八年级二次根式复习讲义非常全面

第12讲二次根式的计算知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习二次根式的计算。

二次根式是中考考查的重点，也涉及到后面勾股定理的学习，本节课我们需要了解二次根式有意义，掌握二次根式的乘除和加减运算，熟练地进行二次根式的计算。

知识梳理讲解用时：20分钟二次根式1、一般地，式子√a（a≥0）叫做二次根式a称为是被开方数（1）表示a的算式平方根（2）a可以是数，也可以是式（3）形式上含有二次根号（4）a≥0 a≥0 （双重非负性）2、最简二次根式：必须同时满足下列条件：（1）被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；（2）被开方数中不含分母；（3）分母中不含根式.3、同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.课堂精讲精练【例题1】分式有意义时，x 的取值范围是 ．二次根式的加减1.二次根式的化简：（1）被开方数是小数时，常把小数化成相应的分数，后进行求解.解：2332661522222.⨯====⨯ 化简时通常分子、分母同时乘以分数的分母，使分母上的数或式子称为完全平方数或完全平方式.（2）被开方数是分数的二次根式化简解：211155512555555552525⨯====⨯⨯⨯⨯⨯ （3）被开方数是非完全平方数的二次根式化简4816343=⨯=将被开方数进行因数分解，是化简的基础.2、同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式. 例如：√3与2√3是同类二次根式3、二次根式的加减法二次根式加减运算的实质是合并同类二次根式，即系数相加减，二次根式不变【解析】要使代数式有意义时，必有x﹣2＞0，可解得x的范围．解：根据题意得：x﹣2＞0，解得：x＞2．故答案是：x＞2．讲解用时：2分钟解题思路：考查了分式和二次根式有意义的条件．二次根式有意义，被开方数为非负数，分式有意义，分母不为0．教学建议：二次根式有意义必须满足被开方数为非负数.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：博望区校级一模年份：2018【练习1.1】如果代数式有意义，那么x的取值范围是．【答案】x≥﹣2且x≠1【解析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解：由题意得，x+2≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣2且x≠1．故答案为：x≥﹣2且x≠1．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．教学建议：二次根式有意义必须满足被开方数为非负数，要注意分母不能为0.难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：东胜区一模年份：2018【例题2】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是．【解析】直接利用数轴得出a＜0，a﹣b＜0，进而化简得出答案．解：由数轴可得：a＜0，a﹣b＜0，则原式=﹣a﹣（a﹣b）=b﹣2a．故答案为：b﹣2a．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题关键．教学建议：利用二次根式的性质进行化简.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：成华区模拟年份：2018【练习2.1】已知，则a的取值范围是．【答案】a≤【解析】根据=|a|≥0，即可得到关于a的不等式求得a的范围．解：根据题意得：3﹣2a≥0，解得：a≤．故答案是：a≤．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了二次根式的性质，正确理解=|a|≥0是关键．教学建议：利用二次根式的性质进行化简.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：泰兴市期末年份：2017【例题3】计算：．【答案】﹣【解析】直接利用二次根式乘除运算法则直接求出即可．解：=3×（﹣）×2=﹣×5=﹣．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的乘除运算，熟练应用运算法则是解题关键．教学建议：熟练掌握二次根式的乘除计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：夏津县校级月考年份：2016【练习3.1】计算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）﹣；（2）；（3）1【解析】（1）根据二次根式的除法，可得答案；（2）根据二次根式的除法，二次根式的乘法，可得答案；（3）根据二次根式的除法，可得二次根式的乘法，根据二次根式的乘法，可得答案．解：（1）原式==﹣；（2）原式====；（3）原式===1．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了二次根式的乘除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键，注意把带分数化成假分数再进行运算．教学建议：熟练掌握二次根式的乘除法计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：广南县校级期中年份：2015【练习3.2】计算：（1）（2x+y﹣1）•（2x﹣y+1）（2）÷•（3）÷×（4）﹣．【答案】（1）4x2﹣y2+2y﹣1；（2）；（3）；（4）【解析】结合二次根式的乘除法及分式的混合运算的运算法则进行求解即可．解：（1）原式=[2x+（y﹣1）]•[2x﹣（y﹣1）]=（2x）2﹣（y﹣1）2=4x2﹣y2+2y﹣1．（2）原式==．===．（4）原式====．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了二次根式的乘除法及分式的混合运算等知识，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则．