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高考数学复习点拨 “1”的妙用

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用心 爱心 专心 “1”的妙用

在用公式2abab≤解题时，有时若能巧妙利用“1”的代换，常常能使问题得以巧妙的解决．本文选解几例，供大家欣赏．

例1 已知1abc，（其中abc，，均为大于零的实数），求111111abc

的取值范围．

解：1abc，

111111abc111abcabcabcabc

bcacabaabbcc2222228bcacababc··≥．

当且仅当abc时，等号成立．

又abc，，能同时相等，

111111abc的值域为8，∞．

例2 已知00ab，，且191ab，求ab的最小值．

解：191ab，199()19102916baabababab≥．

当且仅当9baab，191ab时，等号成立，

即124ba，时，等号成立．

例3 已知ab，是实数，且2ab，求22ab的最大值．

解：2ab，

22(2)1(2)1abab

21213222abab≤

132．

当且仅当1ab时，等号成立．

22ab的最大值为2．

例4 已知abc，，都是正实数，且3abc，求证：3abc≤． 用心 爱心 专心 证明：1111113222abcabcabc≤．

当且仅当abc时，等号成立．

例5 已知abc，，都是正实数，且1abc，求证(1)(1)(1)8abcabc≥．

证明：1abc，(1)(1)(1)()()()abcbcacab．

又因为abc，，都是正实数，

02abab≥，02bcbc≥，02acac≥．

()()()8abbcacabc≥．

当且仅当abc时，等号成立．

(1)(1)(1)8abcabc≥．

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高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)坐标系与参数方程第2课时 不等式证明的基本方法(1)

高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)坐标系与参数方程第2课时 不等式证明的基本方法(1)

1 《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）选修4－4 坐标系与参数方程第2课时 不等式证明的基本方法

考情分析 考点新知

证明不等式的基本方法．

①了解证明不等式的基本方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法，数学归纳法，放缩法.

②能用比较法，综合法，分析法证明简单的不等式.

1. 设a、b∈R＋，试比较a＋b2与a＋b的大小．

解：∵ (a＋b)2－a＋b22＝（a－b）22≥0，∴ a＋b≥a＋b2.

2.

若a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最大值．

解：(1·a＋1·b＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3，即a＋b＋c的最大值为3.

3. 设a、b、m∈R＋，且ba

证明：由ba

4. 若a、b∈R＋，且a≠b，M＝ab＋ba，N＝a＋b，求M与N的大小关系．

解：∵ a≠b，∴ ab＋b>2a，ba＋a>2b，

∴ ab＋b＋ba＋a>2b＋2a，即ab＋ba>b＋a，即M>N.

5. 用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n>12(n>1，n∈N*)的过程中，用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果是A，求代数式A.

解：当n＝k时，左边＝1k＋1＋1k＋2＋…＋1k＋k，n＝k＋1时，左边＝1k＋2＋1k＋3＋… 2 ＋1（k＋1）＋（k＋1），故左边增加的式子是12k＋1＋12k＋2－1k＋1，即A＝1（2k＋1）（2k＋2）.

1. 不等式证明的常用方法

(1) 比较法：比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用方法，基本不等式就是用比较法证得的．比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负．

比较法证明不等式的步骤：作差(商)、变形、判断符号．其中的变形主要方法是分解因式、配方，判断过程必须详细叙述．

(2) 综合法：综合法就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直到推出要证明的结论，即为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，常常用到基本不等式．

