 是抛物线m(t)＝12at 2＋t －a 的对称轴．因为a<0时，函数y ＝m(t)，t ∈[2，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，① 若t ＝－1a ∈(0，2]，即a ≤－22，则g(a)＝m(2)＝ 2.(7分)② 若t ＝－1a ∈(2，2]，即－22<a ≤－12，则g(a)＝m(－1a )＝－a －12a .(8分)③ 若t ＝－1a ∈(2，＋∞)，即－12<a<0，则g(a)＝m(2)＝a ＋2.(9分)综上有g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2，－12<a<0，－a －12a ，－22＜a ≤－12，2，a ≤－22.(10分)(3) 易得g min (a)＝2，(11分)由－m 2＋2tm ＋2≤g(a)对a<0恒成立， 即要使－m 2＋2tm ＋2≤g min (a)＝2恒成立⇒m 2－2tm ≥0，令h(t)＝－2mt ＋m 2，对所有的t ∈[－1，1]，h(t)≥0成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧h （－1）＝2m ＋m 2≥0，h （1）＝－2m ＋m 2≥0，(14分)求出m 的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．(16分)1. 已知函数f(x)＝log 2a －x1＋x为奇函数，则实数a 的值为________．答案：1解析：由奇函数得f(x)＝－f(－x)，即log 2a －x 1＋x ＝－log 2a ＋x 1－x ，a －x 1＋x ＝1－xa ＋x，解得a 2＝1.因为a ≠－1，所以a ＝1.2. 已知函数f(x)＝2x －ax的定义域为(0，1](a 为实数)．(1) 当a ＝1时，求函数y ＝f(x)的值域；(2) 求函数y ＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x 的值．解：(1) 当a ＝1时，f(x)＝2x －1x ，任取1≥x 1＞x 2＞0，则f(x 1)－f(x 2)＝2(x 1－x 2)－(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)(2＋1x 1x 2)．∵ 1≥x 1＞x 2＞0，∴ x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0. ∴ f(x 1)＞f(x 2)，∴ f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，∴ f(x)的值域为(－∞，1]．(2) 当a ≥0时，y ＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值， 当x ＝1时取得最大值2－a ；当a ＜0时，f(x)＝2x ＋－ax，当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当－a 2＜1，即a ∈(－2，0)时，y ＝f(x)在(0，－a 2]上单调递减，在[－a2，1]上单调递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a.3. 设函数f(x)，g(x)的定义域均为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)＋g(x)＝e x ，其中e 为自然对数的底数．(1) 求f(x)，g(x)的解析式，并求证：当x>0时，f(x)>0，g(x)>1；(2) 设a ≤0，b ≥1，求证：当x>0时，ag(x)＋(1－a)<f （x ）x<bg(x)＋(1－b)．(1) 解：f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，即有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，f(x)＋g(x)＝e x ，f(－x)＋g(－x)＝e －x ，即为－f(x)＋g(x)＝e －x ，∴ f(x)＝12(e x －e －x )，g(x)＝12(e x ＋e －x )．证明如下：当x>0时，e x >1，0<e －x <1，故f(x)>0.又由基本不等式，有g(x)＝12(e x ＋e －x )>e x e －x ＝1，即g(x)>1.(2) 证明：由(1)得f ′(x)＝12(e x －1e x )′＝12(e x ＋e x e 2x )＝12(e x ＋e －x)＝g(x) ①，g ′(x)＝12(e x ＋1e x )′＝12(e x －e x e 2x )＝12(e x －e －x)＝f(x) ②，当x>0时，f （x ）x>ag(x)＋(1－a)等价于f(x)>axg(x)＋(1－a)x ③，f （x ）x<bg(x)＋(1－b)等价于f(x)<bxg(x)＋(1－b)x ④， 于是设函数h(x)＝f(x)－cxg(x)－(1－c)x.由①②，有h′(x)＝g(x)－cg(x)－cxf(x)－(1－c)＝(1－c)[g(x)－1]－cxf(x)．当x>0时，若c ≤0，则h′(x)>0，故h(x)在(0，＋∞)上为增函数，从而h(x)>h(0)＝0，即f(x)>cxg(x)＋(1－c)x ，故③成立．若c ≥1，则h′(x)<0，故h(x)在(0，＋∞)上为减函数，从而h(x)<h(0)＝0，即f(x)<cxg(x)＋(1－c)x ，故④成立．综合③④得，当x ＞0时，ag(x)＋(1－a)<f （x ）x<bg(x)＋(1－b)．请使用“课后训练·第1讲”活页练习，及时查漏补缺！第2讲 基本初等函数1. 高考对指数、对数函数的考查主要与其他基本初等函数知识相结合，考查函数的单调性及其基本性质，考查指数式的运算．2. 高考中主要涉及如下题型：(1) 指数与对数的基本运算、对数的运算性质；(2) 与指数式综合考查比较大小；(3) 有关图象的识别问题．1. (2017·南京、盐城二模)函数f(x)＝ln 11－x的定义域为________．答案：(－∞，1)解析：由11－x＞0，得1－x ＞0，即x ＜1.2. y ＝(log 12a)x 在R 上为减函数，则a ∈________．答案：(12，1)解析：因为y ＝(log 12a)x 在R 上为减函数，所以0＜log 12a ＜1，所以12＜a ＜1，即a ∈(12，1)．3. (2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R 上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a ＝g(－log 25.1)，b ＝g(20.8)，c ＝g(3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案：b<a<c解析：由函数f(x)为奇函数且在R 上单调递增，可知当x>0时，f(x)>0，所以g(x)＝xf(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，所以c ＝g(3)>a ＝g(－log 25.1)＝g(log 25.1)>g(2)，b ＝g(20.8)<g(2)，所以b<a<c.4. 已知函数f(x)(x ∈R ，且x ≠1)的图象关于点(1，0)对称，当x>1时f(x)＝log a (x －1)，且f(3)＝－1，则不等式f(x)>1的解集是________．答案：(－∞，－1)∪(1，32)解析：由题意，f(x)＝－f(2－x)，因为当x ＞1时，f(x)＝log a (x －1)，且f(3)＝－1，所以log a 2＝－1，所以a ＝12.所以当x ＞1时，不等式f(x)＞1可化为log 12(x －1)＞1，所以1＜x ＜32；当x ＜1时，2－x ＞1，不等式f(x)＞1可化为－log 12(1－x)＞1，所以x ＜－1., 一) 基本初等函数的性质研究, 1) 已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1) 求a ，b 的值；(2) 解关于t 的不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－1)<0. 解：(1) 因为f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋a.由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.经检验，当a ＝2，b ＝1时，f(x)为奇函数．(2) 由(1)知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数． 因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－1)<0等价于f(t 2－2t)<－f(2t 2－1)＝f(－2t 2＋1)． 因为f(x)是减函数，由上式推得t 2－2t>－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t>1或t<－13，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t|t>1或t<－13.已知函数f(x)＝a －22x ＋1(a ∈R )．(1) 试判断f(x)的单调性，并证明你的结论； (2) 若f(x)为定义域上的奇函数，求： ① 函数f(x)的值域；② 满足f(ax)<f(2a －x 2)的x 的取值范围． 解：(1) 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且f(x)＝a －22x ＋1，任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1<x 2，则f(x 2)－f(x 1)＝a －22x 2＋1－a ＋22x 1＋1＝2（2x 2－2x 1）（2x 2＋1）（2x 1＋1）.因为y ＝2x 在R 上单调递增，且x 1<x 2，所以0<2x 1<2x 2，2x 2－2x 1>0，2x 1＋1>0，2x 2＋1>0， 所以f(x 2)－f(x 1)>0，即f(x 2)>f(x 1)，所以f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数． (2) 因为f(x)是定义域上的奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，即a －22－x ＋1＋(a －22x ＋1)＝0对任意实数x 恒成立，化简得2a －(2·2x 2x ＋1＋22x ＋1)＝0，所以2a －2＝0，即a ＝1.① 由a ＝1得f(x)＝1－22x ＋1.因为2x ＋1>1，所以0<12x ＋1<1，所以－2<－22x ＋1<0，所以－1<1－22x ＋1<1，故函数f(x)的值域为(－1，1)．② 由a ＝1得f(x)<f(2－x 2)，且f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 所以x<2－x 2，解得－2<x<1. 