江苏省扬州市2015-2016学年高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷（文科）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1．已知集合A={x|x≥0}，B={x|x＜1}，则A∩B= ．

2．复数（2+i）i的虚部为 ．

3．命题：“若a≠0，则a2＞0”的否命题是“ ”．

4．若函数f（x）=2cosx，则f′（x）= ．

5．lg+2lg2+（）0= ．

6．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点（2，），则f（16）= ．

7．直线l过点（1，1），且与直线x+2y+2016=0平行，则直线l的方程为 ．（答案写成一般式方程形式）

8．将函数y=sinx的图象向右至少平移 个单位可得到函数y=cosx的图象．

9．“a＜0”是方程“ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的 条件．

10．已知f（x）=3x|x|，且f（1﹣a）+f（2a）＜0，则实数a的取值范围是 ．

11．已知sin2α=，则cos2（α+）= ．

12．过直线y=2x上的一点P作⊙M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1的两条切线l1，l2，A，B两点为切点．若直线l1，l2关于直线y=2x对称，则四边形PAMB的面积为 ．

13．考察下列等式：

cosθ+isinθ=a1+b1i，

（cosθ+isinθ）2=a2+b2i，

（cosθ+isinθ）3=a3+b3i，

…

（cosθ+isinθ）n=an+bni，

其中i为虚数单位，an，bn（n∈N*）均为实数．由归纳可得，当θ=时，a2016+b2016的值为

．

14．已知函数f（x）=（+）（2﹣1），若关于x的方程f（x）=m有实数解，则实数m的取值范围为 ．

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．已知复数z=1﹣i．

（1）设w=z（1+i）﹣1﹣3i，求|w|；

（2）如果=i，求实数a，b的值．

16．定义在实数集上的函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）=x2+ax+a．

（1）求f（x）、g（x）的解析式；

（2）命题p：∀x∈[1，2]，f（x）≥1，命题q：∃x∈[﹣1，2]，g（x）≤﹣1，若p∨q为真，求a的范围． 17．已知函数f（x）=sinx﹣2cos2．

（1）求f（）的值；

（2）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的值域；

（3）若直线x=x0是函数y=f（4x）图象的对称轴，且x0∈[0，]，求x0的值．

18．在平面直角坐标系xOy中，⊙C经过二次函数f（x）=（x2+2x﹣3）与两坐标轴的三个交点．

（1）求⊙C的标准方程；

（2）设点A（﹣2，0），点B（2，0），试探究⊙C上是否存在点P满足PA=PB，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

19．定义在[a，b]上的函数f（x），若存在x0∈（a，b）使得f（x）在[a，x0]上单调递增，在[x0，b]上单调递减，则称f（x）为[a，b]上的单峰函数，x0为峰点．

（1）若f（x）=﹣x3+3x，则f（x）是否为[0，2]上的单峰函数，若是，求出峰点；若不是，说明理由；

（2）若g（x）=m•4x+2x在[﹣1，1]上不是单峰函数，求实数m的取值范围；

（3）若h（x）=|x2﹣1|+n|x﹣1|在[﹣2，2]上为单峰函数，求负数n的取值范围．

20．已知函数f（x）=x2﹣2alnx（a∈R），g（x）=2ax．

（1）求函数f（x）的极值；

（2）若a＞0，函数h（x）=f（x）﹣g（x）有且只有一个零点，求实数a的值；

（3）若0＜a＜1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求a的取值范围．

2015-2016学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1．已知集合A={x|x≥0}，B={x|x＜1}，则A∩B= [0，1） ．

