2017-2018学年江苏省扬州市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
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2017-2018学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷（理科）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请将 答案填写在答题卡相应的位置上.）
1. （5 分）已知集合 A={2}, B={1, a2},若 AU B={0, 1, 2},则实数 a=.
2. （5分）已知i是虚数单位，则|1-2i尸.
3. （5分）若幕函数f （x） =xa的图象经过点（3,然），则实数a=.
4. （5 分）若 C ：二C ;，则 C ,.
5. （5分）若函数y=f （x）的图象经过点（1, 2）,则y=f （ - x） +1的图象必经过的点 坐标是.
9-i
6. （5分）已知i是虚数单位，则复数2号的共腕复数是 _________ .
1+1
4 , 2
7. （5分）用数学归纳法证明：1=2+3+-彳=2”一,则等式左端在n=k+1时比在n=k时 增加的项数为.
.. ............. |AXO+BVQ+C| ..... 8. （5分）点（X0, yo）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d= 丁厂— ,口 ,通过类比的
A/A2+B2
方法，可求得：在空间中，点（1,1,2）到平面x+y+2z+3=0的距离为.
9. （5分）若复数z满足|z-1-2i|=2,则|z|的最小值为.
10. （5分）xCR,用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}=x-|x|表示x的小数部分，
. .................................... 仁 _ 1 …
已知数歹（J {an}?两足：a1=1d, an+1=[an]+ 13 ,贝U a2018=.
11. （5分）分别在曲线y=2lnx与直线y=2x+3各取一点M,N,则MN的最小值为.
12. （5分）某市旅游节分配志愿者工作，组委会将甲乙丙丁戊五名志愿者分配到翻译，
导游，司机三个岗位，若每人不准兼职则不同的分配方案有 种.
13. （5分）设函数 f （x） =cx-ax-bx,其中 c>a>0, c>b>0,若 a, b, c是AABC的 三条边长，则下列结论正确的是 .
①？ x€ （-8, 1）,使得 f （x） 》0 成立；
②？ xC R, ax, bx, cx总能构成一个三角形的三条边长；
③若△ ABC为直角三角形，则？ nCN*, f （2n） >0包成立； ④若△ ABC为钝角三角形，则方程f （x） =0在区间（1,2）必有解;
14. (5分)定义在R的函数f (x)满足：f (x) +f (-x) =x2,且当x》0时，f'(x) < x.设函数 g (x) =2ex+3x-a,若存在 xoC{x|f (x) - f (1 - x) >x-2},使得 g[ g (xo) ] =xo,则实数a的取值范围是.
二、解答题(本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤.)
15. (15 分)全集 U=R,函数 f (x) = 1 +lg (3-x)的定义域为 A,则函数 y=lg2x-lgx+a 在xC [ 1 , 10]的值域为B.
(1)求？UA；
(2)若AUB=A,求实数a的取值范围.
2 ..... ...... .... 一一 一 一，， 一一 一，一，,一
16. (15分)若(x-与二)n展开式中的第四项的二项式系数是第二项的二项式系数的 5
倍，求：
(1) n的值；
(2)展开式中含x3的项.
17. (15分)若命题p：关于x的不等式3x
(1)若命题pAq是真命题，求实数a的取值范围.
(2)设命题m：函数y=x2+bx+a的图象与x轴有公共点，若「p是「m的必要不充分条 件，求实数b的取值范围.
18. (15分)某中学旅游局欲将一块长 20百米，宽10百米的矩形空地ABCD建成三星 级乡村旅游园区，园区内有一景观湖EFG(如图中阴影部分)以AB所在直线为x轴， AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy, O为园区正门，园区北门P在y 一，一， 一
一，一……，一一，…4 ，…一
正半轴上，且PO=10百米.景观湖的边界线符合函数 y=x+— (x>0)的模型.
(1)若建设一条与AB平行的水平通道，将园区分成面积相等的两部分，其中湖上的部 分建成玻璃栈道，求玻璃栈道的长度.
(2)若在景观湖边界线上一点 M修建游船码头，使得码头 M到正门O的距离最短， 求此时M点的横坐标. (3)设图中点B为仓库所在地，现欲在线段 OB上确定一点Q建货物转运站，将货物
从点B经Q点直线转运至点P (线路PQ不穿过景观湖)，使货物转运距离QB+PQ最 短，试确定点P的位置.
19. (15分)如图在平面直角坐标系 xOy中，圆C的方程为x2+ (y-2) 2=1,且圆C与 y轴交于M, N两点(点N在点M的上方)，直线l： y=kx (k>0)与圆C交于A, B 两点.
(1)若AB=^,求实数k的值.