教学建议：熟练掌握二次根式的乘除法计算以及分式的混合运算.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：滨州校级月考年份：2015【例题4】完成下列两道计算题：（1）﹣15+；（2）（﹣）+．【答案】（1）；（2）4【解析】（1）先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；（2）先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；（1）解：原式=3﹣15×+×=3+=；=4讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了二次根式的加减运算，二次根式化简是解决此题的关键．教学建议：熟练掌握二次根式的加减法计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：金乡县期末年份：2017【练习4.1】计算（1）﹣（﹣）（2）+a﹣4+．【答案】（1）；（2）（3a﹣3）【解析】（1）首先化简二次根式，进而合并同类二次根式进而得出答案；（2）首先化简二次根式，进而合并同类二次根式进而得出答案．解：（1）﹣（﹣）=2﹣（3﹣×4）=2﹣=；（2）+a﹣4+当b＞0，原式=2a+a﹣2+=（3a﹣1）．当b＜0，原式=2a+a﹣2﹣=（3a﹣3）．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．教学建议：熟练掌握二次根式的加减计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：秀屿区校级期中年份：2017【练习4.2】计算：（1）2+﹣3；（2）（﹣）﹣（+）【答案】（1）2；（2）﹣．【解析】（1）首先化成最简二次根式，然后把同类二次根式进行合并即可；（2）首先化成最简二次根式，然后去括号把同类二次根式进行合并即可．解：（1）原式=2+3﹣3=2；（2）原式=2﹣﹣﹣，=﹣．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．教学建议：熟练掌握二次根式的加减计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：黄陂区期中年份：2017【例题5】如图，已知矩形纸板面积为8a，两邻边之比为3：4，现欲在每个角处裁下一个面积为a的正方形后，制成一个无盖的纸箱．求制成的纸箱的侧面积．【答案】【解析】设矩形的长宽分别为4k，3k．根据已知条件先求出矩形的长宽，再根据侧面积公式计算即可．解：设矩形的长宽分别为4k，3k．由题意12k2=8a，∴k=，∴矩形的长为，宽为，∴纸箱的侧面积=2（+﹣2）•=．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查矩形的性质，长方体的侧面积、二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，求出长方体的长宽高是解题的关键，属于中考常考题型．教学建议：熟练掌握二次根式的计算解决一些实际问题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：枝江市期中年份：2016【练习5.1】如图，在等腰三角形ABC中，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DE⊥AC，点E、F分别是垂足，若DE+DF=2，△ABC的面积为，求AB的长．【答案】【解析】直接利用S△ABC=S△ABD+S△ADC，得出AB（DE+DF）=，求出即可．解：连接AD，由题意可得：AB=AC，S△ABC =S△ABD+S△ADC=×DE×AB+×DF×AC=AB（DE+DF）=，故×2AB=，解得：AB=．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形面积求法，正确计算是解题关键．教学建议：掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及二次根式解决几何问题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：巨野县期中年份：2017【例题6】阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：=======﹣1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1）化简（2）化简．（3）化简：+++…+．【答案】（1）（2）﹣；（3）（﹣1）；【解析】（1）分子分母分别乘即可；（2）分子分母分别乘﹣即可；（3）分母有理化后，合并同类二次根式即可；解：（1）==（2）化简==﹣（3）化简：+++…+=（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）=（﹣1）讲解用时：4分钟解题思路：本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，属于中考常考题型．教学建议：熟练掌握二次根式的化简和分母有理化.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：市中区期末年份：2016【练习6.1】已知：a=，b=，求的值．【答案】30【解析】根据分母有理化即可求出a与b的值．解：由题意可知：a=3+2，b=3﹣2∴a+b=6，ab=1原式=﹣4=﹣6=﹣6=36﹣6=30讲解用时：3分钟解题思路：本题考查分母有理化，解题的关键是熟练运用分母有理化，本题属于基础题型．教学建议：熟练运用分母有理化代入求代数式的值.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：雁江区校级期中年份：2017【练习6.2】（1）已知x=﹣，y=+，求﹣的值；（2）若a﹣=，求a+的值．