13.4.最短路径(2)—造桥选址问题电子教案

13. 4课题学习最短路径问题通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短.重点应用所学知识解决最短路径问题.难点选择合理的方法解决问题.一、创设情境多媒体展示：如图，一个圆柱的底面周长为20 cm，高AB为4 cm，BC是底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路径.这是一个立体图形，要求蚂蚁爬行的最短路径，就是要把圆柱的侧面展开，利用“两点之间，线段最短”求出最短路径.那么怎样求平面图形中的最短路径问题呢？二、自主探究探究一：最短路径问题的概念1.多媒体出示图①和图②，提出问题：(1)图①中从点A走到点B哪条路最短？(2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪条线最短？2.教师总结：“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称之为最短路径问题.探究二：河边饮马问题多媒体出示问题1：牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人从河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？提出问题：如果点A和点B分别位于直线的两侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？思考：如果点A和点B位于直线的同侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A 和点B的距离的和最短？教师引导学生讨论，明确找点的方法.让学生对刚才的方法通过逻辑推理的方法加以证明.教师巡视指导学生的做题情况，有针对性地进行点拨.探究三：造桥选址问题多媒体出示问题2.(教材第86页)提出问题：(1)根据问题1的探讨你对这道题有什么思路和想法？(2)这个问题有什么不同？(3)要保证路径AMNB最短，应该怎样选址？学生对这个三个问题展开讨论，得出结论：要保证AMNB最短，就是要保证AM＋MN ＋NB最小.尝试选址作出图形.多媒体展示教材图13.4－7，13.4－8，13.4－9，引导学生分析、观察，让学生根据刚才的分析，完成证明过程.根据问题1和问题2，你有什么启示？三、知识拓展已知长方体的长为2 cm、宽为1 cm、高为4 cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？[让学生讨论有几种爬行的方法，计算出每种方案中的路程，再进行比较]四、归纳总结1.本节课你学到了哪些知识？2.怎样解决最短路径问题？本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题学习，让学生经历将实际问题抽象为数学问题的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小的问题转化为“两点之间，线段最短”问题.。

动 设计意图题，并观 察图片， 获 得 感 活动 1：思考画图、得出数学问题。

追问 2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， “13.4 课题学习 最短路径问题教学目标1.目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问 题中的作用；感悟转化思想.2.能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题教学过程教学内容与教师活动学生活一、创设情景 引入课题师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段 学 生 思 最短”、 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线 考 教 师 展 示 问 段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活 中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探 究数学史中著名的“将军饮马问题”．（板书）课题性认识.二、自主探究 合作交流 建构新知 追问 1：观察思考，抽象为数学问题这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 动手画 将 A ，B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直 线．直线观察口答B并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识： 动手连。

Al从生活中问 题出发，唤 起学生的学 习兴趣及探 索欲望.为学生提供 参与数学活 动的生活情 境，培养学 生的把生活 问题转化为 数学问题的 能力.经历观察 -B （ A上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和 由.C 。

