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三、简单曲线的极坐标方程 【基础知识导学】
1、极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C 上任一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程
0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程。
1． 直线与圆的极坐标方程
① 过极点，与极轴成α角的直线
极坐标议程为
αθραθtan tan )(=∈=或R
②以极点为圆心半径等于r 的圆的
极坐标方程为 r =ρ
【知识迷航指南】 例1求（1）过点)4
,2(π
A 平行于极轴的直线。
（2）过点)3
,
3(πA 且和极轴成
4
3π
角的直线。 解（1）如图，在直线l 上任取一点),(θρM ，因为)4
,2(π
A ，所以|MH|=224
sin
=⋅π
在直角三角形MOH 中|MH|=|OM|sin θ即2sin =θρ，所以过点)4
,2(π
A 平行于极轴的直线
为2sin =
θρ。
（2）如图 ，设M ),(θρ为直线l 上一点。
)3
,
3(π
A ， OA =3，3
π
=
∠AOB
x
O
由已知4
3π=∠MBx ，所以125343π
ππ=-=∠OAB ，所以127125πππ=
-=∠OAM 又θπ
θ-=
-∠=∠4
3MBx OMA 在∆MOA 中，根据正弦定理得 12
7sin
)43sin(3πρ
θπ=
- 又426)34sin(127sin
+=+=πππ 将)4
3sin(θπ
-展开化简可得23233)cos (sin +=
+θθρ 所以过)3
,3(π
A 且和极轴成
4
3π
角的直线为：23233)cos (sin +=+θθρ
〔点评〕求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件。将它用坐标表示。再通过代数变换进行化简。
例2（1）求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程。（2）从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程。
解：（1）设),(θρp 为圆C 上任意一点。圆C 交极轴于另一点A 。由已知 OA =8 在直角∆AOD 中θcos OA OD =，即 θρcos 8=， 这就是圆C 的方程。
（2）由4==OC r 。连接CM 。因为M 为弦ON 的中点。所以ON CM ⊥，故M 在以OC 为直径的圆上。所以，动点M 的轨迹方程是：θρcos 4=。
〔点评〕 在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法，动点转移法。在极坐标中。求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的。例2中（1）为直译法，（2）为定义法。此外（2）还可以用动点转移法。请同学们尝试用转移法重解之。 例3 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。 （1）x y 42= （2）3
π
θ=
（3）12
cos 2
=θ
ρ （4）42cos 2=θρ
解：（1）将θρθρsin ,cos ==y x 代入x y 42=得θρθρcos 4)sin (2=化简得
θθρsin 4sin 2=
（2）∵x y =
θtan ∴ 33tan ==x y
π 化简得：)0(3≥=x x y （3）∵12cos 2=θρ ∴ 12
cos 1=+θ
ρ。即2cos =+θρρ 所以
222=++x y x 。
化简得 )1(42--=x y 。
（4）由42cos 2=θρ 即4)sin (cos 222=-θθρ 所以 422=-y x 〔点评〕 （1）注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提。
（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定πθρ20,0<≤>
（3）由极坐标方程化为极坐标方程时，要注意等价性。如本例（2）中。由于 一般约定.0>ρ故3
π
θ=表示射线。若将题目改为)(3
R ∈=
ρπ
θ 则方程化为：x y 3=
〔解题能力测试〕 1 判断点)35,21(π-
是否在曲线2
cos θ
ρ=上。 2．将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。 （1）01222=--+x x y ；
（2）θ
ρcos 21
-=
。
3．下列方程各表示什么曲线？
（1）a y =： 。 （2）a =ρ： 。 （3）αθ=： 。
〔潜能强化训练〕
１ 极坐标方程分别是θρcos =和θρsin =的两个圆的圆心距是（ ）
Ａ ２ Ｂ 2 Ｃ １ Ｄ
2
2 ２ 在极坐标系中，点)2
,
3(π
关于6
π
θ=
)(R ∈ρ的对称的点的坐标为 （ ） A )0,3( B )2,3(π C )32,3(π- D )6
11,3(π
3在极坐标系中，过点)3
,3(π
且垂直于极轴的直线方程为（ ）
A 2
3cos =
θρ B 23sin =θρ C θρcos 23= D θρsin 23
=
4 极坐标方程 )0(2
2
cos ≥=
ρθ 表示的曲线是 （ ） A 余弦曲线 B 两条相交直线 C 一条射线 D 两条射线 5 已知直线的极坐标方程为 2
2)4
sin(=
+π
θρ，则极点到该直线的距离是： 。 6 圆)sin (cos 2θθρ+=
的圆心坐标是： 。
7 从原点O 引直线交直线0142=-+y x 于点M ，P 为OM 上一点，已知1=OM OD 。 求P 点的轨迹并将其化为极坐标方程。