【答案】（1）4；（2）±5【解析】（1）先求出xy与y+x与y﹣x的值，再代入计算即可；（2）先根据完全平方公式求出a2+（）2，进一步得到（a+）2，从而得到a+的值．解：（1）∵x=﹣，y=+，∴xy=1，y+x=2，y﹣x=2，∴﹣====4；（2）∵a﹣=，∴（a﹣）2=21，∴a2+（）2=23，（a+）2=25，∴a+=±5．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是分母有理化、二次根式的化简求值，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握分母有理化、二次根式的化简求值.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：武穴市校级期中年份：2017【例题7】已知x﹣y=，z﹣y=﹣，求x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣xz的值．【答案】6【解析】先求得（x+y）（z﹣y）的值，然后求得（x﹣y）﹣（z﹣y）可得到x ﹣z=2，然后两个平方，最后将（x+y）（z﹣y）的值与（x﹣z）2相加即可．解：由x﹣y=，z﹣y=﹣得：（x+y）（z﹣y）=xz﹣xy﹣yz+y2=﹣2①；（x﹣y）﹣（z﹣y）=x﹣z=2，则x2﹣2xz+z2=8②，①+②得：x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣xz=﹣2+8=6．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查的是二次根式的化简求值，能够利用二次根式的性质进行变形是解题的关键．教学建议：熟练运用二次根式、完全平方公式去解决问题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：大庆模拟年份：2017 【练习7.1】已知x=﹣1，y=+1，求+的值．【答案】6【解析】根据二次根式的性质即可求出答案．解：原式===﹣2∵x=﹣1，y=+1，∴x+y=2，xy=2﹣1=1∴原式=8﹣2=6讲解用时：3分钟解题思路：本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及二次根式的运算法则，本题属于基础题型．教学建议：熟练掌握二次根式的计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：前郭县校级期末年份：2017【练习7.2】已知a=+，b=﹣，求下列各式的值：（1）；（2）a2b﹣ab2．【答案】（1）；（2）﹣2【解析】（1）首先将a，b代入，然后分母有理化；（2）首先因式分解，将a，b代入利用平方差公式即可．解：（1）原式====；（2）原式=ab（a﹣b）=（）（）×=﹣2．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了分母有理化和平方差公式，熟练掌握公式是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握二次根式的计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：金平区校级期中年份：2017课后作业【作业1】如果代数式有意义，那么x的取值范围是．【答案】x≥﹣3且x≠1【解析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解：由题意得，x+3≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣3且x≠1．故答案为：x≥﹣3且x≠1．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：宁津县二模年份：2018【作业2】如果2＜x＜3，那么化简的最终结果是．【答案】1【解析】由2＜x＜3可知，2﹣x＜0，3﹣x＞0，根据二次根式的性质，把二次根式化成绝对值的形式，再去绝对值．解：=|2﹣x|+|3﹣x|=x﹣2+3﹣x=1．故答案为：1．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：苏州期中年份：2018【作业3】（1）÷3×5；（2）﹙﹣﹚÷（）．【答案】（1）；（2）﹣9x2y【解析】（1）利用二次根式的乘除运算法则将除法变为乘法，根号内的和根号内部相乘除，根号外的与根号外部相乘除，进而化简得出即可；（2）利用二次根式的乘除运算法则将除法变为乘法，根号内的和根号内部相乘除，根号外的与根号外部相乘除，进而化简得出即可．解：（1）÷3×5=×5=；（2）﹙﹣﹚÷（）=﹣××3=﹣=﹣9x2y．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：云梦县校级期末年份：2013【作业4】（1）（2）（3）．【答案】（1）12﹣60；（2）﹣57；（3）【解析】（1）先将各二次根式化为最简，再运用乘法分配律进行运算，然后再进行二次根式的加减．（2）运用平方差公式进行计算即可．（3）直接进行开方运算即可得出答案．解：（1）原式=6×（3﹣5﹣2）=18﹣60﹣12，=6﹣60，=12﹣60；（2）原式=﹣，=18﹣75，=﹣57；（3）==．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：赵县期末年份：2014【作业5】已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．【答案】3a+b﹣c【解析】根据三角形的三边关系定理得出a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可．解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，∴原式=|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|=a+b+c﹣（b+c﹣a）+（b+a﹣c）=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c=3a+b﹣c．难度： 4 适应场景：练习题例题来源：新化县期末年份：2016。