A（1）从 A 地出发，到河边 l 饮马，然后到 B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与 A ， 连 接起来的两条线段的长度之和，就是从 A 地 到饮马地点，再回到 B 地的路程之和； 3）现在的问题是怎 样找出使两条线段长度之和为最短的直线 l 上的点．设 C 为 直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点 C 在 l 的 什么位置时，AC 与 CB 的和最小（如图）．线观察口答 画图 - 说理 等活动，感 受几何的研 究方法，培 养学生的逻 辑思考能 力.独立思 考合作交 流强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”B汇报交活动 2：尝试解决数学问题 流成果， 问题 2 ： 如图，点 A ，B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线 书写理l 最小？追问 1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条达到轴对称 知识的学以 致用注意问题解 决方法的小 结：抓对称 性来解决件的点 B ′吗？B ′思 考 感 悟活动 1 中 的 将 军 饮 马 问题，把 刚 学 过 的 方 法 及时进行学 法指导，注 重方法规律 的提炼总 结.B问题 3 如图，点 A ，B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和 最小？l经 验 迁 移过来学 生 独 立完成，集 体 订 学以致用， 正 及时巩固BA′由轴对称的性质知，AC师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相 补充如果学生有困难，教师可作如下提示 作法：（1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B ′；（2）连接 AB ′，与直线 l 相交于点 C ，则点 C 即为所求． 如图所示：B问题 3 你能用所学的知识证明 AC +BC 最短吗？教师展示：证明：如图，在直线 l 上任取一点 C ′（与点 C 不重合），连接 AC ′，BC ′，B ′C ′．BBC =B ′C ，BC ′=B ′C ′． ∴ AC +BC l= AC +B′C = AB′， AC′+BC′= AC′+B′C′．学 生 独立完成， 集 体 订 正注意问题解 决方法的小 结：抓轴对 称来解决经历观察 - 画图 - 说理 等活动，感 受几何的研 究方法，培 养学生的逻 辑思考能 力.ACCl如何在 BC 上找到一点 R ，使 PR 与 QR 河岸和最小”． Q AB C山 P互 相 交流 解 题 提炼思想方 经验 法：轴对称，线段和最短方法提炼：B将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”. 问题 4 练习 如图，一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的 Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC 上，再返回 P 处，请画出旅游船的最短路径．B基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接 PQ ， 线段 PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一 条直线 BC ，这样问题就转化为“点 P ，Q 在直线 BC 的同侧，的 问题5 造桥选址问题 如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN.乔早在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）大桥独 立 完成，交流 体会转化思 经验 想，观 察 思考，动手 体验轴对称 画图，用 知识的应用 轴 对 称 知 识 进 行解决教师：上述方法都能做到使Ｎ1、2两种方法改变了.怎样调整呢？A或B分别向下或BAＭA思维分析：1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？B思维点拨：改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？（估计有以下方法）1、把A平移到岸边.2、把B平移到岸边.3、把桥平移到和A相连.4、把桥平移到和B相连.AM+MN+BN不变呢？请检验.把上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?问题解决：如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN如图所示：A各抒己见动手体验合作与交流动手作图交流体体验转化思会想M容与教师活动NＮ１方法提炼：将最短路径问题转化为“线段和最小问题”A1教学内 Ｍ１三、巩固训练1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题， 只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点 A ，B 分别是直线 l 异侧的两个点，在 l 上找一个点 C ，使 CA ＋CB 最短，这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点．学生活动设计意图(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题， 只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个 点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点 A ，B 分别是直线 l 同侧的两个点，在 l 上找一个 点 C ，使 CA ＋CB 最短，这时先作点 B 关于直线 l 的对称点 B ′，则点 C 是直线 l 与 AB ′的交点．巩固所学知学 生 独 识，增强学 立 思 考 生应用知识 解 决 问 的能力，渗 题 透转化思想.2.如图，A 和 B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一 座桥 MN 和 PQ.桥分别建在何处才能使从 A 到 B 的路径最短？ （假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．桥MN和PQ独立思提炼方法，在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线考，合为课本例题段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧作交奠定基础.先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都流.平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处.四、反思小结布置作业自由发总结回顾学小结反思言,相习内容，帮（1）本节课研究问题的基本过程是什么？互借助学生归纳（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？鉴.自反思所学知解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？我评识及思想方你还有哪些收获？价.法.作业布置、课后延伸关注学生的必做题：课本P93-15题；选做题：生活中，你发现那些需要个体差异.用到本课知识解决的最短路径问题板书设计：13.4最短路径问题两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．方法提炼：将最短路径问题转化为“线段和最小问题”教学反思：。

《最短路径问题》教学设计横峰县青板中学杨志强一、教材分析1、地位作用新课程改革以来，教学理念发生很大转变。

要求数学更贴近于生活，能为生产与生活服务，于是出现了许多省时、省力的最优方案的数学问题。

最短路径问题同样如此，《最短路径问题》是八年级数学上册第13.4节内容，这类问题通过已学过的轴对称和平移知识进行转化，再运用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”的知识加以解决。

既能对已学知识进行拓展，又能体现数学在生活中的应用性。

2、学情分析学生已学习过一些关于“两点之间，线段最短”，“垂线段最短”以及“三角形的两边之和大于第三边”等知识。

他们对于几何主题探究都十分感兴趣，在数学问题的提出和解决上有一定的方法，也愿意投入学习精力，但分析推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，不够深入和全面，需要教师在课堂教学中进一步加强和引导。

二、教学目标1、知识目标：能利用轴对称变换和平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。

2、能力目标：在将实际问题抽象成几何图形的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。

3、情感目标：通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。

三、教学重、难点教学重点: 将实际问题转化成数学问题，运用轴对称变换和平移变换解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。

教学难点: 探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。

四、教学准备多媒体课件，三角板，圆规，作图纸。

五、教学过程1、创设情境，揭示课题。

课件出示草原美丽的图片，将贯穿主线的人物“牧马人”引出，通过他在劳动中遇到的路径问题向同学们进行求助，从而揭示课题。

（板书：最短路径问题）【设计意图】通过实际的生活情境，将学生引入新课的学习中，激发学生的好奇心和解决问题的意愿，从而调动学生的学习兴趣。

2、复习旧知，进行铺垫问题一如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后骑马趟过河到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？（1）学生思考后在纸上作图确认饮水点。