故x 的取值范围是(－2，1)．, 二) 基本初等函数的图象变换, 2) 设f(x)＝|lg x|，a ，b 为实数，且0<a<b. (1) 若a ，b 满足f(a)＝f(b)，求证：ab ＝1；(2) 在(1)的条件下，求证：由关系式f(b)＝2f(a ＋b2)所得到的关于b 的方程g(b)＝0，存在b 0∈(3，4)，使g(b 0)＝0.证明：(1) 结合函数图象，由f(a)＝f(b)，0<a<b 可判断a ∈(0，1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，即ab ＝1.(2) 因为0<a<b ，所以a ＋b2>ab ＝1.由已知可得b ＝(a ＋b 2)2，得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b2＋b 2＋2－4b ＝0.设g(b)＝1b2＋b 2＋2－4b ，因为g(3)<0，g(4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g(b)在(3，4)内一定存在零点， 即存在b 0∈(3，4)，使g(b 0)＝0.(2017·徐州、连云港、宿迁三检)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y 3＝log a x(a>1)的图象上，则实数a 的值为________．答案： 2解析：设A(t ，3log a t)(t>0)，因为正方形ABCD 的边长为2， 所以B(t ，2log a t)，C(t 2，2log a t)，则⎩⎪⎨⎪⎧t 2－t ＝2，3log a t －2log a t ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧t 2－t －2＝0，log a t ＝2， 解得⎩⎨⎧t ＝2，a ＝2，即所求的实数a 的值为 2., 三) 基本初等函数与不等式综合, 3) 已知f(log 2x)＝x.(1) 若f(x)＋x ＝10的根x 0∈(k 2，k ＋12)，k ∈Z ，求k 的值；(2) 设g(x)＝f （x ＋1）＋af （x ）＋b(a<b)为其定义域上的奇函数，求实数a ，b 的值．解：(1) 令t ＝log 2x ，则x ＝2t ， 所以f(t)＝2t ，即f(x)＝2x .方程f(x)＋x ＝10即为2x ＋x ＝10.设h(x)＝2x ＋x －10，显然h(x)在R 上为增函数，因为h(2)＝22＋2－10＝－4<0，h(3)＝23＋3－10＝1>0，h(52)＝252＋52－10＝42－152<0， 所以函数h(x)的零点x 0∈(52，3)，所以符合条件的整数k ＝5.(2) g(x)＝2x ＋1＋a2x ＋b，因为g(x)为其定义域上的奇函数， 所以g(－x)＋g(x)＝0恒成立，即2－x ＋1＋a 2－x ＋b ＋2x ＋1＋a 2x ＋b＝0恒成立， 所以2＋a·2x 1＋b·2x ＋2x ＋1＋a 2x ＋b＝0，即(2＋a·2x )(2x ＋b)＋(1＋b·2x )(2x ＋1＋a)＝0恒成立，化简为(a ＋2b)22x ＋2(ab ＋2)2x ＋(a ＋2b)＝0恒成立，所以a ＋2b ＝0，且ab ＋2＝0， 解得a ＝2，b ＝－1或a ＝－2，b ＝1. 因为a<b ，所以a ＝－2，b ＝1.已知函数f(x)＝3－2log 2x ，g(x)＝log 2x.(1) 当x ∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； (2) 如果对任意的x ∈[1，4]，不等式f(x 2)·f(x)>k·g(x)恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1) h(x)＝(4－2log 2x)·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2，因为x ∈[1，4]，所以log 2x ∈[0，2]，故函数h(x)的值域为[0，2]． (2) 由f(x 2)·f(x)>k·g(x)， 得(3－4log 2x)(3－log 2x)>k·log 2x.令t ＝log 2x ，因为x ∈[1，4]，所以t ＝log 2x ∈[0，2]， 所以(3－4t)(3－t)>k·t 对一切t ∈[0，2]恒成立， ① 当t ＝0时，k ∈R ；② 当t ∈(0，2]时，k<（3－4t ）（3－t ）t恒成立，即k<4t ＋9t －15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3.综上，实数k 的取值范围是(－∞，－3)．, 四) 基本初等函数与方程综合, 4) 已知a>0，且a ≠1，函数f(x)＝log a (x ＋1)，g(x)＝log a 11－x，记F(x)＝2f(x)＋g(x)．(1) 求函数F(x)的定义域D 及其零点；(2) 若关于x 的方程F(x)－m ＝0在区间[0，1)内有解，求实数m 的取值范围．解：(1) F(x)＝2f(x)＋g(x)＝2log a (x ＋1)＋log a 11－x (a>0且a ≠1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x>0，解得－1<x<1，所以函数F(x)的定义域D 为(－1，1)．令F(x)＝0，则2log a (x ＋1)＋log a 11－x＝0 (*)．方程变为log a (x ＋1)2＝log a (1－x)， 即(x ＋1)2＝1－x ，即x 2＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－3，经检验x ＝－3是方程(*)的增根，所以方程(*)的解为x ＝0， 即函数F(x)的零点为0.(2) m ＝2log a (x ＋1)＋log a 11－x ＝log a x 2＋2x ＋11－x ＝log a (1－x ＋41－x－4)(0≤x<1)，a m ＝1－x ＋41－x －4，设1－x ＝t ∈(0，1]，函数y ＝t ＋4t在区间(0，1]上是减函数，当t ＝1时，x ＝0，y min ＝5，所以a m ≥1. ① 若a>1，则m ≥0，方程有解； ② 若0<a<1，则m ≤0，方程有解．所以，当a ＞1时，m ≥0；当0＜a ＜1时，m ≤0.已知函数f(x)＝log a x －1x ＋1(其中a ＞0且a ≠1)．(1) 讨论函数f(x)的奇偶性；(2) 已知关于x 的方程log a m（x ＋1）（7－x ）＝f(x)在区间[2，6]上有实数解，求实数m的取值范围．解：(1) 由对数有意义可得x －1x ＋1＞0，解得x ＜－1或x ＞1，所以f(x)＝log a x －1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝log a －x －1－x ＋1＝log a x ＋1x －1＝－log a x －1x ＋1，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．(2) 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m（x ＋1）（7－x ）＞0，x －1x ＋1＞0，m （x ＋1）（7－x ）＝x －1x ＋1.问题转化为求函数m ＝(x －1)(7－x)在x ∈[2，6]上的值域，该函数在[2，4]上递增，在[4，6]上递减，所以当x ＝2或6时，m 取最小值5；当x ＝4时，m 取最大值9. 所以m 的取值范围是[5，9]．1. (2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x 2－2x －8)的单调增区间是________．答案：(4，＋∞) 解析：函数y ＝x 2－2x －8＝(x －1)2－9图象的对称轴为直线x ＝1，由x 2－2x －8＞0解得x ＞4或x ＜－2，所以(4，＋∞)为函数y ＝x 2－2x －8的一个单调增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x 2－2x －8)的单调增区间为(4，＋∞)．2. (2017·山东卷)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x)的定义域为B ，则A ∩B ＝ ________．答案：[－2，1)解析：由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，所以A ＝{x|－2≤x ≤2}；由1－x>0得x<1，所以B ＝{x|x<1}．故A ∩B ＝{x|－2≤x<1}．3. (2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x －(13)x ，则f(x)是________函数．(选填“奇”或“偶”)答案：奇解析：因为f(－x)＝3－x －(13)－x ＝(13)x －3x ＝－3x ＋(13)x ＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．4. (2017·山东卷)若函数e xf(x)(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数为________．(填序号)① f(x)＝2－x ；② f(x)＝3－x ；③ f(x)＝x 3；④ f(x)＝x 2＋2. 答案：①④解析：令g(x)＝e x f(x)．对于①，f(x)的定义域为R ，g(x)＝e x 2－x ＝(e 2)x 在R 上单调递增，具有M 性质；对于②，f(x)的定义域为R ，g(x)＝e x 3－x ＝(e 3)x 在R 上单调递减，不具有M 性质；对于③，f(x)的定义域为R ，g(x)＝e x x 3，g ′(x)＝e x x 3＋3x 2e x ＝e x (x 3＋3x 2)>0在R 上不恒成立，所以g(x)在R 上不单调递增，不具有M 性质；对于④，f(x)的定义域为R ，g(x)＝e x (x 2＋2)，g ′(x)＝e x (x 2＋2)＋2xe x ＝e x (x 2＋2x ＋2)>0在R 上恒成立，所以g(x)在R 上单调递增，具有M 性质．故填①④.5. (2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝e x (e x －a)－a 2x. (1) 讨论f(x)的单调性；(2) 若f(x)≥0，求a 的取值范围．解：(1) 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e 2x －ae x －a 2＝(2e x ＋a)(e x －a)． ① 若a ＝0，则f(x)＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增． ② 若a ＞0，则由f′(x)＝0得x ＝ln a.当x ∈(－∞，ln a)时，f ′(x)＜0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x)＞0.故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．