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角平分线的性质(1)

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《角平分线的性质(一)》课后反思

《角平分线的性质(一)》课后反思

角平分线的性质（1）课后反思一、教材分析本节课北师大版八年级下册角平分线的性质的第一课时。

角平分线是初中数中重要的概念，它有着十分重要的性质，通过本节的学习，可以让学生对全等三角形的判定和性质的应用价值有更深层次的认识。

同时为学习其它图形知识打好基础.二、学生情况八年级学生有一定的自学、探索能力，求知欲强。

能使脑、手充分动起来，学生间相互探讨，积极性基本被充分调动起来，该班自己动手探索的学习方式贯彻较好。

三、教法和法学：通过创设情境、动手实践，激发学生的学习兴趣，促进学生积极思考，寻找解决问题的途径和方法。

四、教学过程设计方面的反思首先，本节课我本着学生为主，突出重点的意图，结合课件使。

在角平分线的画法总结中，我让学生自己动手，通过对比平分角的仪器的原理进行作图，为了解决角平分线的性质这一难点，我通过具体实践操作、猜想证明、语言转换让学生感受知识的连贯性。

期次，从教学流程来说：情境创设---实践操作---交流探究---练习与小结---拓展提高，这样的教学环节，使学生在想与做中感受和体验，主动获取数学知识。

再次，了解学生的知识水平，注重了学生的反馈，是成功的前提，在第一个班上课时，教学设计中高估了学生，没有安排“点到直线的距离”的复习，在学到“角平分线的性质”时，发现学生对“点到直线的距离”及结合图形用符号语言表示点到直线的距离等知识相当陌生，于是匆匆给学生补充了相关的内容，从学生的练习看，有相当多的学生在用角平分线的性质证明时，漏写角平分线上的点到角两边的垂线段垂直两边的条件，只能通过不断强调来纠正学生的问题。

吸取在这个班的教训后，在对第二个班的教学前，我对原来的设计进行修改，在新课前补充了“问题1：什么是点到直线的距离？请画图说明。

”，在角平分线的性质的探索后补充了“应用性质的书写格式”“强化巩固：判断”的内容。

可见，不管用什么方式教学、如何设计，都要了解学生，因材施教是教育的灵魂。

四、本节课的不足本节课在授课开始，我没有把平分角的学具的建模思想充分传达给学生，只是利用它起到了一个引课的作用.在授课过程中，学生的能力有些高估，表现在引入新课前一些知识没有复习到，导致学生在用符号语言表达角的平分线性质时不是很顺利。

三角形中的角平分线和中线性质

三角形中的角平分线和中线性质

三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。

（1）一个角有且只有一条角平分线。

（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。

二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。

（1）一个三角形有且只有三条中线。

（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。

（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。

三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。

（1）三角形的心是三角形内部的一个点。

（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。

（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。

四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。

（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。

（2）利用中线求解三角形的边长。

三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。

掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。

习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。

答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。

又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。

2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。

答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。

根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。

又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。

3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。

1.4角平分线的性质(1)

1.4角平分线的性质(1)

§1.4角平分线的性质（1）
课型：新授课主编人：唐英审核人：刘海燕编号：【了解学情】
1、如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA ， PE⊥OB ，垂足分别为点D，
E，求证：PD=PE。

2、如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条
件，使△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），并加以证明．你
增加的条件是（）。

【学习目标】掌握角平分线的性质定理及逆定理，并会运用
【自主学习】
1、角平分线的性质定理：_______________________________________________
几何语言：
2、角平分线的判定定理：_______________________________________________
几何语言：
【合作探究】
【探究一】
1、如图1-28，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2.（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；（2）求证：BD是∠ABC的平分线.
【探究二】
2、. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC， DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，BD=CD.
求证：AB=AC.
【有效训练】 P24 练习 1、
1、如图，在直线MN上求作一点P ，使点P到∠AOB两边的距离相等.
【拓展提升】
如图所示，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上一点，求证：∠BDP=∠CDP。

