2014-2015学年吉林省实验中学高二(下)期末数学模拟试卷(文科)
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2014-2015学年吉林省实验中学高二（下）期末数学模拟试卷（文科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内1．集合N={x||x|≤1，x∈R}，M={x|x≤0，x∈R}，则M∩N=（）A．{x|﹣1≤x≤0} B．{x|x≤0} C．{x|0≤x≤1} D．{x|x≤1} 2．下列各函数中，值域为（0，+∞）的是（）A．B．C．y=x2+x+1 D．3．给出如下四个命题：①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③命题“任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，”；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．14．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x的值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β；其中，真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的面积，则的最小值（）A．B．C．2 D．47．已知则向量与的夹角为（）A．B．C．D．8．函数f（x）=1﹣xlog2x的零点所在区间是（）A．B．C．（1，2）D．（2，3）9．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+12 10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位11．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的表面积为（）A．16πB．24πC．32πD．48π12．已知a＞0且a≠1，f（x）=x2﹣a x，当x∈（﹣1，1）时均有f（x）＜，则实数a的取值范围是（）A．∪[2，+∞）B．∪（1，4]C．∪（1，2]D．∪[4，+∞）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．在区间[﹣5，5]内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为．14．已知实数x，y满足，则z=x﹣y的最大值为．15．已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为．16．f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，若f（﹣3）＜0，f（2011）=，则a 的取值范围是．三、解答题（共6道题，共70分）17．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x﹣1，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．18．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N+）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设bn=（1﹣S n+1）（n∈N+），令T n=，求T n．19．如图，某学校组织500名学生体检，按身高（单位：cm）分组：第1组[155，160），第2组[160，165），第3组[165，170），第4组[170，175），第5组[175，180]，得到的频率分布直方图．（1）下表是身高的频数分布表，求正整数m，n的值；（2）现在要从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，第1，2，3组应抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在第3组的概率．区间〔155，160〕〔160，165〕〔165，170〕〔170，175〕〔175，180〕人数50 50 m 150 n20．如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC，PC与⊙O所在的平面成45°角，E是PC中点．F为PB中点．（1）求证：EF∥面ABC；（2）求证：EF⊥面PAC；（3）求三棱锥B﹣PAC的体积．21．已知函数f（x）=x|x+m|+n，其中m，n∈R（1）若f（x）为R上的奇函数，求m，n的值；（2）若常数n=﹣4，且f（x）＜0对任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围．选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，在正△ABC中，点D，E分别在边t上，且，AD，BE相交于点P，求证：（1）P，D，C，E四点共圆；（2）AP⊥CP．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．在极坐标中，已知圆C经过点P（，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．已知关于x的不等式|2x+1|﹣|x﹣1|≤log2a（其中a＞0）．（1）当a=4时，求不等式的解集；（2）设f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|，若不等式f（x）≤log2a有解，求实数a的取值范围．2014-2015学年吉林省实验中学高二（下）期末数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内1．集合N={x||x|≤1，x∈R}，M={x|x≤0，x∈R}，则M∩N=（）A．{x|﹣1≤x≤0} B．{x|x≤0} C．{x|0≤x≤1} D．{x|x≤1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．解答：解：由N中不等式解得：﹣1≤x≤1，即N={x|﹣1≤x≤1}，∵M={x|x≤0}，∴M∩N={x|﹣1≤x≤0}，故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．