通信原理第二章 随机信号处理

Pξ (ω ) = E[ Ps (ω )] = lim
{
T
}
T →∞
T
ξ(t)的平均功率S可表示成
1 ∞ 1 ∞ S= ∫−∞ pξ (ω )dω = 2π ∫−∞ lim 2π T →∞ E FT (ω ) T
2
dω
由ξ(t)功率谱密度的定义，很难直接计 算功率谱。确知信号的自相关函数与其 功率谱密度是傅氏变换对。对于平稳随 机过程，也有类似的关系，即
例 2-1随机相位余弦波ξ(t)=Acos(ωct+θ)， 其中A和ωc均为常数，θ是在(0,2π)内均匀分 布的随机变量。求ξ(t)的自相关函数与功率谱 密度。 解：(1) 先考察ξ(t)是否广义平稳。ξ(t)的数 学期望为 1 2π
a(t ) = E[ξ (t )] = ∫0 A cos(ω c t + θ ) 2π dθ
2－2 随机过程的一般描述
随机事件是样本点的一个集合，样本空间则 总是和某一随机试验相联系。 1、随机变量定义： 设E为随机试验，其样本空间为S＝（Ω），若 对于每一个ΩєS都有一个实数X( Ω)与之对应，而 且 对于任何实数 x， X( Ω)< x 有确定的概率，则称 X( Ω)为随机变量。 随机事件可用随机变量加以表示！
5、随机过程的数字特征
数学期望，或称统计平均值，或均值。
ξ(t) 的数学期望定义：
意义： 随机变量的摆 动中心，反映 变化的某种趋 势。又成为一 阶矩。
E[ξ (t )] = ∫ xf1 ( x, t )dx = a (t )
−∞
∞
一般地，期望是时间t的函数。 这里，E理解为线性算符。
方差
D[ξ (t )] = E{ξ (t ) − E[ξ (t )]}2 = E{ξ 2 (t )} − E 2 [ξ (t )] = ∫ x f1 ( x, t )dx − [a (t )]
3)
σ (t )
2
相关函数
衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机 变量的统计相关特性。 自相关函数：
意义：反映 同一随机过 程在不同时 刻的关联程 度！
R(t1 , t2 ) = E[ξ (t1 )ξ (t2 )] =∫
t1=t2 ＝ t，
∞ −∞ −∞
∫
∞
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
随机信号
两类信号 确定性信号： 信号大小随时间变化具有某种规律，可再现；可 用某一明确的数学关系描述； 随机信号： 信号随时间变化不具备明确的变化规律，任何时 刻其大小不能预料，不能用明确的数学关系进行描 述。 但，可用概率和统计方法进行描述！ 实际信号都具有随机性！ 如：语音信号，电视信号，数字信号，生物、生 理医学信号等。
利用二重积分换元法，则上式可化简成：
E FT (ω )
{
2
于是
T
}= ∫
T
T' ⎛ ⎜1 − −T ' ⎜
⎝
⎟ R(τ )e − jωτ dτ T⎟ ⎠
τ ⎞
pξ (ω ) = lim
E FT (ω )
2
T →∞
∞ −jωτ = R(τ)e dτ −∞
∫
简记为 R(τ) Pξ(ω)。 上称为维纳-辛钦关系，在平稳随机过程的 理论和应用中是一个非常重要的工具。它是 联系频域和时域的基本关系式。
2 −∞ ∞ 2
记为
D[ξ (t )] = σ (t )
2
当期望值为零 时， 2
意义：反映随 机变量变化偏 离期望值的程 度！
D[ξ (t )] = σ (t ) = E[ξ 2 (t )]
方差可视为消耗在单位电阻上的噪声功 率！
期望和方差的意义
ξ(t)
E[ξ (t )]
ξ(t1) ξ(t2)
t
ξ(t
2、随机过程与随机变量的关系
设有 n 台完全相同的接收机，用 n 台测试 仪测试接收机的输出噪声电压波形。 结果：由于噪声是随机信号，因此，n 台测试 仪的记录波形都不相同！
测试波形
ξ1(t) ξ2(
t)
t1 t2 tm t t
ξk(t)
t
随机过程与随机变量的关系 以上表明任何一部接收机的输出噪声电压随 时间的变化规律都不可预测！——随机信号。 若用ξ(t)表示所有 n 台仪器记录结果 ξk(t){k=1,2,…n}的集合， ξk(t)是第k台仪器 的记 录结果。则称 ξ(t)为随机过程。 ξk(t)称为随机过程的一个实现或样本函 数。
A 2π = ∫0 (cos ω c t cosθ − sin ω c t sin θ )dθ 2π
A 2π 2π = [cos ω c t ∫0 (cosθdθ − sin ω c t ∫0 sin θdθ ] = 0(常数） 2π
ξ(t)的自相关函数为：
R(t1 , t 2 ) = E[ξ (t1 )ξ (t 2 )]
f n ( x1 , x2
