通信原理 第二章习题解答

2
exp ⎧⎨− ⎩
n2 2σ 2
⎫ ⎬ ⎭
2-30 若 ξ (t) 是平稳随机过程，自相关函数为 Rξ (τ ) ，试求它通过图 P2-30 系统后的自相关函
数及功率谱密度。 [解] 有图知，输出为
Y (t) = ξ (t) + ξ (t − T ) ，
所以，输出的自相关函数为
3
E[Y (t1)Y (t2 )] = E[(ξ (t1) + ξ (t1 − T ))(ξ (t2 ) + ξ (t2 − T ))] = E[ξ (t1)ξ (t2 )] + E[ξ (t1 − T )ξ (t2 )] +E[ξ (t1)ξ (t2 − T )] + E[ξ (t1 − T )ξ (t2 − T )] = 2Rξ (τ ) + Rξ (τ − T ) + Rξ (τ + T )
第二章习题解答
2-3 一个带宽为 50Hz 的低通信号 x(t) 以奈奎斯特速率抽样，抽样值如下所示：
⎧−1,
x(nTs
)
=
⎪ ⎨
1,
⎪⎩ 0,
−4≤n<0 0<n≤4
其他
(1) 确定 x(0.005) ；
(2) 此信号是功率型信号还是能量型信号？确定其功率或者能量值。 [解] (1) 由采样定理
∑∞
= RX (τ )
4
所以 PZ ( f ) = PX ( f )
PY ( f ) = F [RY (τ )]
=
PZ (
f
−
f0 ) + PZ ( 2
f
+
f0 )
−[−
j sgn(
f
)PZ (
f
)]⊗ δ (
f
−
f0) −δ ( 2j
f
+
f0 )
=
PZ (
f− 2
f0 ) [1+ sgn(
f
−
f0 )] +
f
)e j2π ftdf
2
=
sinπ t πt
−
1 2π t
sinπ t
+
1 2π 2t 2
−
1 2π 2t 2
(cosπ t)
=
−j 4π t
sin
π
t
−
j 4π 2t 2
(1 − cosπt) =
j
⎧⎨− ⎩
1 4π
t
sin
π
t
+
1 4π 2t 2
(cos π t
− 1)⎫⎬ ⎭
y(t)
=
⎧1
⎨ ⎩
PN ( f ) =
N0 2
H(f )2
=
⎪⎪ ⎨
⎪
⎪⎩
2 0
f
−
fc
<
B 2
f
−
fc
≥
B 2
∫ R(τ ) =
∞ −∞
PN
(
f
)e
j 2π
fτ
df
= N0B ⋅sinc(Bτ ) ⋅ cos(2π fcτ )
输出为高斯噪声，均值为 0，方差为σ 2 = N0B ，一维概率密度为
fN (n) =
1 2πσ
4π
2t
2
(1− cosπ t)
+
1 4π t
sin
π
t
⎫ ⎬
sin(2π
⎭
f0t)
2-19 设随机过程 ξ (t) 可表示成
ξ (t) = 2 cos(2π t +θ )
式中θ 是一个随机变量，且 P(θ = 0) = P(θ = π / 2) = 1/ 2 ，试求 E[ξ (t)] 以及 Rξ (0,1) 。
hl
(t
)
=
sinc2
(t
−
)e
j
π 2
1
y(t) = Re ⎡⎣ yl (t)e j2π f0t ⎤⎦
其中 yl (t) = xl (t) ⊗ hl (t)
Yl
(
f
)
=
1 2
Xl
(
f
)Hl
(
f
)
X
l
(
f
)
=
⎧⎪⎪1 ⎨
⎪⎪⎩ 0
f <1 2
f >1 2
Hl (
f
)
=
⎧(1 − ⎨⎩(1 +
f f
[解]
X (t) = A + Bt
E[ X (t)] = E[ A] + E[Bt] = 0
RX (t1,t2 ) = E [( A + Bt1)( A + Bt2 )]
= E ⎡⎣ A2 ⎤⎦ + E ⎡⎣B2 ⎤⎦ t1t2
=
1 3
(1
+
t1t2
)
5
)
=
0.566
(2) 是能量有限型信号，由于{sinc(t − kTs ), k = 0, ±1,"} 是正交规范基，所以
∫ ∑ E =
∞ −∞
x(t) 2dx
=1 ∞ 100 k =−∞
x(kTs ) 2
= 8。 100
2-11 带通信号 x(t) = sinc(t) ⋅ cos 2π f0t 通过具有脉冲响应 h(t) = sinc2 (t) ⋅ sin 2π f0t 的带通
PZ ( f + 2
f0 ) [1− sgn( f
+
f0 )]
=
⎧ ⎪ ⎨
PZ PZ
( (
f f
− +
f0 ) f0 )
⎪⎩ 0