下列各函数中，值域为（0，+∞）的是（）A．B．C．y=x2+x+1 D．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：函数的性质及应用．分析：选项A可以化为一个指数函数，值域即可求得；选项B含有根式，且根号内部的值不回答语1，断定值域不符合要求；选项C配方后可求值域；选项D的指数不会是0，所以之于众不含1．解答：解：==，此函数为指数函数，定义域为R，所以值域为（0，+∞）；不会大于1，所以其值域不是（0，+∞）；，所以其值域不是中，所以≠1，所以的值域不是（0，+∞）．故选A．点评：本题考查了指数函数的定义、定义域、解析式和值域，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．3．给出如下四个命题：①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③命题“任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，”；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：命题的真假判断与应用；复合命题的真假．专题：综合题．分析：若“p∧q”为假命题，则p、q至少一个是假命题，所以①错误；“若a＞b，则2a＞2b ﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；所以②正确；“任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，”；所以③正确；△ABC中，“A＞B”⇔“a＞b”；由正弦定理得“a＞b”⇔“sinA＞sinB”；“A＞B”⇔“sinA＞sinB”所以④正确；解答：对于①，若“p∧q”为假命题，所以p、q至少一个是假命题，所以①错误；对于②，命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；所以②正确；对于③，命题“任意x∈R，x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R，”；所以③正确；对于④，△ABC中，“A＞B”⇔“a＞b”；由正弦定理得“a＞b”⇔“sinA＞sinB”；“A＞B”⇔“sinA ＞sinB”所以④正确；所以其中不正确命题的个数是1故选D．点评：本题考查复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系：“p∧q”有假则假，全真则真；：“pⅤq”有真则真，全假则假；“￢p”真假相反；考查命题的否定与否命题的区别以及考查三角形中正弦定理．4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x的值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题中程序框图的含义，得到分段函数y=，由此解关于x的方程f（x）=3，即可得到可输入的实数x值的个数．解答：解：根据题意，该框图的含义是当x≤2时，得到函数y=x2﹣1；当x＞2时，得到函数y=log2x．因此，若输出结果为3时，①若x≤2，得x2﹣1=3，解之得x=±2②当x＞2时，得y=log2x=3，得x=8因此，可输入的实数x值可能是2，﹣2或8，共3个数．故选：C点评：本题给出程序框图，求输出值为3时可能输入x的值，着重考查了分段函数和程序框图的理解等知识，属于基础题．5．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β；其中，真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间线线平行、线面平行、面面平行的性质与判定定理对①②③④四个选项逐一判断即可．解答：解：①若m⊂α，n∥α，则m∥n或m与n异面，故①错误；②若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，故②错误；③若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故③错误；④若m⊥α，m⊥β，由线面垂直的性质可知，α∥β，即④正确；综上所述，真命题的个数是1个．故选：A．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间线线平行、线面平行、面面平行的性质与判定，属于中档题．6．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的面积，则的最小值（）A．B．C．2 D．4考点：直线与圆的位置关系；基本不等式．专题：计算题；直线与圆．分析：根据题意，直线2ax﹣by+2=0经过已知圆的圆心，可得a+b=1，由此代换得：=（a+b）（）=2+（+），再结合基本不等式求最值，可得的最小值．解答：解：∵直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的面积，∴圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2）在直线上，可得﹣2a﹣2b+2=0，即a+b=1因此，=（a+b）（）=2+（+）∵a＞0，b＞0，∴+≥2=2，当且仅当a=b时等号成立由此可得的最小值为2+2=4故答案为：D点评：本题给出直线平分圆面积，求与之有关的一个最小值．着重考查了利用基本不等式求最值和直线与圆位置关系等知识，属于中档题．7．已知则向量与的夹角为（）A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由条件求得，再由，求得向量与的夹角．解答：解：由于，所以，所以，所以，故选B．点评：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量数量积的运算，属于中档题．8．函数f（x）=1﹣xlog2x的零点所在区间是（）A．B．C．（1，2）D．（2，3）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可得f（1）＞0，f（2）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f （x）=1﹣xlog2x的零点所在区间．解答：解：∵函数f（x）=1﹣xlog2x，f（1）=1﹣0=1＞0，f（2）=1﹣2=﹣1＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=1﹣xlog2x的零点所在区间是（1，2），故选C．