数学中“1”的妙用
- 格式：pdf
- 大小：102.07 KB
- 文档页数：2
２０１８年第１０期总第３９５期 数理化解题研究 数学中“１”的妙用 赵盼盼 （辽宁省盘锦市辽东湾实验高级中学１２４０００） ＝ 摘 要：数字“１”是个奇妙的数字，从小时候开始我们就认识了这个数字，并且在不断地学习中我们对 “１”有了新的认识．很多问题可以通过“１”进行妙解，达到化繁为简，化难为易的目的． 关键词：数学；应用；“１” 中图分类号：Ｇ６３２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—０３３３（２０１８）１０—００２３—０２ 数字…１’有很多性质，比如任意一个数（式子）乘以１ 或除以１仍然不变．在解决某些问题时，用“１”转化或巧 妙地用“１”作适当的替换从而可以获得巧妙的解法．这样 在解题时会起到意想不到的效果．本文从三角函数、对数 函数、求最值、积分、行列式五个方面来说明如何巧妙利 用“１”来解决问题． 一、“１’’的应用 １．“１”在三角函数中的应用 三角函数在高考中有着举足轻重的地位．有些同学 在学习三角函数时感觉费力，感觉计算量大，公式难记 忆．在三角函数计算中常把“１”表示为某些特定的三角函 数形式或某些特定的三角函数值进行计算． 例１ ｔａｎａ＝２，求２ ｓｉｎ Ｏ／＋３ｓｉｎａｃｏｓａ—ＣＯＳ 的值． 解 原式：２—ｓ—ｉｎ—＇ａ＿＋丁３ｓ—ｉｎａ—ｃ ｏｓａ－－—ｃ～ｏｓ＇ａ＝ ２ ｔａｎ ＋３ｔａｎ 一１ １３ ｔａｎ ＋１ —５‘ 这道题是齐次式，解决本类题的方法是化弦为切．利 用三角恒等式ｓｉｎ ＋ＣＯＳ Ｏ／＝１中“１”的代换，将整式化为 分式，看似麻烦，实则避免直接求ｓｉｎａ，ＣＯＳＯＬ的麻烦． 例２计算ｃｏｓ２０。ｃｏｓ４０。ｃｏｓ６０。ｃｏｓ８０。． 解 原式＝塾 。旦 ｕ－０ ０ ０ ｏ ２ｓｉｎ４０。ｃｏｓ４０。ｃｏｓ６０。ｃｏｓ８０。 一 ２２ｓｉｎ２０。 ．．２ｓｉｎ一８０￣ｃ—ｏ．ｓ８０￣．—ｃ—ｏｓ６０ —ｏ—．．．ｓ．．ｉ．．ｎ．．．．１．．．６０．． ．０．．．ｃ．．．ｏｓ．．６．．．．０．—￣—．．．．．１—— 一 ２３ｓｉｎ２０。 一 ２３ｓｉｎ２０。 一１６’ 用 来代换‘‘１”，利用倍角公式２ｓｉｎ ｃ。ｓ ＝ ｓｉｎ２ａ进行求解． ２．“１”在对数函数中的应用 高中数学中的对数函数是指数函数的反函数，学习 起来比较困难．但同时对数函数是高中数学学习的一个 重要内容，在考试中占一定分量． 例３（第一届美国数学邀请赛试题）设 ，Ｙ，ｚ都是 不等于１的正数．１ｏｇ Ｗ＝２４，ｌｏｇ ＝４０，ｌｏｇ，ｙ￣ ：１２，求 ｌｏｇｗ． 解根据ｌｏｇ ｂ·ｌｏｇ６ａ＝１ 得１。 ＝ ，。ｇ ｙ＝ １ ｘｙｚ＝ １ｇ １，ｌｏｇ ｘｙｚ．得１。 寺，。ｇ ｙ · 由１ｏｇ ＋ｌｏｇ Ｙ＋ｌｏｇ ；， 得ｌ。ｇ ＝ １一 １一 １＝ １， 所以ｌｏｇ： ＝６０． 对数函数的计算中，常用ｌｏｇ。ｂ·ｌｏｇ ａ＝１对式子进行 转化，再利用对数函数的运算法则进行计算． ３．“１”在求最值中的应用 例４ 已知ｎ＞０，６＞０，２。＋６＝１，求 ＋÷的最 小值． 解三＋ ＝（ ＋｛）（２ｎ＋６）＝４＋一２ｂ＋２＿ａａ Ｏ ｏ ａ ｏ＋１＝ ０ ５＋ ２ｂ＋ ≥５＋２√警·２ａ６＝９， 当且仅当ｏ＝ｂ＝÷时等号成立． 收稿日期：２０１８—０１—０１ 作者简介：赵盼盼（１９８８一），女，山东省德州人，研究生，讲师，从事概率论与数理统计 一