第02讲 《二次根式》章节分类总复习考点一 二次根式有意义的条件 知识点睛：1. 二次根式的定义：非负数a 的算术平方根a 叫做二次根式 ☆：二次根式的判断不需要化简，直接根据定义判断即可， 易错类型：因为24=，误认为4不是二次根式2. 二次根式有意义的条件a 中a 叫做被开方数，其中二次根式有意义的条件就是a ≥0；☆1：当二次根式和分式结合时，要注意分式的分母≠0 ☆2：a 的双重非负性⎩⎨⎧≥≥0.0.本身②被开方数①a a ；故有：a 前无“-”，a 本身值不可能是负的 类题训练1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：，，，（x ＞0），，，﹣，，（x ≥0，y ≥0）．【分析】一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式．结合所给式子即可作出判断． 【解答】解：符合二次根式的定义；是三次根式；是分式，不是二次根式； （x ＞0）符合二次根式的定义； 是二次根式； 是四次根式； ﹣符合二次根式的定义； 是分式，不是二次根式；（x ≥0，y ≥0）符合二次根式的定义．2．（2021春•下城区期末）已知二次根式，当x ＝1时，此二次根式的值为（ ） A ．2 B ．±2 C ．4D ．±4【分析】将x的值代入二次根式，然后利用二次根式的性质化简求解．【解答】解：当x＝1时，原式＝，故选：A．3．（2021春•阳谷县期末）已知是整数，则正整数n的最小值是【分析】因为是整数，且＝2，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．【解答】解：∵＝2，且是整数，∴2是整数，即6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．故答案为：6．4．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是．【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即10﹣5x≥0，从而解得x的取值范围．【解答】解：∵是二次根式，∴10﹣5x≥0，∴x≤2．故答案为：x≤2．5．（2021春•余杭区期中）当x＝时，的值最小．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：当x＝3时，此时2x﹣6＝0，的最小值为0，故答案为：36．已知二次根式．（1）求x的取值范围；（2）求当x＝﹣2时，二次根式的值；（3）若二次根式的值为零，求x的值．【分析】（1）根据二次根式的定义得出3﹣x≥0，解之可得答案；（2）将x＝﹣2代入计算可得；（3）当被开方数为0时，二次根式的值即为0，据此列出关于x的方程求解可得．【解答】解：（1）根据题意，得：3﹣x≥0，解得x≤6；（2）当x＝﹣2时，＝＝＝2；（3）∵二次根式的值为零，∴3﹣x＝0，解得x＝6．7.已知x、y为实数，且满足，求5x+|2y﹣1|﹣的值．【分析】先根据二次根式的性质列出不等式组，求出x的取值，再把x的值代入所求代数式即可解答．【解答】解：则；＝＝2．考点二二次根式相关概念知识点睛：1.最简二次根式：满足以下2个条件的二次根式成为最简二次根式①被开方数的因数是整数，因式是整式；②不含开的尽方的因数或因式☆：判断最简二次根式，被开方数的字母部分次数最高为1次，且不含分母二次根式的运算，最后结果都要求必须化为最简二次根式2.同类二次根式：所含被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式类题训练1．（2021秋•桐柏县期中）下列二次根式中的最简二次根式是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．B、原式＝3，故B不符合题意．C、是最简二次根式，故C符合题意．D、原式＝2，故D不符合题意．故选：C．2．把下列根式化成最简二次根式．（1）5（2）6（3）（a＞0）（4）（n＜0）【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（4）直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：（1）5＝5×2＝10；（2）6＝6×＝6×＝；（3）（a＞0）＝5a；（4）（n＜0）＝×＝﹣．3．（2021春•岳麓区校级期末）下列式子能与合并的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝＝4，能与合并，符合题意；B 、＝2，不能与合并，不符合题意；C 、＝，不能与合并，不符合题意；D 、＝，不能与合并，不符合题意；故选：A ． 4．如果最简二次根式与2是同类二次根式，则a ＝ ．【分析】根据同类二次根式的定义列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：∵最简二次根式与2是同类二次根式，∴3a ﹣8＝17﹣2a ， 解得，a ＝5， 故答案为：5．考点三 二次根式的运算知识点睛：二次根式乘法公式：()）（③②）（①0b ,0··)0()0(022≥≥=⎩⎨⎧≤-≥==≥=a b a b a a a a a a a a a a 二次根式除法公式：()()()()ba b a c b a b a b a c ba ca aa ab b ab b a b a b a ba ba --=-+-=+=≥==≥=)0(1)0,0()0,0(＞＞变形公式：＞④类题训练1．（2021秋•拱墅区期中）下列计算正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】根据平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 【解答】解：A 、原式＝0.3，故A 不符合题意．公式①、②、③常用于以下两种题型：（1）化简求值（2）无理数比较大小常见比较大小的三种方式：（1）利用近似值比较大小（2）把系数移到根号内比较（3）分别平方，然后比较大小以上方法注意两数的正负号公式④及其变形常用于分母有理化的化简，即分式的分子分母同乘分母的无理化因式，使分母变为整数。

