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“1”：在数学中的妙用

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“1”：在数学中的妙用

“1”在数学中是最简单但也是最复杂的1个数字，从进学校的第一天起我们就开始认识“1”但是到现在我们对“1”的妙用了解得不是太多，因此本文在有关文献的支持下对“1”的妙用进行了部分归纳，本文列举的文献研究了“1”在讲解一些数学理论中的妙用：①用代数记录奇数时用“1”来调解。②在科学记数法中记成±a×10n，其中规定1 SymbolcB@ a1“1”在讲解一些数学理论中的妙用

1.1在用代数式记录奇数时，用“1”调解。如：连续的两个奇数可记作2n-1，2n+1；表示连续的三个整数时可记作n-1，n，n+1，这样就利用“1”将连续的奇数，连续的整数非常准确地表达出来。

1.2在科学记数法中记±a×10n的形式，其中规定1≤a类似的在样本方差中，s= 1 n ∑ n i=1 xi-x2 也是这个意思。

1.3在下定义或作规定时也往往离不开“1”，例如，倒数的定义：“1”除以一个数的商，而互为倒数的两个数相乘积为1。”另外，1乘以任何数所得的积仍然是它本身。

1.4规定零指数时a0=1（a≠0），规定指数“1”时，a′=a，当设a是不等于1的正数时，

logaa =1，loga1 =0，logab.logba =1， 例如，设x、y、Z都是不等于1的正数时，logxW =24，logyw =40，logxyzw =12，求logzw（第一届美国数学邀请赛试）。

解：利用关系logab.logba =1得

logwx = 1 24 ， logwy= 1 40 ， logwxyz = 1 12 ；

有：logwx + logwy+logwZ = 1 12

则logwZ = 1 12 - 1 24 - 1 40 = 1 60

∴logZW =60

1.5 在分数中把总数量当成1，然后表示n分之几，如 1 3 是将一个整数分成3份，取出其中的一份，化学的溶液题：现有浓度20%的硫酸200千克，要配制浓渡为25%的硫酸，需要加入浓度为65%的硫酸多少千克等等。

1.6 关于工程的应用题更是体现了“1”的妙用，当总工程量无具体数量时，往往把它当作1。

例如：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下部分再由甲、乙合成，问剩下部分需要几小时完成？

解题时，把全部工程量看成是1，设甲、乙两个人合作剩下部分需要x小时完成，根据题意，便可列等量关素： 4 20 + x 20 + x 12 =1，解得x =6。

1.7 在学习三角函数时，同角的正弦，余弦的平方和为1 ：sin2α+cos2α=1，

同角的正切，余切的乘积为1： tanα·cotα=1，诸如此类。

1.8 在几何中讲直角三角形时，将等腰直角三角形两直角边设计为1个单位长度时，那么可以求得长度为 2 ，的线段，同时依次可以求得 3， 4 ， 5 ·……线段来。

1.9 在讲质数和会数时，把1作为一种衡量标尺，只有1与自身为因数的自然数，称为素数，除了1和它本身之外还有别的自然数为其因数的这类自然数称为合数，1既不是素数，也不是合数。

2 “1”在解题中的具体应用

2.1 在一些技巧性计算时，1也将发挥它的特殊作用，有些问题添上1减去1后会使运算化繁为简，简化计算以至口算即可。例如计算

9992=（1000-1）2=10002-2000+1=1000000-2000+1

=998001，

10012=（1000+1）2=10002+2000+1=1000000+2000+1

=1002001

79×81=（80-1）（80+1）=802-12=6400-1=6399

2.2 在证明合比性质时，在等式的两边同加上或减去1，便迅速得出结论： a

b = c d a b 1= c d ±1 a+b b = c+d d 。

2.3 用“1”的代换分解因式。

因为1乘以任何数或式所得的积仍然是该数或该式本身。利用1的这个性质，在做一些因式分解题时，可换一角度看问题。

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基本不等式解题中1的妙用__解释说明

基本不等式解题中1的妙用__解释说明

基本不等式解题中1的妙用 解释说明

1. 引言

1.1 概述

本文旨在介绍基本不等式解题中数字1的妙用，通过详细讲解基本不等式解题的概念、重要性以及应用，以及以数字为例的解题方法，通过实例和说明展示基本不等式的用途。文章将总结结论并进行总结。

1.2 文章结构

文章主要分为五个部分：引言、基本不等式解题概述、以数字为例的基本不等式解题方法、解题实例及说明、结论与总结。

1.3 目的

通过对基本不等式的研究和探索，我们发现在解决数学问题中，数字1具有很大的作用。因此，我们希望通过这篇长文向读者介绍数字1在基本不等式解题中的妙用，并指导读者如何运用它来得出准确的答案。同时，希望读者能够从实际问题中理解和应用基本不等式，在解决各种数学问题时更加灵活和高效。

2. 基本不等式解题概述

2.1 什么是基本不等式

基本不等式是数学中的一个重要概念，它是指在特定条件下，两个或多个数之间的关系符号。常见的基本不等式包括大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)和小于等于(≤)等。这些不等式反映了数值大小之间的关系。

2.2 基本不等式的重要性

基本不等式在数学解题中扮演着至关重要的角色。通过运用基本不等式，我们可以推导出许多重要的结论和性质。同时，基本不等式也为我们提供了一种判断和比较各种值之间大小关系的方法。

2.3 基本不等式在解题中的应用

在解决实际问题和数学题目时，我们经常会遇到需要确定最大值、最小值或者区间范围的情况。基本不等式给予了我们一种有效的思路和方法来处理这些问题。

通过对基本不等式进行灵活运用，我们可以在解决问题过程中得到更加准确且合理的答案。具体地说，我们可借助以下几种方法使用基本不等式：

3.1 理解数字对称性

在解题中，我们可以利用数字的对称性来推导和比较数值的大小。常见的对称性规则包括奇偶性、倒数关系等。通过观察数字的特点和规律，我们可以将问题转化为一个更容易处理的形式。