13.4 将军饮马——最短路径问题教学设计湖北省宜昌市金东方初中王婷婷一、[教学目标]能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感.[教学重点]利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.[教学难点]如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.二、学生学情诊断八年级的学生直接经验少，理解能力差，抽象思维水平较低，处于直觉经验型思维向逻辑思维的过渡阶段，辩证思维还只是处在萌芽和初始的状态上.最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.解答：“当点A、B在直线的同侧时，如何在上找点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线异侧的两点，与上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解和操作方面的困难.在证明“最短”时，需要在直线上任取一点，证明所连线段和大于或等于所求作的线段和.这种思路和方法，一些学生还想不到.在解答“使处在直线两侧的两线段和最小”的问题，需要把它们平移拼接在一起，一些学生想不到.教学时，教师可以让学生首先思考“直线的异侧的两点，与上的点的线段和最小”，给予学生启发，在证明“最短”时，点拨学生要另选一个量，通过与求证的那个量进行比较来证明，同时让学生体会“任意”的作用，因此确定本节课的教学难点为：三、教学策略分析根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上采用“引导——探究——发现——证明——归纳总结”的教学模式，鼓励引导学生、开动脑筋、大胆尝试，在探究活动中培养学生创新思维与想象能力.教师的教法：突出解题方法的引导与启发，注重思维习惯的培养，为学生搭建参与和交流的平台.通过对“将军饮马问题”而改编与设计，增强数学课堂趣味性,相同背景，不同问题，由浅入深、层层递进，有利于学生分析与解决问题，同时利用现代的信息技术，直观地展示图形的变化过程，提高学生学习兴趣与激情.学生的学法：突出探究与发现，思考与归纳提升，在动手探究、自主思考、互动交流中，获取知识与能力.四、教学基本流程探索新知——运用新知——拓展新知——提炼新知——课外思考五、教学过程设计（一）探索新知1、建立模型问题1 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的指挥部A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到军营B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？追问1，这是一个实际问题，你打算首先做什么呢？师生活动：将A、B两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线追问2，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学的问题吗？师生活动：学生交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识：（1）行走的路线：从A地出发，到河边饮马，然后到B地；（2）路线全程最短转化为两条线段和最短；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线上的点.设C为直线l 上的一个动点，上面的问题转化为：当点C在的什么位置时，AC与CB的和最小［设计意图］从数学史上久负盛名的“将军饮马问题”引入，增加学生们的数学底蕴，提高其人文思想.同时引导学生分析题意，画出图形.将实际问题转化为数学问题更有利于分析问题、解决问题.2、解决问题问题2如图点A、B在直线的同侧，点C位直线上的一个动点，当点C在的什么位置时，AC与CB的和最小？师生活动：让学生独立思考、画图分析，并展示如果学生有困难，教师作如下提示：（1）如图，如果军营B地在河对岸，点C在的什么位置时，AC与CB的和最小？由此受到什么启发呢？（2）如图，如何将点B“移”到的另一侧B´处，且满足直线上的任意一点C，都保持CB与CB´的长度相等？学生在老师的启发引导下，完成作图.［设计意图］先通过学生对本题的思考尝试，并展示，师生共同纠错，提高认识与辩证思想，再通过老师的引导启发明白解决这个问题应该运用轴对称的性质，将两点在直线同侧的问题，转化为两点在直线异测的问题，提高学生的空间想象能力与逻辑思维能力，让学生在思考和解决问题的过程中，提高甄别是非的能力，感悟转化的数学思想.3、证明“最短”问题3，为什么这种作法是正确的呢？你能用所学的知识证明AC+CB最短吗？师生活动：分组讨论，教师引导点拨，结合多媒体的演示，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线上任取一点Cˊ.连接AC´、BC´、B´C´.由轴对称的性质可知：BC=B´C BC´.=B´C´∴AC+BC=AC+B´C=AB´AC´+BC´=AC´+B´C´当C´与C不重合时A B´＜AC´+C´B´∴AC+BC＜AC´+C´B当C´与C重合时AC+BC=AC´+C´B总之，AC+B C≤AC´+C´B即AC+BC最短［设计意图］利用现代信息技术，通过移动点C´的位置，可发现：当C´与C不重合时，AC+BC＜AC´+C´B，当C´与C重合时，AC+BC=AC´+C´B.让学生很容易知道AC+BC最短，消除了学生的疑虑，发挥了多媒体的作用，让学生进一步体会作法的正确性，提高了逻辑思维能力.4、小结新知回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程，借助什么解决问题的？体现了什么数学思想？师生活动：学生回答，并相互补充.［设计意图］让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，明确解题的方法与策略，为后面进一步的学习探究做准备.（二）运用新知如图，如果将军从指挥部A地出发，先到河边a某一处饮马，再到草地边b某一处牧马，然后来到军营B地，请画出最短路径.师生活动：分组讨论，教师点拨，点学生上台操作演示，画出最短路径.［设计意图］对前面所学的解题方法与思路得以巩固，让学生形成技能，进一步体会感悟数学中的转化思想，点学生上台操作演示，提高他们的学生兴趣与实践能力，体会成功的喜悦，激发他们进一步探究问题的欲望.（三）拓展新知有一天，将军突发奇想：如果从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程，再来到军营B地，到河边什么地方饮马可使所走的路线全程最短？师生活动：1、老师首先解释行走一定的路程的含义，引导学生将实际问题抽象为数学问题，再提出如下问题：（1）要使所走的路线全程最短，实际上是使几条线段之和最短？（2）怎样将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.2、分组讨论，师生共同分析.3、完成作图，体会作图的步骤与分析问题的思路的联系与区别.［设计意图］本题在“将军饮马问题”的背景下进行改编，有造桥选址问题的影子，既增强了课堂教学的趣味性，又完成了教学任务，可谓一举两得..教学由问题引领，老师引导，学生小组合作讨论交流的方式，充分发挥现代信息技术的作用完成分析与解答的过程，让学生学得轻松与愉悦，培养了学生的应用意识、创新意识、综合与分析能力，在解决问题的过程中，体会作图题的解题方法与策略.让学生的能力得到进一步锻炼与提高.（四）提炼新知师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1、本节课研究问题的过程是什么？2、解决上述问题运用了什么知识？3、在解决问题的过程运用了什么方法？4、运用上述方法的目的是什么？体现了什么样的数学思想？［设计意图］引导学生把握研究问题的策略、思路、方法的同时，并从运用的知识、方法、思想方面进行归纳总结，让学生对本节课有一个更清晰、更系统的认识，体会轴对称、平移在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.（五）课外思考将军又提出一个问题：如图，如果将军从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程，再来到草地边b某一处牧马，最后来到军营B地，到河边什么地方饮马、草地边何处牧马可使所走的路线全程最短呢？［设计意图］通过一系列的“将军饮马问题”的变式设计，由浅入深，环环相扣，不但学习将军这种喜欢动脑，敢于提问，勇于探索的求学精神，同时培养学生的问题意识，通过最后这一问题的设计，让学有余力的学生解答，它不仅能巩固知识，形成技能，同时激发了学生的求知欲望与勇于探究的精神.同时，也是由课内向课外的一种延伸，预示着问题并没有终结，培养学生具有终身学习的意识与创新精神！13.4.最短路径问题仙桃市第九中学王月娥一、内容和内容解析1．内容利用轴对称、平移研究某些最短路径问题2．内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马问题”“造桥选址”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称﹑平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称﹑平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.二、目标和目标解析1.目标：（1）能利用轴对称﹑平移变化解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，（2）在探索最短路径的过程中，感悟﹑应用转化思想．2. 目标解析达成目标（1）的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称、平移变化，将不共线的点﹑线转化到一条直线上，从而将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；并能通过逻辑推理证明所求距离最短．达成目标（2）的标志是：在探索最短路径的过程中，能借助轴对称、平移变化，将不共线的点﹑线转化到一条直线上，体会轴对称、平移的“桥梁”作用，感悟转化思想．三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路．教学时．教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”．在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生想不到，不会用．教师可作适时的点拨，让学生体会“任意”的作用.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：如何利用轴对称、平移变化将最短路径问题转化为线段和最小问题．四、教学支持条件分析根据本节内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，化静为动，以《几何画板》为平台，通过动态的演示，对线段长度的度量，更有助于学生的探究发现.活动一、抽象问题你能从这个实际问题中抽象出数学模型吗？抽象出数学图形及数学问题.//b,点A 和点B是两条平行线a的两点，当点Ｎ在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？教师结合几何画板演示让学生观察：随着点Ｎ在直线b上的位置的改变，观察MN、NB的长度，你有什么发现？的位置即为所求，附：教学设计说明一、教学内容的地位及作用《最短路径问题》是人教版八年级上册第十三章“轴对称”中一节的内容，为本单元的课题学习，在学习该内容前，学生已经学习了轴对称、轴对称图形，会画一些简单的轴对称图形，对“最短路径问题”的探究，让学生在前几节课上获得的知识和经验能够得到很好地应用，有利于这些知识的系统化和网络化。

