专题02 空间向量及其运算的坐标表示(解析版)

1.3 空间向量及其运算的坐标表示题型一：空间向量的坐标运算1．已知空间点(3,1,4)P --，则点P 关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(3,1,4)--- B ．(3,1,4)-- C ．(3,1,4)- D ．(3,1,4)【答案】D【点拨】利用空间直角坐标系点关于坐标轴对称的特点求解作答. 【详解】依题意，点(3,1,4)P --关于y 轴对称的点的坐标为(3,1,4). 故选：D2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（ ） A ．()0,4,7 B ．()2,0,1- C ．()2,0,1- D ．()2,0,1【答案】B【点拨】利用空间向量的坐标表示，即得. 【详解】设()1,,A x y z ，∵()()11,2,3,1,2,4AC C =-，又11AC AC =， ∴()()1,2,31,2,4x y z =----， 解得2,0,1x y z =-==，即()12,0,1A -. 故选：B.3．如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，且2PB AB ==，若3PC PQ =，则点Q 的空间直角坐标为（ ）一维练基础A ．()3,2,1B ．44,2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2,3D ．()1,2,1【答案】B【点拨】根据空间向量的坐标运算直接计算.【详解】由题意得()0,2,0C ，()2,2,2P ，所以()2,0,23PC PQ =--=，所以()22,0,33PQ =--，所以Q 的坐标为()()()2244,0,2,2,2,2,3333--+=．故选：B ．4．已知向量a ＝（3，0，1），b ＝（﹣2，4，0），则3a +2b 等于（ ）A ．（5，8，3）B ．（5，﹣6，4）C ．（8，16，4）D ．（16，0，4）【答案】A【点拨】直接根据空间向量的线性运算，即可得到答案； 【详解】32(9,0,3)(4,8,0)(5,8,3)a b +=+-=，故选：A5．若(2,0,1),(3,1,1),(1,1,0)a b c ==--=，则22a b c -+=（ ） A ．()2,4,1- B ．()10,0,3--C ．()2,4,1--D ．()10,0,3【答案】D【点拨】直接利用向量的坐标运算求解即可 【详解】因为(2,0,1),(3,1,1),(1,1,0)a b c ==--=， 所以22(2,0,1)2(3,1,1)2(1,1,0)(10,0,3)a b c -+=---+=， 故选：D题型二：空间向量模长的坐标表示1．已知向量()1,2,1a =-，()2,2,0b =-，则a 在b 的方向上的数量投影为（ ） A ．6-B ．a - C ．32D ．34-b【答案】C【点拨】直接由数量投影的公式求解即可. 【详解】由题意知：a 在b 的方向上的数量投影为()22122232a b b-⨯⋅==+-. 故选：C.2．若向量()1,2,3a =-，()2,3,1b =--，则2a b +=（ ） A ．27B ．5 C 26D ．42【答案】C【点拨】求出2a b +的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果. 【详解】由已知可得()23,4,1a b +=-，故()222234126a b +=-++=．故选：C.3．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(345)A ，，在坐标平面Oxy ，Oxz 内的射影分别为点B ，C ，则BC →=（ ）A ．5B 34C 41D ．52【答案】C【点拨】写出点A 在坐标平面Oxy ，Oxz 内的射影分别为点B ，C ，再计算BC →的值．【详解】解：在空间直角坐标系Oxyz 中，点(3A ，4，5)在坐标平面Oxy ，Oxz 内的射影分别为点B ，C ，则(3B ，4，0)，(3C ，0，5)， ∴(0BC →=，4-，5)，||0162541BC →∴++故选：C ．4．已知()1,1,0a t =-，()2,,b t t =，则b a -的最小值是（ ） A ．1 B 2C 3D 5【答案】B【点拨】利用空间向量坐标的减法求出b a -，然后利用求模公式求出b a -. 【详解】解：()()1,1,0,2,,a t b t t =-= (1,1,)b a t t t -=+-∴2222(1)(1)32b a t t t t ∴-=++-+=+∴当0=t 时，b a -取最小值2故选：B5．已知向量()1,21a →=-，，()3,,1b x =，且a b →→⊥，那么b →等于（ ）A 10B 11C ．3D ．5【答案】B【详解】解：因为向量()1,21a →=-，，()3,,1b x =，且a b →→⊥，所以13210x -⨯++=，解得1x =， 所以()3,1,1b =，所以22231111b →=++故选：B题型三：空间向量平行的坐标表示1．已知()1,4,4a =--，(),2,21b m m =-+，若a b ∥，则m 的值为（ ） A ．－2 B ．2C ．12-D ．12【答案】C【点拨】根据向量共线的性质即可求解. 【详解】因为a b ∥，所以221144m m -+==--，解得12m =-， 故选：C.2．已知()1,2,a y =，(),1,2b x =，且//a b ，则x y ⋅=（ ） A ．1 B ．1-C ．2-D ．2【答案】D【点拨】利用空间向量共线的坐标表示可求得x 、y 的值，即可得解.【详解】因为//a b ，则214x y =⎧⎨=⎩，所以，12x =，4y =，因此，2x y ⋅=.故选：D.3．已知空间三点()0,1,2A ，()2,3,1B ，()1,2,C m ，若,,A B C 三点共线，则m =（ ）． A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】C【点拨】求出向量AB 与向量AC 的坐标，根据,,A B C 三点共线，可得向量AB 与向量AC 共线，由此即可求出结果.【详解】因为()2,2,1AB =-，()1,1,2AC m =-，且,,A B C 三点共线， 所以向量AB 与向量AC 共线， 所以1221m -=-，得32m =．故选：C.4．已知()2,1,3A ，()1,3,1B ，()4,,C y z ，若AB AC ∥，则2y z -=（ ） A ．20- B ．17- C ．11 D ．4【答案】B【点拨】根据空间向量共线的性质进行求解即可. 【详解】()1,2,2AB =--，()2,1,3AC y z =--， 因为AB AC ∥，所以122213y z --==--， 解得3y =-，7z =，故217y z -=-. 故选：B5．