小数循环节

1 学生姓名

年 级 五年级上 学 科 数学

上课时间 教师姓名

课 题 循环小数

教学目标 1．初步认识循环小数、循环节、有限小数、无限小数。

2．能正确区分有限小数和无限小数。

3．掌握循环小数的简便记法，能用循环小数表示除法算式的商。

重点：认识循环小数，正确运用循环小数表示商。

难点：理解循环小数产生的原因。

1．你能举例说一说生活中常见的循环现象吗？

例：春→夏→秋→冬

2．用计算器计算下面各题，并说一说商的特点。

2÷7 2÷11

周期问题：

日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，比如每周七天，从星期一开始，到星期日结束，总是以七天为一个循环不断重复出现。我们把这种会重复出现的规律性问题称为周期问题。

方案/

知识点 循环小数的意义 有限小数和无限小数

熟练

掌握

生疏

2

可能原因及对策

知识点一 循环小数的意义

问题(1)导入 平均每秒跑多少米呢？

过程讲解

1．观图，读题，理解题意并列式

已知条件是王鹏跑400m用了75秒，所求问题是平均每秒跑多少米。根据“速度＝路程÷时间”可知，求平均每秒跑多少米，用除法计算，列式为400÷75。

易错提示

此题虽然没有除尽，但计算结果不是近似数，因此要用“＝”连接。 2．用竖式计算400÷75

难点点拨

计算中发现，余数重复出现25，商3也重复出现，在余数后添0继续除，总也除不尽，小数位数是无限的，写商时对于重复的数字，先写出几个后，其余的用省略号代替。 400÷75＝5.333…(m)

3 25

答：平均每秒跑5.333…m。

问题(2)导入 先计算，再说一说这些商的特点。

28÷18＝ 78.6÷11＝

过程讲解

1．用竖式计算

28÷18＝1.555…

4 2．观察两个竖式及商的特点

计算28÷18时，余数重复出现10，商的小数部分从十分位起重复出现5，商可用1.555…表示；计算78.6÷11时，余数重复出现5和6，商的小数部分从百分位起重复出现4和5，商可用7.14545…表示。

— 1 — 循环小数教学设计教案人教版6篇

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循环小数教学设计教案人教版1

教材分析

— 2 — 循环小数是个新知识。这部分概念较多，又比较抽象，是教学的一个难点。教材通过例8，先让学生做除法。通过实际计算，发现这些除法无论除到小数点后面多少位，都除不尽。然后，教材中提出问题，让学生观察它们的商有什么特点，并想一想这是为什么。根据学生计算出的除法竖式，引导学生发现商和余数的关系。由于余数重复出现，商也重复出现，而且这样的重复是循环不断的。从而，引出循环小数的概念。接着，教材通过两个数相除时商的两种情况，介绍有限小数和无限小数的概念。以前学生对小数概念的认识仅限于有限小数。到学习了循环小数以后，小数概念的内涵进一步扩展了，学生认识到除了有限小数以外，还有无限小数，循环小数就是一种无限小数。最后，介绍循环节、纯循环小数和混循环小数等概念，这些都是选学内容。介绍循环小数的简便记法，说明当两个数相除不能除尽时，可以用循环小数表示商，小数的循环部分可以只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。

未知驱动探索，专注成就专业

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循环小数的概念

引言

在数学中，我们经常会遇到一些特殊的小数，它们的小数部分存在一段或多段重复的模式。这种小数被称为循环小数。本文将介绍循环小数的概念以及其相关性质和应用。

循环小数的定义

循环小数是指小数部分存在一定的重复模式的数。当进行除法运算时，如果出现了重复的商数或余数，那么所得到的小数就是循环小数。循环小数可以用一个或多个数字组成的周期来表示，并在周期前或后可能存在有限的不循环的数字序列。

循环节和周期

在循环小数中，重复的模式被称为循环节，用一对括号将其括起来表示。例如，0.333…可以写作0.(3)，其中3为循环节。循环节的长度称为周期。例如，0.1666…可以写作0.(16)，其中16为循环节，周期为2。有些循环小数的循环节长度可以为1，例如1/3=0.(3)。 未知驱动探索，专注成就专业

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无理数和有理数的关系

循环小数是有理数的一种特殊情况。有理数是可以表示为两个整数之间的比值的数，包括整数、有限小数和循环小数。而无理数则不能用有限小数或循环小数来表示。

循环小数可以通过有限小数来近似表示。例如，π是无理数，但可以用3.14或3.14159等有限小数来近似表示。这种近似只能取得一定的精度，无法完全表达无理数的无限小数部分。

循环小数的转化

循环小数可以转化为分数形式。例如，将0.(6)转化为分数形式的步骤如下：

1. 假设循环小数为x，循环节长度为n，那么将x乘以10的n次方，得到10^n*x。

2. 将10^nx减去原始循环小数x，得到10^nx - x = 9*x。

3. 将步骤2的结果除以10^n - 1，得到(10^nx - x) /

(10^n - 1) = 9x / (10^n - 1)。 未知驱动探索，专注成就专业

3

4. 将步骤3的结果化简为最简分数形式，即得到0.(6)

= 9/15 = 3/5。

通过这个转化方法，我们可以将循环小数转化为最简分数形式，从而更方便地进行计算和分析。

循环小数与周期性问题

从前有座山，山里有个庙，庙里老和尚在给小和尚讲故事，讲什么呢？老和尚讲：从前有座山，山里有个庙，庙里老和尚在给小和尚讲故事，讲什么呢？老和尚讲：从前有座山，山里有个庙……

小朋友，这个故事听过吗？其实，在我们日常生活中有许多不断循环出现的现象，如：春夏秋冬，一年四季，周而复始；星期天星期六，一周又一周，不断地循环往复等等。在这些现象中，我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。四季的变化以一年为周期，星期的变化以7天为一周期。在数学里，也常常会碰到一些重复出现的周期性规律的问题。例如余数问题、星期问题等，而我们这里重点是学习有关循环小数的问题。

在周期性问题里，关键是找到规律性现象的周期，这样就可以使较难的问题转化为较简单的问题。所以解决此类问题必须抓住两点：

1． 找出规律，发现周期现象，确定重复出现的元素的个数是几，周期就是几。

2． 将题中要求的问题和某一周期的等式相对应，再运用一些简单的计算和分析求出答案。

【例1】 计算1÷7，小数点后面第100位上的数字是几？

练习：

1．4÷7，并将结果用“四舍五入法”精确到小数后第100位，这第100位上的数字是几？

【例2】 计算6÷7商的小数点后面1000个数字的和是几？

练习：

1． 循环小数0.21999小数点后第100位上的数字是几？这100个数字的和是多少？

【例3】 在循环小数0.2763824中，最少从小数点右面第几位开始到第几位为止的数字之和等于2020。

练习：

在循环小数0.67406379中，最少从小数右面第几位开始，到第几位为止的数字之和等于200110？

【例4】 划去小数0.46572391后面的若干位数字，再添上表示循环节的两个圆点，得到一个循环小数（例如：0.4657）使得新的循环小数是最大的或最小的？

练习：

1． 在小数0.71828365末尾划去若干个数字，添上表示循环节的两个小圆点，得到一个循环小数，使得新的循环小数是尽可能大的或尽可能小的？