《课题学习：最短路径问题》教学设计一、课程标准解读及地位作用（1）课程标准解读：《课题学习：最短路径问题》属于综合与实践这一部分，这节课就是综合运用所学的数学思想、方法、知识、技能解决一些生活和社会中的问题，以实际生活中的问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动，是培养学生应用意识、创新意识、过程经验很重要的载体，通过课题学习能够把知识系统化，解决一些实际问题。

针对问题情境，学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深学生对所学数学内容的理解。

这种类型的课程应该“少而精”的原则，保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以将课内外结合.（2）地位及作用：《课题学习：最短路径问题》位于人教版八年级上第十三章《轴对称》，为让学生能灵活的运用两点之间线段最短、合理使用轴对称、平移等解决最短路径问题而设置的一节课。

本节课是在学习轴对称、等腰三角形的基础上，引导学生探究如何利用线段公理解决最短路径问题。

它既是轴对称、平移、等腰三角形知识运用的延续，又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用．二、教学内容和内容解析1、内容：利用轴对称研究某些最短路径问题．2、内容解析：最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等进行变换进行研究.这节课我以数学史中的一个经典问题---将军饮马问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小值问题，再利用轴对称将线段和最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.三、目标和目标解析1、目标：能利用轴对称能利用轴对称和平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．2、目标解析：达成目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，经历将实际问题抽象为数学的线段和最小值问题的过程；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称“桥梁“的作用，感悟转化思想．四、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。