【课后反思】。

角平分线的性质1

角平分线的性质1

mqx37jop
离水远一些儿的地方去发展，那你们后来去了哪里啊？”耿英无助地看看爹和哥哥，可他们似乎都没有准备回答妹妹问话的意思。再看看可怜 的弟弟，耿直却低声说：“姐，还是你说哇。”郭氏看到耿英为难的样子，心里已经明白了七八分：也许就该是说到他们父子分离的当口 了„„郭氏咬咬牙，发狠地说：“说哇英子，娘能挺得住„„”耿英忍忍眼泪，低声说：“爹准备带俺们三个去景德镇发展，可就在穿过山涧 小路翻越大山时，建筑在两山之间的拦水大坝，突然之间就，就垮塌了。当时，俺们三个刚刚到了山顶上，可，可爹他，他，他不见了„„” 快八年了，而且爹爹现在就好好地坐在自己的面前，但回想起当时那痛心的一幕，耿英还是忍不住夺眶而出的泪水，耿正和耿直也哭了。郭氏 和耿兰同时痛哭失声„„耿直哭着说：“娘，都怪俺，是俺非要去看山顶上的那个大坝„„”耿老爹一直认真听着，始终没有插话。听到这里， 他也泪流满面了。懂事的尚武往前挪挪椅子，轻轻推一推他的膝盖。他明白尚武的意思，赶快擦把脸清一清嗓子说：“好啦好啦，俺这不是没 有死嘛！剩下来的俺来说哇！”见妻子略略止住了悲声，小女儿也扬起泪脸来看着自己，耿老爹暗暗咬咬牙，故作轻松地说：“其实啊，说起 来也没有多么复杂。俺被洪水卷走后，努力屏住气，右手抓住扁担抱在胸前，左手像蛤蟆那样划水，竟然就漂浮上来了！眼前正好漂来一块儿 门板，俺就爬上去了。不，是那个会水的白兄弟托着一块儿门板向俺游来，并把俺推上去的！”耿正、耿英和耿直都瞪大了眼睛问：“爹，你 说什么？是白幺爹，他„„”耿老爹点点头，肯定地说：“对，俺当时真是这样看到和感到的！”耿老爹也顾不了耿正兄妹三人还在瞪着眼儿 互相看呢，只管自己继续说下去：“后来，门板被冲到了一百多里远的一个小寺庙前，老和尚和徒弟们发现了俺，就把俺救了。和尚师徒们对 俺很好，老和尚还给俺调理治病。俺把一个聪明可爱的小沙弥当成了小直子。”郭氏又痛哭开了：“原来，你是急疯了啊！”耿老爹拍拍妻子 的胳膊，轻轻地说：“说好了不兴哭的！”耿兰问：“后来呢，俺三哥，难道说，他，他是老和尚的徒弟„„”尚武插话了，轻轻地说：“兰 妹妹，你听咱爹慢慢说嘛，三哥怎么会是老和尚的徒弟呢！”接下来，耿老爹就将如何救不慎落水的尚武，如何将尚文兄妹三个当成耿正兄妹 仨，尚武的父母如何想方设法为自己求医问药„„简要地述说了一遍。说到病好之后确知耿正兄妹三人很可能已经不在人世，耿老爹几次哽咽， 全家人都泪落纷纷。听完了，郭氏哭着说：“俺已经觉察出来，你们父子说话有些个话里有话，但却没有想到，竟然会是这样哇„„”郭氏不 歇气儿地痛哭开了，大家也不再劝说什么，只管各自

