江苏省徐州市铜山区2015-2016学年高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
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第1页（共16页）
2015-2016学年江苏省徐州市铜山区高二（下）期末数学试卷（文科）
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．已知集合A={1，2}，B={2，3，4}，则集合A∪B中元素的个数为______．
2．已知i是虚数单位，z=，则z的模|z|=______．
3．已知角α的终点经过点（﹣，1），则sinα的值为______．
4．函数y=的定义域是______．
5．用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为______．
6．求值：cos（﹣π）=______．
7．函数f（x）=2x3+3x2﹣12x的极小值是______．
8．已知tanα=，tan（α+β）=，则tanβ的值为______．
9．观察下列等式；
12=1，
32=2+3+4，
52=3+4+5+6+7，
72=4+5+6+7+8+9+10，
…
由此可归纳出一般性的等式：
当n∈N*时，（2n﹣1）2=n+（n+1）+（n+2）+…+______．
10．已知i是虚数单位，复数z满足|z﹣1|=1，则|z﹣2i|的最大值是______．
11．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，f′（x）＞恒成立，且f（3）=，则不等式f（x2﹣2x）＜（x2﹣2x）+3的解集为______．
12．设函数f（x）=lg（1﹣|x|）+，则使得f（2x+1）≥f（x）成立的x的取值范围是______．
13．我们可以将1拆分如下：1=++，1=+++，1=++++，以此类推，可得：1=++++++++++++，其中m，n∈N*，且m＜n，则函数y=的值域为______． 第2页（共16页）
14．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（2x2+x）=a恰有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是______．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．已知cosα=﹣，α∈（，π）．
（1）求tan2α的值；
（2）求cos（α+）的值．
16．已知函数f（x）=log2．
（1）求f（x）的定义域A；
（2）若函数g（x）=3x2+6x+2在[﹣1，a]（a＞﹣1）内的值域为B，且A∩B=∅，求实数a的取值范围．
17．已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域；
（3）当x∈[0，2π]时，求函数f（x）的单调增区间．
18．如图，某舞台的两侧各有一块同样的扇形区域．圆心角∠AOB=90°，OA=4米，在圆弧上有一点C，作CD⊥OB于点D．设∠OAC=θ（rad），f（θ）=AC+CD．
（1）求函数f（θ）的解析式；
（2）若折线ACD是某表演路线的一部分，为优化观赏效果，要使折线ACD最长，问点D应设计在何处？．
19．已知函数f（x）=ex﹣，其中e是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R上的奇函数；
（2）试判断方程f（x）=的实根的个数；
（3）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x﹣m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
20．已知函数f（x）=x2﹣4x+alnx（a∈R，a≠0），f′（x）为函数f（x）的导函数．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若存在实数x1，x2，且x1＜x2，使得f′（x1）=f′（x2）=0，求证：f（x2）＞﹣4． 第3页（共16页）
第4页（共16页）
2015-2016学年江苏省徐州市铜山区高二（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．已知集合A={1，2}，B={2，3，4}，则集合A∪B中元素的个数为 4 ．
【考点】并集及其运算．
【分析】求出A∪B，再明确元素个数
【解答】解：集合A={1，2}，B={2，3，4}，则A∪B={1，2，3，4}；
所以A∪B中元素的个数为4；
故答案为：4．
2．已知i是虚数单位，z=，则z的模|z|= ．
【考点】复数求模．
【分析】化简z，求出z的模即可．
【解答】解：∵z===1﹣2i，
∴z的模|z|==，
故答案为：．
3．已知角α的终点经过点（﹣，1），则sinα的值为 ．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】由角α的终边经过点P（﹣，1），利用任意角的三角函数定义求出sinα即可．
【解答】解：∵角α的终点经过点P（﹣，1），
∴x=﹣，y=1，|OP|=2，
因此，sinα=．
故答案为：．
4．函数y=的定义域是 （0，+∞） ．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据二次根式的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式，求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：