13.4课题学习最短路径问题（第二课时）13.4.2 造桥选址问题一、教学目标：（一）学习目标1.熟练应用轴对称变换知识，提高解决实际问题的能力；2.学会利用平移变换知识解决造桥选址的最短路径问题；3.体会平移变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（二）教学重点教学重点：利用平移将“造桥选址”的实际问题转化为“两点之间，线段最短”问题（三）教学难点教学难点：如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题二、教学设计（一）课前设计1.预习任务⑴平移不改变图形的和;⑵三角形三边的数量关系：三角形任意两边的差第三边;⑶如图，直线AB，CD且AB∥CD，在直线AB上任取不同两点P、Q，过P、Q 分别作CD的垂线，垂足分为M、N，则PM与QN的大小关系为（）A．PM＞QN B．PM＝QN C．PM＜QN D．不能确定答案：⑴形状，大小；⑵小于；⑶B2.预习自测⑴直线AB上有一点P，当点P在时，P A+PB有最小值，最小值为AB 的值；⑵直线AB上有一点P，当点P在时，PB-P A等于AB的值；⑶直线AB上有一点P，当点P在时，P A-PB等于AB的值；【知识点】线段的和差【数学思想】分类讨论，数形结合【思路点拨】直线AB上有一点P，此时点P与线段AB的位置关系有两种：①如图1，点在线段AB上；②如图2和图3，点在线段BA的延长线上或点在直线AB的延长线上.【解题过程】⑴当点P在线段AB上时，如图1，P A+PB=AB即P A+PB最小值为AB的值；⑵当点P在线段BA的延长线上时，如图2，PB-P A=AB；⑶当点P在线段AB的延长线上时，如图3，P A - PB =AB；【答案】⑴线段AB上；⑵线段BA的延长线上；⑶线段AB的延长线上.⑷如图，点A、B在直线l的同侧，在直线l上能否找到一点P，使得｜PB－P A｜的值最大？【知识点】两点之间线段最短，三角形两边的差小于第三边【思路点拨】当点P、点A、点B不共线时，根据“三角形任意两边的差小于第三边”，则｜PB－P A｜＜AB；当点P与A、B共线，点P在线段BA的延长线上时，即点P为直线AB与直线l的交点，则｜PB－P A｜=AB.【解题过程】⑴当点P在直线l上且点P、点A、点B不共线时｜PB－P A｜＜AB；⑵当点P在线段BA的延长线与直线l的交点时，如图，PB-P A=AB，即｜PB－P A｜=AB；【答案】如图，连接BA并延长交直线l 于P，此时｜PB－P A｜的值最大. （二）课堂设计1.知识回顾⑴在平面内，一个图形沿一定方向、移动一定的距离，这样的图形变换称为平移变换（简称平移）. 平移不改变图形的形状和大小.⑵三角形三边的数量关系：三角形两边的差小于第三边2.问题探究探究一运用轴对称解决距离之差最大问题●活动①回顾旧知，引入新知师：上节课我们认识了精通数学、物理学的学者海伦，解决了数学史中的经典问题——“将军饮马问题”，但善于观察与思考的海伦在解决“两点（直线同侧）一线”的最短路径问题时他从另一角度发现了“最大值”的情况：●活动②整合旧知，探究新知例1. 如图，A、B两点在直线l的异侧，在直线l上求作一点C，使｜AC－BC｜的值最大．【知识点】轴对称变换，三角形三边的关系【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.此题的突破点是作点A(或点B)关于直线l的对称点A′(或B′)，利用三角形任意两边之差小于第三边，再作直线A′B(AB′)与直线l交点C.【解题过程】如图1所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的延长线交l于点C，则点C即为所求．●活动③类比建模，证明新知师：回忆我们是怎么利用轴对称的知识证明“两点（直线同侧）一线型”时AC +BC 最小的吗？试类比证明“｜AC－BC｜最大”的作法是否正确性？理由：在直线l上任找一点C ′ (异于点C )，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.又在△A′BC′中，C′A－C′B ＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.练习点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系，如图所示.若P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，请在图中画出点P与点Q.【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边，三角形任意两边的和大于第三边【思路点拨】当点P与A、B共线时，即在线段AB的延长线上，点P为直线AB 与x轴的交点，则此时P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，即｜P A－PB｜=AB. 将点A、B看成y轴同侧有两点：在y轴上求一点Q，使得QA+QB最小【解题过程】⑴延长线段AB，AB与x轴交于点P，则此时P是x轴上使得|PA －PB|的值最大的点，即｜P A－PB｜=AB；⑵作点A关于x轴的对称点A′，A′B 的连线交y轴于点Q，则点Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点.【答案】如图，点P与点Q即为所求：探究二利用平移解决造桥选址问题★▲●活动①结合实际，难点分解师：常说“遇山开路，遇水搭桥”，生活中的建桥问题与我们所学习的轴对称有什么关系呢？如图，在笔直河岸CD上的点A处需建一座桥，连接河岸EF，且CD∥EF.显然当桥AB垂直于河岸时，所建的桥长最短.●活动②生活中的实际问题例2. 如图，A、B两地位于一条河的两岸，现需要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）【知识点】平移知识，两点之间线段最短【思路点拨】需将实际问题抽象成数学问题：从点A到点B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．如图1，此时两线段AM、BN应在同一平行方向上，平移MN到A A′，则A A′=MN，AM+NB=A′N+NB，这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？如图2，连接A′，B两点的线中，线段A′B最短，因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径A→M→N→B是最短的.图1【解题过程】⑴如图2，平移MN到AA′（或者过点A作A A′垂直于河岸），且使AA′等于河宽．⑵连接BA′与河岸的一边b交于点N.⑶过点N作河岸的垂线交另一条河岸a于点M.【答案】如图所示，则MN为所建的桥的位置．图2●活动③几何证明上述作图为什么是最短的？请你想想.先让学生小组合作完成，进行展示、分享.证明：由平移的性质，得MN∥AA′，且MN= AA′，AM=A′N，AM∥A′N，所以A、B两地的距离:AM+MN+BN= AA′+ A′N+ BN = AA′+ A′B.如图2，不妨在直线b上另外任意取一点N′，若桥的位置建在N′M′处，过点N′作N′M ′⊥a，垂足为M ′，连接AM ′，A′N ′，N ′B.由平行知：AM′=A′N′，AA′= N′M′，则建桥后AB 两地的距离为：AM′+M′N′+N′B=A′N′+AA′+N′B=AA′+A′N′+N′B. 在△A′N′B中，∵A′N′+N′B＞A′B，∴AA′+A′N′+N′B＞AA′+A′B，即AM′+M′N′+N′B＞AM+MN+BN.所以桥建在MN处，AB两地的路程最短.【设计意图】利用平移等变换把问题转化为容易解决的已知问题，从而做出最短路径的选择.练习如图1，江岸两侧有A、B两个城市，为方便人们从A城经过一条大江到B城的出行，今欲在江上建一座与两岸垂直的大桥，且笔直的江岸互相平行.应如何选择建桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？【知识点】平移的知识，两点之间线段最短【思路点拨】从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．【解题过程】(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽；(2)连接BC与河岸的一边交于点N；(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.