已知两个向量()2,1,3a =-，(),2,b s t =，且//a b ，则s t -的值为（ ） A ．-2 B ．2C ．10D ．-10【答案】C【点拨】根据向量共线可得,s t 满足的关系，从而可求它们的值，据此可得正确的选项. 【详解】因为//a b ，故存在常数λ，使得a b λ=，所以2123s t λλλ=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，故4,6s t ==-，所以10s t -=，故选：C.题型四：空间向量垂直的坐标表示1．已知向量(2,1,3),(,2,6)a b x →→=-=-，若a b →→⊥，则实数x 的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】D【点拨】解方程2123(6)0x -⨯+⨯-=即得解.【详解】解：因为a b →→⊥，所以2123(6)0,10x x -⨯+⨯-=∴=. 故选：D2．设,x y ∈R ，向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===-，且,a c b c ⊥∥，则||x y +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【点拨】根据向量平行和垂直的坐标表示求出y 和x 即可． 【详解】024201a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-+=⇒=， b ∥1224y c y ⇒=⇒=--， ∴1x y +=. 故选：A.3．已知()1,2,1u =是直线l 的方向向量，()2,,2v y =为平面α的法向量，若l ∥α，则y 的值为（ ） A ．2- B ．12-C ．4D ．14【答案】A【点拨】由l ∥α，可得u v ⊥，再计算即可求解.【详解】由题意可知u v ⊥，所以=0u v ⋅，即12+21202y y ⨯+⨯=⇒=-. 故选：A4．已知点()1,1,2A -在平面α上，其法向量()2,1,2n =-，则下列点不在平面α上的是（ ） A ．()2,3,3B ．()3,7,4C ．()1,7,1--D ．()2,0,1-【答案】D【点拨】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可. 【详解】()1,1,2A -对于A ：记()12,3,3A ,则()11,4,1AA =.因为()()11,4,12,1,22420AA n =-=-+=，所以点()12,3,3A 在平面α上 对于B ：记()3,7,4B ,则()2,8,2AB =.因为()()2,8,22,1,24840AB n =-=-+=，所以点()3,7,4B 在平面α上 对于C ：记()1,7,1C --,则()2,6,1AC =---.因为()()2,6,12,1,24620AC n =----=-+-=，所以点()1,7,1C --在平面α上 对于D ：记()2,0,1D -,则()3,1,1AD =--.因为()()3,1,12,1,26120AD n =---=---≠，所以点()2,0,1D -不在平面α上. 故选：D5．已知()1,1,3a =-，(),,1b x y =，若a b ⊥，则x y +=（ ） A ．9 B ．6 C ．5 D ．3【答案】D【点拨】根据空间向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】0303a b a b x y x y ⊥⇒⋅=⇒+-=⇒+=. 故选：D.题型五：空间向量夹角余弦的坐标表示1．若向量()1,,0a λ=，(2,1,2)b =-且a 与b 的夹角余弦值为23，则实数λ等于（ ） A ．0 B ．－43C ．0或－43D ．0或43【答案】C【点拨】由空间向量夹角余弦的坐标表示直接计算可得. 【详解】由题知，22cos ,31414a b a b a bλ⋅<>===+++即2340λλ+=，解得0λ=或43λ=-.故选：C2．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成3π夹角的是（ ） A ．()1,1,0- B ．()1,1,0- C ．()0,1,1- D ．()1,0,1--【答案】B【点拨】利用空间向量夹角公式进行逐一判断即可.【详解】A ：因为向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-2222121(1)(1)1=-+-⨯-+， 所以向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-夹角为23π，故不符合题意； B ：因为向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-2222121(1)1(1)=+-⨯+-，所以向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-夹角为3π，故符合题意； C ：因为向量()1,0,1a =-与向量()0,1,1-2222121(1)(1)1=-+-⨯-+，所以向量()1,0,1a =-与向量()0,1,1-夹角为23π，故不符合题意； D ：因为向量()1,0,1a =-与向量()1,0,1--夹角的余弦值为222201(1)(1)(1)=+-⨯-+-，所以向量()1,0,1a =-与向量()1,0,1--夹角为2π，故不符合题意，故选：B4．若()1,,2a λ=，()2,1,2b =-，且a ，b 的夹角的余弦值为89，则λ等于（ ）A ．2B ．2-C ．2-或255D ．2或255-【答案】C【点拨】根据8cos ,9a b a b a b⋅==，解得即可得出答案.【详解】解：因为()1,,2a λ=，()2,1,2b =-， 所以2248cos ,935a b a b a bλλ⋅-+===+，解得：=λ2-或255. 故选：C.4．已知空间向量()()2,3,63,1,,4a b ==-，则,a b =（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π【答案】A【点拨】求得0a b ⋅=，即可得出. 【详解】()()2,3,63,1,,4a b ==-，()2334610a b ∴⋅=⨯+⨯-+⨯=，a b ∴⊥，,2a b π∴=.故选：A.5．已知空间向量()1,0,1a =，()1,1,b n =，3a b ⋅=则向量a 与b λ（0λ≠）的夹角为（ ） A ．6πB ．6π或56π C ．3π D ．3π或23π 【答案】B【详解】,13a b a b cos a b n ⋅==+=解得2n =，222,?3n cos a b ⨯+= 代入得32cos a b ⋅=，又向量夹角范围：[]0,π 故,a b 的夹角为6π，则a 与b λ的夹角， 当0λ>时为6π；0λ<时为56π. 故选：B.1．