7-6 玻耳兹曼能量分布律

波尔兹曼分布律的推导一、波尔兹曼分布律的推导波尔兹曼分布律阐明众多独立粒子在各不同能级分布的规律。

按假设，只有总分子数N和总能U分别为恒定体系的那些分布方式（观状态）才能存在，即体系必需满足：粒子数守(7-1)恒和能量守恒(7-2)根据等概率原理：能量相同的可区别的量子态其出现概率相等。

能满足式(7-1)和(7-2)的分布形式不只一种。

根据排列组合公式：实现n1个分子处于ε1，n2分，……，n i个分子处于εi等非简并能级这一种定域子体系(D)分布方子处于ε2式的热力学概率（微观状态数）W D可表示为：(7-5)而系统的总热力学概率（总微观状态数）Ω为各种可能的分布（分配）形式热力学概率的总和：(7-3a)由7.2节〔例1〕可知，分布方式Ⅱ的热力学概率为最大几率分布函数。

如图7-1所示。

其中最高峰处相当于最概然值。

通常所遇到的体系，分子数目众多，曲线高峰收缩在一极窄范围内，在这种情况下，最概然值接近于W的平均值，故可以最概然值表示W的平均值。

而统计热力学研究系统的平衡性质，点是引用最概然分布的结果这就是摘取最大项法的根据。

为摘取最大项，考虑到 ln W D随W D单调增长，ln W D极大处也是W D的极大，故对式(7-5)取对数：(7-5a) 在 ln W D极大处δln W D =0 又N! 为常数，故(7-5b) 因n i数值很大，应用史特林(Stirling)公式：(7-6)(7-7)式(7-7)为摘取最大项的限制条件，结合式(7-1)、(7-2)等，共有三个涉及变量N i 的限制条件：(7-8)(7-9)(7-7)为求极值，可用拉格朗日(Lagrange)待定系数法（﹡附录），将式(7-8)乘以任意常数α，式(7-9)乘以任意常数β，然后与式(7-7)相加：或(7-10)上式加和遍及各能级，即i=1,2,……,i-1，i。

由于存在着两个附加条件(7-8)和(7-9)，i个N i中仅有i -2 个是独立的。

玻尔兹曼能量分布定律玻尔兹曼能量分布定律是描述物体在不同温度下能量分布的一种定律。

根据这个定律，物体的能量分布与其温度有关，温度越高，能量分布越广，峰值越低；温度越低，能量分布越窄，峰值越高。

玻尔兹曼能量分布定律是热力学的基本原理之一，它可以解释许多与能量分布有关的现象。

在自然界中，物体的能量分布是非常普遍的，无论是热力学系统中的粒子分布，还是宏观物体的能量分布，都可以用玻尔兹曼能量分布定律来描述。

玻尔兹曼能量分布定律的形式是一个指数函数，其中包含了玻尔兹曼常数和温度两个参数。

根据这个定律，物体的能量分布可以通过温度来确定，温度越高，能量分布越广，物体的能量分布趋于均匀；温度越低，能量分布越窄，物体的能量分布趋于集中。

玻尔兹曼能量分布定律的应用非常广泛。

在热力学系统中，通过对物体的能量分布进行分析，可以得到系统的热力学性质，如熵、内能等。

在材料科学中，通过对材料的能量分布进行研究，可以了解材料的热导性、电导性等性质。

在天体物理学中，玻尔兹曼能量分布定律可以解释星体的辐射特性，如黑体辐射等。

除了在科学研究中的应用，玻尔兹曼能量分布定律还有许多实际的应用。

例如，在工程中，通过对能量分布的分析，可以确定材料的热传导性能，从而优化材料的设计。

在能源领域，通过对能量分布的研究，可以改进能源的利用效率，提高能源的利用率。

玻尔兹曼能量分布定律是描述物体能量分布的一种定律，它可以解释许多与能量分布有关的现象。

通过对能量分布的研究，可以深入了解物体的热力学性质，优化材料的设计，改进能源的利用效率。

玻尔兹曼能量分布定律在科学研究和工程应用中具有重要的作用，对于推动科学技术的发展有着重要的意义。

玻耳兹曼分布律1. 介绍玻耳兹曼分布律（Boltzmann Distribution），又称能级分布定律或热力学分布定律，是描述粒子在热平衡时能量分布的统计规律。

它是由物理学家玻耳兹曼（Ludwig Boltzmann）在19世纪末提出的，对理解热力学平衡和统计力学起到了重要作用。

2. 能级与分布2.1 能级的定义在经典力学中，一个具有N个微观粒子的系统的能量是由粒子各自的能级所确定的。

能级（Energy level）是指一个粒子所处的状态或能量状态。

2.2 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是以概率统计理论为基础，通过模拟随机抽样的方法，通过数学计算机模拟的形式，解决一些无法用传统数学方法解决的问题。

3. 玻耳兹曼分布律的推导以下是推导玻耳兹曼分布律的基本思路：3.1 假设•假设每个能级之间的间隔是常数，即能级数之比是整数。

3.2 系综理论•系综是对系统可能的状态进行统计的一种方法。

根据统计力学的观点，与一个给定的宏观信息相对应的，不同的微观状态可以构成一个系综。

3.3 统计力学的基本假设•统计力学的基本假设是，处于热平衡的系统会等可能地在所有可行的微观状态中进行跃迁。

这个假设被称为均等性原理。

3.4 玻耳兹曼分布律的推导•基于均等性原理，可以得出所有可能的微观状态的数目是相同的。

由此可以推导出玻耳兹曼分布律的表达式。

4. 玻耳兹曼分布律的表达式玻耳兹曼分布律的表达式如下：P i=e−E i/(kT)∑e−E j/(kT) nj=1其中，P i表示处于能级i的概率，E i表示能级i的能量，k表示玻尔兹曼常数，T表示系统的温度，n表示能级的总数。

5. 玻耳兹曼分布律的应用5.1 热力学平衡利用玻耳兹曼分布律，可以计算系统在热力学平衡状态下各个能级的占据概率。

通过能级的占据概率，可以推导出各种热力学性质，如熵、内能等。

5.2 电子能级分布玻耳兹曼分布律可以应用于描述电子在原子、分子中的能级分布。

这对于理解原子、分子的能级结构以及电子在能带中的行为具有重要意义。