【答案】如图2所示，则MN为所建的桥的位置．3. 课堂总结知识梳理本堂课主要知识为两个最值问题：（1）利用轴对称知识解决“线段距离之差最大”问题；（2）利用平移、两点间线段最短解决“造桥选址”问题．重难点归纳解决线段最值问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．⑴“距离之差最大”问题的两种模型：①如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大；②如果两点在一条直线的异侧时，先作其中一点关于直线的对称点，转化为①即可.通常求最大值或最小值的情况，常取其中一个点的对称点来解决，而用三角形三边的关系来推证说明其作法的正确性．⑵“造桥选址”问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．（三）课后作业基础型自主突破1.如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（）A．F和C B．F和E C．D和C D．D和E 【知识点】最短路径问题．【思路点拨】图中隐含了两个“两点（同侧）一线型”的模型.【解题过程】由轴对称的最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C．故选A．【答案】A2. 如图所示，一面镜子MN竖直悬挂在墙壁上，人眼O的位置与镜子MN上沿M处于同一水平线．有四个物体A、B、C、D放在镜子前面，人眼能从镜子看见的物体有（）A.点A、B、CB. 点A、B、DC. 点B、C、DD. 点A、B、C、D 【知识点】轴对称的知识【思路点拨】物体在镜子里面所成的像就是数学问题中的物体关于镜面的对称点，人眼从镜子里所能看见的物体是它关于镜面的对称点，必须在眼的视线范围内．如下图示，分别作A、B、C、D四点关于直线MN的对称点A′、B′、C′、D′．由于C′不在∠MON内部，故人能从镜子里看见A、B、D三个物体．【解题过程】如下图示，分别作A、B、C、D四点关于直线MN的对称点A′、B′、C′、D′．由于C′不在∠MON内部，故人能从镜子里看见A、B、D三个物体．【答案】B3．如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、三角形的外角以及三角形内角和、四边形内角和【解题过程】∵在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD=130°延长AB到P，使BP=AB，延长AD到Q，使DQ=AD，则点A关于BC的对称点为点P，关于CD的对称点为点Q，连接PQ与BC相交于点E，与CD相交于点F，如图，PQ的长度即为△AEF的周长最小值；又∵∠BAD=130°，∴在△APQ 中，∠P＋∠Q＝180°－130°＝50°.∵∠AEF＝∠P＋∠P AE＝2∠P，∠AFE＝∠Q ＋∠QAF＝2∠Q，∴∠AEF＋∠AFE＝2(∠P＋∠Q)＝2×50°＝100°，∴∠EAF =180°－100°=80°【思路点拨】①补全图形，转化为“一点两线型”求三角形周长最小的问题；②根据三角形的内角和等于180°求出∠P＋∠Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决．【答案】D4.如图，村庄A，B在公路l的同侧，在公路l上有一个公交车站点P，此点P使得｜PB－PA｜值最大，试作出公交车站P的位置.【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边【思路点拨】当点P、点A、点B不共线时，根据“三角形任意两边的差小于第三边”，则｜PB－P A｜＜AB；当点P与A、B共线时，即在线段BA的延长线上，点P为直线AB与直线l的交点，则｜PB－P A｜=AB.【解题过程】⑴当点P在直线l上且点P、点A、点B不共线时｜PB－P A｜＜AB；⑵当点P在线段BA的延长线与直线l的交点时，如图，PB-P A=AB，即｜PB－P A｜=AB；【答案】如图，点P为所求公交车站的位置.5. 如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点，F是AC边上的中点，当EF+EC取得最小值时，求∠ECF的度数.【知识点】等腰三角形的“三线合一”，轴对称知识，两点之间线段最短【思路点拨】拆分出点F、点C和直线AD，构成“两点一线型”的基本模型是解决本题的关键，连接CF′（或者连接BF）与直线AD交于点E，此时EF+EC取得最小值为CF′（或者BF），但题目要求∠ECF的度数，则只能连接CF′，根据等腰三角形“三线合一”的性质求解.【解题过程】取AB得中点F′，则等边三角形AC边的中点F与点F′关于直线AD对称；连接CF′，与直线AD相交于点E，此时EF+EC取得最小值.因为CF′是等边△ABC的边AB上的中线，所以CF′平分∠ACB，则∠ECF的度数是30°.作图解题之前应该忽略图中的点E，如图1，又由“两点一线型”的最短距离的模型得到图2；【答案】∠ECF的度数为30°6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD是∠BAC的平分线．若P、Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值.【知识点】轴对称的知识、垂线段最短、角平分线的性质【数学思想】数形结合，转化【解题过程】如图，过点C作CM⊥AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC 于点Q，∵AD是∠BAC的平分线，∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，最小值为CM的长度. ∵AC=6，BC=8，AB=10，S△ABC =12AB•CM=12AC•BC，∴CM=AC BCAB⋅=6810⨯=245，即PC+PQ的最小值为245．【思路点拨】因为∠BAC的对称轴是∠BAC的平分线所在的直线AD，所以点Q 的对称点在射线AB上.若点Q关于直线AD的对称点为点M，PC+PQ =PC+PM，又当PC、PM共线时，PC+PM的最小值为线段CM的最小值，根据垂线段最短，所以当CM⊥AB时线段CM的值最小.过点C作CM⊥AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，因为AD是∠BAC的平分线，得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，最小值为CM的长度，再运用S△ABC=12AB•CM=12AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．【答案】24 5能力型师生共研7.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC 的中点，点P是线段EF上一个动点，连接BP、GP，求△BPG周长的最小值．【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】要使△PBG的周长最小，而BG=1.5是一个定值，只要使BP+PG 最短即可，则转化为“两点一线型”的最短路径问题. 连接AB交直线EF于点P 即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小.【解题过程】如图，连接AG交EF于M.∵等边△ABC，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，∴AG⊥BC，EF∥BC，则AG⊥EF，AM=MG，∴A、G关于EF对称，连接AB交直线EF于点P，即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小，∵AP=PG，BP=BE，∴最小值是：PB+PG+BG=AE+BE +BG=AB+BG=3+1.5=4.5．【答案】4.5探究型多维突破8. 读一读：勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系: 在直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c² .我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”.