③ 若a ＜0，则由f′(x)＝0得x ＝ln(－a2)．当x ∈(－∞，ln(－a 2))时，f ′(x)＜0；当x ∈(ln(－a2)，＋∞)时，f ′(x)＞0.故f(x)在(－∞，ln(－a 2))上单调递减，在(ln(－a2)，＋∞)上单调递增．(2) ① 若a ＝0，则f(x)＝e 2x ，所以f(x)≥0.② 若a ＞0，则由(1)得，当x ＝ln a 时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a 2ln a ．从而当且仅当－a 2ln a ≥0，即0＜a ≤1时，f(x)≥0.③ 若a ＜0，则由(1)得当x ＝ln(－a 2)时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln(－a 2))＝a 2[34－ln(－a 2)]．从而当且仅当a 2[34－ln(－a2)]≥0，即a ≥－2e 34时，f(x)≥0. 综上，a 的取值范围是[－2e 34，1]．(本题模拟高考评分标准，满分16分)定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的上界．举例：f(x)＝x ，D ＝[－3，2]，则对任意x ∈D ，|f(x)|≤3，根据上述定义，f(x)＝x 在[－3，2]上为有界函数，上界可取3，5等等．已知函数f(x)＝1＋a·2x ＋4x，g(x)＝1－2x1＋2x.(1) 当a ＝1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判断函数f(x)在(0，＋∞)上是否为有界函数，请说明理由；(2) 求函数g(x)在[0，1]上的上界T 的取值范围；(3) 若函数f(x)在(－∞，0]上是以3为上界的函数，求实数a 的取值范围． 解：(1) 当a ＝1时，f(x)＝1＋2x ＋4x ，设t ＝2x ，x ∈(0，＋∞)，所以t ∈(1，＋∞)， y ＝t 2＋t ＋1，值域为(3，＋∞)， 不存在正数M ，使x ∈(0，＋∞)时，|f(x)|≤M 成立，即函数在(0，＋∞)上不是有界函数．(5分)(2) 设t ＝2x ，t ∈[1，2]，g(t)＝1－t 1＋t ＝21＋t－1在t ∈[1，2]上是减函数，值域为[－13，0]，要使|g(x)|≤T 恒成立，则T ≥13.(10分)(3) 由已知x ∈(－∞，0]时，不等式|f(x)|≤3恒成立，即|1＋a·2x ＋4x |≤3， 设t ＝2x ，t ∈(0，1]，不等式化为|1＋a·t ＋t 2|≤3. (解法1)讨论：当0＜－a 2≤1，即－2≤a ＜0时，1－14a 2≥－3且2＋a ≤3，得－2≤a<0；当－a 2≤0或－a2＞1，即a ＜－2或a ≥0时，－3≤2＋a ≤3，得－5≤a ＜－2或0≤a ≤1.综上，－5≤a ≤1.(16分)(解法2)不等式1＋at ＋t 2≥－3且1＋at ＋t 2≤3在t ∈(0，1]上恒成立．分离参数法得－a ≤t ＋4t 且－a ≥t －2t在t ∈(0，1]上恒成立，得－5≤a ≤1.(16分)1. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ＋1，x ≤0，则f(f(14))的值是________．答案：109解析：由题意可得f(14)＝log 214＝－2，∴ f(f(14))＝f(－2)＝3－2＋1＝109.2. 已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0，b ∈R ，c ∈R )．(1) 若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c ＝1，F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x>0，－f （x ），x<0，求F(2)＋F(－2)的值；(2) 若a ＝1，c ＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1) 由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2，∴ f(x)＝(x ＋1)2.∴ F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x>0，－（x ＋1）2，x<0. ∴ F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2) 由a ＝1，c ＝0，得f(x)＝x 2＋bx ，从而|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0，1]上恒成立．又在区间(0，1]上，1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.∴ －2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0]．3. 已知a ∈R ，函数f(x)＝log 2(1x＋a)．(1) 当a ＝5时，解不等式f(x)＞0；(2) 若关于x 的方程f(x)－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围．解：(1) 当a ＝5时，f(x)＝log 2(1x＋5)，由f(x)＞0，得log 2(1x＋5)＞0，即1x ＋5＞1，即x ＞0或x ＜－14， 即不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＞0或x ＜－14.(2) 由f(x)－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0，得log 2(1x ＋a)－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0，即log 2(1x ＋a)＝log 2[(a －4)x ＋2a －5]，即1x＋a ＝(a －4)x ＋2a －5＞0 ①， 则(a －4)x 2＋(a －5)x －1＝0， 即(x ＋1)[(a －4)x －1]＝0 ②，当a ＝4时，方程②的解为x ＝－1，代入①，成立； 当a ＝3时，方程②的解为x ＝－1，代入①，成立；当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x ＝－1或x ＝1a －4，若x ＝－1是方程①的解，则1x＋a ＝a －1＞0，即a ＞1；若x ＝1a －4是方程①的解，则1x ＋a ＝2a －4＞0，即a ＞2.则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a ≤2.综上，若方程f(x)－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是1<a ≤2或a ＝3或a ＝4.请使用“课后训练·第2讲”活页练习，及时查漏补缺！第3讲 分段函数与绝对值函数1. 分段函数和绝对值函数是高考的重点内容，主要考查分类讨论思想，关键弄清楚为什么要分类，需要分几类，如何分，做到不重不漏．2. 涉及的题型主要有：一是明确在各个分段上的函数解析式，然后对各个分段进行性质讨论；二是结合函数图象，寻求解题方法．1. (2017·启东模考)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（12）x －1，x<0，－x 2＋x ，x ≥0，则f(f(2))＝________．答案：3解析：因为f(2)＝－4＋2＝－2，f(－2)＝(12)－2－1＝3，所以f(f(2))＝3.2. (2017·盐城模考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ＋1－2，x ≤1，2x －1，x ＞1.若f(0)＝3，则f(a)＝ ________．答案：9解析：由f(0)＝3，所以a －2＝3，即a ＝5，所以f(a)＝f(5)＝9.3. (2017·盐城期中)若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x<a ，|x ＋1|，x ≥a在区间(－∞，a)上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 答案：[－1，0]解析：函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x<a ，|x ＋1|，x ≥a ，根据反比例函数的性质可知，在区间(－∞，0)上单调递减，要使函数f(x)在区间(－∞，a)上单调递减，则a ≤0.因此函数f(x)＝|x ＋1|在区间(a ，＋∞)上单调递增，那么a ＋1≥0，解得a ≥－1.所以实数a 的取值范围是[－1，0]．4. (2017·苏北四市一模)已知函数f(x)＝|x 2－4|＋a|x －2|，x ∈[－3，3]．若f(x)的最大值是0，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，－5] 解析：(解法1)因为函数f(x)的最大值为0，故f(x)≤0在[－3，3]上恒成立，从而f(3)≤0，解得a ≤－5.又f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4＝（x ＋a 2）2－a 24－2a －4，x ∈[2，3]，－x 2－ax ＋2a ＋4＝－（x ＋a 2）2＋a24＋2a ＋4，x ∈（－2，2），x 2－ax ＋2a －4＝（x －a 2）2－a 24＋2a －4，x ∈[－3，－2]. 因为a ≤－5，所以－a 2≥52，当－a 2∈[52，3]时，画出f(x)的草图，结合图象可知函数f(x)在[－3，a 2]上单调递减，在[a 2，2]上单调递增，在[2，－a 2]上单调递减，在[－a2，3]上单调递增．因为f(2)＝0，故f(－3)≤0且f(3)≤0，解得a ≤－5.当－a2≥3，即a ≤－6时，f(x)在[－3，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减，且f(2)＝0，所以f(x)≤0恒成立．故a ≤－5.(解法2)因为f(x)＝|x －2|(|x ＋2|＋a)，|x －2|≥0，且函数f(x)的最大值为0，故|x ＋2|＋a ≤0在[－3，3]上恒成立，从而a ≤－|x ＋2|在[－3，3]上恒成立．因为(－|x ＋2|)min ＝－5，故a ≤－5., 一) 绝对值函数的图象与性质, 1) 已知函数f(x)＝x|x －2|. (1) 写出f(x)的单调区间； (2) 解不等式f(x)<3；(3) 设a>0，求f(x)在[0，a]上的最大值． 解：(1) f(x)＝x|x －2|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝（x －1）2－1，x ≥2，－x 2＋2x ＝－（x －1）2＋1，x ＜2， 所以f(x)的单调增区间是(－∞，1]和[2，＋∞)； 单调减区间是[1，2]．