xn ; t1 , t2
tn )
= f n ( x1 , x2
xn ; t1 + τ , t2 + τ
tn + τ )
则称ξ(t)为平稳随机过
程。 统计特性不随时间的推移而变化的随机过程称为 平稳随机过程。
平稳随机过程的定义说明：当取样点在时 间轴上作任意平移时，随机过程的所有有 限维分布函数是不变的。 推论：一维分布与时间t无关， 二维分布 只与时间间隔τ有关。从而有
= E[sin(ω 0 t1 + θ ) sin(ω 0 t 2 + θ )]
令t1=t, t2=t+τ,
= E[sin(ω 0 t + θ ) sin(ω 0 t + ω 0τ + θ )]
经过推导得：
1 = cos ω 0τ 2
仅与τ有关。由此看出， ξ(t)是宽平稳随 机过程。它的功率谱密度为：
Pξ (ω ) = ∫
∞ − jωτ R (τ )e dτ −∞
因为cosωcτ π[δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)] 所以，Pξ(ω)= π [δ(ω- ωc)+δ(ω+ ωc)]
2
Pξ(ω)
-ωc
ωc
ω
§2.5 高斯过程
定义——若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1, 2, …）分布都是正态分布，则称它为高斯 随机过程或正态过程。 其n维正态概率密 度函数表示如下： 1 fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)= 1 1 2 ( 2π ) σ 1σ 2 ...σ n B 2
2
R(t1 , t2 ) = E[ξ (t )]
可理解为对信号的复制特 性，有重要意义和实际应
自相关函数的意义举例
ξ(t)
t
t
τ
延迟 讨论该随机过程 的自相关函数！
自协方差
定义：
B(t1 , t2 ) = E{[ξ (t1(t2 )]} =∫
∞ −∞ −∞
平稳随机过程的各态历经性
平稳随机过程在满足一定条件下有一个 有趣而又非常有用的特性， 称为“各态 历经性”。 若平稳随机过程的数字特征（均为统计 平均）完全可由随机过程中的任一实现 的数字特征（均为时间平均）来替代， 则称平稳随机过程具有“各态历经性”。
各态历经随机过程 1 a = x (t ) = lim ∫ T
E[ε (t )] = ∫ x1 f1 ( x1 , )dx1 = a
−∞
∞
R(t1, t2)=E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］ =R(t1, t1+τ)=R(τ)
广义平稳随机过程
平稳随机过程的定义对于一切n都需成 立， 这在实际应用上很复杂。由平稳随 机过程的均值是常数， 自相关函数是τ 的函数还可以引入另一种平稳随机过程 的定义： 若随机过程ξ(t)的均值为常数，自相关 函数仅是τ的函数， 则称它为宽平稳随 机过程或广义平稳随机过程。
§2.4 平稳过程的相关函数与功率谱
自相关函数的意义： – 平稳随机过程的统计特性，如数字特征 等， 可通过自相关函数来描述 – 自相关函数与平稳随机过程的谱特性有 着内在的联系。因此，我们有必要了解 平稳随机过程自相关函数的性质。 自相关函数定义： R(τ)=E［(ξ(t)ξ(t+τ)］
自相关函数主要性质： – R(0)=E[ξ2(t)]=S--ξ(t)的平均功率 – R(τ)= R(-τ) --偶函数 – |R(τ)|≤ R(0) --上界 – R(∞)=E2[ξ(t)] ---ξ(t)的直流功率 – R(0)-R(∞)=σ2 ---ξ(t)的交流功率。 ξ(t)的任一样本函数的功率谱密度为
xn ; t1 , t2
tn )
则称为随机过程ξ(t) 的 n 维概率密度函 数。
ξ(t) 的1维概率密度函数
∂F ( x1 , t1 ) = f1 ( x1 , t1 ) ∂x1
1 维概率密度函数描述随机过程的完整统计 特性很不充分，此时，需用高维分布函数。 当 n>2 以后，数学上处理比较困难。
Ps (ω ) = lim FT (ω ) T
2
T →∞
式中，FT(ω)是fT(t)的频谱函数；fT(t)是 f(t) 的 短 截 函 数 ； f(t) 是 ξ(t) 的 任 一 实 现。
由 于 ξ(t) 是 无 穷 多 个 实 现 的 集 合 ， 因 此，某一实现的功率谱密度不能作为过 程的功率谱密度。过程的功率谱密度应 看做是任一实现的功率谱的统计平均， 2 即 E F (ω )
4、随机过程的描述方法
ξ(t) 的n 维分布函数
F ( x1 , x2 , xn ; t1 , t2 tn ) = P{ξ (t1 ) ≤ x1 ,
ξ (tn ) ≤ xn }