例如：直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c2= a2+b2=9+16=25，则斜边c为5. 借助勾股定理我们可以解决更多最短路径问题，勾股定理的具体内容我们将在八年级下册中学到.借助勾股定理，请尝试完成下面的练习：如图，已知A、B两个村庄位于河流CD的同侧，它们到河流的距离AC=10km，BD=30km，且CD=30km．现在要在河流CD上建立一个泵站P向村庄供水，铺设管道的费用为每千米2万元，要使所花费用最少，请确定泵站P的位置，并求出此时所花费用的最小值为多少？（保留痕迹，不写作法）【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】根据已知得出作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，再构造直角三角形利用勾股定理即可求出．此题主要考查了用轴对称解决最短路径问题和勾股定理的应用，解题关键是构建直角三角形．【解题过程】依题意，只要在直线l上找一点P，使点P到A、B两点的距离和最小．作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，且PA+PB=PA′+PB=A′B．又过点A′向BD作垂线，交BD 的延长线于点E，在直角三角形A′BE中，A′E=CD=30，BE=BD+DE=40，根据勾股定理可得：A′B=50（千米）即铺设水管长度的最小值为50千米．所以铺设水管所需费用的最小值为：50×2=100（万元）．【答案】100万元9. 读一读：勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系: 在直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c² .我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”.例如：直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c2= a2+b2=9+16=25，则斜边c为5. 借助勾股定理我们可以解决更多最短路径问题，勾股定理的具体内容我们将在八年级下册中学到.借助勾股定理，请尝试完成下面的练习：如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q 分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．【知识点】轴对称的知识【思路点拨】点M、N分别在边OA、OB上的定点，作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．【解题过程】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．∴根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=∠AOB=30°，O N′=ON=3，OM′=OM=1，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′自助餐1. 如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂E为A 村与B村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在下图中找出点E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短【思路点拨】利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线CD的对称点A′，再连接A′B交CD于点E，即可得出答案．【解题过程】如图所示，点E即为所求．2. 如图，在一条笔直的公路l旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之差即｜PB－P A｜最小? (保留作图痕迹及简要说明)【知识点】线段垂直平分线的知识，绝对值的知识【思路点拨】因为绝对值具有非负性，即｜PB－AP｜≥0，所以当点PA=PB 时，｜PB－P A｜最小值为0.【解题过程】作线段AB的垂直平分线，与直线l交于点P，交点P即为符合条件的点．如图，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于12AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求．【答案】如图，点P为所求公交车站的位置.3. 如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的数学知识或方法是（）A．转化思想B．三角形的两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角【知识点】轴对称的知识、两点之间最短【解题过程】∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，∴CB=CB′，又∵AB′交l与C，且两条直线相交只有一个交点，∴CB′+CA= AB′最短，即此时点C使CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”，体现了转化的思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．故选D．【思路点拨】利用“两点之间线段最短”分析并验证即可．此题主要考查了利用轴对称知识解决最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理“两点之间线段最短”，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．【答案】D4.如图，在△ABC中，AC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值= .【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【数学思想】数形结合.【解题过程】∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称.连接AC交EF于D，∴当P和D重合，即当点P在直线EF上的D点处时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长为5.【思路点拨】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值为AC长度5.【答案】55. 如图，在平面直角坐标系中，PQ⊥x 轴于点Q，P（-4，8）. 直线AB垂直平分线段OQ,交x 轴于点C，点M为直线AB上的一动点，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接PM、NQ，求PM＋MN＋NQ的最小值；【知识点】平移知识，两点之间线段最短【思路点拨】将直线AB和y轴看作河的两岸，点P和点Q′看作河岸两侧的点，转化为造桥选址问题.从P到Q要走的路线是P→M→N→Q，如图所示，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要PM＋QN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到PP′，从P′→N→Q应是余下的路程，当P′N+ NQ的值最小时PM＋MN＋NQ有最小值.作点Q关于y轴的对称点Q′，连接P′Q′的线段即为最短，P′Q′与y轴的交点为N，过N作直线AB的垂线，垂足为点M，则PM ＋MN＋NQ的最小值为线段P′Q′的长．【解题过程】因为PQ⊥x 轴于点Q，P（-4，8）所以Q（-4，0）又因为直线AB垂直平分线段OQ,交x 轴于点C，所以C（-2，0）.如图2，过点P作PP′⊥AB 于P′，且PP′等于OC．又作点Q关于y轴的对称点Q′（4，0），连接P′Q′与y 轴的交点为N，过N作直线AB的垂线，垂足为点M，则PM＋MN＋NQ的最小值为线段P′Q′+MN的长．又易得P′C=8，Q′C=6，借助勾股定理，在直角三角形P′CQ ′中可得P′Q′=22''C Q C P +=2268+=10，所以PM ＋MN ＋NQ 的最小值为10+2=12.【答案】PM ＋MN ＋NQ 的最小值为12.。