(2) 因为x|x －2|<3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x 2－2x －3＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x<2，x 2－2x ＋3>0，解得2≤x ＜3或x ＜2，所以不等式f(x)<3的解集为{x|x<3}．(3) ① 当0＜a ＜1时，f(x)是[0，a]上的增函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；② 当1≤a ≤2时，f(x)在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；③ 当a ＞2时，令f(a)－f(1)＝a(a －2)－1＝a 2－2a －1>0，解得a>1＋ 2. (ⅰ) 当2<a ≤1＋2时，此时f(a)≤f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1； (ⅱ) 当a>1＋2时，此时f(a)>f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(a －2)．综上，当0<a ＜1时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(2－a)；当1<a ≤1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是1；当a>1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(a －2)．点评：对于绝对值函数可以转化为与它等价的分段函数，然后结合函数的单调区间和图象，对于每一段上的函数进行研究，得出相应的结论，最终将各段得出的结论进行综合，就可以得到问题的解．(2017·南通平潮中学模考)设函数f(x)＝|lg x|.若方程f(x)＝(110)x 有两个不等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)，试比较x 1x 2与1的大小．解：由题意，|lg x 1|＝(110)x 1，|lg x 2|＝(110)x 2，因为x 1<x 2，由图知，0<x 1<1<x 2.所以－lg x 1＝(110)x 1，lg x 2＝(110)x 2，所以(110)x 2－(110)x 1＝lg x 2＋lg x 1＝lg x 1x 2.因为x 1<x 2，所以(110)x 2－(110)x 1<0，所以lg x 1x 2<0，从而x 1x 2<1., 二) 分段函数的图象与性质, 2) 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x>0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x<0是奇函数．(1) 求实数m 的值；(2) 若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1) 设x<0，则－x>0，。

回扣一集合与常用逻辑用语[基础知识看一看]一、牢记概念与公式四种命题的相互关系二、活用定理与结论运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.[易错易混想一想]1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合．但是0∉∅，而∅⊆{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性．在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．4．遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B ⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．5．注重数形结合在集合问题中的应用．列举法常借助Venn图解题；描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．6．“否命题”是对原命题“若p ，则q ”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p 的否定”即：非p ，只是否定命题p 的结论．7．要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .[保温训练手不凉]1．(2017·天津高考)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R|－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R|－1≤x ≤5}解析：选B A ∪B ＝{1,2,4,6}，又C ＝{x ∈R|－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}． 2．“α≠β”是“sin α≠sin β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 命题“若α≠β，则“sin α≠sin β”等价于命题“若sin α＝sin β，则α＝β”，这个命题显然是假命题，故条件是不充分的；命题“若sin α≠sin β，则α≠β”等价于命题“若α＝β，则sin α＝sin β”，这个命题是真命题，故条件是必要的．因此，“α≠β是sin α≠sin β”的必要而不充分条件．3．命题p ：m >7，命题q ：f (x )＝x 2＋mx ＋9(m ∈R)有零点，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当m >7时，方程x 2＋mx ＋9＝0的判别式Δ＝m 2－36>0，此时f (x )有两个零点；反过来，当f (x )有零点时，Δ＝m 2－36≥0，即m 2≥36，不能得知m >7.因此，p 是q 的充分不必要条件．4．已知集合A ＝{a ，b ，c }中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( )A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{1,0}D ．{0,1,2}解析：选B 不妨设a <b <c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋c ＝2，b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，c ＝2，故⎩⎪⎨⎪⎧|a －b |＝1，|a －c |＝2，|b －c |＝1.由此知所求集合为{1,2}．5．已知集合M ＝{x |y ＝1－x }，N ＝{y |y ＝2x}，则M ∩N ＝________. 解析：M ＝{x |x ≤1}，N ＝{y |y >0}，所以M ∩N ＝{x |0<x ≤1}． 答案：(0,1]6．下面四个命题：①函数y＝log a(x＋1)＋1(a>0且a≠1)的图象必过定点(0,1)；②“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；③过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程为3x＋2y－1＝0.其中所有真命题的序号是________．解析：①中，当x＝0时，y＝log a1＋1＝1，所以恒过定点(0,1)(也可由y＝log a x的图象恒过定点(1,0)，将图象左移1个单位，然后向上平移1个单位，故图象恒过(0,1)点)，所以①为真命题；②中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，所以②为真命题，其逆否命题也为真命题；③中，直线2x－3y＋4＝0的斜率为23，所以和2x－3y＋4＝0垂直的直线斜率为－32，因为直线过点(－1,2)，所以所求直线方程为y－2＝－32(x＋1)，即3x＋2y－1＝0，所以③为真命题．综上真命题有①②③.答案：①②③回扣二函__数[基础知识看一看]一、牢记概念与公式1．函数的单调性、奇偶性、周期性(1)单调性是函数在其定义域或定义域某子区间I上的性质．对任意的x1，x2∈I，若x1<x2时都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)为I上的增函数；若x1<x2时都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)为I上的减函数．(2)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．(3)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值：若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．2．指数与对数式的运算公式a m·a n＝a m＋n；(a m)n＝a m n；log a(MN)＝log a M＋log a N；log a MN＝log a M－log a N；log a M n＝n log a M；a log a N＝N；log a N＝logb Nlog b a(a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)．3．指数函数与对数函数的性质1．抽象函数的周期性与对称性 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期． ②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期．③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期．(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．2．函数图象平移变换的相关结论(1)把y ＝f (x )的图象沿x 轴左右平移|c |个单位(c ＞0时向左移，c ＜0时向右移)得到函数y ＝f (x ＋c )的图象(c 为常数)．(2)把y ＝f (x )的图象沿y 轴上下平移|b |个单位(b ＞0时向上移，b ＜0时向下移)得到函数y ＝f (x )＋b 的图象(b 为常数)．3．函数图象伸缩变换的相关结论(1)把y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标伸长(a ＞1)或缩短(0＜a ＜1)到原来的a 倍，而横坐标不变，得到函数y ＝af (x )(a ＞0)的图象．(2)把y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长(0＜b ＜1)或缩短(b ＞1)到原来的1b倍，而纵坐标不变，得到函数y ＝f (bx )(b ＞0)的图象．4．确定函数零点的三种常用方法(1)解方程判定法．若方程易解时用此法．(2)零点定理法．根据连续函数y ＝f (x )满足f (a )·f (b )<0，判断函数在区间(a ，b )内存在零点．(3)数形结合法．尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．[易错易混想一想]1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数．列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．2．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．3．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．4．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．5．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的单调性忽视字母a 的取值讨论，忽视a x >0；对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)忽视真数与底数的限制条件．6．易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．[保温训练手不凉]1．下列函数中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( ) A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选A 由题意知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，只有选项A 符合． 2．函数f (x )＝11－x－x的最大值是( )A.45B.54C.34D.43解析：选D 首先讨论分母1－x (1－x )的取值范围：1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34.因此，有0<11－x－x≤43.所以f (x )的最大值为43.3．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：选D 函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，x <0，x －1，x ≥0的所有零点的和等于( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选C 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2＝0，解得x ＝－1；令x －1＝0，解得x ＝1.所以函数f (x )存在两个零点1和－1，其和为0.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a xx ，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a2x ＋x 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析：选B 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a 1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2＋2，解得4≤a ＜8，故选B.6．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝2-43，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则下列关系式中正确的是( )A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c解析：选B a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，b ＝2-43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11613，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213.考查幂函数y ＝x 13，显然该函数在(0，＋∞)上是增函数，则易知c >a >b .7．若方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，即函数f (x )的图象与直线y ＝2在(－∞，0)内有交点，在各选项中画出直线y ＝2，满足在(－∞，0)内有交点的只有选项D.8．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f xx在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫作“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0， 3 ]C ．[0,1]D ．[1， 3 ]解析：选D 因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f x x ＝12x －1＋32x ，函数f x x ＝12x －1＋32x在区间[1， 3 ]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈－1，0]，x ，x ∈，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23解析：选A g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点就是函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝m (x ＋1)的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈－1，0]，x ，x ∈，1].和函数y ＝m (x ＋1)的图象，如图，当直线y ＝m (x ＋1)与y ＝1x ＋1－3，x ∈(－1,0]和y ＝x ，x ∈(0,1]都相交时0<m ≤12；当直线y ＝m (x ＋1)与y ＝1x ＋1－3，x ∈(－1，0]有两个交点时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m x ＋，y ＝1x ＋1－3消元得1x ＋1－3＝m (x ＋1)，即m (x ＋1)2＋3(x ＋1)－1＝0，化简得mx 2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，当Δ＝9＋4m ＝0，即m ＝－94时，直线y ＝m (x＋1)与y ＝1x ＋1－3相切，当直线y ＝m (x ＋1)过点(0，－2)时，m ＝－2，所以m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2.综上，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，选A.10．设二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，则1c ＋9a的最小值为________．解析：∵二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，∴a >0，4ac －164a ＝0，∴ac＝4，c >0，∴1c ＋9a≥29ac ＝3，当且仅当1c ＝9a ，即a ＝6，c ＝23时等号成立，∴1c ＋9a的最小值为3.答案：311．已知奇函数f (x )＝m －g x1＋g x的定义域为R ，其中y ＝g (x )为指数函数，且其图象过点(2,9)，则函数y ＝f (x )的解析式为________．解析：设g (x )＝a x (a >0，a ≠1)，则a 2＝9，∴a ＝3或a ＝－3(舍去)，∴g (x )＝3x，∴f (x )＝m －3x1＋3x，又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即m －3－x1＋3－x＝－m －3x1＋3x，整理得m (3x＋1)＋m (1＋3－x)＝3x＋1＋1＋3－x，∴m ＝1(或由f (0)＝0得m ＝1)，∴f (x )＝1－3x1＋3x .答案：f (x )＝1－3x1＋3x12．设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究函数f (x )＝x 3＋sin x ＋2的某一个对称中心，并利用对称中心的定义，可得到f (－1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1920＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1920＋f (1)＝________.解析：由题意可得，对于函数f (x )＝x 3＋sin x ＋2，当x 1＋x 2＝0时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝4，所以f (－1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1920＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1920＋f (1)＝4×20＋f (0)＝82.答案：82回扣三导数及其应用[基础知识看一看]一、牢记概念与公式 1．基本导数公式： (1)c ′＝0(c 为常数)； (2)(x m)′＝mxm －1(m ∈Q)；(3)(sin x )′＝cos x ； (4)(cos x )′＝－sin x ； (5)(a x)′＝a xln a (a >0且a ≠1)； (6)(e x)′＝e x； (7)(log a x )′ ＝1x ln a(a >0且a ≠1)； (8)(ln x )′＝1x.2．导数的四则运算： (1)(u ±v )′＝u ′±v ′； (2)(uv )′＝u ′v ＋uv ′； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫u v′＝u ′v －uv ′v 2(v ≠0)． 二、活用定理与结论 1．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)．2．函数的单调性与导数的关系在区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数f (x )在区间(a ，b )上单调递减．3．导数研究函数单调性的一般步骤①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f (x )的定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0即可；若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．4．