已知向量()(),1,1,1,2,0a k b ==，且a 与b 互相垂直，则k 的值为（ ）二维练能力A ．－2B ．－12C ．12D ．2【答案】A【点拨】由题意0a b ⋅=，由空间向量的数量积运算可得答案. 【详解】由a 与b 互相垂直，则20a b k ⋅=+=，解得2k =- 故选：A2．已知(2,2,3)a =--，(2,0,4)=b ，则cos ,a b 〈〉=（ ） A 485B ．485C ．0D ．1【答案】B【点拨】利用空间向量的夹角余弦值公式cos ,||||a ba b a b ⋅<>=⋅即可求得.【详解】解：(2,2,3)a =--，(2,0,4)=b ，40485cos ,||||1725a b a b a b ⋅+-∴<>===⋅⋅故选：B.3．已知向量()1,0,a m =，(2,0,23b =-，若a b ∥，则a =（ ） A ．1 B 2C 3D ．2【答案】D【点拨】由空间平行向量，先求出m 的值，再由模长公式求解模长. 【详解】由//a b ，则λa b ，即(1,0,)(2,0,23)m λ=-， 有1223m λλ==-，， 所以1123322m λ==-=-， 所以(1,0,3a =-，则()2221032a =++-故选：D4．下列四个结论正确的是 （ ）A ．任意向量,a b ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =B ．若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，则A ，B ，C 三点共线C ．空间中任意向量,,a b c 都满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D ．已知向量()()1,1,,2,,4a x b x ==-，若25x <，则,a b 为钝角 【答案】B【点拨】A 选项，0a b ⋅=也可以是0,0a b ≠≠，a b ⊥；B 选项，利用向量线性运算得到2AC CB =，从而得到三点共线；C 选项可以举出反例；D 选项，求出,a b 为钝角时x 的取值范围，从而得到答案. 【详解】0a b ⋅=则0a =或0b =或0,0a b ≠≠，a b ⊥，故A 错误； 若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，即()()1233OC OA OB OC -=-， 所以1233AC CB =，化简得：2AC CB =，则A ，B ，C 三点共线，B 正确；设()()()1,1,1,2,2,1a b c ===。

1.3空间向量及其运算的坐标表示1．3.1空间直角坐标系知识梳理知识点一空间向量的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a ＋b a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)减法a －b a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数乘λa λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，λ∈R 数量积a ·ba ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3知识点二空间向量的平行、垂直及模、夹角设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则有⑴当b ≠0时，a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )；⑵a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0；⑶|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；⑷cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23.知识点三空间两点间的距离公式设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)是空间中任意两点，则P 1P 2＝|P 1P 2→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2.题型探究题型一、空间向量的坐标运算1．已知()2,3,1a =-，()2,0,3b =，()0,0,2c =，则()a b c ⋅+=（）A ．5B ．4C ．7D ．9【答案】D【详解】()=2,0,5b c +,()2,3,1a =-,()()220351=9a b c ∴⋅+=⨯+⨯-+⨯，故选：D 2．空间中，与向量()3,0,4a =同向共线的单位向量e 为（）A ．()1,0,1e =B ．()1,0,0e =或()1,0,1e =--C ．34,0,55e ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．34,0,55e ⎛⎫= ⎪⎝⎭或34,0,55e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】C【详解】因为()3,0,4a =，所以2223045a =++=，所以与向量()3,0,4a =同向共线的单位向量()3,0,4134,0,555a e a⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故选：C.3．若向量()1,2,3a =-，()2,3,1b =--，则2a b +=（）A ．27B ．5C ．26D ．42【答案】C【详解】由已知可得()23,4,1a b +=-，故()222234126a b +=-++=．故选：C.4．已知空间向量()0,1,2AB =-，2AC =，2,3AB AC π=，则AB BC ⋅=（）A ．55--B ．55-C ．55-+D ．55+【答案】A【详解】由题意，空间向量()0,1,2AB =-，2AC =，2π,3AB AC =，可得2πcos53AB AC AB AC ⋅=⋅=-，则()255AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=--.故选：A.5．已知点A 的坐标为()1,1,0A ，向量()14,0,22AB =，则点B 的坐标为______．【答案】()9,1,4【详解】设(,,)B x y z ，则(1,1,)AB x y z =--，因为()14,0,22AB =，所以()()24,0,28,0,4AB ==，所以18104x y z -=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，得914x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以点B 的坐标为()9,1,4，故答案为：()9,1,46．