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第⼗章静电场中的导体和电介质第⼗章静电场中的导体和电介质在上⼀章中，我们讨论了真空中的静电场。
实际上，在静电场中总有导体或电介质存在，⽽且在静电的应⽤中也都要涉及导体和电介质的影响，因此，本章主要讨论静电场中的导体和电介质。
本章所讨论的问题，不仅在理论上有重⼤意义，使我们对静电场的认识更加深⼊，⽽且在应⽤上也有重⼤作⽤。
§10-1 静电场中的导体⼀、静电平衡条件1、导体与电介质的区别：（1）宏观上，它们的电导率数量级相差很⼤（相差10多个数量级，⽽不同导体间电导率数量级最多就相差⼏个数量级）。
（2）微观上导体内部存在⼤量的⾃由电⼦，在外电场下会发⽣定向移动，产⽣宏观上的电流⽽电介质内部的电⼦处于束缚状态，在外场下不会发⽣定向移动（电介质被击穿除外）。
2、导体的静电平衡条件（1）导体内部任何⼀点处的电场强度为零；（2）导体表⾯处的电场强度的⽅向,都与导体表⾯垂直.导体处于静电平衡状态的必要条件:0=i E（当导体处于静电平衡状态时，导体内部不再有⾃由电⼦定向移动，导体内电荷宏观分布不再随时间变化，⾃然其内部电场（指外场与感应电荷产⽣的电场相叠加的总电场）必为0。
⼆、静电平衡时导体上的电荷分布1、导体内部没有净电荷，电荷（包括感应电荷和导体本⾝带的电荷）只分布在导体表⾯。
这个可以由⾼斯定理推得：ii sq E ds ε?=，S 是导体内“紧贴”表⾯的⾼斯⾯，所以0i q =。
2、导体是等势体，导体表⾯是等势⾯。
显然()()0b a b i a V V E dl -=?=?，a,b 为导体内或导体表⾯的任意两点，只需将积分路径取在导体内部即可。
3、导体表⾯以处附近空间的场强为：0E n δε=，δ为邻近场点的导体表⾯⾯元处的电荷密度，?n 为该⾯元的处法向。
简单的证明下：以导体表⾯⾯元为中截⾯作⼀穿过导体的⾼斯柱⾯，柱⾯的处底⾯过场点，下底⾯处于导体内部。
由⾼斯定理可得：12i s s dsE ds E ds δε?+?=，1s ,2s 分别为⾼斯柱⾯的上、下底⾯。
14静电场中的导体和电介质14．1 基本观点在静电场中放入导体和电介质后 , 电场的散布将会发生变化 , 导体和电介质和性质也将发生变化 .（1）静电场中的导体导体放入静电场中 ,因导体中有自由电子,在电场的作用下自由电子产生移动, 导体中的电荷将从头散布 , 这类现象称静电感觉 , 电荷在导体中从头散布后即达到静电均衡 , 达到静电均衡时 ,③静电障蔽：接地的导体空腔障蔽内、外电场.（2）静电场中的电介质① 电介质的极化电介质中固然没有自由电子, 但分子、原子中的带正电的原子核和带负电的约束电子在电场的作用下也要发生细小的位移, 使得在跟电场垂直的表面出现了净余电荷层 , 这类现象称电介质的极化 . 电介质表面出现的净余电荷称极化电荷, 极化电荷要产生附带的电场 , 它的方向跟原电场方向相反 , 因此使电介质中的场强减弱 .② 极化强度矢量介质中某处的极化强度矢量为该处邻近单位体积中的分子电偶极矩的矢量和.极化电荷面密度与极化强度的关系为：电介质表面极化电荷面密度在数值上等于极化强度沿介质表面外法线方向上的重量 .③电位移矢量④介质中的高斯定理经过任一闭曲面的电位移通量 , 在数值上等于闭合曲面所包围的自由电荷的代数和 .（3）电容孤立导体的电容即为导体所带的电量跟导体的电势之比 . （它只跟导体自己的性质、形状、大小及四周的介质相关）电容器的电容即为电容器每块极板上的电量 Q与两极板间电势差的比值 . 它表示电容器单位电压所容纳的电量 .（4）电场的能量①电容器的电能②电场的能量电能储藏在电场中 , 电场中单位体积的电能称电场能量体密度电能的能量14．