求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤第一步：求导数f′(x)；第二步：求方程f′(x)＝0的根x0；第三步：检查f′(x)在x＝x0左右的符号：①左正右负⇔f(x)在x＝x0处取极大值；②左负右正⇔f(x)在x＝x0处取极小值．5．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤第一步：求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)；第二步：将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．[易错易混想一想]1．如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此．2．导数为零的点并不一定是极值点，例如函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．3．求曲线的切线方程时，要注意题目条件中的已知点是否为切点．[保温训练手不凉]1．已知函数f(x)＝1xcos x，则f′(x)＝( )A.cos xx2B.－sin xx2C.cos x－x sin xx2D.－cos x＋x sin xx2解析：选D f′(x)＝－1x2cos x－sin xx＝－cos x＋x sin xx2.2．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( ) A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：选C 设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故选C.3．一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋a2与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是( )解析：选B 分两种情况讨论：当a ＝0时，函数为y ＝－x 与y ＝x ，图象为D ，故D 有可能；当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x＋a 2的对称轴为x ＝12a，对函数y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 求导得y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1＝(3ax －1)(ax －1)，令y ′＝0，则x 1＝13a ，x 2＝1a ，所以对称轴x ＝12a 介于两个极值点x 1＝13a ，x 2＝1a之间，A ，C 满足，B 不满足，所以B 不可能．故选B.4．x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]解析：选C 当x ∈(0,1]时，得a ≥－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x ，令t ＝1x，则t ∈[1，＋∞)，a ≥－3t 3－4t 2＋t ，令g (t )＝－3t 3－4t 2＋t ，t ∈[1，＋∞)，则g ′(t )＝－9t 2－8t ＋1＝－(t ＋1)(9t －1)，显然在[1，＋∞)上，g ′(t )<0，g (t )单调递减，所以g (t )max ＝g (1)＝－6，因此a ≥－6；同理，当x ∈[－2,0)时，得a ≤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x ，令m ＝1x ，则m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12，a ≤－3m 3－4m2＋m ，令g (m )＝－3m 3－4m 2＋m ，m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12，则g ′(m )＝－9m 2－8m ＋1＝－(m ＋1)(9m －1)．显然在(－∞，－1]上g ′(m )≤0，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12上，g ′(m )>0，所以g (m )min ＝g (－1)＝－2.所以a ≤－2.由以上两种情况得－6≤a ≤－2，显然当x ＝0时也成立．故实数a 的取值范围为[－6，－2]．5．若曲线y ＝e －x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 解析：由题意有y ′＝－e －x，设P (m ，n )，直线2x ＋y ＋1＝0的斜率为－2，则由题意得－e－m＝－2，解得m ＝－ln 2，所以n ＝e －(－ln 2)＝2.答案：(－ln 2,2) 6．函数f 0(x )＝sin xx(x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.则2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：由已知，得f 1(x )＝f 0′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x ′＝cos x x－sin x x2，于是f 2(x )＝f 1′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin x x 3，所以f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－4π2，f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－2π＋16π3.故2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1. 答案：－1回扣四不_等_式[基础知识看一看]一、牢记概念与公式 1．不等式的性质 (1)a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(2)a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ； (3)a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ； (4)a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (5)a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(6)a ＞b ＞0，n ∈N ，n ＞1⇒a n＞b n，n a ＞nb . 2．简单分式不等式的解法 (1)f xg x ＞0⇔f (x )g (x )＞0，f xg x＜0⇔f (x )g (x )＜0. (2)f x g x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ，g x，f xg x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ，g x(3)对于形如f xg x＞a (≥a )的分式不等式要采取：移项—通分—化乘积的方法转化为(1)或(2)的形式求解．3．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集：(2)|ax ＋b |≤①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解． ②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解． 二、活用定理与结论 1．常用的六个重要不等式 (1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R)． (2)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)． (3)a ＋b2≥ab (a >0，b >0)．(4)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)．(5)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab (a >0，b >0)．(6)||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |. 2．可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域．3．一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0.(2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.4．基本不等式求最值问题 若a ，b ∈R ＋，则a ＋b2≥ab ，当且仅当“a ＝b ”时取等号．应用基本不等式求最值应注意“一正、二定、三相等”．[易错易混想一想]1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错． 2．解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论．3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f xg x≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y ＝x ＋3x (x <0)时应先转化为正数再求解．5．解绝对值不等式易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．6．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．7．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2,2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1,1)的距离的平方等．[保温训练手不凉]1．已知－1<a <0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A ．a 2>－a 3>－a B ．－a >a 2>－a 3C ．－a 3>a 2>－aD ．a 2>－a >－a 3解析：选B ∵－1<a <0，∴0<－a <1，∴－a >(－a )2>－a 3，即－a >a 2>－a 3.2．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选B 直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点有1个．3．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是( ) A ．20 B ．150 C ．