课题：13.4课题学习最短路径问题教学内容最短路径问题教学目标知识与技能：通过对最短路径问题的探索,进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短.过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程,培养学生解决问题的能力,掌握探索最短路径问题的思想和方法.情感、态度与价值观：在数学教学活动中获得成功的体验,树立自信心,激发学生的学习兴趣,让学生感受数学与现实生活的密切联系.教学重点应用所学知识解决最短路径问题.教学难点选择合理的方法解决问题.教学方法合作交流，讲练结合.教学准备多媒体课件，三角板.教学过程设计设计意图教学过程一、复习引入(1)两点所连的线中,最短.(2)连接直线外一点与已知直线上各点的所有线段中,最短.我们研究过以上这两个问题,我们称它们为最短路径问题.同学们通过讨论下面两个问题,可以体会如何运用所学知识选择最短路径.(揭示课题)二、新知探究问题1首先我们来研究河边饮马问题.(河边饮马问题)如图所示,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点,如何在l上找到一个点,使得这个点到点A,点B的距离的和最短?连接AB,与直线l相交于一点,根据“两点之间,线段最短”,可知这个交点即为所求.【思考】如果点A,B分别是直线l同侧的两个点,又应该如何解决?复习旧知，为新课学习提供理论依据.讨论交流.(1)牧马人到笔直的河边饮马,河边可以近似看成一条直线,假设到C点饮马,要保证所走的路径最短和哪些线段有关?(2)要利用我们学过的哪些知识?要经过怎样的图形变换转移到一条线段上?分组交流合作,在小组内达成共识的基础上,推选代表进行板演.幻灯片演示画法,指导学生证明AB'=AC+BC.(B,B'两点关于直线l对称)如果在直线上另外任取一点C',连接AC',BC',B'C'.怎样证明AC+CB<AC'+C'B?讨论交流完成.【总结方法】找出其中某一点关于直线的对称点,连接对称点与另一点,与直线的交点即为所求,证明时要利用三角形三边的关系来证明.(造桥选址问题)如图所示,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.)我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b,思考:(1)要保证路径最短就是要使哪些线段的和最小?(2)无论点M,N在什么位置,MN的长度是否发生变化?为什么?合作交流.结合学生讨论的结果,强调MN为定值,问题的关键就是要保证AM+NB的和最小.阅读教材第87页,合作交流思路展示教材图13.4 - 9的证明过程.证明AM+MN+NB<AM'+M'N'+N'B.证明:因为A'B<A'N'+N'B,所以A'N+NB<AM'+N'B.又因为AM=A'N,所以AM+NB<A'M+N'B.又MN=M'N',所以AM+MN+NB<AM'+M'N'+N'B.三、课堂小结最短路径问题,常用的方法是借助轴对称的知识转化,利用“两点之间,线段最短”来求线段和的最小值,从而解决最短路径问题.四、课堂练习1.如图所示,直线m表示一条河,点M,N表示两个村庄,欲在m上的某处修建一个给水站,向两个村庄供水,现有如图所示的四种铺设管道的方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的方案是()解析:作点M关于直线m的对称点P',连接NP'交直线m 于P.根据两点之间,线段最短,可知选项D铺设的管道最短.故选D.2.如图(1)所示,在旷野上,一个人骑着马从A到B,半路上他必须先到河岸l的P点让马饮水,然后再到河岸m的Q点让马再次饮水,最后到达B点,他应该如何选择饮马地点P,Q,才能使所走路程AP+PQ+QB为最短(假设河岸l,m为直线)?(1)(2)解:如图(2)所示,作A点关于直线l的对称点A',B点关于直。