通信原理第2章 确知信号

第2章确知信号思考题2-1 何谓确知信号？答：确知信号是指其取值在任何时间都是确定和可预知的信号，通常可以用数学公式表示它在任何时间的取值。

例如，振幅、频率和相位都是确定的一段正弦波，它就是一个确知信号。

2-2 试分别说明能量信号和功率信号的特性。

答：（1）能量信号的能量为一个有限正值，但其平均功率等于零。

（2）功率信号的能量为无穷大，其平均功率为一个有限正值。

2-3 试用语言（文字）描述单位冲激函数的定义。

答：单位冲击函数是指宽度无穷小，高度为无穷大，积分面积为1的脉冲。

其仅有理论上的意义，是不可能物理实现的一种信号。

2-4 试画出单位阶跃函数的曲线。

答：如图2-1所示。

图2-12-5 试述信号的四种频率特性分别适用于何种信号。

答：（1）功率信号的频谱适用于周期性的功率信号。

（2）能量信号的频谱密度适用于能量信号。

（3）能量信号的能量谱密度适用于能量信号。

（4）功率信号的功率谱密度适用于功率信号。

2-6 频谱密度S（f）和频谱C（jnω0）的量纲分别是什么？答：频谱密度的量纲是伏特/赫兹（V/Hz）；频谱的量纲是伏特（V）。

2-7 自相关函数有哪些性质？答：自相关函数的性质：（1）自相关函数是偶函数；（2）与信号的能谱密度函数或功率谱密度函数是傅立叶变换对的关系；（3）当τ＝0时，能量信号的自相关函数R（0）等于信号的能量，功率信号的自相关函数R（0）等于信号的平均功率。

2-8 冲激响应的定义是什么？冲激响应的傅里叶变换等于什么？答：（1）冲激响应的定义：输入为单位冲激函数时系统的零状态响应，一般记作h（t）。

（2）冲激响应的傅里叶变换等于系统的频率响应，即H（f）。

习题2-1 试判断下列信号是周期信号还是非周期信号，能量信号还是功率信号：（1）s1（t）＝e－t u（t）（2）s2（t）＝sin（6πt）＋2cos（10πt）（3）s3（t）＝e－2t解：若0＜E＜∞，而功率P→0，则为能量信号；若能量E→0，而0＜P＜∞，则为功率信号。

令T 等于信号的周期T0 ，于是平均功率为
T

T / 2
T / 2
s ( t ) dt
2
1
T0


T0 / 2
T0 / 2
s ( t ) dt
2
(2.2-45)
由周期函数的巴塞伐尔(Parseval)定理:
P 1 T0

T0 / 2
T0 / 2
s ( t ) dt
2

n
T0 / 2 T0 / 2
s (t )e
dt
1 T

T0 / 2
T0 / 2
s ( t )[cos( 2 nf 0 t ) j sin( 2 nf 0 t )] dt 1 T
T

T0 / 2
s ( t ) cos( 2 nf 0 t ) dt j

T0 / 2
T0 / 2
T0 / 2
j n
s ( t ) dt
Cn Cn e
－双边谱，复振幅 |Cn| －振幅， n－相位
(2.2 － 4)
第2章 确知信号

周期性功率信号频谱的性质

对于物理可实现的实信号，由式(2.2－1)有
C n
1 T0

T0 / 2
T0 / 2
s (t )e
j 2 nf 0 t
2



S ( f ) df
2
(2.2-37)
将|S(f)|2定义为能量谱密度。 式(2.2-37)可以改写为
E



G ( f ) df
(2.2-38)

其自相关函数为
2-7 已知一信号 s(t)的自相关函数为
(1)试求其功率谱密度 Ps(f)和功率 P； (2)试画出 RS(τ)和 Pn(f)的曲线。 解：（1）功率谱密度与自相关函数互为傅里叶变换，故
功率
。
（2）自相关函数和功率谱密度随频率的变化曲线如图 2-2 所示：
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又因
PБайду номын сангаас
1 T
T /
T
2 /2
s
2
(
t
)dt
1 ，故
s(t)是功率信号。
该信号周期为 T0 1，基波频率为 f0 1，则其傅里叶级数
即
Cn 1 , n 1
Cn 0 , others
故信号的功率谱密度为
P( f )
Cn 2 ( f nf
) ( f f0 )( f f0 ) 。
n
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图 2-2
2-8 已知一信号 s(t)的自相关函数是以 2 为周期的周期性函数：
试求 s(t)的功率谱密度 Pn(f)并画出其曲线。 解：周期性功率信号的功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，则
功率谱密度曲线如图 2-3 所示：
图 2-3
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2-5 试求出 s(t)=Acoswt 的自相关函数，并从其自相关函数求出其功率。 解：（1）根据题意可知，s(t)为周期性功率信号，其自相关函数定义为
其中T0 2 / w 。
（2）由自相关函数的性质可知，平均功率为
。
功率谱密度为
P( f ) R( )e j2 f d A2 cos( 2 )e j2 f d

t
当 k 时，振幅 ， 波形的零点间隔 0， 故有 k
( t ) lim
k
t

Sa ( kt )
t
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函数的性质
对f(t)的抽样：
f (t 0 )



f ( t ) ( t t 0 ) dt
函数是偶函数：
(t) ( t)
函数是单位阶跃函数的导数：

T 2
22
2.2 确知信号的性质

uncorrelated
互相关函数的性质 若对所有的 τ，R12(τ) = 0，表示 s1(t) 与 s2(t) 互不 相关； 与自相关函数不同，一般情况下，R12(τ) R21(τ)； 不难证明： R12(τ) = R21(–τ)； R12(0) = R21(0)； R12(0) 或 R21(0) 表示 s1(t) 与 s2(t) 在无时差时的 相关性，它的大小反映 s1(t) 与 s2(t) 的相似程度。

T 2
T 2
s(t ) s(t )dt

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2.2 确知信号的性质

origin
自相关函数的性质 自相关函数为偶函数，即 R(τ) = R(–τ) 自相关函数在原点τ = 0 处取得最大值，即 R(0) ≥ | R(τ)| 对于能量信号，R(0) 表示信号的能量，即
【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度
解：设一个余弦波的表示式为f (t) = cos0t，则其频谱密度 F()按式(2.2-10)计算，可以写为
F ( ) lim



/2
/2
cos 0 te