造桥选址问题教案

教案设计比赛设计稿 姓名：黄枚青题目:问题2 （造桥选址问题）如图13.4-6，A 和B 两地在一条河的两岸,现在要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.）一、审题分析（一）题目背景 1.题材背景：本题出自新人教版八年级上册13.4课题学习最短路径问题的问题2.2.知识背景：(1)平移变换的相关知识.(2)两点之间，线段最短.3.方法背景：(1)会用平移的方法对一个图形进行变换.(2)会求直线上的点到直线外异侧两点的距离之和最小的问题.4.思想背景：化归思想.（二）学情分析1.学生特点：学生已在课本第85页的问题1学习了最短路径问题，本题是对最短路径问题的进一步探究.2.估计学生会遇到的困难和解决策略：（1）忽略条件“桥与河垂直”策略：给学生机会犯错，直接连接AB 分别交两直线于M 和N 两点，即为所求. 再引导学生发现问题.（2）对桥的长度固定不变的理解策略：利用几何画板进行探究，通过观察数据的变化，可知动点N 在移动过程中，线段MN 的长度始终不变，再结合题中给的条件：“两岸平行”和“桥与河垂直”进一步理解.（3）如何确定线段MN 的位置策略：引导学生通过平移，将问题转化为求直线上的点到直线外异侧两点的距离之和最小的问题.（4）如何证明线段MN 的位置即为所求策略：引导学生任取异于MN 的线段GH,使GH ⊥a ,GH ⊥b,则利用三角形三边关系进行证明.图13.4-6（三）重、难点重点：探究利用平移性质和两点之间线段最短性质解决最短路径问题.难点：1.如何将实际问题转化为数学问题2.如何确定线段MN 的位置3.如何证明线段MN 的位置即为所求（四）教学方法 启发式教学（五）分析题意本题属于最短路径问题，学生比较陌生，对题目的理解难度比较大，首先引导学生通过多次读题理解题意，已知A 、B 两地在一条河的两岸，且河的两岸可以看成是平行的直线，则可画出两条平行的直线a 和b ，点A 和点B 是定点，分别位于两直线的两侧.现在要建一座桥MN ，要求桥与河垂直,即线段MN 与直线a ,b 垂直.所要求的问题是桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短，即线段ＭＮ位于何处时，可使AM+MN+NB 最小，从而将实际问题转化为数学问题,如图1所示.二、探究过程（一）探究线段MN 的大致位置学生在自主探究时，根据两点之间，线段最短，容易想到连接AB 分别交直线a ,b 于M 和N 两点，则线段MN 即为所求.如图2所示，引导学生思考此种作法是否可行，从而发现与题目中的条件“桥与河垂直”相矛盾.利用几何画板进行探究，当动点Ｎ在直线ｂ上来回移动时，这三条线段的长度之和在不断跟着改变，而线段MN 的长度始终是不变的，故只需确定另外两条线段的长度之和最小即可.通过观察具体数据的变化可知，点N 在移动过程中，AM+NB 对应的数值的变化情况，从而可以初步得到线段ＭＮ的大致位置.进而引导学生思考如何确定线段MN 的准确位置．（二）探究线段MN 的准确位置引导学生复习前面学过的求直线上的点到直线异侧两点的距离之和最小问题，已知A 、B 两个定点分别位于一条直线l的两侧，要在直线上找到一点使得它到这两个定点的距离之和图1 图2最小,根据两点之间，线段最短，连接AB与直线l交于一点，即为所求.引导学生对比本题，思考能否通过某种途径将直线a和直线b重合在一起，从而将“两线两点”问题转化成“一线两点”问题，学生会想到利用平移的方法，从而得到作图思路.作图步骤：（1）同时将直线a和点A沿与河岸垂直的方向平移一个河宽.使直线a与直线ｂ重合，点Ａ移动到A′（2）连接A′B交直线ｂ于点Ｎ，过点Ｎ作ＭＮ⊥a，垂足为Ｍ，连接AM则线段MN 即为所求.（3）如图3所示.从而得到最短路径为：A→M→N→B图3 图4(三)证明线段ＭＮ的位置即为所求引导学生在直线b上异于点N任取一点Ｇ，过点Ｇ作ＧＨ⊥a,垂足为Ｈ，连接AＨ，ＧB ，A′Ｇ，如图4所示，则只需证明AM+ MN +NB ＜AH+ HG +GB.由于桥的长度不变，故MN= HG，从而只需证明AM +NB ＜AH +GB.根据平移性质可得AM=A′N ，AＨ= A′Ｇ，进而将问题转化为只需证明A′N+NB ＜A′Ｇ+ GB. 由图可知，A′Ｎ+ＮB=A′B ，最终问题可转化为只需证明A′B＜A′Ｇ+ GB.学生很容易想到根据三角形的三边关系进行证明，最终得到证明思路，证明过程如下：证明：在直线b上异于点N任取一点Ｇ,过点Ｇ作ＧＨ⊥a,垂足为H，连接AH，NB，A′G，则由平移性质得AM= A′N，AH=A′G∴AM+NB= A′N+NB= A′B，AH+GB= A′Ｇ+GB在△A′B G中，根据三边关系得：A′B <A′G+GB∴AH+GB < AM+NB又∵HG= MN∴AH+GB+ HG < AM+NB+MN从而证明线段MN的位置即为所求.故从A到B的最短路径为：A→M→N→B，线段MN即为所要建的桥的位置.（四）多种作图方法学生在自主探究时，可能会出现以下的作图方法：作法二：如图5所示，同时将直线 b 和点B 沿与河岸垂直的方向平移一个河宽.使直线ｂ与直线 a 重合，点B 移动到B ′ ，连接B ′A 交直线a 于点M ，过点M 作ＭＮ⊥b ，垂足为N ，则线段MN 即为所求.作法三：如图6所示，将点A 沿与河岸垂直的方向平移一个河宽.点Ａ移动到A ′，连接A ′B 交直线ｂ于点Ｎ，过点Ｎ作ＭＮ⊥a ，垂足为Ｍ，连接AM ，则线段MN 即为所求.点评：作法三与作法一本质上是相同的.明确平移的目的是使两条直线重合在一起，从而将“两线两点”问题转化成“一线两点”问题，即转化成求直线上的点到直线异侧两点的距离之和最小的问题.从而得到一般作法： 沿与河岸垂直的方向分别同时平移点A 和直线a ，点B 和直线b 到某个位置，使直线a 和直线b 重合,点Ａ移动到A ′，点B 移动到B ′,则同样也可以进行求解，留给学有余力的同学课后继续探究.三、运用与巩固变式 如图是一长方形公园，点A 和点B 是公园的前后门，图中阴影部分是一片定宽的草坪。