2 解题指导（ 1）静电场中的导体导体放在静电场中第一要考虑静电感觉 , 而后用静电均衡条件（导体内部的场强为零 , 导体表面的场强垂直表面）解相关的问题 .（ 2）利用介质中的高斯定理求对称散布的电场的解题步骤①第一用求出 D的散布；②再用求出 E 的散布；③求极化电荷密度.（3）求电容的方法①先用高斯定理求出 E 的散布；②用求出电势差；③用公式求出电容 .（4）电场能量电容器的能量电场能量；对场是球散布；对场是柱散布.14．3 典型例题14-1 一“无穷大”平均带电平面 A, 带电量为 q, 在它的邻近放一块与 A 平行的金属导体板 B, 板 B 有必定厚度 , 如图 14.3-1 所示 , 则在板 B 的两个表面 1 和 2 上的感觉电荷分别是多少？解题思路设B板两面的感觉电荷分别, 两个未知数需列出两个独立方程式求解：①感觉电荷，②运用静电均衡条件 , 导体内部的电场为0, 即的三块平板在a点的合场强为0,解设 B 板两面的感觉电荷分别为, 有在导体板中任选一 a 点 ,（向左电场为正）：从①②两式可解得14-2 一半径为 R , 带电量为 Q 的金属球 , 球外有一层平均电介质构成的齐心球壳 , 其内、外半径分别为 a, b 介质的相对介电常数为, 求：（1）电介质内、外空间的电位移和电场强度；（2）电介质两个表面上的极化电荷面密度.解题思路运用介质中的高斯定理先求出 D而后用求 E,,再求极化电荷面密度解（1）介质内作半径为 r 的齐心球面作高斯面 , 依据介质中的高斯定理 ,对平均电介质R<r <a, 同理r >b, 同理（2）r=a, 介质内表面r=b, 介质表面面14-3 两根平行长直导线 , 它们的半径都是 a, 两根导线相距为 d( d>>a) 求单位长度的电容 .解题思路将两长直导线分别带上线电荷密度为的电量,当作两无穷长平均带电圆柱 , 用高斯定理分别求出每根长直导线的场强 , 再求出两带电长直圆柱间的合场强 , 而后用电差公式求出两长直导线的电势差 , 代入电容公式求电容.解设在两长直导线上分别带电荷线密度, 坐标如下图 . 在两长直导线之间的 P 点的合场强（分别用高斯定理可求解得每根带电长直导线的场强）两长直带电导线的电势差单位长度的电容14-4 一圆柱形电容器 , 由截面半径为 R的导体圆柱和与它共轴的导体圆管筒构成, 圆筒半径, 在内圆柱与之间充满相对介电常数的平均电介质 , 如 14.3-4 图所示 , 略去边沿效应 . 求：（ 1）该电容器单位长度的电容；（2）将该电容充电至两极板间的电势差为 U=100V, 则单位长度上的电场能量是多少？（圆筒接地）解题思路将圆柱和圆筒带上电量, 利用高斯定理求出它们之间的场强 , 而后求出它们的电势差 , 再求电容 .求解电场能量有两种方法：①利用电容器电能公式；②用电场能量公式解（1）设圆柱、圆筒分别带上电荷线密度的电量.依据高斯定理可求得：（2）方法Ⅰ :方法Ⅱ :14.4题解1．两平行金属板带有等量异号电荷 , 若两板的电势差为 200V,两板间距为 2.0mm, 忽视边沿效应 , 求每一个金属板表面的电荷面密度是多少？解本题有四个未知数, 要列出四个方程求解 .左板接地. ①作图示高斯面 , 依据高斯定理 ,所以.②左侧金属板中 P 点场强为 0,.③解②③得.两板中间场强得解②④得2．一无穷大平均带电介质板A, 电荷面密度为, 介质板凑近一导体B, 此时 B 导体表面面上凑近P 点处的电荷面密度为, 求 P 点的电场强度 .解在 P 点作垂直 B表面的圆柱高斯面（P点在高斯面度面上, ）依据高斯定理 ,静电均衡时 , 导体 B 内部的场强为 0, 表面的场强垂直表面 , 所以上式左侧积分3．