“１”在数学解题中的妙用初探
- 格式：pdf
- 大小：1.08 MB
- 文档页数：2
“１”在数学解题中的妙用初探
◉甘肃省天水市第九中学 陶建宏
摘要:求代数式的值,求变量的最值是数学中经常遇到的问题,有些题目很容易得出答案,但也有一些题目
要找出解题思路是相当困难的,可是静下心来不难发现题目中有隐含条件,比如整式的分母是“１”,“１”乘任何数
都得任何数,等等．在数学解题中有时妙用“１”,会有意想不到的效果．
关键词:三角函数;多元函数;最值
１引言
在解答数学题目时,经常会碰到一些觉得束手无
策的情况,但通过仔细思考,不难发现题目中隐含的
一个数“１”,若能发现这个数,将会收到意想不到的效
果,下面通过几个题目加以说明．
２“１”的妙用
２．１“１”在求三角函数值问题中的运用
例１ 已知tana＝２求４sin２a－sinacosa－cos２a
的值．
分析:这个题目如果由tana＝２出发去求sina和cosa的值,再代入所求式子方可求出,但是在求sina
和cosa的值时要分第一和第三象限两种情况进行讨
论,并且在第一和第三象限sina和cosa的正负相同,
在两种情况下得到的答案相同,但作为一个解答题时
必须分两种情况进行计算．可是如果我们再好好观察
不难发现所求式子的分母是经常容易被人们忽视的“１”,而这里１＝sin２a＋cos２a再将分子分母分别除以cos２a,从而化为了正切的形式．
详解:４sin２a－sinacosa－cos２a
＝４sin２a－sinacosa－cos２asin２a＋cos２a
＝４tan２a－tana－１tan２a＋１
＝４×４－２－１４＋１＝１３５．
注意:这里分母是“１”很少能引起人们的注意,以
为没有分母,而实质分母是容易被人们忽视的“１”．在
三角函数部分多用１＝sin２a＋cos２a．再比如,２００７年全国高中数学联赛河南省预赛(高二)中有这样一道题目:已知７sinα＋２４cosα＝２５,
则tanα＝( )．
A．３４ B．４３ C．２４７ D．７２４
分析:对于此题如果能求出sina和cosa的值,再
利用商数关系可以求出tana的值,但是这很难求解．
若对原式两边平方,再注意到sin２a＋cos２a＝１,得
(７sinα＋２４cosα)２＝２５２×１＝２５２[(sin２a＋cos２a],展开整理得(２４sinα－７cosα)２＝０．
所以２４sinα＝７cosα,从而tanα＝７２４．
通过这两个题目让学生在三角函数化简求值中
注意这个很重要的数字“１”以及１＝sin２a＋cos２a．
２．２“１”在指数、对数中的运用
在数学解题中,若能根据题目特征巧妙地利用“１”作代换,常能出奇制胜,取得较好解题效果．比如在
指数和对数中经常会遇到一些有关“１”的问题．
例２ 解方程４x－２＝１．
解析:因为a０＝１(a≠０),所以４x－２＝４０,得x－２＝０,即x＝２．
看起来这是一个简单的指数方程问题,但如果不
知道a０＝１(a≠０)这个条件,就无法更简单求解．
例３ 解不等式lgx＞１．
解析:因为logaa＝１(a＞０且a≠１)所以lg１０＝１．
又根据对数函数的单调性,由lgx＞lg１０,得x＞１０．
例４ 函数y＝loga(x－４)的图象恒过定点
．
解析:因为对数函数y＝logax(a＞０且a≠１)的
８８教育
纵横师生园地 ２０２２年７月上半月
Copyright©博看网. All Rights Reserved. 图象恒过点(１,０),由x－４＝１,可得x＝５．则函数y＝loga(x－３)的图象恒过定点(５,０)．
指数函数与对数函数恒过定点是考试常考的一
个知识点,它都涉及常数“１”．
通过这几个题目可以看出在指数与对数中“１”显
得特别重要．要注意“１”这个特殊的数字,它的作用非
常大,不能藐视．
２．３“１”在求多元函数最值问题中的运用
例５ 已知x,y,z均为正实数,且１x＋２y＋３z＝
１,求x＋１２y＋１３z的最小值．
分析:这个题目是求多元函数最值的一个常见题
目,学生刚开始觉得不好做,但若能灵活运用已知条
件中的“１”作适当的整体代换,再利用均值不等式方
可求解．
详解:x＋１２y＋１３z＝(x＋１２y＋１３z)１
＝(x＋１２y＋１３z)(１x＋２y＋３z)
＝３＋(y２x＋２xy)＋(z３x＋３xz)＋(２z３y＋３y２z)≥
３＋２＋２＋２＝９,
当且仅当x＝３,y＝６,z＝９时取得最小值９．
此题如果不能注意到“１”乘任意一个数都得这个
数的话,这个题目就无法更简单求解．
２．４“１”在求多元条件下代数式的最值问题的运用
例６ 已知x＞０,y＞０且x３＋y３＝２,试求x＋y
的最大值．
分析:我们学过均值不等式,若x,y,z均为正数,
则有x＋y＋z３≥３xyz,这里x＝y＝z时等号成立．
因此可以得出x＝３x３＝３x３×１×１,这样x３＋１＋１３≥３x３×１×１＝x,再利用同向不等式的可
加性方可得出答案．
解析:因为x３＋１＋１３≥３x３×１×１＝x,y３＋１＋１３≥３y３×１×１＝y,两式相加,得x３＋１＋１３＋y２＋１＋１３＝２≥x＋y．
所以x＋y的最大值是２,当且仅当x＝y＝１时
取到最大值２．
又如:已知a,b都是正数且满足a＋b＝１,求２a＋
３b的最小值．这两个题是高考当中求最值最常见的题
型,这里也用了“１”乘任何数都得任何数这个结论．
２．５ “１”在求无理式的最值问题中的运用
例７ 已知x＋y＋z＝１,求４x＋１＋４y＋１＋
４z＋１的最大值．
分析:解决这个题的关键是如何去掉根号,这样
才能利用x＋y＋z＝１这个条件．在选修教材４Ｇ５中,
学习了柯西不等式求最值,这个题就可以利用柯西不
等式去求解．
解析:因为(４x＋１＋４y＋１＋４z＋１)２
＝(１×４x＋１＋１×４y＋１＋１×４z＋１)２≤(１２＋１２＋１２)[(４x＋１)２＋(４y＋１)２＋
(４z＋１)２]＝２１,所以,４x＋１＋４y＋１＋４z＋１≤２１,当且仅
当x＝y＝z＝１３时,４x＋１＋４y＋１＋４z＋１
取得最大值２１．
３结束语
通过以上五类问题的典型例题,在求代数式的值
或最值时,如果注意到“１”这个特殊数字,巧妙地利用
“１”作代换,往往可以帮助我们把一个复杂的题目简
单化,从而达到事半功倍的解题效果．这里仅列举了有
针对性的七道例题,以达到抛砖引玉的目的．而实质上“１”这个简单数字还有好多作用,这需要我们在平时
的教学实践中,做一个教与学的有心人,审题时要注
意挖掘隐含条件,解题过程中要多做一些反思与总
结,通过总结去
加
深理解并学以致用,从而提高解题
能力、发散思维能力和探究归纳的能力．
９８２０２２年７月上半月 师生园地教育纵横
Copyright©博看网. All Rights Reserved.