f0 ≤ f ≤ f + B − B − f0 ≤ f ≤ − f0
− f0 ≤ f ≤ f0
PX( f ) A
-B
0
Bf
PY( f )
A
-f0-B -f0
0
f0
f0+B
2-37 定义随机过程 X(t)=A+Bt，其中 A、B 是互相独立的随机变量，并且在[-1, 1]上均匀分布。 求 mX (t) 与 RX (t1, t2 ) 。
滤波器。利用输入信号和脉冲响应的低通等效表示形式，找出输出信号的低通等效形
式，并由此确定输出信号 y(t) 。
[解]
x(t) = sinc(t) ⋅ cos 2π f0t ⇒ xˆ(t) = sinc(t) ⋅ sBiblioteka Baidun 2π f0t
xl (t) = sinc(t)
h(t) = sinc2 (t) ⋅ sin 2π f0t ⇒ hˆ(t) = −sinc2 (t) ⋅ cos 2π f0t
Y (t) = X (t)cos(2π f0t + Θ) − Xˆ (t)sin(2π f0t + Θ)
其中 f0 为常数，Θ 是[0, 2π ]上均匀分布随机变量，Θ 与 X (t) 统计独立。若已知 X (t)
的功率谱密度如图 P2-35 所示，试求Y (t) 的功率谱密度，并画出其图形。
PX( f ) A
x(t) = x(kTs )sinc[2W (t − kTs )] ，Ts
k =−∞
=
1 2W
= 0.01(s)
4
x(0.005) = ∑[sinc(0.5 − k) − sinc(0.5 + k)] k =1
= sinc(−0.5) − sinc(4.5)
=
sin(0.5π 0.5π
)
−
sin(4.5π 4.5π
)/ )/
j j
0≤ f ≤1 −1 ≤ f ≤ 0
所以
Yl (
f
)
=
⎧⎪⎪(1 − ⎨
f
)/2
j
⎪⎪⎩(1+ f ) / 2 j
0≤ f <1 2
−1≤ f ≤0 2
1
∫ yl (t) =
2 −1
Yl
(
f
)e
j
2π
ft
df
2
∫ ∫ = 1
2j
1
2 (1 − f )e j2π ftdf
+
1
0
2j
0
− 1 (1 +
而功率谱密度为
PY ( f ) = F[2Rξ (τ ) + Rξ (τ − T ) + Rξ (τ + T )] = Pξ ( f )(2 + e− j2π fT + e j2π fT ) = 2Pξ ( f )(1+ cos 2π fT )
2-35 设两个平稳过程 X (t) 和Y (t) 之间有以下关系：
2
22
=2
2-25 将一个均值为零，功率谱密度为 N0 / 2 的高斯白噪声加到一个中心频率为 fc ，带宽为 B
的理想滤波器上，如图 P2-25 所示，
|H(f)|
B
B
-fc
0
fc
f
图 P2-25
（1） 滤波器输出噪声的自相关函数；
（2）写出输出噪声的一维概率密度函数；
[解] 输出噪声功率谱为
⎧ N0
[解]
E[ξ (t)] = P(θ = 0) ⋅ 2 cos(2π t) + P(θ = π ) ⋅ 2 cos(2π t + π )
2
2
= cos(2π t) − sin(2π t)
2
Rξ (0,1) = E[2 cosθ ⋅ 2 cos(2π +θ )]
= P(θ = 0) ⋅ 4 + P(θ = π ) ⋅ 4 cos π cos 5π
-B
0
Bf
图 P2-35
[解] Y (t) = ⎡⎣ X (t)cosθ − Xˆ (t)sinθ ⎤⎦ cos 2π f0t
− ⎡⎣ X (t)sinθ + Xˆ (t)cosθ ⎤⎦ sin 2π f0t
记
Z (t) = X (t)cosθ − Xˆ (t)sinθ
Zˆ (t) = Xˆ (t) cosθ − Xˆˆ (t)sinθ = X (t)sinθ + Xˆ (t) cosθ
所以 Y (t) = Z (t) cos 2π f0t − Zˆ (t)sin 2π f0t
RY (τ ) = E [Y (t)Y (t +τ )]
= RZ (τ ) cos 2π f0τ − RˆZ (τ ) sin 2π f0τ
RZ (τ ) = RX (τ ) cos2 θ + RX (τ )sin2 θ −E ⎡⎣ X (t) Xˆ (t + τ )⎤⎦ ⋅ cosθ ⋅ sinθ − E ⎡⎣ Xˆ (t) X (t + τ )⎤⎦ ⋅ cosθ ⋅ sinθ