3.2 利用加减法消除无关项

数学中“1”的巧用-最新文档资料

数学中“1”的巧用-最新文档资料

数学中“1”的巧用

数学在很多数情况下都要和数字打交道，而数字“1”正是人类最早认识的数之一，在数学中具有非常重要的地位.“1”有千千万万的形式和内容，可以生成任一自然数，也可以生成“单位圆”，以及“单位矩阵”等等.而这些在进行化简、计算、证明中都扮演着举足轻重的地位，是解题中不可缺少的元素之一.下面主要结合自己多年的解题经验，谈谈“1”在各方面的活用.

1. “1”在三角函数、不等式以及最值问题中的巧用

三角函数、不等式是数学的重要内容，与数列、定积分、平面向量等都有着密切的联系.在三角函数问题的解决时，常引入数“1”参与运算，使问题得以简化.常见的代换有：1 = sin2α

+ cos2α，1 = sec2α - tan2α，1 = csc2α - cot2α，1 = tan，这一系列问题在许多问题的求值、化简中经常用到，下面进行举.

同时，在证明不等式，求最值时，若恰当、灵活地使用“1”，可以为证明创造条件，达到化难为易的效果.同时，利用公式a1

+ a2 + … + a ≥ n解题时，有时若能巧妙利用“1”的代换，常常能使问题得以巧妙地解决.

3. “1”在积分中的巧用

不定积分中的常用计算方法有：直接积分法、换元积分法和分部积分法，计算不定积分，一般都是根据被积函数的特点来选择具体的方法.但有时候，微积分的教学方法有时流于机械，不能体现出这门学科的精髓.本节主要探讨的是在不定积分的计算中如何巧妙地运用“l”，而“1”包括利用三角替换，“加一项，减一项”等，而利用这些运算将被积函数进行适当地变形，从而达到简化积分的目的.

4. “1”在高等代数中的巧用

在高等代数中，在求解相应的问题时，如果通过添加“1”，而这里的“1”是指单位矩阵，然后通过一系列运算，可以使得问题变得简单.下面主要介绍下，高等代数中求标准型、矩阵求逆以及求特征值的问题.

例说“1”在解三角函数问题中的妙用

例说“1”在解三角函数问题中的妙用

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例说“1”在解三角函数问题中的妙用

作者：段会

来源：《理科考试研究·高中》2016年第06期

“1”在高中数学解题中往往扮演很重要的角色，若能适时巧妙地用上“1”的一些代换，将“1”进行转化，不但能让学生简化解题步骤，得到事半功倍的效果，还能极大地激发学生学习数学的兴趣.本文就“1” 在解三角函数问题中的运用举例说明.

妙用一巧妙运用边长为“1”的直角三角形，帮助记忆特殊角的三角函数值

特殊角的三角函数值在解三角函数问题中应用非常广泛，而学生们往往容易记错，巧妙地运用边长为“1”的直角三角形，可以帮助我们记忆特殊角的三角函数值.

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=1，则BC=1，AB=2，可得45°的各三角函数值.同理，如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则∠A=60°，AB=2，BC=3，可得30°和60°的各三角函数值.

妙用二巧妙运用sin2α+cos2α=1解题

例1（2011年重庆）已知sinα=12+cosα，且α∈（0，π2），则cos2αsin（α-π4）的值为.

解法1由sin2α+cos2α=1，

sinα=12+cosα， α∈（0，π2），

得sinα=7+14，cosα=7-14，所以sinα+cosα=72.

所以cos2α=cos2α-sin2α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）

=-74，

sin（α-π4）=sinαcosπ4-cosαsinπ4

=sinαcosπ4-cosαsinπ4=22（sinα-cosα）=24，

所以cos2αsin（α-π4）=-142.

高三数学例谈“1”在解题中的妙用学法指导

高三数学例谈“1”在解题中的妙用学法指导

例谈“1”在解题中的妙用

王永平

众所周知，数学中许多等式都与常数“1”有着密切的关系，如alog1a（0a且1a），0xx1xx1x1，22cossin1，22tansec1，因此，在解题时若能抓住这一特征，灵活运用常数“1”，可以大大简化解题过程。

一、巧用“1”的变形代换

例1 设ax1，比较xlog2a与xloglogaa的大小关系。

解：由ax1，知alogxlog1logaaa，又因为1aloga，因此1xlog0a，即xloglogaa为负数，而xlog2a大于零，所以xloglogxlogaa2a。

说明：利用1aloga搭桥是解此题的关键。

例2 求对数式0xx1xlogx1x的值。

解：由0x，1x1x1logx1xlogx1xx1x，

得1x1xlogx1x。

说明：利用1x1xx1x，使问题得以顺利解决。

二、活用“1”的平方关系

例3 证明：1AtanAsec1AtanAsecAsecAtan1AsecAtan1。

分析：按常规，应切割化弦，从左到右或从右到左得出等式成立，但过程烦琐，若将所证式的左边分子、分母中的“1”用“AtanAsec22”代换，则可使问题从整体上获解，十分巧妙且简单直观。

证明：左边AtanAsecAtanAsecAsecAtanAtanAsec2222

右边1AtanAsec1AtanAsec1AtanAsecAtanAsec1AtanAsecAtanAsec。

故等式成立。

说明：利用1AtanAsec22的代换可使问题简单化。

例4 已知tan23，求cossin3sin12的值。