75D ．1510解析：选A 依题意得，a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |×|2b |＝22|ab |＝2100＝20(当且仅当|a |＝|2b |时取等号)，因此|a ＋2b |的最小值是20.4．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y确定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM ―→·OA ―→的最大值为( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解析：选B 画出区域D ，如图所示，而z ＝OM ―→·OA ―→＝2x ＋y ，故y ＝－2x ＋z ，令l 0：y ＝－2x ，平移直线l 0，相应直线过点(2，2)时，截距z 有最大值，故z max ＝2×2＋2＝4.5．若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.12D.22解析：选C 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12，故a 的最小值为12.6．(2017·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解析：选 D 不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，是以点A (1,1)，B (3,3)，C (3，－1)为顶点的三角形及其内部．设z ＝x ＋2y ，当直线z ＝x ＋2y 经过点B 时，z 取得最大值，所以z max ＝3＋2×3＝9.7．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________． 解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2. 又当x ≥2时，f (x )＝3>1恒成立． 所以不等式的解集为{x |x ≥1}． 答案：{x |x ≥1}8．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是________．解析：函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．(1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意；(2)当a2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，a －2－a 2＋4a －，解得1<a <19.综上可知，a 的取值范围是1≤a <19. 答案：[1,19)回扣五三角函数、解三角形与平面向量 [基础知识看一看]一、牢记概念与公式 1．同角三角函数的基本关系(1)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z ；(2)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R)． 2．三角函数的诱导公式诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中，“奇、偶”是指“k ·π2±α(k ∈Z)”中k 的奇偶性；“符号”是把任意角α看作锐角时，原函数值的符号．3．三种函数的性质4．三角恒等变换的主要公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β；sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝sin 2αcos 2α＝2tan α1－tan 2α. 5．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.6．平面向量的有关运算(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a ∥b ⇔a ＝λb . 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |. (2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2 )， 则|AB ―→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 二、活用定理与结论 1．三角函数的两种常见变换2．正、余弦定理 (1)正弦定理①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 注：R 是三角形的外接圆半径． (2)余弦定理①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.②b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .3．三点共线的判定三个点A ，B ，C 共线⇔AB ―→，AC ―→共线；向量PA ―→，PB ―→，PC ―→中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得PA ―→＝αPB ―→＋βPC ―→，且α＋β＝1.[易错易混想一想]1．注意角的集合的表示形式不是唯一的，如终边在y 轴的负半轴上的角的集合可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，也可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .2．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定．3．在解决三角问题时，应明确正切函数的定义域，正弦函数、余弦函数的有界性． 4．求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间．5．对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好． 6．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解．在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B .7．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a ＝0；但不说0与任意非零向量垂直．8．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等；(a ·b )·c 与c 共线，而a ·(b·c )与a 共线．9．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价．[保温训练手不凉]1．已知cos 2α＝14，则sin 2α＝( )A.12 B.34C.58D.38解析：选D 由倍角公式，得sin 2α＝12(1－cos 2α)．又cos 2α＝14，所以sin 2α＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝38.2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．75° B ．60° C ．45°D ．30°解析：选B 依题意，33＝12×4×3sin C ，解得sin C ＝32.故角C 为60°.3．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π3D.11π6解析：选C 因为角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin5π6，cos 5π6，所以角α在第四象限，tan α＝cos5π6sin5π6＝－3，故α的最小正值为5π3.4．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB ―→|＝2|AP ―→|，则点P 的坐标为( ) A ．(3,1)B ．(1，－1)C ．(3,1)或(1，－1)D ．无数多个解析：选C 设P (x ，y )，由点P 在直线AB 上，且|AB ―→|＝2|AP ―→|得AB ―→＝2AP ―→，或AB ―→＝－2AP ―→.而AB ―→＝(2,2)，AP ―→＝(x －2，y )，由(2,2)＝2(x －2，y )，解得x ＝3，y ＝1，此时点P 的坐标为(3,1)；由(2,2)＝－2(x －2，y )，解得x ＝1，y ＝－1，此时点P 的坐标为(1，－1)．综上所述，点P 的坐标为(3,1)或(1，－1)．5．若函数f (x )＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则f (x )图象的一个对称中心为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 解析：选C f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，由题设知2x＝k π＋π2(k ∈Z)，解得x ＝k π2＋π4(k ∈Z)，当k ＝0时，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0.6．已知在三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE ＝3EC ，若P 是BC 边上的动点，则AP ―→·AE ―→的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，103 解析：选C 以BC 的中点D 为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (－2,0)，C (2,0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫0，23，E (1,0)．设P (x,0)，x ∈[－2,2]，所以AP ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－23＝x ＋43∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.7．若函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( )A.16 B.14 C.13 D.12解析：选D 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位后，得y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4的图象，由题知tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，即π4－π6ω＋k π＝π6(k ∈Z)，解得ω＝6k ＋12(k ∈Z)．