统计学基础第八章

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统计学——第八章参数估计
例2：已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得 其使用寿命如表8－5所示。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间。 表8－5
1510 1450 1480 1460
16只灯泡使用寿命数据
1520 1480 1490 1460 1480 1510 1530 1470
x t α 2
σ n
σ n
x t α 2
S n
S n
非正态分布 大样本（n≥30） x Z α 2
x Zα 2
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二、总体比例的区间估计 1. 样本比例经标准化后的随机变量则服从正态分布，即：
Z p π π(1 π) n ~ N(0,1)
2. 总体比例在1-置信水平下的置信区间为：
即全部灯泡的平均使用寿命，在置 信水平1－α ＝0.95下的置信区间 为（1476.8，1503.2）h。
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总结：
表8-6
总体分布
总体均值的区间估计
σ已知
σ n
样本容量
σ未知
x Zα 2 S n
大样本（n≥30） x Z α 2 正态分布 小样本（n<30）
即该批食品平均重量95%的置信区间为101.44～109.28 g。
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统计学——第八章参数估计 利用Excel来计算置信区间
• 1.将样本数据输入Excel工作表中A1︰E5
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• 2.计算样本均值。点击粘贴函数“fx”，选择“统计”下的“AVERAGE”函 数。在出现的“函数参数”对话框中，“Number1”一栏填入样本数据所在 x 区域A1︰E5，然后“确定”，在输出区域内（本例放置在F1）得结果105.36， 此即样本均值。
单位：h
1500 1520 1510 1470
解：根据样本数据，计算样本均值=1490 h，样本方差S=24.77 h 根据α =0.05查t分布表得（n-1）=t0.025 (15)=2.131 于是，平均使用寿命的置信区间为：
x tα 2 S 24.77 1490 2.131 n 16 1490 13.2 1476.8， 1503.2
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一、抽样推断 （一）抽样推断的概念：按照随机性原则，从研究对象中 抽取一部分进行观察，并根据所得到的观察数据，对研究 对象的数量特征做出具有一定可靠程度的估计和推断，以 达到认识总体的一种统计方法。 （二）抽样推断的特点： 1.样本资料对总体的数量特征作出具有一定可靠性。 2.按照随机性原则从全部总体中抽取样本单位。 3.抽样推断必然会产生抽样误差。
解：根据样本数据计算样本方差：
S2 =93.21； 已知n＝25，1-＝95% ,查χ 2分布表可得临界值为：
2 χ 2 2 (n 1) χ 0.025 (24) 39.3641 α
2 2 χ 1α 2 (n 1) χ 0.975 (24) 12.4011
总体方差 2置信水平为95%的置信区间为 ：
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二、参数估计的一般问题 （一）参数估计（parameter estimation）就是用样本统 计量去估计总体的参数。
1. 估计量：用于估计总体参数的随机变量 • 如样本均值、样本比率、样本方差等 • 样本均值就是总体均值的一个估计量 2. 参数用表示，估计量用 ˆ 表示 3. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值 • 如果样本均值 x =5600，则5600就是总体均值 的估计值
ˆ P( )
较大的样本容量
B A
较小的样本容量

图8-5 两个不同容量样本统计量的抽样分布
ˆ
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有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小 标准差的估计量更有效。
ˆ P( )
ˆ1 的抽样分布
B A
ˆ2 的抽样分布
ˆ

图8-6 两个无偏点估计量的抽样分布
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第二节
单总体参数的区间估计
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统计学——第八章参数估计
一、总体均值的区间估计
（一）大样本的估计方法 1.样本均值经过标准化以后的随机变量则服从正态分布，
x μ 即Z ~ N(0， 1) σ n
2.总体均值所在（1-α ）置信水平下的置信区间为：
即该城市家庭中，拥有电脑的比例在置信水平95％下的置信区间为： （50.396％，69.604％）。
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统计学——第八章参数估计 三、总体方差的区间估计 总体方差在（1-α ）置信水平下的置信区间为：
n 1 S σ 2 n 1 S 2 2 χ α 2 n 1 χ 1α 2 n 1
p z α 2 p(1- p) n
式中，1-α 称为置信水平；
Z 2 是标准正态分布上侧面积为α
Zα 2
/2时的临界值；
p(1- p) 是估计总体比例时的允许误差。 n
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例3：为了解某城市家庭电脑的普及情况，随机抽取了100户家庭，其中有60户 有电脑。试以95％的置信水平估计该城市家庭中拥有电脑比例的置信区间。
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表8-2
样本统计量和总体参数符号对应关系
总体参数 均值 比例 方差
符号表示 μ π σ
2
样本统计量
x
p S
2
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（二）点估计与区间估计
1.点估计 根据样本统计量直接估计出总体参数θ 的值，称为参 数的点估计。常用的方法有两种：矩估计法和极大似然估 计法。 2.区间估计 在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个范围。 图8-1给出了区间估计的示意图：
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解： 已知总体服从正态分布， 且标准差为σ =10， n=25， 置信水平为 1－α ＝95%，查标准正态分布表得：
Z 2
=1.96
根据样本计算均值，得 x ＝105.36 g 于是有：
x Zα 2 σ 10 105.36 1.96 n 25 105.36 3.92 101.44,109 .28
x μ t ~ t(n 1) S n
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t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正 态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的 参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布，如图 8-7和图8-8所示：
图8-7
t分布与标准正态分布的比较 图8-8 不同自由度的t分布
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统计学——第八章参数估计
• 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为：
x t α 2
S n
式中：tα /2是自由度为n-1时，t分布中上侧面积 为α /2时的临界值，该值可通过t分布表查得。
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利用Excel中的TINV统计函数 计算t分布临界值
第八章
参数估计
统计学——第八章参数估计
本章内容
第一节 参数估计的一般问题
第二节
第三节
单总体参数的区间估计
样本容量的确定
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统计学——第八章参数估计
第一节
参数估计的一般问题
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统计学——第八章参数估计
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计 推断统计 参数估计 假设检验
x Z α 2
x Z α 2 σ n
称为置信下限，
σ n
x Z α 2 σ n
称为置信上限。
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统计学——第八章参数估计
例1：一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企 业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产 的一批食品中随机抽取了25 袋，测得每袋重量如表8-3所示。已知产品重量 的分布服从正态分布，且总体标准差为10 g。试估计该批产品平均重量的置 信区间，置信水平为95%。 表8-3
25 1 93.21 2 25 1 93.21
39.3641 12.4011
即：总体方差的置信区间为（56.83，180.39）。
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三、评估估计量的标准
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体 参数。
ˆ P( )
无偏 有偏
A
B

图8-4 有偏和无偏估计量的例子
ˆ
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一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接 近被估计的总体参数。
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• 5.置信下限为105.36－3.78＝101.58，置信上限为105.36＋3.78＝ 109.14，即置信区间为（101.58，109.14）g。
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（二）小样本的估计方法 总体方差σ 2未知，而且是在小样本的情况下，则需要用 样本方差S2代替σ 2，这时样本均值经过标准化以后的随机变 量则服从自由度为（n-1）的t分布，即：
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