已知向量(1,3,2)a =-，(1,1,1)b =-，计算：(1)a r，b ，2a b -；(2)cos ,a b ．【详解】(1)由已知()22213214a =+-+=r ，()2221113b =++-=，(1,3,2)(1,1,1)(1,7,252)a b ---=--=，则()222217553a b -=+-+=(2)132242cos ,21143a b a b a b⋅--===-⋅题型二、向量的坐标表示的应用命题点1空间平行垂直问题1．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF .【详解】(1)如图，建立空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连接NE ，则点N ，E 的坐标分别为22，22，0，(0,0,1)．∴NE →＝－22，－22，1.又点A ，M 的坐标分别是(2，2，0)，22，22，1，∴AM →＝－22，－22，1.∴NE →＝AM →.又NE 与AM 不共线，∴NE ∥AM .又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE .(2)由(1)知AM →＝－22，－22，1.∵D (2，0,0)，F (2，2，1)，∴DF →＝(0，2，1)，∴AM →·DF →＝0，∴AM →⊥DF →.同理，AM →⊥BF →.又DF ∩BF ＝F ，且DF ⊂平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，∴AM ⊥平面BDF .2．如图，在三棱锥A ­BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ；(2)AD ⊥AC .【详解】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC AB B ⋂=，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC.命题角度2夹角、距离问题1．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CA CB ==，90BCA ∠=o ，棱12AA =，M 、N 分别为11A B 、1A A 的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：(1)求BN 的模；(2)求11cos ,A B B C <>的值；(3)求证：BN ⊥平面1C MN .【详解】(1)因为1CC ⊥平面ABC ，90BCA ∠=o ，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0B ，()1,0,1N ，所以，()1,1,1BN =-，则()2221131BN +-+==.(2)依题意得()11,0,2A 、()0,0,0C 、()10,1,2B 、()0,1,0B ，所以，()11,1,2A B =--uuu r，()10,1,2B C =--，110143A B B C ∴⋅=-+=，又11146A B =++=，10145B C =++=，所以，11111130cos ,10A B B C A B B C A B B C⋅<>==⋅.(3)证明：依题意得()11,0,2A 、()10,0,2C 、()0,1,0B 、()1,0,1N 、11,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭，则111,,022C M ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuuu r ，()11,0,1N C =-，()1,1,1BN =-，所以，()1111101022C M BN ⋅=⨯+⨯-+⨯=，()()11101110C N BN ⋅=⨯+⨯-+-⨯=，则1C M BN ⊥，1C BN N ⊥，即1BN C M ⊥，1BN C N ⊥，又因为111=C MC N C ，所以，BN ⊥平面1C MN .2．如图，长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点．(1)求证：EF ⊥B 1C ；(2)求FH 的长．(3)求EF 与C 1G 所成角的余弦值；【详解】(1)证明如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，D 为坐标原点，则有E 0，0，12，F 12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)，B 1(1,1,1)，G 0，34，0，H 0，78，12.EF →＝12，12，0－0，0，12＝12，12，－12，B 1C —→＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．∴EF →·B 1C —→＝12×(－1)＋12×0＋－12×(－1)＝0，∴EF →⊥B 1C —→，即EF ⊥B 1C .(2)∵F 12，12，0，H 0，78，12，∴FH →＝－12，38，12，∴|FH →|＝－122＋382＋122＝418.∴FH 的长为418.(3)∵C 1G —→＝0，34，0－(0,1,1)＝0，－14，－1.∴|C 1G —→|＝174.又EF →·C 1G —→＝12×0＋12×－14＋－12×(－1)＝38，|EF →|＝32，∴cos 〈EF →，C 1G —→〉＝EF →·C 1G —→|EF →|·|C 1G —→|＝5117.即异面直线EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117.跟踪训练1．已知()4,1,2a =，()2,1,3b =-，则()()2a b a b -⋅+=_______.【答案】6【详解】由()4,1,2a =，()2,1,3b =-，得()()42,11,232,2,1a b -=-+-=-，()24,2,6b =-，()()244,12,268,1,8a b +=+-+=-.()()()()22821186a b a b ∴-⋅+=⨯+⨯-+-⨯=.故答案为：6.2．向量()1,0,1=a ，()2,3,1b =-，则+=a b _______．【答案】23【详解】由()1,0,1=a ，()2,3,1b =-，得()3,3,0a b +=，()22233023a b +==++=，故答案为：23.3．已知向量()2,0,2a =，()1,2,0b =，()2,2,c x =．若()3a b c +⊥，则x =______．【答案】11-【详解】因为()2,0,2a =，()1,2,0b =，()2,2,c x =，所以()35,6,2a b +=，又因为()3a b c +⊥，所以526220x ⨯+⨯+=，解得11x =-，故答案为：11-.4．