又因ω>0，故ω的最小值为12.8．为得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，可将函数y ＝sin x 的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数)，则|m －n |的最小值是________．解析：由题意可知，m ＝π3＋2k 1π，k 1为非负整数，n ＝－π3＋2k 2π，k 2为正整数，∴|m －n |＝2π3＋2(k 1－k 2)π， ∴当k 1＝k 2时，|m －n |min ＝2π3. 答案：2π39．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析：∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴x ＝π2，x ＝2π3均不是f (x )的极值点，其极值应在x ＝π2＋2π32＝7π12处取得，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴x ＝π2＋π62＝π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0应是与对称轴x ＝7π12相邻的对称中心，∴T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π.答案：π10.已知圆O 的半径为2，圆O 的一条弦AB 长为3，P 是圆O 上任意一点，点Q 满足BP ―→＝12PQ ―→，则AB ―→·AQ ―→的取值范围是________．解析：AB ―→·AQ ―→＝AB ―→·(AB ―→＋BQ ―→)＝AB ―→·(AB ―→＋3BP ―→)＝AB ―→·(AB ―→＋3BO ―→＋3OP ―→)＝AB ―→2＋3AB ―→·BO ―→＋3AB ―→·OP ―→， 由已知得AB ＝3，OB ＝OA ＝OP ＝2. 〈AB ―→，BO ―→〉＝π－∠ABO ，由余弦定理得cos ∠ABO ＝32＋22－222×3×2＝34.∴cos 〈AB ―→，BO ―→〉＝－34，AB ―→·OP ―→∈[－6,6]．∴AB ―→·AQ ―→＝9－272＋3AB ―→·OP ―→∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－452，272答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－452，272 回扣六数列与数学归纳法[基础知识看一看]一、牢记概念与公式等差数列、等比数列S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －2d(1)q ≠1，S n ＝a 1－q n1－q＝a 1－a n q1－q(2)q ＝1，S n ＝na 11．等差、等比数列的常用性质2．判断等差数列的常用方法 (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(2)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．3．判断等比数列的三种常用方法 (1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．4．证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．[易错易混想一想]1．已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n )与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a nb n时，无法正确赋值求解．4．易忽视等比数列中公比q ≠0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．6．对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求S n 时，切莫忘记讨论n 的奇偶性；遇到已知a n ＋1－a n －1＝d 或a n ＋1a n －1＝q (n ≥2)，求{a n }的通项公式，要注意分n 的奇偶性讨论．7．数列相关问题中，切忌忽视公式中n 的取值范围，混淆数列的单调性与函数的单调性．如数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋2n ，求最小值，既要考虑函数f (x )＝x ＋2x(x >0)的单调性，又要注意n 的取值限制条件．8．求等差数列{a n }前n 项和S n 的最值，易混淆取得最大或最小值的条件． 9．数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：必须利用归纳假设作基础；解题时要搞清从n ＝k 到n ＝k ＋1的过程中增加了哪些项或减少了哪些项．[保温训练手不凉]1．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 3＝6，则S 4的值为( ) A ．12B ．11C ．10D ．9解析：选A 由题意得S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 2＋a 3)＝12.2．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由题可知，若a 1<a 2<a 3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1<a 1q ，a 1q <a 1q 2，当a 1>0时，解得q >1，此时数列{a n }是递增数列，当a 1<0时，解得0<q <1，此时数列{a n }是递增数列；反之，若数列{a n }是递增数列，则a 1<a 2<a 3成立，所以“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的充分必要条件．3．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：选C 设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×54－a 4＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12.∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31.4．数列{a n}定义如下：a 1＝1，当n ≥2时，a n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋a n2，n 为偶数，1a n －1，n 为奇数，若a n ＝14，则n的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 因为a 1＝1，所以a 2＝1＋a 1＝2，a 3＝1a 2＝12，a 4＝1＋a 2＝3，a 5＝1a 4＝13，a 6＝1＋a 3＝32，a 7＝1a 6＝23，a 8＝1＋a 4＝4，a 9＝1a 8＝14，所以n ＝9.5．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差d ＝________. 解析：∵a 4＋a 6＝2a 5＝6，∴a 5＝a 1＋4d ＝3， 又S 5＝5a 1＋5×42d ＝5a 1＋10d ＝10，解得公差d ＝12. 答案：126．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0，则d 的取值范围是________．解析：由S 5S 6＋15＝0得(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即30a 21＋135a 1d ＋150d 2＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0，由于a 1，d 为实数，故(9d )2－4×2×(10d 2＋1)≥0，即d 2≥8，故d ≥22或d ≤－2 2.答案：(－∞，－2 2 ]∪[22，＋∞)7．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 解析：∵数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<0.∴当n ＝8时，其前n 项和最大．答案：8回扣七立_体_几_何[基础知识看一看]一、牢记概念与公式1．简单几何体的表面积和体积(1)S 直棱柱侧＝c ·h (c 为底面的周长，h 为高)． (2)S 正棱锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)．(3)S 正棱台侧＝12(c ′＋c )h ′(c 与c ′分别为上、下底面周长，h ′为斜高)．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl (r 为底面半径，l 为母线长)，S 圆锥侧＝πrl (同上)，S 圆台侧＝π(r ′＋r )l (r ′，r 分别为上、下底面的半径，l 为母线长)．(5)体积公式V 柱＝S ·h (S 为底面面积，h 为高)， V 锥＝13S ·h (S 为底面面积，h 为高)，V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S 、S ′为上、下底面面积，h 为高)．(6)球的表面积和体积S 球＝4πR 2，V 球＝43πR 3.2．“向量法”求解“空间角” (1)向量法求异面直线所成的角若异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，异面直线所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a ·b ||a ||b |.(2)向量法求线面所成的角求出平面的法向量n ，直线的方向向量a ，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n ·a ||n ||a |. (3)向量法求二面角求出二面角α­l ­β的两个半平面α与β的法向量n 1，n 2，若二面角α­l ­β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|；若二面角α­l ­β所成的角θ为钝角，则cosθ＝－|cos 〈n 1，n 2〉|＝－|n 1·n 2||n 1||n 2|.二、活用定理与结论 1．把握两个规则(1)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．(2)画直观图的规则画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x 轴、z 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度为原来的一半．2．线、面位置关系判定的六种方法。