一圆柱形电容器 , 由内筒半径, 外筒半径两个共轴导体圆筒构成 , 两筒间充满了相对介质电常数的平均介质,已知空气的击穿场强, 则此电容器的最高耐压力为多少？解内、外圆筒分别带有线电荷密度为和的电量,依据高斯定理,两筒间为空气时 , 两筒间的场强；①两筒间充满平均介质时 , 两筒间的场强；②两筒间的电势差．③将①式代入③式 ,最高耐压4.一个大平行板电容器水平搁置, 两极板间的一半空间充有各向同性的平均电介质 , 另一半为空气 , 如图 14.4-4 所示 . 当两极板带上恒定的等量导异号电荷时 , 有一质量为 m、带电量 +q 的质点均衡在极板间的空气地区中 , 今后若把电介质抽去 , 则该质点将如何运动？（向上 , 向下 , 或保持不动）解介质抽出前 ,质点均衡,介质板上 , 下表面有极化电荷 , 如图 14．4-4 左半部所示 . 将介质板抽出的过程 , 外力战胜电场力作功 , 使电场能量增添,而介质抽出后电容器将减少, 从上式看出两极板间的电压U 将增高 , 而惹起两极板间电场强度增大, 电场力增大 , 质点将向上运动 .5．电容器和串连后接上电动势恒定的电源充电,在电源不停开的状况下,若把一电介质充入中, 则上的电势差将如何变化？电容器极板上的电量将如何变化？（增大 , 减少 , 不变）解两电容串连,总电容,电介质充入后,将增大.从上式看,总电容C将增大,依据总电容增大 ,总电压不变,电量q也增大,所以上的电量增加,依据,电容器上的电势差增大 .6．半径为相互绝缘的两齐心导体球壳, 现把 +q 的电量赐予内球 ,问：（ 1）外球的电荷及电势为多少？（2）把外球接地后断开地线 , 外球的电荷及电势改变多少？（3）而后把内球接地 , 内球的电荷及外球的电势改变多少？解（ 1）外球内表面感觉电荷为- q,表面面电荷为+q.外球电势（2）外球接地后 , 表面面电荷为零 , 内表面电荷仍为 - q, 外球电势（3）设内球接地后电荷变为 , 则因内球此时电势为零 , 即得此时外球的电势外球电势的改变7．点电荷 C 处在导体球壳的中心 , 壳的内、外半径分别为和求：（1）导体球壳的电势；（2）离球心 r =1.0cm 的电势；（3）把点电荷走开球心 1.0cm, 再求导体壳的电势 .解（ 1）此时导体球壳的内表面感觉电荷- q, 表面面感觉电荷 +q, 球壳的电势（2）（ 3）此时其实不影响导体壳表面面的电荷 , 故电势与（ 1）上当算的同样 .8．电容量分别为和的两个电容器 , 把它们并联用电压 V 充电时和把它们串连的用电压V 充电时,在电容器组中,哪个组合储藏的电量、能量大些？大多2少？解 电容器并联时 ,电容器串连时 ,所以由上计算可知 , 在题目已知条件下 , 不论是电量仍是能量都是并联时大 .．一空气平板电容器电容 C 充电到电量为 后 将电源切断 ,9 =1.0pF, , 求：（ 1）极板间的电势差及此时的电场能；（ 2）再将两板拉到原距离的两倍 , 计算拉开前后电场的改变 , 并解说其原由 .解（1）（2）距离拉大一倍 , 电容变为电场能量电场能量的增量能量的增添是因为在将两板距离拉大的过程中 , 外力战胜两板之间的静电力作功 , 使其余形式的能量转变为电能的结果10．球形电容器由半径为的导体球和与它齐心的导体球壳构成, 壳的内半径为, 此间一半充满相对介电常数为的平均电介质 ,如下图,求电容 C.解相当于两半球形电容器的并联.对球形电容器 , 充电后两球间的电场强度,两球间的电压电容上半球下半球11.在半径为 a 的球体内平均地充满电荷 , 总电量为 Q. 试证其电势能为解电荷体密度现假想球体的总电量 Q是从分别在无穷远处的状况下齐集起来的 , 且从球心起 , 按一个个的齐心球壳逐层成立起来的 . 