5
(2)设直线AM,直线BN的斜率分别为k1，k2,若存在常数a使彳# k产ak2包成立？若 存在，求出a的值.若不存在请说明理由.
(3)若直线AM与直线BN相较于点P,求证点P在一条定直线上.
20. (15 分)已知 f (x) =x (lnx— ax).
(1)若a=0,求函数f (x)的单调区间和最小值.
(2)若f (x)有两个极值求实数a的取值范围.
(3)若x1, x2C (±1),且x〔+x2<1,比较x1x2与(为+⑼4的大小，并说明理由.
已
二.数学附加题
21.已知(1 — 2x) n=ao+ax1+a2x2+・ +anxn (nCN*),且 a1二—10
(1)求n的值； (2)求a1+a2+・・+an的值.
22 .在一个口袋中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同.某学生一次从 中摸出3个球，其中白球的个数记为 X.
(1)求X的概率分布；
(2)求X的数学期望.
23 .如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA，平面ABCD PA=AB M 是PC上一点，且可!=宛(a 0) .
(1)当人=3寸，求直线PB与直线DM所成角的余弦值；
(2)若直线PB与平面MBD所成角的余弦值为 ■，求实数入的值.
0
24.如图，平面上已有一个边长为1的正方形，现按如图规律作正方形：第一步向右作 一个边长也为1的正方形；第二步向下以上面两个正方形的边长之和为边作正方形； 第三步向右以左面两个正方形的边长之和为边长作正方形， …，记第n步所作正方形
的边长为f (n), nC N
(1)求 f (1) f (3) — f2 (2)和 f (2) f (4) -f2 (3)的值；
(2)试猜想f (n) f (n+2) - f2 (n+1)的结果，并用数学归纳法证明.
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2017-2018学年江苏省扬州市高二 (下)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请将 答案填写在答题卡相应的位置上.)
1 .【分析】由集合A={2}, B={1, a2}, AU B=[0, 1, 2},得a2=0,由此能求出实数a. 【解答】解：..集合 A={2}, B={1, a2}, AU B={0, 1,2},
a2=0,解得实数a=0.
故答案为：0.
【点评】本题考查实数值的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查 函数与方程思想，是基础题.
2 •【分析】直接利用复数模的计算公式求解.
【解答】解：| 1-2i|=7i2+(-2)2=V5-
故答案为：加.
【点评】本题考查复数模的求法，是基础题.
3 .【分析】把点的坐标代入幕函数f (x)的解析式，求出a的值即可
【解答】解：二•幕函数f (x) =xa的图象经过点(3,加)，
；(3) a=注,
解得：a=1,
故答案为：
【点评】本题考查了用待定系数法求幕函数解析式的应用问题，是基础题目
4 .【分析】利用：当C：=C；时，可得x=y或x+y=n,即可求解.
【解答】解：:C、C :, ...n=4+7=11.
则 C n=Cll=C 11=55-
故答案为：55.
【点评】本题考查了组合数公式，属于基础题. 5•【分析】根据函数的图象变换规律，求得点(1,2)变换后的点的坐标，可得答案.
【解答】解：把函数y=f (x)的图象关于y轴对称，再向上平移1个单位，可得函数y=f
(-x) +1的图象.
把函数y=f (x)的图象上的点(1,2)关于y轴对称、再向上平移1个单位，可得点(-
1, 3),
故函数y=f (- x) +1的图象必定经过的点的坐标是(-1,3),
故答案为：(-1, 3).
【点评】本题考查函数的图象经过的点的求法， 考查函数性质、函数的平移等基础知识，
考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.
6•【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
故答案为:
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.
7.【分析】求出n=k时左边的表达式，求出n=k+1时左边的表达式，通过求差即可得到 左端增加的表达式.
【解答】解：n=k时左端为：1+2+3+・・+w，n=k+1时左端为：1 +2+3+- - +k2+ (k2+1) +
(k2+2) +••+ (k+1) 2.
故答案为：(k2+1) + (k2+2) +.•+ (k+1) 2.
【点评】本题是基础题，考查数学归纳法的证明方法，就是口=卜到n=k+1时的证明方法，
找出规律解答.
8•【分析】利用点到平面的距离公式直接求解.
【解答】解：在空间中，点(1,1,2)到平面x+y+2z+3=0的距离为：
11+1+4+3
d=疝"- 2 •
故答案为：孚
U
【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查类比推理的应用、点到平面的距离公式 等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.
9•【分析】由已知可得z在以(1,2)为圆心，以2为半径的圆上，画出图形，数形结
合得答案.
【解答】解：由 |z-1-2i|=2,得|z- （1+2i） |=2.
如图： 【解答】解：〈z= 2-i (2-i )(l-i) 1 3.
1+i (1+i) (1-i) ~2 2