点评：本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．9．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+12考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．解答：解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底==10，S后=，S右==10，S左==6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选：B．点评：本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；数形结合．分析：由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象，我们易分析出函数的周期、最值，进而求出函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式，设出平移量a后，根据平移法则，我们可以构造一个关于平移量a的方程，解方程即可得到结论．解答：解：由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象，过（，0）点，（）点，易得：A=1，T=4（）=π，即ω=2即f（x）=sin（2x+φ），将（）点代入得：+φ=+2kπ，k∈Z又由∴φ=∴f（x）=sin（2x+），设将函数f（x）的图象向左平移a个单位得到函数g（x）=sin2x的图象，则2（x+a）+=2x解得a=﹣故将函数f（x）的图象向右平移个长度单位得到函数g（x）=sin2x的图象，故选A点评：本题考查的知识点是由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象确定其中解析式，函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中根据已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象，求出函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式，是解答本题的关键．11．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的表面积为（）A．16πB．24πC．32πD．48π考点：直线与平面垂直的性质；球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意把A、B、C、D扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，所以AE==．AO==2 ．所求球的表面积为：4π（2 ）2=48π．故选D．点评：本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键．12．已知a＞0且a≠1，f（x）=x2﹣a x，当x∈（﹣1，1）时均有f（x）＜，则实数a的取值范围是（）A．∪[2，+∞）B．∪（1，4]C．∪（1，2]D．∪[4，+∞）考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．专题：压轴题；数形结合．分析：由题意可知，a x＞在（﹣1，1）上恒成立，令y1=a x，y2=，结合图象，列出不等式组，解不等式组，求出a的取值范围．解答：解：由题意可知，a x＞在（﹣1，1）上恒成立，令y1=a x，y2=，由图象知：0＜a＜1时a1≥=，即≤a＜1；当a＞1时，a﹣1≥=，可得1＜a≤2．∴≤a＜1或1＜a≤2．故选C．点评：本题考查不等式组的解法，体现了数形结合和转化的数学思想．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．在区间[﹣5，5]内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为0.3．考点：几何概型．专题：计算题；转化思想．分析：由1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}代入得出关于参数a的不等式，解之求得a的范围，再由几何的概率模型的知识求出其概率．解答：解：由题意1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}，故有2+a﹣a2＞0，解得﹣1＜a＜2由几何概率模型的知识知，总的测度，区间[﹣5，5]的长度为10，随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}这个事件的测度为3故区间[﹣5，5]内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为0.3故答案为0.3点评：本题考查几何概率模型，求解本题的关键是正确理解1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的意义，即得到参数a所满足的不等式，从中解出事件所对应的测度14．已知实数x，y满足，则z=x﹣y的最大值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出满足条件的平面区域，将z=x﹣y转化为y=x﹣z，显然直线过A时，z取得最大值，求出A的坐标，代入即可．解答：解：画出满足条件的平面区域，如图示：由z=x﹣y得，y=x﹣z，显然直线过A时，z取得最大值，由，解得：A（，），z=x﹣y=；故答案为：．点评：本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．15．已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为﹣．考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由已知的等式变形后，记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据α为锐角，联立①②求出sinα和cosα的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．