二次根式知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【典型例题】【例1】下列各式1其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） ABCD2______个【例2】有意义，则x 的取值范围是 ．举一反三：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42x 的取值范围是3、如果代数式m nm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=解题思路：式子a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩ 5x =，y=2009，则x+y=2014举一反三： 1、2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a1取值最小，并求出这个最小值。

已知ab 是12a b ++的值。

若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。

若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()20 3.a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a a a 20=≥的区别与联系 （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数．（2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的． 【典型例题】【例4】若()2240a c -+-=，则=+-c b a ．举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。

二次根式单元复习内容分析二次根式是中考中的重点内容，主要是性质的运用和二次根式的运算，其中掌握二次根式的运算是重点，理解二次根式的性质是关键．二次根式的性质包括二次根式的有理化因式和分母有理化以及最简二次根式和同类二次根式；二次根式的运算包括二次根式的加减和二次根式的乘除以及它们的混合运算．把二次根式化为最简二次根式，不仅是简明表达的需要，而且是研究那些表示形式不同但实质一样的二次根式的需要，明确了同类二次根式和有理化因式的意义，那么，实施二次根式的加减运算，归结为合并同类二次根式；实施二次根式的除法运算，归结为分母有理化，从二次根式运算的全过程来看，就是按照一定的法则，把二次根式的运算转化为类似于整式、分式的运算，体现了化归的数学思想．知识结构班假暑级年八2 / 121. 二次根式的概念代数式a （0a ≥）叫做二次根式，读作“根号a ”，其中a 是被开方数． 2. 最简二次根式的概念：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母． 同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 3. 同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类 二次根式． 4. 有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式．【例1】求下列各式有意义的所有x 的取值范围： （1）32x -； （2）21x x --；（3）245x x --；（4）12x x +-； （5）311x x++-．【例2】已知222112210x x y z z -++++-+=，求19971998x y z ++的值．模块一：二次根式的相关概念例题解析知识精讲【例3】已知：x 、y 为实数，且113y x x <-+-+，化简：23816y y y ---+．【例4】已知1213123y x x =-+-+求代数式y y x y x y--+的值．【例5】已知实数a 满足：20162017a a a -+-=，求22016a -的值．