角平分线的性质

角平分线的性质
∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
A D O
1 2
P E
C B
归纳：
角平分线上 的点到角两 边的距离相 等。
利用此性质 怎样书写推理过 程? A D O
1 2
P E
C B
∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知） ∴PD=PE（角平分 线的性质）
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
（×）
A
B D C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
A B C
（×）
D
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
A
O
B
活 动 2
探究
如图：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第 一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成 的三条折痕，你能得出什么结论？
A
D B
A
C P EB
O
O
平分线 可以看出，第一条折痕OC是∠AOB _________ PD、PE 第二次形成了____ 2 条折痕，分别为__________, 距离 它们是角平分线上的一点到∠AOB两边的_______ 相等 这两个距离_______
活 动 3
探究角平分线的性质
(1)实验：画一个∠AOB,用尺规作出∠AOB的平分线

12.3 角平分线的性质(1)

12.3 角平分线的性质(1)

分线的性质.
15
小结： 1.本节课你学到了哪些角平分线的知识？ 2.角平分线有多种画法（借助量角器、 透明纸、角尺、平分角的仪器等），但 尺规画图最佳，这些画法的道理可以通 过全等三角形的证明来获得. 3、角平分线的性质。
16
B A
平分角的仪器： AB=AD BC=DC C
D
你能说出其中的道理吗？
因为△POM≌△PON，所以我们还可以发现PM＝PN.
如果我们把两块三角板按这种方式适当移动，
则PM和PN还相等吗？
动画
5
A
性质的书写格式：
D
∵ OP 是 AOB 的平分线
0
P
C
PD OA PE OB
PD = PE
E
B
你认为PD与PE的大小关系如何？为什么？
角平分线性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等。
0
N
A
C P
MB
2.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于
E,S△ABC=36cm2,AB=18cm,BC=12cm,求DE
的长.
A
E
D
B
FC
14
3:已知：如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且 PD⊥BC于D，AP=PC 求证：∠BAP+∠BCP=180°
M E
A
P
N
1
2
B
DC
提醒:遇到角平分线首先应考虑到应用角平
（3）作射线OC.射线OC即为所求. MC＝NC（画图）
为什么OC就是∠AOB的平分线？ OC＝OC（公共边）
∴画法的依据是边边边定理
MOC NOC（SSS） AOC＝BOC 4
（3）

角平分线的性质


推理的理由有三个， 必须写完全，不能
少了任何一个.
判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
B
B
A
D A
D
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）C .
∴ BD = CD ,
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
SPDB

1 2
·AB·PD=28.
B
（3）求∆PDB的周长.
D
CPDB PD PB DB
P
PC PB DB
BC DB AD DB
A
C
AB 14
=
知识与方法
1.应用角平分线性质： 存在角平分线 条件 涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积 利用角平分线的性
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． B E
(
A
34 P
12 DFC
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
4.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：过点F作FG⊥AE于G，
ห้องสมุดไป่ตู้E G
FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
C
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC.
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径， 写出证明过程.
知识要点
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.

【数学课件】角平分线的性质(1)

⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ （2）求证： △DBC ≌△DEB
A
E D
B
C
练一练
2. 在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的 平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求 BE的长。
A
E
C
B
D
在∠AOB的平分线 OC上任取一点P，然后， 作点P到∠AOB两边的 垂线段PD、PE，画一 画，量一量，从中你有 什么新发现？你能说明 其中的道理吗？
几何语言：
∵OC是∠AOB的平分线，
A
D C
PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
B
P
·
E
O
一起来证明这个性质：
已知： ∠AOC= ∠BOC,点P 在OC上， PD ⊥OA,PE ⊥OB, 求证: PD=PE
证明：
C
A D
证明一个几何命题的步骤： 1. 2. 3.
（课本21页）
P
·
E
O

B
1. 在Rt△ABC中， ∠C 为直角，BD平分 ∠ABC，DE⊥AB于E，则：
好好学习，天天向上。
角平分线上的点到角两边 的距离相等。
从这节课中你 有哪些收获？
课堂小测
• 堂堂清
作 业
• 1.课本22页第2题。（作业本） • 2.练习册 • 3.预习教材21页。自学例题并思考点P在角 A的平分线上吗？ • 能力提升题：
课本23页第5题。（作业本）
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知