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD A B C D ''''-，1AB =，2BC =，3AA '=．求：(1)向量AC '，BD '，AD '的坐标；(2)2AC BD ''+，2AC BD AD ''+-'的坐标．【详解】(1)由已知()()()()0,0,0,1,2,3,1,0,0,0,2,3A C B D ''，则()1,2,3AC '=，()1,2,3BD '=-，()0,2,3AD '=(2)()()()1,2,321,2,31,926,AC BD ''+=+-=-,()()()()1,2,31,2,320,2,30,0,02AC BD AD '''=+--+-=.5．设向量()3,5,4a =-，()2,1,8b =，计算23,32,a b a b a b +-⋅以及a 与b 所成角的余弦值．【答案】23(12,13,16)a b +=，32(5,13,28)a b -=-，21a b ⋅=-，0c 713823os ,a b 〈〉=-【详解】232(3,5,4)3(2,1,8)(6,10,8)(6,3,24)(12,13,16)a b +=⨯-+⨯=-+=323(3,5,4)2(2,1,8)(9,15,12)(4,2,16)(5,13,28)a b -=⨯--⨯=--=-．32514821a b ⋅=⨯+⨯-⨯=-.∵22235(4)52a =++-=，22221869a =++=，∴217138cos ,2305269a b a b a b⋅-〈〉===-⨯6．已知点(1,2,1),(1,3,4),(1,1,1)A B D -，若2AB PB =，求||PD ．【答案】222【详解】设(,,)P x y z 故(2,1,3),(1,3,4)AB PB x y z =-=----由2AB PB =，可得(2,1,3)2(1,3,4)x y z -=----，解得：550,,22x y z ===，故55(0,,)22P 222333322|||(1,,)|1()()22222PD =--=+-+-=7．如图,已知直三棱柱ABC­A 1B 1C 1中,AC ⊥BC,D 为AB 的中点,AC=BC=BB 1.求证:(1)BC 1⊥AB 1.(2)BC 1∥平面CA 1D ．【详解】如图,以C 1点为原点,C 1A 1,C 1B 1,C 1C 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设AC=BC=BB 1=2,则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A 1(2,0,0),B 1(0,2,0),C 1(0,0,0),D(1,1,2).(1)由于=(0,­2,­2),=(­2,2,­2),所以·=0­4+4=0,因此⊥,故BC 1⊥AB 1.(2)取A 1C 的中点E,连接DE,由于E(1,0,1),所以=(0,1,1).又=(0,­2,­2),所以=­.又ED 和BC 1不共线,所以ED ∥BC 1.又DE ⊂平面CA 1D,BC 1⊄平面CA 1D,故BC 1∥平面CA 1D.8．如图，在四面体PABD 中，AD ⊥平面PAB ，PB ⊥PA(1)求证：PB⊥平面APD；(2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD．【详解】(1)由AD⊥平面PAB，PB⊂面PAB，则AD PB⊥，又PB⊥PA，PA AD A⋂=，则PB⊥平面APD；(2)由（1）及PB⊂面PBD，则面PBD⊥面APD，=，AG⊥PD，AG⊂面APD，又面PBD面APD PD所以AG⊥面PBD，而BD⊂面PBD，所以AG⊥BD．9．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G分别DD1、BD、BB1是中点.(1)证明：EF⊥CF；(2)求EF与CG所成角的余弦值；(3)求CE的长.【详解】(1)建立如图所示空间直角坐标系：则()11110,0,,,,0,0,1,0,1,1,2222E F C G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以111,,222EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11(,,0)22CF →=-,因为110044EF CF →→⋅=-+=,所以EF CF →→⊥，即EF ⊥CF .(2)由（1）知1111,,,1,0,2222EF CG ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1154cos ,153522EF CG EF CG EF CG⋅===⋅⋅，所以EF 与CG 所成角的余弦值是1515；(3)由（1）知1(0,1,)2CE →=-，所以22215||0(1)22CE →⎛⎫=+-+=⎪⎝⎭，即CE 的长为52.10．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E ､F ､G 分别为AB ､SC ､SD 的中点.若AB a =，SD b =.(1)求EF ；(2)求cos ,AG BC ；(3)判断四边形AEFG 的形状.【详解】(1)以D 为原点，分别以射线DA ､DC ､DS 为x 轴､y 轴､z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.则(),0,0A a ､(),,0B a a ､()0,,0C a ､,,02a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭､0,,22a b F ⎛⎫ ⎪⎝⎭､0,0,2b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以,0,2b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()222224042b a b EF a+=-++=.(2)由（1）知：,0,2b AG a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(),0,0BC a =-，所以cos ,AG BC AG BC AG BC ⋅=⋅22222244a ab a b a a ==+⋅+；(3)由,0,2b AG a EF ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故四边形AEFG 是平行四边形，又0,,02a AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0AE EF ⋅=，即AE EF ⊥，而2a AE EF =≠，所以四边形AEFG 是矩形.