2015-2016学年江苏省连云港市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

第1页（共10页） 2015-2016学年江苏省连云港市高二（下）期末数学试卷（文科） 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|x＞1}，则集合∁UA＝ ． 2．（5分）命题“∃x∈R，x2+x+1＝0”的否定是： ． 3．（5分）复数（i为虚数单位）的虚部为 ． 4．（5分）幂函数y＝f（x）过点（2，），则f（4）＝ ． 5．（5分）已知集合M＝{a，0}，N＝{x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则a＝ ． 6．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x3+x+1，则当x＞0时，f（x）＝ ． 7．（5分）函数f（x）＝+lg（2﹣2x）的定义域是 ． 8．（5分）已知p：x2﹣3x﹣4≤0，q：|x﹣3|≤m（m＞0），若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ． 9．（5分）若a＞0且a≠1，函数y＝|ax﹣2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是 ． 10．（5分）设函数f（x）＝x+cosx，若曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为y＝ax+b，则a+b＝ ． 11．（5分）若实数x，y满足约束条件，则|3x﹣4y﹣10|的最大值为 ． 12．（5分）已知f（x）＝x2，g（x）＝﹣log3x﹣m，若存在x1∈[﹣1，3]，x2∈[1，3]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则实数m的取值范围是 ． 13．（5分）若关于x的不等式0≤ax2+c≤6（a＞0）的解集为[m，m+1]∪[m+3，m+4]，则实数a的值为 ． 14．（5分）设正实数x，y满足xy＝，则y的最大值是 ． 二、解答题（共6小题，满分90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15．（14分）已知函数f（x）＝x2﹣mx﹣m+3，m∈R． （1）当m＝3时，求函数f（x）的零点； （2）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围； （3）若函数f（x）的一个零点在区间（0，1）上，另一个零点在区间（1，2）上，求实数

第2页（共10页） m的取值范围． 16．（14分）已知函数f（x）＝log2（ax﹣bx+2），且f（1）＝2，f（2）＝1+log27． （1）求a，b的值； （2）当x∈[﹣2，2]时，求f（x）的最小值． 17．（14分）设函数f（x）＝ （1）若方程f（x）＝4有两个实根，求实数b的取值范围； （2）若f（f（））＝4，求实数b的值． 18．（16分）（1）已知a＞0，b＞0，求证：+≥． （1）已知函数f（x）＝+，求f（x）的最小值． 19．（16分）经测定某点处的光照强度与光的强度成正比，与到光源距离的平方成反比，比例常数为k（k＞0），现已知相距3m的A，B两光源的光的强度分别为a，b，它们连线上任意一点C（异于A，B）处的光照强度y等于两光源对该处光源强度之和，设AC＝x（m），已知x＝1时点C处的光照强度是，x＝2时点C处的光照强度是3k． （1）试将y表示为x的函数，并给出函数的定义域； （2）问AB连线上何处光照强度最小，并求出最小值． 20．（16分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝﹣x2+ax﹣3，a∈R． （1）解关于x的不等式g（x）＞0； （2）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围； （3）证明：对任意x∈（0，+∞），lnx＞﹣．

第3页（共10页） 2015-2016学年江苏省连云港市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．【解答】解：∵A＝{x|x＞1}， ∴∁UA＝{x|x≤1} 故答案为：{x|x≤1} 2．【解答】解：由于存在性命题的否定，将：“∃”改写成：“∀”，同时对后面的内容进行否定， ∴命题“∃x∈R，x2+x+1＝0”的否定是： ∀x∈R，x2+x+1≠0， 故答案为：∀x∈R，x2+x+1≠0． 3．【解答】解：＝＝， 则复数（i为虚数单位）的虚部为：﹣1． 故答案为：﹣1． 4．【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xα， ∵幂函数y＝f（x）过点（2，）， ∴f（2）＝， ∴，即f（x）＝， 则f（4）＝， 故答案为：2 5．【解答】解：由N＝{x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}＝{x|0＜x＜，x∈Z}＝{1}， 又M＝{a，0}且M∩N≠∅，所以a＝1． 故答案为1． 6．【解答】解：函数f（x）是R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x3+x+1， 当x＞0时，﹣x＜0， f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（﹣x3﹣x+1）＝x3+x﹣1．

第4页（共10页） 故答案为：x3+x﹣1． 7．【解答】解：要使函数有意义，可得：，解得x∈[0，1） 故答案为：[0，1）． 8．【解答】解：由x2﹣3x﹣4≤0得﹣1≤x≤4， 由|x﹣3|≤m（m＞0），得3﹣m≤x≤3+m， ∵p是q的必要不充分条件， ∴[3﹣m，3+m]⊊[﹣1，4]， 则，即，即0＜m≤1， 故答案为：（0，1]． 9．【解答】解：①：当a＞1时，作出函数y＝|ax﹣2|图象： 若直线y＝3a与函数y＝|ax﹣2|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点 由图象可知0＜3a＜2， 此时无解． ②当0＜a＜1时，作出函数y＝|ax﹣2|图象： 若直线y＝3a与函数y＝|ax﹣2|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点 由图象可知0＜3a＜2， ∴0＜a＜． 综上：a的取值范围是． 故答案为： 10．【解答】解：函数f（x）＝x+cosx的导数为f′（x）＝1﹣sinx， 可得曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线斜率为1﹣sinπ＝1， 又f（π）＝π+cosπ＝π﹣1， 由切线方程为y＝ax+b，可得a＝1，b＝π﹣1﹣π＝﹣1．