13.4课题学习最短路径问题（2）造桥选址问题教师：朱巧一、教学目标1、知识与技能理解利用平移的方法，解决最短路径问题。

2、过程与方法（1）在观察、操作、归纳等探索过程中，培养学生的实际动手能力；（2）在运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳最短路径选取的方法。

3、情感态度与价值观（1）体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心；（2）会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识；（3）使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。

二、教学重点和难点1、教学重点理解如何利用平移，解决造桥选址中的最短路径问题。

2、教学难点理解路径最短的证明方法。

三、教具：多媒体、三角板四、教学过程（一）、知识点回顾1、两点所有的连线中，线段最短。

2、连接直线外一点与直线上各点的所以线段中，垂线段最短。

应用1：利用轴对称的方法解决最短路径选取问题。

利用轴对称的方法把已知问题转化为容易解决的问题，这是“两点的所有连线中，线段最短”的应用。

（二）、提出问题如果把一条直线l变成两条直线，会变成生活中的什么问题呢？（三）、新课学习图（1） 图（2）环节一：（情境设置）简单介绍著名桥梁专家茅以升.环节二：把实际问题转化为数学问题.如上图（1），A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）分析图（2）：把河的两岸看成两条平行线 a 和b ，N 为直线b 上的一个动点，MN 垂直于直线b ，交直线a 于点M ，这样，上面的问题可以转化为下面的问题，当点N 在直线b 的什么位置时，AM+MN+NB 最小？引导学生发现，由于河宽是固定的，即MN 不变，求AM+MN+NB 的最小值只要求AM+NB 的最小值即可。

环节三：请同学们各抒己见如何求AM+MN+NB 的最小值.环节四：用几何画板展示造桥选址问题.通过几何画板的动画演示，让学生找到动点N 在什么位置时, AM+MN+NB 最小。

13.4.最短路径(2)—
造桥选址问题
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13.4造桥选址问题
一．学习目标：
1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.
2、在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 二．重点难点：
学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题. 学习难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题． 三．合作探究：（同学合作，教师引导） 1．温故知新：
前面我们研究过最短路径问题，求最短路径的依据有：
（1） . （2） . 2．探究新知： 问题2 造桥选址问题
如图,A 和B 两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
思维分析：
1.如右图假定任选位置造桥MN,连接AM 和BN,从A 到B 的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?
2.利用上面的“求最短路径的依据”解决问题:我们遇到了什么障碍呢?
四．感悟与反思：
A ·
· B
A ·
· B。