２３— ＝嫩 数理化解题研究 所以，当。：ｂ：÷时， ＋÷的最小值为９． －） 口 Ｄ 在利用均值不等式时要注意“正定等”．在解题过程 中应用式子乘上１仍等于原式，通过整理，利用均值不等 式得出结果． 例５ 已知ａ＋ｂ＋ｃ＝３，求ａ ＋ｂ ＋ｃ 的最小值． 把１用÷（１ ＋１ ＋１ ）来代换，由柯西不等式得 ０ ＋ｂ ＋ｃ ＝÷（ｒ上 ＋ｂ。＋ｃ ）（１ ＋１ ＋１ ） ≥— １（ｎ＋ｂ＋ｃ） ＝３， 当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ＝１时等号成立． 所以，当ａ＝ｂ：Ｃ＝１时，ａ ＋ｂ ＋Ｃ 的最小值为３． 为求ｎ 十ｂ ＋ｃ 的最小值，把１用÷（１ ＋１ ＋１ ）来 代换，通过柯西不等式对式子进行整理． 由上知，不等式中有一类题，可以利用“１”巧妙地转 化，得到简洁的解法．在不等式证明和不等式求最值时， 巧妙用“１”，会得到意想不到的效果． ４．“１”在积分中的应用 例６求Ｊ＿— ｄｘ． 解将１用ｓｉｎ。 ＋ＣＯ８ 来代换得 ｆ— ｄ ：２ｆ曼 ｄ ＝２ｆ—＿Ｌ＿ｄ ＋２ｆ—ｃ．ｏｓ，ｘ Ａ Ｊ ＳｌｎＸＣＯＳＸ Ｊ ｓｉｎ ＝２』 ｄ（２卅２ Ｊ． ｄ（ｓｉｎ ） ：２１ｎ１ｔａｎ １一—ｌ＿ ＋ｃ． ＳＩＢ 当函数是三角函数时，常对１进行代换，比如本题中 把１改写成ｓｉｎ 十ＣＯＳ ：１．利用三角函数的平方关系， 将“１”变形在不定积分中可以简化计算．有时用其它方法 很难求积分，甚至积不出来．而“１”的变形有多种，变得合 适可以达到简化计算的目的． ５．…１’在行列式中的应用 例７计算ｎ阶行列式 Ｄ ＝ 解兰 一２４一 Ｄ ＝ ２０１８年第１０期总第３９５期 ｌ １ ａ ｌ ０ ｌ ０ ａ ｌ ０ ａ １ ａ 一１ 一口 一１ ０ —１ ０ ａ ａ ａ ａ ａ ： ： ● ● ａ ａ ａ ０ —ａ ● ： ０ … ｎ ｌ … ０ ｌ … ｎ Ｉ … Ｊ 口 … ０ ０ … ０ ０ … ０ ０ … —ａ ：（１＋— 一）（ 一０） ＝［ ＋（ｎ一１）。］（ 一０） 一 ； ～“ 当 ：ａ时，Ｄ ＝０． 在线性代数中，有很多类似于此题的行列式．求解 时，在行列式中多加一行或一列使行列式不变．比如在此 题中加的边是第一行和第一列，第一列中除第一个数是ｌ 外其余都是０，第一行中除第一个数是１，其余是ａ，此时 行列式是不变的．根据行列式的性质，把行列式化为上三 角形或下三角形，再求行列式的值． 二、结束语 …１’是一个奇妙的数字，在解决不同的问题时需要进 行不同的代换．灵活运用“１”的性质及与“１”相关的关系 式，可以巧妙地解决问题．通过以上问题的分析，我们对 “１”的应用有了一定的了解．但是数学中还有大量有关 “１”的问题，等待大家去发现、研究． 参考文献： ［１］李毅．浅谈高中数学中…１’的妙用［Ｊ］．中学生数 理化（学研版），２０１２（１０）：４４． ［２］程鹏．“１”的代换在不等式问题中的应用［Ｊ］．中 学生数学：高中版，２０１７（９）：１５—１６． ［３］同济大学应用数学系．高等数学（上册）（第七 版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４． ［４］大连理工大学应用数学系．线性代数［Ｍ］．大 连：大连理工大学出版社。２００７． ［责任编辑：杨惠民］ ０ ０ Ｏ 一 口 ０ ０；０ ０ ０ 一 ０ ０ — ０ ０ — 一 一 ０ ０
０