解答：解：由sinα=+cosα，得到sinα﹣cosα=①，又sin2α+cos2α=1②，且α∈（0，），联立①②解得：sinα=，cosα=，∴cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，sin（α﹣）=（sinα﹣cosα）=，则==﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．16．f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，若f（﹣3）＜0，f（2011）=，则a 的取值范围是0＜a＜1．考点：函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性和周期性进行转化即可得到结论．解答：解：∵f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，∴f（2011）=f（2014﹣3）=f（﹣3）∵f（﹣3）＜0，∴f（2011）=＜0，解得0＜a＜1．故答案为：0＜a＜1点评：本题主要考查函数值的计算，根据函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键．三、解答题（共6道题，共70分）17．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x﹣1，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出函数f（x）的最小正周期，利用正弦函数的值域确定出f（x）最小值即可；（Ⅱ）由f（C）=0及第一问化简得到的解析式，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，利用余弦定理列出关系式，把c，b=2a，cosC的值代入即可求出a与b的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin2x﹣（cos2x+1）﹣1=sin2x﹣cos2x﹣2=2sin（2x﹣）﹣2，∵ω=2，﹣1≤sin（2x﹣）≤1，∴f（x）的最小正周期T=π；最小值为﹣4；（Ⅱ）∵f（C）=2sin（2C﹣）﹣2=0，∴sin（2C﹣）=1，∵C∈（0，π），∴2C﹣∈（﹣，），∴2C﹣=，即C=，将sinB=2sinA，利用正弦定理化简得：b=2a，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+4a2﹣2a2=3a2，把c=代入得：a=1，b=2．点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N+）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设bn=（1﹣S n+1）（n∈N+），令T n=，求T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）首先由递推式求出a1，取n=n﹣1（n≥2）得另一递推式，两式作差后可证出数列{a n}是等比数列，则其通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的a n代入递推式，则可求出1﹣S n+1，整理后得到b n，最后利用裂项相消求T n．解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1，由，得：．当n≥2时，．则，即，所以．∵，∴．故数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．故（n∈N*）．（Ⅱ）∵，∴．∴．∴．所以，T n===．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的前n项和，考查了计算能力，是中档题．19．如图，某学校组织500名学生体检，按身高（单位：cm）分组：第1组[155，160），第2组[160，165），第3组[165，170），第4组[170，175），第5组[175，180]，得到的频率分布直方图．（1）下表是身高的频数分布表，求正整数m，n的值；（2）现在要从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，第1，2，3组应抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在第3组的概率．区间〔155，160〕〔160，165〕〔165，170〕〔170，175〕〔175，180〕人数50 50 m 150 n考点：频率分布直方图；分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率分布直方图的高=，频率=，计算即可；（2）根据分层抽样方法，按频数比例计算即可；（3）根据古典概型的计算方法，先求所以可能的事件数，再求复合条件的可能事件数，然后求解即可．解答：解：（1）由频率分布直方图，m=0.08×5×500=200，n=0.02×5×500=50．（2）∵第1、2、3组共有50+50+200=300人，根据分层抽样的方法，第1组应抽6×=1人；第2组应抽6×=1人；第3组应抽6×=4人．（3）设第1组的同学为A；第2组的同学为B；第3组的同学为①、②、③、④，则从六位同学中抽两位同学共有：（A，B），（A，①），（A，②），（A，③），（A，④），（B，①），（B，②），（B，③），（B，④），（①，②），（①，③），（①，④），（②，③），（②，④），（③，④）15种可能，其中2人都不在第3组的有：（A，B）共1种可能，∴至少有一人在第3组的概率为1﹣=．点评：本题考查频率分布直方图、分层抽样方法及古典概型的概率计算．20．如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC，PC与⊙O所在的平面成45°角，E是PC中点．F为PB中点．（1）求证：EF∥面ABC；（2）求证：EF⊥面PAC；（3）求三棱锥B﹣PAC的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）在三角形PBC中，由E是PC中点，F为PB中点，知EF∥BC，由此能够证明EF∥面ABC．（2）由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，知BC⊥PA，再由AB是⊙O的直径，知BC⊥AC，故BC⊥面PAC，由此能够证明EF⊥面PAC．