高等数学8-3

成都纺织高等专科学校学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｅｎｇｄｕ　Ｔｅｘｔｉｌｅ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　第２７卷第３期（总第９７期）　２０　１　０年７月　Ｖｏ１．２７，Ｎｏ．３（Ｓｕｍ９７）　

文章编号：１００８－５５８０（２０１０）０３—０１７—０３　

高等数学三问　

李红娥　

（西华大学数学与计算机学院，成都６１００３９）　

摘要提出并解答了高等数学中学生较易迷惑的三个问题：一是三角函数的自变量为什么一定要　用弧度制而不用度模式；二是幂指函数的导数为什么是幂函数的导数与指函数的导数之和；三是微分方　程中的常数变易法为什么可以将常数变易为函数？　关键词微积分弧度制　幂指函数微分方程　中图分类号：０１７２　文献标识码：Ａ　

１　为什么要强调三角函数的自变量　

一定要利用弧度制而不用度模式　

要回答这个问题得首先从极限的结果说起．　

１．１　如右图所示的四　分之一单位圆内，若　

设圆心角／＿ＡＯＢ　

＝　以弧度计，并假设　

０＜　＜　，　

点Ａ处的切线与Ｄ　的延长线交　于Ｄ，则有　

ＡＣＯＢ的面积＜扇形ＡＯＢ的面积＜ＡＡＯＤ　的面积．　

这时扇形Ａ０　的面积为　，由此有　

１　ｓｉｎｘ＜　＜　ｔａｎｘ．（１）。＜　＜　。　（）　

因ｓｉｎｘ＞０，所以又有　

１＜÷＜上。　

或　

ｃＯｓ　＜—ｓｌｎ—ｘ＜１．　

上述不等式中用（一　）代替　时，ＣＯＳＸ，ｓｍｘｌ￣　

符号都不变，所以上述不等式对一　＜　＜０也是　成立的・注意到ｌ　ｉｍｃｏｓｘ　１，因而由夹逼定理给　

出如下的简洁的结果：　

ｌｉｍ—ＳＩＩ—Ｌ￣＝ｌ　（２）　

１．２若设圆心角／＿ＡＯＢ不利用弧度制而利用度　

模式，这时扇形Ａ佃的面积为　。　．由此不等　

式（１）成为　

１　ｓｉｎｘ＜３－－　￣ｘ＜÷　，。＜　＜　，　

或　

０　＜　．一ｓｉｎｘ＜１Ｃ　０　＜一＜　仃　因而（２）式就为　

ｌｉｒａ　＿￥１ｎｘ＝卫　（３）１８０　一　ｊ　

由此将影响到一系列有关三角函数的微积分　结果．　事实上，在利用度模式时，正弦函数的导数就　

1 第5讲 不定积分

这一讲开始了积分学部分，它由不定积分和定积分两部分组成，本讲介绍不定积分。

5.1 原函数与不定积分概念

在微分学部分，我们研究的问题是求已知函数的导函数，例如已知2)(xxf，那么它的导函数xxf2)(。不定积分研究的问题与之相反，已知2)(xxf，那么它是哪个函数的导函数？或者说哪个函数求导后等于)(xf。当然我们不难发现3)(3xxF的导函数正是)(xf，也就是说)(xf是)(xF的导函数。这里)(xF和)(xf又是什么关系呢？

一、原函数与不定积分

定义5.1 已知函数)(xf在某区间上有定义，如果存在函数)(xF，使得在该区间的任一点处，都有关系式

)()(xfxF或xxfxFd)()(d

成立，则称函数)(xF是函数)(xf在该区间上的一个原函数。

由定义5.1我们知道3)(3xxF就是2)(xxf的一个原函数。不过我们可以发现由定义5.1，13)(3xxG也是)(xf的一个原函数，也就是说原函数是不唯一的，其实不仅不唯一，而且无穷多，事实上Cx33都是)(xf的原函数。

定理5.1如果函数)(xF是函数)(xf在某区间上的一个原函数，则)(xf的全体原函数可以表示为CxF)(（C是任意常数）。

定义5.2 设函数)(xf在某区间上有原函数，则)(xf的全体原函数称为)(xf在该某区间上的不定积分。记为

xxfd)(

其中x称为积分变量，)(xf称为被积函数，xxfd)(称为被积表达式，“”称为积分号。 2 由定理5.1可知，如果)(xF是)(xf的一个原函数，则

CxFxxf)(d)(

由前面所提，有

Cxxx3d32

例1 求)1(dxx。

解 本例的关键是找出x的原函数，由导数运算得

xx)1()(1

可以整理为

xx)(111

再根据导数运算的性质

)1()(1111xx

第 1 页 共 5 页 §8.3 全微分及其应用

一、全微分的定义

根据一元函数微分学中增量与微分的关系有

偏增量与偏微分

f(xx y)f(x y)fx(x y)x

f(xx y)f(x y)为函数对x的偏增量 f x(x y)x为函数对x的偏微分

f(x yy)f(x y)fy(x y)y

f(x yy)f(x y)为函数)对y的偏增量 f y(x y)y为函数对y的偏微分

全增量 z f(xx yy)f(x y)

计算全增量比较复杂 我们希望用x、y的线性函数来近似代替之

定义 如果函数zf(x y)在点(x y)的全增量

z f(xx yy)f(x y)

可表示为

) )()(( )(22yxoyBxAz

其中A、B不依赖于x、y 而仅与x、y 有关 则称函数zf(x y)在点(x y)可微分

而称AxBy为函数zf(x y)在点(x y)的全微分 记作dz 即

dzAxBy

如果函数在区域D内各点处都可微分 那么称这函数在D内可微分

可微与连续 可微必连续 但偏导数存在不一定连续

这是因为 如果zf(x y)在点(x y)可微则

z f(xx yy)f(x y)AxByo()于是 0lim0z

从而 ),(]),([lim),(lim0)0,0(),(yxfzyxfyyxxfyx

高等数学模拟卷3

一 求下列极限

1 1limntgnn

解：不存在

2 求limxaxaxa

答 ：=lim1limlim1xaxaxaxaxaxaaxxaxa＋－＝＝

3 求120limxxe

答：=121021020limlimlim0xxxxxxeee

00sin4limlimsinxxmxmxmnxnxn

20()0xxfxxx二已知，讨论f（x）在0x处的导数

0020000limlim100limlim0()0xxxxfxfxxxfxfxxxfxx＋＋--解：在不可导

三

计算下列各题

1、3,tan(ln)yxy已知求

2213tan(ln).secln.yxxx解：

2、2,()yfxy已知，求

2().2yfxx解： ＝

四 、 232001()()2aaxfxdxxfxdx证明，(0)a，其中()fx在讨论的区间连续。

证明：

对于320()axfxdx

令2xt，则2xdxddt

且xa时2ta，0x时0t 2232000()1()21()2aaaxfxdxtftdtxfxdx左边

= 右边 证毕。

五、 计算反常积分2d;1xx

2darctan;221+xxx解原式

六 、 求2(1)(arctan)ydxyxdy的通解

解：方程化为2211arctan11dxxydyyy

此方程为倒线性微分方程

22111121(arctan)1dydyyyxeyedycy