成立 r~r +dr 这一层时 , 所移电量这时 , 是将 dq 从电势为零处 ( 无穷远处 ) 移到电势 U( r ) 处 , 依据球体平均带电 ,所以电势能增量为所以 , 成立整个电荷 Q所增添的电势能为12.两个同样的空气电容器 , 其电容都是, 都充电到电压各为 900V 后断开电源 , 把此中之一浸入煤油中 (), 而后把两个电容器并联 , 求 :(1)浸入煤油过程中能量的损失 ;(2)并联过程中能量的损失 .解 (1) 每个电容器本来的能量为浸入煤油的电容器 , 两极板间的场强两板间的电压电容能量浸入煤油过程中能量的损失为(2)将两电容器并联 , 则要发生电荷的转移 , 但电荷的总量保持不变为总电容总能量能量损失为13. 把电荷 q 放在一本来不带电的半径为的肥皂泡的表面上,因为肥皂泡表面上电荷相互排挤 , 所以半径增至某一值R ,试证电量式中 p 为大气压强 .证肥皂泡的电势和电容分别为电势能为当肥皂泡因电荷相互排挤,半径由增至R时电场力作的功等于电势能的改变电场力作的功等于肥皂泡膨胀时对大气作的功所以得.。
习题五（第二章 静电场中的导体和电介质）1、在带电量为Q 的金属球壳内部，放入一个带电量为q 的带电体，则金属球壳内表面所带的电量为 - q ，外表面所带电量为 q +Q 。
2、带电量Q 的导体A 置于外半径为R 的导体 球壳B 内，则球壳外离球心r 处的电场强度大小204/r Q E πε=，球壳的电势R Q V 04/πε=。
3、导体静电平衡的必要条件是导体内部场强为零。
4、两个带电不等的金属球，直径相等，但一个是空心，一个是实心的。
现使它们互相接触，则这两个金属球上的电荷( B )。
(A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多 (D)实心球电量多5、半径分别R 和r 的两个球导体(R ＞r)相距很远，今用细导线把它们连接起来，使两导体带电，电势为U 0，则两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( B )(A) R/r (B) r/R (C) R 2/r 2 (D) 16、有一电荷q 及金属导体A ，且A 处在静电平衡状态，则( C )(A)导体内E=0，q 不在导体内产生场强； (B)导体内E ≠0，q 在导体内产生场强； (C)导体内E=0，q 在导体内产生场强； (D)导体内E ≠0，q 不在导体内产生场强。
7、如图所示，一内半径为a ，外半径为b 的金属球壳，带有电量Q ， 在球壳空腔内距离球心为r 处有一点电荷q ，设无限远 处为电势零点。
试求： (1)球壳外表面上的电荷；(2)球心O 点处由球壳内表面上电荷产生的电势； (3)球心O 点处的总电势。
解: (1) 设球壳内、外表面电荷分别为q 1 , q 2,以O 为球心作一半径为R (a <R <b )的高斯球面S,由高斯定理01εqq dS E S +=⋅⎰⎰ ，根据导体静电平衡条件,当a <R <b 时，0=E。
则0=⋅⎰⎰SdS E ，即01=+q q ,得q q -=1根据电荷守恒定律,金属球壳上的电量为21q q Q +=q Q q Q q +=-=∴12(2)在内表面上任取一面元,其电量为dq ,在O 点产生的电势adq dV o πε411=q 1在O 点产生的电势aq aq adq dV V o o o πεπεπε4441111-====⎰⎰内内(3) 同理，外球面上的电荷q 2在O 点产生的电势bqQ bq V o o πεπε4422+== 点电荷q 在O 点产生的电势rq V o q πε4=∴ O 点的总点势o q V V V V πε41210=++=(bq Q a q r q ++-) 8、点电荷Q 放在导体球壳的中心，球的内、外半径分别为a 和b ，求场强和电势分布。