角平分线的性质1

角的平分线的性质（1）
第三中学 杨晓红
学习目标
1.会用圆规直尺做一个角的平分线。 2.理解角的平分线的性质并会初步应用。
探索新知
A
简易平分角的仪器
四根木条组成的四边形
B·
·D
·
C
AB=AD.CB=CD
探索新知
将A点放在角的顶点处，AB和AD沿 角的两边放下，过AC画一条射线AE， AE即为∠BAD的平分线.
猜想QM=QN?
M3
பைடு நூலகம்
∠1=∠2(已证) C ∠3=∠4(已证)
1
O
2
Q
P
∟
4 N EB
OP=OP(公共边) ∴△OPD≌△OPE（AAS） ∴PD=PE.
归纳小结
角平分线的性质： 角平分线上的点到角的两边的距离相等
不必再证 全等
几何语言：
∵OC是角平分线，
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴ PD=PE
B·
A· ·D
C·
E
探索新知
平分角的仪
器的原理？
平分角的仪器
有什么特点？
A·
B·
·D
C·
AB=AD.CB=CD
尺规作图 作已知角的平分线
角平分线的画法：
(１)以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．
（２）分别以M，N为圆心．大于MN一半的长为半径作弧．两弧在∠AOB的
内部交于C． （3）画射线OC， 则射线OC即为所求
用途：证明两
条线段相等
证明几何命题的步骤：
1.明确命题的题设和结论。 2.根据题意画出图形，并用符号表示已知和求证。 3.分析找到证明方法，写出证明过程。

角的平分线的性质(第1课时)定


在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离推相必理须等的写理完由全有，三不个能，
)
A
（×） B
D
C
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ DB = DC
√
，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
角的两边的距离相等。
B
A
不必再证全等
D C
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
由角的平分线的性质的证明过程，你能概 括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和
E
CD
B
◆这节课我们学习了哪些知识？
1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；
2、角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言:
A D
∵ OC是∠AOB的平分线,
O
又 PD⊥OA,PE⊥OB
∴ PD=PE
(角的平分线上的点
到角的两边距离相等).
C P
E
B
3.定理的作用：证明线段相等。
求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证
明过程．
在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB， EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.
求证：AC=BD.
O
C
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于港初中师生共用导·学案
年级：八年级学科：数学课型：新授时间：2010.9.9
课题：角平分线的性质（1）执笔：试做：审核：
【学习目标】1、探究理解角平分线的性质并会运用
2、会用尺规作图作角平分线．
【重点】理解角平分线的性质并会运用
【难点】用尺规作图作角平分线
一，学前准备
二．探究活动
活动一：( 体会平分角的仪器道理)
1、议一议：如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
（思考后组内交流）
2、如图，已知AB＝AD，BC＝DC. 求证:AC是∠DAB的
平分线.
活动二：（学会作角平分线）
由活动一的启示，你能用尺规作一个角的平分线吗？说一说，写一写角平分线的作法.
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
注意：角的平分线是一条射线,它不是线段，也不是直线.
练一练：作一个平角∠AOB的平分线. 由此你能得出:“过直线上一点作已知直线的垂线”
的方法吗？
活动三： (由教材P20的探究归纳出角平分线的性质)
角平分线的性质：角平分线上的 到角两边的 相等.(体会命题的题设和结
论,结合图形,写出已知、求证并加以证明)
如图，已知：
求证：
证明：
小结证明几何命题的步骤：教材P21
课堂作业
1、作角的平分线
2、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝5，CD ＝2.
求△ABD 的面积.
3、 △ABC 中，AD 是它的角平分线, 4.点P 在∠ABC 的角平分线上，P A ⊥AB, BD ＝CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， P C ⊥BC,D 在BP 上。

求证AD=CD
垂足分别为
E 、F. 求证EB ＝FC .
o
B D
A
C P。