， 第5页（共16页）
解得；x＞0，
故函数的定义域为：（0，+∞），
故答案为：（0，+∞）．
5．用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为 a，b都不能被5整除 ．
【考点】反证法．
【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．
【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．
故答案为：a，b都不能被5整除．
6．求值：cos（﹣π）= ﹣
．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．
【解答】解：cos（﹣π）=cos（4π﹣π）=cos=﹣cos=﹣，
故答案为：﹣．
7．函数f（x）=2x3+3x2﹣12x的极小值是 ﹣7 ．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求导，f′（x）=6（x﹣1）（x+2），从而确定函数的单调性与极值．
【解答】解：∵f（x）=）=2x3+3x2﹣12x，
∴f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2）；
f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，
f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜1；
故f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上是增函数，在（﹣2，1）上是减函数；
故f（x）在x=1处有极小值，f（1）=﹣7．
故答案为：﹣7．
8．已知tanα=，tan（α+β）=，则tanβ的值为 ．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】利用两角差的正切公式，求得tanβ=tan[（α+β）﹣α]的值．
【解答】解：∵tanα=，tan（α+β）=， 第6页（共16页）
则tanβ=tan[（α+β）﹣α]= = =，
故答案为：．
9．观察下列等式；
12=1，
32=2+3+4，
52=3+4+5+6+7，
72=4+5+6+7+8+9+10，
…
由此可归纳出一般性的等式：
当n∈N*时，（2n﹣1）2=n+（n+1）+（n+2）+…+ （3n﹣2） ．
【考点】归纳推理．
【分析】根据已知中的等式，分析出式子两边数的变化规律，可得结论．
【解答】解：由已知中的等式；
12=1，
32=2+3+4，
52=3+4+5+6+7，
72=4+5+6+7+8+9+10，
…
由此可归纳可得：等式左边是正奇数的平方，即，（2n﹣1）2，
右边是从n开始的2n﹣1个整数的和，
故第n个等式为：（2n﹣1）2=n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2），
故答案为：（3n﹣2）．
10．已知i是虚数单位，复数z满足|z﹣1|=1，则|z﹣2i|的最大值是 +1
．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（1，0）为圆心，以1为半径的圆周上所以|z﹣2i|的最大值是点（1，0）与点（0，2）的距离加上半径1
【解答】解：由|z﹣1|=1，所以复数z对应的点在以（1，0）为圆心，以1为半径的圆周上，
所以|z﹣2i|的最大值是点（1，0）与点（0，2）的距离加上半径1，
即为+1=+1，
故答案为： +1
11．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，f′（x）＞恒成立，且f（3）=，则不等式f（x2﹣2x）＜（x2﹣2x）+3的解集为 （﹣1，3） ．
【考点】利用导数研究函数的单调性． 第7页（共16页）
【分析】令函数g（x）=f（x）﹣x，由题意可得g′（x）=f′（x）﹣＞0，即g（x）在R上递增，且g（3）=3，原不等式化为g（x2﹣2x）＜g（3），运用单调性和二次不等式的解法即可得到解集．
【解答】解：可设g（x）=f（x）﹣x，
由对任意的实数x，f′（x）＞恒成立，可得
g′（x）=f′（x）﹣＞0，
即g（x）在R上递增，且g（3）=f（3）﹣=﹣=3，
不等式f（x2﹣2x）＜（x2﹣2x）+3，
即为f（x2﹣2x）﹣（x2﹣2x）＜3，
即g（x2﹣2x）＜g（3），
由g（x）在R上递增，可得x2﹣2x＜3，
解得﹣1＜x＜3．
则解集为（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
12．设函数f（x）=lg（1﹣|x|）+，则使得f（2x+1）≥f（x）成立的x的取值范围是 （﹣1，﹣]
．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】由题知此函数为偶函数，通过（0，+∞）的单调性将不等式问题转化为距离问题，直接解不等式，注意函数定义域．
【解答】解：由题知f（x）为偶函数，f（|2x+1|）≥f（|x|），
又因为f（x）在（0，+∞）为单调递减的，所以|2x+1|≤|x|，解得
又因为f（x）的定义域为1﹣|x|＞0，即（﹣1，1），
所以x的取值范围是，
故答案为：．
13．我们可以将1拆分如下：1=++，1=+++，1=++++，以此类推，可得：1=++++++++++++，其中m，n∈N*，且m＜n，则函数y=的值域为 {y|y≠43} ．