高考数学复习点拨：命题的否定与否命题辨析

高考数学复习点拨：命题的否定与否命题辨析

第 1 页 共 2 页 命题的否定与否命题辨析

在学习“简易逻辑”时，有些同学对命题的否定不知如何把握且容易与一个命题的否命题混淆，本文想就此作一辩析．

一、辨析

1、定义区别

定义 原命题：若p，则q

命题的否定 指对结论的否定 若p，则非q

否命题 指对命题的条件与结论同时否定 若非p，则非q

2、真假关系表

命题的否定形式、否命题与原命题的真假关系表：

原命题 否定形式 否命题

真 假 与原命题的真假无关 假 真

3、常用关键词的否定

把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词语的否定，见下表：

正面词语 大(小)于 是 或 有 全 都 任何 所有的

否定词语 不大(小)于 不是 且 无 不全 不都 某些 有几个

正面词语 至少有一个 任意两个 至多有n个 任意的 都是

否定词语 一个都没有 某两个 至少有n+1个 某个 不都是

二、例题讲解

[例1]写出命题“相似三角形是全等三角形”的否定形式及否命题，并判断它们的真假．

解：原命题：相似三角形是全等三角形(假)．

原命题的否定形式：相似三角形不是全等三角形(真)．

原命题的否命题：不相似的三角形不是全等三角形(真)．

注：原命题与原命题的否定形式的真假相反．

[例2]写出下列命题的否命题：

⑴若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根；

⑵若x，y都是奇数，则x＋y是奇数；

⑶若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0；

⑷当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．

解：原命题的否命题分别是：

⑴若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实数根；

⑵若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数；

⑶若abc≠0，则a，b，c全不为0；

⑷当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc．

评注：将以上命题的条件与结论中关键词加以否定即可，⑴“＞”、“有”；⑵“都是”、“是”；⑶“＝”、“至少有一个”，⑷“＜”，要注意“c＞0”是大前提，不要对其进行否定．

(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第六章 不 等 式第1课时 一元二次不等式及其解法

(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第六章 不 等 式第1课时 一元二次不等式及其解法

第 1 页 共 9 页 《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第六章 不 等 式第1课时 一元二次不等式及其解法

考情分析 考点新知

掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系并能灵活运用．

① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；

② 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；

③

会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解程序框图.

1. (必修5P69习题2(2)改编)不等式3x2－x－4≤0的解集是__________.

答案：－1，43

解析：由3x2－x－4≤0，得(3x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤43.

2. (必修5P71习题1(3)改编)不等式x2＋x－6≤0的解集为________．

答案：[－3，2]

解析：由x2＋x－6≤0，得－3≤x≤2.

3. (必修5P71习题7(4)改编)不等式1－2xx＋1>0的解集是________．

答案：－1，12

解析：不等式1－2xx＋1>0等价于(1－2x)(x＋1)>0，也就是x－12(x＋1)<0，所以－1

4. (必修5P71习题5(2)改编)已知不等式x2－2x＋k2－3>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是________．

答案：k>2或k<－2

解析：由Δ＝4－4(k2－3)<0，知k>2或k<－2.

5. (必修5P71习题6改编)不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是－12，13，则a－b＝________．

答案：－10

解析：由题意可知，－12和13是方程ax2＋bx＋2＝0的两个实根， 第 2 页 共 9 页 则－12＋13＝－ba，－12·13＝2a， 解得a＝－12b＝－2，所以a－b＝－10.

1. 一元二次不等式的解法

运用韦恩图解题三层次

运用韦恩图解题三层次

高考数学复习点拨：运用韦恩图解题三层次

运用韦恩图解题"三层次"

浙江 周宇美

由于图形简明、直观，因此很多数学问题解题往往借助于图形来分析，下面例析运用集合中"韦恩图"解题的三层次：识图--用图--构图．

一、识图

是指给出韦恩图形式，用集合的交、并及补等集合的运算表示．

例1 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )

(A) （M∩P）∩S

(B) （M∩P）∪S

(C) （M∩P）∩I S

(D) （M∩P）∪I S

解：阴影部分是M与P的公共部分(转化为集合语言就是M∩P)，且在S的外部(转化为集合语言就是I S)，故选(C)．

例2 用集合A、B及它们的交集、并集、补集的符号表示阴影部分的集合，正确的表达式是（ ）

(A) (A∪B)－(A∩B) (B) U (A∩B)

(C) (A∩UB)∪(UA∩B)

(D) U (A∪B)∩U (A∩B)

解：阴影有两部分，左边部分在A内且B外(转化成集合语言就是A∩UB)，右边部分在B内且A外(转化成集合语言就是UA∩B)，故选(C)．

二、用图

例3设U是全集，非空集合P、Q 满足PQU，若含P、Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_______（只要写出一个表达式）.

解 将集合语言用韦恩图表示，

如图1，极易得到其多种答案：

⑴UQ∩P；

⑵P∩(UP∩Q)；

⑶UQ∩(P∪Q)；等等.

例4 已知全集I＝N*，集合A={x│x=2n，n∈N*}，B={x│x＝4n，n∈N*}，则 ( )(A) (B)(C) (D)

解：根据题意，易得BA，画出韦恩图

(如图2)，显然I＝A∪IB，故选(C)．

例5 设全集U ＝{x|0＜x≤10，x∈N*}，若A∩B＝{3}，A∩UB＝{1，5，7}，UA∩UB＝{9}，求A，B．

分析：本题关系较为复杂，由推理的方法较难，而用韦恩图，则显得简捷．