高分突破1．若(2,0,1),(3,1,1),(1,1,0)a b c ==--=，则23a b c +-=（）A ．(1,2,0)--B ．(7,1,0)--C ．(7,1,1)--D ．(7,1,1)---【答案】D【详解】23(2,0,1)2(3,1,1)3(1,1,0)(7,1,1)a b c +-=+⋅---⋅=---.故选：D2．已知向量()3,2,4a =-r，()1,2,2b =-，则a b -=（）A ．210B ．40C ．6D ．36【答案】C【详解】由题设(4,4,2)a b -=-，则222(4)426a b -=-++=.故选：C3．已知向量(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（）A ．15B ．35C ．75D ．95【答案】C【详解】因为(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，所以()()()1,1,01,0,21,,2ka b k k k +=+-=-，()()()221,1,01,0,23,2,2a b -=--=-，因为ka b +与2a b -垂直，所以()()()()2312220ka b a b k k +⋅-=-++⨯-=，解得75k =；故选：C4．已知向量()1,2,2a =-，()2,3,2b =-，则下列结论不正确的是（）A ．()3,5,4a b +=-B ．12a b ⋅=C ．26a b -=D ．a ，b 不平行【答案】C【详解】()3,5,4a b +=-，A 正确；()122(3)2212a b ⋅=⨯+-⨯-+⨯=，B 正确；()()2222(3,4,2),234229a b a b -=---=-++-=，C 错误；122232-≠≠-，a ，b 不平行，D 正确.故选：C.5．一束光线自点P (1,1,1)出发，被xOy 平面反射到达点Q (3,3,6)被吸收，那么光线所经过的距离是()A.37B.33C.47D.57【答案】D【详解】P 关于xOy 平面对称的点为P ′(1,1，－1)，则光线所经过的距离为|P ′Q |＝(3－1)2＋(3－1)2＋(6＋1)2＝57.6．已知O 为坐标原点，OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为()A.12，34，13B.12，23，34C.43，43，83D.43，43，73【答案】C【详解】设OQ →＝λOP →，则QA →＝OA →－OQ →＝OA →－λOP →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝OB →－OQ →＝OB →－λOP →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝23λ－432－13.所以当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值，此时OQ →＝43OP →＝43，43，83，即点Q 的坐标为43，43，83.7．已知()1,2,3A ，()4,5,9B ，13AC AB =，则AC 的坐标为______．【答案】(1,1,2)【详解】由题设，()()14,5,9,2,3(3,3,6)AB =-=，所以1(1,1,2)3AC AB ==.故答案为：(1,1,2)8．已知a =(3，2，－1)，b =(2，1，2)，则()()2a b a b -⋅+=___________．【答案】2【详解】因为()()()3,2,12,1,21,1,3a b -=--=-r r()()()23,2,14,2,47,4,3a b +=-+=r r()()()()21,1,37,4,37492a b a b -⋅+=-⋅=+-=r r r r故答案为：29．向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()2,4,2c =-，且a c ⊥，//b c ，则2a b +=______.【答案】32【详解】因(),1,1a x =，()2,4,2c =-，而a c ⊥，则有2420a c x ⋅=-+=，解得1x =，即()1,1,1a =又()1,,1b y =，且//b c ，则有11242y ==-，解得2y =-，即()1,2,1b =-，于是得2(3,0,3)a b +=，2223332a b +=+=，所以232a b +=.故答案为：3210．若a ＝(x ，2,2)，b ＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是________．【答案】(－∞，－2)【详解】由题意，得a ·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝a ·b|a||b|<0.又|a |>0，|b |>0，所以a ·b <0，即2x ＋4<0，所以x <－2.又a ，b 不会反向，所以实数x 的取值范围是(－∞，－2)．11．三棱锥P －ABC 各顶点的坐标分别为A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,2,0)，P (0,0,3)，则三棱锥P －ABC 的体积为________．【答案】1【详解】由A ，B ，C ，P 四点的坐标，知△ABC 为直角三角形，AB ⊥AC ，PA ⊥底面ABC .由空间两点间的距离公式，得AB ＝1，AC ＝2，PA ＝3，所以三棱锥P －ABC 的体积V ＝13×12×1×2×3＝1.12．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则BP →＝________.【答案】337，－157，－3【详解】因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0，即1×3＋5×1＋(－2)×z ＝0，所以z ＝4.因为BP ⊥平面ABC ，所以BP →⊥AB →，BP →⊥BC →，即1×(x －1)＋5y ＋(－2)×(－3)＝0，3(x －1)＋y ＋(－3)×4＝0，解得x ＝407，y ＝－157，于是BP →＝337，－157，－3.13．在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．(1)证明：B 1D ⊥平面ABD ；(2)证明：平面EGF ∥平面ABD .【详解】(1)以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)，1B D ＝(0,2，－2)，1B D ·BA ＝0，1B D ·BD ＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .(2)由(1)知，E (0,0,3)，G ,1,42a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F (0,1,4)，则EG uuu r ＝,1,12a ⎛⎫⎪⎝⎭，EF ＝(0,1,1)，1B D ·EG uuu r＝0＋2－2＝0，1B D ·EF ＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF .结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .14．在正棱锥P ABC -中，三条侧棱两两互相垂直，G 是PAB △的重心，E ，F 分别是BC ，PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==.求证：（1）平面GEF ⊥平面PBC ；（2）EG PG ⊥，EG BC ⊥.【详解】证明：（1）以三棱锥的顶点P 为原点，以PA ､PB ､PC 所在的直线分别为x 轴､y 轴､z 轴，建立空间直角坐标系.令3PA PB PC ===，则()3,0,0A ，()0,3,0B ，()0,0,3C ，()0,2,1E ，()0,1,0F ，()1,1,0G ，()0,0,0P .∴()=3,0,0PA ，()1,0,0FG =.故 3PA FG =，∴//PA FG .又PA ⊥平面PBC ，∴FG ⊥平面PBC .又FG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PBC .（2）∵()1,1,1EG =--，()1,1,0PG =，()0,3,3BC =-.∴110EG PG ⋅=-=，330EG BC ⋅=-=.∴EG PG ⊥，EG BC ⊥.15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，2BC =，14CC =，点E 在棱1BB 上，11EB =，D ，F ，G 分别为1CC ，11B C ，11AC 的中点，EF 与1B D 相交于点H ．(1)求证：1B D ⊥平面ABD ．(2)求证：平面//EGF 平面ABD ．【详解】(1)证明：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，设AB a =，则()1,0,0A a ，()10,0,0B ，()0,1,0F ，()0,0,1E ，(),0,4A a ，()0,0,4B ，()0,2,2D ，,1,02a G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()10,2,2B D =，(),0,0AB a =-，()0,2,2BD =-，所以10000B D AB ⋅=++=，10440B D BD ⋅=+-=，所以1B D AB ⊥，1B D BD ⊥，所以1B D AB ⊥，1B D BD ⊥．又ABBD B =，所以1B D ⊥平面ABD ．(2)由（1）可得(),0,0AB a =-，()0,2,2BD =-，,0,02a GF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,1,1EF =-，所以2AB GF =，2BD EF =，所以GF AB ∥，EF BD ∥．所以GF AB ∥，EF BD ∥．因为AB Ì平面ABD ，GF ⊄平面ABD 所以GF ∥平面ABD同理可证：EF ∥平面ABD 又GF EF F ⋂=，所以平面EGF ∥平面ABD ．16．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长相等，D 、E 分别是棱1C C 、AC 的中点.（1）证明：1//B C 平面1A BE ；（2）证明：平面ABD ⊥平面1A BE .【详解】（1）连接1B A 交1A B 于O ,连接OE ,直三棱柱111ABC A B C -中四边形11A ABB 为平行四边形，所以O 为1B A 中点；因为E 为AC 中点,所以1//OE B C因为OE ⊂平面1A BE 1B C ⊄，平面1A BE ，所以1//B C 平面1A BE ；（2）因为D 、E 分别是棱1C C 、AC 的中点，直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长相等，所以直三棱柱111ABC A B C -中四边形11A ACC 为正方形，所以11ACD A AE DAC EA A ∆≅∆∴∠=∠，1112DAC AEA EA A AEA π∴∠+∠=∠+∠=,即1DA A E⊥,AB BC E =为AC 中点，BE AC∴⊥由直三棱柱111ABC A B C -得1AA ⊥平面ABC BE ⊂，平面1AA BE ABC ∴⊥，11,,AA A BE AC C A A ACA ⊥=⊂，平面11ACC A ,BE ∴⊥平面11C C A A AD ⊂平面11ACC A ,BE AD ∴⊥,111,,DA A E A E BEBE E A E ⊥=⊂，平面1A BE ,AD ∴⊥平面1A BE AD ⊂Q 平面ABD ,所以平面ABD ⊥平面1A BE .17．棱长为2的正方体中，E ，F 分别是1DD ，DB 的中点，G 在棱CD 上，且13CG CD =，H 是1C G 的中点．(1)证明：1EF B C ⊥.(2)求1,cos EF C G 〈〉.(3)求FH 的长．【详解】(1)在正方体1111ABCD A B C D -，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D ­xyz ，如图所示：依题意，11(0,0,1),(1,1,0),(2,2,2),(0,2,0),(0,2,2)E F B C C ，1(1,1,1),(2,0,2)B E C F -=-=-，11(2)101(2)0EF B C ⨯-+⨯⨯=-=⋅-，则1EF B C ⊥，所以1EF B C ⊥.(2)由13CG CD =知，4(0,,0)3G ，12(0,,2)3C G =--，而(1,1,1)EF =-，所以121122101()(1)(2)303cos 15||23()(2)3,||EF C G EF C G EF C G ⋅⨯+⨯-+-⨯-〈〉===⨯-+-.(3)因H 为1C G 的中点，则5(0,,1)3H ，而(1,1,0)F ，则2(1,,1)3FH =-，222222||(1)()133FH =-++=所以FH 的长为223．18．如图，在直棱柱111ABC A B C -中，1CA CB ==，90BCA ∠=︒，12AA =，,M N 分别是11A B ，1AA 的中点.(1)求BN 的长；(2)求证：11A B C M ⊥；(3)求二面角11A BC B --的余弦值.【详解】(1)依题意，以点C 为原点建立空间直角坐标系（如图），则(1,0,0)A ,(0,1,0)B ，(0,0,0)C ，11(,,2)22M ，(1,0,1)N ,1(1,0,2)A ,1(0,1,2)B ,1(0,0,2)C ，所以向量(1,1,1)BN =-则()2221113BN =+-+=；(2)向量1(1,1,2)A B =--，向量111(,,0)22C M =，因为11A B C M ⋅()11112022=-⨯+⨯+-⨯0=，所以11A B C M ⊥所以11A B C M ⊥；(3)向量1(1,1,2)A B =--，向量()11,0,2AC =--，设(,,)n x y z =为平面1A BC 的一个法向量，则1100A B n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y z x z -+-=⎧⎨--=⎩,不妨令2x =-，可得(2,0,1)n =-，又(1,0,0)CA =为平面1B BC 的一个法向量，则cos<n CAn CA n CA ⋅⋅>⋅=255=.。