1、二次根式的性质： 性质1()20a a a =≥；2(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；性质2 ()2()0a a a =≥；知识精讲师生总结1、 二次根式有意义的条件是什么？2、 如何判断同类二次根式与最简二次根式？模块二：二次根式的性质班假暑级年八4 / 12性质3ab a b =⋅ ()0,0a b ≥≥；性质4a ab b= ()0,0a b ≥>．【例6】设a b c 、、分别是三角形三边的长，化简： 222()()()a b c b c a c b a --+-++--．【例7】化简二次根式：21b b b +-= ．【例8】 化简．（1）()()332900x y x y x y +≥，≥；（2）2322442b a a b ab a b b+++（3）()2222790a a b a +≥；（4）()3223244202y x y x y xy x y x y y -+>>-【例9】m 是2的小数部分，求2212m m +-的值．例题解析【例10】 已知：22425a b a b ++-=-，求b aa b-+-的值．【例11】已知10x x --=，求221144x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【例12】 化简：（1）9214-；（2）16415-．【例13】 已知2225152x x ---=．则222515x x -+-的值为__________．．1、二次根式的加减法实质为将二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式． 2、最简二次根式的乘除法：知识精讲模块三：二次根式的运算师生总结1、 二次根式有哪些性质？班假暑级年八6 / 12（1）(0,0)a b a b a b ⋅=⋅≥≥； （2）(0,0)a aa b bb=≥>． 3、分母有理化：将分子分母同时乘以同一个适当的代数式，使分母不含根式；()()a b a b a b +-=-(0,0)a b ≥≥．4、二次根式的混合运算：实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用．【例14】 将下列式子分母有理化： （1）23102310+-；（2）2244x x x x +---； （3）221111x xx x+++-+．【例15】 计算下列各式：（1）；（2）()4442a b a ab b a b-÷++-；（3）a b bab ab a b a b ⎛⎫-÷+ ⎪ ⎪++⎝⎭．11x y y x y x ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例题解析【例16】已知：1223x=-，1223y=+，求223x y xy++的值．【例17】已知：223a=-，求：2211a aaa-+-的值．【例18】已知15aa-=，求1aa-的值．【习题1】化简：随堂检测（1； （2【习题2】 化简下列各式．（1（2）2--；（3）1(102(0)3m m >；（4()370,0a m ⎛<< ⎝．【习题3】 把下列各式分母有理化： （1)a b ≠；（2；（3-．【习题4】 已知：a b ，求225a ab b -+的值．【习题5】 a=，求1x x+的值．【习题6】 化简下列各式．（1）2(a a b ÷（2÷【习题7】 x ，小数部分为y ，试求1x y y++的值= ．班假暑级年八10 / 12【习题8】 已知02x <<，化简：22442222x x xx++++-．【作业1】 已知a 、b 分别为等腰三角形的两条边长，且a 、b 满足43632b a a =+-+-，求此三角形的周长．【作业2】 计算．（1）333y x xy x y xy x y+-+；（2）11(30.54 1.5)(0.244)22+--．课后作业【作业3】 计算．（1（2）⎛ ⎝．【作业4】 计算．（1；（24-÷．【作业5】 化简求值：22222a ab b a b ++-，其中a ，b =【作业6】 化简：（1（2【作业7】已知a =．【作业8】 已知11327m n ==，+的值．【作业9】设x =，y =，n 为自然数，如果22219721993x xy y ++=成立，求n 值.。