第5页（共10页） 则a+b＝0． 故答案为：0． 11．【解答】解：由题意作平面区域如下， ， 直线l的方程为3x﹣4y﹣10＝0， 点A到直线l的距离最大， 由解得，A（，）， 故点A到直线l的距离d＝＝， 故|3x﹣4y﹣10|的最大值为×5＝； 故答案为：． 12．【解答】解：若存在x1∈[﹣1，3]，x2∈[1，3]，使得f（x1）≥g（x2）成立， 只需f（x）max≥g（x）min， 又x1∈[﹣1，3]时，f（x）＝x2∈[0，9]，即f（x）max＝9； x2∈[1，3]时，g（x）＝﹣log3x﹣m∈[﹣1﹣m，﹣m]， 所以g（x）min＝﹣1﹣m， 所以9≥﹣1﹣m， 解得m≥﹣10． 故答案为：[﹣10，+∞） 13．【解答】解：一元二次不等式0≤ax2+c≤6可化为，

第6页（共10页） 当a＞0时，方程ax2+c＝0的两个实数根为m+1和m+3， 且（m+1）+（m+3）＝0， 解得m＝﹣2， ∴a＝﹣c； ∴方程ax2+c＝6可化为ax2﹣a＝6， 即x2＝，且它的两个实数根为m和m+4， 即﹣2和2， 解得a＝2； 故答案为：2． 14．【解答】解：正实数x，y满足xy＝， 化为yx2+（y2﹣1）x+9y＝0， ∵关于x的方程有正实数根，∴△≥0． 又x1x2＝＝9＞0，∴x1与x2同号， ∴x1+x2＝＞0，解得0＜y＜1． 由△≥0．∴（y2﹣1）2﹣36y2≥0， ∴（y2+6y﹣1）（y2﹣6y﹣1）≥0． ∵0＜y＜1，∴y2﹣6y﹣1＜0， ∴y2+6y﹣1≤0， 解得0＜y≤﹣3． ∴实数y的最大值为﹣3． 故答案为：﹣3． 二、解答题（共6小题，满分90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15．【解答】解：（1）当m＝3，f（x）＝x2﹣3x， 解方程x2﹣3x＝0得：x＝0，或x＝3 所以当m＝3时，求函数f（x）的零点为x＝0，和x＝3， （2）由函数f（x）没有零点，知函数f（x）＝x2﹣mx﹣m+3，m∈R． 与x轴无交点△＝m2﹣4（﹣m+3）＜0， ∴m2+6m﹣12＜0，

第7页（共10页） ∴﹣6＜m＜2 实数m的取值范围是{m|﹣6＜m＜2} （3）有题意得， ∴， ∴， ∴{m|2} 实数m的取值范围是{m|2} 16．【解答】解：（1）函数f（x）＝log2（ax﹣bx+2）， 且f（1）＝2，f（2）＝1+log27， 可得log2（a﹣b+2）＝2，log2（a2﹣b2+2）＝1+log27＝log214， 即有a﹣b＝2，a2﹣b2＝12，可得a+b＝6， 解得a＝4，b＝2； （2）由（1）可得f（x）＝log2（4x﹣2x+2）， 令t＝4x﹣2x+2＝（2x﹣）2+， 由x∈[﹣2，2]，可得2x∈[，4]， 即有2x＝，即x＝﹣1时，t取得最小值， 则函数f（x）取得最小值log2． 17．【解答】解：（1）当x＜1时，f（x）＝4即为3x﹣b＝4， 解得x＝； 当x≥1时，2x＝4，解得x＝2． 由题意可得＜1，可得b＜﹣1，

第8页（共10页） 则b的取值范围是（﹣∞，﹣1）； （2）f（）＝﹣b， 若﹣b≥1，即b≤，可得 f（f（））＝f（﹣b）＝＝4， 即﹣b＝2，解得b＝成立； 若﹣b＜1，即b＞，可得 f（f（））＝f（﹣b）＝3（﹣b）﹣b＝4， 解得b＝＜． 综上可得，b＝． 18．【解答】（1）证明：∵a＞0，b＞0， ∴（+）（a+b）＝x2+y2++≥x2+y2+2xy＝（x+y）2．当bx＝±ay时，等号成立． ∴+≥． （2）由（1）得f（x）＝+＝+≥＝．当sin2x＝时取等号． ∴f（x）的最小值为． 19．【解答】解：（1）由AC＝x，可得BC＝3﹣x， 由题意得y＝， 又x＝1时，y＝，即， 即为4a+b＝33； x＝2时，y＝3k，即3k＝，

第9页（共10页） 即为a+4b＝12． 解得a＝8，b＝1． 所以y＝，函数的定义域为（0，3）； （2）函数y＝的导数为 ＝， 由y′＝0， 解得x＝2． 当0＜x＜2时，y′＜0，函数y递减；当2＜x＜3时，y′＞0，函数y递增． 因此x＝2时，y取得极小值，且是最小值，最小值为3k． 故AB连线上AC＝2m处光照强度最小，最小值为3k． 20．【解答】解：（1）g（x）＞0，即为x2﹣ax+3＜0， 当△≤0，即a2﹣12≤0，即有﹣2≤a≤2时，不等式无实数解； 当△＞0，即a＜﹣2或a＞2， 方程x2﹣ax+3＝0的解为x1＝，x2＝． 且x1＞x2，则不等式的解为x2＜x＜x1； 综上可得，当﹣2≤a≤2时，原不等式的解集为∅； 当a＜﹣2或a＞2时，原不等式的解集为（，）． （2）对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥g（x）恒成立， 即为xlnx≥（﹣x2+ax﹣3），即a≤2lnx+x+在x＞0恒成立． 设h（x）＝2lnx+x+，导数h′（x）＝+1﹣＝＝， 当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）递增；当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减． 则h（x）在x＝1处取得极小值，且为最小值4． 则a≤4，可得a的取值范围是（﹣∞，4]； 证明：（3）问题等价于证明xlnx＞﹣（x∈（0，+∞））．