《空间向量运算的坐标表示》知识解读1、空间向量的坐标在空间直角坐标系O xyz -中,分别沿x 轴、y 轴、z 轴正方向作单位向量,,i j k ,这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{,,}i j k ,这组基叫作标准正交基.根据空间向量基本定理,对于任意一个向量p ,都存在唯一的三元有序实数组(,,)x y z ,使得p xi yj zk =++反之,任意给出一个三元有序实数组(,,)x y z ,,也可找到唯一的一个向量x y z =++p i j k 与之对应.这样,就在空间向量与三元有序实数组之间建立了一一对应的关系,把三元有序实数组(,,)x y z 叫作向量p 在标准正交基{,,}i j k 下的坐标,记作(,,)x y z =p单位向量,,i j k 都叫作坐标向量.,,x y z i j k 实际上分别是向量p 在,,i j k 方向上所作的投影向量,,,x y z 分别是向量p 在,,i j k ,方向上所作投影向量的数量. 在空间直角坐标系O xyz -中,对于空间任意一个向量p ,一定可以把它平移,使它的起点与原点O 重合,得到向量OP =p ,.若点p 的坐标为(,,)x y z ,由空间向量的加法不难得出OP =x y z ++i j k (如图),于是向量OP 的坐标也是(,x y ,)z(1)标准正交基是两两互相垂直且长度为1的向量,即i i ⋅=1,0.⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=j j k k i j j k i k(2)只有在标准正交基下的分解才是空间向量的坐标,其他基下的分解不是向量的坐标.空间中任一向量的坐标是唯一的. (2)空间向量的坐标表示 设()()111222,,,,,x y z x y z ==a b ,则()121212,,.x x y y z z +=+++a b ()121212,,.x x y y z z -=---a b()111,,().x y z λλλλλ=∈R a 121212x x y y z z ⋅=++a b3空间向量平行和垂直的条件 设()()111222,,,,,x y z x y z ==a b . (1)向量平行的坐标表示212121,//(),,x x y y z z λλλλ=⎧⎪≠⇔=⇔=⎨⎪=⎩a b a 0b a当a 与三个坐标平面都不平行时,222111//x y z x y z ⇔==a b . (2)向量垂直的坐标表示12121200x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=a b a b .4空间向量长度公式的坐标表示若()111,,x y z =a ,则||===a即||=a .空间向量长度公式表示的是向量的长度,其形式与平面向量长度公式一致,它的几何意义是相应长方体的体对角线的长度. 5空间向量夹角公式的坐标表示 若()()111222,,,,,x y z x y z ==a b 则cos ,||||⋅〈〉==a ba b a b空间向量坐标运算实质上是平面向量坐标运算的推广(只是在平面向量坐标的基础上增加了一个的坐标),与平面向量的坐标运算相比,空间向量的坐标运算适用范围更广,它可以解决立体几何中的相关问题.。

空间向量的坐标和运算一、空间向量的坐标和运算1、空间直角坐标系在单位正方体$OABC$-$D$′$A$′$B$′$C$′中，以$O$点为原点，分别以射线$OA$，$OC$，$OD$′的方向为正方向，以线段$OA$，$OC$，$OD$′的长为单位长，建立三条数轴：$x$轴、$y$轴、$z$轴。

这时我们说建立了一个空间直角坐标系$Oxyz$，其中点$O$叫做坐标原点，$x$轴、$y$轴、$z$轴叫做坐标轴。

通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为$xOy$平面、$yOz$平面、$xOz$平面。

2、空间向量的坐标一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

如$A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，则$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}$=$(x_2-x_1$,$y_2-y_1$,$z_2-z_1)$。

3、空间向量的坐标运算设$\boldsymbol a(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbol b(x_2,y_2,z_2)$，则（1）$\boldsymbol a+\boldsymbol b$=$(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$。

（2）$\boldsymbol a-\boldsymbol b$=$(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$。

（3）$\boldsymbol a·\boldsymbol b$=$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。

（4）$|\boldsymbol a|=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}$。

（5）$λ\boldsymbol a=（λx_1,λy_1,λz_1）$。

4、空间向量平行（共线）与垂直的充要条件设非零向量$\boldsymbol a(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbol b(x_2,y_2,z_2)$，则$\boldsymbol a∥\boldsymbolb\Leftrightarrow\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}=λ(λ∈\mathbf {R})$。