（3）因为PA⊥⊙O所在的平面，AC是PC在面ABC内的射影，所以∠PCA即为PC与面ABC所成角，故∠PCA=45°，PA=AC．由此能够求出三棱锥B﹣PAC的体积．解答：（1）证明：在三角形PBC中，∵E是PC中点，F为PB中点，∴EF∥BC，BC⊂面ABC，EF⊄面ABC，∴EF∥面ABC．（2）证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA．又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥面PAC∵EF∥BC，BC⊥面PAC，∴EF⊥面PAC．（3）解：∵PA⊥⊙O所在的平面，AC是PC在面ABC内的射影，∴∠PCA即为PC与面ABC所成角，∴∠PCA=45°，PA=AC，在Rt△ABC中，E是PC中点，，∴三棱锥B﹣PAC的体积．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．已知函数f（x）=x|x+m|+n，其中m，n∈R（1）若f（x）为R上的奇函数，求m，n的值；（2）若常数n=﹣4，且f（x）＜0对任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由f（0）=0，求得n=0，∴f（x）=x|x+m|．再由f（﹣1）=﹣f（1），求得m=0，从而得出结论．（Ⅱ）由题意，当x∈[0，1]时，f（x）=x|x+m|﹣4＜0恒成立，当x=0时，显然满足条件．故当x∈（0，1]时，应有﹣x﹣＜m＜﹣x+恒成立．再利用导数求得﹣x﹣的最小值和﹣x+的最大值，可得m的范围．解答：解：（Ⅰ）若函数f（x）=x|x+m|+n为奇函数，∴f（0）=0，即n=0，∴f（x）=x|x+m|．再由f（﹣1）=﹣f（1），有|m+1|=|m﹣1|，∴m=0，此时，f（x）=x|x|是R上的奇函数，故所求m，n的值为m=n=0．（Ⅱ）∵n=﹣4，当x∈[0，1]时，f（x）=x|x+m|﹣4＜0恒成立，当x=0时，显然满足条件．∴当x∈（0，1]时，应有|x+m|＜恒成立，可得﹣x﹣＜m＜﹣x+恒成立，对m＜﹣x+：令，当x∈（0，1]时，，则g（x）在（0，1]上单调递减，∴m＜g（x）min=g（1）=3．对﹣x﹣＜m：令，当x∈（0，1]时，，则h（x）在（0，1]上单调递增，∴m＞h（x）max=h（1）=﹣5．故所求m的取值范围是﹣5＜m＜3．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，利用导数求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，在正△ABC中，点D，E分别在边t上，且，AD，BE相交于点P，求证：（1）P，D，C，E四点共圆；（2）AP⊥CP．考点：圆內接多边形的性质与判定．专题：计算题；证明题；平面向量及应用．分析：（1）利用边角边公理，证出△ABD≌△BCE，得∠ADB=∠BEC，再用平角的定义与等量代换，得出∠PDC+∠BEC=π，所以四边形PDCE是圆内接四边形，即P，D，C，E四点共圆；（2）连接DE，在△CDE中利用余弦定理和勾股定理的逆定理，得到∠CED=90°，再结合（1）四边形PDCE是圆内接四边形得到∠DPC=∠CED=90°，可证出AP⊥CP．解答：解：（1）∵正△ABC中，∴BD=CE，AB=BC且∠ABD=∠BCE=60°∴△ABD≌△BCE，得∠ADB=∠BEC∵∠PDC+∠ADB=π，∴∠PDC+∠BEC=π，得四边形PDCE的对角互补∴四边形PDCE是圆内接四边形，即P，D，C，E四点共圆；﹣﹣﹣（5分）（2）如图，连接DE，∵在△CDE中，CD=2CE，∠DCE=60°，∴由余弦定理，得DE2=CD2+CE2﹣2CD•CEcos60°=3CE2由此可得CE2+DE2=4CE2=CD2，所以∠CED=90°∵P，D，C，E四点共圆∴∠DPC=∠CED=90°，得AP⊥CP点评：本题给出正三角形的两个三等分点，得到全等三角形，求证四点共圆并证明两直线垂直，着重考查了三角形全等的判定、圆內接多边形的性质与判定和余弦定理等知识，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．在极坐标中，已知圆C经过点P（，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：选作题．分析：先把极坐标方程化为普通方程，写出圆C的普通方程，再化为极坐标方程即可．解答：解：∵点，∴x==1，y==1，∴点P（1，1）．∵直线，展开为，∴，令y=0，则x=1，∴直线与x轴的交点为C（1，0）．∴圆C的半径r=|PC|==1．∴圆C的方程为：（x﹣1）2+y2=1，展开为：x2﹣2x+1+y2=1，化为极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．∴圆C的极坐标方程为：ρ=2cosθ．点评：本题考查极坐标方程与普通方程的互化，灵活利用极坐标方程与普通方程的互化公式是解决问题的关键．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．已知关于x的不等式|2x+1|﹣|x﹣1|≤log2a（其中a＞0）．（1）当a=4时，求不等式的解集；（2）设f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|，若不等式f（x）≤log2a有解，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）把要求的不等式等价转化为与之等价的3个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由（1）求得f（x）的最小值为．所以若使f（x）≤log2a有解，只需log2a≥f（x）min ，由此求得a的范围．解答：解：（1）当a=4时，f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|=，不等式即f（x）≤2，可得①，或②，或③．解①求得﹣4≤x＜﹣；解②取得﹣≤x≤；解③求得x∈∅，综上可得，不等式的解集为{x|﹣4≤x≤}．（2）由（1）可得，即f（x）的最小值为．所以若使f（x）≤log2a有解，只需log2a≥f（x）min=﹣，∴a≥==，即a的范围为[，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数的应用，函数的能成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