二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。

②.a ≥0）是一个非负数。

③.2＝a （a ≥0）（a ≥0）2.二次根式的乘：①.②. 3.二次根式的除：①. 一般地，对二次根式的除法规定：②. 4. 二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

典型例题分析：例1. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、1xx>0）1x y+x ≥0，y•≥0）．例2.当x+11x+在实数范围内有意义？变式题1：当x在实数范围内有意义？变式题2：①.当x2在实数范围内有意义？例3.①.已知，求xy的值．②.=0，求a2004+b2004的值．③.，求x y的值．例4.计算1．22．（）23．24．（2）2例5. 计算1．2（x≥0）2．23．24．2变式题：计算1.（-）22.例6.在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3例7.化简（2（3（4（1例8.填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？例9.当x>2．例10．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．=a，求a-19952的值．变式题1．若│1995-a│变式题2．若-3≤x≤2时，试化简│x-2│。

（2（3（4）（1a≥0，b≥0）计算即可．分析：（2（3（4例12 .化简（2（3（1（5（4例13 .判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=4（2变式题1：和，•那么此直角三角形斜边长是（）．变式题2：化简a）．．√169×6变式题3变式题5：探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：（2）验证：同理可得：，……通过上述探究你能猜测出：a=_______（a>0）,并验证你的结论．例14．计算：（1（2÷（3÷（4）例15．化简：（1（2（3（4例16．，且x为偶数，求（1+x的值．变式题1.的结果是（）．变式题2.阅读下列运算过程：，化”）．变式题3.已知x=3，y=4，z=5，是_______．变式题4.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长：1，•现用直径为的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？变式题5.计算（1·（m>0，n>0）（2）（a>0）例17.把它们化成最简二次根式：(1)3; (2)总结：二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．例18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．B A C例19.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：-1，=，，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算++（+1）的值．练习：一、选择题1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．y>0） B y>0） C y>0）AD．以上都不对2．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（）．C． D．ABA=a2DC4的结果是（）B．C．D．A．二、填空题1．（x≥0）2．化简二次根式号后的结果是_________．三、综合提高题1．已知a 过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：2．若x 、y 为实数，且y=y x y -的值．例20.计算 （1（2总结：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．例21．计算（1）（2））+例22．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y-（x -5x）的值．练习： 一、选择题1中，与是同类二次根式的是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④ 2．下列各式：①3+3=6；②17=1；③=；④，其中错误的有（ ）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 二、填空题1、、与是同类二次根式的有________．2．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．三、综合提高题1．已知≈2.236，求（-）-+）的值．（结果精确到0.01） 2．先化简，再求值．（）-（，其中x=32，y=27．例23．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）BAC QP例23．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m ）？例24．若最简根式3是同类二次根式，求a 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）练习： 一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•结果用最简二次根式） A ．BC ．D ．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．． D．二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2．，•那么这简二次根式）三、综合提高题1．若最简二次根式与n是同类二次根式，求m、n的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a ±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=）2，5=（2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：-1）2=）2-2·1+12+1=3-2反之，∴-1求：（1（2；（3吗？(√3-1)（4，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．例25．计算: （1）+（2）（4）÷例26．计算 （1））（3-） （2）））例27．已知xba-=2-xa b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，练习： 一、选择题1．）．AC2（ ）．A．2 B．3 C．4 D．1二、填空题+）2的计算结果（用最简根式表示）是 1．（-12________．）（）-（）2的计算结果（用最简2．（二次根式表示）是_______．-1，则x2+2x+1=________．3．若4．已知a=3+2，，则a2b-ab2=_________．三、综合提高题12．当+的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）．AC2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+1+与也是互为有理化因式．+的有理化因式是________；的有理化因式是_________．_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1（2；（3（44．其它材料：如果n是任意正整数，=_____=_______．例28.-1的大小。