【考点】交集及其运算．

【分析】借助于数轴直接利用交集的运算求解．

【解答】解：如图，

因为集合A={x|x≥0}，B={x|x＜1}，

所以，A∩B={x|x≥0}∩{x|x＜1}=[0，1）．

故答案为[0，1）．

2．复数（2+i）i的虚部为 2 ．

【考点】复数的基本概念．

【分析】先由复数的乘法求出复数，再由复数的概念求解．

【解答】解：（2+i）i=﹣1+2i

由复数的概念可得：

虚部为2

故答案为：2

3．命题：“若a≠0，则a2＞0”的否命题是“ 若a=0，则a2≤0 ”．

【考点】四种命题．

【分析】写出命题的条件与结论，再根据否命题的定义求解．

【解答】解：命题的条件是：a≠0，结论是：a2＞0．

∴否命题是：若a=0，则a2≤0．

故答案为：若a=0，则a2≤0．

4．若函数f（x）=2cosx，则f′（x）= ﹣2sinx ．

【考点】导数的运算．

【分析】根据函数的导数公式进行求解即可．

【解答】解：∵f（x）=2cosx，

∴f′（x）=﹣2sinx，

故答案为：﹣2sinx

5．lg+2lg2+（）0= 2 ．

【考点】对数的运算性质．

【分析】利用对数、指数性质、运算法则求解．

【解答】解：lg+2lg2+（）0

=lg+1

=lg（）+1

=lg10+1

=2．

故答案为：2．

6．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点（2，），则f（16）= 4 ．

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．

【分析】根据幂函数过点（2，），代入求出函数的解析式即可．

【解答】解：∵幂函数f（x）=xα（α∈R）过点（2，），

∴f（2）=2α=，则α=，

即f（x）==，

则f（16）==4，

故答案为：4．

7．直线l过点（1，1），且与直线x+2y+2016=0平行，则直线l的方程为 x+2y﹣3=0 ．（答案写成一般式方程形式）

【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．

【分析】设直线l过点（1，1），且与直线x+2y+2016=0平行的直线方程为x+2y+c=0，把点A（1，1）代入，能求出直线方程

【解答】解：设直线l过点（1，1），且与直线x+2y+2016=0平行的直线方程为x+2y+c=0，

把点A（1，1）代入，得：

1+2+c=0，

解得c=﹣3，

∴所求直线方程为：x+2y﹣1=0．

故答案为：x+2y﹣3=0．

8．将函数y=sinx的图象向右至少平移 个单位可得到函数y=cosx的图象．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

【解答】解：将函数y=sinx的图象向右至少平移个单位可得到函数y=sin（x﹣）=cosx的图象， 故答案为：．

9．“a＜0”是方程“ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的 充分不必要 条件．

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；元素与集合关系的判断．

【分析】我们先判断“a＜0”时，方程“ax2+2x+1=0至少有一个负数根”是否成立，再判断方程“ax2+2x+1=0至少有一个负数根”时，“a＜0”是否成立，然后结合充要条件的定义，即可得到答案．

【解答】解：当a＜0时，△=4﹣4a＞0，

由韦达定理知x1•x2=＜0，

故此一元二次方程有一个正根和一个负根，符合题意；

当ax2+2x+1=0至少有一个负数根时，a可以为0，

因为当a=0时，该方程仅有一根为﹣，

所以a不一定小于0．

由上述推理可知，“a＜0”是方程“ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的充分不必要条件．

故答案为：充分不必要

10．已知f（x）=3x|x|，且f（1﹣a）+f（2a）＜0，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣1） ．

【考点】奇偶性与单调性的综合．

【分析】根据条件判断函数f（x）是增函数同时也是奇函数，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．

【解答】解：当x≥0时，f（x）=3x2，此时函数为增函数且f（x）≥0，

当x＜0时，f（x）=﹣3x2，此时函数为增函数且f（x）＜0，

综上函数f（x）在R上是增函数，

∵f（﹣x）=﹣3x|x|=﹣f（x），

∴f（x）是奇函数，

则不等式f（1﹣a）+f（2a）＜0等价为f（2a）＜﹣f（1﹣a）=f（a﹣1），

则2a＜a﹣1，

得a＜﹣1，

即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1），

故答案为：（﹣∞，﹣1）．

11．已知sin2α=，则cos2（α+）= ．

【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦．

【分析】用二倍角的余弦公式化简后代入已知即可．

【解答】解：∵sin2α=，

∴cos2（α+）====． 故答案为：．

12．过直线y=2x上的一点P作⊙M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1的两条切线l1，l2，A，B两点为切点．若直线l1，l2关于直线y=2x对称，则四边形PAMB的面积为 ．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】本题考查了直线和圆的有关问题，结合对称性，可以判断出MP和直线y=2x对称，利用切线长相等，可以求出两个全等的三角形的面积．

【解答】解：直线l1，l2关于直线y=2x对称，

所以PM与直线y=2x垂直，

由点到直线的距离公式可得PM==，

因为切线长相等，△PAM≌△PBM，

所以四边形的面积为：

2×．

故答案为：．

13．考察下列等式：

cosθ+isinθ=a1+b1i，

（cosθ+isinθ）2=a2+b2i，

（cosθ+isinθ）3=a3+b3i，

…

（cosθ+isinθ）n=an+bni，

其中i为虚数单位，an，bn（n∈N*）均为实数．由归纳可得，当θ=时，a2016+b2016的值为 1 ．

【考点】归纳推理．

【分析】由题意，（cosθ+isinθ）2016=a2016+b2016i，结合θ=及复数的运算，即可得出结论．